É trabalho pioneiro.
Prestação de serviços com tradição de confiabilidade.
Construtivo, procura colaborar com as Bancas
Examinado-ras em sua tarefa de não cometer injustiças.
Didático, mais do que um simples gabarito, auxilia o
es-tudante no processo de aprendizagem, graças a seu
for-mato: reprodução de cada questão, seguida da resolução
elaborada pelos professores do Anglo.
No final, um comentário sobre as disciplinas.
Seleciona 100 alunos para o curso de Administração de
Em-presas e 50 alunos para o curso de Economia, ambos
diur-nos e com duração de 4 adiur-nos.
São duas provas em um único dia:
• A primeira, iniciada às 8h, consta de questões objetivas
de Análise Quantitativa Objetiva (20), Análise Verbal
(15), Língua Inglesa (10) e Conhecimentos Gerais —
História e Geografia (15). Cada questão vale 1 ponto.
• A segunda, iniciada às 14h, consta de 10 questões de
Análise Quantitativa Discursiva, valendo 1,5 ponto
ca-da, e de uma Redação, que vale 15 pontos.
Opcionalmente pode ser utilizado um décimo da nota
ob-jetiva do ENEM.
Serão desclassificados os candidatos que não obtiverem
pontuação em qualquer das disciplinas ou cujo total de
pontos seja menor que 40.
A média para a classificação final é obtida pela somatória
dos pontos em cada prova, respeitando-se os pesos
corres-pondentes.
Para o candidato que não tenha nota do ENEM, a
pontu-ação é multiplicada por 100 e dividida por 90.
o
anglo
resolve
a provas
do IBMEC
novembro
de 2008
Renato decidiu aplicar R$ 100.000,00 em um fundo de previdência privada. O consultor da empresa responsá-vel pela administração do fundo sugeriu que essa quantia fosse dividida em três partes x, y e z, que seriam aplicadas em três investimentos A, B e C, respectivamente.
Em seguida, mostrou a Renato duas simulações do desempenho da aplicação, considerando dois cenários dis-tintos, para um período de 5 anos.
Com essas informações, determine os valores de x, y e z sugeridos pelo consultor.
Do enunciado, temos o sistema:
z = ∴ z = 20 000
y = = ∴ y = 30 000
x = 100 000 – y – z ∴ x = 50 000
Resposta: x = 50 000; y = 30 000 e z = 20 000.
Considere a função real f, dada pela lei f(x) = logxxx. a) Desenhe o gráfico de f(x).
b) Calcule k, k
∈
IR, de modo que se tenha 16f(k)= 40. Se necessário, utilize a aproximação log2 = 0,30.Questão 2
▼
▼
15 000 0,5 35 000 – z 0,5 5 000 0,25 e x + y + z = 100 000 x + 0,5y + 0,25z = 70 000 x + 1,5y + 2z = 135 000 (–1) (–1) 1 42 43 x + y + z = 100 000 –0,5y – 0,75z = –30 000 0,5y + z = 35 000 (+1) 1 42 43 x + y + z = 100 000 0,5y + z = 35 000 0,25z = 5 000 1 42 43 Resolução Questão 1▼
▼
A
A
A
III
LLL
Á
Á
Á
N
N
N
S
S
S
E
E
E
Q
Q
Q
U
U
U
A
A
A
N
N
N
T
T
T
III
A
A
A
TTTA
A
ATTT V
III
V
V
C
C
C
III
G
G
G
Ó
Ó
Ó
E
E
E
LLL
A
A
A
D
D
D
III
S
S
S
C
C
C
U
U
U
R
R
R
SSS VVV
III
A
A
A
Cenário Rendimento previsto para um período de 5 anos Saldo previsto
Investimento A Investimento B Investimento C após 5 anos
Conservador 100% 50% 25% R$ 170.000
Com x 0 e x ≠ 1, temos f(x) = logxxx f(x) = xlogxx ∴ f(x) = x a) Resposta: b) De f(k) = k e 16f(k)= 40, temos 16k= 40 24k= 22⋅10 log24k= log(22⋅10) 4k ⋅log2 = 2log2 + log10
4k ⋅0,30 = 2 ⋅0,30 + 1 1,2k = 1,6
k = ∴ k =
Resposta:
Seja θum ângulo maior do que 45º e menor do que 90º. Considere uma progressão geométrica cujo primeiro termo e cuja razão são, respectivamente,
a1= tg2(θ) – 1 e q = sen2(θ).
