DCC008 Aula03 Numero Erro

(1)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Sistema de numera¸cão Conversão de sistema de numera¸cão Número inteiro Número real

Representa¸c˜ao de n´umeros computador

Inteiros Reais

Opera¸cões aritméticas em ponto flutuante No¸cões básicas sobre erros

Representa¸cão de Números e No¸cões Básicas

de Erro

DCC008 - C´alculo Num´erico

Departamento de Ciˆencia da Computa¸c˜ao Universidade Federal de Juiz de Fora

(2)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

2 Sistema de numera¸c˜ao

3 Convers˜ao de sistema de numera¸c˜ao

N´umero inteiro N´umero real

4 Representa¸c˜ao de n´umeros computador

Inteiros Reais

5 Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto flutuante

(3)

Num´erico -UFJF Introdu¸c˜ao

Sistema de numera¸cão Conversão de sistema de numera¸cão Número inteiro Número real

Inteiros Reais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

(4)

Inteiros Reais

Introdu¸c˜ao

• O objetivo aqui é estudar métodos numéricos

• Logo, é importante entender como os números são representados no computador e como as opera¸cões aritméticas são realizadas

• Limita¸c˜oes da representa¸c˜ao finita

(5)

Inteiros Reais

Introdu¸c˜ao

• O objetivo aqui é estudar métodos numéricos

• Logo, é importante entender como os números são representados no computador e como as opera¸cões aritméticas são realizadas

• Limita¸c˜oes da representa¸c˜ao finita

• Determinar os casos em que erros ocorrem • No¸c˜oes de erro

(6)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Sistema de numera¸c˜ao

Conversão de sistema de numera¸cão Número inteiro Número real

Inteiros Reais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

(7)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Decimal

• O sistema decimal ´e normalmente adotado

• Dez d´ıgitos s˜ao utilizados para representar os n´umeros • base 10

• Qualquer n´umero inteiro no sistema decimal pode ser representado como

N = (anan−1. . .a1a0)10

=an×10n+an−1×10 n−1

+_{· · ·}+a1×101+a0×100

(8)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Decimal

• Por exemplo

(9)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Decimal

• Por exemplo

(21)10= 2×101+ 1×100

(10)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Bin´ario

• Os computadores adotam um sistema com dois estados

(ligado ou desligado)

• Sistema bin´ario

• base 2

• Os n´umeros n˜ao negativos podem ser representados como

N= (anan−1. . .a1a0)2

=an×2 n

+an−1×2 n−1

+_{· · ·}+a1×21+a0×20

(11)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Bin´ario

• Por exemplo

(12)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Bin´ario

• Por exemplo

(101)2 = 1×22+ 0×21+ 1×20

(13)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Hexadecimal

• O sistema hexadecimal é uma alternativa ao sistema binário para simplificar a representa¸cão valores grandes

• Base 16

• D´ıgitos:

(14)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

Sistema Hexadecimal

• O sistema hexadecimal é uma alternativa ao sistema binário para simplificar a representa¸cão valores grandes

• Base 16

• D´ıgitos:

• {0,1, . . . ,8,9,A,B,C,D,E,F}

• Exemplo

(A00E)16= A×163+ 0×162+ 0×161+ E×160

(15)

Num´erico -UFJF

Introdu¸c˜ao Sistema de numera¸c˜ao

Convers˜ao de sistema de numera¸c˜ao

Inteiros Reais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

(16)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Sistema de numera¸cão Conversão de sistema de numera¸cão

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao de Bases

• Um n´umero na baseβ pode ser convertido para base decimal como

(N)10=an×βn+an−1×β n−1

+_{· · ·}+a1×β1+a0×β0,

(17)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao de Bases

• Converter (1010)2 para base 10

(1010)2 = 1×23+ 0×22+ 1×21+ 0×20

(18)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao de Bases

• Converter (1010)2 para base 10

(1010)2 = 1×23+ 0×22+ 1×21+ 0×20

= 8 + 2 =_⇒ (1010)2 = (10)10

• Converter (1C2)16 para base 10

(1C2)16= 1×162+C ×161+ 2×160

= 1_×162+ 12_×161+ 2_×160 = 256 + 192 + 2

(19)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio

Converter os seguintes n´umeros para a base 10

a) Converter (1101)2 para base 10.

(20)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio

b) Converter (3F)16 para base 10.

