Projecto Delfos: Escola de Matemática Para Jovens 1 Teoria dos Números 09/09/2011

(1)

Fun¸

c˜

oes aritm´

eticas

Este texto de apoio baseia-se no segundo cap´ıtulo de Tom M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory. Eventuais gralhas, imprecis˜oes ou erros s˜ao da responsabilidade de Alfredo Costa.

Conven¸c˜oes que adoptamos neste texto: • 0 /∈ N

• Se n é um inteiro positivo, então d|n significa que d é um divisor positivo de n. Em geral, assumimos implicitamente que os divisores considerados são positivos. Finalmente, p|n significa que p é um divisor primo (positivo) de n.

1. Fun¸cões aritméticas: defini¸cão e alguns exemplos relevantes Uma fun¸cão aritmética é uma fun¸c˜_{ao f : N → C. Ou seja, é uma fun¸cão definida no} conjunto dos números inteiros e que assume valores complexos. Vamos concentrar-nos em casos em que assume valores reais.

Recordemos alguns exemplos com que já nos deparámos em anteriores sessões:

Indicador de Euler: Se n é um inteiro positivo, então ϕ(n) é o número de inteiros positivos menores ou iguais a n que são primos com n. A fun¸cão ϕ é o indicador de Euler ou fun¸cão de Euler.

Fun¸cão sigma: É a fun¸cão aritmética com a seguinte defini¸cão: σ(n) =X

d|n

d. Tex-tualmente: σ(n) ´e a soma dos divisores de n.

N´umero de divisores: O nome diz tudo! Frequentemente denota-se por τ . Esta fun¸c˜ao pode ser definida da seguinte forma, aparentemente mais pedante, mas na verdade conceptualmente conveniente: τ (n) =X

d|n

1.

2. A fun¸cão de Möbius A fun¸cão de Möbius define-se do seguinte modo:

µ(1) = 1; se n > 1 e se n = pa1

1 · · · p ak

k for a factoriza¸c˜ao de n em n´umeros primos (sendo portanto

ai > 0 para todo o i), ent˜ao

µ(n) = (−1)k se a1 = · · · = ak= 1,

µ(n) = 0 caso contr´ario.

Portanto µ(n) = 0 se e s´o se n tem algum factor maior do que 1 que ´e um quadrado perfeito.

(2)

Teorema 1. Para qualquer inteiro positivo n temos (1) X d|n µ(d) = ( 1 se n = 1 0 se n > 1.

Denotando por [x] o maior inteiro menor ou igual ao n´umero real x, podemos escrever a f´ormula (1) da seguinte forma mais compacta:

X d|n µ(d) =h1 n i .

Demonstra¸c˜ao do teorema 1. Suponhamos que n 6= 1. Seja n = pa1

1 · · · p ak

k a factoriza¸c˜ao

de n em n´umeros primos. Na somaP

d|nµ(d), as únicas parcelas não nulas são aquelas em

que nenhum quadrado de um primo divide d. Então, agrupando para cada i os divisores de n que são produtos de precisamente i primos distintos, e como há k_i tais divisores, temos: X d|n µ(d) = µ(1) + µ(p1) + · · · µ(pk) + µ(p1p2) + µ(p1p3) + · · · µ(pk−1pk)+ + · · · + µ(p1p2· · · pk) = 1 +k 1 (−1) +k 2 (−1)2+ · · · +k k (−1)k = k X i=1 k i (−1)i = (1 − 1)k = 0. 3. O produto de Dirichlet

Sejam f e g duas fun¸cões aritméticas. O produto de Dirichlet (ou convolu¸cão de Diri-chlet ) é a fun¸cão aritmética f ∗ g definida do seguinte modo:

(2) (f ∗ g)(n) =X d|n f (d) · gn d .

Os pares da forma (d,n_d), onde d é um divisor de n, são precisamente os pares da forma (a, b), onde a e b são inteiros positivos tais que n = ab.

Logo, a f´ormula (2) tem o seguinte aspecto mais sim´etrico:

(3) (f ∗ g)(n) = X

a·b=n

f (a) · g(b). ´

E assim claro que as fun¸cões f ∗ g e g ∗ f são iguais. Dizemos por isso que o produto de Dirichlet é comutativo.

Proposi¸cão 2. O produto de Dirichlet é associativo, ou seja, (f ∗ g) ∗ h = f ∗ (g ∗ h) para quaisquer fun¸cões aritméticas f , g e h.

