Dispersão de poluente em sistema de reservatorio : modelagem matematica e simulação computacional utilizando-se aproximação numerica e conjuntos fuzzy

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Dispersão de Poluente em Sistema de Reservatório: Modelagem

Matemática e Simulação Computacional utilizando-se

Aproximação Numérica e Conjuntos Fuzzy

Documento apresentado à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação como parte dos requisi-tos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica. Área de concentração: Automação.

Co-orientadores: João Frederico C. A. Meyer e Raul Vinhas Ribeiro

Campinas, SP 2009

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FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA

BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA - BAE - UNICAMP

Poletti, Elaine Cristina Catapani Poletti

P758d Dispersão de poluente em sistema de reservatório:

modelagem matemática e simulação computacional utilizando-se aproximação numérica e conjuntos fuzzy

Elaine Cristina Catapani Poletti. – Campinas, SP: [s.n.], 2009.

Orientadores: : Raul Vinhas Ribeiro, João Frederico da Costa Azevedo Meyer.

Tese de Doutorado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação.

1. Modelos matematicos. 2. Difusão. 3. Poluentes. 4. Métodos dos elementos finitos. 5. Conjuntos difusos.

I. Ribeiro, Raul Vinhas. II. Meyer, João Frederico da Costa Azevedo. III. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação. IV. Título.

Título em Inglês: Pollutant dispesion in reservoir’s systems:

mathematical modelling using numerical simulation and fuzzy sets

Palavras-chave em Inglês: Mathematical modelling, Diffusion, Pollutants, Finite element method, Fuzzy sets

Área de concentração: Automação

Titulação: Doutor em Engenharia Elétrica

Banca Examinadora: Akebo Yamakami, Geraldo Lúcio Diniz,

Laécio Carvalho de Barros, Rosana Sueli da Motta Jafelice

Data da defesa: 10/06/2009

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Dispersão de Poluente em Sistema de Reservatório: Modelagem

Matemática e Simulação Computacional utilizando-se

Aproximação Numérica e Conjuntos Fuzzy

Tese de Doutorado apresentada à Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica. Área de concentração: Automação.

Aprovação em 10/06/2009

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Raul Vinhas Ribeiro - UNICAMP Prof. Dr. Geraldo Lúcio Diniz - UFMT

Prof. Dra. Rosana Sueli da Motta Jafelice - UFU Prof. Dr. Abebo Yamakami - UNICAMP

Prof. Dr. Laécio de Carvalho Barros - UNICAMP

Campinas, SP 2009

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Resumo

O presente trabalho propõe um método para o estudo da dispersão de poluente num sistema de reservatório, via Modelagem Matemática dos fenômenos principais envolvidos na análise deste tipo de situação. Na modelagem, a opção foi pela clássica Equação Diferencial Parcial de Difusão-Advecção com parâmetros fuzzy reunindo, portanto, aspectos determinísticos e a Lógica Fuzzy de modo a incorporar aspectos característicos e relevantes de dispersão efetiva do poluente, seu trans-porte e degradação. Condições iniciais e de contorno compatíveis com casos conhecidos são pro-postas, além de aproximações numéricas adequadamente dimensionadas, via Elementos Finitos, na discretização espacial, com um método de tipo Crank-Nicolson na aproximação temporal. Propõe-se, também, um algoritmo que se preste a simulações computacionais eficientes, em ambiente Matlab. Como estudo de caso, utiliza-se a situação evolutiva do reservatório de Salto Grande, represamento do rio Atibaia, um dos mais importantes mananciais de abastecimento público da região, inserido numa importante região do Estado de São Paulo.

Abstract

Current work presents an instrument for dispersion of water’s surface pollutant study through Mathematical Modelling and the main phenomenas involved in this type of analysis. For this pur-pose, we use the Partial Differential Equation of diffusion-advection that incorporates the dispersion accomplish of the pollutant, its transport and decline, with compatible initial and boundering con-ditions. Numerical approximation well dimensioned are defined and effective computational simu-lations algorithms, are implemented which considered independent variable, were developed. The independent variable considered can be spatial as well as temporary. As a case study, we use Salto Grande reservoir situation, which is a dike of Atibaia river, one of the most important public water sypply in an important region of São Paulo state. In the descriptive parameters of the problem, the option was the use of fuzzy techniques sets that allow incorporating inherent uncertainties to this situation.

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Agradecimentos

A Deus, força vital nesta fase da minha vida. Pelos diversos momentos de crescimento: de alegria e felicidade, inclusive de tristeza e perdas imensuráveis.

Ao Querido Joni, pela presença de um amigo, apoio e paciência de um mestre. Sempre foi muito bom conversar com você! Qualquer palavra que eu diga não exprime meu sentimento carregado de gratidão e admiração. Aprendi muitas coisas com você: mais que sobre ensino, educação e pesquisa, mais que sobre elementos finitos e ecologia matemática - você me ensinou ter paixão pelo que se faz, me ensinou que as pessoas são muito mais que as relações que se estabelecem. Obrigada por tudo.

Ao Prof. Raul, pela recepção, encaminhamentos e disponibilidade. À banca, pela contribuição para aprimoramento do trabalho.

À equipe do Barco Escola do Reservatório de Salto Grande, pelas informações que favoreceram bastante o processo de modelagem.

Ao Dr. Jurandir Zullo Jr., CEPAGRI-UNICAMP, pelas informações a respeito de ventos predominantes na região de Americana-SP.

À equipe de Saneamento Ambiental da Faculdade de Tecnologia da Unicamp, pelas valiosas contribuições a respeito de poluição ambiental em cursos d’água. Em especial aos Profs. Drs. Abílio Lopes de Oliveira Neto (in memorian), Francisco Javier Cuba Teran e Cassiana Maria Reganhan Coneglian.

À minha querida mãe que ficava angustiada ao me ver aflita diante dos estudos e das dificuldades. Me pergun-tava indignada:"... mas ninguém pode te dar uma aula particular?".

À Vitória, minha querida filha, indagando, apreensiva ao me ver no computador, se ela também vai ter que fazer doutorado. Obrigada pela companhia, pela compreensão e por tudo que representa.

Ao pequeno Felipe, meu querido filho, tão pequeno - pela vida.

Àqueles que fizeram presença na minha ausência, principalmente à Rita, Adilson, Ana e Ediepolo: pelos cuidados e carinho com os meus.

Aos amigos na pós-graduação: Ana Camila, André, Daniela Cantane, Leidy, Luciana Elias, Luciana Takata, Marina, Maristela, Miguel, Nana, Nelson, Priscila e Yeda.

Aos amigos da Faculdade de Tecnologia pela torcida e apoio, em especial: Alberto, Cassiana, Cláudia, Fátima, Jayme, Magossi, Marli, Regina, Telma e Wander.

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É a você que dedico este trabalho. Sem você tudo seria muito mais difícil.

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Sumário

Lista de Figuras xi

Lista de Tabelas xiii

1 O Problema e o Processo de Modelagem 1

1.1 Introdução . . . 1

1.2 O Reservatório de Salto Grande . . . 3

1.3 O Processo da Modelagem . . . 7

1.4 Objetivos e Organização da tese . . . 8

2 A Modelagem Matemática 9 2.1 Introdução . . . 9

2.2 A Formulação Clássica para o Fenômeno de Difusão-Advecção . . . 10

2.3 O Modelo Proposto . . . 11

2.3.1 Caso 1: Um Domínio Genérico . . . 11

2.3.2 Caso 2: O Reservatório de Salto Grande . . . 13

3 Formulação Variacional, Análise e Discretização 15 3.1 Introdução . . . 15

3.2 Formulação Variacional . . . 15

3.3 Existência e Unicidade . . . 18

3.4 Discretização Espaço-Temporal da Equação . . . 21

4 Modelagem dos Coeficientes do Transporte, Degradação e Difusão 27 4.1 Introdução . . . 27

4.2 Modelagem dos Coefientes . . . 29

4.2.1 Coeficiente do Transporte . . . 30

4.2.2 Coeficiente de Degradação . . . 32

4.2.3 Coeficiente de Difusão . . . 34

5 Resultados, Análise e Discussão 37 5.1 Introdução . . . 37

5.2 Caso 1: Um Domínio Genérico . . . 38

5.2.1 Primeira Abordagem . . . 39

5.2.2 Segunda Abordagem . . . 58

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5.3 Caso 2: O Reservatório de Salto Grande . . . 65

