UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS FACULDADE DE ENGENHARIA MECÂNICA
COMISSÃO DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA DEPARTAMENTO DE ENERGIA
ESTUDO DO ESCOAMENTO BIFÁSICO
PADRÃO GOLFADA DE LÍQUIDO NA
TRANSIÇÃO VERTICAL
ASCENDENTE-HORIZONTAL UTILIZANDO UM MODELO
SLUG-TRACKING
Autor: Francisco Elpidio Vianna Barbosa Filho Orientador: Prof. Dr. Ricardo Augusto Mazza
Curso: Engenharia Mecânica
Área de Concentração: Térmicas e Fluidos
Dissertação de mestrado acadêmico apresentada à comissão de Pós Graduação da Faculdade de Engenharia Mecânica, como requisito para obtenção de título de Mestre em Engenharia Mecânica.
Campinas, 2010 S.P. - Brasil
FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PELA
BIBLIOTECA DA ÁREA DE ENGENHARIA E ARQUITETURA - BAE - UNICAMP
B234e
Barbosa Filho, Francisco Elpidio Vianna
Estudo do escoamento bifásico padrão golfada de líquido na transição vertical ascendente - horizontal utilizando um modelo slug-tracking / Francisco Elpidio Vianna Barbosa Filho. --Campinas, SP: [s.n.], 2010.
Orientador: Ricardo Augusto Mazza.
Dissertação de Mestrado - Universidade Estadual de Campinas, Faculdade de Engenharia Mecânica.
1. Escoamento intermitente. I. Mazza, Ricardo Augusto. II. Universidade Estadual de Campinas. Faculdade de Engenharia Mecânica. III. Título.
Título em Inglês: Study of two phase slug flow in the vertical upward - horizontal transition using a slug-tracking model
Palavras-chave em Inglês: Intermittent flow Área de concentração: Térmica e Fluidos Titulação: Mestre em Engenharia Mecânica
Banca examinadora: Antonio Carlos Bannwart, Sérgio Said Mansur Data da defesa: 15/12/2010
Dedicatória
Dedico esta dissertação a todos aqueles que sempre me apoiaram e nunca perderam a fé em mim.
Agradecimentos
À Deus, por sempre me iluminar e me colocar no caminho certo.
Aos meus pais, Francisco e Maria Helena, pelo incentivo em todos os momentos de minha vida.
Ao meu irmão, Rodrigo, por todo apoio e companheirismo.
Ao meu orientador, Professor Ricardo Mazza, pela oportunidade e orientação dos caminhos a serem seguidos.
À Capes, pelo financiamento deste trabalho.
Aos meus familiares, que sempre estiveram do meu lado, em especial, os primos Luis Carlos, Marcelo e Daniel.
Aos colegas do laboratório 2PFG, Bruno Flora, Luis Lima, Luiz Gomez, Marco Sampaio, Thiago Antonini, Yara Tadano, Roberto Simões, Danilo Carvalho, Fabio Akio, Érico Porto, Fabiola Figueiredo, Eduardo Welzl, Ismael Marchi e Cristiano Garcia.
Aos colegas do LACIT, Cristiane, Solano e Renan, pelo apoio prestado. A todos os moradores e agregados da gloriosa República Paidabartira.
Aos amigos de todos os momentos, Hugo Marques, Conrado Evangelista, Luis Rua, José Fogo, Rubens Scardua, Lucas Rodrigues, Rafael Mastracouzo, Fernanda Mastracouzo, Rafael Dutra, Ricardo Dutra, Cristiane Neves, Fernando Carvalho, Renato Carvalho, Fernado Lilli, Paulo Pompeo, Danilo Cunha, Dalton Camargo, Thiago Galavotti, Marcus Hamamoto, André Guerta, Juliano Zucato, Guilherme Munhoz, Douglas Prux, Leandro Momenté, Marcelo Rubia, Livia Mendes, Marina Marquezi, Talita Guimarães, Vítor Queluz, Welisson Rogato, Sylvio Alves, Amanda Arruda, Rafael Amaral, Vinicius Pascoal, Rodrigo Queluz, Pedro Caveanha, Luiz Maximiano, André Campos, Thiago Godoi, Felipe Cuchi, Felipe Fozzatti, Marcelo Fonseca, Antonio Spinoza, Leonardo Kubotã, Eduardo Rodrigues.
Nós sabemos cada vez mais. Mas ao mesmo tempo vamos sabendo cada vez melhor a importância daquilo que não sabemos.
Resumo
Barbosa Filho, Francisco Elpidio Vianna, Estudo do Escoamento Bifásico Padrão Golfada de
Líquido na Transição Vertical Ascendente-Horizontal Utilizando um Modelo Slug-Tracking,
Campinas: Faculdade de Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2010. 161p. Dissertação (Mestrado)
O escoamento bifásico padrão golfada de líquido é caracterizado pela passagem alternada de pistões de líquido seguidos por bolhas alongadas de gás. Este trabalho desenvolve um estudo experimental e numérico sobre este padrão de escoamento em uma tubulação contendo uma curva de 90 graus. Essa configuração permite a passagem do escoamento vertical ascendente para horizontal em uma curva com raio interno de 410 mm e diâmetro interno da tubulação de 26 mm. O arranjo experimental permite fazer a medição das propriedades do escoamento padrão golfada antes e depois da passagem pela curva. As grandezas medidas são: a velocidade de propagação das bolhas, os comprimentos de bolhas e pistões, a frequência de passagem e a queda de pressão ao longo da tubulação. Um modelo numérico do tipo slug-tracking é empregado para capturar as alterações das características dos pistões e das bolhas durante a transição vertical para horizontal. O modelo se concentra em capturar os efeitos da mudança de direção relacionados com: a força da gravidade, a aeração pistão líquido e a espessura do filme líquido que envolve as bolhas de gás alongada. Os resultados numéricos foram favoravelmente comparados em relação aos dados experimentais.
Abstract
Barbosa Filho, Francisco Elpidio Vianna, Study of Two Phase Slug Flow in the Vertical
Upward to Horizontal Transition Using a Slug-Tracking Model, Campinas: Faculdade de
Engenharia Mecânica, Universidade Estadual de Campinas, 2010. 161p. Dissertação (Mestrado)
The slug flow pattern is characterized by the alternating passage of liquid slugs trailed by elongated gas bubbles. This work develops an experimental and numerical study in slug flow regime occurring in a 90 degree pipe bend. The pipe bend allows the transition from upward vertical flow to horizontal flow in a curve with inner radius of 410 mm and inside diameter of 26 mm. The experimental set up allows the measurement of the slug flow properties at the inlet and outlet of the pipe bend. The quantities measured are: bubble’s nose velocity, bubble and slug lengths, the frequency of passage and the pressure drop. A numerical slug tracking model is employed to capture the changes of the slugs features during the vertical to horizontal transition. The modeling efforts concentrate on the effects of the change of direction on: the gravity force, liquid slug aeration and on liquid film thickness surrounding the elongated gas bubbles. The numerical results compare favorably against the experimental data.
