Decomposições para o tensor de Reynolds e sua aplicação em um escoamento de bocal convergente-divergente

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE TCE - Escola de Engenharia

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇÃO II

Título do Projeto:

DECOMPOSIÇÕES PARA O TENSOR DE REYNOLDS

E SUA APLICAÇÃO EM UM ESCOAMENTO DE

BOCAL CONVERGENTE-DIVERGENTE

Autor:

LUCAS FIRMINO MELO PEREIRA

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Orientador:

RONEY LEON THOMPSON, D.Sc.

DECOMPOSIÇÕES PARA O TENSOR DE REYNOLDS E SUA

APLICAÇÃO EM UM ESCOAMENTO DE BOCAL

CONVERGENTE-DIVERGENTE

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Engenharia Mecânica da Universidade Federal Flu-minense, como requisito parcial para obtenção do grau de Engenheiro Mecânico.

Orientador:

RONEY LEON THOMPSON, D.Sc.

Niterói 28 de Março de 2016

Ficha Catalográfica elaborada pela Biblioteca da Escola de Engenharia e Instituto de Computação da UFF

P436 Pereira, Lucas Firmino Melo

Decomposições para o tensor de Reynolds e sua aplicação em um escoamento de bocal convergente-divergente / Lucas Firmino Melo Pereira. – Niterói, RJ: [s.n.], 2016.

82 f.

Trabalho (Conclusão de Curso) – Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal Fluminense, 2016.

Orientador: Roney Leon Thompson.

1. Turbulência. 2. Tensor de Reynolds. I. Título. CDD 532.0257

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇAO II

AVALIAÇAO FINAL DO TRABALHO

Título do Trabalho:

DECOMPOSIÇÕES PARA O TENSOR DE REYNOLDS E SUA

APLICAÇÃO EM UM ESCOAMENTO DE BOCAL

CONVERGENTE-DIVERGENTE

Parecer do Professor Orientador da Disciplina:

- Grau Final recebido pelos Relatórios de Acompanhamento:

- Grau atrjbuíc.lo ao grupo nos Seminários de Progresso:

Parecer do Professor Orientador:

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Nome e Assinatura do Professor Orientador:

Prof.: Roncy Lcon Thompson.

Assinatura:

Parecer Conclusivo da Banca Examinadora do Trabalho:

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Projeto Aprovado Sem Restrições

D

Projeto Aprovado Com Restrições

Prazo concedido para cumprimento cfas exigências:

---- _{TCE - Escola de Engenharia} UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE

TEM - Departamento de Engenharia Mecânica

PROJETO DE GRADUAÇAO II

AVALIAÇAO FINAL DO TRABALHO

(continuação)

Aluno: Lucas Firmino Melo Pereira.

Composição da Banca Examinadora:

Prof.: Roney Leon Thompson, D.Se.

Prof.: Daniel Rodríguez Álvarez, D.Se.

Prof.: Raul Bernardo Yidal Pessolani, D.Se.

Data ele Defesa do Trabalho:

Departamento ele Engenharia Mecânica, 28/03/2016

Dedico este trabalho a meus pais Luiz e Valéria e minha irmã Luiza, que sempre acre-ditaram na educação como sendo o caminho para o crescimento pessoal e cujo suporte foi imprescindível para a conclusão deste curso.

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao professor Roney Thompson, que demonstrou grande paciência e dedicação ao me orientar por um campo do conhecimento que está longe de ser considerado simples.

Agradeço aos colegas de iniciação científica: Matheus, Bernardo, Perroni, Bragança e Madeira e ao amigo Fernando, com os quais horas de conversas proveitosas certamente cor-roboraram para o que está aqui apresentado.

No estudo da mecânica dos fluidos, uma das formas de se abordar o problema da turbu-lência é através de modelagens RANS. No trabalho a ser desenvolvido, objetiva-se construir bases não lineares para o tensor de Reynolds e verificar sua eficácia em um caso específico de bocal convergente-divergente.

Palavras-Chave: Turbulência, RANS, Tensor de Reynolds

ABSTRACT

In the study of fluid mechanics, one of the ways to approach the turbulence problem is through RANS modeling. The main objective of this work is to build nonlinear basis to the Reynolds Stress and verify their accuracy on a converging-diverging channel flow.

Key-Words: Turbulence, RANS, Reynolds Stress

1. INTRODUÇÃO . . . 1

1.1 Uma visão estatística . . . 3

1.2 Cascata de Energia e Hipótese de Kolmogorov . . . 4

2. EQUAÇÕES DE GOVERNO . . . 7

2.1 Hipótese do Contínuo . . . 7

2.2 Equações De Balanço . . . 9

2.3 Abordagem Média . . . 11

2.3.1 Hipótese de Viscosidade Turbulenta . . . 13

2.3.2 Modelos Tradicionais . . . 14

3. FORMULAÇÃO TEÓRICA . . . 18

3.1 O Tensor Não-Persistência a Deformação . . . 18

3.2 Objetividade . . . 21

3.3 Decomposições Tensoriais . . . 23

3.3.1 Decomposição Em Fase - Fora de Fase . . . 24

3.3.2 Decomposição Proporcional - Ortogonal . . . 26

3.4 Modelos propostos . . . 28 3.4.1 Modelo 1: _{B = αD} . . . 28 3.4.2 Modelo 2: B = α01 + α1D + α2D2 . . . 28 3.4.3 Modelo 3: B = α01 + α1D + α2D2+ βP. . . 30 3.4.4 Modelo 4: B = αD + βP . . . 31 3.4.5 Modelo 5: B = αD + β01 + β1P + β2P2 . . . 31 3.4.6 Modelo 6: B = α01 + α1D + α2D2+ β01 + β1P + β2P2 . . . 32 x

xi 3.5 Adimensionalizações Propostas . . . 32 4. O CASO EM ESTUDO . . . 34 5. RESULTADOS E DISCUSSÃO . . . 37 6. CONCLUSÕES . . . 62 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS . . . 64 7. APÊNDICE . . . 66

7.1 Equação de transporte para o tensor de Reynolds . . . 66

1.1 Transferência de energia entre as diversas escalas da turbulência. Fonte:

Pope (2000) . . . 6

3.1 Planoπ: representação geométrica de como a vorticidade relativa atua em um plano de autodireções deD. Fonte: Thompson and Mendes (2005) . . . . 20

3.2 Representação do conceito de objetividade: Dois observadores analisando um pontoP. . . 21

3.3 Simplificação do conceito por trás do parâmetroR. . . 27

4.1 Representação tridimensional da geometria estudada com ênfase para as es-truturas turbulentas. Fonte: Laval and Marquillie (2009) . . . 34

4.2 Imagem da malha utilizada com resolução de 1:16. Fonte: Marquillie et al. (2011) . . . 35

4.3 Representação do perfil de velocidadeuna entrada da geometria . . . 36

4.4 Razão entre o maior comprimento de cada volume da malha e a escala de kolmogorov correspondente. Fonte: Laval and Marquillie (2009) . . . 36

5.1 Componentes da parcela deviatórica do tensor de ReynoldsBem cada seção. 38 5.2 Perfil de velocidadeu em cada seção. . . 39

5.3 Componentes do tensor taxa de deformaçãoDem cada seção. . . 40

5.4 ParâmetroRI. . . 41

5.5 coeficienteC_µ. . . 41

5.6 Distribuição do coeficienteC_µ ao longo das respectivas seções. . . 42

5.7 coeficienteCD. . . 43

5.8 Distribuição do coeficienteCD ao longo das respectivas seções. . . 44

xiii

5.9 Componentes do tensor(αD)em cada seção. . . 45

5.10 ParâmetroRI I. . . 46

5.11 CoeficientesC_µ0eCD0. . . 46

5.12 Distribuição dos coeficientesC_µ0eCD0ao longo das respectivas seções. . . . 47

5.13 CoeficienteC_µ1. . . 48

5.14 CoeficienteCD1. . . 48

5.15 CoeficienteCD2. . . 49

5.16 Distribuição do coeficienteCD2 ao longo das respectivas seções. . . 50

5.17 Distribuição do coeficienteC_µ2ao longo das respectivas seções. . . 51

5.18 Componentes do tensor(α01 + α1D + α2D2)em cada seção. . . 52

5.19 ParâmetroRI I I. . . 53

5.20 Distribuição dos coeficientesCP ao longo das respectivas seções. . . 54

5.21 Componentes do tensor(α01 + α1D + α2D2+ βP)em cada seção. . . 55

5.22 ParâmetroRI V. . . 56

5.23 Componentes do tensor(αD + βP)em cada seção. . . 57

5.24 ParâmetroRV. . . 58

5.25 CoeficienteCP 2. . . 58

5.26 Distribuição dos coeficientesCP 2 ao longo das respectivas seções. . . 59

5.27 ParâmetroRV I. . . 60

ξ Escalar arbitrário.