a) Determine, em termos de θ, o limite da soma dos termos dessa progressão S = a1+ a2+ a3+ . . .
b) Considere agora que θé o ângulo dado no triângulo retângulo e não isósceles representado a seguir, cuja hi-potenusa mede 5 e cujo cateto menor mede 1.
Calcule o valor numérico do limite da soma obtida no item a.
θ 1 5 Questão 3
▼
▼
4 3 4 3 1,6 1,2 y x 1 1 0 y = x (x 0 e x ≠ 1) Resoluçãoa) Do enunciado temos:
S = ∴ S = ∴ S =
∴ S = sec2θ ⋅(sec2θ– 2)
Resposta: S = sec2θ ⋅(sec2θ– 2)
b) Da figura temos:
cosθ= ∴ secθ= 5 Assim:
S = 52⋅(52– 2) ∴ S = 575
Resposta: S = 575
Considere as transformações C e D entre matrizes, descritas a seguir.
I. A matriz M = , de ordem 2, é associada pela transformação C a uma matriz C(M), de ordem 4, de acordo com a lei
C(M) = .
II. A matriz N = , de ordem 4, é associada pela transformação D a uma matriz D(N), de ordem 2,
de acordo com a lei
D(N) =
a) Sendo M = , escreva a matriz D(C(M)).
b) Sabendo que P é uma matriz de ordem 2 cujo determinante é igual a , calcule o determinante da matriz D(C(D(C(P)))). a) Sendo M = , temos C(M) = 2 4 2 4 1 3 1 3 2 4 2 4 1 3 1 3
2 4 1 3
Resolução 1 32
2 4 1 3
f + h + n + p j + l + r + t e + g + m + o i + k + q + s
h l p t g k o s f j n r e i m q b d b d a c a c b d b d a c a c
b d a c
Questão 4▼
▼
1 5 sec2θ– 1 – 1 cos2θ tg2θ– 1 1 – sen2θ a1 1 – q ResoluçãoD(C(M)) = ∴ D(C(M)) = Resposta: b) P = ⇒ C(P) = D(C(P)) = C(D(C(P))) = D(C(D(C(P)))) =
Sendo x o determinante dessa matriz, temos: x =
x = 162⋅
Como = , temos: x = 162⋅
x = 16 ⋅16 ⋅ ∴ x = 8
Resposta: 8
Um rolamento, peça largamente utilizada na indústria, pode ser descrito de maneira bem simplificada como um conjunto de dois ci-lindros de bases concêntricas e mesma altura, além de várias esferas idênticas, colocadas entre as superfícies laterais dos dois cilindros. A figura ao lado mostra o esquema de um rolamento: os raios das bases dos dois cilindros medem r e R, respectivamente, e as esferas são tangentes entre si e também tangentes às superfícies laterais dos cilindros. As esferas ocupam todo o espaço entre os cilindros, mas apenas cinco delas estão desenhadas na figura.