(3)

Demonstra¸c˜ao. Temos ((f ∗ g) ∗ h)(n) = X x·c=n (f ∗ g)(x) · h(c) = X x·c=n X a·b=x f (a) · g(b) ! · h(c) = X x·c=n X a·b=x f (a) · g(b) · h(c) = X a·b·c=n f (a) · g(b) · h(c) De forma inteiramente an´aloga, temos (f ∗ (g ∗ h))(n) =P

a·b·c=nf (a) · g(b) · h(c).

Denotemos por I a fun¸c˜ao aritm´etica I(n) =h1 n i = ( 1 se n = 1 0 se n > 1., a qual surge no Teorema 1.

Proposi¸cão 3. A opera¸cão ∗ tem I como elemento neutro, ou seja, I ∗ f = f ∗ I = f . Demonstra¸cão. Temos

(f ∗ I)(n) =X d|n f (d)In d =X d|n f (d)hd n i = f (n)

uma vez quehd_ni = 0 se d < n.

4. A inversa de Dirichlet e a fórmula de inversão de Möbius

Teorema 4. Se f é uma fun¸cão aritmética tal que f (1) 6= 0, então a fun¸cão aritmética f−1 definida recursivamente por

f−1(1) = 1 f (1), f −1 (n) = −1 f (1) X d|n d < n f n d)f −1 (d) se n > 1, satisfaz f ∗ f−1 = f−1∗ f = I.

A demonstra¸c˜ao do Teorema 4 ´e um exerc´ıcio instrutivo.

Se f e g são fun¸cões aritméticas tais que f (1) 6= 0 e g(1) 6= 0, então (f ∗ g)(1) 6= 0. Notemos também que I(1) 6= 0. Logo o conjunto G das fun¸cões aritméticas f tais que f (1) 6= 0 forma um submonóide do monóide das fun¸cões aritméticas, considerando o produto de Dirichlet como a opera¸cão do monóide. O Teorema 4 diz-nos em particular que o monóide G é de facto um grupo Abeliano, sendo a inversa de uma fun¸cão f pertencente a G precisamente a fun¸cão f−1. Justifica-se assim a nota¸cão f−1 introduzida no Teorema 4. A fun¸cão f−1 designa-se inversa de Dirichlet de f ou inversa convolutiva de f .

(4)

Exemplo 5. Vimos no teorema 1 queP

d|nµ(d) = I(n). A fun¸c˜ao constante u(n) = 1 ´e

uma fun¸c˜ao aritm´etica. A igualdadeP

d|nµ(d) = I(n). pode ser ent˜ao escrita do seguinte

modo:

µ ∗ u = I

Portanto u e µ são inversas de Dirichlet uma da outra: u = µ−1 e µ = u−1. Teorema 6 (Fórmula de inversão de Möbius). As igualdades

(4) f (n) = X d|n g(d) e (5) g(n) =X d|n f (d)µn d . s˜ao equivalentes.

Demonstra¸c˜ao. A igualdade (4) diz-nos que f = g ∗u. Logo f ∗µ = (g ∗u)∗µ = g ∗(u∗µ) = g ∗ I = g, ou seja, obtemos (5).

Reciprocamente, se f ∗ µ = g ent˜ao f = f ∗ (µ ∗ u) = (f ∗ µ) ∗ u = g ∗ u, e portanto (5)

implica (4). 5. De volta à fun¸cão ϕ Teorema 7. Se n ≥ 1 então X d|n ϕ(d) = n.

Vamos usar a nota¸c˜ao N para a fun¸c˜ao identidade no conjunto dos inteiros positivos, (ou seja, N (n) = n para qualquer n ∈ N).

Corol´ario 8. Se n ≥ 1 ent˜ao

(6) ϕ(n) =X d|n d µn d .

Demonstra¸cão. O Teorema 7 diz-nos que ϕ ∗ u = N . Logo ϕ = N ∗ u−1 = N ∗ µ. Algumas das propriedades listadas no seguinte teorema já tinham sido discutidas na sessão anterior de Teoria dos Números.

Teorema 9. A fun¸c˜ao de Euler satisfaz as seguintes propriedades: (1) ϕ(n) = nQ

p|n(1 − 1

p) para qualquer n.

(2) ϕ(pa_{) = p}a_{− p}a−1 _{para qualquer primo p e para qualquer a ≥ 1.}

(3) ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) d

ϕ(d), onde d = m.d.c.(m, n).

(4) ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n) se m.d.c.(m, n) = 1. (5) a|b implica ϕ(a)|ϕ(b).