η Escala de kolmogorov.

τη Escala temporal referente àη.

u_η Escala de velocidade referente àη.

Re Número de Reynolds.

T Taxa de transferência de energia entre escalas.

² Taxa de dissipação de energia.

K n Número de Knundsen.

Γ Função de mapeamento da trajetória de uma partícula de fluido. L Gradiente de velocidade.

D Tensor taxa de deformação. W Tensor vorticidade.

T Tensor representativo do campo de tensões do fluido.

˜

T Parcela deviatórica do tensor das tensões.

ρ Massa específica do fluido

µ Coeficiente de viscosidade. ν Viscosidade cinemática. p Pressão. g aceleração gravitacional. u velocidade. νt Viscosidade turbulenta.

u∗ Escala de velocidade utilizada na descrição da viscosidade turbulenta.

xv

l∗ Escala de comprimento utilizada na descrição da viscosidade turbulenta.

lm Comprimento de mistura

cD Constante arbitrária

C_µ Constante de valor 0,09 do modelok-².

C_²1 Constante de valor 1,44 do modelok-².

C_²2 Constante de valor 1,92 do modelok-².

σ² Constante de valor 1,3 do modelok-².

σk Constante de valor 1 do modelok-².

β Constante de valor ₄₀3 do modelok-ω.

β∗ _{Constante de valor} 9

100 do modelok-ω.

a Constante de valor 5₉ do modelok-ω.

σ Constante de valor 0,5 do modelok-ω.

σ∗ _{Constante de valor 0,5 do modelok-ω.}

k Energia cinética turbulenta. B Tensor de Reynolds deviatórico. P Tensor não-persistência a deformação. ΩD _{Tensor taxa de rotação dos autovetores deD.}

W Tensor vorticidade relativa

R Tensor ortogonal de mudança de base.

λ Autovalores arbitrários.

be

D

i Autovetor de D.

Imn Escalar representativo da magnitude de um filamento material.

x Coordenada espacial de um ponto arbitrário.

x∗ Coordenada espacial de um ponto arbitrário vista por um referencialO∗. A Tensor arbitrário.

ϕF+

A Parcela deAque comuta e não é ortogonal àF.

ϕF+−

A Parcela deAque comuta e é ortogonal àF.

ϕF−

A Parcela deAque não comuta e é ortogonal àF.

P_AF Parcela proporcional da projeção deAem F .

˜

P_AF Parcela não proporcional da projeção deAem F . ΦF_A Parcela Em Fase da projeção deAem F .

˜

ΦF_A Parcela Em Fase da projeção deAem F .

R Parâmetro de performance do modelo sobre o tensor alvo. 1DD Tensor de quarta ordem de mudança de base.

1 INTRODUÇÃO

Em diversas situações de interesse na mecânica dos fluidos é possível se deparar com escoamentos que apresentam as variáveis de interesse distribuídas de forma aparentemente caótica e randômica, este padrão é característico de um escoamento turbulento. Tal fenô-meno tem alto caráter difusivo, ou seja, há grande capacidade de se transportar propriedades ao longo de direções que não são as principais do escoamento, notando-se o claro “efeito de mistura”. Isto pode ser positivo, como na mistura de um combustível na câmara de com-bustão de um motor. Trata-se de um fenômeno intrinsecamente transiente, ou seja, mesmo que de forma mediana as propriedades convirjam para um patamar independente do tempo, o valor integral das mesmas varia a cada instante, além disso o fenômeno é tridimensional, rotacional e altamente dissipativo, isto é, precisa ser constantemente alimentado de modo a evitar sua degeneração.

Tratar o escoamento como randômico pode soar de forma estranha a um primeiro mo-mento, visto que acredita-se que o fenômeno seja determinístico e que possa ser descrito por equações de governo. De fato estas equações descrevem o fenômeno, porém sua não lineari-dade e sua extrema susceptibililineari-dade a variações nas condições de contorno ou iniciais torna a reprodução exata destas um ato extremamente improvável. Pequenos desvios nas condi-ções de contorno ou de valor inicial ou mesmo erros numéricos no caso de uma abordagem computacional são alimentados e podem provocar mudanças substanciais nos campos das variáveis de interesse. Essa incapacidade de controlar as variáveis à tal nível de refino força a se tomar, a primeiro momento, uma abordagem estatística.

O foco deste trabalho está nas modelagens RANS - Reynolds Averaged Navier-Stokes, aonde assume-se uma média temporal sobre as equações de governo. Tal abordagem cria um tensor chamado tensor de Reynolds, responsável por comportar a colaboração das flu-tuações da velocidade para o campo médio de tensões do escoamento. Este tensor agrega

ao conjunto de equações já existentes um total de 6 novos termos e cria o famoso problema de fechamento da turbulência. Como será visto mais adiante, uma forma muito usual de modelá-lo, conhecida como hipótese de viscosidade turbulenta, já é matematicamente precá-ria, uma vez que o tensor taxa de deformação é incapaz, na maioria das vezes, de representar toda a complexidade do tensor de Reynolds.

Thompson et al. (2010) propõem algumas decomposições para este tensor além de uma forma de avaliação da performance para cada modelo proposto. Neste trabalho serão vistas bases que são função do tensor taxa de deformação e do tensor não-persistência à deforma-ção, o motivo de sua escolha será visto mais adiante. Então, o presente trabalho permite, além da verificação do desempenho, a avaliação de algumas das particularidades de cada modelo.

Para a análise de tais bases, foi escolhido um escoamento estatísticamente bidimensional sobre uma superfície levemente côncava. A simulação foi executada via DNS - Simulação Numérica Direta - por Marquillie et al. (2011) em um número de Reynolds de Re=12600, e os resultados usados para compor tais bases. O procedimento de determinação dos coe-ficientes de cada base proposta necessita de resultados mais nobres do que o RANS pode proporcionar, servindo como um “gabarito”. Haveria também a opção de fazer uso de uma base LES - Large Eddy Simulation, porém como o LES faz uso de modelagens a partir de uma certa escala, optou-se pela utilização de um DNS, que não faz uso de modelos e conse-quentemente teria o conjunto de dados mais nobre frente a todas estas opções.

No capítulo seguinte, será feita uma revisão das equações de governo, da hipótese de Boussinesq e de alguns dos modelos usualmente adotados para abordá-la. No capítulo 3, irá se apresentar um importante tensor para os modelos que virão a ser propostos, além da fundamentação matemática por trás das decomposições utilizadas e finalmente pode-se mostrar como os coeficientes de cada modelo são obtidos. No quarto capítulo apresenta-se o caso em estudo e no quinto capítulo serão apresentados os resultados.

3

1.1 Uma visão estatística

Como mencionado, mesmo as menores perturbações podem desviar os valores de dois experimentos que, aparentemente sob mesmas condições de contorno e iniciais, deveriam fornecer o mesmo resultado. Seria interessante a execução de um número suficientemente grande destes experimentos e então a média da propriedade de interesse no mesmo ponto e no mesmo tempo nos diversos experimentos entregaria um campo estatisticamente mais confiável.

Performar a média de um grande número de experimentos independentes pode ser im-praticável e uma solução possível é a de pensar em médias que ocorrem dentro de um único experimento, como a média temporal e a média espacial dos campos.