a) Determine, em função de r e R, a medida do raio de cada esfera. b) Determine o total de esferas existentes em um rolamento em que r = 33 mm e R = 47 mm, usando, se necessário, as aproximações fornecidas na tabela. R r Questão 5
▼
▼
1 16 ⋅2 1 32 1 32 | | | b d a c | | | | | | b d a c | | | | | | 16b 16d 16a 16c | | |
16b 16d 16a 16c
4b 4d 4b 4d 4a 4c 4a 4c 4b 4d 4b 4d 4a 4c 4a 4c
4b 4d 4a 4c
b d b d a c a c b d b d a c a c
b d a c
8 16 4 12
8 16 4 12
2 + 2 + 2 + 2 4 + 4 + 4 + 4 1 + 1 + 1 + 1 3 + 3 + 3 + 3
α 5º 10º 15º 20º 25º senα 21 50 1 3 13 50 7 40 1 10a) Sendo x a medida do raio de cada esfera, temos a figura: Assim, r + x + x = R
2x = R – r ∴ x =
Resposta:
b) Do enunciado e do item a, segue que x = , ou seja, x = 7 mm. Assim, temos a figura:
OC = OB + BC
OC = 33 + 7 ∴ OC = 40 mm
No triângulo retângulo OCP, temos:
senα= ∴ senα= ∴ α= 10º
Seja n o total de esferas existente nesse rolamento. Ainda da figura, segue que:
n ⋅2α= 360º
n ⋅2 ⋅10º = 360º ∴ n = 18
Resposta: 18
Na figura:
• ABCD representa um quadrado de lado 2;
• M é ponto médio de AD——e N é ponto médio de CD——; • AC——é uma diagonal do quadrado;
• o arco que passa por P e Q é um arco de circunferência com centro em D. a) Calcule a medida do segmento BQ——.
b) Calcule a área da região sombreada. Se necessário, considere que o ângulo cujo seno vale 0,6 é aproximadamente 36º.
a) Do enunciado, temos a figura ao lado:
No triângulo retângulo AMB temos: (BM)2= 12+ 22 BM =
√
__ 5 Da semelhança dos triângulos QCB e QAM, vem:
= ∴ = ∴ x = Resposta: 2
√
__ 5 3 2√
__ 5 3 2 1 x√
__ 5 – x CB AM QB QM Q 45º 45º M 1 1 2 2 x A D C B Resolução A B C D N M Q P Questão 6▼
▼
7 40 PC OC O C B P … α α … 47 – 33 2 R – r 2 R – r 2 x x x r R O C B A Resoluçãob) Considere a figura ao lado, em que a medida da diagonal BD——é igual a 2
√
__2. Da congruência dos triângulos QDO, PDO, PBO e QBO, temos:
DQ = DP = BP = BQ = .
No triângulo retângulo BOQ, temos: (QO)2+ (
√
__
2 )2= 2
QO =
Assim, PQ = 2 ⋅QO, ou seja, PQ = . A área S1do triângulo BQP é tal que:
S1= ⋅PQ ⋅BO ∴ S1= ⋅ ⋅
√
__
2 ∴ S1= Por outro lado, temos:
S1= ⋅BQ ⋅BP ⋅senα ∴ = ⋅ ⋅ ⋅senα ∴ senα= = 0,6 ∴ α= 36º
Seja S2a área do setor circular DPQ. Então, S2= ⋅ π ⋅
2
S2= A área S pedida é tal que
S = S1– (S2– S1) ∴ S = 2S1– S2
∴ S = 2 ⋅ –
∴ S = –
Resposta: –
Resolva as equações que se seguem.
a) (x2– 18x + 32)(x2– 8x + 15)(x2– 8x + 12) = 0 b) 4t2– 8t + 16– 9 ⋅2t2– 8t + 17+ 32 = 0
a) x2– 18x + 32 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 16
x2– 8x + 15 = 0 ⇔ x = 3 ou x = 5 x2– 8x + 12 = 0 ⇔ x = 2 ou x = 6
Logo, (x2– 8x + 32)(x2– 8x + 15)(x2– 8x + 12) = 0 se, e somente se, x = 2, ou x = 16, ou x = 3, ou x = 5, ou x = 6.