Solu¸c˜ao

a) 13

(21)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao decimal para bin´ario

O procedimento é dividir o número por 2, a seguir continuar dividindo o quociente por 2, até que o quociente seja igual a 0. O número na base 2 é obtido tomando-se o resto das divisões anteriores.

Exemplo

(22)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao decimal para bin´ario

Exemplo

Converter (13)10 para bin´ario.

Solu¸c˜ao

13_÷2 = 6, resto=1

6_÷2 = 3, resto=0

3_÷2 = 1, resto=1

1_÷2 = 0, resto=1 _↑

(23)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao decimal para

hexadecimal

Exemplo

(24)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao decimal para

hexadecimal

Exemplo

Converter (62)10 para hexadecimal.

Solu¸c˜ao

62_÷16 = 3, resto=14 =_⇒ E

3_÷16 = 0, resto=3 _↑

(25)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcio

Converter os seguintes n´umeros para a base indicada

b) Converter (14)10 para base 2.

c) Converter (63)10 para base 16.

(26)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcio

Converter os seguintes n´umeros para a base indicada

c) Converter (63)10 para base 16.

d) Converter (945)10 para base 16.

Solu¸c˜ao

a) (10111)2

b) (1110)2

c) (3F)16

(27)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Sistema Bin´ario para Hexadecimal

Bin´ario Hexadecimal Bin´ario Hexadecimal

0000 0 1000 8

0001 1 1001 9

0010 2 1010 A

0011 3 1011 B

0100 4 1100 C

0101 5 1101 D

0110 6 1110 E

0111 7 1111 F

Exemplo: (111011010010)2 ⇔

E z }| {

1110

D z }| {

1101

2 z }| {

(28)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio

Realizar as seguintes convers˜oes

c) Converter (3F)16 para base 2.

(29)

Num´erico -UFJF

N´umero inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcios

Exerc´ıcio

Realizar as seguintes convers˜oes

c) Converter (3F)16 para base 2.

d) Converter (7BC)16 para base 2.

Solu¸c˜ao

a) (CB)16

b) (197)16

c) (111111)2

(30)

Num´erico -UFJF

Introdu¸cão Sistema de numera¸cão Conversão de sistema de numera¸cão Número inteiro

N´umero real

Inteiros Reais

Representa¸c˜ao de um n´umero real

• Um n´umero real positivo x pode ser escrito como

x =

n X

i₌₀

aiBi

| {z } x_int

+

∞ X

i₌₁

biB −i

| {z } x_frac

onde ai e bi s˜ao, respectivamente, os coeficientes da parte

integral e fracion´aria do n´umero x • Por exemplo,

(23,45)10= 2×101+ 3×100+ 4×10 −1

(31)

Num´erico -UFJF

N´umero real

Inteiros Reais

Exemplos: Representa¸c˜ao de um

n´umero real

• Se bi = 0 para todoi maior que um valor inteiro, ent˜ao

diz-se que a fra¸c˜ao termina

• Caso contrário, diz-se que a fra¸cão não termina

• Exemplos:

0,45 = 4×10−1_{+ 5}_×₁₀−2 _⇒_termina

0,666. . .= 6×10

−1_{+ 6}_×₁₀−2_{+ 6}_×₁₀−3₊

(32)

Num´erico -UFJF

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao de real para bin´ario

• De forma an´aloga para o sistema bin´ario podemos escrever

xf = ∞ X

k=1 bk2

−k

, xi = (anan−₁. . .a₀)₂

ent˜aox = (anan−1. . .a0·b1b2b2. . .)2.

• A fra¸c˜ao bin´aria (_·b1b2b2. . .)2 para um dadoxf entre 0 e

1 pode ser calculada da seguinte forma: dado x entre 0 e 1, gere b₁,b₂,b₃ fazendo:

c0 =x

b1 = (2·c0)i, c₁ = (2·c₀)f

b₂ = (2_·c₁)i, c₂ = (2·c₁)f

b3 = (2·c2)i, c3 = (2·c2)f, . . .

onde (.)i representa a parte integral e (.)f a parte

(33)

Num´erico -UFJF

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao de real para bin´ario

Exemplo

Qual a representa¸c˜ao bin´aria de (0.625)10?