Após observar-se o experimento durante um tempo suficientemente grande e consequen-temente estando este em regime permanente1, a hipótese de ergodicidade afirma que a média temporal tende à média amostral de diversos experimentos diferentes.

Seja uma variável aleatória contínuaξ = ξ(x,t). A flutuação de seus valores no tempo em torno de sua média pode ser escrita como:

ξ0_{(x, t ) = ξ(x, t) − ξ(x) (1.1)}

Onde sua média temporal2é definida como:

ξ(x) ≡ lim t →∞ 1 T Z T 0 ξ(x,t)dt (1.2)

Combinando a equação (1.1) e a definição (1.2), é fácil ver que:

1_{No regime permanente, as variáveis médias são invariantes quanto à mudança temporal.} 2_{Neste texto, a média temporal será identificada através de uma barra sobrescrita à variável.}

A média temporal de uma flutuação é nula. ξ(x) = lim t →∞ 1 T Z T 0 (ξ(x) + ξ0(x, t ))d t ξ(x) = ξ(x) lim t →∞ 1 T Z T 0 d t + limt →∞ 1 T Z T 0 ξ 0_{(x, t )d t} | {z } ξ0_{(x,t )} ξ0_{(x, t ) = 0 (1.3)}

A média temporal da derivada espacial de uma propriedade é a derivada espacial da média temporal desta propriedade.

lim t →∞ 1 T Z T 0 ∂ξ(x,t) ∂x d t = ∂ ∂xt →∞lim 1 T Z T 0 ξ(x,t)dt ∂ξ(x,t) ∂x = ∂ξ(x,t) ∂x (1.4)

A média temporal entre o produto de uma flutuação da propriedade com seu valor médio é zero. ξ0_{(x, t ).ξ(x) = lim} t →∞ 1 T Z T 0 ξ 0_{(x, t ).ξ(x)dt} = ξ(x) lim t →∞ 1 T Z T 0 ξ 0_{(x, t )d t = 0 (1.5)}

1.2 Cascata de Energia e Hipótese de Kolmogorov

Fisicamente, o escoamento turbulento pode ser como visto uma série de estruturas3 com-plexas que estão a cada instante consumindo energia e se degenerando. A ideia de que a energia entra primeiro nas grandes escalas e então transfere-se das maiores para as menores escalas foi originalmente proposta por Richardson na década de 1920, construindo assim a ideia de uma cascata de energia.

Em 1941 Kolmogorov avançou neste conceito e postulou três hipóteses:

Em sua primeira hipótese, Kolmogorov afirma que para um número de Reynolds

sufi-3_{Cada estrutura do escoamento tem sua própria escala espacial, temporal e consequentemente de velocidade,}

5

cientemente grande, as estatísticas das menores escalas do escoamento são isotrópicas, ou seja, são invariantes quanto a mudança direcional. Isso quer dizer que mesmo que haja uma tendência da turbulência por se apresentar mais expressivamente em uma direção, a transfe-rência de energia entre as diversas escalas torna o caráter direcional indistiguível.

Em sua segunda hipótese, Kolmogorov afirma que, ainda em números de Reynolds sufi-cientemente grandes, as menores escalas são uma função apenas da taxa de transferência de energia²para estas e da dissipação viscosaν, então através de uma verificação dimensional as famosas escalas de comprimento, temporal e de velocidade de Kolmogorov podem ser definidas como: η ≡³ν3 ² ´1₄ (1.6) τη≡ ³ν ² ´1₂ (1.7) u_η≡ η.τη= ³ ν.²´ 1 4 (1.8)

Uma forma interessante de se enxergar as equações acima é verificando-se o número de Reynolds, que pode ser entendido como uma razão de forças inerciais e forças viscosas, assume o valor 1 para tal escala.

Re_η=ρuηη µ = ³ ν.²´ 1 4 . ³ ν3 ² ´1₄ ν = 1 (1.9)

Sejal0,τl 0eU0os parâmetros característicos da maior escala comportada pela geometria

do problema, e assumindo que no regime permanente a mesma quantidade de energia que entra nas grandes escalas precisa ser dissipada à mesma taxa -T - para escalas menores. A dissipação pode ser escrita como:

T = ² =U 3

o

l0

(1.10)

claramente que o aumento deRe provoca uma redução nas menores escalas. η l0 = µ 1 Re ¶3₄ (1.11) τη τ0 = µ 1 Re ¶1₂ (1.12) u_η u0 = ³ 1 Re ´1₄ (1.13)

Por fim, em sua terceira hipótese, Kolmogorov afirma que emRe suficientemente altos, há uma faixa de escalas suficientemente distantes das maiores escalas - por exemplo: l0 - e

suficientemente distantes das menores escalas -por exemplo:η- nas quais as estatísticas são função apenas da taxa de dissipação²e não mais da viscosidadeν. Estas hipóteses podem ser sintetizadas em um diagrama simples:

Fig. 1.1: Transferência de energia entre as diversas escalas da turbulência. Fonte: Pope (2000)

Como apresentado por Pope (2000), pode-se ver que a escala de comprimento lE I

-Energy Range / Inertial Range - marca a divisão entre a produção de energia turbulenta, que se dá em escalas superiores à esta e próximas à l0 e uma subregião inercial aonde a

energia transfere-se contínuamente atélD I - Dissipation Range / Inertial Range - que marca

o começo da ação da dissipação viscosa e a consequente perda de energia para a energia interna.

2 EQUAÇÕES DE GOVERNO

2.1 Hipótese do Contínuo

Antes de prosseguir, é indispensável falar da hipótese de se abordar um meio como sendo um contínuo de matéria. Esta abordagem traz algumas vantagens: pode-se deixar de refe-renciar partículas individuais do escoamento e ganha-se a noção de volumes infinitesimais por exemplo, trazendo também simplificações quanto às iterações destas partículas com sua vizinhança. Para admitirmos tal hipótese é necessário que a menor escala do nosso esco-amento seja suficientemente grande quando comparada com a escala molecular do fluido, assim como a escala temporal. Viu-se que a menor escala é dada porη. e sendoλ o livre caminho médio entre as moléculas que compõem o fluido em questão, a hipótese será tão boa quanto menor for a razão:

K n =λ

η¿ 1 (2.1)

Pensando a matéria como um contínuo, não se fará referência à uma partícula específica que é transportada ao longo do espaço pois este conceito não mais se aplica. Irá se pensar em uma partícula de fluido que é referenciada por uma coordenada fixaX = (X1, X2, X3)em

um dado tempo t0 , tal coordenada é conhecida como coordenada material. Seja Γ(X,t) a

função que realiza este mapeamento.

Γ(X,t0) = X Γ(X,t) = x

∂Γ(X,t)

∂t = v (2.2)

sendox = (x1, x2, x3)uma coordenada de escolha arbitrária. Assim qualquer propriedade

do fluido pode ser descrita nos dois referenciais.

Λ(x,t) = Λ(Γ(X,t),t) (2.3)

Logo, a derivada temporal no referencial material pode ser extendida para o referencial espacial. ∂Λ(x,t) ∂t ¯ ¯ ¯ X=X0 = ∂ ∂t ³ Λ(Γ(X,t),t)´¯¯ ¯ X=X0 =∂Γi(X, t ), t ) ∂t ∂ ∂xi ³ Λ(Γ(X,t),t)´¯¯ ¯ X=X0 +∂Λ(Γ(X,t),t) ∂t ¯ ¯ ¯ X=X0 = v(x, t ).∇Λ(x, t ) +∂Λ(x,t) ∂t (2.4)

Este raciocínio pode ser extendido para tensores de ordem mais elevada, basta ser feito componente à componente.

Ao ser advectado pelo escoamento, um filamento materialdr = {d x1, d x2, d x3}tem sua

evolução temporal dada da seguinte forma:

d˙r = ∂ ˙xk

∂xi

dxibek (2.5)

d˙r = L.dr (2.6)

AondeLé o grandiente de velocidade. Usualmente o gradiente de velocidade é decom-posto de forma aditiva em uma parcela simétrica - Tensor taxa de deformação (D) e uma antissimétrica - Tensor vorticidade (W).