Resposta: {2, 3, 5, 6, 16} Resolução Questão 7
▼
▼
2π 9 4 3 2π 9 4 3 2π 9 2 3 2π 9
2√
__ 5 3
36 360 Q M A D C B P N 36º 3 5 2√
__ 5 3 2√
__ 5 3 1 2 2 3 1 2 2 3 2√
__ 2 3 1 2 1 2 2√
__ 2 3√
__ 2 3
2√
__ 5 3
2√
__ 5 3 Q M A D C B O α P 2 2 2 5 ——— 3 N αb) De t2– 8t + 16 = v e 4t2– 8t + 16 – 9 ⋅2t2– 8t + 17 + 32 = 0, temos 4v– 9 ⋅2v + 1+ 32 = 0 (2v)2– 9 ⋅21⋅2v+ 32 = 0 Com 2v= x, temos x2– 18x + 32 = 0. Logo, x = 2 ou x = 16. De 2v= 2 ou 2v= 16, temos v = 1 ou v = 4. De t2– 8t + 16 = 1, temos t2– 8t + 15 = 0 e, portanto, t = 3 ou t = 5. De t2– 8t + 16 = 4, temos t2– 8t + 12 = 0 e, portanto, t = 2 ou t = 6. Resposta: {2, 3, 5, 6}
A embalagem mostrada na figura ao lado contém iogurte na parte de baixo e cereais na parte de cima.
A parte de baixo é um cilindro circular reto de raio R e altura H, e a de cima é um tronco de cone circular reto de raio maior R, raio menor e altura h. Sabendo que o volume da parte reservada ao iogurte é o quádruplo do volume do compartimento dos cereais, determine a razão .
1) Da figura, o volume destinado ao iorgute é π ⋅R2H
2) Da figura temos ainda que o volume do tronco de cone destinado aos cereais é
πR2⋅2h – π 2⋅h =
Assim, do enunciado, temos:
π ⋅ R2⋅H = 4
⋅
H = h ∴ = Resposta: 7 3 7 3 H h 7 3 7πR2h 12 7πR2h 12
R 2
1 3 1 3 H h h h R/2 R Resolução H h R 2 H h Questão 8▼
▼
Em um determinado concurso público, um candidato passa para a 2ªfase se, e somente se, for aprovado nas provas de Matemática e Português. Juliana, que prestará esse concurso, dedicará x% de seu tempo de estudo para Matemática, e o restante para Português, sendo 0 x 100.
As aprovações de Juliana nas provas de Matemática e Português são independentes entre si, e suas probabili-dades dependem do seu tempo de dedicação a cada matéria, valendo, respectivamente, % e 96 – %. a) Se Juliana dedicar 40% de seu tempo de estudo para Matemática, qual a probabilidade de que ela não
pas-se para a 2ªfase do concurso?
b) Determine a porcentagem de seu tempo de estudo que Juliana deverá dedicar à Matemática para que a pro-babilidade de que ela passe para a 2ªfase do concurso seja a maior possível.
a) A probabilidade de que ela não passe é igual a 1 menos a probabilidade de que seja aprovada. Para x = 40, a probabilidade se ser aprovada em Matemática é 30% e em Português é 66%. Assim, sendo P a probabilidade pedida, temos: P = 1 – ⋅ = 80,2%
Resposta: 80,2%
b) A probabilidade p de que ela passe no concurso, em função de x, é:
p(x) = ⋅ ⋅ 96 – ⋅
p(x) = – ⋅x2+ ⋅x, com 0 x 100.
A probabilidade será a maior possível no vértice do arco da parábola. Assim:
x = –
= 64 2
⋅
–A porcentagem de seu tempo dedicada ao estudo da Matemática deverá ser 64%.
Resposta: 64%
Considere que 13/M1/ano X e 13/M2/ano X são duas sextas-feiras 13 consecutivas de um mesmo ano X e se-ja ψo número de dias entre essas duas datas, sem contá-las. Por exemplo, 13/04/2029 e 13/07/2029 são duas sextas-feiras 13 consecutivas de um mesmo ano, porque 13/05/2029 e 13/06/2029 não são sextas-feiras e, nesse caso, ψ= 90 é a quantidade de dias começando a contar do sábado 14/04/2029 até a quinta-feira 12/07/2029. a) Determine o menor valor possível de ψe explique em que situação acontece. Ou seja, determine a menor quantidade possível de dias entre duas sextas-feiras 13 consecutivas em um mesmo ano e quais deveriam ser os meses em que ocorreriam.
b) Determine o maior valor possível de ψ e explique em que situação acontece. Ou seja, determine a maior quantidade possível de dias entre duas sextas-feiras 13 consecutivas em um mesmo ano e quais deveriam ser os meses em que ocorreriam.
a) Note que 91 é múltiplo de 7, logo ψé da forma 7n – 1, com n
∈
IN. O menor valor de ψé 27 (28 – 1).Isso ocorre quando a 1ªsexta-feira 13 cai no mês de fevereiro de um ano que não é bissexto.
