CONTROLE ROBUSTO EM MÁQUINAS ROTATIVAS UTILIZANDO
DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES
Adriano Silva Borges, adrianosborges@uol.com.br(1)
Marcus Vinícius Fernandes, marcusfernandesss@gmail.com(1)
Edson Hideki Koroishi, edsonh@utfpr.edu.br(2)
Valder Steffen Jr, vsteffen@mecanica.ufu.br(1)
(1) Universidade Federal de Uberlândia (UFU) – Faculdade de Engenharia Mecânica - Campus Santa Mônica, Av. João Naves de Ávila 2121, Bloco 1M, Uberlândia, MG, Brazil, CEP 38400-902
(2) Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) – Campus Cornélio Procópio, Av Alberto Carazzai 1640,
Cornélio Procópio, MG, Brasil, CEP 86300-000
Resumo. Alguns métodos de Controle Ativo de Vibrações são baseados em modelos matemáticos; nestes casos uma questão que deve ser levada em consideração é o efeito das variações dos parâmetros sobre a performance do sistema. Como não é possível conhecer de antemão os valores de todos os parâmetros do sistema mecânico, uma alternativa bastante interessante é projetar controladores robustos que incluam incertezas. Neste sentido, este trabalho apresenta uma técnica de controle ativo de vibrações, dedicado a máquinas rotativas, levando em consideração incertezas dos parâmetros do sistema. Para tanto, um Atuador Eletromagnético foi incorporado ao sistema e os ganhos do controlador foram determinados utilizando técnica de Controle Ótimo resolvido via Desigualdades Matriciais Lineares, que são uma ferramenta bastante útil no tratamento de sistemas com parâmetros incertos. Além disso, foram empregados estimadores de Kalman para inferir sobre os estados modais do sistema. A potencialidade da metodologia para aplicações em engenharia foi investigada através de testes experimentais, uma vez que o modelo da máquina rotativa em análise foi concebido com base no Método dos Elementos Finitos, o que possibilitou investigar o potencial da metodologia para aplicações em engenharia.
Palavras chave: Controle Robusto, Atuador Eletromagnético, Estimador de Kalman, Desigualdades Matriciais Lineares
1. INTRODUÇÃO
Nos últimos anos, uma das maiores preocupações na indústria tem sido o aumento da eficiência de seus equipamentos. Em termos de máquinas rotativas, a eficiência está diretamente relacionada com a velocidade de operação. Um dos métodos existentes para o aumento da velocidade de operação consiste na redução do peso, resultando rotores mais flexíveis. Segundo Simões et al (2007), o aumento da flexibilidade leva ao aumento do nível de vibração da máquina rotativa quando o sistema opera em uma velocidade perto de uma de suas velocidades críticas. O excesso de vibração em uma máquina rotativa compromete o seu rendimento, desgasta prematuramente os mancais e pode levá-lo a uma falha de maiores proporções do equipamento. Diante de tal problema, técnicas de controle de vibração vêm sendo desenvolvidas a fim de garantir o funcionamento seguro e eficiente das máquinas rotativas. Tais técnicas de controle podem ser dividas em três categorias principais: Passivo, Semi-Ativo e Ativo.
Atualmente, observa-se um aumento nas pesquisas em engenharia no desenvolvimento de novas técnicas de controle ativo de vibrações (AVC – do inglês Active Vibration Control). Estas pesquisas são impulsionadas pela necessidade de se dispor de estruturas leves associadas a um alto desempenho de operação, gerando menores custos operacionais e aumentando a competitividade (Bueno, 2007). Nas últimas décadas, as metodologias de AVC têm recebido contribuições significativas, sobretudo devido aos avanços no processamento digital de sinais, ao aparecimento de novos tipos de atuadores e novas metodologias de controle. O assunto é amplamente investigado em Der Hagopian et al (2010), Fuller et al (1996), e Juang et al (2001).
