Matemática Financeira e Análise de Investimentos Taxas e Descontos

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CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico

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Projeto Pós-graduação

Disciplina Matemática Financeira e Análise de Investimentos

Tema Taxas e Descontos

Professor Nelson Castanheira

Introdução

Você sabe como são caracterizadas e como são usadas as taxas de juros em capitalização composta?

Para que você fique por dentro do assunto e conheça um pouco do mundo das finanças, apresentaremos os conceitos de taxa nominal, taxa efetiva, taxa real, taxa aparente, desconto simples, desconto composto e equivalência de títulos.

Acesse o seu material digital para ver como o professor Nelson organiza o conteúdo de hoje.

Problematização

Você ficou 1 ano sem ter aumento salarial na empresa na qual trabalha e ao chegar a data base esse aumento foi de 10%, será que o poder de compra do seu dinheiro aumentou exatamente 10%?

Uma empresa tem uma dívida a ser quitada dentro de 1 ano, mas por razões adversas, percebe bem antes da data de vencimento que não conseguirá honrar esse compromisso, pois não terá em mãos o capital necessário para quitar a dívida. Como essa organização deve proceder? Substituir os títulos? Se fizer a substituição, como saber se eles são equivalentes?

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Taxas

Taxa nominal

Quando nos dirigimos a um agente financeiro e questionamos sobre o valor da taxa que estão utilizando para o empréstimo, a pessoa física normalmente nos informa a taxa anual, que damos o nome de taxa nominal. Entretanto, o prazo de formação do juro e sua incorporação ao capital que o produziu costuma ser de periodicidade menor, geralmente mensal, e essa transformação para um período menor é realizada proporcionalmente.

O juro costuma ser capitalizado mais de uma vez quando se refere ao período da taxa. Por exemplo, ao fazermos um empréstimo bancário para pagar em um ano, a capitalização ocorre mês a mês durante esse ano, mesmo se o pagamento for realizado em uma única parcela ao final do período contratado.

Taxa efetiva

É quando o prazo referente a uma taxa que nos foi informada coincide com aquele de formação e incorporação dos juros ao capital que o produziu. Dessa forma, não importa por quanto tempo o capital será acrescido de juro e o resultado final (o montante) será o mesmo.

No caso da taxa efetiva, o juro é capitalizado uma única vez no período que se refere à taxa.

Taxa real e taxa aparente

Taxa aparente é a taxa que se utiliza sem levar em conta a inflação do período – podendo ser negativa, caso a correção efetuada sobre o capital tenha sido menor que a inflação do período – enquanto a taxa real é a taxa utilizada quando se leva em consideração os efeitos inflacionários do período.

Qual a relação existente entre as duas taxas?

Considere um capital C que foi aplicado durante certo tempo n e que resultou em um montante M durante um período em que a inflação registrada foi igual a I.

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3 Temos, então, esta fórmula:

i = (1 + ia) – 1 (1 + I)

Até aqui vimos acerca das taxas (nominal, efetiva, real e aparente), certo? Então agora assista no seu material digital o que fala o professor Nelson a respeito de todas essas taxas e os exemplos que ele dá para esclarecer qualquer dúvida que você tenha tido no decorrer do assunto.

Descontos

Desconto simples

Ao pagarmos um título antes do prazo de vencimento, normalmente merecemos um desconto, você não concorda? Então, se a dívida foi contraída no regime de capitalização simples, o desconto a que temos direito é o chamado desconto simples.

Uma operação de desconto é efetuada quando conhecemos o valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor atual desse título, sendo chamada de taxa de desconto a taxa utilizada nessa operação.

É importante lembrar que só merecemos desconto sobre o tempo que falta para vencer a dívida (o título), ou seja, o tempo entre o dia do pagamento da dívida e o dia de vencimento do título. Assim, retiramos o juro proporcional ao tempo antecipado de pagamento.

Agora, vamos estudar os dois tipos de desconto simples: o comercial, denominado por alguns autores de desconto bancário, e o racional.

Desconto comercial simples

O desconto comercial simples, que representaremos por Dc, é determinado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de crédito, ou seja, é calculado sobre o valor da dívida no dia do seu vencimento.

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4 Então:

Dc = M . i . n

Importante: para o cálculo do desconto, n é o número de períodos antes do vencimento, isto é, o tempo que falta para vencer a dívida.