5.4 Discussão Final dos Resultados . . . 83

6 Considerações Finais 85 Referências bibliográficas 87 A Apêndices 93 A.1 Conceitos e Definições . . . 93

A.2 Cálculo das Matrizes . . . 94

A.3 Códigos Computacionais . . . 96

A.3.1 Caso 1: Domínio Retangular . . . 96

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Lista de Figuras

1.1 Foto aérea do Reservatório. Fonte: Barco Escola. . . 3

1.2 Foto aérea da Sub-bacia. Fonte: Barco Escola. . . 4

1.3 Compartimentos do Reservatório. Fonte: Barco Escola. . . 4

1.4 Ocupação do entorno do Reservatório. Fonte: Barco Escola. . . 5

2.1 Domínio retangular. . . 12

2.2 Reservatório de Salto Grande. . . 13

3.1 Discretização do Domínio Genérico Ω por uma triangulação regular. . . 22

3.2 Ilustração da função base. . . 22

3.3 Discretização do Reservatório. . . 23

4.1 Estrutura do sistema de base de regras. . . 29

4.2 Funções de pertinência da variável de entrada vento. . . . 30

4.3 Funções de pertinência da variável de saída transporte. . . . 31

4.4 Solução dada pelo controlador fuzzy para o coeficiente transporte em função do vento. 31 4.5 Funções de pertinência da variável de entrada quantidade de matéria. . . . 32

4.6 Funções de pertinência da variável de entrada tipo de ambiente. . . . 33

4.7 Funções de pertinência da variável de saída degradação. . . . 33

4.8 Solução dada pelo controlador fuzzy para o coeficiente degradação em função da quantidade de matéria e do tipo de ambiente. . . . 34

4.9 Funções de pertinência da variável de saída difusão. . . . 35

4.10 Solução dada pelo controlador fuzzy para o coeficiente difusão em função do trans-porte e da degradação. . . . 36

5.1 Cenário 1: Ambiente desfavorável e com pouca matéria, 2400 iterações. . . 40

5.2 Cenário 2: Ambiente mediano e com pouca matéria, 2400 iterações. . . 41

5.3 Cenário 3: Ambiente favorável e com pouca matéria, 2400 iterações. . . 42

5.4 Cenário 4: Ambiente desfavorável e quantidade mediana de matéria, 2400 iterações. 44 5.5 Cenário 5: Ambiente mediano e quantidade mediana de matéria, 2400 iterações. . . . 45

5.6 Cenário 6: Ambiente favorável e quantidade mediana de matéria, 2400 iterações. . . 46

5.7 Cenário 7: Ambiente desfavorável e muita matéria, 2400 iterações. . . 48

5.8 Cenário 8: Ambiente mediano e muita matéria, 2400 iterações. . . 49

5.9 Cenário 9: Ambiente favorável e muita matéria, 2400 iterações. . . 50

5.10 Cenário 10: Ambiente desfavorável e pouca matéria, 2400 iterações. . . 51

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5.11 Cenário 11: Ambiente mediano e pouca matéria, 2400 iterações. . . 52

5.13 Cenário 13: Ambiente desfavorável e quantidade mediana de matéria, 2400 iterações. 53 5.14 Cenário 14: Ambiente mediano e quantidade mediana de matéria, 2400 iterações. . . 54

5.15 Cenário 15: Ambiente favorável e quantidade mediana de matéria, 2400 iterações. . . 54

5.19 Cenário 19: Ambiente desfavorável e pouca matéria, 14400 iterações. . . 58

5.20 Cenário 20: Ambiente mediano e pouca matéria, 14400 iterações. . . 59

5.22 Cenário 22: Ambiente desfavorável e quantidade mediana de matéria, 14400 iterações. 60 5.23 Cenário 23: Ambiente mediano e quantidade mediana de matéria, 14400 iterações. . 61

5.24 Cenário 24: Ambiente favorável e quantidade mediana de matéria, 14400 iterações. . 61

5.28 Cenário 28: Ambiente desfavorável, com pouca matéria. . . 65

5.29 Cenário 29: Ambiente mediano, com pouca matéria. . . 66

5.30 Cenário 30: Ambiente favorável, com pouca matéria. . . 66

5.31 Cenário 31: Ambiente desfavorável, com quantidade mediana de matéria. . . 67

5.32 Cenário 32: Ambiente mediano, com quantidade mediana de matéria. . . 68

5.33 Cenário 33: Ambiente favorável, com quantidade mediana de matéria. . . 68

5.34 Cenário 34: Ambiente desfavorável, com muita matéria. . . 69

5.35 Cenário 35: Ambiente mediano, com muita matéria. . . 70

5.36 Cenário 36: Ambiente favorável, com muita matéria. . . 70

5.38 Cenário 38: Ambiente mediano, com pouca matéria. . . 73

5.39 Cenário 39: Ambiente favorável, com pouca matéria. . . 74

5.40 Cenário 40: Ambiente desfavorável, com quantidade mediana de matéria. . . 75

5.41 Cenário 41: Ambiente mediano, com quantidade mediana de matéria. . . 76

5.42 Cenário 42: Ambiente favorável, com quantidade mediana de matéria. . . 77

5.43 Cenário 43: Ambiente desfavorável, com muita matéria. . . 78

5.44 Cenário 44: Ambiente mediano, com muita matéria. . . 79

5.45 Cenário 45: Ambiente favorável, com muita matéria. . . 80

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Lista de Tabelas

5.1 Parâmetros utilizados na simulação da primeira abordagem . . . 38 5.2 Valores obtidos para o coeficiente de degradação . . . 39

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Capítulo 1

O Problema e o Processo de Modelagem

1.1 Introdução

Ao se analisar historicamente a utilização energética dos recursos hídricos no Brasil, observa-se que estes aparecem prioritariamente como insumo básico para o deobserva-senvolvimento econômico, pois a exploração desse potencial energético sempre foi privilegiada, em detrimento dos demais usos (NOGUEIRA et al., 2006).

O funcionamento de sistemas aquáticos tem sido objeto de diversas pesquisas, tanto quanto às condições naturais quanto em relação aos impactos neles causados pelas atividades antrópicas ou quanto às atividades de exploração do recurso para fins econômicos (TUNDISI, 2006).

Como num ciclo, qualidade e quantidade de água são bases para o desenvolvimento econômico, que voltam a contribuir para a qualidade da água e sua quantidade também, usualmente com efeitos negativos predominantes. Uma parcela significativa dos poluentes liberados acaba sendo transportada para a água, acumulando-se em lagos, reservatórios, mares e rios (ODI, 2005).

A poluição dos corpos d’água é constatada pela alteração de suas características químicas, físicas e/ou biológicas, seja ela por quaisquer ações ou interferências, naturais ou provocadas pelo homem.

Como exemplos, podem ser tomados os efeitos, provocados pela liberação de compostos voláteis, os lançamentos ou derramamentos de volumes de dejetos e outros efluentes domésticos e, sobretudo, industriais; inclusive decorrentes de aplicação de agrotóxicos, assoreamento, drenagem urbana, entre outros.

A demanda crescente e acelerada da água em decorrência do aumento da diversidade das ações antrópicas preocupa vários segmentos da sociedade, quanto à qualidade e disponibilidade do recurso para os anos futuros (TUNDISI, 2006).

De acordo com PALA-SILVA (2006), especialmente no Estado de São Paulo, a maior parte das bacias hidrográficas já se encontra no estado em que as medidas preventivas para conservação se tornaram praticamente inócuas, necessitando de medidas imediatas de recuperação. E, dependendo

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2 O Problema e o Processo de Modelagem

do grau de poluição, essa água residual pode ser imprópria para as biotas locais.

Muitos problemas de saúde pública derivam de problemas de ordem ambiental, tais como os associados à falta de saneamento básico e ao consumo de águas contaminadas. A hepatite infecciosa, a cólera, e a febre tifóide são exemplos de doenças de veiculação hídrica.

Devem ser mencionados também os problemas ocasionados pela mudança das comunidades aquáti-cas, pois a mortalidade de peixes eleva a quantidade de nutrientes na água, o que leva à proliferação de comunidades de algas e bactérias, que impede a entrada de luz, dificultando a fotossíntese, diminuindo o oxigênio e levando as algas do fundo e outros organismos à morte, liberando, em consequência, di-versas toxinas.

É este o contexto do foco deste trabalho cujo propósito volta-se para a análise da dispersão de poluentes na água em um sistema de represamento.

Como forma de aplicação, é utilizada a situação evolutiva do reservatório de Salto Grande, lo-calizado no município de Americana/SP, para análise, simulação numérica e computacional da pro-blemática, podendo possibilitar uma avaliação gradual, qualitativa e quantitativa de processos, através de cenários gerados de possíveis impactos de ações de recuperação e conservação, e de estratégias de preservação.

O reservatório de Salto Grande encontra-se inserido na sub-bacia do rio Atibaia, pertencente à bacia hidrográfica do Rio Piracicaba. A represa foi construída entre 1940 e 1949, com início de operação da usina em 1950 e atualmente possui capacidade de geração de 30MW.

Sua finalidade foi possibilitar um aproveitamento hidrelétrico para a região de Americana, pela Companhia Paulista de Força e Luz (CPFL). Entretanto, atualmente contribui com o controle de regulação da vazão do rio Piracicaba, além de ser importante para irrigação, piscicultura, recreação e abastecimento locais (DEBERDT, 1997).