L = D + W D =1 2 ³ L + LT´ (2.7) W = 1 2 ³ L − LT ´

Um corpo material está sujeito a dois tipos de esforços: Superficiais e de campo. A soma da resultante dos esforços de campo aplicados à um volume material Ω com a resultante

9

dos esforços superficiais aplicados à superfície∂Ω deste volume material é igual a taxa de variação do momento linear das partículas deste corpo material.

∂ ∂t Ñ Ω ρ(x,t)v(x,t)dV = Ñ Ω ρ(x,t)b(x,t)dV + Ï ∂Ω tdS (2.8)

Onde este vetor de esforços superficiaistpode ser escrito como o produto de um tensor de segunda ordem que representa o campo de tensões do fluido e um versor normal à superfície de interesse. t = T.bn, assim aplica-se o teorema da divergência na integral de superfície e

pode-se reduzir a equação à uma forma diferencial. Conhecida como equação do movimento de Cauchy - em notação diádica e indicial, respectivamente, como será utilizada adiante.

ρDv D t = ∇.T + ρb (2.9) ρai= ∂Ti j ∂xj + ρbi (2.10) 2.2 Equações De Balanço

Ao se estudar o escoamento, trabalha-se com um conjunto de equações de balanço e de continuidade que ao serem resolvidas permitem a obtenção das propriedades desejadas.

A hipótese de incompressibilidade que será adotada mais a frente afirma que a derivada material da massa específica do fluido é nula. Iniciando-se com a conservação de massa, como apresentado por Lai et al. (2009), é fácil mostrar que esta hipótese se reduz à:

Dm Dt = D(ρdV ) Dt = dV Dρ Dt + ρ DdV Dt Dρ Dt |{z} =0 +ρ∂vk ∂xk = 0 ∂vk ∂xk = 0 (2.11)

Daqui em diante, a massa específica e será assumida como constante: ρ(x,t) = ρ, assim como faz Pope (2000). O tensor de tensões descrito na equação (2.9) é usualmente

decom-posto em uma parcela esférica que virá a ser conhecida como a pressão e outra deviatórica.

Ti j= −pδi j+ ˜Ti j (2.12)

Na concepção de um fluido newtoniano, a parcela deviatórica das tensões é linearmente proporcional à taxa de deformação.

˜ Ti j= µ ¡∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi − 1 3 ∂uk ∂xk δi j ¢ (2.13)

vale ressaltar que a componente aqui referida como pressão não tem o mesmo sentido físico que a pressão termodinâmica e deve ser entendida apenas como a componente isotrópica do tensorT. Caso a velocidade do escoamento fosse à zero, esta seria a única componente que restaria deste tensor.

Aplicando-se as considerações acima em (2.9), chega-se a:

ρ³∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj ´ = ∂ ∂xj µ − pδi j+ µ ¡∂ui ∂xj + ∂uj ∂xi − 1 3 ∂vk ∂xkδi j ¢ ¶ + ρgi (2.14)

admitindo a hipótese de incompressibilidade (2.11), e para efeitos de simplificação, rees-crevendo o termo referente ao esforço de campo como o gradiente de seu potencial: ρgi =

−ρ_∂x∂_ig z, aonde g é a aceleração gravitacional e z a coordenada vertical na base cartesiana pode-se assim incorporá-lo ao termo de pressão.

ρ³∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj ´ = ∂ ∂xj µ − pδi j+ µ ¡∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ¢ ¶ (2.15)

Resolvendo-se o divergente, chega-se à forma mais conhecida deste balanço que são as equações de Navier-Stokes: ρ³∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj ´ = − ∂ ∂xip + µ ³ ∂2u_i ∂xj∂xj ´ (2.16)

11 Tomando-se o divergente em (2.16): ρ ∂ ∂xi ³∂u_i ∂t + uj ∂ui ∂xj ´ = − ∂ ∂xi ∂ ∂xi p + µ ∂ ∂xi ³ ∂2u_i ∂xj∂xj ´ (2.17) ρ³∂ ∂t ∂ui ∂xi + ∂ ∂xi ³ uj∂ui ∂xj ´´ = − ∂ 2 ∂xi∂xip + µ ³ ∂ ∂xj ∂ ∂xj ∂ui ∂xi ´ (2.18) ρ³∂ ∂t ∂ui ∂xi + ∂ui ∂xj ∂uj ∂xi + uj ∂ ∂xj ∂ui ∂xi ´ = − ∂ 2 ∂xi∂xip + µ ³ ∂ ∂xj ∂ ∂xj ∂ui ∂xi ´ (2.19)

Por fim, adotando-se a hipótese de incompressibilidade, a equação 2.17 toma a forma de uma equação de Poisson.

∂2 ∂xi∂xip = −ρ ∂ui ∂xj ∂uj ∂xi (2.20)

Esta equação, junto com as equações que surgirão de Navier-Stokes para cada direção, criam um sistema de quatro equações e quatro incógnitas, que pode ser resolvido de forma aco-plada. Uma das formas usuais de se enxergar a pressão é como o operador que corrige a continuidade durante as iterações entre as equações acima.

2.3 Abordagem Média

O conceito de média temporal definido em (1.2) pode então ser aplicado na equação de continuidade (2.11) ∂(ui+ u_i0) ∂xi = ∂(ui+ u0_i) ∂xi = ∂ui ∂xi = 0 (2.21)

mostrando que a velocidade média continua a preservar esta característica, e consequente-mente a flutuação de velocidade também:

∂(ui+ u_i0) ∂xi = ∂ui ∂xi + ∂u0 i ∂xi = ∂u0 i ∂xi = 0 (2.22)

movi-mento. ρ³∂ui ∂t + uj ∂ui ∂xj ´ = ∂ ∂xj µ − pδi j+ µ ¡∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ¢ ¶ (2.23) ρ³∂(ui+ u 0 i) ∂t + uj ∂ui ∂xj ´ = ∂ ∂xj µ − (p + p0)δi j+ µ ¡ ∂(ui+ u 0 i) ∂xj + ∂(uj+ u0_j) ∂xi ¢ ¶ (2.24)

O termo de aceleração convectiva toma a seguinte forma:

uj∂ui ∂xj = ∂uiuj ∂xj = ∂uiuj ∂xj (2.25) onde, uiuj = (ui+ u_i0)(uj+ u0_j) = ui.uj+ u0_iu0_j (2.26)

logo, tem-se que,

uj∂ui ∂xj = uj ∂ui ∂xj + ui ∂uj ∂xj + ∂u0 iu0j ∂xj = uj ∂ui ∂xj + ∂u0 iu0j ∂xj (2.27)

Assim, isola-se o termo que contém divergente no lado esquerdo da equação e obtém-se a conhecida equação de Reynolds:

³∂u_i ∂t + uj ∂ui ∂xj ´ = ∂ ∂xj µ −p ρδi j+ ν ³∂u_i ∂xj + ∂uj ∂xi ´ − u0_iu0 j ¶ (2.28)

o último termo da equação (2.28) é conhecido como tensor de Reynolds, um tensor de se-gunda ordem simétrico que pode aparecer na literatura de diversas formas, neste texto será definido apenas como−u0_iu0_j. Este é um tensor que acrescentará às equações 6 novas incóg-nitas. Ao longo do tempo, diversos modelos surgiram com hipóteses de fechamento, aonde propunham equações ou um conjunto delas que pudesse fechar o sistema.

13

2.3.1 Hipótese de Viscosidade Turbulenta

Na tentativa de se obter uma modelagem adequada para o tensor de Reynolds, surge a hipótese de viscosidade turbulenta. Aonde modela-se o tensor de Reynolds em analogia à parcela deviatórica do tensor das tensões para fluidos Newtonianos (2.13), porém diferente-mente da hipótese das tensões viscosas que são fruto de iterações moleculares e que ocorrem em escalas muito menores que a da menor estrutura do escoamento as flutuações de velo-cidade são uma função da própria escala temporal e de comprimento da estrutura à qual pertence o ponto analisado.