Solu¸c˜ao do Exemplo

2_·0.625 = 1.25 _⇒ b₁ = 1 2_·0.25 = 0.50 _⇒ b2 = 0

2_·0.5 = 1.00 _⇒ b3 = 1

2_·0.0 = 0.00 _⇒ b4 =b5=. . .= 0

(34)

Num´erico -UFJF

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao de real para bin´ario

Exemplo

Qual a representa¸c˜ao bin´aria de (0.1)10?

Solu¸c˜ao do Exemplo 2

Temosx = 0.1.

2_·0.1 = 0.2 _⇒ b₁ = 0 2_·0.2 = 0.4 _⇒ b2 = 0

2_·0.4 = 0.8 _⇒ b3 = 0

2_·0.8 = 1.6 _⇒ b4 = 1

2_·0.6 = 1.2 _⇒ b5 = 1

2_·0.2 = 0.4 _⇒ b₆ = 0 2_·0.4 = 0.8 . . .

(35)

Num´erico -UFJF

N´umero real

Inteiros Reais

Convers˜ao da base 2 para 10

Exemplo

Converter da base 2 para a base 10.

(11.0101)2= 1∗20+ 1∗21+ 0∗2−1+ 1∗2−2+ 0∗2−3+ 1∗2−4

(36)

Num´erico -UFJF

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcio

Converter os seguintes n´umeros reais

a) (7.25)10 para base 2

b) (3.25)10 para base 2

c) (101.01)2 para base 10

(37)

Num´erico -UFJF

N´umero real

Inteiros Reais

Exerc´ıcio

Converter os seguintes n´umeros reais

a) (7.25)10 para base 2

b) (3.25)10 para base 2

c) (101.01)2 para base 10

d) (11.1)2 para base 10

Exerc´ıcio

a) (111.01)2

b) (11.01)2

c) (5.25)10

(38)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

(39)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao de n´umeros inteiros

• Para número não negativos, a representa¸cão é direta

(40)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao de n´umeros inteiros

• Para número não negativos, a representa¸cão é direta

33_⇒ 0 0 1 0 0 0 0 1

• Para n´umero inteiros com sinal, uma possibilidade ´e reservar 1 bit para indicar o sinal

• 0⇒positivo • 1⇒negativo

(41)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao de n´umeros inteiros

Inteiros s˜ao armazenados usando uma palavra de 32 bits no computador.

• Se estamos interessados em númerosnão negativos, a representa¸cão é simples:

(71)10⇒

00000000 00000000 00000000 01000111

(42)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao de n´umeros inteiros

Inteiros s˜ao armazenados usando uma palavra de 32 bits no computador.

• Se estamos interessados em númerosnão negativos, a representa¸cão é simples:

(71)10⇒

00000000 00000000 00000000 01000111

Os valores que podemos representar vão de 0 a 232₋_1. • Para números inteiros com sinal, uma possibilidade, é

reservar 1 bit para indicar qual o sinal do n´umero.

(₋71)10⇒

1_|0000000 00000000 00000000 01000111

(43)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao de n´umeros inteiros

Qual a diferen¸ca?

1_|0000000 00000000 00000000 00000000

e

(44)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Complemento a dois

• O complemento a dois ´e outra forma de representar n´umeros inteiros com sinal

• O bit mais significativo ainda ´e utilizado para o sinal

• Os n´umeros positivos s˜ao representados normalmente

• Um número negativo ₋y é representado pelo número binário correspondente ao inteiro positivo:

2B ₋y

(45)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Exemplo: Complemento a dois

Para ilustrar considere uma palavra de 4 bits. Podemos representar os seguintes n´umeros de 0 a 7 e de -8 a -1. Veja a tabela.

bits n´umero bits n´umero 2B

−y

0000 0 1000 -8 24₋8 = 8

0001 1 1001 -7 24₋_{7 = 9}

0010 2 1010 -6 24₋6 = 10

0011 3 1011 -5 24₋5 = 11

0100 4 1100 -4 24₋_{4 = 12}

0101 5 1101 -3 24₋3 = 13

0110 6 1110 -2 24₋2 = 14

0111 7 1111 -1 24₋_{1 = 15}

Para negar um n´umero em complemento a dois, use o seguinte algoritmo:

(46)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Exemplo: Complemento a dois

Exemplo

(47)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Exemplo: Complemento a dois

Exemplo

Considere uma palavra de 4 bits. Qual a representa¸c˜ao em complemento a dois de₋2?

