aula09 ESZA024 17 v1

(1)

UF

A

BC

- EIA

R

- Pro

f.

Ma

gn

o

Me

za

Projeto de Controle Discreto - ESZA024-17

Aula Semana 9: Projeto e simula¸c˜

ao de controladores por realimenta¸c˜

ao

de estados no dom´ınio discreto para o controle de posi¸c˜

ao de um

servomecanismo

Prof. Magno Enrique Mendoza Meza Universidade Federal do ABC

Engenharia de Instrumenta¸cão, Automa¸cão e Robótica Programa de Pós-gradua¸cão em Engenharia Mecânica

Campus Santo Andr´e, Bloco A, Sala 744-1 E-mail: [email protected]

1 Objetivos

O objetivo desta experiência é desenvolver um sistemas de realimenta¸cão com o intuito de controlar a posi¸cão do eixo de rota¸cão da carga de um servomotor SRV02 da Quanser. Os compensadores deveram ser projetados para satisfazer um conjunto de especifica¸cões (Quanser, 2012), bem como ao final da aula todos os compensadores deverão ser simulados e mostrados ao professor. Os controladores deverão ser projetados e simulados no dom´ınio do espa¸co de estados discretos (plano z). Os compensadores a serem projetados e simulados são:

1. Controlador por realimenta¸cão de estados para entrada de referência; 2. Controlador por realimenta¸cão de estados com controle integral; 3. Controlador por realimenta¸cão de estados deadbeat.

Os seguintes tópicos serão abordados neste aula prática:

• Projetar, simular e implementar um controlador por realimenta¸cão de estados para uma entrada de referência que controla a posi¸cão do eixo de carga do servomotor conforme a certos requerimentos no dom´ınio do tempo.

• Projetar, simular e implementar um controlador por realimenta¸c˜ao de estados com controle integral que controla a posi¸c˜ao do eixo de cargo do servomotor conforme a certos requerimentos no dom´ınio do tempo.

• Projetar, simular e implementar um controlador por realimenta¸c˜ao de estados deadbeat que controla a posi¸c˜ao do eixo de cargo do servomotor conforme a certos requerimentos no dom´ınio do tempo. • Simular todos os controladores utilizando o modelo desenvolvido da planta e garantir que as

espe-cifica¸c˜oes desejadas foram satisfeitas sem que o atuador seja saturado.

• Implementar os controladores no dispositivo SRV02 da Quanser e avaliar seu desempenho.

2 Planta

O servomecanismo SRV02 é constitu´ıdo por um motor DC encaixotado em uma estrutura de alum´ınio sólido e equipado com uma caixa de engrenagens planetárias, i.e., o motor tem a sua própria caixa de

(2)

UF

A

BC

- EIA

R

- Pro

f.

Ma

gn

o

Me

za

de potenciômetro que pode ser utilizado para medir a posi¸cão angular da engrenagem de carga, também pode vir equipado com um encoder para obter a medida digital da posi¸cão e um tacômetro para medir a velocidade da engrenagem de carga. A Figura 1 mostra a estrutura do servomecanismo que será utilizada na aula prática.

Figura 1: Servomecanismo SRV02.

O aparato experimental utilizado, o motor e a carga utilizados est˜ao mostrado na Figura 2.

Figura 2: Montagem do experimento.

Modelo do servomecanismo

O modelo matem´atico do SRV02 correspondente ao caso de engrenagens altas e carga em disco ´e como segue,

G(s) = Θl(s) Vm(s)

= K

s(τ s + 1) (1)

no qual θl(t) é a sa´ıda da posi¸cão que indica a medida do ângulo do eixo da carga e vm(t) é a tensão de

entrada no SRV02, K é o ganho total de malha aberta e τ é a constante de tempo de malha aberta do motor. Os valores de K e τ são dados na Tabela 1, (Quanser, 2012).

(3)

UF

A

BC

- EIA

R

- Pro

f.

Ma

gn

o

Me

za

Tabela 1: Tabela de dados do motor.

Descri¸c˜ao S´ımbolo Valor Unidade

Ganho de estado estacion´ario de malha aberta K 1, 53 rad/(V.s) Constante de tempo de malha aberta τ 0, 0254 s

3 Especifica¸

c˜

oes para o controle de posi¸

c˜

ao do SRV02

As especifica¸cões no dom´ınio do tempo para controlar a posi¸cão do eixo de carga do SRV02 são:

ess= 0 (2)

tp = 0, 20 [s] (3)

Mp = 5, 0% (4)

Assim, quando se rastreie a referência do eixo da carga, a resposta transitória deverá ter um tempo de pico menor ou igual a 0, 20 segundos, um sobressinal menor ou igual a 5% e uma resposta de estado estacionário deverá ter erro m´ınimo (Quanser, 2012).