A sub-bacia do rio Atibaia, um dos mais importantes mananciais de abastecimento público da região, que deságua no reservatório de Salto Grande, apresenta em seu curso altas densidades urbana e industrial, o que determina um processo crescente de deterioração da qualidade de suas águas, cau-sado principalmente pela entrada de efluentes domésticos e industriais no meio aquático, provenientes sobretudo das cidades de Paulínia e Campinas (ESPÍNDOLA et al., 2004b).

A qualidade das águas em uma bacia hidrográfica resulta não só das características de seu uso e ocupação, mas também do que ocorre a montante, na região em que essa bacia está inserida.

Verifica-se que o reservatório de Salto Grande acaba funcionando como um sistema de tratamento de efluentes, retendo grande parte do material que chega pelo rio Atibaia e afluentes.

O acúmulo de efluentes domésticos e industriais no reservatório, de acordo com ESPÍNDOLA et al. (2004a), tem ocasionado sérios problemas de floração permanente de cianobactérias e a pre-sença de elevada biomassa de macrófitas aquáticas, aumento de toxicidade, além de alterações nas

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comunidades aquáticas. A decorrente minimização dos usos múltiplos e a redução provocada na pro-dução de energia têm como consequência o aumento dos problemas para a saúde pública e para a biota aquática local a médio e longo prazos, quando não de imediato.

1.2 O Reservatório de Salto Grande

O reservatório de Salto Grande está inserido numa região importante do Estado de São Paulo, consi-derada a segunda região mais rica do Estado e a terceira do País.

Abrangendo 12.746 km2 _{e 44 municípios, o reservatório pode ser classificado como de pequeno}

porte e de fluxo intermediário (FALCO, 2001). Abaixo, na Fig. 1.1, segue foto aérea do Reservatório de Salto Grande.

Fig. 1.1: Foto aérea do Reservatório. Fonte: Barco Escola.

Sua localização geográfica é definida pelas coordenadas 22o₄₄′_{de latitude Sul e 47}o₁₉′_de

longi-tude Oeste, a uma altilongi-tude média de 530 m.

É formado, principalmente, pelo represamento do rio Atibaia e outros ribeirões e córregos de menor vazão, tais como o ribeirão Saltinho e os córregos Foguete e Olho d’água (ESPÍNDOLA et al., 2004b).

A sub-bacia do rio Atibaia, abrigada pela bacia do rio Piracicaba, Fig. 1.2, passa pelos municí-pios de Nazaré Paulista, Piracaia, Bom Jesus dos Perdões, Atibaia, Jarinú, Itatiba, Vinhedo, Valinhos, Cam-pinas e Paulínia, região densamente povoada, com predomínio de indústrias e atividades agrí-colas.

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Fig. 1.2: Foto aérea da Sub-bacia. Fonte: Barco Escola.

O perímetro do reservatório é de 64km, e o maior comprimento é de 17km. Possui área inundada de aproximadamente 12 km2 _{e seu volume máximo é de 106 × 10}6_m3_{; o tempo médio anual de}

retenção de água é de 30 dias (ESPÍNDOLA et al., 2004a).

O reservatório está subdividido em três partes distintas, cnforme indicado na Fig. 1.3. Essa sub-divisão é formada em função da topografia de fundo, que é considerada, na prática, como comparti-mentos (COELHO, 2003).

Fig. 1.3: Compartimentos do Reservatório. Fonte: Barco Escola.

O primeiro compartimento, C1, denominado Minipantanal, forma a porção superior do reser-vatório, caracterizado fortemente pelo assoreamento.

O segundo deles, C2, denominado Saltinho, é caracterizado pela grande variação da camada for-mada pelo assoreamento: trata-se de porção intermediária do reservatório com profundidade máxima

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de 14 m e, finalmente, tem-se o terceiro compartimento, C3, denominado Salto do Foguete, próximo à barragem; este trecho possui profundidade máxima de 20 m e apresenta as menores espessuras de assoreamento devido à distância da principal fonte de sedimento que é o rio Atibaia.

Com relação à ocupação no entorno do reservatório, conforme Fig. 1.4, verifica-se a predo-minância da cultura da cana-de-açúcar, com algumas faixas de cultura da laranja e poucas áreas de remanescentes florestais numa margem, além da presença de áreas urbanas e de pastagens na outra margem.

Fig. 1.4: Ocupação do entorno do Reservatório. Fonte: Barco Escola.

De acordo com LOPES et al. (2004) a região conta, atualmente, com um dos mais importantes, diversificados e modernos parques industriais do país, abrangendo desde indústrias de papel e celu-lose, têxtil e de couro, alimentícias e metalúrgicas, químicas e de refino de petróleo. Com relação às atividades agrícolas, há predominância de plantações de citros, café, milho e cana-de-açúcar.

Essas características todas exigem um grande uso de água e interferem direta e indiretamente na qualidade dos recursos hídricos da região.

O grande aporte de nutrientes, transportados pelo rio Atibaia, bem como a quantidade de eflu-entes domésticos e industriais sem tratamento, provenieflu-entes, principalmente das cidades de Paulínia e Campinas, auxiliam o florescimento freqüente de algas, que produzem toxinas e odor e as fontes de

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poluição difusa, tais como áreas de agricultura local, além disso fenômenos de run-off podem lançar substâncias potencialmente poluidoras (DORNFELD et al., 2004).

De acordo com informações fornecidas pela Associação Barco Escola1_{, há pouco tempo as cidades}

de Bom Jesus, Itatiba e Paulínia não apresentavam tratamento algum de esgoto, e as cidades de Ati-baia e Campinas apresentavam tratamento abaixo do esperado.

Além disso, o próprio sistema de represamento contribui para a retenção metais, de resíduos de produtos fitossanitários, nutrientes, sólidos em suspensão, entre outros. Estes compostos podem situar-se tanto na superfície, quanto na coluna d’água, além de degradar-se ou sedimentar-se no su-bstrato de fundo (COELHO, 2003).

A água do reservatório presta-se a usos múltiplos, sendo utilizada para geração de energia, abaste-cimento local, lazer, irrigação, piscicultura e o crescente uso de água na região tem comprometido a qualidade desses recursos hídricos (ESPÍNDOLA et al., 2004b).

Para se compreender a rapidez do processo de deterioração das águas do reservatório, em 1977, as águas do rio Atibaia podiam ser destinadas ao abastecimento doméstico (após tratamento conven-cional), recreação, irrigação, entre outros e, de acordo com LOPES et al. (2004) a classificação do rio era de Classe 2.

Em 1990, a classificação do rio passou a ser de Classe 4 que, segundo a resolução CONAMA-357/2005, caracteriza as águas do rio que se destinam apenas para navegação e usos menos exigentes, e a previsão é de que os problemas se agravarão ainda mais por volta de 2010.

Desta forma, verifica-se um processo de redução nos usos múltiplos, afetando a produção de e-nergia e, consequentemente, levando a um aumento dos problemas de ordem ambiental. Assim, o propósito deste trabalho é desenvolver uma análise da dispersão de poluentes nas águas do reser-vatório. Para tanto, são realizadas modelagem matemática, aproximações numéricas e si-mulações computacionais, favorecendo o estudo e possibilitando avaliações do quadro apresentado pelo reser-vatório de Salto Grande e sua biota.

1_{Organização da Sociedade Civil de Interesse Público, fundada em 2000, que promove atividades de educação}

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1.3 O Processo da Modelagem

Os processos de modelagem matemática, reunindo instrumental matemático de avaliação e/ou simu-lação, inclusive integrando-se a técnicas de outras áreas científicas, têm aumentado significati-vamente seu escopo e seu potencial de uso em tempos recentes, e efetisignificati-vamente seu uso.

Tais procedimentos têm mostrado resultados que, acoplados a técnicas adequadas de programação e visualização de resultados, vêm sendo presença ativa em estudos, análises e avaliações de um largo espectro de aplicações e ações (MEYER, 1999).

No tocante à biomatemática, em geral, e à ecologia matemática, em particular, o desenvolvimento de técnicas, procedimentos, instrumentais e avaliações matemáticas utilizadas no estudo de proble-mas concernentes às áreas da biologia e da ecologia têm apresentado muitas contribuições eficazes nas áreas de epidemiologia, dinâmicas populacionais, análise de impactos ambientais, entre tantos outros temas de extrema relevância: MEYER e DINIZ (2007), MEYER e SALVATIERRA (2006), OLIVEIRA e MEYER (2006), VÁSQUEZ (2005), MOREIRA e TIRABASSI (2004), SOSSAE e MEYER (2004), OLIVEIRA (2003), PREGNOLATTO e MEYER (2003), DINIZ et al. (2002), BAS-SANEZI (2002), MEYER (1999), entre outros.

