QuimQuantCap1 (Introdução à Mecânica Quântica)[Aulas]

(1)

Pós-Graduação em Química

Química Quântica Avançada

Introdução à Mecânica Quântica

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2 Otávio Santana

Otávio Santana

Introdução à Mecânica Quântica Introdução à Mecânica Quântica

• CONTEÚDO

– Introdução à Mecânica Quântica:

• Quantização da Energia e Dualidade Onda-Partícula: Radiação do Corpo Negro, Efeito Fotoelétrico, Átomo de Bohr; Princípios da Mecânica Quântica: Função de Onda e sua Interpretação, Operadores, Autofunções e Autovalores, Superposições e Valores Esperados, Observáveis Complementares e Forma Geral do Princípio da Incerteza; Aplicações a Microssistemas-Modelo: Partícula Livre, Partícula na Caixa, Oscilador Harmônico, Rotor Rígido.

– Estrutura Eletrônica de Átomos Hidrogenoides. – Estrutura Eletrônica de Átomos Multi-Eletrônicos.

Programa da Disciplina: Conteúdo

Parte 1 Parte 2 Parte 3

Cont. Parte 4

Otávio Santana

• Mecânica Clássica:

–Trajetórias:Trajetórias:

• É possível prever com exatidão/precisão posições e velocidades (momentos) de partículas em qualquer instante.

–Energias:Energias:

• É possível modificar arbitrariamente qualquer modo de movimento (translação, rotação, vibração...) a partir da aplicação de forças. –Sistemas Microscópicos?Sistemas Microscópicos?

➔Estas observações não são válidas para sistemas microscópicos! ➔Nestes casos, é preciso outra abordagem: Mecânica QuânticaMecânica Quântica. Introdução

(2)

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

–1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos:

• Todo corpo, qualquer que seja o material do qual seja feito, absorve e emite radiação eletromagnética.

• Em baixas temperaturas os corpos emitem a maior parte da radiação na região do infravermelho.

• Como aumento da temperatura passam a emitir luz visível: vermelho branco azulado (baixas freqs. altas frequências).→ → • A emissão depende da superfície, do tipo de material e,

principalmente, da temperatura.

• O caso mais simples é o de um corpo negrocorpo negro, um corpo capaz de absorver toda a radiação incidente.(*)

(*) Um corpo negro é uma idealização!

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

➔Relação: ν = c/λ. Introdução

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

➔Em altas temperaturas os corpos

passam a emitir radiação na região visível do espectro eletromagnético.

(3)

Otávio Santana

–1. Radiação dos Corpos:1. Radiação dos Corpos: Radiação de Corpo Negro

• O que mais se aproxima da definição de corpo negro é uma cavidade isotérmica com

uma pequena abertura.

➔A experiência mostra que

a abertura por onde a radiação escapa fica clara a medida que a temperatura aumenta, aproximando-se do branco em temperaturas elevadas. 8 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A dependência da radiação emitida por um corpo negro com a temperatura é mostrada ao lado:

➔A figura se refere à distribuição de energia ρ(λ,T), que é uma função do comprimento de onda e da temperatura. (Unidade: J/m4₎

➔A distribuição de energia ρ(λ,T) está

relacionada à densidade de energia Є(λ,T), a energia na cavidade por unidade de volume da cavidade. (Unidade: J/m3₎ Introdução 9 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A dependência da radiação emitida por um corpo negro com a temperatura é mostrada ao lado:

➔A figura se refere à distribuição de energia ρ(λ,T), que é uma função do comprimento de onda e da temperatura. (Unidade: J/m4₎

➔A densidade de energia Є, por sua vez,

é proporcional à emitância/excitância M, a energia emitida por unidade de área (do orifício) e unidade de tempo. (Unidade: J/m2_{s)[intensidade]}

(4)

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• Leis Empíricas:

➔Lei de Stefan_{Lei de Stefan}(*)_-Boltzmann_-Boltzmann(**)_:

Formulação de uma expressão para a densidade Є e emitância M: (quantidades totais, independentes de λ)

➔Lei do Deslocamento de WienLei do Deslocamento de Wien(***):

Formulação de uma expressão para o máximo da distribuição λmax:

Є = aT

4

⇔

M = σ T

4 Constante de Stefan-Boltzmann

σ

(exp)

=

5,67×10⁻ ⁸Wm⁻²K ⁻ ⁴

T λ

max

=

1

5 c

2 2a Constante de Radiação

c

2 (exp)

₌

_{1,44cm K}

(*) _{Joseph Stefan, físico alemão (procedimento empírico, 1897).} (**)_{Ludwig Boltzmann, físico austríaco ( procedimento termodinâmico, 1884).} (***) Wilhelm Wien, físico alemão (procedimento empírico, 1893).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A explicação da radiação de corpo negro foi um dos desafios mais perturbadores para os físicos do final do século 19.

• Rayleigh(*)_{e Jeans}(**)_{consideraram que a radiação era produzida}

por osciladores (elétrons) com todas as frequências ν possíveis. • A partir do princípio da equipartição , calcularam a energia média

de cada oscilador como sendo kBT, do qual obtiveram:

Introdução

(*) Lorde Rayleigh (John William Strutt) , físico inglês (1842-1919).

(**)_{Sir James Hopwood Jeans, matemático, astrônomo e físico inglês (1877-1933).}

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

Distribuição de Energia

ρ( λ

,T ) =

8π k

B

T

λ

4 12 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• Segundo a expressão obtida por Rayleig e Jeans, ρ aumenta indefinida-mente nas altas frequências (pequeno λ).

➔Este resultado é conhecido como a catástrofe do ultra-violeta . Introdução

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

Distribuição de Energia

ρ( λ

,T ) =

8π k

B

T

λ

4

(5)

Otávio Santana

• Plack(*)_{, admitindo que os osciladores só}

poderiam assumir valores discretos de energia E = nhν (n = 0, 1, 2, …), obteve a expressão: ➔Este resultado está de acordo com a

observação experimental, com a constante h determinada pelo ajuste com os dados experimentais.