Solu¸c˜ao do exemplo

Temos que (2)10= (0010)2. Pelos passos do algoritmo temos:

1 Invertendo os bits 0010→1101

2 Somando 1

1101 +0001

1110

Ou seja,₋2 ´e representado por 24₋_{2 = 16}₋_{2 = 14, cuja}

(48)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Complemento a dois

• Complemento a dois

• Uma vantagem desse sistema é não requerer umhardware espec´ıfico para o operador de subtra¸cão

• O operador de soma pode ser utilizado quando um n´umero negativo ´e representado em complemento a dois

(49)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Exemplo: Complemento a dois

Exemplo

(50)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Exemplo: Complemento a dois

Exemplo

Considerando uma máquina que utiliza 4 bits para representar números inteiros com sinal e adotando complemento a dois. Converta em complemento a 2 e realize a opera¸cão 4₋3.

Solu¸c˜ao do exemplo

Ao converter obtemos (4)10= (0100)2 e (−3)10= (1101)2.

Portanto

0100 +1101

0001

(51)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Exerc´ıcio

Exerc´ıcios

Considere uma palavra de 4 bits. Qual a representa¸cão em complemento a dois dos seguintes números em binário e decimal?

a) (7)10

b) (₋6)10

c) (₋4)10

(52)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Exerc´ıcio

Exerc´ıcios

Considere uma palavra de 4 bits. Qual a representa¸cão em complemento a dois dos seguintes números em binário e decimal?

a) (7)10

b) (₋6)10

c) (₋4)10

d) Realiza a conta 7₋4 utilizando os resultados obtidos nas letras anteriores

Solu¸c˜ao

a) (7)10 =⇒ (0111)2= (7)10

b) (₋6)10 =⇒ (1010)2 = (10)10

c) (₋4)10 =⇒ (1100)2 = (12)10

(53)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao de n´umeros reais

• Números reais são armazenados usando o sistema binário e a representa¸cão destes números é finita.

• Por exemplo, os n´umeros

π= 3.1415. . .

e = 2.71828. . .

n˜ao podem ser representados perfeitamente no

computador. O que é armazenado então é uma versão aproximada destes números.

• De forma geral, existem duas possibilidades para essa representa¸c˜ao:

• Representa¸c˜ao em Ponto Fixo

(54)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto fixo

• Neste sistema uma palavra (n´umero) ´e representada por 3 campos

• 1 bit para o sinal

(55)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto fixo

• bits que formam a parte integral • bits que formam a parte fracion´aria

• Por exemplo, o n´umero (12,75)10 pode ser representado

em um sistema com 32 bits (15 bits para a parte integral e 16 bits para a parte fracion´aria) como

(56)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto fixo

• bits que formam a parte integral • bits que formam a parte fracion´aria

• Por exemplo, o n´umero (12,75)10 pode ser representado

em um sistema com 32 bits (15 bits para a parte integral e 16 bits para a parte fracion´aria) como

0 000000000001100 11000000000000000

• O sistema de ponto fixo limita muito a magnitude dos n´umeros que podem ser representados

(57)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

• A representa¸cão de ponto flutuante é baseada na nota¸cão cient´ıfica. Nessa nota¸cão um número real não-zero é expresso por

x =_±d_×βe

onde β é a base do sistema de numera¸cão,d é a mantissa e eé o expoente.

• A mantissa ´e um n´umero da forma

(0_·d1d2d3. . .dt)β

representada por t d´ıgitos, onde 0_≤di ≤(β−1), para

i = 1, . . . ,t com d1 6= 0.

• O expoentee est´a no intervalo [L,U].

• Ao exigir qued16= 0, dizemos que o n´umero est´a

(58)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Sistema de ponto flutuante

Iremos denotar um sistema de ponto flutuante por

F(β,t,L,U)

onde

• β ´e a base do sistema

• t n´umero de d´ıgitos da mantissa

• L menor valor para o expoente

• U maior valor para o expoente

Em qualquer máquina apenas um subconjunto dos números reais é representado exatamente, e portanto nesse processo a representa¸cão de um número real será feita com

(59)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Arredondamento em ponto

flutuante

• Imagine que s´o dispomos de quatro d´ıgitos para

representar os n´umeros em uma m´aquina. Como seria a melhor forma de representar 15₇ = 2.142857 =x? Usando 2.142 ou talvez 2.143?