Nesses estudos, pode-se verificar um forte papel da modelagem matemática favorecendo análises de estados reais e hipotéticos, cujos cenários possam ser simulados, propiciando avaliações e o es-tudo comparativo de estratégias, com vista a ações preventivas de conservação ou de recuperação, especialmente para os problemas estudados, de modo a minimizar os danos bioecológicos e os im-pactos ambientais, tais como em DINIZ (2003) que desenvolveu modelagem e simulou matematica-mente o impacto ambiental num sistema ar-água em regiões de áreas alagáveis em duas dimensões; INFORZATO (2008), que estendeu este problema evolutivo de difusão-advecção num sistema de poluição tri-dimensional.

Também se destaca OLIVEIRA (2003) que analisou, através de instrumental numérico, o com-portamento evolutivo de um derramamento de óleo em uma região costeira e de circulação oceânica; SOSSAE (2003) que avaliou a presença evolutiva de um material impactante e seu efeito no tran-siente populacional de especies interativas e VÁSQUEZ (2005) que desenvolveu trabalho sobre o comportamento evolutivo de descarga de água de produção decorrente de atividade offshore em sis-tema tri-dimensional; entre outros estudos de suma relevância tais como: ODI et al. (2006), DÚRAN e LOMBARDI (2006), CHONG et al. (2005), MOREIRA e TIRABASSI (2004), CANTÃO (1998), CASTRO (1993), MISTRO (1992), entre outros.

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1.4 Objetivos e Organização da tese

Tendo em vista a problemática do reservatório no tocante à poluição e o interesse por estudos na área de dispersão de poluente, via modelagem matemática, é que se propõe este estudo.

Desta forma o objetivo deste trabalho é analisar a dispersão de poluente no reservatório de Salto Grande, via modelagem matemática dos principais fenômenos envolvidos neste tipo de sistema.

Baseados na equação diferencial parcial de difusão-advecção a proposta é incorporar ao modelo, dito clássico, instrumentos da teoria dos conjuntos fuzzy na leitura dos coeficientes.

O principal interesse de trabalhar com os coeficientes da equação, através de instrumentais fuzzy, é poder incorporar ao modelo características intrínsecas de imprecisão e incertezas; incertezas estas não necessariamente caracterizadas pelas medidas em si, mas pela variabilidades dos fenômenos envolvidos neste tipo de situação.

O trabalho está organizado em 6 capítulos.

O capítulo 1 apresenta o problema da poluição de cursos d’água, em especial o quadro do reser-vatório de Salto grande e a possibilidade de tratamento matemático, via modelagem matemática, do estudo da dispersão de poluente.

O capítulo 2 apresenta a formulação clássica do problema, bem como o modelo proposto com as respectivas condições de fronteira e domínios trabalhados nas simulações.

O capítulo 3 traz a formulação fraca do modelo completo, bem como a existência e unicidade da solução fraca e a discretização espaço-temporal do problema.

O capítulo 4 apresenta a modelagem dos coeficientes da equação, através de intrumentos da teoria dos conjuntos fuzzy.

No capítulo 5 são apresentadas as simulações realizadas em ambiente matlab e os resultados obtidos, finalmente, no capítulo 6 são apresentadas as considerações finais.

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Capítulo 2

A Modelagem Matemática

2.1 Introdução

A equação clássica na descrição de fenômenos como aqueles aqui descritos é a Equação Difer-encial Parcial dita de Difusão-Advecção. É tradicional seu uso (e sua utilidade) em diversos estudos ligados a situações gerais e a análises em ecologia matemática (MARCHUK, 1986).

Nela são incorporados fatores microscópicos e macroscópicos tais como os que ocorrem em fenômenos de dispersão, na concepção de difusão "efetiva", como citado e usado, por exemplo, por MARCHUK (1986) e OKUBO (1980), o transporte advectivo, os fenômenos de degradação e possíveis fontes de material impactante que possam ocorrer.

O fenômeno da difusão efetiva é um importante mecanismo em sistemas bioecológicos, sendo o processo pelo qual uma substância é transferida de uma parte de um sistema para outra, resultado tanto de movimentos moleculares aleatórios (em escala microscópica) quanto resultados de efeitos de turbulência (em escala macroscópico).

O transporte advectivo, provocado por agentes externos, impõe uma direção "preferencial"ao transporte das partículas no meio. Assim, além da movimentação das partículas, deve-se neste trans-porte considerar esse fluxo direcionado, tal como resultante de ventos e padrões circulatórios.

A degradação, fenômeno molecular, descreve, de modo amplo, aquela fração de partículas da substância poluente que reage com o meio externo, excluindo-se do cenário durante o processo - e isto pode ocorrer de diversos modos: reação com a biota (biotransformação e biodegradação), decaimento por efeito da luz (fotodegradação), perda para o sedimento ou evaporação, etc.

A fonte, considerada macroscopicamente, é levada em conta pela possibilidade múltipla de in-gresso de poluente no meio, numa quantidade que depende de situações externas. Este inin-gresso pode, basicamente em função das dimensões do domínio aquático em estudo, ser considerada como pontual ou proveniente de fenômenos como a deriva ou o escorrimento.

(22)

10 A Modelagem Matemática

2.2 A Formulação Clássica para o Fenômeno de Difusão-Advecção

A concentração do poluente como a quantidade de matéria existente em um determinado ponto do plano (x, y)1_{no instante (t) será denotada por c = c(x, y; t), com (x, y) ∈ Ω ⊂ Re}2_{e t ∈ (0, T ].}

A variação dessa concentração em um elemento de área em Ω ⊂ ℜ2_{é dada pela caracterização dos}

fenômenos mencionados anteriormente: os microscópicos estão associados aos conceitos de fluxo e conservação e os macroscópicos ao de balanço de massa (EDELSTEIN-KESHET, 1988, CRANK, 1985).

Segundo a formulação clássica, conforme MEYER e DINIZ (2007), MURRAY (2001), MUR-RAY (1989), MARCHUK (1986) e OKUBO (1980), e, incorporando ao modelo de difusão-advecção os fenômenos já citados de difusão efetiva, transporte advectivo, decaimento e possíveis fontes, temos o modelo genérico dado por:

∂c

∂t = (difusao) − (transporte) − (decaimento) + (fonte)

transcrito matematicamente por:

∂c

∂t = div[α∇c] − div[~V .c] − σc + f, (2.1)

(x, y) ∈ Ω ⊂ ℜ2_{, t ∈ (0, T ] ⊂ ℜ}

onde:

1. A difusão é descrita através do termo div[α∇c] onde α = α(x, y; t) ≥ 0 aproxima a difusibili-dade efetiva no meio;

2. O transporte advectivo é modelado pelo termo div[~V .c], sendo ~V o campo que indica direção e intensidade da velocidade de transporte onde se considera div[~V ] = 0, ou seja, na região consi-derada o campo de velocidades é dito ´´solenoidal´´;

3. A degradação é modelada através do termo σ(x, y; t)c(x, y; t), que varia linearmente com a presença do poluente c(x, y; t);

4. A fonte poluidora é dada por f = f(x, y; t), podendo esta fonte ser pontual; e

5. As condições inicial e de contorno adequadas ao fenômeno serão abordadas a seguir.

1_{O domínio Ω, nesta aproximação, é considerado primeiramente como um retângulo, depois como o próprio ´´mapa´´}

da represa, ambos em duas dimensões - as horizontais. Isto se deve, também, à comparação das profundidades máxima e média com extensões horizontais, justificando a abordagem.

(23)

2.3 O Modelo Proposto

Conhecido o modelo clássico dado pela equação 2.1, a proposta deste trabalho é o estudo do poluente, cujo deslocamento do poluente será considerado na direção horizontal.

São considerados dois casos: o primeiro, levando-se em consideração um domínio retangular, genérico, onde as simulações são realizadas, primeiramente, com condições de contorno de von Neu-mann homogêneas e depois com von NeuNeu-mann Homogêneas e de Robin, retratando a perda de polu-ente para a margem; e o segundo, levando-se em consideração o contorno do mapa do reservatório, com condições de fronteira de von Neumann homogêneas em toda a borda.

Uma observação importante, que pode ser considerada a característica essencial da modelagem matemática clássica de processos variacionais, utilizando-se sistemas de equações determinísticas, é a precisão obtida na previsão dos parâmetros utilizados (BASSANEZI, 2002).

De acordo com vários autores, tais previsões ou inferências nos valores dos parâmetros usa-dos na equação 2.1 são sempre dependentes de informações precisas, difíceis de serem mensu-radas, e não obstante, envolvendo incertezas tanto nos estados assumidos pelas variáveis e variações, quanto na relação entre elas, dentre os trabalhos considerados destacam-se: MISSIO (2008), ROCHA (2007), BARROS e BASSANEZI (2006), CECCONELO (2006), DIAS (2006), CASTANHO (2005), PEIXOTO (2005), SILVA (2005), JAFELICE et al. (2004), BARROS et al. (2003), PEIXOTO e BAR-ROS (2004), DINIZ et al. (2001), BARBAR-ROS (2001), PEDRYCZ e GOMIDE (1998), entre outros.