Lista de Figuras
FIGURA 1.1: PADRÕES DE ESCOAMENTO GÁS-LÍQUIDO, RODRIGUES (2009). (A)
CONFIGURAÇÃO VERTICAL;(B) CONFIGURAÇÃO HORIZONTAL. ... 2
FIGURA 1.2: ESQUEMA GERAL DO ESCOAMENTO BIFÁSICO PADRÃO GOLFADAS DE LÍQUIDO. ... 3
FIGURA 1.3:(A)PADRÃO GOLFADA DE LÍQUIDO NA VERTICAL;(B)SEÇÃO TRANSVERSAL INDICANDO INTERFACE ANULAR. ... 4
FIGURA 1.4: (A) PADRÃO GOLFADA DE LÍQUIDO NA HORIZONTAL; (B) SEÇÃO TRANSVERSAL INDICANDO INTERFACE PLANA. ... 5
FIGURA 1.5: ESCOAMENTO PADRÃO GOLFADA DE LÍQUIDO DURANTE A TRANSIÇÃO VERTICAL-HORIZONTAL. ... 6
FIGURA 3.1:CÉLULA UNITÁRIA E SUAS PRINCIPAIS VARIÁVEIS. ... 14
FIGURA 3.2: ESCOAMENTO PADRÃO GOLFADA DE LÍQUIDO DURANTE A TRANSIÇÃO VERTICAL-HORIZONTAL.O CORTE A-A INDICA INTERFACE ANULAR NO TRECHO VERTICAL E O CORTE B-B INDICA INTERFACE PLANA NO TRECHO HORIZONTAL. 17 FIGURA 3.3:TRANSIÇÃO DE PISTÕES E BOLHAS DO TRECHO VERTICAL ASCENDENTE PARA O HORIZONTAL.MODELO FÍSICO. ... 20
FIGURA 3.4:TRANSIÇÃO DE PISTÕES E BOLHAS DO TRECHO VERTICAL ASCENDENTE PARA O HORIZONTAL.MODELO VIRTUAL. ... 21
FIGURA 3.5: TRANSIÇÃO VERTICAL-HORIZONTAL DO PISTÃO DE LÍQUIDO. MODELO FÍSICO. ... 28
FIGURA 3.6: TRANSIÇÃO VERTICAL-HORIZONTAL DO PISTÃO DE LÍQUIDO. MODELO VIRTUAL. ... 29
FIGURA 3.7:TRANSIÇÃO VERTICAL–HORIZONTAL DA BOLHA DE GÁS.MODELO FÍSICO. .. 30
FIGURA 3.8:TRANSIÇÃO VERTICAL-HORIZONTAL DA BOLHA DE GÁS.MODELO VIRTUAL.31 FIGURA 3.9: DIAGRAMA DE BLOCOS REPRESENTANDO O PROCEDIMENTO DE CÁLCULO DOS COMPRIMENTOS DE PISTÕES E BOLHAS DURANTE A TRANSIÇÃO. ... 32
FIGURA 3.10:PROCESSO DE INTEGRAÇÃO AO LONGO DO COMPRIMENTO DA BOLHA. ... 35
FIGURA 3.11:ESQUEMA DA VARIAÇÃO DA ALTURA DO FILME DE LÍQUIDO. ... 36
FIGURA 3.12:DISCRETIZAÇÃO AO LONGO DA ALTURA DO FILME DE LÍQUIDO. ... 37
FIGURA 4.2: DETALHE DO APARATO EXPERIMENTAL: (A) TRANSIÇÃO VERTICAL
ASCENDENTE- HORIZONTAL;(B) ESTAÇÃO DE MEDIÇÃO. ... 44
FIGURA 4.3:FOTO DE UM MEDIDOR DIFERENCIAL DE PRESSÃO SMAR. ... 45
FIGURA 4.4:MAPA DE PADRÕES DE ESCOAMENTO NA VERTICAL. ... 52
FIGURA 4.5:TELA DE MONITORAMENTO DO SOFTWARE LABVIEW. ... 53
FIGURA 4.6:TELA DE AQUISIÇÃO DE DADOS. ... 54
FIGURA 4.7:PARÂMETROS DE CONFIGURAÇÃO DE ENTRADA (CONFIG). ... 55
FIGURA 4.8:TELA DE PROCESSAMENTO SLUG. ... 56
FIGURA 4.9:CORREÇÃO DAS PRESSÕES. ... 58
FIGURA 5.1:COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS PARA O PONTO #1 COM RS = 0,7 PARA: (A) PRESSÃO [P]; (B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E PISTÃO [LS]. ... 64
FIGURA 5.2: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DA FREQÜÊNCIA MÉDIA [F] ENTRE AS ESTAÇÕES DE MÉDIA ... 64
FIGURA 5.3: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #1 COM RS = 0,7 PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 66
FIGURA 5.4:COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS PARA O PONTO #1 COM RS = 0,8 PARA: (A) PRESSÃO [P]; (B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO [LS] ... 68
FIGURA 5.5: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #1 COM RS = 0,8 PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; ... 69
FIGURA 5.6:COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS PARA O PONTO #1 COM RS = 0,9 PARA: (A) PRESSÃO [P]; (B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO [LS]. ... 70
FIGURA 5.7: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #1 COM RS = 0,9 PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 71
FIGURA 5.8:DETERMINAÇÃO DO COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO C0 EXPERIMENTAL. ... 74
FIGURA 5.9:COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS PARA O PONTO #1 COM RS = 0,9 E C0 EXPERIMENTAL PARA: (A) PRESSÃO [P];(B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO [LS]. ... 75
FIGURA 5.10: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #1 COM RS = 0,9 E C0 EXPERIMENTAL PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB];(B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 76
FIGURA 5.11: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS PARA O PONTO #1 COM RS = 0,9 E C0 EXPERIMENTAL E FATOR DE ESTEIRA PARA: (A) PRESSÃO [P]; (B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO [LS]. ... 79
FIGURA 5.12: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #1 COM RS = 0,9 E C0
(B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 80
FIGURA 5.13: QUEDA DE PRESSÃO DO #1 AO LONGO DA LINHA COM PRESSÃO DE
ENTRADA EXPERIMENTAL. ... 82
FIGURA 5.14: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #2 COM RS= 0,7 PARA:(A) PRESSÃO [P];(B) VELOCIDADE DE
TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E PISTÃO
[LS]. ... 84
FIGURA 5.15:DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #2 COM RS = 0,7 PARA: (A)
COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C)
VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 85
FIGURA 5.16: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #2 COM RS= 0,8 PARA:(A) PRESSÃO [P];(B) VELOCIDADE DE
TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E PISTÃO
[LS] ... 87
FIGURA 5.17:DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #2 COM RS = 0,8 PARA: (A)
COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C)
VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 88
FIGURA 5.18: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #2 COM RS= 0,9 PARA:(A) PRESSÃO [P];(B) VELOCIDADE DE
TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E PISTÃO
[LS]. ... 89
FIGURA 5.19:DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #2 COM RS = 0,9 PARA: (A)
COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C)
VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 90
FIGURA 5.20: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #2 COM RS =0,9 E C0 EXPERIMENTAL PARA:(A) PRESSÃO [P];
(B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C)
BOLHA [LB] E PISTÃO [LS]. ... 92
FIGURA 5.21: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #2 COM RS = 0,9 E C0
EXPERIMENTAL PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB];(B) COMPRIMENTO
DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 93
FIGURA 5.22: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #2 COM RS = 0,9 E C0 EXPERIMENTAL E ESTEIRA PARA: (A)
PRESSÃO [P]; (B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB];
COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E PISTÃO [LS]. ... 95
FIGURA 5.23: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #2 COM RS = 0,9 E C0
EXPERIMENTAL E ESTEIRA PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B)
COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA
[UB]. ... 96
FIGURA 5.24: QUEDA DE PRESSÃO DO #2 AO LONGO DA LINHA COM PRESSÃO DE
ENTRADA EXPERIMENTAL ... 98
FIGURA 5.25: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #3 COM RS= 0,7 PARA:(A) PRESSÃO [P];(B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO
FIGURA 5.26:DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #3 COM RS = 0,7 PARA: (A)
COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C)
VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 101
FIGURA 5.27: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #3 COM RS= 0,8 PARA:(A) PRESSÃO [P];(B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO
[LS]. ... 103
FIGURA 5.28 DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #3 COM RS = 0,8 PARA: (A)
COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C)
VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 104
FIGURA 5.29: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #3 COM RS= 0,9 PARA:(A) PRESSÃO [P];(B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO
[LS]. ... 105
FIGURA 5.30:DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #3 COM RS = 0,9 PARA: (A)
COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B) COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C)
VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 106
FIGURA 5.31: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #3 COM RS =0,9 E C0 EXPERIMENTAL PARA:(A) PRESSÃO [P];
(B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]; COMPRIMENTO DA (C)
BOLHA [LB] E (D) PISTÃO [LS]. ... 108
FIGURA 5.32: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #3 COM RS = 0,9 E C0
EXPERIMENTAL PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB];(B) COMPRIMENTO
DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB]. ... 109
FIGURA 5.33: COMPARAÇÃO NUMÉRICO X EXPERIMENTAL DOS PARÂMETRO MÉDIOS
PARA O PONTO #3 COM RS = 0,9 E C0 EXPERIMENTAL E ESTEIRA PARA: (A)
PRESSÃO [P]; (B) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA [UB];
COMPRIMENTO DA (C) BOLHA [LB] E (D) PISTÃO [LS]. ... 111
FIGURA 5.34: DISTRIBUIÇÃO DOS PARÂMETRO DO PONTO #3 COM RS = 0,9 E C0
EXPERIMENTAL E ESTEIRA PARA: (A) COMPRIMENTO DA BOLHA [LB]; (B)