• Se calcularmos o erro vemos que

|2.142₋x_|= 0.000857

|2.143₋x_|= 0.000143

Como o erro é menor para 2.143 conclu´ımos que essa é a melhor forma de representar esse número. Este número foi arredondado.

O que significa arredondar um n´umero?

(60)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

Exemplo

Considere o seguinte sistema: F(10,3,₋3,3). Como fica representado neste sistema o n´umero 12.5?

Solu¸c˜ao

(61)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

Exemplo

Considere o seguinte sistema: F(10,3,₋3,3). Como fica o n´umero de Euler e= 2.718281. . .

Solu¸c˜ao

(62)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

Exemplo

• Considere o seguinte sistema: F(10,3,₋5,5). Os n´umeros representados neste sistema ter˜ao a forma

±(0.d₁d₂d₃)_×10e, 0_≤di ≤9, d₁ 6= 0, e ∈[−5,5]

• O menor número em valor absoluto representado nessa máquina é

m= 0.100_×10−5

= 10−1

×10−5

= 10−6

• O maior n´umero em valor absoluto ´e

M = 0.999_×105= 99900

De forma geral, o menor e o maior n´umero s˜ao dados por

m=βL−1

, M =βU(1₋β−t

(63)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

• Seja um sistema F(β,t,L,U) onde o menor e maior número são denotados por me M, respectivamente. Dado um número realx, então temos as seguintes situa¸cões:

1 m≤ |x| ≤M

O n´umeropodeser representado no sistema. Exemplo: 235.89 = 0.23589×103_{. No sistema} F(10,3,−3,3) temos

0.235×103com truncamento 0.236×103com arredondamento

2 _|x| ≤m

O n´umeron˜ao podeser representado no sistema. Neste caso dizemos que ocorreuunderflow. Ex: 0.517×10−8.

3 _|x_{| ≥}M

(64)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

Exemplo

Considere o sistemaF(2,3,₋3,3). Para simplificar, considere uma palavra com 7 bits, onde temos 1 bit para o sinal do n´umero, 3 bits para o expoente (incluindo seu sinal) e 3 bits para a mantissa. Vamos representarxmin= (0.100)2×2−3.

sinal do n´umero 0

sinal do expoente 1

expoente (3)10= (11)2

mantissa (0.100)2

Sendo assim temos a seguinte representa¸c˜ao para (0.0625)10

neste sistema

(65)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

Exemplo

Considere o sistemaF(2,3,₋1,2). Quantos e quais n´umeros podem ser representados neste sistema?

Solu¸c˜ao:

Neste sistema os n´umeros s˜ao da forma: _±0.d1d2d3×2e • 2 possibilidades para o sinal

• (1_·2_·2) = 4 possibilidades para a mantissa

(66)

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Inteiros

Reais

Representa¸c˜ao em ponto flutuante

Continua¸c˜ao da solu¸c˜ao

Para responder quais são os números, notemos que as poss´ıveis formas da mantissa são 0.100, 0.101, 0.110 e 0.111 e as formas do expoente são 2−1

, 20, 21 e 22. Assim obtemos:

(0.100)2×2−1 = (0.25)10 (0.101)2×2−1 = (0.3125)10

(0.100)2×20 = (0.5)10 (0.101)2×20 = (0.625)10

(0.100)2×21 = (1.0)10 (0.101)2×21 = (1.25)10

(0.100)2×22 = (2.0)10 (0.101)2×22 = (2.5)10

(0.110)2×2−1 = (0.375)10 (0.111)2×2−1 = (0.4375)10

(0.110)2×20 = (0.75)10 (0.111)2×20 = (0.875)10

(0.110)2×21 = (1.5)10 (0.111)2×21 = (1.75)10

(0.110)2×22 = (3.0)10 (0.111)2×22 = (3.5)10

O zero ´e representado de uma forma especial: todos os d´ıgitos

(67)

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Inteiros

Reais

Exerc´ıcio

Seja uma máquina fict´ıcia que opera em um sistema de ponto flutuante de base binária e que representa os números usando 32 bits. Seja o seguinte número representado nesta máquina:

0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0

Se o primeiro bit indica o sinal do número, o segundo é o sinal do expoente, os próximos seis são o expoente, e os vinte e quatro últimos são a mantissa, responda às seguintes perguntas:

a) O número está normalizado? Se não, normalize-o.

b) O n´umero ´e positivo ou negativo?

c) Em módulo, o número é menor ou maior do que 1?