Na equação trabalhada, esse é um fator apontado por pesquisadores em trabalhos desenvolvidos (DINIZ, 2003, OLIVEIRA, 2003, DINIZ et al., 2001, CANTÃO, 1998), pois alguns parâmetros do modelo trazem, por si só, algumas incertezas, assim como as propriedades que caracterizam o vento, a correnteza, a degradação, a fonte, inclusive a própria difusão.

Desta forma, propõe-se uma abordagem para alguns dos coeficientes da equação descrita através de Conjuntos Fuzzy. Os coeficientes: α, que representa a taxa de difusibilidade efetiva, ~V , o trans-porte advectivo e σ, que representa a taxa de degradação global serão modelados por meio de contro-ladores fuzzy, ou seja sistemas baseados em Regras Fuzzy, consideradas um importante recurso para a modelagem de fenômenos cujo comportamento é parcialmente conhecido (CASTANHO, 2005, PEIXOTO, 2005, JAFELICE, 2003, BARROS e BASSANEZI, 2006).

2.3.1 Caso 1: Um Domínio Genérico

Neste caso, o modelo genérico é adaptado para as condições apresentadas na Fig. 2.1, em que é considerado o poluente de superfície num domínio retangular, resultando na taxa de variação de concentração do poluente dada pela equação 2.1.

(24)

12 A Modelagem Matemática

Fig. 2.1: Domínio retangular.

Na figura ( 2.1) as fronteiras Γ2ie Γ2srepresentam as margens, inferior e superior respectivamente,

Γ1a entrada das águas do rio Atibaia e Γ3a barragem.

São consideradas duas abordagens: uma em que se trabalha somente com as condições de von Neumann homogênea em toda a fronteira e outra em que se leva em consideração, além das condições von Neumann, as condições de fronteira de Robin representando perda de poluente para a margem.

Primeira Abordagem

Denominando η o vetor normal unitário exterior à fronteira do domínio Ω, descrito ilustrativa-mente na Fig. 2.1, onde ∂Ω = Γ1∪ Γ2i∪ Γ2s∪ Γ3, com Γi, i = 1, 2i, 2s e 3 disjuntos. Na primeira

abordagem com as condições de contorno de von Neumann homogênea, temos:

∂c ∂η Γi = 0, ∀t, (x, y) ∈ Γi, i = 1, 2i, 2s, 3; (2.2)

entendendo que não há passagem do poluente ao longo da fronteira.

Segunda Abordagem

Na segunda abordagem, será considerada a possível perda de poluente para a margem. Desta forma, sendo η o vetor normal exterior unitário ao longo do contorno, têm-se:

∂c ∂η Γ1 = ∂c ∂η_Γ3 = 0, ∀t, (x, y) ∈ Γ1∪ Γ3, (2.3)

(25)

−α∂c ∂η _Γ 2j = βjc, ∀t, (x, y) ∈ Γ2j, j = i, s; (2.4)

descrevendo a perda de poluente para o meio externo circundante (margem inferior e superior).

2.3.2 Caso 2: O Reservatório de Salto Grande

Na Fig. 2.2 é apresentado um mapa digitalizado do contorno do Reservatório de Salto Grande. Matematicamente, esta região Ω, será tratada como um domínio do ℜ2_{, limitado e de borda ∂Ω.}

A fronteira continua sendo dividida em Γ2ie Γ2srepresentando as margens, Γ1a entrada das águas

do rio Atibaia e Γ3a barragem, assim como no caso anterior.

Fig. 2.2: Reservatório de Salto Grande.

Para as fronteiras são adotadas as condições de von Neumann homogêneas.

Finalmente, para a condição inicial, em ambos os casos, é considerada a usual: c(x, y; 0)=c0(x, y),

(26)

Capítulo 3

Formulação Variacional, Análise e

Discretização

3.1 Introdução

Na formulação clássica do problema de difusão-advecção de poluentes, exige-se que a solução c(x, y; t) seja no mínimo de classe C2_{. Nesse espaço, as funções, além de serem contínuas, devem ter}

também as derivadas segundas contínuas.

Outros problemas estão relacionados à fonte e à condição inicial que, na prática, não são neces-sariamente contínuas na variável temporal, nem nas variáveis espaciais.

Deste modo, é necessário fazer uso da formulação variacional, ou formulação fraca do problema. Essa formulação "enfraquece"as hipóteses de regularidade da solução, "alargando"condições ne-cessárias para achar ou construir a solução procurada, com vistas à aplicação do Método de Galerkin para a discretização espacial, favorecendo aproximações numéricas adequadas da solução para cada instante (para maiores detalhes, consultar DAUTRAY e LIONS (2000)).

3.2 Formulação Variacional

A formulação variacional apresentada nesta seção, considera o problema tal como ressaltado na segunda abordagem do primeiro caso, ou seja, uma situação evolutiva em que valham condições de contorno de von Neumann homogêneas e de Robin. Para se obter formulação variacional do primeiro caso primeira abordagem e segundo caso, onde são consideradas apenas com as condições de von Neumann homogêneas, basta tomar βi = βs= 0.

Assim sendo, temos a equação do problema 2.1 associada às condições de contorno de 2.3 e 2.4, descrevendo assim a chamada formulação clássica do problema, dependendo fortemente da fonte

(27)

e da condição inicial que, como mencionado anteriormente, não são necessariamente contínuas na variável tempo nem nas variáveis espaciais.

O processo para obtenção da formulação variacional é desenvolvido da seguinte forma (veja al-gumas informações adicionais sobre a formulação variacional em Apêndice A.1):

1. Consideram-se as derivadas no sentido das distribuições;

2. Multiplica-se cada termo da equação por uma função teste, v, pertencente a um subespaço conveniente de H1_{(Ω) e, então, integra-se no sentido de Lebesgue sobre Ω.}

Iremos, portanto, considerar L2_{(Ω), o espaço das funções de quadrado integrável, no sentido de}

Lebesgue, sobre um domínio Ω ⊂ ℜ2_:

L2_{(Ω)={u : Ω → ℜ, com}RR

Ω[u(x, y)]2dµ < ∞}

onde o produto interno e a norma são dados por:

(u| v)0,Ω = (u| v)L2_(Ω)=

RR

Ωu(x, y)v(x, y)dµ

kuk_0,Ω=qRR

Ω|u(x, y)| 2

dµ com u, v ∈ L2_(Ω).

Seja H1_{(Ω) o espaço de Sobolev das funções quadrado integráveis com derivadas no sentido das}

distribuições também de quadrado integráveis:

H1_{(Ω) =}n u(x, y) ∈ L2_{(Ω) :} ∂u ∂x, ∂u ∂y ∈ L 2_(Ω)o

Aqui, o produto interno e a norma são dados por:

(u| v)1,Ω= (u| v)H1_(Ω) = (u| v)_0,Ω+

∂u ∂x, ∂v ∂x 0,Ω+ ∂u ∂y, ∂v ∂y 0,Ω kuk_1,Ω= kuk2_0,Ω+ ∂u ∂x 2 0,Ω+ ∂u ∂y 2 0,Ω 1₂ com u, v ∈ H1_(Ω).

Iremos considerar os espaços abaixo, necessários, pela ordem, para a formulação variacional genérica, para uma separação de variáveis espaciais e temporal, para uma primeira discretização de Ω ⊂ ℜ2_{e, finalmente, para uma discretização também na variável temporal:}

• V = n

v ∈ L2_{[J, H}1_{(Ω)] , com}∂v ∂t ∈ L

2_{(Ω), ∀t ∈ J}o

, J=(0,T]. Em outras palavras, se v ∈ V, v e suas derivadas espaciais em x e y bem como ∂v

∂t pertencem, ∀t, a L

2_{(Ω). Assim, temos}

(28)

3.2 Formulação Variacional 17

• V = H1_{(Ω); e}

• Vh ⊂ H1(Ω), sendo de dimensão finita com base dada por B(Vh) = {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN}. Aqui,

como iremos indicar na seção 3.4, separando as variáveis, teremos c(x, y; t) aproximada por ch(x, y; t) =PNj=1(cj(t)ϕj(x, y)), nesse subespaço Vhde V.

Neste quadro funcional optamos pelo produto interno e pela norma em V dados por:

(u| v)0,Ω = (u| v)L2_(Ω),

kuk_0,Ω = kukL2_(Ω)e, ainda

hu|vi_0,Γ=R

∂Ωu(x, y)v(x, y)dγ;

(∇u |∇v)_0,Ω=RR

Ω∇u • ∇vdµ

com u, v ∈ V e as integrações feitas no sentido de Lebesgue. No caso da formulação variacional, as condições iniciais e de contorno também devem ser expressas em função dos operadores acima definidos.