COMPRIMENTO DO PISTÃO [LS] E (C) VELOCIDADE DE TRANSLAÇÃO DA BOLHA
[UB]. ... 112
FIGURA 5.35QUEDA DE PRESSÃO DO #3 AO LONGO DA LINHA COM PRESSÃO DE ENTRADA
EXPERIMENTAL ... 114
FIGURA 10.1: REPRESENTAÇÃO DA J-ÉSIMA CÉLULA UNITÁRIA DO ESCOAMENTO EM
LISTA DE TABELAS
TABELA 4.1:DADOS DOS MEDIDORES DE PRESSÃO. ... 45
TABELA 4.2:PONTOS ANALISADOS. ... 51
TABELA 4.3:CONSTANTES DAS EQUAÇÕES DE PRESSÃO. ... 56
TABELA 5.1:PONTOS ANALISADOS. ... 60
TABELA 5.2:DADOS REFERENTES AO PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL ... 60
TABELA 5.3:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE PARAMÉTRICA DE RS. ... 72
TABELA 5.4:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DO COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO C0. ... 77
TABELA 5.5: RELAÇÃO DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DO FATOR DE ESTEIRA. ... 81
TABELA 5.6:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DA PRESSÃO EXPERIMENTAL NA ENTRADA DA TUBULAÇÃO. ... 82
TABELA 5.7:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE PARAMÉTRICA DE RS. ... 91
TABELA 5.8:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DO COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO C0. ... 94
TABELA 5.9:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DO FATOR DE ESTEIRA. ... 97
TABELA 5.10:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DA PRESSÃO EXPERIMENTAL NA ENTRADA DA TUBULAÇÃO. ... 98
TABELA 5.11:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE PARAMÉTRICA DE RS. ... 107
TABELA 5.12:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DO COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO C0. ... 110
TABELA 5.13:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS DURANTE A ANÁLISE DO FATOR DE ESTEIRA. ... 113
TABELA 5.14:RELAÇÃO DOS DESVIOS RELATIVOS OBTIDOS NAS ESTAÇÕES DE MEDIDAS
Lista de Abreviaturas e Siglas
Letras Latinas
a – constante de intervalo de medição de pressão [-]
A – área da seção transversal [m2]
b – constante de intervalo de medição de pressão [-] C0 – coeficiente de distribuição da velocidade das bolhas [-]
C- coeficiente de distribuição da velocidade das bolhas [-]
Cf – coeficiente de atrito de Fanning [-]
CfB – coeficiente de atrito na bolha de gás [-]
CfS – coeficiente de atrito no pistão de líquido [-]
CfI – coeficiente de atrito na interface [-]
D – diâmetro interno da tubulação [m]
E – estação de medição [-]
FT – posição final do trecho [m]
g – aceleração da gravidade [m/s2]
h – altura [m]
J – velocidade de mistura [m/s]
JG – velocidade superficial do gás [m/s]
JL – velocidade superficial do líquido [m/s]
LB – comprimento da bolha de gás [m]
LB1- comprimento de bolha no trecho vertical durante a transição [m] LB2- comprimento de bolha no trecho horizontal durante a transição [m]
LS – comprimento do pistão de líquido [m]
LS1 - comprimento do pistão de líquido no trecho vertical durante a transição [m] LS2 - comprimento do pistão de líquido no trecho horizontal durante a transição [m]
LU – comprimento da célula unitária [m]
P – pressão na bolha de gás [bar]
Q vazão volumétrica [m3/s]
R – raio de curvatura [m]
Rf – fração de líquido no filme de líquido [-]
Ru – fração de vazio na célula unitária [-]
S – perímetro molhado [m]
t – tempo [s]
tb – tempo de passagem da bolha pela sonda [s]
ts – tempo de passagem do pistão pela sonda [s]
tu – tempo de passagem da unidade pela sonda [s]
UB – velocidade do nariz da bolha [m/s]
UDS – velocidade das bolhas dispersas no pistão de líquido [m/s]
Uf – velocidade de líquido no filme [m/s]
UG – velocidade de gás na região da bolha [m/s]
UGS – velocidade do gás no pistão de líquido [m/s] US – velocidade de líquido no pistão de líquido [m/s]
v –velocidade relativa [m/s]
V – sinal de tensão [V]
VG – volume de gás por unidade de área [m3]
x – posição da frente do pistão de líquido [m]
y – posição da frente da bolha de gás [m]
...
Letras Gregas
-ângulo de inclinação da tubulação
- densidade, massa específica [kg/m3]
- ângulo interno referente à variação de altura de filme [-]
- tensão de cisalhamento [N/m2]
- fator de intermitência [-]
- tensão superficial [N/m2]
- incerteza [-]
LB
- incremento de comprimento de bolha [m]
P
- variação de pressão [bar]
PG
- variação da pressão hidrostática [bar]
PS
- variação da pressão por atrito [bar]
UD
- variação das velocidades das bolhas dispersas no pistão [m/s] ...
Superescritos
- - referente ao tempo anterior + - referente ao tempo posterior
‘ – referente à bolha no tempo posterior i – referente ao tempo
...
Subescritos
f – região do filme de líquido g – região da bolha de gás G – fase gasosa
i– interface entre a bolha e o filme j – j-ésima célula
L – fase líquida TR – trecho
...
Siglas
2PFG – Two Phase Flow Group DE – Departamento de Energia
FEM – Faculdade de Engenharia Mecânica UNICAMP – Universidade Estadual de Campinas TDMA – Tri-Diagonal Matrix Algorithm
Sumário
1 ‐ Introdução ... 1 2 ‐ Revisão Bibliográfica ... 7 3 ‐ O Modelo Slug‐Tracking ... 13 3.1 ‐ Transição Vertical‐Ascendente – Horizontal ... 16 3.1.1 ‐ Efeito Gravitacional ... 18 3.1.2 ‐ Efeito Geométrico ... 22 3.2 ‐ Modelo Numérico ... 24 3.2.1 ‐ Termo Hidrostático ... 27 3.2.2 ‐ Desaeração do Pistão de Líquido ... 32 3.3 ‐ Implementação Computacional ... 37 4 ‐ O Aparato Experimental ... 41 4.1 ‐ Descrição do Aparato ... 41 4.2 ‐ Análise de Incerteza ... 46 4.2.1 ‐ Incerteza da Velocidade de Bolha ... 47 4.2.2 ‐ Incertezas dos Comprimentos de Bolhas e de Pistões ... 49 4.2.3 ‐ Incerteza da Freqüência ... 50 4.3 ‐ Procedimento Experimental ... 505 ‐ Resultados e Discussão ... 59 5.1 ‐ Resultados #1 – JL = 30 cm/s e JG = 60 cm/s ... 61 5.1.1 ‐ Coeficiente de Distribuição C0 ... 72 5.1.2 ‐ Fator de esteira... 77 5.1.3 ‐ Pressão Experimental na Entrada ... 81 5.2 ‐ Resultados #2 – JL=60 cm/s e JG = 60 cm/s ... 82 5.2.1 ‐ Coeficiente de Distribuição C0 ... 91 5.2.2 ‐ Fator de Esteira ... 94 5.2.3 ‐ Pressão experimental na entrada ... 97 5.3 ‐ Resultados #3 – JL=60 cm/s e JG = 120 cm/s ... 98 5.3.1 ‐ Coeficiente de Distribuição C0 ... 107 5.3.2 ‐ Fator de esteira... 110 5.3.3 ‐ Pressão experimental na entrada ... 113 6 ‐ Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros ... 115 7 ‐ Referências Bibliográficas ... 119 8 ‐ Anexo I – Equações de Fechamento ... 122 8.1 ‐ Balanço de massa de gás ... 122 8.2 ‐ Balanço de massa de líquido ... 122 8.3 ‐ Velocidade do Nariz da Bolha de Taylor ... 123 8.4 ‐ Velocidade de Mistura ... 123 8.5 ‐ Velocidade superficial das fases ... 124 8.6 ‐ Velocidade do gás no pistão de líquido ... 124 8.7 ‐ Fatores de Atrito de Fanning... 125 8.8 ‐ Relações de Tensões ... 125 8.9 ‐ Perímetros molhados: ... 126 8.10 ‐ Adimensionais: ... 126 9 ‐ Anexo II – Resultados Médios Experimentais ... 128
10.1 ‐ Conservação da massa ... 131 10.1.1 ‐ Região do Pistão de líquido ... 131 10.1.2 ‐ Líquido no pistão ... 131 10.1.3 ‐ Gás no pistão ... 133 10.1.4 ‐ Região do Filme de líquido ... 135 10.1.5 ‐ Bolha de gás ... 136 10.2 ‐ Conservação da Quantidade de Movimento ... 138
1 - Introdução
De acordo com a termodinâmica clássica, a fase de uma substância pura é representada pelo seu estado macroscópico, ou seja, gás, líquido ou sólido, e apresenta estrutura física e composição química homogêneas. Se tratando do escoamento das substâncias, pode classificá-los como monofásicos ou multifásicos. Com apenas uma fase escoando na tubulação, o escoamento monofásico é classificado pela seção transversal do duto que envolve o fluido (por exemplo, seção circular ou quadrada) e pelo seu comportamento laminar ou turbulento. Quando há mais de uma fase, o escoamento se torna mais complexo. O escoamento bifásico pode ser classificado como sendo o mais simples dentre os escoamentos multifásicos, apresentando duas fases de uma ou duas substâncias diferentes em movimento. Várias aplicações deste tipo de escoamento podem ser encontradas na natureza, no nosso cotidiano e também na indústria. Uma chuva de granizo e um vulcão em erupção podem ser exemplos de escoamentos bifásicos na natureza. No cotidiano, pode-se citar uma cafeteira em funcionamento e o escapamento de um veículo. Em aplicações industriais o processo de formação de vapor em uma caldeira aquatubular e o transporte de hidrocarbonetos, principalmente na produção de petróleo são situações importantes onde ocorre o escoamento bifásico. Com as recentes descobertas de petróleo em águas ultra-profundas (camada pré-sal), novos cenários para a produção surgem e necessitar-se-á de um melhor entendimento do escoamento bifásico em tubulações. Dessa forma, toda e qualquer contribuição nessa direção é importante e deve ser incentivada.