−u0_iu0_j = νt ³1 2 ¡∂ui ∂xj +∂uj ∂xi ¢´ −2 3kδi j (2.29)

ké definido como a energia cinética turbulenta.

k =1

2u 0

ku0k (2.30)

O fato interessante a se observar é que esta proposta tenta tornar proporcional a parte deviatórica do tensor de Reynolds ao tensor taxa de deformação. Tal abordagem é contestável sob o ponto de vista matemático pois, como será visto nas propostas de novos modelos, o tensor de Reynolds deveria ser perfeitamente proporcional com o tensor taxa de deformação para que esta hipótese fosse perfeitamente eficiente.

Guardados os erros intrínsecos a esta modelagem, o problema passa então ser como expressar o campo de νt da forma mais eficiente possível. Como dito anteriormente, o

tensor é uma função das próprias escalas em que se encontra e logo, como definido em Pope (2000), tenta-se descrever este campo na forma:

νt= u∗.l∗ (2.31)

onde νt é proporcional a uma escala de velocidade e a uma escala de comprimento, que

por sua vez podem ser representados por outros campos escalares, nos chamados modelos algébricos, ou modelados por equações de transporte, dando origem aos modelos de uma,

duas ou mais equações.

2.3.2 Modelos Tradicionais

A equação (2.29) pode ser escrita de forma simplificada como:

B = 2νtD (2.32)

aondeBserá convencionado como o tensor de Reynolds deviatórico.

B = µ − u0_iu0_j+1 3u 0 ku0kδi j ¶ b eibej (2.33)

Dentro dos modelos algébricos, o modelo de comprimento de mistura estipula uma escala de comprimentolm

l∗= lm(x) (2.34)

a escala de velocidade pode então ser escrita como uma função deste comprimento e para escoamentos entre placas paralelas e estatisticamente bidimensionais, como é o caso de um vasto número de experimentos encontrados, esta velocidade pode ser descrita simplesmente por, u∗= lm ¯ ¯ ¯ ∂u ∂y ¯ ¯ ¯ (2.35)

e a viscosidade turbulenta pode então ser escrita como:

νt= lm2 ¯ ¯ ¯ ∂u ∂y ¯ ¯ ¯ (2.36)

15

velocidade, representado, por exemplo, pela intensidade da taxa de deformação:

u∗= lm p 2D : D (2.37) νt= lm2 p 2D : D (2.38)

esta abordagem que aparentemente descreve a viscosidade turbulenta novamente transfere a problemática de modelagem para o novo parâmetrolm, que de alguma forma ainda precisa

ser especificado. Como mencionado por Wilcox (1988), este parâmetro precisa ser estimado empiricamente para cada caso e assim o modelo pode ser chamado de incompleto.

Uma outra forma de se propor a descrição desta escala de velocidade, como apresentada por Pope (2000), foi dada por Kolmogorov e Prandtl, em 1942 e 1945 respectivamente. A proposta consiste basicamente em mensurar esta escala como função da energia cinética turbulenta -k.

u∗= cpk (2.39)

e neste caso a viscosidade turbulenta se apresenta da seguinte forma,

νt= lmc

p

k (2.40)

este novo modelo baseado na energia cinética turbulenta não isenta a modelagem do com-primento de mistura, além disso, exige também a especificação dek, que é usualmente feita por sua equação de transporte:

∂k ∂t + uj ∂k ∂xj = ∂ ∂xj µ ³ ν +νt σk ´∂k ∂xj ¶ + νt ³∂u_i ∂xj + ∂uj ∂xi ´∂u_i ∂xj − ν ∂u0 i ∂xj ∂u0 i ∂xj (2.41)

o que faz este modelo pertencer a classe dos modelos de uma equação, uma vez que além do conjunto de equações de governo já mencionadas, mais uma equação de transporte precisa ser resolvida.

comprimento (2.34) com o auxílio de uma segunda propriedade, a taxa de dissipação -²,

l∗= cD

k32

² (2.42)

ecD é uma constante. Novamente, uma equação de transporte pode ser resolvida para²1.

∂² ∂t + uj ∂² ∂xj = ∂ ∂xj µ ³ ν +νt σ² ´ ∂² ∂xj ¶ +C²1² kνt ³∂u_i ∂xj +∂uj ∂xi ´∂u_i ∂xj −C²2² 2 k (2.43)

Esta modelagem constitui o famoso modelok−². A necessidade de solução de duas equações de transporte o classifica como um modelo a duas equações, fazendo com que este modelo possa ser chamado de completo, uma vez que este par de equações de transporte é capaz de eliminar a necessidade de se especificar previamente um comprimento.

Deste modo, pode-se reescrever a viscosidade turbulenta da seguinte maneira, aonde tem-se o novo adimensionalC_µ,

νt= Cµ

k2

² (2.44)

As constantes do modelo, segundo Launder and Sharma (1974), são:C_µ= 0, 09,C_²1= 1, 44,

C_²2= 1, 92,σ_²= 1, 3,σk= 1, 0.

Um segundo modelo a duas equações, apresentado por Wilcox (1988), faz uso de uma propriedade conhecida como dissipação específicaω.

ω ≡ ²

k (2.45)

aonde a viscosidade turbulenta pode ser reescrita como:

νt=

k

ω (2.46)

com estas definições, pode-se tanto reescrever a equação (2.41) em função de ω, quanto

17

utilizar a equação de transporte deωno lugar de².

∂k ∂t + uj ∂k ∂xj = k ω ³∂u_i ∂xj +∂uj ∂xi ´∂u_i ∂xj − β∗ωk + ∂ ∂xj µ (ν + σ∗k ω) ¶ ∂k ∂xj (2.47) ∂ω ∂t + uj ∂ω ∂xj = a ³∂u_i ∂xj + ∂uj ∂xi ´∂u_i ∂xj − βω 2 + ∂ ∂xj µ (ν + σk ω) ¶∂ω ∂xj (2.48)

este é o par de equações do modelok − ω e suas constantes são: β = ₄₀3, β∗= ₁₀₀9 , a = 5₉,

σ =1

2 eσ∗=

1

3.1 O Tensor Não-Persistência a Deformação

Um importante tensor para os modelos que virão a ser propostos é o tensor não persistên-cia à deformação. Essenpersistên-cialmente este tensor foi proposto na problemática da classificação de escoamentos complexos.

SejaImn um filamento material inicialmente alinhado com uma das direções principais

do tensor taxa de deformaçaoD.

Imn=bem.Dben (3.1)

aondebem ebensão direções associadas com as direções principais. E portanto sua

varia-ção temporal, vista por um observador que está na base dos autovetores deDpode ser escrita como: ˙Imn= ˙bem.Dben+bem. ˙Dben+bem.D˙ben ˙Imn= W.bem.Dben+bem. ˙Dben+bem.D.Wben (3.2) Sendo: DD = 3 X i =1 λibe D i be D i ˙ D = 3 X i =1 ˙ λibe D i be D i + 3 X i =1 λibe˙ D i be D i + 3 X i =1 λibe D i be˙ D i (3.3)

E definindo um tensorΩD como o tensor capaz de descrever a taxa de variação de cada

19 autovetor deD. ˙ b eD_i = ΩDbe D i ΩD = ˙be D i be D i (3.4)

E sendoΩD antissimétrico, a equação (3.3), toma a seguinte forma:

˙ D = 3 X i =1 ˙ λibe D i be D i + 3 X i =1 λiΩDbe D i be D i + 3 X i =1 λibe D i ΩDbe D i ˙ D = D0+ ΩD.D − D.ΩD (3.5)

sendoD0a taxa de variação dos autovalores deDe (ΩD.D −D.ΩD) a taxa de rotação dos autovetores. Aplicando-se (3.5) em (3.2): ˙Imn= W.bem.Dben+bem.(D 0_{+ Ω}D .D − D.ΩD)ben+bem.D.Wben ˙Imn=bem. ³ D0− W.D + ΩD.D − D.ΩD+ D.W ´ b en (3.6)

Por fim, define-se o tensor vorticidade relativaW1, como sendo a diferença entre a taxa de rotação promovida pelo escoamento livre e a taxa de rotação da base deD.