Uma grande variedade de atuadores está disponível para aplicações em controle, tais como Atuadores Piezelétricos do Tipo Pilha, Mancais Magnéticos Ativos (MMA) e Atuadores Eletromagnéticos (AEM). Os Atuadores Piezelétricos mostraram-se bastante eficientes no controle de vibrações em máquinas rotativas. Mais recentemente, Simões et al (2007) apresentou uma estratégica de controle modal para rotores flexíveis utilizando dois atuadores piezelétricos do tipo pilha instalados ortogonalmente em um dos mancais da máquina, permitindo a alteração da rigidez do sistema. Da mesma forma, os MMAs têm sido empregados com bastante sucesso em turbomáquinas industriais (Schweitzer et al,
2009). Os MMAs permitem a aplicação do esforço de controle através da aplicação de forças magnéticas laterais sem contato direto entre o rotor e o estator. Entretanto, possuem algumas desvantagens, tais como a complexidade técnica e o consumo contínuo de energia para levitar o rotor (Horst et al, 2004).
O AEM baseia-se no mesmo princípio físico empregado nos MMAs, mas apenas em termos da aplicação de forças laterais sem a necessidade de contato, pois o AEM não é empregado para levitar o rotor diretamente. Desta forma, o AEM resulta em um mancal híbrido. O controle ativo através de AEM foi realizado com sucesso em estruturas leves tanto numérica quanto experimentalmente (Der Hagopian et al, 2010), sendo que a sua principal vantagem é a simplicidade, pois consiste na associação de uma estrutura eletromecânica com a ação de controle, sem contato mecânico.
Desta forma, este trabalho apresenta o projeto de controladores robustos para um sistema rotativo empregando atuadores eletromagnéticos Para tanto, os AEMs foram instalados ao redor de um mancal de esferas convencional, resultando em uma arquitetura denominada genericamente de mancal híbrido. Os controladores robustos foram projetados utilizando controle ótimo resolvido através de desigualdades matriciais lineares (LMIs do inglês Linear
Matrix Inequalities), ferramenta que permite a inserção de incertezas no modelo do rotor.
2. ROTOR FLEXÍVEL
A Fig. (1) apresenta a bancada experimental com o rotor flexível estudado (Koroishi, 2013). O modelo do rotor foi obtido utilizando 32 elementos de viga de Timoshenko, sendo que este modelo discretizado pode ser observado na Fig. (2). Os discos D1 e D2 estão localizados nos nós 13 e 22, já os mancais M1 (Mancal Híbrido) eM2 localizam-se nos nós
4 e 31. Os dois planos de medição foram posicionados nos nós 8 e 27.
Figura 1. Rotor flexível: Bancada experimental.
Figura 2. Modelo discretizado do rotor flexível.
A equação do movimento de um rotor flexível foi determinada utilizando o Método dos Elementos Finitos e é escrita na forma matricial dada pela Eq. (1).
M
xt
Cb
Cg
x
t
K
Kst
x
t
Fw
t
FAEM
t
(1) na qual
x
t é o vetor de deslocamento generalizado;
M,Cb,
Cg,
K,Kst
são as conhecidas matrizes de inércia,rigidez, amortecimento viscoso do mancal (que pode incluir amortecimento proporcional), giroscópica (com respeito a velocidade de rotação) e os efeitos da variação da velocidade de rotação; é a velocidade angular que varia no tempo e
Fwt
e
FAEM
t
são as forças devidas ao desbalanceamento e ao atuador eletromagnético, respectivamente. As propriedades do rotor são apresentadas na Tab. (1).Tabela 1. Propriedades físicas do sistema rotor-mancal.
Rotor Mancal
Propriedade Valor Propriedade Valor Massa do eixo (kg) 4,1481 kx1 (N/m) 7,73X105 Massa do disco D1 (kg) 2,6495 kz1 (N/m) 1,13X105 Massa do disco D2 (kg) 2,6495 kx2 (N/m) 5,51X108 Espessura do disco D1 (m) 0,1000 kz2 (N/m) 7,34X108 Espessura do disco D2 (m) 0,1000 Cx1 (N.s/m) 5,7876 Diâmetro do eixo (m) 0,0290 Cz1 (N.s/m) 12,6001 Módulo de Young (GN/m2) 205 C x2 (N.s/m) 97,0231 Densidade (Kg/m3) 7850 C z2 (N.s/m) 77,8510 Coeficiente de Poisson 0,3 3. DESIGUALDADES MATRICIAIS LINEARES
As primeiras aplicações de LMIs na análise de sistemas dinâmicos foram realizadas a mais de 100 anos. Em 1890, Aleksandr Mikhailovich Lyapunov apresentou seu trabalho, onde introduziu a teoria de Lyapunov (Boyd et al, 1994) através da seguinte expressão:
x(t)
A x(t)
(2)é estável (todas as trajetórias convergem para zero) se, e somente se, existe uma matriz P positivo definida tal que:
AT P P A 0 (3)A inequação dada pela Eq. (3) é conhecida como desigualdade de Lyapunov.