Resposta: ψ= 27. Isso ocorre quando a 1ªsexta-feira 13 cai no mês de fevereiro de um ano não bissexto.
Resolução Questão 10
▼
▼
9 160000
72 10000 72 10000 9 160000 1 100
3x 4
1 100 3x 4 66 100 30 100 Resolução 3x 4 3x 4 Questão 9▼
▼
b) Caso o ano não seja bissexto e a 1ªsexta-feira 13 ocorra no mês de janeiro, a primeira vez que ocorrerá novamente será quando o dia 13 corresponder a uma data que ocorre 7k, k
∈
IN, dias após 13/01/ano X. Observe a tabela:Assim, o número máximo de dias entre duas sextas-feiras 13 consecutivas é ψ= 272, e isso ocorre nos meses de janeiro e outubro de um ano não bissexto.
Resposta: 272 dias. Janeiro e outubro de um ano não bissexto.
Total de dias decorridos ocorre em uma dia/mês da 1ªsexta-feira 13 ψ sexta-feira? 13/01 0 — sim 13/02 31 30 não 13/03 59 58 não 13/04 90 89 não 13/05 120 119 não 13/06 151 150 não 13/07 181 180 não 13/08 212 211 não 13/09 243 242 não 13/10 273 272 sim 13/11 304 303 não 13/12 334 333 não
Considere o trecho abaixo.
Pensei que a vida se parece com um quebra-cabeça. Quebra-cabeças: milhares de peças espalhadas sobre a mesa, uma bagunça enorme, que não faz sentido. Mas as caixas dos quebra-cabeças que se compram nas lo-jas dizem que a bagunça pode se transformar em beleza: elas trazem impresso o modelo, que pode ser um la-go, um castelo, um menina (sic) lendo um livro, um jardim, um anjo tocando bandolim... Gastamos então ho-ras e hoho-ras (eu já gastei meses...) pacientemente trabalhando para transformar o caos em sentido. Pois eu pen-sei que a vida é um quebra-cabeça com milhares, milhões de peças. Mas acontece que o quebra-cabeça da vida não vem acompanhado de um modelo. Não sabemos o seu sentido. Não sabemos como é a sua beleza. O mo-delo precisa ser inventado. E é somente o coração, ajudado pela inteligência, que pode fazer isto. Os dois se põem, então, a trabalhar. Observam as peças, conferem as cores, examinam as formas e, repentinamente, apa-rece um modelo, produzido pela magia da imaginação. O modelo não foi visto, porque ele não está em lugar algum. Ele é um sonho! Mas, se é que não sabem, que aprendam: a vida é feita com sonhos! Se o sonho nos parecer belo, começaremos a organizar as peças fragmentárias da nossa vida para que o sonho se torne reali-dade porque desejamos que a vida seja bela. Certezas não há. Mas se o sonho nos seduzir por sua beleza, tere-mos coragem para apostar nele a nossa vida inteira.
(Disponível em http://www.rubemalves.com.br/quartodebadulaquesXXXIX.htm. Acesso em 30/07/2008.) • Reflita sobre as idéias apresentadas no fragmento anterior e desenvolva uma dissertação em prosa sobre
o tema/título: A beleza da vida e sua imprevisibilidade
• Conforme indicado nas folhas de rascunho e de redação, utilize o próprio tema como título de sua dis-sertação.
• Lembre-se que sua redação deve ter no mínimo 10 e no máximo 30 linhas.
A beleza da vida e sua imprevisibilidade
Análise da proposta
A partir de um trecho do escritor e psicanalista Rubem Alves, a Banca solicitou um texto dissertativo de, no máximo, 30 linhas sobre um tema explícito: “a beleza da vida e sua imprevisibilidade”.