(68)

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Inteiros

Reais

Ponto flutuante IEEE 754

• O padrão usa o sistema binário e dois formatos para representa¸cão de números podem ser adotados: precisão

simples eprecisão dupla. Neste formato um número é

representado de forma normalizadapor

±1.d1d2. . .dn×2e

• Em precisão simples um número real é representado por 32 bits, sendo que:

• 1 bit para o sinal • 8 bits para o expoente • 23 bits para a mantissa • formato bin´ario

± e1e2. . .e8 d1d2. . .d23

• O primeiro bit à esquerda do ponto binário, isto éd0 = 1,

(69)

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Inteiros

Reais

Expoente

• Nesse formato, o expoente não é representado como um inteiro via complemento a dois. Os oito bits do expoente armazenam o número s =e+ 127.

• Exemplos:

e= 1 _⇒ s = 1 + 127 = (128)10= (10000000)2

e=₋3 _⇒ s =₋3 + 127 = (124)10= (01111100)2

e= 52 _⇒ s = 52 + 127 = (179)10= (10110011)2

• Em particular as sequˆencias de bits (00000000) e

(70)

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Inteiros

Reais

Mantissa

• Como o sistema ´e normalizado temosd0 6= 0. Dado que a

base é dois, a única possibilidade para o primeiro d´ıgito será sempre igual a 1, e portanto este bit não precisa ser armazenado, por isso é chamado de bit escondido.

• Com o uso desta normaliza¸c˜ao temos um ganho na precis˜ao, pois a mantissa passa a ser representada com 24 bits (23 + 1 bit escondido).

• Exemplo: (0.125)10= (0.001)2 = 1.0×2−3 ´e armazenado

como:

0 01111100 0000000 00000000 00000000

(71)

Num´erico -UFJF

Inteiros

Reais

Ponto flutuante IEEE 754

• O zero ´e representado com zeros para expoente e mantissa

0 00000000 0000000 00000000 00000000

• Os valores +_∞ e _−∞s˜ao representados por

0 11111111 0000000 00000000 00000000

1 11111111 0000000 00000000 00000000

• Se a sequência de bits para o expoente for composta por todos d´ıgitos iguais a um e a da mantissa for não nula, isto é:

1 11111111 xxxxxxx xxxxxxxx xxxxxxxx

temos a ocorrência de NaN: Not a Number, que representam expressões inválidas como:

(72)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto flutuante

No¸c˜oes b´asicas sobre erros

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

(73)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto

flutuante

• Adi¸cão/subtra¸cão: quando dois números em ponto

flutuante são somados (ou subtra´ıdos), é preciso alinhar as casas decimais do número de menor expoente para a direita até que os expoentes fiquem iguais.

(74)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto

flutuante

• Adi¸cão/subtra¸cão: quando dois números em ponto

flutuante são somados (ou subtra´ıdos), é preciso alinhar as casas decimais do número de menor expoente para a direita até que os expoentes fiquem iguais.

• Os resultados devem ser truncados ou arredondados dependendo da maquina

Exemplo

Seja uma maquina utilizandoF(10,2,₋5,5) realize a opera¸c˜ao: 0,12_×101+ 0,5_×10−1

0,12_×101+ 0,005_×101

(75)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto

flutuante

• Multiplica¸cão/divisão: nessa opera¸cão realizamos o

produto (ou divis˜ao) das mantissas e o expoente final da base ´e obtido, somando (subtraindo) os expoentes de cada parcela.

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Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto

flutuante

• Multiplica¸cão/divisão: nessa opera¸cão realizamos o

produto (ou divis˜ao) das mantissas e o expoente final da base ´e obtido, somando (subtraindo) os expoentes de cada parcela.

• Os resultados devem ser truncados ou arredondados dependendo da maquina

Exemplo

Seja uma maquina utilizandoF(10,2,₋5,5) realize a opera¸c˜ao: 0,53_×102_×0,2_×10−1

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Exemplo: Adi¸c˜ao

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Exemplo: Adi¸c˜ao

Adicionar 4.32 e 0.064 em uma m´aquina com mantissa t = 2 e base 10.