Escoamento bifásico de gás e líquido no interior de dutos pode apresentar uma variedade de configurações, de acordo com a distribuição das fases no duto. Estudos nesta área vêm sendo realizados desde os anos 60 por pesquisadores de todo o mundo a fim de entender melhor o comportamento do escoamento e, assim, aperfeiçoar sua aplicabilidade. Para um entendimento
Shoham (2005) os padrões se referem às configurações geométricas ou às distribuições da fase líquida e gasosa quando escoam na tubulação. As configurações do escoamento se diferem pela distribuição espacial das interfaces, resultando em diferentes características do escoamento. Basicamente, os padrões existentes em um dado sistema de escoamento bifásico dependem dos seguintes fatores:
- Parâmetros operacionais: vazões de líquido e gás.
- Variáveis geométricas: diâmetro do tubo e ângulo de inclinação.
- Propriedades físicas: tensão superficial, densidade e viscosidade dos fluidos.
Uma tentativa de definir os padrões de escoamento bifásico foi feita por Barnea et al. (1982). As definições se basearam em dados experimentais adquiridos em todo intervalo de inclinação, ou seja, horizontal, inclinado ascendente e descendente e vertical ascendente e descendente. A Figura 1.1a ilustra os padrões do escoamento bifásico gás-líquido na configuração de tubulação vertical, sendo mostrado da esquerda para a direita o padrão bolhas dispersas, intermitente, agitado e anular. A Figura 1.1b ilustra os padrões do escoamento bifásico gás-líquido na configuração horizontal, sendo mostrado de cima para baixo o padrão bolhas dispersas, intermitente e estratificado.
Figura 1.1: Padrões de escoamento gás-líquido, Rodrigues (2009). (a) configuração vertical; (b) configuração horizontal.
Dentre os diversos padrões de escoamento bifásico reportados na literatura, acredita-se que o escoamento padrão golfada de líquido seja o mais comum, Shoham (2005). Esse padrão é encontrado em diversas situações de interesse industrial como, por exemplo, dutos de produção de petróleo, geradores de vapor, reatores químicos, entre outros (Fernandes et al.,1983). O padrão golfada de líquido é caracterizado pela passagem alternada de pistões de líquido seguido de uma grande bolha de gás, também chamada de bolha de Taylor. A região da grande bolha é envolvida por uma porção de líquido denominada filme de líquido. O pistão de líquido e a bolha de gás definem as duas regiões que configuram este padrão, conforme pode ser observado na Figura 1.2. O escoamento padrão golfada de líquido não apresenta suas características constantes no tempo e no espaço, mas sim uma distribuição ao redor de um valor médio e faz com que a modelagem seja complexa.
Figura 1.2: Esquema geral do escoamento bifásico padrão golfadas de líquido.
Na vertical o padrão golfada de líquido é caracterizado por apresentar um pistão de líquido contendo uma grande quantidade de pequenas bolhas de gás dispersas. A grande bolha alongada se encontra na região central do duto e é circundada por um filme de líquido, resultando em uma interface anular entre a grande bolha e o filme de líquido, conforme mostrado na Figura
dispersas desprezível, no pistão de líquido, podendo até desaparecer totalmente. A bolha alongada, devido à menor massa específica do gás, desloca-se para a região superior e escoa junto à parede da tubulação, enquanto que o filme de líquido passa a escoar na parte inferior. Neste caso, a interface entre o filme de líquido e a bolha de gás é plana, conforme mostra a Figura 1.4. Com a tubulação inclinada, Figura 1.2, o escoamento pode assumir características tanto da configuração vertical, apresentando interface anular, como da horizontal, com interface plana. Isso acontece, pois a aceleração gravitacional age sobre o escoamento e causa um efeito de mudança geométrica sobre as estruturas do escoamento. Essa transição entre as características da configuração vertical para horizontal ocorre com o duto posicionado em torno de 60 graus com a horizontal, segundo Gómez Bueno (2009).
Figura 1.3: (A) Padrão golfada de líquido na vertical; (B) Seção transversal indicando interface anular.
Figura 1.4: (A) Padrão golfada de líquido na horizontal; (B) Seção transversal indicando interface plana.
Existe um bom entendimento do escoamento intermitente para as configurações acima estudadas isoladamente, Dukler e Hubbard (1975), Fernades et al. (1983), Francklin (2004). Porém, quando estas se encontram interconectadas, ainda há poucos estudos, principalmente quando há mudança na inclinação do duto ou mesmo transições entre vertical-horizontal e vice-versa. Esse fato permitiu a realização deste trabalho, que tem como objetivo estudar o escoamento intermitente no momento da transição vertical ascendente – horizontal e é motivado pela grande ocorrência deste tipo de escoamento em linhas industriais, conforme já mencionado, podendo proporcionar o cálculo da variação de pressão ao longo da tubulação, fator que entra no dimensionamento da tubulação e do sistema de bombeamento. Neste estudo são utilizadas duas abordagens distintas: uma experimental e outra numérica. A finalidade da abordagem experimental é obter dados dos principais parâmetros do escoamento padrão golfada de líquido, como velocidade de propagação das bolhas, tamanhos de bolhas e pistões e gradiente de pressão. Esses dados serão posteriormente utilizados para validar o procedimento numérico.
O estudo do escoamento padrão golfada de líquido durante a transição do trecho vertical ascendente para o horizontal, proposto nesta dissertação, será realizado utilizando-se um modelo
através de implementações numéricas de sub-modelos que capturam as influências da aceleração da gravidade e do desaeramento do pistão de líquido, quando um pistão de líquido e uma bolha de gás transitam do trecho vertical ascendente para o horizontal. Os efeitos causados devido à mudança de trecho serão observados através da análise dos parâmetros do escoamento, como velocidade das bolhas, comprimento das bolhas e dos pistões e a queda de pressão ao longo da linha. A Figura 1.5 ilustra a situação do caso em estudo.
2 - Revisão Bibliográfica
Escoamentos em tubulações contendo mais de uma fase são mais complexos que aqueles onde escoa somente uma, principalmente porque a distribuição espacial das fases é desconhecida e difícil de ser especificada quantitativamente. Pesquisadores ao redor do mundo, a partir da década de 40, classificaram algumas distribuições de escoamentos bifásicos baseados em suas características qualitativas. De um modo geral, eles são classificados como estratificado, intermitente ou disperso.