Em seu texto, o autor compara a vida a um quebra-cabeças. Segundo essa alegoria, ao contrário do que ocorre com os produtos à venda no mercado, não haveria um belo modelo predefinido ao qual todas as peças estejam ajustadas de antemão. Os eventos da trajetória de cada um são caóticos, desorganizados, muitas vezes desprovidos de sentido. Por isso, cabe-nos aplicar coração e inteligência — emoção e razão — para observar as peças, conferir as cores, examinar as formas e, então, imaginar um modelo coerente que relacione e atribua sentido para acontecimentos, sentimentos e opiniões. Dessa forma, a vida se construiria feliz à medida que o modelo (o sonho) imaginado por cada um fosse belo o suficiente para seduzi-lo e motivá-lo.
Disso pode-se concluir que a imprevisibilidade da vida, se não nos condena à infelicidade, tampouco nos as-segura a felicidade. É o exercício da capacidade de sonhar, de empregar imaginação e conhecimento na construção de projetos de vida que pode dar sentido ao imprevisível e gerar a realização pessoal, a beleza. A falta de qualquer finalidade existencial predeterminada destaca o papel fundamental do imaginário, do desejo e do sonho, ressaltando a liberdade e a variabilidade da existência como fatores constituintes da beleza da vida.
Possibilidades de encaminhamento
Em se tratando de um tema amplo, de natureza filosófica, é importante que a dissertação seja construída a partir de um ponto de vista claro, bem delimitado, a fim de guiar a reflexão e evitar que ela se perca em meio a comentários vagos ou muito genéricos. Algumas teses possíveis:
• É possível ao homem ser feliz justamente porque ele pode fazer escolhas. A imprevisibilidade, portanto, per-mitiria à vida seguir as orientações da vontade individual, e não as de um “script” predefinido. A escolha da profissão, das crenças religiosas, das utopias ou dos valores morais dependeria, segundo esse raciocínio, da subjetividade do homem. A falta de modelo rígido permitiria um sem-fim de combinações das peças da vida, todas definidas pelos anseios individuais, subjetivos.
O
O
O
R
R
R
E
E
E
D
D
D
A
A
AÇ
Ç
Ç
Ã
Ã
Ã
• Para muitos, entretanto, essa falta de modelos representa um empecilho à felicidade. Desorientados ou aterrorizados pela responsabilidade inerente às escolhas que precisam fazer, preferem seguir modelos de vi-da definidos pela socievi-dade. Casar para atender ao gosto dos pais ou escolher um político baseando-se na maioria são exemplos dessa postura passiva diante da própria existência, a qual sinalizaria mais a inabilidade com esse quebra-cabeças sem modelo que um defeito do jogo em si.
• Na alegoria de Rubem Alves, a inexistência de um projeto predeterminado para a vida conduz ao obrigató-rio exame de peças, cores e formas a fim de atribuir-lhes sentido e beleza. A vida, assim configurada, sem ponto de chegada definido, exige postura ativa frente a acontecimentos e pessoas: é necessário imaginação, coerência e ética para que os lances da existência possam ser costurados em benefício da imagem que se deseja formar. Sem o controle sobre isso, as peças da vida continuarão soltas, sem propósito, dando forma a uma existência medíocre.
• A esperança e o otimismo, especialmente em meio a situações adversas, seriam atitudes exigidas pela im-previsibilidade da vida, já que, para Rubem Alves, “desejamos que a vida seja bela”. Mesmo quando há se-tores da existência em desarmonia, podemos projetar um futuro em que o arranjo das peças do jogo torne-se harmônico e belo. Um torne-sertanejo, por exemplo, acredita na chuva e na fartura, mesmo em meio à estia-gem, porque tem liberdade para acreditar que sua vida se transformará segundo sua vontade de felicidade, de vitória sobre o sofrimento. Nessa capacidade de vislumbrar o futuro melhor — e por ele lutar — residiria a beleza da vida.
Parabéns à banca examinadora pela prova bem elaborada. Análise Quantitativa