Atualmente, as LMIs têm sido objeto de estudos de muitos pesquisadores de destaque e com os mais variados enfoques, tais como: controle de sistemas discretos e contínuos no domínio do tempo, controle ótimo e controle robusto (Van Antwerp et al, 2000), redução de modelos (Assunção, 2000), controle de sistemas não lineares, teoria de filtros robustos (Palhares, 1998), e detecção, localização e quantificação de falhas (Abdalla et al, 2000; Wang et al, 2007). 3.1. Regulador Linear Quadratico usando LMIs
Muitos autores tem considerado aplicações de LQR, entretanto, poucos têm discutido a versão deste controlador formulada com base em LMI’s (Johnson et al, 2002). Uma versão de LQR resolvido por LMI’s é apresentada por Erkus et al (2004). Estes autores mostram em seu trabalho que o problema LQR-LMI pode ser descrito por:
T
lmi T lmi lmi lmi lqr X P X Y N tr N Y tr X tr P Q tr lmi lmi , , min (4)
1 2 1 20
subjeito a
0
T T T T lmi lmi w w lmi lqr lmi T lmi lqr lmiA P
B Y
P A
Y
B
B
B
X
R
Y
Y
R
P
(5)Os ganhos do controlador são obtidos substituindo-se a matriz
A por
A Bu KG
na Eq. (3) e resolvendo as Eqs. (4) e (5), onde o sinal de controle é
u
t
KG
X t
(controle por realimentação de estados).3.2. Projeto robusto de controladores usando LMIs
A maior vantagem do projeto empregando LMIs é de permitir a definição de especificações tais como requisitos de estabilidade, taxa de decaimento, limitações da entrada do atuador e limitadores de picos de saída. Além disso, também permitem assumir que os parâmetros do modelo envolvam incertezas.
As LMIs consistem em uma ferramenta bastante prática para problemas com restrições, onde os parâmetros variam de acordo com uma faixa de valores. O projeto robusto de controladores empregado neste trabalho foi apresentado por Assunção et al (2001). Um sistema com incertezas politópicas é estável se existirem
X e
G tais que as seguintesLMIs sejam factíveis:
0 0 X B G A X G B X Ai i iT T iT (6)onde i=1,2,…,m e m é o número de incertezas.
A Eq. (4) foi usada para o controle robusto usando LQR, e as restrições (Eq. (5)) foram arranjadas na forma dada pela Eq. (6).
4. ATUADOR ELETROMAGNÉTICO
O atuador eletromagnético (AEM) é utilizado para aplicar força de controle sobre o rotor flexível, a qual é dada pela Eq. (7) (Morais et al, 2012).
2 0 2 22
2
r EMAa
d
c
b
e
af
I
N
F
(7)Os parâmetros geométricos que definem o AEM (a, b, c, d e f) são apresentados na Fig (3) e seus valores são apresentados na Tab. (2). Os parâmetros µ0 e µr são a permeabilidade magnética no vácuo e a permeabilidade relativa
do material. O entreferro é dado por
e
e
é o entreferro devido a vibração do rotor na posição do AEM.Figura 3. Circuito ferromagnético. Tabela 2. Parâmetros do AEM.
µ0 (H/m) 1,26 X10-06 µr 700 N (espiras) 250 a (mm) 9,50 b (mm) 38,0 c (mm) 28,5 d (mm) 9,50 f (mm) 22,5 e (mm) 0,5
Quatro AEMs são usados no sistema, dois para cada direção de controle (x e z). Os AEMs aplicam somente força de atração e cada atuador age separadamente. A Fig. (4) apresenta o mancal híbrido construído, composto por quatro AEMs.