Multiplicando cada termo da equação do modelo por v ∈ V e integrando no sentido de Lebesgue sobre Ω, tem-se: Z Z Ω ∂c ∂tvdµ − Z Z Ω∇(α∇c)vdµ + Z Z Ω∇(~V c)vdµ + Z Z Ωσcvdµ = Z Z Ωf vdµ

Desta forma, considerando funções e derivadas primeiras quadrado integráveis, no sentido fraco, e tomando um campo de correntezas dado por um vetor de duas dimensões ~V = (V1, V2) com div(~V ) =

0 e caracterizando o transporte advectivo por: ~V = (V1, 0), representando o transporte do poluente

no sentido somente horizontal, tem-se, ∀ v ∈ V:

Z Z Ω ∂c ∂tvdµ − Z Z Ω∇(α∇c)vdµ + Z Z ΩV1 ∂c ∂xvdµ + Z Z Ωσcvdµ = Z Z Ωf vdµ.

Utilizando-se a identidade de Green, aplicada no segundo termo do lado esquerdo da equação anterior, vem: Z Z Ω ∂c ∂tvdµ + Z Z Ωα∇c.∇vdµ − Z ∂Ωα ∂c ∂ηvdγ + V1 Z Z Ω ∂c ∂xvdµ + Z Z Ωσcvdµ = Z Z Ωf vdµ, ∀v ∈ V.

Finalmente, considerando as condições de contorno explicitadas acima, e fazendo a substituição conveniente para o terceiro termo da equação anterior, resulta a formulação variacional ou fraca do problema (considerando α e σ constantes):

(29)

Z Z Ω ∂c ∂tvdµ + α Z Z Ω∇c.∇vdµ − Z Γ2i α∂c ∂ηvdγ − Z Γ2s α∂c ∂ηvdγ + V1 Z Z Ω ∂c ∂xvdµ + σ Z Z Ωcvdµ = Z Z Ωf vdµ, ∀v ∈ V. ou seja: Z Z Ω ∂c ∂tvdµ + α Z Z Ω∇c.∇vdµ + βi Z Γ2i cvdγ + βs Z Γ2s cvdγ + V1 Z Z Ω ∂c ∂xvdµ + σ Z Z Ωcvdµ = Z Z Ωf vdµ, ∀v ∈ V.

Introduzindo a notação de produto interno indicada anteriormente, tem-se o problema caracteri-zado da seguinte forma:

É importante observar que, nesta formulação variacional do problema, aparecem apenas as derivadas de primeira ordem, no sentido das distribuições, ou "derivadas fracas"da solução c(x, y; t), enquanto na equação 2.1 aparecem as derivadas de segunda ordem, no sentido clássico.

Outra vantagem dessa formulação, como será visto a seguir, é a facilidade da prova de existência e unicidade da solução fraca do problema, num espaço bem menos restritivo do ponto de vista de regularidade.

3.3 Existência e Unicidade

Considerando a formulação variacional do problema obtido, segue a demonstração da existência e unicidade da solução utilizando-se o Teorema de Lions LIONS (1961) e seguindo procedimentos adotados por: DINIZ (2003), OLIVEIRA (2003), CASTRO (1993) e MISTRO (1992), .

Será utilizada uma notação compacta da formulação, da equação anterior:

∂c ∂t|v

+ A(t; c, v) = Lf(v), ∀v ∈ V,

onde: A(t; c, v) = α (∇c|∇v)_0,Ω+ β hc|vi_0,∂Ω+ V1

∂c ∂x|v

0,Ω+ σ (c|v)0,Ω e Lf(v) = (f |v)0,Ω, para

β hc|vi_0,∂Ω=βihc|vi_Γ_2i+ βshc|vi_Γ_2s

Teorema: Se o operadorA(t; c, v) é tal que:

1. ∀u, v ∈ V, a função t −→ A(t; c, v) é mensurável,

(30)

3.3 Existência e Unicidade 19

3. ∃λ ∈ ℜ tal que A(t; v, v) + λ kvk_L2 ≥ δ kvk_H1_(Ω), δ > 0, v ∈ V,

4. Lf(v) é contínuo e se

5. f ∈ L2_{(I, L}2_{(Ω)) e c}

0(x, y) ∈ L2(Ω),

então existe uma única função c ∈ V que é solução do problema variacional.

Prova:

1. A mensurabilidade do operador A(t; c, v) é garantida pela definição, pois as funções envolvidas pertencem a H1_{(Ω), ∀t ∈ J e, portanto, são de quadrado integráveis.}

2. Sobre a continuidade de A(t; c, v), tem-se, pela desigualdade de Cauchy-Schwartz e ∀t ∈ J:

|α (∇c|∇v)_Ω+ σ (c|v)_Ω| ≤ max {α, σ}|(∇c|∇v)_Ω+ (c|v)_Ω| ≤ M1kckH1kvk_H1

onde M1= max {α, σ} e (∇c|∇v)_Ω+ (c|v)_Ωé exatamente o produto interno em H1.

Pela desigualdade de Hölder, tem-se:

V1 RR Ω∂x∂cvdµ ≤ V1 RR Ω ∂c ∂xv dµ ≤ V1 ∂c ∂x _L2kvkL2≤ V1kckH1kvkH1 Ainda: β hc|vi_Γ2 ≤ |β| R Γ2|cv| dµ ≤ |β| kckL2(Γ2)kvkL2(Γ2)≤ |β| kckL2(∂Ω)kvkL2(∂Ω)≤ ≤ |β| kckL2_(Ω)kvk_L2_(Ω) ≤ |β| kck_H1_(Ω)kvk_H1_(Ω) Então: |A(t; c, v) ≤ M1kckH1kvk_H1+ V₁kck_H1kvk_H1 + |β| kck_H1kvk_H1 ou seja, A(t; c, v) ≤ M kck_H1kvk_H1, com M = M₁+ V₁+ |β|

(31)

A(t; v, v) + λ kvk2L2 ≤ α RR Ω∇v∇vdµ + V1 RR Ω ∂v ∂xvdµ + σ RR Ωv2dµ + β R Γ2v 2_dγ ou seja, A(t; v, v) + λ kvk2_L2 ≤ α RR Ω ∂v ∂x 2 +∂v ∂y 2 dµ + V1 RR Ω ∂v ∂xvdµ + σ RR Ωv2dµ + β R Γ2v 2_dγ. Sabe-se que V1 RR Ω∂x∂vvdµ ≤ V1 RR Ω ∂v ∂xv dµ ≤ V1 RR Ω ∂v ∂x |v| dµ ≤ V1 ∂v ∂x L2kvkL2 e, então, − V1 RR Ω ∂v ∂xvdµ ≥ −V1 ∂v ∂x L2kvkL2. Como −ab ≥ −ǫ 2a 2₋ 1 2ǫb

2_{, onde a, b e ǫ são positivos quaisquer, tem-se:}

−V1 ∂v ∂x L2kvkL2 ≥ − V1ǫ 2 ∂v ∂x 2 −V1 2ǫkvk 2_. Assim: A(t; v, v) + λ kvk2_L2 ≥ α − V1ǫ 2 ∂v ∂x 2 L2+ ∂v ∂y 2 L2 +λ + σ + β −V1ǫ 2 kvk2_L2 e, daí: A(t; v, v) + λ kvk2_L2 ≥ δ kvk2_L2+ ∂v ∂x 2 L2 + ∂v ∂y 2 L2 = δ kvk2_H1_(Ω), ∀v ∈ V onde δ = minn α − V1ǫ 2 ;λ + σ + β −V1ǫ 2 o

e δ > 0, bastando para isto escolher λ e ǫ de modo conveniente.

4. O termo Lf(v) é dado por Lf(v) = (f |v), e além disso, kvkL2 ≤ µ(Ω) kvk_H1_(Ω), ∀v ∈ V. Assim, dado f , tem-se:

|Lf(v)| = RR

Ωf vdµ ≤

≤RR

Ω|f v| dµ ≤ kf kL2kvk_L2

o que mostra a continuidade de Lf(v). Além disso, as possíveis fontes serão funções pontuais

ou constantes e a condição inicial corresponderá a uma função pertencente a L2_(Ω).

Logo, são garantidas as condições que asseguram existência e unicidade da solução fraca do problema.

(32)

3.4 Discretização Espaço-Temporal da Equação 21

3.4 Discretização Espaço-Temporal da Equação

A discretização das equações utilizadas na modelagem possibilita a aproximação da solução numérica do problema, obtida através do Método de Elementos Finitos, via Garlekin, para a dis-cretização espacial, e Crank-Nicolson, Método de Diferenças Finitas, para a temporal (para maiores detalhes e precisão consultar: RIBEIRO (2004), KARDESTUNCER e NORRIE (1987) e CIARLET (1978)).