Quando gás e líquido escoam numa tubulação com bolhas alongadas, que enchem quase a totalidade da seção transversal do duto, seguidas de pistões de líquido, que podem ou não conter pequenas bolhas dispersas, é caracterizado o padrão golfada de líquido ou intermitente (em inglês, slug-flow). O slug-flow é um dos padrões mais comuns dentre os padrões definidos para escoamentos bifásicos em tubulações e sua principal característica é a intermitência, caracterizada pela passagem alternada dos pistões e bolhas com tamanhos diferentes, o que faz com que haja uma distribuição estatística em torno de um valor médio dessas estruturas. O slug
flow pode ser encontrado em várias situações práticas, como por exemplo, na produção de
hidrocarbonetos em poços e seu transporte em tubulações; produção de vapor de água em usinas térmicas; transferência de calor e massa entre gás e líquido em reatores químicos; etc.
O primeiro modelo para determinar os principais parâmetros do padrão slug flow foi feito por Dukler e Hubbard (1975) e é baseado no conceito de célula unitária proposto por Wallis (1969). Os modelos tipo célula unitária são estacionários e não conseguem reproduzir a intermitência, característica do padrão slug, e não permitem interações entre as células vizinhas, uma vez que é considerado o escoamento em regime permanente. Esses modelos consideram que o duto é composto por uma sucessão de células unitárias que se repetem. Os parâmetros calculados pelo modelo são: queda de pressão na célula, velocidade do pistão de líquido, da bolha
levemente inclinadas. Os resultados obtidos foram comparados com dados experimentais, apresentando uma boa concordância.
Mudando a configuração da tubulação para a vertical, Fernandes et al. (1983) construíram um modelo para o escoamento bifásico padrão golfada de líquido, que permite avaliar as velocidades superficiais médias das fases e os comprimentos médios dos pistões de líquido e das bolhas de gás, a fração de vazio média na região da bolha, a freqüência dos pistões e a queda de pressão na linha. Comparações com dados experimentais mostraram uma concordância satisfatória para todos os parâmetros analisados, proporcionando, desta maneira, a validação do modelo proposto.
Outros autores seguiram a proposta de Dukler e Hubbard (1975), como Nicholson et al. (1978), Kokal e Stanislav (1989), Andreussi et al. (1993), Cook e Behnia (1997) e Fagundes Netto et al. (1999), contudo o modelo desse tipo considerado mais completo é o proposto por Taitel e Barnea (1990). O modelo proposto pelos autores considera todas as forças no balanço de força e pode ser aplicado em dutos horizontal, vertical e inclinado, pois devido à ação da gravidade na forma da bolha deve-se utilizar um modelo apropriado para determinar essa forma para cada situação. Além disso, deve-se usar corretamente as relações geométricas devido a variação das interfaces com a inclinação, uma vez que são planas em escoamentos horizontais e levemente inclinados e anular em outras situações, inclusive a vertical. O usuário deve estabelecer um critério para definir a transição entre uma e outra situação. De acordo com Gomez Bueno (2009), a transição de uma interface plana para anular ocorre com o duto em uma inclinação de aproximadamente 60 graus em relação à horizontal. Este modelo permite simular o comportamento dos seguintes parâmetros do escoamento: fração de vazio na célula, queda de pressão na linha, velocidade de propagação da bolha de Taylor, velocidade das bolhas dispersas no pistão de líquido, fração de líquido no pistão de líquido, comprimento de pistão e sua freqüência.
O padrão slug-flow, devido à sua característica intermitente, tem seus parâmetros distribuídos ao redor de um valor médio e há interação entre células vizinhas. Os modelos tipo célula unitária são incapazes de capturar essa característica bem como de capturar a evolução de pistões e bolhas que trafegam pelo interior do duto. Desta forma, informação sobre a distribuição dos comprimentos de pistões e bolhas e o máximo comprimento possível que esses podem
de equipamentos de bombeio em linhas de transporte de hidrocarbonetos, não são capturadas por esse tipo de modelo. Visando lidar com essas situações os modelos tipo slug-tracking foram desenvolvidos. Esses modelos são capazes de rastrear pistões e bolhas simulando o crescimento, geração e dissipação das células que acontecem ao longo do escoamento. Desta forma, esses modelos são capazes de capturar a característica intermitente do escoamento reproduzindo as distribuições dos principais parâmetros e a interação entre as células vizinhas. Esse tipo de modelo foi utilizado pela primeira vez por Zheng et al. (1994) na tentativa de modelar o escoamento bifásico intermitente no interior de dutos. Posteriormente foi usado por Nydal e Bonerjee (1995), Taitel e Barnea (1998), Al-Safran et al. (2004), Francklin (2004) e Rodrigues (2009), sendo que os dois últimos foram utilizados como base para este trabalho.
Por mais de 30 anos vários estudos foram realizados para descrever o escoamento padrão golfadas de líquido em configurações de tubulação com apenas uma inclinação. Muito pouco se conhecia deste padrão em tubulações montanhosas (Hilly Terrain), apesar de quase sempre esta configuração ser a encontrada em aplicações industriais, como, por exemplo, seguindo as variações do terreno do fundo do mar durante o transporte de óleo e gás. Essa situação, contudo, é propicia para o emprego dos modelos slug-tracking. Cada alteração de inclinação caracteriza uma singularidade, que altera o comportamento cinemático de bolhas e pistões, bem como suas características geométricas e os efeitos devido à ação da gravidade. Além disso, pode haver geração de novas células nos cotovelos inferiores e dissipação nos superiores. Desta forma, as singularidades alteram as distribuições do comprimento de bolhas e pistões bem como o perfil de pressão e a velocidade de translação das bolhas de Taylor, entre outros.
Os primeiros a utilizar um modelo slug-tracking para simular escoamentos deste tipo foram Zheng et al. (1994). Os autores consideraram dois casos distintos: o primeiro em regime permanente, onde as estruturas do escoamento (pistões e bolhas) mantêm suas identidades quando mudam de um trecho para o outro; o segundo, com maior complexidade, considera a geração e a dissipação de pistões e bolhas, sendo que a identidade das estruturas não se mantêm quando transitam de um trecho para o outro. Os resultados obtidos do modelo foram comparados com dados experimentais e mostraram que o modelo proposto é capaz de simular corretamente o comportamento do escoamento padrão slug em tubulações de terrenos montanhosos. No trabalho, foi considerado que as propriedades dos fluidos eram constantes e desprezou-se o efeito de compressibilidade do gás.
Ainda com a finalidade de investigar o comportamento do escoamento intermitente em terrenos montanhoso, Zheng et al. (1995) realizaram um estudo experimental neste tipo de configuração. Utilizaram um aparato contendo um trecho horizontal, um inclinado ascendente, um descendente e outro horizontal. Vários testes foram realizados para diferentes inclinações e vazões de gás e líquido. O padrão slug se manteve, em todos os testes, nos trechos horizontais e ascendentes. O padrão estratificado foi visto, em alguns testes, no trecho descendente. Além disso, outros fenômenos de natureza mais complexa foram observados no escoamento, como geração de pseudoslugs no cotovelo que une os trechos horizontal e inclinado ascendente, variação nos comprimentos de pistões de líquido e a pouca existência do padrão slug no trecho descendente.
Saindo dos laboratórios e entrando no campo industrial, Hill et al. (1996) realizaram um estudo do slug-flow nas linhas de óleo da Cusiana. Cusiana é uma região localizada no leste da Cordilheira dos Andes, na Colômbia, situada em uma área de terrenos muito montanhosos, com fortes elevações e mudanças ao longo dos comprimentos das linhas. O principal objetivo deste estudo foi determinar a queda de pressão e as características do escoamento ao longo de linhas com diferentes diâmetros, comprimentos e topografias, através de um simulador, utilizando um equipamento comercial denominado slugcatcher, com o princípio de separar as fases, líquida e gasosa, permitindo, de certa forma, armazenar o gás que chega, evitando grandes variações de vazões de gás ao longo do processo e, facilitando o escoamento para as instalações a jusante, com apenas “uma” fase escoando na tubulação. Os dados obtidos foram comparados com dados já existentes, a fim de melhorar o método para futuras aplicações em campos da Colômbia e outros lugares.
Taitel e Barnea (2000) estenderam o estudo do escoamento bifásico intermitente utilizando um modelo slug-tracking para tubulações interconectadas em forma de terrenos montanhosos. Assim como fizeram para o estudo em tubulações na horizontal, Taitel e Barnea (1998), também foi considerado o efeito de compressibilidade do gás. Além disso, o pistão de líquido foi considerado como sendo aerado.