Solu¸c˜ao

4.32 + 0.064 = 0.43_×101+ 0.64_×10−1

= 0.4300_×101

+ 0.0064_×101 = 0.4364_×101

Truncamento _→0.43_×101

(79)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Exemplo: Subtra¸c˜ao

(80)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Subtrair 371 de 372 em uma m´aquina com mantissat = 2 e base 10.

Solu¸c˜ao

372₋371 = 0.37_×103+ 0.37_×103 = 0.37_×103

(81)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Subtrair 371 de 372 em uma m´aquina com mantissat = 2 e base 10.

Solu¸c˜ao

372₋371 = 0.37_×103+ 0.37_×103 = 0.37_×103

−0.37_×103 = 0.00_×103

A subtra¸c˜ao deu 0 em vez de 1. Problema na subtra¸c˜ao

(82)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Exemplo: Multiplica¸c˜ao

Multiplicar 1234 por 0.016 em uma m´aquina com mantissa

(83)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Exemplo: Multiplica¸c˜ao

Multiplicar 1234 por 0.016 em uma m´aquina com mantissa

t= 2 e base 10.

Solu¸c˜ao

1234_∗0.016 = 0.12_×104_∗0.16_×10−1

= 0.12_×104

∗0.16_×10−1

= 0.0192_×103 = 0.19_×102

(84)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Exemplo: Divis˜ao

(85)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas

Exemplo: Divis˜ao

Dividir 0.00183 por 492 em uma m´aquina com mantissa t= 2 e base 10.

Solu¸c˜ao

0.00183_÷492 = 0.18_×10−2

÷0.49_×103 = 0.18_×10−2

÷0.49_×103 = 0.3673_×10−5

Arredondamento_→0.37_×10−5

(86)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto

flutuante

´

E importante observar que algumas propriedades aritm´eticas como

associatividade: (a+b) +c =a+ (b+c) distributividade: a(b+c) =ab+ac

(87)

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Inteiros Reais

Exemplo

Considere um sistema com baseβ e três d´ıgitos na mantissa, ou seja,F(10,3,L,U). Considere ainda que o sistema trabalha com arredondamento após cada uma das opera¸cões efetuadas.

a) (11.4 + 3.18) + 5.05 e 11.4 + (3.18 + 5.05)

(88)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto

flutuante

a) (11.4 + 3.18) + 5.05

0.1140_×102 + 0.0318_×102 = 0.1458_×102 = 0.146_×102 (arr.)

0.1460_×102 + 0.0505_×102 = 0.1965_×102 =0.197_×102 (arr.)

a) 11.4 + (3.18 + 5.05)

0.318_×101 + 0.505_×101 = 0.823_×101

(89)

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Inteiros Reais

Opera¸c˜oes aritm´eticas em ponto

flutuante

Solu¸c˜ao do Exemplo (cont.)

b) 5.55(4.45₋4.35)

0.445_×101

−0.435_×101 = 0.010_×101 0.555_×101

∗0.100_×100 = 0.055500_×101 =0.555

b) 5.55_∗4.45₋5.55_∗4.35

0.555×101 ∗0.445×101 = 0.246975×102 = 0.247×102

0.555×101 ∗0.435×101 = 0.241425×102 = 0.241×102

(90)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Exerc´ıcios

1 Seja um sistema de aritm´etica de ponto flutuante de

quatro d´ıgitos na mantissa, base decimal e que usa o arredondamento. Dados os n´umeros:

x= 0.9370_×104 y = 0.1272_×102

efetue as opera¸c˜oes: x+y e x_×y.

2 Sejam os seguintes n´umeros x = 0.5289, y = 0.8012 e z =

0.6024, e considere um sistema de ponto flutuante com mantissa de 4 d´ıgitos e base decimal. Mostre que:

(91)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Conte´udo

1 Introdu¸c˜ao

Inteiros Reais

(92)

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Inteiros Reais

Erro absoluto

Se ˜x é uma aproxima¸cão de x, o erro absoluto é definido por

EA(˜x) =_|x₋x˜_|

Exemplo

Sejax= 1428.756. Em uma m´aquina com mantissat = 4, usando arredondamento e truncamento, respectivamente, temos

˜

xt = 0.1428×104 ⇒ EA( ˜xt) = 0.756×100

˜

(93)

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Inteiros Reais

Erro relativo

O erro relativo ´e definido por

ER(˜x) = x−x˜ ˜

x =

EA(˜x) ˜

x

dado que ˜x₆= 0.