(*) Marx Planck, físico alemão (1858-1947).

ρ( λ

,T ) =

8 π hc

λ

5

(

e

hc /λ kBT

₋₁₎

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

Distribuição de Energia 14 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A distribuição de Planck também explica as leis empíricas de Stefan-Boltzmann e de Wien.

➔A primeira se deduz da integração da densidade de energia sobre

todo o intervalo de comprimentos de onda:

➔A substituição dos valores das constantes fundamentais fornece: Introdução

Є =

∫

0 ∞

ρ( λ

,T )d λ = aT

4

_{, a = 4σ}

c

, σ =

2π

5

_k

B

T

15c

2

_h

3 Constante de Stefan-Boltzmann

σ

(teor)

=

5,6704× 10⁻⁸ Wm⁻² K ⁻ ⁴

Excelente concordância com o valor experimental

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A distribuição de Planck também explica as leis empíricas de Stefan-Boltzmann e de Wien.

➔A segunda se deduz determinando-se o comprimento de onda para

o qual dσ/dλ = 0 (admitindo-se que λ <<hc/kT):

➔A substituição dos valores das constantes fundamentais fornece: Introdução

T λ

_max

=

1

5 (

hc

k

_B

)

, c

2(teor )

=

hc

k

_B 2a Constante de Radiação

c

2 (teor)

=

1,439 cm K

(6)

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

–2. Capacidades Caloríficas:2. Capacidades Caloríficas:

• No início do século 19 as capacidades caloríficas de muitos sólidos monoatômicos foram determinadas.

• A lei empírica de Dulong(*)_-Petit(**)_{afirmava, até então, que a}

capacidade destes sólidos era, aproximadamente, 25 J ·K-1_mol-1_.

➔De acordo com a física clássica e do princípio da equipartição, a

energia média de um átomo devido a uma vibração é kBT.

➔Como cada átomo oscila independentemente em três dimensões, a

energia média total por átomo devida à vibração é 3 kBT.

(*)_{Pierre Louis Dulong, físico francês (1785-1838).} (**) Alexis Thérèse Petit, físico francês (1791-1820).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• No início do século 19 as capacidades caloríficas de muitos sólidos monoatômicos foram determinadas.

• A lei empírica de Dulong(*)_-Petit(**)_{afirmava, até então, que a}

capacidade destes sólidos era, aproximadamente, 25 J ·K-1_mol-1_.

➔Portanto, da energia média total devida às vibrações para um mol

de átomos e da definição de capacidade calorífica:

de modo que CV,m ≈ 24,9 J·K

-1_mol-1_{, o que concorda bem com os}

dados experimentais. Introdução

U

m

=

3N

A

k

B

T = 3 RT ⇒ C

V , m

=

(

∂

U

m

∂

T

)

V

=

3R

23 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• No entanto, verificou que as capacidades caloríficas de todos os metais não é constante, tendendo a zero quando T 0!→ • Para explicar o comportamento nas baixas temperatura, em 1905

Einstein(*)_{retomou a hipótese de Planck:}

➔_{Assumindo que cada átomo oscile em torno da posição de}

equilí-brio com uma única frequência ν e energias E = nhν (n = 0, 1, …):

para a qual f(T) 1 quanto → T → ∞, e f(T) 0 quanto → T → 0, o que está de acordo com resultados experimentais.

Introdução

U

_m

=

3N

A

hν

e

h ν/kBT

−1

⇒

C

_{V ,m}

=

(

∂

U

m

∂

T

)

V

=

3R·f (T )

2

(7)

Otávio Santana

• No entanto, verificou que as capacidades caloríficas de todos os metais não é constante, tendendo a zero quando T 0!→

➔A expressão de Einstein erra nos detalhes,

devido a consideração de uma única frequência, mas não no essencial: é preciso considerar a quantização da energia!

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

–3. Espectros Atômicos e Moleculares:3. Espectros Atômicos e Moleculares:

• A manifestação mais significativa da quantização da energia: absorção e emissão de radiação por átomos e moléculas.

Introdução

Radiação de Corpo Negro

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A manifestação mais significativa da quantização da energia: absorção e emissão de radiação por átomos e moléculas.átomos

(8)

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• A manifestação mais significativa da quantização da energia: absorção e emissão de radiação por átomos e moléculasmoléculas.

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• Quando uma descarga elétrica passa através de hidrogênio gasoso, as moléculas se dissociam e os átomos emitem radiação discreta.

Introdução

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• O estudo do espectro produzido por chamas e descargas em gases e vapores metálicos é feito desde 1880: espectroscopiaespectroscopia. • Os espectros atômicos ainda são importantes devido a aplicações

na determinação da composição de materiais (ex.: estrelas).

➔_{O espectro do hidrogênio é o mais simples, sendo conhecidos}

diverso grupos de linhas: séries de Lyman, Balmer, Paschen, …

➔_{Em 1889, Rydberg}(*)_{propôs, a partir dos dados experimentais,}

uma fórmula geral para as linhas de emissão do hidrogênio:

Introdução

(*)_{Johanes Robert Rydberg, físico sueco (1854-1919).}

1 λ

=

R

H

(

1 n

f2

−

1 n

i2

)

R

_H(exp)

₌

_{1,09678× 10⁻⁷ m⁻¹}

(9)

Otávio Santana

• O estudo do espectro produzido por chamas e descargas em gases e vapores metálicos é feito desde 1880: espectroscopiaespectroscopia. • Os espectros atômicos ainda são importantes devido a aplicações

na determinação da composição de materiais (ex.: estrelas).