Depois de determinarmos o desconto que o possuidor do título tem direito por estar antecipando a sua quitação, conseguiremos chegar com facilidade ao valor atual (Vc) para a data do resgate do título.

Isso quer dizer que: Vc = M – Dc

Vc = M – M . i . n Vc = M . (1 – i . n)

Desconto racional simples

O desconto racional, que representaremos por Dr, é determinado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor atual (Vr) do título de crédito.

Assim: Dr = Vr . i . n

No entanto, o valor atual é igual ao valor nominal (montante) menos o desconto.

Vr = M – Dr

A fórmula geral da capitalização simples é, portanto: Vr = M

1 + i . n

Acesse o seu material digital para ver os exemplos que o professor Nelson dá a respeito do desconto simples, assim você poderá entender melhor o assunto.

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5 Desconto composto

Ao estudarmos o desconto simples, vimos que o desconto é aquele benefício que alguém merece por estar antecipando o pagamento de uma dívida, ou o resgate antecipado de um título. Dessa forma, uma operação de desconto é efetuada quando conhecemos o valor nominal (ou montante) de um título e desejamos determinar o valor atual desse título.

No caso do desconto composto não é diferente, pois se a dívida foi contraída no regime de capitalização composta, o desconto a que temos direito é o chamado desconto composto, o qual tem dois tipos: o comercial, denominado por alguns autores de desconto bancário, e o racional.

Desconto comercial composto

O desconto comercial, que representaremos por Dc, é determinado aplicando-se uma taxa de desconto sobre o valor nominal (M) do título de crédito, ou seja, o desconto comercial é calculado sobre o valor da dívida no dia do seu vencimento (Vc).

Logo, por definição: Vc = M . (1 – i)n

Portanto, o desconto comercial composto é calculado da seguinte forma: Dc = M – Vc

Substituindo na fórmula anterior o valor de Vc teremos: Dc = M – [M . (1 – i)n]

Dc = M . [1 – (1 – i)n_]

Observe que para a utilização da calculadora financeira HP-12C em desconto comercial composto há a necessidade de:



O valor presente ser informado por meio da tecla FV;



O valor nominal do título ser informado por meio da tecla PV;



A taxa de juro ser informada com sinal negativo.

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6 Você sabe por que esse procedimento é necessário?

Simplesmente porque a máquina está programada para aplicar o desconto racional composto.

Desconto racional composto

Como no desconto racional simples, o valor do desconto racional composto (Dr) é calculado sobre o valor atual do título (Vr).

Logo: Dr = M – Vr Onde: Vr = M (1 + i)n Portanto: Dr = M – M (1 + i)n Dr = M . 1 – 1 (1 + i)n

Se você ainda tem dúvidas sobre o desconto composto, acompanhe no material digital o que fala o professor Nelson com relação ao tema.

Títulos equivalentes em capitalização simples

Caso seja necessário substituirmos um título por outro, precisamos ter a certeza de que eles são equivalentes. Tal substituição pode ocorrer quando se deseja antecipar ou postecipar o pagamento de um título, tratando-se, portanto, da troca de papéis.

É importante ressaltar que dois títulos só são equivalentes a uma determinada taxa, pois se o valor desta for alterando, a equivalência desaparecerá.

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7 No caso de querermos estabelecer a equivalência entre títulos, será necessário escolhermos uma data para o cálculo do valor do novo título, a qual é denominada data focal ou data de referência. Nessa data, os valores atuais dos dois títulos são iguais.

Vimos anteriormente que: Vc = M . (1  i . n)

Chamaremos de M1 o valor nominal do novo título para um novo prazo de vencimento n1.

Dessa forma, temos que: Vc = M1 . (1 – i . n1)

Isso porque, pela definição, os valores atuais dos títulos descontados na mesma data focal são iguais.

Portanto:

M . (1 – i . n) = M1 . (1 – i . n1) M1 = M . (1 – i . n)

(1 – i . n1)

Títulos equivalentes em capitalização composta

Na capitalização composta, a situação será igual a da capitalização simples, ou seja, se necessitarmos substituir um título por outro precisaremos ter a certeza de que eles são equivalentes, e essa substituição pode acontecer quando desejamos antecipar ou postecipar o pagamento de um título, o que chamamos de troca de papéis.

Da mesma forma que na capitalização simples, aqui, para se estabelecer a equivalência entre títulos, precisamos escolher uma data para o cálculo do valor do novo título, também chamada de data focal ou data de referência.