Exemplos:

x1 = 1000.5, x˜1 = 1000.6

x₂= 10.5, x˜₂ = 10.6 _⇒ EA( ˜xi) = 0.1,i = 1,2

ER( ˜x₁) = 0.1

1000.6 ≈0.00009994 = 0.9994×10

−4

ER( ˜x₂) = 0.1

10.6 ≈0.009433 = 0.9433×10

(94)

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Inteiros Reais

Erros

• Al´em dos erros causados pela representa¸c˜ao no

computador e pelas opera¸cões aritméticas, existem certos efeitos numéricos que contribuem para aumentar os erros introduzidos.

(95)

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Inteiros Reais

Exemplo: Somar ou subtrair um

n´umero pequeno e um grande

Para exemplificar considere um sistemaF(10,4,L,U).

Exemplo

Somar 0.1 e 5000.

0.1 + 5000 = 0.1000_×100+ 0.5000_×104 = 0.00001_×104

+ 0.50000_×104 = 0.50001_×104

(96)

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Inteiros Reais

Cancelamento

Subtraimos dois n´umeros quase iguais, ou quando somamos n´umeros de sinais opostos mas de magnitudes semelhantes

Exemplo

Calcular√37₋√36 em uma m´aquina F(10,4,L,U) usando arredondamento.

Para efeitos de compara¸c˜ao, apresentamos a resposta exata aqui:

√

37₋√36 = 6.08276253₋6 = 0.08276253.

Nessa m´aquina temos

√

37 = 6.08276253 _→ 0.6083_×101

√

(97)

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Inteiros Reais

Cancelamento

Solu¸c˜ao do Exemplo - (cont.) • Efetuando a subtra¸c˜ao temos

0.6083_×101

−0.6000_×101

(98)

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Inteiros Reais

Cancelamento

0.6083_×101

−0.6000_×101

= 0.0083_×101 = 0.8300_×10−1

• A resposta exata ´e 0.8277_×10−1

→ perda de d´ıgitos significativos!

(99)

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Inteiros Reais

Cancelamento

0.6083_×101

−0.6000_×101

= 0.0083_×101 = 0.8300_×10−1

• A resposta exata ´e 0.8277_×10−1

→ perda de d´ıgitos significativos!

• E poss´ıvel obter um resultado mais preciso? Sim, basta´ considerar que

√

x₋√y =√x₋√y(

√_x

+√y)

√

x+√y =

x₋y

√

(100)

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Inteiros Reais

Cancelamento

Solu¸c˜ao do Exemplo - (cont.)

Portanto para _√

37₋√36

temos

x₋y

√

x+√y =

37₋36

√

37 +√36 =

1

0.6083_×101_{+ 0}_.₆₀₀₀_×₁₀1

= 1

0.1208_×102

= 0.08278145 = 0.8278_×10−1

(101)

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Inteiros Reais

Propaga¸c˜ao do erro

Problemas numéricos não ocorrem apenas quando dois números quase iguais são subtra´ıdos. Também ocorrem no cálculo de uma soma, quando uma soma parcial é muito grande se comparada com o resultado final. Considere que:

s =

n X

k=1 ak

seja a soma a ser computada e que osak podem ser positivos

ou negativos e de diferentes magnitudes. O c´alculo ´e usualmente feito da seguinte forma:

s1=ak, sk =sk−1+ak, k = 2,3, . . . ,n

(102)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Propaga¸c˜ao do erro

Exemplo

Considere uma m´aquinaF(10,4,L,U) com truncamento. Vamos efetuar a seguinte opera¸c˜ao:

S =

4 X

i=1

(xi+yi) com xi = 0.46709, e yi = 3.5678

Parai = 1, temos

(x1+y1) = 0.4034×101

E o erro absoluto ´e

(103)

Num´erico -UFJF

Inteiros Reais

Propaga¸c˜ao do erro

Exemplo (cont.)

Parai = 2, temos

(x1+y1) + (x2+y2) = 0.8068×101 EA( ¯S) =_|8.07138₋8.068_|= 0.00338

Parai = 3, temos

(x1+y1) + (x2+y2) + (x3+y3) = 0.1210×102 EA( ¯S) =_|12.10707₋12.10_|= 0.00707

Parai = 4, temos

(x1+y1) + (x2+y2) + (x3+y3) + (x4+y4) = 0.1613×102 EA( ¯S) =_|16.14267₋16.13_|= 0.01276