➔O espectro do hidrogênio é o mais simples, sendo conhecidos

diverso grupos de linhas: séries de Lyman, Balmer, Paschen, …

➔As diferentes séries conhecidas são obtidas a partir do ajuste do

parâmetro nf (com ni > nf):

nf = 1: Série de Lyman (ultravioleta)

nf = 2: Série de Balmer (visível)

nf = 3: Série de Paschen (infravermelho)

1 λ

=

R

H

(

1 n

_f2

−

1 n

_i2

)

• Observações Experimentais Cruciais:

–3. Espectros Atômicos e Moleculares:3. Espectros Atômicos e Moleculares: Modelo de Bohr

• A equação de Rydberg pôde ser explicada a partir de um modelo simples proposto, em 1913, por Bohr(*)_{, cujos postulados são:}

1.No átomo de hidrogênio, o elétron se move em órbitas circulares, com momento angular múltiplo inteiro de ћ = h/2π.

2.Diferente do previsto pelo eletromagnetismo clássico, o elétron não irradia energia enquanto descreve o movimento circular. 3.O elétron salta de uma órbita para outra absorvendo ou emitindo

energia na forma de radiação de frequência ν = ΔE/h.

➔Esta última equação é obtida da relação de Planck E = nhν, e a

frequência assim obtida é chamada de frequência de Bohr .

Introdução

(*)_{Niels Bohr, físico dinamarquês (1885-1919).}

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

–3. Espectros Atômicos e Moleculares:3. Espectros Atômicos e Moleculares: Modelo de Bohr

• A equação de Rydberg pôde ser explicada a partir de um modelo simples proposto, em 1913, por Bohr.

➔A partir deste modelo, pôde-se prever os níveis quantizados de

energia para o átomo de hidrogênio:

a partir do qual pôde-se obter um valor teórico para a constante de Rydberg RH (Z = 1):

Introdução

R

_H(teor)

₌

_{1,09737×10⁻⁷ m⁻¹}

E

_n

= −

(

Z

2

_e

4

_m

e

32 π

2

_ε

0 2

_ℏ

2

)

1 n

2

≈ −(13,6 Z

2

₎

1 n

2

eV

(10)

Otávio Santana

• Conclusões Importantes:

–Quantização da Energia:Quantização da Energia:

• Radiação de Corpo Negro, Capacidades Caloríficas, Espectros Atômicos e Moleculares.

–Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.:Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.:

• Efeito Fotoelétrico, Espalhamento Compton.

–Comportamento Ondulatório da Matéria:Comportamento Ondulatório da Matéria:

• Difração de Elétrons. D u al id ad e O n d a-P ar tí cu la 48 Otávio Santana Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

–4. Efeito Fotoelétrico:4. Efeito Fotoelétrico: Caráter Corpuscular da Radiação

• A radiação eletromagnética de frequência ν possui somente valores de energia múltiplos de hν.

• Esta observação levou Einstein(*)_{a sugerir, em 1905, que a}

radiação seja composta de partículas de energia hν: fótons.

➔Segundo este modelo, a intensidade da radiação está associada ao

número de fótons emitidos pela fonte.

➔O caráter corpuscular se manifesta apenas na interação da

radiação com a matéria.

• A propagação ocorre com intensidades dadas pela amplitude da onda eletromagnética associada: difração e interferência.

Introdução

(*)_{Albert Einstein, físico alemão (1879-1955).}

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• Forte indício para a validade da hipótese de Einstein(*)_{é fornecida}

pelo efeito fotoelétrico.

• Este efeito corresponde a emissão de elétrons da superfície de um metal quando exposto à radiação ultravioleta, para o qual: 1.Não se observa emissão sob qualquer intensidade, a menos que a

radiação possua frequência superior a certo valor crítico; 2.A energia dos elétrons emitidos cresce com a frequência da

radiação incidente, e independente da intensidade da radiação; 3.Mesmo sob baixa intensidade, os elétrons são emitidos

imediatamente após a incidência da radiação.

Introdução

(11)

Otávio Santana

• Estas observações sugerem que a ejeção do elétron ocorre quando este colide com uma partícula.

• A partícula colidente deve ter energia suficiente para arrancar o elétron do metal.

➔Se admitirmos que a partícula tem energia hν e que Ф seja a

energia mínima para remover o elétron (função trabalho), então:

onde EK é a energia cinética do elétron ejetado pela incidência da

radiação de frequência ν: equação de uma reta em ν!

E

K

=

1

2 m

e

v

2

=

hν − Φ

• Observações Experimentais Cruciais:

–4. Efeito Fotoelétrico:4. Efeito Fotoelétrico: Caráter Corpuscular da Radiação Introdução

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

–5. Efeito Compton:5. Efeito Compton: Caráter Corpuscular da Radiação

• Apesar do modelo de Einstein explicar o efeito fotoelétrico, a ideia de “partículas de luz” não foi prontamente aceita.

• O efeito (ou espalhamento) Compton(*)_{, no entanto, forneceu a}

comprovação de que o quantum de luz é uma partícula.

Introdução

(12)

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

–5. Efeito Compton:5. Efeito Compton: Caráter Corpuscular da Radiação

• Apesar do modelo de Einstein explicar o efeito fotoelétrico, a ideia de “partículas de luz” não foi prontamente aceita.

• O efeito (ou espalhamento) Compton(*)_{, no entanto, forneceu a}

comprovação de que o quantum de luz é uma partícula.

➔Devido as leis de conservação (energia e momento), a variação do

comprimento de onda entre o fóton incidente e o espalhado é:

onde me é a massa do elétron e θ ângulo de espalhamento:

θ > 0 ⇒ Δλ > 0 Aumento no comprimento da onda espalhada.≡

(*) Arthur Compton, físico americano (1892-1962).

E

fóton

=

hν =

hc

λ , p

fóton

=

h

λ ⇒ Δ λ =

h

m

e

c

(1−cos θ)

• Observações Experimentais Cruciais:

–6. Difração de Elétrons:6. Difração de Elétrons: Caráter Ondulatório da Matéria

• A partir de 1923, de Broglie(*)_{apresentou uma série de trabalhos}

sobre a teoria dos quanta (plural de quantum) de energia.

➔Estes trabalhos foram fundamentais para o surgimento da mecânica quântica (ondulatória) .