Para introduzir o Método de Garlekin, consideremos o espaço de dimensão N < ∞ já definido Vh. Como indicado, B(Vh) = {ϕ1, ϕ2, . . . , ϕN} é uma base para este subespaço Vh. Notemos que

ϕi, i = 1, . . . , N é uma função de x e y, em Ω ⊂ ℜ2.

Assim, podemos escrever a separação de variáveis:

c(x, y; t) ∼= ch(x, y; t) =PNj=1cj(t)ϕj(x, y) com: ∂ch ∂t (x, y; t) = PN j=1 dcj dt(t)ϕj(x, y).

Observa-se, nestas equações, o produto de funções independentes nas variáveis temporal e espa-cial que caracteriza essa sepação de variáveis.

Desde que as funções ϕi(x, y) sejam conhecidas, a aproximação chserá determinada,

calculando-se as N funções ci(t), que correspondem, para cada t, aos coeficientes c1, c2, · · · , cN da discretização

via Método de Galekin.

Na primeira abordagem Ω é considerado como sendo um retângulo de Ω ∈ ℜ2_.

Uma das possibilidades de aproximação do Método de Garlekin é via Elementos Finitos. Para isto é necessário:

1. criar uma malha em Ω, e, neste trabalho, iremos optar por elementos finitos triangulares;

2. é necessário, também, definir a ordem dos polinômios de aproximação sobre cada triânngulo, e, neste trabalho, os elementos finitos serão lineares.

Procedemos construindo, portanto, uma malha de elementos finitos triangulares formando o domínio Ω, cuja discretização foi realizada conforme mostra a figura 3.1.

(33)

Fig. 3.1: Discretização do Domínio Genérico Ω por uma triangulação regular.

As funções da base de Vh, {ϕ1(x, y), ϕ2(x, y), . . . , ϕN(x, y)} são escolhidas do tipo linear por

partes, satisfazendo: ϕi(xj, yj) =    1 se i = j 0 se i 6= j

onde (xj, yj) são as coordenadas dos nós da malha. De modo genérico as ϕi são, de fato uma

"pirâmide"sobre cada nó da malha, conforme figura 3.2, (veja em Apêndice A.2 o procedimento dos cálculos efetuados).

Fig. 3.2: Ilustração da função base.

Para o segundo caso, o procedimento é similar ao primeiro caso. Entretanto, foi utilizado o programa Gmesh para gerar a malha de elementos finitos, conforme mostra a figura 3.3. Aqui, vale comentar que Ωh6= Ω, embora Ωhtenda de algum modo à Ω quando h −→ 0, isto é, à medida que se

(34)

3.4 Discretização Espaço-Temporal da Equação 23

Fig. 3.3: Discretização do Reservatório.

Apresentados os procedimentos, retomamos a formulação variacional apresentada no capítulo anterior para a discretização espacial e temporal do problema.

Como os coeficientes c = cj(t) não dependem da variável espacial, a expressão anterior pode ser

reescrita da seguinte forma:

(35)

Daí, reescrevendo a equação, tem-se:

As aproximações utilizadas para a resolução no tempo serão dadas pelo Método de Crank-Nicolson, que consiste em tomar a aproximação no tempo (n +1

2) como média entre dois tempos subsequentes.

Pelo método: dcj dt tn+ ∆t 2 ≈ c (n+1) j − c (n) j ∆t e cj tn+ ∆t 2 ≈ c (n+1) j + c (n) j 2 , onde c(n) j aproxima cj(tn).

Aqui, n representa o passo no tempo e a ordem local de erro é de (∆t2_).

Desta forma, tem-se, para i = 1, 2, . . . , N:

Operações algébricas elementares efetuadas, possibilita reescrever esta formulação na forma ma-tricial:

Ac(n+1)= Bc(n)+ d(n+12) (3.1) com:

(36)

A matriz A é conhecida por matriz de rigidez.

O procedimento equivale a resolver o sistema linear apresentado, que é iterativo no tempo a partir da condição inicial c0(x, y), ou, de c(0)i com i = 1, 2, . . . , N obtidos da expressão.

P jc

(0)

j (ϕj|ϕi)_0,Ω=Pjc0(xj, yj) (ϕj|ϕi)_0,Ω, i = 1, 2, . . . , N .

(37)

(38)

Capítulo 4

Modelagem dos Coeficientes do Transporte,

Degradação e Difusão

4.1 Introdução

A variabilidade na estimação de parâmetros, necessários e característicos de modelagem nas áreas de Biomatemática em geral, e de Ecologia Matemática em particular, é um fator de preocupação por parte de pesquisadores, que buscam valores significativos para os testes e implementações (BAS-SANEZI, 2002).

De acordo com vários autores, tais previsões ou inferências estão sempre dependentes de in-formações precisas, difíceis de serem avaliadas e, não obstante, envolvendo imprecisões, incertezas e subjetividades. Dentre os trabalhos considerados destacam-se: MISSIO (2008), CECCONELO (2006), DIAS (2006), CASTANHO (2005), PEIXOTO (2005), SILVA (2005), JAFELICE et al. (2004), BARROS et al. (2003), entre outros.

Na equação abordada 2.1, esse é um fator apontado por DINIZ (2003), OLIVEIRA (2003), CAN-TÃO (1998). Alguns dos parâmetros do modelo trazem, por si só, diversos aspectos de incertezas e subjetividade, são características intrísecas do velocidades de vento, corrente entre outros fenômenos. Deste modo, buscou-se pela uso dos Conjuntos Fuzzy, que possibilita modelar e manipular, de modo aproximado, informações com certo grau de incerteza e imprecisão, fornecendo uma resposta aproximada para fenômenos baseados em informações incompletas, ou, ainda que numericamente confiáveis em termos da medida em si, não totalmente confiáveis em função de variabilidades múlti-plas.

Neste trabalho, a opção foi pelo uso dos Conjuntos Fuzzy desenvolvida por Lofti Asker Zadeh, da Universidade da Califórnia, em Berkeley, no final da década de 60.

Dizemos, na teoria clássica, que um elemento pertence ou não pertence a um dado conjunto.

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tretanto, no sistema dos Conjuntos Fuzzy, um elemento pode pertencer, com certo grau, denominado grau de pertinência, a um determinado subconjunto fuzzy (PEDRYCZ e GOMIDE, 1998, JAFELICE, 2003, BARROS e BASSANEZI, 2006).

Desta forma, caracteriza-se um subconjunto fuzzy F de U, um conjunto universo, por meio de uma função uF : U → [0, 1], denominada função de pertinência do subconjunto F , cujo valor obtido

indica o grau com que o elemento x ∈ U está em F .

Os valores uF(x) = 1 e uF(x) = 0 indicam a pertinência plena e a não pertiência do elemento x

a F , respectivamente. Note que que um subconjunto clássico A de U é um particular conjunto fuzzy para o qual a função de pertinêcia é a função característica de A, ou seja, uA: U → {0, 1}.

A modelagem através dos Conjuntos Fuzzy tem sido amplamente utilizada, por basear-se na ca-racterização de classes que não possuem, ou não podem definir, limites rígidos, sendo indicados para lidar com modelos matemáticos complexos que representam limites difusos, comuns em processos naturais.

Utilizando expressões linguísticas na sua aplicação, definem-se conjuntos para os quais os valores são alocados com diferentes graus de pertinência, o que rompe os limites da rígida dicotomia da lógica clássica e possibilita maior abragência na dinâmica dos processos de modelagem.

Desta forma os coeficientes, α, que representa a taxa de difusibilidade efetiva, ~V , que descreve o transporte advectivo e σ, que representa a taxa de decaimento global, da equação 2.1 foram modela-dos recorrendo a um sistema de regras fuzzy.

Um sistema baseado em regras fuzzy é composto, basicamente, por quatro componentes: um processador de entrada que realiza a fuzzificação dos dados de entrada, uma coleção de regras lin-guísticas chamada base de regras composta por proposições fuzzy do tipo: "Se . . . Então . . .", uma máquina de inferência fuzzy e um processador de saída que fornece um número real como saída (para maiores detalhes consultar: BARROS e BASSANEZI (2006), CASTANHO (2005), JAFELICE (2003), PEDRYCZ e GOMIDE (1998)).

O Processador de Entrada é o processo de fuzzificação, nele as entradas do sistema são traduzidas por conjuntos fuzzy. Nesta etapa, a busca por informações específicas do fenômeno a ser modelado, bem como a participação de especialistas são de extrema relevância.

O Conjunto de Base de Regras compõe, juntamente com o método de inferência, o núcleo do sis-tema. Ele descreve através das proposições: "Se . . . Então . . ."as relações entre as variáveis que são utilizadas no módulo de inferência, etapa na qual que cada proposição fuzzy é "traduzida"matematicamente por meio das técnicas da Lógica fuzzy.