4 Espa¸

co de estados

Considere que é conhecida a fun¸cão de transferência cont´ınua de um sistema genérico como mostrado a seguir

X(s) R(s) =

1

ms2_{+ bs + k}. (5)

Sup˜oe que se escolhe as vari´aveis de estados como segue

x1(t) = x(t) e x2(t) = ˙x(t)

desta escolha de variáveis de estado é obtido a seguinte representa¸cão no espa¸co de estados

˙x = ˙x1 ˙ x2 = ˙x ¨ x = 0 1 −k m −mb x ˙ x + 0₁ m r(t) = 0 1 −k m −mb x1 x2 + 0₁ m r(t) (6) y = 1 0 x ˙ x = 1 0 x1 x2 (7)

Das equa¸c˜oes (6) e (7) ´e poss´ıvel identificar a matriz de estados

A = 0 1 −_mk −_mb a matriz de entrada B = 0₁ m a matriz de sa´ıda C = 1 0 e matriz de transmiss˜ao direta ´e considerada nula

(4)

UF

A

BC

- EIA

R

- Pro

f.

Ma

gn

o

Me

za

Convers˜ao para o dom´ınio discreto

Existe um comando no MATLAB denominado c2d que converte um sistema cont´ınuo dado (quer em uma fun¸cão de transferência ou na forma de espa¸co de estados) para um sistema discreto utilizando o segurador de ordem zero. O comando básico do MATLAB para isto é sys_d = c2d(sys,T,’zoh’), no qual T é o per´ıodo de amostragem. Por exemplo,

sys = ss(A,B,C,D);

sys_d = c2d(sys,Ts,’zoh’)

% Para se obter as matrizes discretas no espa¸co de estados Ad=sys_d.a

Bd=sys_d.b Cd=sys_d.c Dd=sys_d.d

5 Projeto via aloca¸

c˜

ao de polos

O método conhecido como a técnica de aloca¸cão de pólos requer as seguintes considera¸cões: (i) que todas as variáveis de estado sejam mensuráveis e estejam dispon´ıveis para realimenta¸cão, (ii) que o sistema considerado seja de estado completamente controlável para que os pólos do sistema em malha fechada possam ser localizados em qualquer posi¸cão desejada por meio de uma realimenta¸cão de estados com uma matriz de ganho de realimenta¸cão apropriada, e (iii) que a técnica comece com a determina¸cão dos pólos desejados em malha fechada, os quais devem de satisfazer os requerimentos de resposta transitória e/ou resposta em frequência como velocidade, coeficiente de amortecimento e largura de banda.

A equa¸c˜ao de estado ´e

x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k) (8)

na qual x(k) é o vetor de estado (de dimensão n), u(k) é o sinal de controle (escalar), Ad é a matriz

n_{× n, B}d´e a matriz n× 1. Supondo que a magnitude do sinal de controle u(k) ´e ilimitado e se o sinal

de controle for

u(k) =−K x(k)

no qual K é a matriz de ganho de realimenta¸cão do estado (uma matriz 1× m), então o sistema converte-se em um sistema de controle em malha fechada, como o mostrado na Figura 3 e sua equa¸cão de estado fica da seguinte forma

x(k + 1) = (Ad− BdK)x(k) (9)

Cabe ressaltar que a matriz K ´e escolhida de forma que os autovalores de Ad− BdK sejam os p´olos

desejados em malha fechada p1, p2, . . ., pn. Quaisquer autovalores complexos devem vir como pares

conjugados. + x(k + 1) x(k) u(k) + Bd T Ad −K

Figura 3: Sistema de controle em malha fechada com u(k) = −K x(k).

Discussão: Estude sobre o controle deadbeat e faz uma discussão de dito controle em rela¸cão à possibilidade da implementa¸cão.

(5)

UF

A

BC

- EIA

R

- Pro

f.

Ma

gn

o

Me

za

6 Sistema de controle com entrada de referˆ

encia

Até o momento temos considerado sistemas reguladores, nos quais a entrada de referência é fixada por um longo per´ıodo e disturbios externos originam estados não nulos. A equa¸cão caracter´ıstica para o sistema determina a velocidade pelo qual os estados não nulos aproximam-se da origem. Aqui considera-se o caso no qual o sistema tem uma entrada de referência como mostrado na Figura 4, na qual a planta é descrita pelas seguintes equa¸cões de estado e de sa´ıda,

x(k) + x(k + 1) − + r(k) + Bd T Ad K L u(k)

Figura 4: Sistema de controle com realimenta¸c˜ao de estados.

x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k)

y(k) = C x(k) O sinal de controle u(k) ´e dado por

u(k) =_{−K x(k) + L r(k)} (10) Ao eliminar u(k) da equa¸c˜ao de estado, temos

x(k + 1) = (Ad− BdK) x(k) + BdL r(k)

y(k) = C x(k) A equa¸c˜ao caracter´ıstica para o sistema ´e

|z I − Ad+ BdK| = 0

Se o sistema é de estado completamente controlável, então a matriz de ganho de realimenta¸cão K pode ser determinada para fornecer os pólos desejados em malha fechada.