➔A hipótese central de seu trabalho era a de que poderia haver uma

simetria mais ampla no comportamento dual onda-partícula.

➔Se ondas podem se comportar como partículas, poderiam

partículas se comportar como ondas, segundo as equações:

Introdução

(*)_{Louis de Broglie, físico francês (1892-1987).}

E = hν ⇔ ν =

E

h

, p =

h

λ

⇔

λ =

h

p

?

• Observações Experimentais Cruciais:

➔De Broglie apresentou evidências de suas ideias aplicando

conceitos ao modelo de Bohr para o átomo de hidrogênio.

➔Notou-se que a condição de quantização do momento angular

proposto por Bohr corresponderia a uma onda estacionária.

➔Das relações de simetria, estima-se o comprimento de onda do

elétron em um átomo de hidrogênio é dado por:

Introdução

λ =

h

(−2m

_e

E

_n

)

1/2

≈

3,3 Å , n = 1

(13)

Otávio Santana

➔O comprimento de onda de elétrons acelerados por uma diferença

de potencial V é dado por:

λ =

h

(2 m

_e

eV )

1/2

≈

6,1pm , V = 40 kV

(*) Louis de Broglie, físico francês (1892-1987).

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

➔1º caso: λ da ordem de grandeza do diâmetro atômico.

2º caso: λ da ordem das distâncias interatômicas em cristais.

Introdução

(*)_{Louis de Broglie, físico francês (1892-1987).}

λ =

h

(2 m

_e

eV )

1/2

≈

6,1pm , V = 40 kV

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• Davisson(*)_{, Germer}(**)_{(em 1925) e Thomson}(***)_{(em 1927)}

observaram a difração de elétrons em metais cristalinos.

➔A difração é um efeito relacionado a ondas, devido a interferência

que ocorre da sobreposição de máximos e mínimos da onda .

➔Quando máximos se sobrepõem: interferência construtiva;

quando máximos e mínimos se sobrepõem: interf. destrutiva.

➢11aa observação observação (1925): interferência devido a reflexão entre

diferentes planos do cristal.

2

2aa_observação_{observação (1927): interferência em um feixe de elétrons que}

atravessa uma fina folha de ouro.

Introdução

(*) Clinton Davisson, físico americano (1881-1958).

(**) Lester Germer, físico americano (1896-1971).

(14)

Otávio Santana

• Observações Experimentais Cruciais:

• Davisson(*)_{, Germer}(**)_{(em 1925) e Thomson}(***)_{(em 1927)}

observaram a difração de elétrons em metais cristalinos.

(*)_{Clinton Davisson, físico americano (1881-1958).} (**)_{Lester Germer, físico americano (1896-1971).} (***) George Thomson, físico inglês (1892-1975).

Otávio Santana

• Conclusões Importantes:

–Quantização da Energia:Quantização da Energia:

• Radiação de Corpo Negro, Capacidades Caloríficas, Espectros Atômicos e Moleculares.

–Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.:Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromag.:

• Efeito Fotoelétrico, Espalhamento Compton.

–Comportamento Ondulatório da Matéria:Comportamento Ondulatório da Matéria:

• Difração de Elétrons. Introdução D ua lid a d e O n d a -P a rt íc u la 81 Otávio Santana Otávio Santana

• Conclusões Importantes:

–Relações de Planck-Einstein:Relações de Planck-Einstein:

•

➔Quantização da Energia

•

➔Comportamento Corpuscular da Radiação Eletromagnética

Introdução

E = hν = ℏ ω

Energia do fóton [Planck ]

⃗

p = ℏ ⃗k ⇔ | ⃗k | = 2 π

_λ

Vetor de Onda

[Einstein ]

| ⃗p| = ℏ |⃗k | =

(

h 2π

)

(

2π

(15)

Otávio Santana

Fim da Parte 1

Introdução à Mecânica Quântica

Otávio Santana

• Mecânica Clássica:

– A descrição do movimento é determinísticadeterminística: Trajetórias e energias perfeitamente definidas.

➔ Eq. de Movimento (Newton, séc. 1687): F = m·a → r = f(t)

➢

Ex.: Partícula em um Campo Gravitacional

Dinâmica de Sistemas Microscópicos

F = −mg , x (t

0

) =

x

0

, v (t

0

) =

v

0

∴ F = m

(

d ² x

dt ²

)

= −

mg ⇒

d ² x

dt ²

= −

g

∴ v (t ) =

dx

dt

= −

gt + c

1,

v

0

=

c

1

∴ x(t) = v

0

t − 1

₂

gt

2

+

c

2

⇒

v (t ) = v

0

−

g t

⇒

x (t ) = x

0

+

v

0

t − 1

₂

g t

2 84 Otávio Santana Otávio Santana

• Mecânica Clássica:

➢

Ex.: Partícula em um Campo Gravitacional

F = −mg , x (t

₀

) =

x

₀

, v (t

₀

) =

v

₀

∴ F = m

(

d ² x

dt ²

)

= −

mg ⇒ d ² x

dt ²

= −

g

∴ v (t ) =

dx

dt

= −

gt + c

1,

v

0

=

c

1

⇒

v (t ) = v

0

−

g t

∴ x (t) = v

0

t −

1

2 gt

2

+

c

2

∴ T (v ) =

1

2 mv ²(t)

(16)

Otávio Santana

• Mecânica Clássica:

➢

Ex.: Partícula em um Campo Gravitacional

∴ V (x ) = −

∫

F ( x)dx

∴ V (x ) = −

∫

(−

mg)dx = mgx (t ) + c

∴ V ( x=0) = 0 ⇒ c = 0

⇒

V ( x) = mgx (t )

⃗

∇

V (⃗r ) = − ⃗F (⃗r) ⇒

d

dx

V ( x) = −F (x )

• Mecânica Clássica:

➢

Ex.: Partícula em um Campo Gravitacional

E = T + V = ½ mv ² + mgx

=

½ m v

02

+

mgx

0

⇒

Constante: Energia Inicial

=

½ m(v

0 2

−

2 v

0

gt + g

2

_t

2

) +

mg (x

0

+

v

0

t − ½ gt

2

)

=

½ m(v

0

−

gt )² + mg(x

0

+

v

0

t − ½ gt

2

)

• Mecânica Clássica:

• Mecânica Quântica:

– A descrição do movimento é probabilísticaprobabilística:

Estado*_{descrito por uma função de onda.}

➔ Eq. de Onda (Schrödinger, séc. 1925): Função de Onda?