Outros dois importantes estudos realizados sobre terrenos montanhosos foram feitos por Al-Safran et al. (2004), utilizando uma abordagem numérica e Al-Safran et al. (2005), através de uma abordagem experimental. No estudo experimental, os autores investigaram as características
inclinado descendente, seguido de um ascendente. As características do escoamento são observadas, principalmente, no cotovelo que une os dois trechos. Baseado no procedimento experimental os autores classificaram o comportamento do escoamento da seção estudada em cinco categorias, sendo que a formação de cada categoria se dá pela variação das velocidades superficiais do líquido e do gás. As categorias classificadas são:
- Dissipação completa dos pistões de líquido no trecho descendente, com formação de pistões no cotovelo. Este é o caso predominante em um amplo intervalo de condições operacionais e resulta em uma freqüência zero de pistões no trecho descendente. É obtido com velocidades superficiais do líquido moderadas a baixas e para velocidades superficiais do gás baixas.
- Sem efeito do terreno montanhoso nas características do escoamento intermitente. Este é o caso onde não se observam nem dissipação de pistões no trecho descendente nem geração no cotovelo. Ele acontece para velocidades superficiais de líquido e de gás altas.
- Dissipação parcial no trecho descendente, com geração e crescimento de pistões no cotovelo. Este caso é observado com velocidades superficiais de líquido e de gás moderadas.
- Sem dissipação no trecho descendente, com geração e crescimento de pistões no cotovelo. Este caso foi observado somente uma vez, com velocidade superficial do líquido moderada e alta velocidade superficial do gás.
- Sem dissipação no trecho descendente, com crescimento de pistões no cotovelo. Este caso foi observado com velocidade superficial do líquido moderada.
Na abordagem numérica, Al-Safran et al. (2004) desenvolveram um modelo slug-tracking a fim de prever a distribuição dos comprimentos de pistões neste padrão de escoamento ao longo da tubulação montanhosa. A análise foi baseada em uma formulação de quase-equilíbrio, a qual garantiu completa compatibilidade com os modelos de célula unitária em regime permanente. As distribuições dos comprimentos de pistões previstas pelo modelo foram comparadas com dados experimentais a fim de efetuar sua validação e identificar pontos fortes e fracos do modelo. Do estudo de validação do modelo surgiram as necessidades de melhoria nas seguintes áreas:
- Um modelo melhor de iniciação de pistões no cotovelo inferior; - Melhores relações de fechamento para as tubulações inclinadas;
- Melhorias na relação de dependência da velocidade da bolha sobre o comprimento do pistão à sua frente nas seções descendentes.
.
Spedding e Benard (2007) realizaram um estudo experimental do escoamento gás-líquido intermitente no interior de uma linha vertical conectada a uma linha horizontal através de uma curva de 90º. No trabalho, os autores destacaram a queda de pressão ao longo da curva, no momento em que os fluidos transitam de um trecho para o outro. Verificou-se que no trecho vertical a queda de pressão é mais acentuada devido à ação da gravidade. No trecho horizontal a queda é mais suave, pois, neste trecho, a gravidade não age por estar perpendicular à linha do duto e a queda de pressão se dá apenas pelo atrito entre os fluidos e as paredes da tubulação. Ao longo da curva, devido à ação de forças centrípetas, há a geração de um movimento rotativo no sentido transversal do duto, características dos escoamentos bidimensionais. Não estava presente no escopo deste trabalho analisar e discutir outros parâmetros do escoamento, como velocidade de propagação das bolhas e comprimentos de pistões e bolhas, na configuração apresentada. Este fato permitiu a realização do presente trabalho que, por escassez de dados experimentais disponíveis na literatura, utilizou uma abordagem experimental própria permitindo comparações com dados numéricos e possibilitando a validação do modelo proposto. Vale ressaltar que o modelo utilizado nesta dissertação é unidimensional. Desta forma, o modelo é incapaz de capturar os efeitos centrípetos citados.
Neste trabalho, uma abordagem experimental foi empregada visando obter esses dados para uma posterior validação de um modelo tipo slug-tracking. A configuração escolhida foi de um trecho vertical com escoamento ascendente, seguido de um horizontal. Conectando os dois trechos há uma curva de 90 graus de raio longo. O modelo slug-tracking empregado foi o desenvolvido por Rodrigues (2009) e se baseia no conceito de célula unitária proposto por Wallis (1969).
3 - O Modelo Slug-Tracking
O modelo slug-tracking é um modelo numérico utilizado pela primeira vez por Zheng et al. (1994) para modelar o escoamento bifásico intermitente no interior de dutos. Posteriormente foi usado por Nydal e Bonerjee (1995), Taitel e Barnea (1998), Al-Safran et al. (2004), Francklin (2004) e Rodrigues (2009). O slug-tracking tem como principal característica seguir bolhas e pistões no interior da tubulação capturando as características do escoamento em cada instante de tempo, desde o momento da entrada da célula no duto até a sua saída.
O modelo a ser aplicado neste trabalho foi desenvolvido por Rodrigues (2009) e baseia-se no conceito de célula unitária proposto por Wallis (1969). O modelo foi obtido a partir de equações de conservação nas formas integrais, aplicadas a volumes de controle com fronteiras móveis e deformáveis, coincidentes com a região do líquido e do gás presentes na célula unitária no interior do duto, com uma inclinação qualquer em relação à horizontal, conforme mostra a Figura 3.1. Pelo fato de se utilizar a formulação integral, o modelo obtido é unidimensional no espaço, de forma que toda a informação da seção transversal é condensada em um único ponto. Visando simplificar o modelo, de tal forma que seja possível obter uma solução numérica, uma série de hipóteses é assumida como: a fase líquida presente na célula unitária não apresenta variação em sua massa específica; a fase gasosa apresenta comportamento de gás ideal; o escoamento é isotérmico e sem mudança de fase e, portanto, não há migração de massa de uma fase para outra; a variação de quantidade de movimento associada ao gás e ao líquido na região da bolha é desprezível; não há variação da pressão ao longo de cada bolha alongada; a concentração de bolhas de gás dispersas no pistão de líquido não apresenta variação axial e não há migração de gás entre os pistões; não há bolhas de gás dispersas na região do filme de líquido; as forças interfaciais entre o gás e o líquido são desprezíveis.
Figura 3.1: Célula unitária e suas principais variáveis.
Para obter o modelo a equação de conservação da massa é aplicada tanto à fase líquida quanto ao gás e a quantidade de movimento só é aplicada ao líquido. Os balanços trazem como incógnitas a velocidade de líquido no pistão de líquido e a pressão de gás na região da bolha e depende de características geométricas da célula, de propriedades físicas dos fluidos transportados e de equações constitutivas para o atrito e para a velocidade de deslizamento das bolhas dispersas no pistão de líquido. Como resultado são obtidos duas equações diferenciais no tempo, que expressam a conservação de massa de líquido e gás e a de quantidade de movimento do líquido na j-ésima célula, conforme mostram as Equações (3.1) e (3.2), respectivamente.
j j j 1 j j j 1 j j 1 j j j j 1 j j 1 j j 1 j j 1 1 Rf 1 RS 1 RS dP LS LS US US LB dt P 2 P 2 P 1 RS 1 RS UDS UDS RS RS , ·(3.1)
j j 2 j 1 2 j j 1 L j j j L j j 1 L f j 1 j 1 j j j 1 j 1 L dUS LS LB P P RS LS 2CfS US 2CfB S Uf dt D D RS LS 1 RG LB gsen , ·(3.2)onde US, UB e UDS são as velocidades do líquido no pistão de líquido, da bolha e de deslizamento das bolhas dispersas no pistão de líquido, respectivamente; RS e RG são as frações de liquido na região do pistão e de vazio na região da bolha, respectivamente; LS e LB são os comprimentos dos pistões e das bolhas, respectivamente; P é a pressão de gás na bolha; CfS e CfB são os coeficientes de atrito de Fanning nas regiões do pistão de líquido e da bolha, respectivamente; S é o perímetro molhado de líquido na região da bolha, f x e y são as posições referentes às frentes dos pistões e das bolhas, respectivamente e é o ângulo de inclinação do duto em relação à horizontal.