´

E importante salientar que a realimenta¸cão de estados pode mudar a equa¸cão caracter´ıstica corres-pondente ao sistema, mas ao fazê-lo o ganho de estado estacionario do sistema completo é modificado. Portanto, é necessário ter um ganho ajustável L no sistema. O ganho L deve ser ajustado de maneira que a resposta ao degrau unitário do sistema no estado estacionário seja a unidade, ou y(_{∞) = 1.}

A transformada z da sa´ıda ´e dada por

Y (z) = C [z In− (Ad− BdK)]−1BdL R(z)

e o erro de rastreamento do erro de estado estacionário a uma entrada degrau unitária é lim z→1(z− 1) (Y (z) − R(z)) = limz→1 C [z In− (Ad− BdK)]−1BdL− In = C [In− (Ad− BdK)]−1BdL− In

Para um erro de estado estacion´ario nulo se requer a condi¸c˜ao

C [In− (Ad− BdK)]−1BdL = In (11)

Se o sistema é quadrado e Ad− BdK é estável, o ganho fica

(6)

UF

A

BC

- EIA

R

- Pro

f.

Ma

gn

o

Me

za

7 Controle integral

A lei de controle (10) é equivalente a uma a¸cão de controle feedforward determinada por L que resulta em um erro de estado estacionário nulo para uma entrada de referência r(k). Por causa que a a¸cão feedforward não inclui nenhuma realimenta¸cão esta aproxima¸cão não é robusta a incertezas de modelagem. Assim, erros de modelagem sempre acontecem na prática o que resultará em um erro de estado estacionário não nulo. Para eliminar tal erro, introduzimos um controle integral como mostrado na Figura 5, com um novo estado adicionado para cada erro de controle integrado.

x(k + 1) + + − r(k) z(k + 1) z(k) x(k) K Ad C Bd −1 K1 + z−1 − u(k) _z−1 y(k)

Figura 5: Sistema de controle com realimenta¸c˜ao de estados e controle integral.

x(k + 1) = Adx(k) + Bdu(k)

z(k + 1) = z(k) + r(k)_{− y(k)} y(k) = C x(k)

u(k) =_{−K x(k) − K}1z(k)

no qual z(k) é um vetor coluna, por exemplo l_{× 1. As equa¸cões no espa¸co de estados em termos do vetor} de estado aumentado ˜ x(k) = [x(k) z(k)]0 x(k + 1) z(k + 1) = Ad 0 −C Il x(k) z(k) − B₀ (K K1) x(k) z(k) + 0 Il r(k) y(k) = [C 0] x(k) z(k) Daqui temos ˜ x(k + 1) =h Ã_{− ˜}B ˜Kix(k) +˜ 0 Il r(k) (13) y(k) = [C 0] ˜x(k) na qual ˜ A = Ad 0 −C Il , B =˜ B 0 ˜ K = [K K1]

Os autovalores da matriz de estados de malha fechada ˜A− ˜B ˜K podem ser escolhidos arbitrariamente para calcular a matriz de ganho ˜K.

8 Tarefas para o pr´

e-laborat´

orio e Itens que devem ser registrado no

relat´

orio

Observa¸cão 8.1 Para todas as simula¸cões e implementa¸cões, o sinal de referência deve ser uma entrada quadrada com uma amplitude de π/36 radianos e uma frequência de 0, 4 Hz, tempo de simula¸cão de 10 segundos.

(7)

UF

A

BC

- EIA

R

- Pro

f.

Ma

gn

o

Me

za

Observa¸c˜ao 8.2 Simule para uma entrada triangular com uma amplitude de π/8 radianos e uma frequˆ en-cia de 0, 4 Hz, tempo de simula¸c˜ao de 10 segundos.

O projeto de cada controlador deve incluir os seguintes itens: 1. Mostrar as contas necess´arias para o c´alculo dos ganhos.

2. Finalmente projetado o compensador, mostrar a estrutura do compensador.

3. Simular o controle projetado no Simulink da planta. Se a simula¸cão for adequada fa¸ca a implemen-ta¸cão, caso contrário projete novamente o compensador. Lembre que a tensão Vm não deve

ultrapassar os limites de ±10 V.

4. Se o compensador projetado não satisfez as especifica¸cões de projeto, mostrar o compensador ajus-tado de maneira a satisfazer as especifica¸cões. Justificar as suas escolhas. Se ainda assim as especifica¸cões não foram satisfeitas, mostrar a sua melhor simula¸cão.

5. Mostrar as simula¸cões do melhor sistema compensado para uma entrada conforme Observa¸cão 8.1. Mostre os valores de Mp, ts e ess. Mostrar os gráficos da posi¸cão do eixo de carga e da tensão

aplicada ao SRV02.

Referˆ

encias

Quanser, Rotary Experiment 02: Position Control, Quanser Innovate Educate, SRV02 Position Control using QuaRC, 2012.