*_{O que inclui distribuição espacial e energia total.}

(17)

Otávio Santana

– 1º Postulado: O estado de um sistema microscópico é descrito por uma “função de onda” (ou “função de estado”)

Ψ(r,t), que depende das coordenadas espaciais r e do tempo t.

– 2º Postulado: A função de onda evolui no tempo segundo a “equação de Schrödinger dependente do tempo” (ou “equação de onda dependente do tempo”):

– 3º Postulado: Toda a informação mensurável (observável) sobre o sistema microscópico está contida na função de onda.

➔ Há outros postulados (e teoremas), os quais ainda veremos...

−

ℏ

2

2 m

∇

2

Ψ (⃗

r ,t ) + V (⃗r ,t ) Ψ (⃗r ,t ) = i ℏ ∂

∂

t

Ψ (⃗

r , t )

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

(*) – Determinação da função de onda de qualquer sistema.

(Postulado da Mecânica Quântica) – Equação Dependente do Tempo:

(Partícula de massa m e energia E dependente do tempo)

∇ ≡ Nabla | ∇2_{Nabla Dois ou Laplaciano}_≡ (**)

−

ℏ

2

2 m

∇

2

_{Ψ (⃗}

_{r ,t ) + V (⃗r ,t ) Ψ (⃗r ,t ) = i ℏ ∂}

∂

t

Ψ (⃗

r , t )

(*) Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, físico austríaco (1887-1961).

(**)_{Pierre Simon Marquis de Laplace, matemático, astrônomo e físico francês (1749-1827).}

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

(*) – Determinação da função de onda de qualquer sistema.

(Postulado da Mecânica Quântica) – Equação Independente do Tempo:

(Partícula de massa m e energia E independente do tempo)

∇ ≡ Nabla | ∇2_{Nabla Dois ou Laplaciano}_≡ (**)

−

ℏ

2

2 m

∇

2

_{ψ (⃗}

_{r ) + V (⃗r) ψ(⃗r ) = E ψ(⃗r)}

(*) Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger, físico austríaco (1887-1961).

(18)

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

–Operador Hamiltoniano Operador Hamiltoniano ĤĤ(*)

• A equação de onda pode ser escrita em uma forma compacta com a introdução do operador Ĥ. ➔Dependente do Tempo: ➔Independente do Tempo

^

H Ψ (⃗r , t ) = i ℏ ∂

∂

t

Ψ (⃗

r ,t )

H = −

^

ℏ

2

2 m

∇

2

₊

_{V (⃗r ,t )}

^

H

ψ

(⃗

r ) = E

ψ

(⃗

r )

H = −

^

ℏ

2

2 m

∇

2

₊

_{V (⃗r)}

(*) William Rowan Hamiltom, físico e matemático irlandês (1805-1865).

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

–Operador Hamiltoniano Operador Hamiltoniano ĤĤ(*)

• A equação de onda pode ser escrita em uma forma compacta com a introdução do operador Ĥ.

➔O ponto importante é que:O ponto importante é que:

1.O operador Ĥ atua sobre a função de onda ψ da mesma forma que uma derivada d/dx sobre qualquer função f(x).

Observe que a derivada d/dx é, também, um operador! 2.A equação de onda assume formas diferentes, dependendo do

sistema em consideração, em função do operador laplaciano ∇2_.

Por exemplo, no caso unidimensional: ∇2_{= d}2_/dx2_.

A forma final de Ĥ também depende do potencial V(r,t).

(*)_{William Rowan Hamiltom, físico e matemático irlandês (1805-1865).}

Otávio Santana

• Equação de Schrödinger (Erwin Schrödinger, 1926):

–Operador Laplaciano ∇Operador Laplaciano ∇22_{: Exemplos}_{: Exemplos}

1.Unidimensional: 2.Tridimensional: 3.Simetria Esférica:

∇2_Laplaciano_≡ (*)

Λ2_Legendriano_≡ (**)

∇2₌ d2 dx2 ∇2= ∂2 ∂x2+ ∂ 2 ∂y2+ ∂ 2 ∂z2

(*) Pierre-Simon Laplace, matemático e astrônomo francês (1749-1827).

(**)_{Adrien-Marie Legendre, matemático francês (1752-1833).}

∇2_{= ∂}2 ∂r2+ 2 r ∂ ∂r + 1 r2Λ 2 Λ2₌ 1 senθ ∂ ∂θ

(

senθ∂∂θ

)

+ 1 sen2_θ∂ 2 ∂φ2 = ∂2 ∂θ2+cotanθ∂∂θ+ _sen12_θ∂ 2 ∂φ2

(19)

Otávio Santana

–Significado da Função de Onda Significado da Função de Onda Ψ ➔_{Se a função de onda de uma partícula}

vale Ψ em um ponto x, então a proba-bilidade de se encontrá-la entre

x e x+dx é proporcional a |Ψ|2_dx. |Ψ|2_{dx Probabilidade}_≡ |Ψ|2 _≡_{Densidade de Probabilidade} Ψ ≡ Amplitude de Probabilidade |Ψ|2 _{= Ψ*Ψ} Ψ* = Complexo Conjugado de Ψ 101 Otávio Santana Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

–Significado da Função de Onda Significado da Função de Onda Ψ

➔Se a função de onda de uma partícula

vale Ψ em um ponto r, então a proba-bilidade em um volume infinitesimal

dτ é proporcional a |Ψ|2_dτ. |Ψ|2_{dτ Probabilidade}_≡ |Ψ|2 _≡_{Densidade de Probabilidade} Ψ ≡ Amplitude de Probabilidade |Ψ|2 _{= Ψ*Ψ} Ψ* = Complexo Conjugado de Ψ

Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

–Significado da Função de Onda Significado da Função de Onda Ψ ➔O sinal da função de onda em um

determinado ponto do espaço não possui significado físico direto. (A função pode mesmo ser complexa!)