W = W − ΩD (3.7) Chega-se à: ˙Imn=bem. ³ D0+ D.W − W.D ´ b en (3.8)

Aonde³D.W − W.D´é chamado de tensor não-persistência à deformaçãoP.

PD≡ ³ D.W − W.D´D =        0 ω3(λ2− λ1) ω2(λ1− λ3) ω3(λ2− λ1) 0 ω1(λ3− λ2) ω2(λ1− λ3) ω1(λ3− λ2) 0        (3.9)

o símbolo referente ao tensorDsobrescrito ao tensorPé adotado como a notação para dizer que o tensorPestá na base deD.

Como exemplo, estejaImn inicialmente alinhado com a direção principal de maior

au-tovalor deD, então o tensorP fornece uma medida de como este filamento tende a sair da direção de maior esticamento. Uma representação geométrica que auxilia no entendimento deste tensor, introduzida por Thompson and Mendes (2005), consiste no planoπ. Um plano que comporta duas das direções principais deDe é perpendicular à vorticidade relativa cor-respondente.

Fig. 3.1: Planoπ: representação geométrica de como a vorticidade relativa atua em um plano de autodireções deD. Fonte: Thompson and Mendes (2005)

21

3.2 Objetividade

Um ponto importante para o desenvolvimento da teoria é o conceito de objetividade - ou invariância euclidiana. De modo resumido, a ideia por trás da objetividade é a de que ao se observar uma grandeza através de dois referenciais distintos, não sendo ambos necessa-riamente inerciais, para que esta grandeza seja considerada objetiva ambos os observadores precisam estar em consenso quanto ao evento físico observado.

Matematicamente a ideia acima se traduz da seguinte forma: Estando um observador em um referencial ortogonal inercialOe sejaO∗um referencial que pode rotacionar e transladar livremente no espaço. Seja x o vetor posição de uma partícula no referencial O e x∗ o vetor posição no referencialO∗. Um mesmo pontoP no espaço pode ser descrito nos dois referenciais através da seguinte transformação:

x∗= R.x + c (3.10)

Na equação acima R é um tensor de mudança de base, capaz de efetuar, por exemplo, uma rotação ou um espelhamento e c a distância entre as origens dos referenciais, como ilustrado na figura (3.2):

Fig. 3.2: Representação do conceito de objetividade: Dois observadores analisando um pontoP.

Para que uma grandeza seja considerada objetiva, ela deve satisfazer as seguintes rela-ções:

α∗_{= α (3.11)}

f∗= R.f (3.12)

A∗= R.A.RT (3.13)

As equações (3.11), (3.12) e (3.13) retratam como um escalar, um vetor e um tensor objetivo, respectivamente, se apresentam após a transformação.

Sendo assim, vale a análise sobre algumas grandezas: A distância entre dois pontos é objetiva:

x∗_A= R.xA+ c

x∗_B= R.xB+ c

x∗_A− x∗_B= R.(xA− xB) (3.14)

A velocidade não é uma grandeza objetiva:

d x∗ d t =

d

d t(R.x + c)

v∗= ˙x∗= ˙Rx + R˙x + ˙c (3.15)

Assim como a aceleração:

a∗= ¨x∗= ¨Rx + 2 ˙R˙x + R¨x (3.16)

O gradiente de velocidade é não objetivo:

L∗=∂v ∗ ∂x∗ = ∂v∗ ∂x ∂x ∂x∗= ( ˙R + RL)R T = ˙RRT + RLRT (3.17)

23

fazendo uso do fato de que:

RRT = 1 d dt ³ RRT´= 0 = ˙RRT + R ˙RT ˙ RRT = − ³ ˙ RRT ´T (3.18)

sua decomposição em uma parte simétrica e outra antisimétrica toma a seguinte forma:

D∗=1 2 ³ ˙ RRT+ RLRT + R ˙RT + RLTRT ´ = R ³1 2(L + L T ) ´ RT (3.19) W∗=1 2 ³ ˙ RRT + RLRT− R ˙RT− RLTRT´= ˙RRT + R³1 2(L − L T )´RT (3.20)

Mostra queDé objetivo e W não. SeDé objetivo, consequentemente seus autovetores também são. b eD_i ∗= RbeD_i (3.21) ˙ b eD_i ∗= ˙R_beD_i + R˙be D i (3.22) ˙ b eD_i ∗be D∗ i = Ω D∗ = ˙RRT+ RΩDRT (3.23)

E assim, a vorticidade relativa é objetiva.

W∗= W∗− ΩD∗= ˙RRT+ RWRT− ³ ˙ RRT+ RΩDRT ´ = R(W∗− ΩD∗)RT (3.24)

Conclui-se então que o tensorPé objetivo.

3.3 Decomposições Tensoriais

SejamAe F dois tensores de segunda ordem e simétricos, é possível projetarAna base dos autovetores de F . Tal projeção cria três partes:

A = ϕFA++ ϕ

F+ −

ϕF+

A é a parcela da projeção de Aque comuta com F , isto quer dizer que partilham as

mesmas direções principais e podem ser chamados também de coaxiais, além disso, esta parcela não é ortogonal à F .

ϕF+

A .F=F.ϕFA+ (3.26)

ϕF −

A é a parcela desta projeção que é ortogonal à F e não compartilha as mesmas

dire-ções, ou seja, seu produto interno2é nulo:

< ϕFA−,F>= 0 (3.27)

E por fim, há a possibilidade de haver um termo que é ao mesmo tempo coaxial e orto-gonal, chamado deϕF+− A . Assim: < ϕF + − A ,F>= 0 (3.28) ϕF+− A .F=F.ϕ F+ − A (3.29)

Estes três termos não criam uma única possibilidade de decomposição aditiva do tensor Aem F

3.3.1 Decomposição Em Fase - Fora de Fase

Seja a projeção deAna base F - em notação matricial :

AF=        AF₁₁ AF₁₂ AF₁₃ AF₂₁ AF₂₂ AF₂₃ AF₃₁ AF₃₂ AF₃₃        (3.30)

2_{Define-se como o produto interno de dois tensoresAe F :< A,F>=t r (A.F}T_{)- Aonde tr(.) é o operador}

25

A decomposição dita Em Fase - Fora de Fase, assume a seguinte forma em notação matricial:

AF=        AF₁₁ 0 0 0 AF₂₂ 0 0 0 AF₃₃        | {z } ΦF_A +        0 AF₁₂ AF₁₃ AF₂₁ 0 AF₂₃ AF₃₁ AF₃₂ 0        | {z } ˜ ΦF_A (3.31)

Aonde a primeira componente da equação acima -ΦF_A - simboliza a parte em fase deA com F e a segunda componente -Φ˜F_A- a parte fora de fase.

Pode-se então buscar como que as parcelas de (3.25) se relacionam com as partes em fase e fora de fase. Pode-se decompor a parte em fase na seguinte forma aditiva.

ΦFA=        AF₁₁− α11 0 0 0 AF₂₂− α22 0 0 0 AF₃₃− α33        +        α11 0 0 0 α22 0 0 0 α33        (3.32)

Então, procura-se o termoϕF_A+ na decomposição acima, por exemplo, na primeira par-cela. Tem-se queA :F =ϕF+ A :F : (AF₁₁− α11)λ1+ (A22F − α22)λ2+ (AF33− α33)λ3= AF11λ1+ AF22λ2+ AF33λ3 (3.33) 3 X i =1 AF_{i i}λi− 3 X i =1 αi iλi | {z } 0 = 3 X i =1 AF_{i i}λi (3.34)

Aondeλrepresenta os autovalores de F . Tem-se também queϕF_A+:ϕF_A+−= 0, e por isso:

Da condição colocada em (3.34), obtém-se o seguinte sistema:

AF₁₁− α11= ξλ1

AF₂₂− α22= ξλ2 (3.36)

AF₃₃− α33= ξλ3

Por fim, aplicando este conjunto de equações ao que foi dito em (3.33) tem-se:

ξλ2

1+ ξλ22+ ξλ23= A :F

ξ(F:F_{) = A :}F

ξ = A :F

F:F (3.37)

Para uma demonstração mais completa, incluindo a prova do porque a parcelaϕF

+ −

A não

está na componente fora de fase favor recorrer à Thompson et al. (2010).