(5)

6. Fun¸c˜oes multiplicativas

Um fun¸cão aritmética f diz-se multiplicativa se não for identicamente nula (i.e., se existir n tal que f (n) 6= 0) e se

f (mn) = f (m)f (n), sempre que m.d.c.(m, n) = 1. Um fun¸c˜ao aritm´etica f diz-se completamente multiplicativa se

f (mn) = f (m)f (n), para quaisquer m, n.

Exemplo 10. Consideremos a fun¸cão aritmética fα(n) = nα, onde α é um número real

qualquer. Ent˜ao fα ´e completamente multiplicativa. Note-se que fα = Nα.

Exemplo 11. A fun¸c˜ao I(n) = [1/n] ´e completamente multiplicativa.

Exemplo 12. A fun¸cão de Möbius é multiplicativa, mas não completamente multiplica-tiva.

Observa¸cão 13. Sejam f e g fun¸cões aritméticas. Consideremos a fun¸cão f g definida por (f g)(n) = f (n)g(n).

• Se f e g são multiplicativas, então f g é multiplicativa.

• Se f e g são completamente multiplicativas, então f g é completamente multipli-cativa.

Supondo que g(n) 6= 0 para qualquer inteiro positivo n, consideremos agora a fun¸c˜ao aritm´etica f_g definida por f_g(n) = f (n)_g(n).

• Se f e g são multiplicativas, então f_g é multiplicativa.

• Se f e g são completamente multiplicativas, então f_g é completamente multiplica-tiva.

Exerc´ıcio 14. Mostra que se f é multiplicativa então f (1) = 1. Teorema 15. Seja f uma fun¸cão aritmética tal que f (1) = 1. Então:

(1) A fun¸cão f é multiplicativa se e só se f (pa1 1 · · · p ar r ) = f (p a1 1 ) · · · f (p ar r )

para quaisquer primos distintos p1, . . . , pr e inteiros positivos a1, . . . , ar, qualquer

que seja r ≥ 1.

(2) Se f é multiplicativa, então f é completamente multiplicativa se e só se f (pa) = f (p)a _{para qualquer primo p e para qualquer inteiro positivo a.}

A demonstra¸cão do Teorema 15 é um exerc´ıcio simples, que decorre facilmente das defini¸cões.

Teorema 16. O conjunto das fun¸cões aritméticas multiplicativas é, para o produto de Dirichlet, um subgrupo do grupo das fun¸cões aritméticas f tais que f (1) 6= 0.

(6)

Teorema 17. Seja f uma fun¸cão aritmética multiplicativa. Então f é completamente multiplicativa se e só se f−1(n) = µ(n)f (n) para qualquer n ≥ 1.

Exerc´ıcio 18. A inversa de Dirichlet de ϕ ´e dada por ϕ−1(n) =P

d|nµ(d)d.

Exerc´ıcio 19. Se f ´e multiplicativa ent˜ao P

d|nµ(d)f (d) =

Q

p|n(1 − f (p)).

Em particular, ϕ−1(n) =Q

p|n(1 − p).

Exerc´ıcio 20. A fun¸cão de Liouville é a fun¸cão aritmética λ definida do seguinte modo: • λ(1) = 1;

• λ(n) = (−1)a1+···+ak _{se a factoriza¸c˜}_{ao de n em n´}_{umeros primos for n = p}a1

1 · · · p ak

k .

(1) Verifica que λ ´e completamente multiplicativa. (2) Determina a inversa convolutiva de λ.

(3) Mostra que P

d|nλ(d) =

(

1 se n ´e um quadrado 0 caso contr´ario.

(4) Conclui que o produto de Dirichlet de duas fun¸cões completamente multiplicativas pode não ser uma fun¸cão completamente multiplicativa.

Mais exerc´ıcios e problemas

Exerc´ıcios:

(1) Mostra que σ(n) =P

d|nϕ(d)τ ( n d).

(2) Para cada n´umero real α, considera a fun¸c˜ao σα(n) =

P

d|nd

α _{(repara que σ} 0 = τ

e que σ1 = σ). Mostra que se α 6= 0 ent˜ao σα(n) = Q_p|np

α(a+1)₋₁ pα₋₁ , onde a letra p denota um primo. (3) Mostra que _ϕ(n)n =P d|n µ2_(d) ϕ(d). Problemas:

(4) Mostra que se n ´e composto ent˜ao ϕ(n) ≤ n −√n.

(5) Mostra que ϕ(n) ≥√n para qualquer inteiro positivo n tal que n 6= 2 e n 6= 6. (6) Se n é um número composto então σ(n) ≥ n +√n + 1.