➔Efeito indireto: possibilidade de

ocorrência do fenômeno de inter-ferência construtiva ou destrutiva. (Sobreposição de funções)

(20)

Otávio Santana

• Ex.#3: Interpretação da Função de Onda

– Para um elétron em um átomo de hidrogênio no estado de energia mais baixa, tem-se: ψ1s = e-r/a0, onde a0 é uma constante e r a distância elétron-núcleo. Calcule as probabilidades relativas de se encontrar o elétron em uma

região de volume 1,0 pm3_{localizado (a) no núcleo e (b) a uma}

distância a0 do núcleo.

Resp.: 7,4.

Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

–Normalização:Normalização:

• O operador Ĥ é linear, ou seja, atua em qualquer combinação linear de funções Ψi na forma:

➔Consequência: se Ψ for uma solução da equação, então qualquer Consequência:

função NΨ também será uma solução aceitável.

➔Solução: é sempre possível encontrar uma constante N que torne a _Solução:

interpretação de Born uma relação matemática bem definida.

➔_{Fundamentação: a probabilidade de encontrar a partícula em}_{Fundamentação:}

algum lugar, considerando todo o volume do espaço, é 1.

^

H (λ

1

Ψ

1

+

λ

2

Ψ

2

) =

λ

1

H Ψ

^

1

+

λ

2

H Ψ

^

2

Otávio Santana

• Interpretação de Born (Max Born, ~1920):

–Normalização:Normalização: ➔Definição:_Definição:

➔Procedimento:_{Procedimento:} Dinâmica de Sistemas Microscópicos

|N Ψ(⃗r ,t )|

2

_{d τ = (N Ψ}

*

₎₍

_{N Ψ)d τ}

≡

Probabilidade em ⃗r no instante t

∫

|N Ψ(⃗r ,t )|

2

_{d τ = N}

2

∫

Ψ

*

Ψ

d τ = 1 ⇒ N =

1 (∫

Ψ

*

Ψ

d τ

)

1/ 2

Integral em todo o espaço acessível a partícula

(21)

Otávio Santana

– Normalize a função de onda do orbital 1s para um elétron em um átomo de hidrogênio: ψ1s = e-r/a0.

Dados:

Resp.: N = (1/πa03)1/2. [N] = [Volume-1/2] = [Comprimento-3/2]

∫

0 ∞ xn_e−ax_{dx = n!} an+1 d τ = r2_{sen θdr d θ d φ} 114 Otávio Santana Otávio Santana

• Restrições às Funções de Onda:

–Condições:Condições:

1.A função de onda deve ser finita em todo o seu domínio. (A menos que seja infinita em um intervalo de largura nula) [Probabilidades finitas em cada ponto do espaço] 2.A função de onda deve ser unívoca.

(Ou seja, deve possuir apenas um valor em cada ponto do espaço) [Probabilidades unívocas em cada ponto do espaço]

3.A função de onda deve ser contínua e derivável. (De modo que a sua derivada segunda exista)

[Condição para a existência de solução da eq. de Schrödinger]

Otávio Santana

• Restrições às Funções de Onda:

–Condições:Condições:

1.A primeira restrição diz respeito ao fato de que a integral para a constante de normalização deve ser bem definida, não podendo ser nula ou infinita: a integral de | Ψ|2_{deve ser finita.}

2.A segunda está associada ao fato de que a probabilidade de localização de uma partícula em um ponto do espaço só pode assumir um valor.

3.A terceira é consequência de que a equação de Schrödinger é uma equação diferencial de segunda ordem, de modo que a segunda derivada de Ψ deve existir em todos os pontos do espaço.

➔Estas restrições são severas e levam a soluções que, em geral,

possuem energias quantizadas.

(22)

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

–Operadores, Autofunções & Autovalores:Operadores, Autofunções & Autovalores:

• Uma equação de autovalorequação de autovalor consiste em uma forma sistemática de extrair informações das funções de onda. Possuem a forma geral:

onde para cada autovalorautovalor corresponde uma autofunçãoautofunção. Autovalor = Valor próprio da função

• A equação de Schrödinger (independente de t) é um exemplo de equação de Schrödinger

equação de autovalor, uma vez que pode ser escrita nesta forma:

onde o autovalor E corresponde a energia total do estado descrito pela função de onda ψ, autofunção do operador Hamiltoniano Ĥ.

(Operador )(Função) = (Valor)

_⏟

Autovalor (Função)

⏟

Autofunção

^

H

ψ

( ⃗

r ) = E

ψ

(⃗

r )

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• Se Ω representar um operador qualquer, associado a um autovalor ω, então, no caso geral:

onde para cada autovalor ω corresponde uma autofunção Ψ. Nota: o índice “n” distingue diferentes soluções (valores/funções). • Qualquer propriedade física mensurável (“observável”) está

associada a um operador, segundo a relação:

Nota: autovalor = um dos possíveis resultados de uma medida.

^Ω

Ψ

n

(⃗

r ,t) =

ω

n

Ψ

n

(⃗

r , t )

(

Operador de um observável

)

(Autofunção) =

(

Valor do observável

)

(Autofunção) 121 Otávio Santana Otávio Santana

• Ex.#5: Identificação de uma Autofunção

– (a) Mostre que eax_{é uma autofunção do operador d/dx e}

encontre o seu autovalor.