Figura 4. Mancal híbrido. 5. SISTEMA DE CONTROLE
O sistema de controle utilizado é apresentado na Fig. (5). A vantagem de se utilizar controle ativo modal é que esta técnica é mais eficiente em aplicações de estruturas flexíveis, exigindo um número reduzido de sensores e atuadores. O estimador é responsável pela determinação dos estados modais utilizados pelos controladores. O Estimador de Kalman tem a vantagem de realizar a estimação dos estados utilizando sinais contaminados por ruídos.
Figura 5. Sistema de Controle, adaptado de Mahfoud et al (2011).
No sistema de controle apresentado na Fig. (5) vale destacar a importância do Estimador de Kalman. No presente trabalho, o estimador possui duas funcionalidades: a primeira consiste na estimação dos modos do sistema, os quais são utilizados pelo controlador para a determinação do esforço de controle necessário; já a segunda, consiste na estimação do deslocamento do sistema na posição do mancal híbrido.
Esta segunda utilização do Estimador de Kalman é fundamental para o bom funcionamento do sistema de controle. A estimação da resposta do sistema na posição dos atuadores é necessária devido ao fato de que o entreferro (gap do AEM) é extremamente pequeno, tornando impossível a instalação de sensores.
O modelo inverso do atuador eletromagnético foi necessário, visto que o AEM é um atuador não linear. Desta forma, o controlador determinava o esforço de controle necessário, com o uso deste esforço e da resposta do sistema na posição do atuador, o modelo inverso calculava a corrente elétrica utilizada pelos AEMs.
Neste sistema de controle, os controladores utilizam tanto os deslocamentos modais como as velocidades modais. A Fig. (6) apresenta a estrutura do controlador utilizada no sistema da Fig. (5).
Figura 6. Estrutura do controlador. 6. RESULTADOS EXPERIMENTAIS
A primeira velocidade crítica do rotor apresentado pela Fig. (1) é próxima de 1600 rpm; desta forma esta foi a velocidade de rotação escolhida para análise sistema de controle. A resposta do sistema foi medida pelo sensor situado no nó 27.
As respostas do sistema são apresentadas nas Figs. (6a) e (6b), respectivamente, das direções x e z.
0 1 2 3 4 5 -300 -200 -100 0 100 200 300 D es lo c am en to ( m ) - D ireç ão x Tempo (s) 0 1 2 3 4 5 -300 -200 -100 0 100 200 300 D es lo c am en to ( m ) - D ireç ão z Tempo (s) (a) (b)
Figura 6. Rotor flexível: (a) Deslocamento – Direção x; (b) Deslocamento – Direção z.
A Fig. (6) permite observar a redução na amplitude pico a pico da resposta ao desbalanceamento em regime permanente nas duas direções perpendiculares consideradas. Vale ressaltar que melhores resultados foram obtidos na direção x, visto que nesta direção não há influência da força peso, que atua na direção z (vertical). A redução da amplitude da resposta pico a pico foi de 618,90µm para 253,83µm na direção x, e de 416,43µm para 209,48µm na direção z.
A Fig. (7) apresenta a órbita da resposta do sistema com controle ligado e desligado, permitindo uma melhor visualização da resposta do sistema.
-200 0 200 -300 -200 -100 0 100 200 300 D esl o cam en to ( m) D ireção z Deslocamento (m) - Direção x Controle - Off Controle - On
Com a finalidade de avaliar a robustez dos controladores desenvolvidos, realizou-se uma análise do controle considerando uma variação de ±20% nos parâmetros da matriz dinâmica [A] do estimador. Os resultados da resposta do sistema controlado são apresentados na Fig. (8).
-200 -100 0 100 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Experimental D e s locamen to ( m ) - D ireção z Deslocamento (m) - Direção x 100 105 110 115 120 -200 -100 0 100 200 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 Experimental D e s locament o ( m ) - D ire ç ã o z Deslocamento (m) - Direção x 100 80 85 90 95 (a) (b)
Figura 8. Órbita da resposta ao desbalanceamento do sistema controlado considerando variação de ±20% nos parâmetros da matriz dinâmica [A] do estimador.
Os resultados apresentados na Fig. (8) estão agrupados na Tab. (3).