Como método de inferência utilizamos o Método de Mamdani baseado na regra de composição de inferência max-min, uma regra do tipo "Se (antecedente) Então (consequente)"é definida por um produto cartesiano fuzzy que compõe o antecedente e o consequente. Agregando as regras através

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4.2 Modelagem dos Coefientes 29

do conectivo lógico OU, modelado pelo operador máximo (max) e, em cada regra, pelo conectivo lógico E, modelado pelo operador mínimo (min), o Método de Mamdani resulta num conjunto fuzzy onde faz-se necessário um processo de deffuzificação que permita representar este conjunto por um número real.

Dentre os métodos de deffuzificação utilizamos o Centro de Massa, também denominado Centro de Gravidade, que se assemelha à média ponderada para uma distribuição de dados, onde os pesos são os valores uA(xi) que indicam o grau de compatibilidade do valor xi, com o conceito modelado

pelo conjunto fuzzy A.

Dessa forma, o centro de massa dá a média das áreas de todas as figuras que representam os graus de pertinência de um subconjunto fuzzy e é calculado por: G(A) =

Pn i=0xiuA(xi) Pn i=0uA(xi) e G(A) = R ℜxuA(x)dx R ℜuA(x)dx

para domínios discreto e contínuo, respectivamente.

Para a modelagem proposta foram utilizados três controladores, um para a modelagem do co-eficiente do trasnporte, um para a modelagem do coco-eficiente da degradação e, por fim, um para a modelagem do coeficiente da difusão conforme como pode ser observado a seguir.

4.2 Modelagem dos Coefientes

A figura Fig. 4.1 descreve a estrutura do sistema baseado em regras fuzzy utilizado na modelagem desenvolvida neste trabalho. São três controladores: um para o termo do transporte advectivo, um para o coeficiente de degradação e um para o coeficiente da difusão efetiva.

Conforme pode ser observado, para o primeiro controlador considera-se como a variável de en-trada a velocidade do vento e o transporte como variável de saída. Este, juntamente com a degradação (saída do segundo controlador, cujas variáveis de entradas são: quantidade de matéria e tipo de

am-biente) são variáveis de entrada do terceito controlador, aquele que modela a difusão.

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4.2.1 Coeficiente do Transporte

Levando-se em consideração o poluente de superfície, cujo transporte é fortemente influenciado pelo vento, propôs-se o primeiro controlador como um sistema com uma variável de entrada: vento e uma variável de saída: transporte.

Para a modelagem desse parâmetro, buscou-se junto ao CEPAGRI - Centro de Pesquisas Me-teorológicas e Climáticas Aplicadas à Agricultura da UNICAMP, valores de velocidade dos ventos predominantes, de modo a representar mais adequadamente o vento na região do reservatório.

De acordo com ZULLO (2009), num período de quase 30 anos, os ventos predominantes no reser-vatório de Salto Grande são de 5, 4 km/h e 9 km/h, caracterizados com ventos de velocidades mode-radas. A maior velocidade média, registrada em 1995 de acordo com ESPÍNDOLA et al. (2004a) foi de 15, 1 km/h. Com isto, foram estabelecidas, para velocidade do vento local variando num inervalo de 0 a 40 km/h e transporte variando num intervalo de 0 à 1, as seguintes funções de pertinência e base regras:

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1. SE vento é fraco, ENTÃO transporte é pequeno. 2. SE vento é moderado, ENTÃO transporte é médio. 3. SE vento é forte, ENTÃO transporte é grande.

4. SE vento é muito forte, ENTÃO transporte é muito grande.

Fig. 4.3: Funções de pertinência da variável de saída transporte.

Utilizando-se o método de inferência de Mamdani e o método de defuzzificação de Centro de Gravidade obteve-se, para a variável de saída "transporte", a solução do sistema fuzzy dada pelo gráfico apresentado na Fig. 4.4.

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4.2.2 Coeficiente de Degradação

Para a modelagem do coeficiente de degradação, considerou-se que, a médio e longo prazos, a degradação do poluente de superfície é relativamente pequeno e depende essencialmente da

quan-tidade de matéria e do potencial de degradação do meio meio, que, aqui, foi denominado tipo de ambiente.

Desta forma, propôs-se um segundo controlador com duas variáveis de entrada: quantidade de

matéria, tipo de ambiente e uma variável de saída: degradação.

Para a modelagem das variáveis de entrada considerou-se o domínio [0, 1], onde se caracterizou a quantidade de matéria como: pouca, média e muita e; ambiente como: desfavorável, mediano e favorável aos processos de degradação.

Esses parâmetros foram escolhidos após entendimentos com a equipe da área de poluição ambi-ental do CESET - Centro Superior de Educação Tecnológica da UNICAMP, devido à dificuldade de se obter informações precisas a respeito desse parâmetro.

A modelagem dessas variáveis está representada pelas figuras: Fig. 4.5, 4.6 e 4.7 e pelo conjunto de base de regras a seguir.

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Fig. 4.6: Funções de pertinência da variável de entrada tipo de ambiente.

Fig. 4.7: Funções de pertinência da variável de saída degradação.

1. SE quantidade de matéria é pouca E ambiente é favorável, ENTÃO degradação é alto. 2. SE quantidade de matéria é pouca E ambiente é mediano, ENTÃO degradação é médio. 3. SE quantidade de matéria é pouca E ambiente é desfavorável, ENTÃO degradação é baixo. 4. SE quantidade de matéria é média E ambiente é favorável, ENTÃO degradação é médio alto. 5. SE quantidade de matéria é média E ambiente é mediano, ENTÃO degradação é médio. 6. SE quantidade de matéria é média E ambiente é desfavorável, ENTÃO degradação é baixo. 7. SE quantidade de matéria é muita E ambiente é favorável, ENTÃO degradação é médio. 8. SE quantidade de matéria é muita E ambiente é mediano, ENTÃO degradação é médio baixo. 9. SE quantidade de matéria é muita E ambiente é desfavorável, ENTÃO degradação é baixo

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A seguir, pode-se observar (nos gráficos em menor escala da Fig. 4.8) o comportamento da degradação, solução do sistema fuzzy, via inferência de Mamdani e defuzzificação Centro de Gravi-dade.

Fig. 4.8: Solução dada pelo controlador fuzzy para o coeficiente degradação em função da quantidade

de matéria e do tipo de ambiente.

4.2.3 Coeficiente de Difusão

Para o coeficiente de difusão (considerada a difusão dita "efetiva", cf. MARCHUK (1986) e OKUBO (1980)), a suposição é de que este depende do transporte do poluente no reservatório, bem como da degradação e, desta forma, é proposto um sistema baseado em duas entradas: transporte e

degradação, que são as saídas dos controladores anteriores, e uma saída: o coeficiente de difusão.

A modelagem aqui também foi proposta, considerando-se que quanto maiores o transporte e a degradação, menor a difusão. As funções de pertinência das variáveis são dadas pelas figuras: Fig. 4.3, 4.7 e 4.9 e as base de regras são indicadas a seguir.

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Fig. 4.9: Funções de pertinência da variável de saída difusão.

1. SE transporte é pequeno E degradação é baixo, ENTÃO difusão é média alta. 2. SE transporte é pequeno E degradação é médio baixo, ENTÃO difusão é média alta. 3. SE transporte é pequeno E degradação é médio, ENTÃO difusão é média.

4. SE transporte é pequeno E degradação é médio alto, ENTÃO difusão é média. 5. SE transporte é pequeno E degradação é alto, ENTÃO difusão é média baixa. 6. SE transporte é médio E degradação é baixo, ENTÃO difusão é média alta. 7. SE transporte é médio E degradação é médio baixo, ENTÃO difusão é média. 8. SE transporte é médio E degradação é médio, ENTÃO difusão é média.

9. SE transporte é médio E degradação é médio alto, ENTÃO difusão é média baixa. 10. SE transporte é médio E degradação é alto, ENTÃO difusão é média baixa. 11. SE transporte é grande E degradação é baixo, ENTÃO difusão é média. 12. SE transporte é grande E degradação é médio baixo, ENTÃO difusão é média. 13. SE transporte é grande E degradação é médio, ENTÃO difusão é média baixa. 14. SE transporte é grande E degradação é médio alto, ENTÃO difusão é baixa. 15. SE transporte é grande E degradação é alto, ENTÃO difusão é baixa.

16. SE transporte é muito grande E degradação é baixo, ENTÃO difusão é média baixa. 17. SE transporte é muito grande E degradação é médio baixo, ENTÃO difusão é média baixa. 18. SE transporte é muito grande E degradação é médio, ENTÃO difusão é média baixa. 19. SE transporte é muito grande E degradação é médio alto, ENTÃO difusão é baixa. 20. SE transporte é muito grande E degradação é alto, ENTÃO difusão é baixa.