(b) Mostre que eax2_{não é uma autofunção do operador d/dx.}

(23)

Otávio Santana

• Os operadores Ω, associados a diferentes propriedades físicas, são formados a partir dos operadores posição e momento linear:

➔Operador Energia Potencial (Harmônico) :_{Operador Energia Potencial (Harmônico)}

Operador Energia Cinética

Operador Energia Cinética :

^

x = x , ^p

_x

=

ℏ

i

d

dx

V = 1 2kx 2 ⇒ V = 1^ 2kx 2 EK= px 2 2 m ⇒ E^K=_2m1

(

ℏ i d dx

)(

ℏ i d dx

)

= − ℏ2 2m d2 dx2 ^ H = ^EK+ ^V 124 Otávio Santana Otávio Santana

• Ex.#6: Consistência do Operador Momento Linear

– (a) Mostre que o operador momento linear é consistente com a relação de de Broglie para uma partícula livre (V = 0) que se move em uma dimensão.

Dado:

(b) Qual o significado do sinal na exponencial?

Resp.: Questão teórica...

−ℏ 2 2m d2 ψ(x ) dx2 =E ψ(x ) ⇒ ψ(x ) = Ae +ikx +Be−ikx_{, E =}k2ℏ2 2 m 126 Otávio Santana Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• A forma do operador energia cinética fornece uma importante informação sobre a função de onda Ψ:

➔A energia cinética está

associada a curvatura da função de onda.

^EK= − ℏ2 2m

d2

(24)

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• A forma do operador energia cinética fornece uma importante informação sobre a função de onda Ψ:

➔A energia cinética está

associada a curvatura da função de onda. ^EK= − ℏ2 2m d2 dx2 129 Otávio Santana Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

–Superposições, Ortogonalidades & Valores EsperadosSuperposições, Ortogonalidades & Valores Esperados

• Se ψ não for uma autofunção de Ω, a propriedade associada ao operador não possui um valor definido.

• Esta situação ocorre quando ψ for uma combinação linear de autofunções do operador Ω com diferentes autovalores.(*)

➔As autofunções ψ

n do operador Ω formam um conjunto completo:conjunto completo

Qualquer função ψ pode ser escrita como uma combinação linear das autofunções ψn: {ψn} = conjunto de base.

n do operador Ω são ortogonais:ortogonais

Autofunções com autovalores diferentes são ortogonais; se “degeneradas” (autovalores iguais) podem ser ortogonalizadas.

(*)_{Autovalores Diferentes = Não-Degenerado.}

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• Se ψ não for uma autofunção de Ω, a propriedade associada ao operador não possui um valor definido.

• Esta situação ocorre quando ψ for uma combinação linear de autofunções do operador Ω com diferentes autovalores.(*)

n do operador Ω formam um conjunto completo:conjunto completo

➔As autofunções ψ_n do operador Ω são ortogonais:ortogonais Dinâmica de Sistemas Microscópicos

ψ

(⃗

r ) =

∑

n

c

n

ψ

n

∫

ψ

i *

ψ

jd

τ

=

δ

ij (Superposição ) (Ortonormalidade) (*)_{Autovalores Diferentes = Não-Degenerado.}

(25)

Otávio Santana

– (a) Mostre que ψ1 = sen(



/2) e ψ2 = sen(3



/2) são autofunções do operador d2_/d

_

2_{e encontre os autovalores.}

(b) Mostre que estas autofunções são ortogonais. Considere a

integração em todo o espaço da variável



(0 ≤



≤ 2π).

Dado:

se: a2_{≠ b}2_.

Nota: devido a periodicidade, o resultado é o mesmo a cada período 2π.

∫

sen(a φ)sen(bφ)d φ =sen[(a−b) φ]

2(a−b) − sen[(a+b)φ] 2(a+b) +const. 138 Otávio Santana Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

1.Em cada medida obtém-se um dos possíveis autovalores ωn,

correspondente a uma das autofunções ψn da superposição;

2.O valor médio de um grande número de medidas é dado pelo

valor esperado

valor esperado <Ω> do operador Ω:

3.A probabilidade de se obter o autovalor ωn é proporcional ao

quadrado do coeficiente da autofunção ψn (|cn|2).

Nota: assume-se que a função de onda ψ seja normalizada.

⟨

Ω

⟩ =

∫

ψ

*

Ω

^

ψ

d

τ

=

∑

n

| c

n

|

2

ω

n 141 Otávio Santana Otávio Santana

• Ex.#8: Cálculo de um Valor Esperado

– Calcule o valor médio da distância de um elétron ao núcleo, no átomo de hidrogênio, no estado de energia mais baixa. Dados:

Resp.: <r> = 79,4 pm.

∫

0 ∞ xn_e−ax_{dx = n!} an+1 d τ = r2_{sen θdr d θd φ} ψ1s(H)=

(

1 πa0 3

)

1/2 e−r /a0(normalizada) , a 0=52,9 pm

(26)

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

–Exemplo: Partícula LivreExemplo: Partícula Livre

• Consideremos uma partícula de massa m que se move livremente com energia potencial nula ao longo do eixo x. Tem-se:

➔Que informações podemos extrair desta solução?

^ H ψ(⃗r) = E ψ(⃗r) ^ H = −ℏ2 2m∇ 2₊_{V (⃗r)} ∇2₌ d2 dx2 V (⃗r) = 0

−

ℏ

2

2 m

d

2

ψ(

x)

dx

2

=

E ψ( x)

∴ ψ( x) = Ae

ikx

₊

_Be

−ikx

₌

_Ce

±ikx

∴ E =

k

2

_ℏ

2

2m

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• Densidade de Probabilidade

➔A ≠ 0, B = 0 (similar para A = 0, B ≠ 0):

➔Densidade constante:

independente de x.

➔Não há como prever

onde está a partícula.

∴ | ψ( x)|

2

_{= (}

_Ae

ikx

₎

*

₍

_Ae

ikx

_{) = (}

_Ae

−ikx

₎₍

_Ae

ikx

_{) =}

_{| A |}

2

Otávio Santana

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• Densidade de Probabilidade

➔A = B ≠ 0:

➔_{Densidade periódica:}

dependente de x.