3.3.2 Decomposição Proporcional - Ortogonal

A segunda possibilidade que se cria é a de uma parcela P_AF proporcional ao tensor F e uma parcelaP˜F_A complementar.

PF_A= ξF (3.38)

˜

PF_A= A − ξF (3.39)

Por fim, as duas possibilidades diferem essencialmente em como se aloca o termo que é tanto coaxial à F quanto ortogonal ao mesmo.

{PF_A, ˜PF_A} = {ϕFA+,ϕ

F+ −

27

{ΦF_A, ˜ΦF_A} = {ϕFA++ ϕ

F+ −

A ,ϕFA−} (3.41)

Fica claro portanto, que ambas as decomposições são capazes de descrever, em sua tota-lidade o tensor de interesse. A que será utilizada nos modelos é a Em fase - Fora de Fase.

Em uma tentativa de se descrever a performance do modelo, pode-se pensar na simples razão de magnitudes entre o que está sendo modelado e o tensor alvo.

kmodel ok

kBk (3.42)

o que já define uma medida de representatividade entre modelo e tensor alvo, porém ao pensar na parcela não capturada ortogonal ao que é modelado, e. Não é possível compor uma relação complementar entre os dois.

kmodel ok

kBk +

kek

kBk> 1 (3.43)

observando-se a simplificação geométrica abaixo, é possível repensar esta medida de repre-sentatividade.

α + θ = π 2 arccos³kmodel ok kBk ´ + arccos ³kek kBk ´ =π 2 (3.44)

Pode-se definir então um parâmetroR capaz de quantificar o quanto um dado modelo é capaz de representar o tensor alvo.

R= µ 1 −2 πarccos ³kmodel ok kBk ´¶ (3.45)

aondeR varia de 0 a 1. Desta forma, a magnitude da parcela não capturada Re pode ser

obtida da seguinte forma.

Re= 1 −R (3.46)

3.4 Modelos propostos

Os modelos que virão a ser propostos trabalham sobre o tensor de Reynolds deviatórico (2.33), serão propostos um total de seis modelos.

3.4.1 Modelo 1: B = αD

O primeiro modelo a ser analisado será um modelo linear com D. Esta construção é similar à hipótese de boussinesq (2.29). E o coeficienteαpode ser obtido da mesma forma em que (3.37).

3.4.2 Modelo 2: _{B = α}01 + α1D + α2D2

O segundo modelo à ser proposto é um modelo que captura as correlações não lineares entreBeD. Pelo teorema de Cayley-Hamilton3, é possível verificar que qualquer polinômio

3_{O teorema de Cayley-Hamilton afirma que a matriz satisfaz sua própria equação característica. De forma}

simplificada, para uma matrizA3x3 - que é o foco deste texto.

A3− t r (A)A2+12

³

29

emDpode ter sua ordem reduzida a 2. Com o auxílio de um tensor de quarta ordem1DD, como definido em Thompson (2008).

1DD≡ 3 X i =1 b eD_i be D i be D i be D i (3.47)

É possível encontrar a parte em fase deBcomD.

1DD: B = 3 X i =1 b eD_i be D i be D i be D i : Bpqbepbeq 3 X i =1 b eD_i be D i Bp q(be D i be D i ) : (bepbeq) 3 X i =1 b eD_i be D i Bpqδ D i pδ D i q= 3 X i =1 B_{i i}Dbe D i be D i 1DD: B = ΦDB (3.48) e portanto, ΦD B = α01 + α1D + α2D2 (3.49)

onde1é o tensor identidade - 3x3, a obtenção dos coeficientes consiste em colocar a equação (3.48) na base deD. Assim, constroi-se um sistema entre a diagonal principal deBD - que é coaxial àD- e a matriz de Vondermonde que surgirá à direita.

       B₁₁D B₂₂D B₃₃D        =        1 λ1 λ2₁ 1 λ2 λ2₂ 1 λ3 λ2₃        .        α0 α1 α2        (3.50)

Uma vez queD é um tensor simétrico, deve conter autovalores reais e o sistema acima deve ser de fácil solução. Além disso, é natural esperar que o parâmetro definido em (3.45) seja superior ao mesmo parâmetro no modelo 1.

Uma observação interessante sobre este modelo é a de que nem todos os termos deα01 +

α1D + α2D2são necessariamente deviatóricos. Ao se tomar o traço deste modelo,

B = α01 + α1D + α2D2 t r (B) | {z } =0 = t r (α01) + tr (α1D) | {z } α1t r (D)=0 +t r (α2D2) α2= − 3α0 t r (D2₎ (3.52)

o que mostra que estes dois coeficientes estão correlacionados, além disso, pode-se decompor D2em uma parte esférica e outra deviatórica

D2= D2_{es f} + D2_{d ev} (3.53) Sendo D2_{es f} =1 3t r (D 2 )1 (3.54)

as equações (3.52) e (3.53) quando aplicadas no modelo permitem sua redução para:

B = α1D + α2D2d ev (3.55)

Conclui-se portanto que os termos não deviatóricos devem se aniquilar. Outra observação é que tensores de base estatísticamente bidimensionais, como será o caso em estudo, não contém informação na terceira direção, restando à identidade este papel para cumprir. O tensorD2é bidimensional, porém sua decomposição esférica-deviatórica, cria dois tensores tridimensionais, aondeD2_{d ev} é capaz de suprir esta informação para o modelo.

3.4.3 Modelo 3: B = α01 + α1D + α2D2+ βP

No terceiro modelo, ao se adicionar o tensor Pganha-se a capacidade de capturar, pelo menos em parte, a ortogonalidade entreBeDcomo apresentado em (3.9). O procedimento é muito similar à como funciona o modelo 2, com a diferença de que, após a parte em fase

31

ser capturada, pode-se então encontrarβda mesma forma que (3.37):

B − ΦDB = ˜Φ D B (3.56) β =Φ˜ D B : P P : P (3.57)

Continuando o raciocínio referente à melhora progressiva das bases, é natural esperar que:

RI I I≥RI I ≥RI (3.58)

3.4.4 Modelo 4: B = αD + βP

Este quarto modelo é função apenas das partes proporcionais àDe àP. Se torna portanto uma referência do quanto que a captura da não linearidade acrescenta ao modelo.

O procedimento de obtenção dos coeficientes também é simples:

B = αD + βP

α = B : D

D : D (3.59)

β =(B − αD) : P

P : P (3.60)

Neste caso não fica clara a relação deRI V com os demais.

3.4.5 Modelo 5: B = αD + β01 + β1P + β2P2

De forma análoga ao modelo 2, este polinômio só precisa ir até a ordem dois emP. Tal modelo propõem a captura completa da parte deBem fase comP. O procedimento numérico consiste na obtenção deαcomo se faz no modelo 1 e posterior obtenção da parte em fase comPda mesma forma que no modelo 2. Mais uma vez, não se pode inferir comoRV irá se

3.4.6 Modelo 6: B = α01 + α1D + α2D2+ β01 + β1P + β2P2

Por fim, chega-se ao último e teoricamente o mais completo modelo. Com esta base deve ser possível a captura completa deB. O procedimento numérico é similar ao modelo 3, e após a parte em fase ser subtraída deB, a parte fora de fase é levada à base dePe então seus coeficientes obtidos por mais um sistema simples.

Por fim, é esperado que:

RV I ≥RI I I≥RI I ≥RI (3.61)

3.5 Adimensionalizações Propostas

Os coeficientes obtidos de cada modelo serão apresentados através de duas adimensio-nalizações distintas, como apresentado em Alves (2014). Uma primeira comk e ² e uma segunda comk, γ˙e p. O parâmetroγ˙ pode ser visto como uma medida de intensidade do tensor taxa de deformação para escoamentos entre placas paralelas e o parâmetro p é uma medida de intensidade do tensor não-persistênciaP.