Tabela 3. Redução percentual pico a pico da resposta ao desbalanceamento. Variação do modelo
do Estimador
Controle - Off Controle - On Redução Percentual Direção x Direção z Direção x Direção z Direção x Direção z
80% 618,90 416,43 297,31 290,83 51,96% 30,16% 85% 618,90 416,43 297,98 300,07 51,85% 27,94% 90% 618,90 416,43 267,46 252,55 56,78% 39,35% 95% 618,90 416,43 260,81 224,56 57,86% 46,08% 100% 618,90 416,43 253,86 209,48 58,98% 49,70% 105% 618,90 416,43 258,12 211,38 58,29% 49,24% 110% 618,90 416,43 257,99 197,71 58,32% 52,52% 115% 618,90 416,43 244,73 185,54 60,46% 55,45% 120% 618,90 416,43 250,13 176,84 59,58% 57,53%
Analisando-se os resultados apresentados na Tab. (3), observa-se que o controle foi robusto em relação a variações no modelo do estimador, fato que pode ser comprovado com base no grau de redução percentual da amplitude pico a pico da resposta do sistema, principalmente na direção x.
4. CONCLUSÕES
O emprego de estratégias de Controle Robusto é uma alternativa bastante interessante para considerar incertezas inerentes aos parâmetros do sistema em análise, ainda na sua fase de projeto. Desta forma, o sistema é concebido para operar adequadamente mesmo na presença de discrepâncias entre o modelo e a planta real. Isto pôde ser comprovado experimentalmente neste trabalho, pois o sistema de controle foi capaz de garantir o funcionamento adequado da máquina rotativa mesmo diante de variações significativas no modelo do estimador, confirmando o potencial da metodologia proposta para aplicações em sistemas reais de engenharia.
5. AGRADECIMENTOS
Os autores agradecem o suporte financeiro da FAPEMIG, CNPq e CAPES para este trabalho, através do INCT-EIE.
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Palhares, R. M., 1998, “Filtragem Robusta: Uma Abordagem por Desigualdades Matriciais Lineares”, Tese de Doutorado, UNICAMP, Campinas, SP.
Schweitzer, G., Maslen, E. H., 2009, Magnetic Bearings: Theory, Design and Application to Rotating Machinery, ISBN 978-3-642-00496-4.
Simões, R. C., Der Hagopian, J., Mahfoud, J., Steffen Jr, V., 2007, Modal active vibration control of a rotor using piezoelectric stack actuators, J. Vib. Control, 13, pp. 45-64.
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7. RESPONSABILIDADE PELAS INFORMAÇÕES
Os autores são os únicos responsáveis pelas informações incluídas neste trabalho.
ROBUST CONTROL IN ROTATING MACHINERY USING LINEAR
MATRIX INEQUALITIES
Adriano Silva Borges, adrianosborges@uol.com.br(1)
Marcus Vinícius Fernandes, marcusfernandesss@gmail.com(1)
Edson Hideki Koroishi, edsonh@utfpr.edu.br(2)
Valder Steffen Jr, vsteffen@mecanica.ufu.br(1)
(1) Universidade Federal de Uberlândia (UFU) – Faculdade de Engenharia Mecânica - Campus Santa Mônica, Av. João Naves de Ávila 2121, Bloco 1M, Uberlândia, MG, Brazil, CEP 38400-902
(2) Universidade Tecnológica Federal do Paraná (UTFPR) – Campus Cornélio Procópio, Av Alberto Carazzai 1640,
Cornélio Procópio, MG, Brasil, CEP 86300-000
Abstract. Some Active Vaibration Control methods are based on mathematical models, in these cases, parameters variations play an important role in the system performance. As it is not possible to know in andvance the precise values for all parameters of the mechanical system, a possible alternative is to design robust controllers that take into account such uncertainties. In this context, this work presents a Vibration Active Control technique devoted to rotating machinery by incorporating Eletromagnetic Actuators, which considers uncertainties with respect to parameters of the system. The Eletromagnetic Actuator’s gains are determined by using Linear Matrix Inequalities (LMI), which consist of a powerfull tool when there are uncertainties about system parameters. In addition, Kalman Estimators are employed in order to deduce the modal states of the system. The model of the rotating machinery is obtained by using the Finite Element Method (FEM) and the potenciality of the methodology for applications in engineering was investigated trough experimental tests.
