CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida

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Aula no 07: Teorema do Valor Intermediário, Teorema do Confronto e Limite Trigonométrico Fundamental

Objetivos da Aula

• Conhecer e aplicar o Teorema do Valor Intermediário; • Conhecer e aplicar o Teorema do Confronto;

• Demonstrar o Limite Trigonométrico Fundamental.

1 Teorema do Valor Intermediário

Apresentaremos a seguir, uma propriedade importante das funções contínuas

Teorema 1 (do Valor Intermediário). Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a, b] e seja

N um número qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) ̸= f(b). Então existe um número c em (a, b) tal que f (c) = N .

O Teoreoma do Valor Intermediário (TVI) estabelece que uma função contínua assume todos os valores intermediários entre os valores de f (a) e f (b). Geometricamente, o TVI diz que se for dada uma reta horizontal qualquer y = N entre y = f (a) e y = f (b), como mostra a figura abaixo, então o gráfico de f intercepta a reta y = N pelo menos uma vez.

Figura 1: Ilustração geométrica do Teorema do Valor Intermediário

Observação 1. É importante que a função f do TVI seja contínua. O Teorema do Valor Intermediário não

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Um caso particular do Teorema do Valor Intermediário será apresentado a seguir. É o Teorema de Bolzano (ou do Anulamento).

Teorema 2 (de Bolzano ou do Anulamento). Se f for contínua e f (a) e f (b) assumirem assumirem sinais

contrários, então existirá c∈ (a, b) tal que f(c) = 0.

Uma importante aplicação do TVI é a localização das raízes de equações. A seguir, apresentaremos alguns exemplos.

Exemplo 1. Mostre que existe uma raiz da equação 4x3_{− 6x}2_{+ 3x}_{− 2 = 0 entre 1 e 2.}

Solução: Seja f (x) = 4x3 − 6x2 + 3x− 2. Queremos encontrar um c entre 1 e 2, tal que f(c) = 0. Tomando a = 1 e b = 2 e N = 0, pelo Teorema do Valor intermediário, temos:

f (1) = −1 < 0

f (2) = 12 > 0.

Logo, f (1) < 0 < f (2), isto é N = 0 é um número entre f (1) e f (2). Como f é contínua, por ser um polinômio, o TVI afirma que existe um núero c entre 1 e 2 tal que f (c) = 0. Em outras palavras, a equação 4x3_{− 6x}2_{+ 3x}_{− 2 = 0 tem pelo menos uma raiz c no intervalo (1, 2).}

Graficamente, temos:

Exemplo 2. Mostre que a equação x3_{− 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma solução real.}

Solução: Considerando a função f (x) = x3_{− 4x + 8, temos f(0) = 8, f(−3) = −7 e f é contínua, segue}

do Teorema do Anulamento que existe pelo menos um c em (−3, 0) tal que f(c) = 0, isto é, a equação

x 3− 4x + 8 = 0 admite pelo menos uma raiz real entre -3 e 0.

2 Teorema do Confronto

Teorema 3 (do Confronto). Se f (x)≤ g(x) ≤ h(x) para todo x em um intervalo aberto que contenha a

(exceto possivelmente a) e

lim

x→af (x) = limx→ah(x) = L,

então

lim

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A mensagem do Teorema do confronte é que se uma função que está no meio de outras duas funções que tem o mesmo limite, então obrigatoriamente a função que está no meio terá o mesmo limite das outras duas, daí este teorema é também chamado de Teorema do Sanduiche.

Exemplo 3. Seja f uma função definida em R tal que para todo x ̸= 1, temos:

−x2_{+ 3x}_{≤ f(x) ≤} x2− 1 x− 1. Calcule lim x→1f (x) e justifique. Solução: Como: • lim x→1−x 2_{+ 3x = 2} • lim x→1 x2− 1 x− 1 = 2

temos, pelo Teorema do Confronto: lim x→1−x 2_{+ 3x}_{≤ lim} x→1f (x)≤ limx→1 x2− 1 x− 1 ⇐⇒ 2 ≤ limx→1f (x)≤ 2. Portanto: lim x→1f (x) = 2. Exemplo 4. Mostre que lim

x→0x 2_.sen ( 1 x ) = 0. Solução: Como −1 ≤ sen ( 1 x ) ≤ 1

Multiplicando por x2 _{a desigualdade, temos:}

−x2 _{≤ x}2_.sen ( 1 x ) ≤ x2 Como lim x→0−x 2 _{= lim} x→0x

2_{= 0, pelo Teorema do Confronto, temos:}

lim x→0x 2_.sen ( 1 x ) = 0.