A Equação (3.1) mostra que a velocidade do líquido no pistão de líquido na j-ésima célula depende da velocidade do líquido no pistão anterior (representando pelo subescrito j-1) e é devida à expansão do gás na bolha e no pistão, representado pelo segundo termo do lado direito, e à diferença de velocidade das bolhas dispersas nos pistões de líquido da j-ésima célula e a anterior, representado pelos terceiro e quarto termos da Equação (3.1), respectivamente. Já a Equação (3.2) mostra que a pressão na bolha depende da pressão da bolha da célula à sua frente (representando pelo subescrito j+1), da inércia do pistão de líquido, representado pelo segundo termo do lado direito, do atrito entre a fase líquida do pistão e do filme com a parede, terceiro e quarto termos do lado direito, e da ação da gravidade. Maiores detalhes sobre a obtenção das Equações (3.1) e (3.2) podem ser encontrados em Rodrigues (2009) e no Anexo III.
A priori, o modelo da forma como foi proposto por Rodrigues (2009) não pode ser aplicado a tubulações que possuam diferentes inclinações ao longo de seu comprimento uma vez que considera uma única inclinação. Entretanto, como as equações do modelo conservam a massa e a quantidade de movimento em cada célula e, cada célula está conectada às vizinhas somente pela pressão da bolha da célula à sua frente e à velocidade do líquido no pistão de líquido à sua traseira, o modelo, da forma como proposto, poderia ser aplicado a situações em que há mudança de inclinação fazendo com que cada célula tivesse a inclinação do trecho em que se encontra. Isso
é facilmente realizado considerando que a inclinação é uma função do trecho e sabendo quando cada célula entra ou sai de um determinado trecho. A única situação que não está prevista no modelo e que necessitará ser modelado são as singularidades durante a passagem da célula pela transição dos trechos. Para cada tipo de transição há singularidades específicas, sendo apresentadas neste trabalho aquelas referentes à transição vertical ascendente horizontal.
3.1 - Transição Vertical-Ascendente – Horizontal
Este trabalho tem o foco principal no escoamento bifásico intermitente na região de transição vertical ascendente para horizontal. Esta configuração é composta por uma linha vertical conectada a uma linha horizontal por meio de uma curva de 90 graus no plano vertical, conforme mostra a Figura 3.2. O trabalho vai abordar os efeitos da mudança de direção nos principais parâmetros do escoamento padrão golfada de líquido. As configurações verticais e horizontais foram muito estudadas no passado, de formas isoladas, usando-se de diversas metodologias. Entretanto, muito pouco se conhece sobre o escoamento pistonado quando essas configurações se encontram interconectadas. O modelo proposto por Rodrigues (2009) e reproduzido nas Equações (3.1) e (3.2) pode ser aplicado para ambas as situações, além de qualquer inclinação entre a vertical e a horizontal.
Na configuração vertical o escoamento intermitente é composto por um pistão de líquido, contendo diversas bolhas pequenas e dispersas e uma grande bolha de Taylor com interface anular, posicionada concentricamente no duto e circundada por um filme de líquido de pequena espessura. A pressão é constante ao longo da bolha, mas varia ao longo da tubulação de forma significativa. Essa variação é conseqüência, principalmente, da variação da pressão hidrostática e ocasiona uma grande variação no comprimento e velocidade da bolha favorecendo a coalescência. A coalescência faz com que os comprimentos dos pistões de líquido aumentem pela transferência de massa de líquido do pistão que está desaparecendo para o pistão a montante. Em relação às pequenas bolhas dispersas nos pistões de líquido, à medida que elas avançam no duto podem se unir e dar origem a novas bolhas de Taylor.
velocidades de mistura baixas. A bolha de Taylor, por possuir uma menor massa específica, escoa em contato com a parede superior do duto e apresenta interface plana. A pressão da bolha ainda é constante e a variação de pressão é menos acentuada, sendo provocada, basicamente, pelo atrito da fase líquida com a parede da tubulação e o fenômeno da coalescência quase não acontece. Quando ocorre variação da inclinação da tubulação, o escoamento tende a se comportar de acordo com uma das duas configurações apresentadas acima, dependendo da proximidade em que se encontra de um ou de outro trecho.
Figura 3.2: Escoamento padrão golfada de líquido durante a transição vertical-horizontal. O corte A-A indica interface anular no trecho vertical e o corte B-B indica interface plana no trecho horizontal.
O modelo de Rodrigues (2009) foi desenvolvido considerando um escoamento padrão golfada de líquido em dutos que apresentam apenas uma inclinação arbitrária. O modelo foi validado comparando-se seus resultados com dados experimentais para as configurações vertical, horizontal e inclinada. Uma restrição do modelo é de não considerar os efeitos da mudança de inclinação nem o efeito da variação geométrica da bolha quando da passagem de um trecho para
transição vertical ascendente horizontal proposta neste estudo. Desta forma, para poder aplicar o modelo proposto por Rodrigues (2009) é necessário modificá-lo visando capturar o efeito da variação da orientação vertical para horizontal na ação da gravidade e na geometria da bolha e seus efeitos nos principais parâmetros do escoamento padrão golfada de líquido.
3.1.1 - Efeito Gravitacional
Como se pode observar na Equação (3.2) a gravidade atua no termo hidrostático que depende, além da aceleração da gravidade, do comprimento da bolha e do pistão, da inclinação da linha, das frações de líquido no pistão e na bolha e da densidade do líquido. Esse termo apresenta grande influência nos termos de pressão. No trecho vertical, a aceleração da gravidade age no sentido contrário ao do escoamento, resultando numa maior queda de pressão. No trecho horizontal, a direção da força gravitacional é perpendicular à direção do escoamento, logo, sua influência é anulada e a queda de pressão é mais suave, resultando, principalmente, do atrito entre o pistão de líquido e a parede da tubulação. O último termo do lado direito da Equação (3.2) representa o termo hidrostático e é reproduzido, na Equação(3.3), por conveniência, de forma isolada como:
j L j j j 1 j 1 PG gsen RS LS 1 RG LB . (3.3)Observa-se na Equação (3.3) que é possível, no modelo proposto por Rodrigues (2009), definir inclinações diferentes. Contudo, na determinação do termo hidrostático a inclinação definida será aplicada ao comprimento da bolha da célula à frente, independentemente se a bolha está ou não no mesmo trecho. Também a inclinação definida será aplicada ao longo de toda a região da bolha e do pistão, independentemente se apenas uma fração de cada comprimento estiver em cada inclinação, e para todas as células da tubulação. Numa mudança vertical para horizontal isso não acontece fisicamente, pois a bolha à frente do pistão pode estar em uma inclinação diferente, bem como apenas uma fração da bolha pode estar na mesma inclinação.
Uma situação semelhante pode acontecer com o pistão de líquido, além de que partes das células do duto se encontram em uma inclinação e partes em outra, conforme mostra a Figura 3.3.
Visando contornar essa situação sem promover modificações significativas no modelo proposto por Rodrigues (2009), o termo gravitacional, representado pela Equação(3.3), foi alterado. A fim de facilitar a compreensão da proposta, um modelo virtual da transição vertical ascendente horizontal é apresentado na Figura 3.4. Na figura, o Trecho 1 representa a tubulação na vertical e o Trecho 2, a horizontal. A primeira modificação foi permitir que cada célula pudesse ter uma inclinação própria. Com isso é possível se definir a inclinação do trecho para as células que estão em cada trecho. Como critério de transição entre os trechos foi escolhido à posição da frente da bolha. Desta forma, toda vez que a frente de uma bolha passa por uma mudança de trecho toda a célula (bolha mais pistão) à qual a bolha pertence recebe a inclinação do trecho seguinte. Essa situação é ilustrada pelo tempo t1 da Figura 3.4. Antes da frente da bolha
atingir o final de um trecho toda a célula possui a inclinação do trecho anterior, mesmo o pistão estando fisicamente no trecho seguinte. Essa situação é ilustrada pelo tempo t3 da Figura 3.4.
Esse procedimento elimina a restrição de que o modelo só poderia ser aplicado a tubulações com uma única inclinação ou trecho, mas não satisfaz todas as necessidades físicas de uma mudança de inclinação.
Figura 3.3: Transição de pistões e bolhas do trecho vertical ascendente para o horizontal. Modelo físico.