˙

γ =p2D : D (3.62)

p =pP : P (3.63)

Assim, pode-se adimensionalizar os coeficientes descritos nos modelos propostos, to-mando como base o primeiro e sexto modelo, respectivamente.

B = Cµk 2 ² D (3.64) B = Cµ0k1 +Cµ1k 2 ² D +Cµ2 k3 ²2D 2 +Cβ0k1 +Cβ1k 3 ²2P +Cβ2 k5 ²4P 2 _(3.65)

33 B = CD k ˙ γD (3.66) B = CD0k1 +CD1 k ˙ γD +CD2 k ˙ γ2D 2 +CP 0k1 +CP 1 k pP +CP 2 k p2P 2 _(3.67)

Para a obtenção destas bases será utilizada uma simulação DNS. Este tipo de simulação não trabalha com modelos e é capaz de capturar todas as escalas do escoamento, porém como visto em (1.11) é fácil perceber que o número de pontos em uma malha tridimensional é da ordem deRe94 e consequentemente seu custo computacional a torna impraticável para

aplicações que exigem uma rápida resposta, tornando sua aplicabilidade restrita ao estudo científico e a geometrias relativamente simples. Em contrapartida, é justamente esta alta qualidade de resultados a torna interessante para o estudo de cada modelo proposto.

O caso em questão é dito um bocal convergente-divergente, executado com um algoritmo que admite incompressibilidade. Que também pode ser pensado como um pequeno "morro", servindo de obstáculo ao escoamento. As coordenadas são apresentadas adimensionalmente e o canal tem altura 2 , comprimento de aproximadamente 12,56 (exatos4π) e larguraπ(na direção Z). Número de Reynolds deRe_τ= 617ouRe = 12600. Outros dados mais detalhados podem ser obtidos em Marquillie et al. (2011). O procedimento numérico é melhor descrito em Marquillie et al. (2008), que apesar de trabalhar com um Re mais baixo, utiliza uma geometria similar.

Fig. 4.1: Representação tridimensional da geometria estudada com ênfase para as estruturas turbulentas. Fonte: Laval and Marquillie (2009)

35

A imagem (4.1) mostra a geometria em estudo com a representação dos vórtices baseada no critério de isosuperfícies deQpara o valor 300, adimensionalizadas poru_τe metade da al-tura do bocal. Este critério é não objetivo e caracteriza os vórtices como sendo isosuperfícies do tensor, Q =1 2 ³ kWk2− kDk2 ´ (4.1)

A simulação foi executada com aproximadamente 511 milhões de nós, 2304 x 385 x 576 divisões nas direções X,Y e Z respectivamente. Na apresentação dos resultados, é feito um corte em um plano na direção Z, devido à simetria do escoamento, como o plano da figura (4.2). Isso resulta em um total de 887040 (385 x 2304) nós resultantes.

Fig. 4.2: Imagem da malha utilizada com resolução de 1:16. Fonte: Marquillie et al. (2011)

Tanto a superfície inferior quanto a superior não permitem a passagem de fluido, atuando como parede. O ponto de maior elevação da superfície inferior se localiza na coordenada de abscissax = 5.22e está ay = 0.67de altura. O sentido do escoamento se dá da esquerda para a direita da figura (4.2) e a figura (4.3) representa o perfil de entrada.

São fornecidos dois conjuntos de dados, um arquivo de campos médios, que contém, para cada par de coordenadas do plano, informações como: o gradiente de velocidade médio, as velocidades médias, o tensor de reynolds. Um segundo arquivo traz todos os valores de in-teresse para a equação de transporte do tensor de Reynolds, que não foram utilizados neste problema, com exceção ao tensor taxa de dissipação²cujo traço é utilizado nas adimensio-nalizações propostas.

Uma razão entre entre as maiores distâncias entre os volumes vizinhos da malha e a escala de kolmogorov (1.6) é mostrada na figura (4.4)

0 0.5 1 1.5 u 0 1 2 y

Fig. 4.3: Representação do perfil de velocidadeuna entrada da geometria

Fig. 4.4: Razão entre o maior comprimento de cada volume da malha e a escala de kolmo-gorov correspondente. Fonte: Laval and Marquillie (2009)

Por fim, vale um comentário sobre a obtenção numérica do tensorP, a malha estudada é estruturada, porém não cartesiana e não uniforme. A base dos autovetores do tensor taxa de deformação D gira, isto é: ΩD existe e é diferente de zero. O procedimento então é subtrair de(DW − WD)a parcela,(DΩD− ΩDD), como visto em (3.6). Como mostrado por Thompson et al. (2010) a variação temporal desta parcela não precisa ser calculada, basta ser feita uma decomposição Em Fase - Fora de Fase sobre a derivada material deD, que em regime permanente se resume à:

˙ D = ∂D ∂t |{z} =0 +u.∇D = ΦD_D˙+ ˜ΦD_D˙ (4.2)

onde segundo a equação (3.5), é justamente a parte fora de fase que é de interesse. Então,

5 RESULTADOS E DISCUSSÃO

Foram escolhidas duas formas de apresentação dos campos de interesse, uma através de superfícies de nível bidimensionais - quando aplicável - e para uma melhor interpretação de alguns campos, também foram feitos cortes unidimensionais em seções transversais à direção do escoamento. Um total de seis seções foram escolhidas e a partir de uma seção localizada no ponto mais alto da superfície inferior, tomam-se duas seções igualmente espaçadas para trás, emx = 1,74ex = 3,48respectivamente e três seções igualmente espaçadas para a frente em x = 7,05, x = 8,89, x = 10,73, respectivamente. Além disso, também são avaliados os valores de cada componente do tensor alvo em comparação com cada componente do tensor modelado. O que permite verificar algumas vantagens e desvantagens de cada modelo.

Primeiramente vale observar a distribuição dos elementos do tensor alvo B, o perfil de velocidade e o tensor taxa de deformação - mais especificamente onde suas componentes chegam a zero - uma vez que este está presente em todas as bases em estudo. Sendo os tensoresBeDsimétricos, apenas as componentes

B =        Bxx Bx y Bxz By x By y By z Bzx Bz y Bzz        (5.1)

Bxx, Bx y, Bxz, By y, By z e Bzz precisam ser representadas e para o tensor D, apenas as

componentes Dxx, Dx y, Dy y, uma vez que além de ser simétrico, este é estatisticamente

bidimensional. D =        Dxx Dx y 0 Dy x Dy y 0 0 0 0        (5.2) 37

Componentes deB 0 0.5 1 1.5 2.0 y −0.01 −0.005 0 0.005 x = 1, 74 0.18 0.5 1 1.5 2.0 y −0.005 0 0.005 x = 3, 48 0.67 1 1.5 2.0 y −0.01 0 x = 5, 22 0.33 1 1.5 2.0 y −0.05 −0.025 0 0.025 x = 7, 05 0 0.5 1 1.5 2.0 y −0.01 0 0.01 x = 8, 89 0 0.5 1 1.5 2.0 y −0.005 0 0.005 x = 10, 73

39 O perfil de velocidadeu 0 1 2 u 0 0.5 1 1.5 2.0 y x = 1, 74 0.18 0.5 1 1.5 2.0 u 0 1 2 y x = 3, 48 0 1 2 u 0.67 1 1.5 2.0 y x = 5, 22 0 1 2 u 0.33 1 1.5 2.0 y x = 7, 05 0 1 2 u 0 1 2 y x = 8, 89 0 1 2 u 0 1 2 y x = 10, 73

Componentes deD 0 0.5 1 1.5 2.0 y −1 0 1 x = 1, 74 0.18 0.5 1 1.5 2.0 y −1 0 1 x = 3, 48 0.67 1 1.5 2.0 y −1 0 1 x = 5, 22 0.33 1 1.5 2.0 y −1 0 1 x = 7, 05 0 0.5 1 1.5 2.0 y −1 0 1 x = 8, 89 0 0.5 1 1.5 2.0 y −1 0 1 x = 10, 73