Graficamente, note que que a função f (x) = x2.sen

( 1

x

)

é limitada superiormente pela função g(x) =

x2 _{e limitada inferiormente pela função h(x) =}_−x2_.

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Exemplo 5. Suponha f uma função contínua e suponha que para todo x,|f(x)| < x2_.

(a) Calcule, caso exista, lim

x→0f (x).

(b) f é contínua em 0? Por quê?

Solução: (a) Pelas propriedades de módulo, temos:

|f(x)| ≤ x2 _{⇐⇒ −x}2 _{≤ f(x) ≤ x}2_.

Como lim

x→0−x

2 _{= 0 = lim}

x→0x

2_{, segue pelo Teorema do Confronto que}

lim

x→0f (x) = 0.

(b) Segue de (a) que f será contínua em 0 se f (0) = 0. Pela hipótese, |f(x)| ≤ x2 _{para todo x, logo,}

|f(0)| ≤ 0 e, portanto, f(0) = 0. Assim,

lim

x→0f (x) = 0 = f (0),

ou seja, f é contínua em 0.

O próximo exemplo nos diz que se f tiver limite 0 em p e se g for limitada, então o produto f · g terá limite 0 em p.

Exemplo 6. Sejam f e g duas funções com o mesmo domínio A tais que lim

x→pf (x) = 0 e|g(x)| ≤ M para

todo x em A, em que M > 0 é um número real fixo. Prove que:

lim

x→pf (x)g(x) = 0.

Solução: Note que:

|f(x)g(x)| = |f(x)|.|g(x)| ≤ M.|f(x)|,

para todo x em A. Daí, para todo x em A

−M.|f(x)| ≤ |f(x)|.|g(x)| ≤ M.|f(x)|

Como lim

x→pf (x) = 0, segue que limx→pM.|f(x)| = 0 e limx→p−M.|f(x)| = 0. Pelo Teorema do Confronto:

lim

x→pf (x)g(x) = 0.

Exemplo 7. Calcule lim

x→0x.sen

(_π

x

)

.

Solução: Note que lim

x→0x = 0 e

sen(π

x

)_{≤ 1. Pelo resultado obtido no Exemplo 6, temos:} lim x→0x.sen (_π x ) = 0. Graficamente, temos:

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3 Limite Trigonométrico Fundamental

Usando o triângulo retângulo no círculo trigonométrico de raio 1 e o Teorema do Confronto demonstra-se que

lim

x→0

senx

x = 1

A demonstração usando a regra do L’Hospital é mais simples que vou deixar para depois da aula de derivadas.

x→0

sen(5x) x .

lim x→0 sen(5x) x = limx→05. sen(5x) 5x |{z} u = lim u→0 sen5u u = 5. Ou seja: lim x→0 sen(5x) x = 5. Exemplo 9. Calcule lim

x→0

1− cos x

x2 .

1− cos x x2 = 1− cos2x x2 · 1 1 + cos x = sen2x x2 · 1 1 + cos x. Assim: lim x→0 1− cos x x2 = lim_x_→0 sen2x x2 · 1 1 + cos x = 1 2, pois lim x→0 sen2x x2 = 1 e lim_x_→0 1 1 + cos x = 1 2.

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x→0

sen(6x)

5x .

Solução: Seja u = 6x. Quando x→ 0, temos u → 0 e, como sen(6x) 5x = 1 5. 6.sen(6x) 6x = 6 5. sen(6x) 6x = 6 5. senu u .

Passando o limite, temos:

lim x→0 sen(6x) 5x = limu→0 6 5. senu u = 6 5. Exemplo 11. Calcule lim

x→0

tgx x .

tgx x = senx x cos x = 1 cos x. senx x Segue que: lim x→0 tgx x = limx→0 1 cos x. senx x = limx→0 1 cos x. limx→0 senx x = 1 Exemplo 12. Calcule lim

x→π

senx x− π.

Solução: Fazendo u = x− π, temos: senx

x− π =

sen(u + π)

u =

senu cos π + cos usenπ

u =−

senu

u .

Quando, x→ π, temos que u → 0. Portanto: lim x→π senx x− π =− limu→0 senu u =−1. Resumo

O que afirma o Teorema do Confronto? Como ele foi usado nesta aula? Aprofundando o conteúdo

Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Capítulo 2 - Seção 2.3 e Capítulo 3 -Seção 3.3 do livro texto. Sugestão de exercícios

Resolva os exercícios do assunto na seçãao 2.3 do livro texto e a lista extra de exercícios disponível em nossa sala no Moodle.