Com as propostas descritas acima, enquanto uma bolha estiver passando pela transição dos trechos todo o seu comprimento contribuirá no termo hidrostático como tendo a inclinação do trecho seguinte. Na transição vertical ascendente-horizontal a contribuição de toda a região da bolha no termo hidrostático será nula. Situação similar acontecerá com o pistão, mas de forma inversa. Enquanto o pistão estiver passando pela transição, todo o seu comprimento contribuirá no termo hidrostático, como tendo a inclinação do trecho anterior. Desta forma, enquanto o pistão estiver passando pela transição vertical ascendente horizontal a contribuição da região do pistão no termo hidrostático será referente à totalidade do seu comprimento. Essa situação não é a que ocorre fisicamente, portanto é necessário mais uma adequação ao modelo para atender às necessidades do sistema físico.
Figura 3.4: Transição de pistões e bolhas do trecho vertical ascendente para o horizontal. Modelo virtual.
Para adequar a passagem de pistões e de bolhas pela transição, os comprimentos do pistão de líquido e da bolha de gás foram divididos em duas partes. O comprimento de cada parte varia de zero ao comprimento total e a soma das duas partes é seu comprimento total. Cada parte do pistão ou da bolha receberá ou a inclinação do trecho da célula ou a da célula da frente. No caso da transição vertical ascendente-horizontal, enquanto o pistão de líquido transita da vertical para a horizontal, a parte que estiver no trecho horizontal não contribuirá para o termo hidrostático. A parte restante do comprimento continua contribuindo no termo hidrostático, uma vez que ainda se encontra no trecho vertical. O mesmo ocorre quando a bolha de gás passa pela transição. Para implementar essa metodologia no cálculo do termo hidrostático a Equação (3.3) foi adequada e escrita como:
j L j j TR j TR L j 1 j 1 TR j 1 TR PG gRS LS1 sen LS2 sen g 1 RG LB1 sen LB2 sen , (3.4)onde LS1 e LS2 são as duas partes do pistão de líquido, LB1 e LB2 são as duas parte da bolha de gás, é o ângulo do trecho da célula em questão. O sobrescrito + indica que a inclinação se TR refere ao trecho à frente da célula a qual se está calculando o termo hidrostático. A forma como
são determinados os comprimentos de cada parte do comprimento da bolha e do pistão em cada situação será apresentado na seção 3.2.1.
3.1.2 - Efeito Geométrico
O escoamento bifásico padrão golfada de líquido, quando transita do trecho vertical ascendente para o horizontal, sofre mudanças geométricas. A bolha, que antes se apresentava concêntrica e com interface anular, se torna excêntrica, ocupando a porção superior do duto, devido à sua menor massa específica, e a interface se torna plana. Essa mudança geométrica na bolha faz com que o comprimento da bolha aumente significativamente. O pistão de líquido também sofre alterações geométricas, pois, na vertical, possui inúmeras bolhas dispersas que desaparecem quase que completamente após a transição. As bolhas dispersas acabam sendo capturadas pela bolha de Taylor à montante o que acarreta em seu aumento. Além disso, o pistão de líquido diminui de tamanho pela perda das bolhas dispersas. A incorporação das bolhas dispersas pela de Taylor ocorre devido ao fato de que a bolha de Taylor é mais rápida que as dispersas e pela variação da ação da força gravitacional. Enquanto as bolhas se encontram na vertical, apesar da bolha Taylor ser mais rápida que as dispersas, não há a incorporação, pois as bolhas dispersas são drenadas pelo filme e transitam de um pistão para o outro. Durante a transição vertical ascendente horizontal a variação da ação da força gravitacional faz com que as bolhas migrem para a porção superior do duto facilitando a incorporação das bolhas dispersas pela de Taylor.
Para reproduzir essas características, um sub-modelo geométrico é utilizado toda vez que a frente da bolha alcança o final do trecho vertical e adentra ao próximo trecho. O modelo proposto é baseado na conservação volumétrica de gás na célula e assume que a bolha de Taylor captura todo o gás contido no pistão de líquido à sua frente. Além disso, a bolha não perde gás, nem tampouco o pistão ganha gás, hipóteses que são condizentes com o modelo desenvolvido por Rodrigues (2009). O volume de gás por unidade de área da seção transversal do duto contido na célula antes da frente da bolha chegar à transição pode ser determinado por:
j j j j j
VG LS 1 RS LB RG
, (3.5)
onde VG é o volume de gás por unidade de área contido na célula; RS é a fração de líquido no pistão e RG é a fração de vazio na região da bolha de Taylor enquanto a célula se encontra na vertical, assim como os demais parâmetros. Após a posição da frente da bolha ultrapassar o final do trecho, todo o volume de gás da célula passa a estar contido na bolha e, dessa forma, o volume de gás pode ser determinado por:
' '
j j j
VG LB RG
, (3.6)
onde o LB´ e RG´ representam o comprimento e a fração de vazio na região da bolha de Taylor quando a bolha se encontra na horizontal e, desta forma, já variou seu tamanho devido a variação de forma e a incorporação do gás do pistão. Desta forma, no momento da transição, é necessário se determinar a nova fração de vazio e o novo comprimento da bolha. Esses parâmetros podem ser determinados a partir das Equações (3.5) e (3.6), sendo que o lado direito da Equação (3.6) é determinado a partir dos chamados modelos de filme, como:
LB ' j j f f 0 LB´ RG
1 Rf x dx , (3.7)sendo Rf(xf) a fração de líquido no filme de líquido ao longo do comprimento. Apesar de
existirem modelos mais simples disponíveis na literatura para o filme com desempenhos semelhantes, conforme mostra Mazza et al. (2010), neste trabalho foi adotado o modelo proposto originalmente por Taitel e Barnea (1990). Entretanto, como os autores apresentam uma formulação para a determinação da altura do filme de líquido, optou-se por utilizar a formulação para fração de líquido apresentada por Mazza et al. (2010) como:
g f i f g i 2 f L L G S S Rf 1 1 S Rf dRf A RG A Rf RG A dx Rf g cos D UB Uf 4sen / 2 Rf , (3.8)onde Sf, Sg e Si são os perímetros molhados pelo filme de líquido, pelo gás e o interfacial,
respectivamente; A é a área da seção transversal do duto; f, g e i são as tensões de cisalhamento
na região da bolha entre o líquido e a parede, entre o gás e a parede e a interfacial, respectivamente, Uf é a velocidade do líquido no filme; UB é a velocidade de translação da bolha. A forma como são determinadas todas essas variáveis é mostrada no Anexo I, sendo que as variáveis geométricas dependem do ângulo interno , que é relacionado com a fração de líquido no filme de líquido da seguinte maneira:
sen Rf 2 (3.9)
3.2 - Modelo Numérico
O modelo matemático de Rodrigues (2009), expresso pelas equações (3.1) e (3.2), se apresenta na forma integral em relação ao espaço e diferencial no tempo. Deste modo, ele precisa ser discretizado no tempo antes de ser integrado numericamente. Neste trabalho, assim como no de Rodrigues (2009), o esquema de discretização adotado é o semi-implícito de Cranck-Nicholson e gera um sistema de equação que pode ser escrito como:
O O O j j j j j 1 j 1 N N N O j 1 j O O O j j 1 j j j 1 O O O O j j j j j 1 j 1 j O j O j j 1 2LB RG LS RS LS RS US P US US P t P t P t 2LB RG LS RS LS RS P US 2 UD t t t P , (3.10)
N O N j N j j j O j j 1 j j j L L L O O j 1 j j j j 1 j L L P 2RS LS LS P P US 4CfS US t D P 2RS LS US 2 PS PG t , (3.11)onde os índices N e O se referem ao tempo atual e antigo. Aplicando-se as Equações (3.10) e (3.11) a todas as células no interior do duto é gerado um sistema matricial tridiagonal escrito como:
A X B ,
onde A é a matriz dos coeficientes, B é o vetor de resultados e X é o vetor de incógnitas, que podem ser escritos da seguinte maneira:
AI 1 0 0 1 AP 0 0 A 0 0 AI 1 0 0 1 AP ; BI BP B BI BP ; 1 1 n n P U X P U , sendo: j j j j j 1 j 1 O O O j j j 1 2LB RG LS RS LS RS AI P t P t P t , (3.12) j j j O j j 2RS LS LS AP 4CfS US t D , (3.13) O j j j j j 1 j 1 j N O O j 1 j 1 j O j j 1 2LB RG LS RS LS RS P BI US US US 2 UD t t t P , (3.14) onde