➔Onde está a partícula?

Ocorrência de nósnós. Nó: ponto onde a densidade é nula.

(27)

Otávio Santana

• Momento Linear

➔A ≠ 0 e B = 0 (ou A = 0, B ≠ 0):

➔Resultado de acordo com a

relação de de Broglie

➔Sinal +: movimento no sentido dos x positivos;

Sinal –: movimento no sentido dos x negativos.

Os dois movimentos possuem a mesma energia total E.

∴ ^p

x

ψ(

x ) = p

x

ψ(

x) ⇒

ℏ

i

d ψ( x )

dx

=

p

x

ψ (

x ) ⇒ p

x

= ±

k ℏ

= ±

h

λ

• Informação Contida na Função de Onda Ψ

• Momento Linear

➔A = B ≠ 0:

➔Esta não é uma

equação de autovalor!

➔Qual o valor do momento linear? Neste caso, indefinido.

ψ = Superposição de funções de onda ψ+ e ψ–.

Algumas medidas fornecerão + kħ, outras -kħ. Cálculo de <px>...

∴ ^p

x

ψ(

x ) = p

x

ψ(

x) ⇒

ℏ

i

d ψ( x )

dx

= −2

k ℏ

i

Asen(kx )

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

–Posição & MomentoPosição & Momento

• O resultado obtido para a partícula livre resume o exemplo de um princípio geral da Mecânica Quântica:

➔“É impossível se determinar simultaneamente e com a precisão “que se queira a posição e o momento de uma partícula. ” (para cada direção do espaço)

➔Por exemplo, ao longo do eixo x: Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Δ

x Δ p

x

≥

1

2 ℏ

, Δq =

(

⟨

q

2

⟩−⟨

q⟩

2

₎

1 /2

, q = x , p

x Desvio médio quadrático

(28)

Otávio Santana

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

–Observáveis Observáveis ΩΩ11 e e ΩΩ22

• O princípio é mais geral, pois se aplica a qualquer par de

observáveis complementares

observáveis complementares .

➔Dois observáveis Ω

1 e Ω2 são complementares quando os

operadores correspondentes não comutam.

(a ordem em que atuam sobre a função de onda afeta o resultado)

➔Matematicamente:

^

Ω

₁

Ω

^

₂

Ψ ≠ ^Ω

2

Ω

^

1

Ψ

[ ^

Ω

1,

Ω

^

2

] = ^

Ω

1

Ω

^

2

− ^

Ω

2

Ω

^

1 Comutador 157 Otávio Santana Otávio Santana

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

–Observáveis Observáveis ΩΩ11 e e ΩΩ22

• A partir dos conceitos de observáveis complementares e de comutação, pode-se enunciar o princípio da seguinte forma: ➔“É impossível se determinar simultaneamente e com a precisão

“que se queira qualquer par de observáveis complementares. ” (para cada direção do espaço)

➔Matematicamente:

ΔΩ

1

ΔΩ

2

≥

1

2 |⟨[ ^Ω

1,

Ω

^

2

]⟩|

Valor esperado do Comutador de Ω1 e Ω2 158 Otávio Santana Otávio Santana

• Princípio da Incerteza (de Heisenberg)

–Exemplo: Pacote de OndaExemplo: Pacote de Onda

• É possível representar uma função de onda bem localizada a partir da superposição de um grande número de funções do tipo eikx_.

• Neste caso, cada componente possui um valor diferente de k e, portanto, diferentes contribuições de momento p = ħk.

➔_{Consequências:}_{Consequências:}

Pequena incerteza na posição x. Grande incerteza no momento p.

(29)

Otávio Santana

– Mostre que os operadores posição x e momento linear px não

comutam, sendo, portanto, observáveis complementares.

Otávio Santana

• Ex.#10: Aplicação do Princípio da Incerteza

– (a) A velocidade de um projétil de massa 1,0 g é conhecida

com incerteza de 1 μm·s-1_{. Calcule a incerteza mínima na}

posição do projétil.

(b) Repita o cálculo considerando a massa de um elétron. (c) Estime a incerteza mínima na velocidade de um elétron confinado em um átomo típico (diâmetro: 200 pm).

Dado: ħ = 1,055x10-34_{J·s, m}

e = 9,109x10-31 kg.

Resp.: (a) Δx ≥ 5x10-26_{m, (b) Δx ≥ 60 m, (c) Δv}

x ≥ 2,89x105 m·s-1.

Otávio Santana

Introdução à Mecânica Quântica Introdução à Mecânica Quântica Dinâmica de Sistemas Microscópicos

Fim da Parte 2

QuimQuantCap1 (Introdução à Mecânica Quântica)[Aulas]

Pós-Graduação em Química

Pós-Graduação em Química

Química Quântica Avançada

Química Quântica Avançada

• CONTEÚDO

• Mecânica Clássica:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

• Observações Experimentais Cruciais:

Є = aT

⇔

M = σ T

σ

=

5,67×10⁻ ⁸Wm⁻²K ⁻ ⁴

T λ

=

1

5

c

c

=

1,44cm K

• Observações Experimentais Cruciais:

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

ρ( λ

,T ) =

8π k

T

λ

• Observações Experimentais Cruciais:

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

ρ( λ

,T ) =

8π k

T

λ

ρ( λ

,T ) =

8 π hc

λ

(

e

−1)

dЄ = ρ(λ ,T )d λ

• Observações Experimentais Cruciais:

Є =

∫

ρ( λ

,T )d λ = aT

, a = 4σ

c

, σ =

2π

k

T

15c

h

σ

=

5,6704× 10⁻⁸ Wm⁻² K ⁻ ⁴

• Observações Experimentais Cruciais:

T λ

=

1

5

(

hc

k

)

, c

=

hc

k

c

=

₌

_{1,44cm K}

₋₁₎

_{, a = 4σ}

_k

_h

₌

_{1,09678× 10⁻⁷ m⁻¹}

₌

_{1,09737×10⁻⁷ m⁻¹}