Vimos que: Vr = M

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CCDD – Centro de Criação e Desenvolvimento Dialógico 8 Onde: Vr = M1 (1 + i)n1 Portanto: M = M1 (1 + i)n_{(1 + i)}n1

Você entendeu o que são títulos equivalentes em capitalização simples e em capitalização composta? Para saber mais, confira o vídeo do professor Nelson no material digital.

Síntese

Vamos relembrar o que vimos hoje?

Vimos que as taxas são divididas em nominal, efetiva, real e aparente, que os descontos podem ser simples (comercial e racional) ou compostos (comercial e racional) e que os títulos equivalentes em capitalização simples são iguais aos títulos equivalentes em capitalização composta.

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Referências

ASSAF NETO, A. Matemática financeira e suas aplicações. 4. ed. São Paulo: Atlas, 1998.

BAUER, U. R. Matemática financeira fundamental. São Paulo: Atlas, 2003. BRANCO, A. C. C. Matemática financeira aplicada: método algébrico, HP-12C, Microsoft Excel. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.

CAIXA ECONÔMICA FEDERAL. Guia para financiamentos imobiliários. Brasília: Caixa, 1998.

CARNEIRO, T. J. Debêntures: captação racional de recursos. 2004.

CASTANHEIRA, N. P.; SERENATO, V. S. Matemática financeira e análise financeira aplicada a todos os níveis. Curitiba: Juruá, 2005.

CASTELO BRANCO, A. C. Matemática financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.

DE FRANCISCO, W. Matemática financeira. 3. ed. São Paulo: Atlas, 1977. FARO, C. Princípios e aplicações do cálculo financeiro. 2. ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1997.

FORTUNA, E. Mercado financeiro: produtos e serviços. 15. ed. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2002.

HAZZAN, S.; POMPEO, J. N. Matemática financeira. 5. ed. São Paulo: Saraiva, 2001.

KUHNEN, O. L.; BAUER, U. R. Matemática financeira aplicada e análise de investimentos. São Paulo: Atlas, 1996.

MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1982. PUCCINI, A. de L. Matemática financeira objetiva e aplicada. 5. ed. Rio de Janeiro: Editora S.A, 1995.

SAMANEZ, C. P. Matemática financeira: aplicações à análise de investimentos. São Paulo: Makron Books, 1999.

VERAS, L. L. Matemática financeira. São Paulo: Atlas, 1996.

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10 _____. Manual de aplicações financeiras: HP-12C. 2. ed. São Paulo: Atlas, 1985.

Sites

<www.estadao.com.br>

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Formulário

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Atividades

Uma empresa devedora de dois títulos – um de R$ 20.000,00 com prazo de 4 meses e o outro de R$ 35.000,00 com prazo de 5 meses – propõe substituí-los por um único título com vencimento para 6 meses. Sabendo-se que a taxa ajustada na operação foi de 4% ao mês, calcule o valor nominal do novo título e assinale a alternativa correta.

a. M = R$ 58.032,00

b. M = R$ 50.000,00

c. M = R$ 45.863,53

d. M = R$ 58.900,00

O preço de um automóvel aumentou 10% em um ano em que a inflação foi de 5%. Qual foi a taxa real de aumento no preço do automóvel? Marque a alternativa correta.

a. i = 4,04%

b. i = 4,76%

c. i = 5,21%

d. i = 6,23%

Um título de R$ 7.000,00 foi descontado 10 meses antes do seu vencimento. Considerando uma taxa de desconto racional composto igual a 3% ao mês, por quanto foi resgatado o título? Assinale a opção correta.

a. Vr = R$ 4.900,00

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c. Vr = R$ 5.384,61

d. Vr = R$ 2.100,00

Determine o valor do desconto racional composto de um título de R$ 22.452,00, abatido 5 meses antes de seu vencimento, à taxa efetiva de desconto racional composto de 26,82418% ao ano. Assinale a opção correta.

a. Dr = R$ 2.116,53

b. Dr = R$ 2.455,26

c. Dr = R$ 2.047,98

d. Dr = R$ 2.355,01

Uma loja cobra uma taxa efetiva de juro composto de 6,4855% ao mês, incluindo nesse valor uma taxa real de 3,8% ao mês. Determine a taxa inflacionária inclusa na taxa efetiva, dando a resposta com duas casas após a vírgula. Depois de calcular, marque a alternativa correta.

a. I = 2,69% a.m.

b. I = 3,80% a.m.

c. I = 2,79% a.m.