Volume único. Hernando Bedoya Ricardo Camelier. Álgebra II

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(1)Volume único. Hernando Bedoya Ricardo Camelier. Álgebra II.

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(3) Álgebra II Volume único. Hernando Bedoya Ricardo Camelier. Apoio:.

(4) Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Rua Visconde de Niterói, 1364 – Mangueira – Rio de Janeiro, RJ – CEP 20943-001 Tel.: (21) 2334-1569 Fax: (21) 2568-0725 Presidente Masako Oya Masuda Vice-presidente Mirian Crapez Coordenação do Curso de Matemática UFF - Regina Moreth UNIRIO - Luiz Pedro San Gil Jutuca. Material Didático Departamento de Produção. ELABORAÇÃO DE CONTEÚDO. Hernando Bedoya Ricardo Camelier COORDENAÇÃO DE DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL. EDITORA. PROGRAMAÇÃO VISUAL. Tereza Queiroz. Márcia Valéria de Almeida Renata Borges Sanny Reis. COPIDESQUE. Cristine Costa Barreto. José Meyohas. DESENVOLVIMENTO INSTRUCIONAL E REVISÃO. REVISÃO TIPOGRÁFICA. Elaine Bayma Marcus Knupp. Zulmira Speridião Marcelo Bastos Matos. COORDENAÇÃO DE PRODUÇÃO. COORDENAÇÃO DE LINGUAGEM. Jorge Moura. Cyana Leahy-Dios Maria Angélica Alves. ILUSTRAÇÃO. Equipe Cederj CAPA. Equipe Cederj PRODUÇÃO GRÁFICA. Oséias Ferraz Patricia Seabra. COORDENAÇÃO DE AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO. Débora Barreiros AVALIAÇÃO DO MATERIAL DIDÁTICO. Letícia Calhau. Copyright © 2005, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.. B412a Bedoya, Hernando. Álgebra II. v. único / Hernando Bedoya; Ricardo Camelier. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010. 264p.; 19 x 26,5 cm. ISBN: 85-7648-314-9 1. Álgebra. 2. Anéis quocientes. 3. Teorema de homomorfismo. 4. Polinômios. I. Camelier, Ricardo. II. Título. CDD: 512. 2010/1 Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT..

(5) Governo do Estado do Rio de Janeiro. Governador Sérgio Cabral Filho. Secretário de Estado de Ciência e Tecnologia Alexandre Cardoso. Universidades Consorciadas UENF - UNIVERSIDADE ESTADUAL DO NORTE FLUMINENSE DARCY RIBEIRO Reitor: Almy Junior Cordeiro de Carvalho. UFRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Aloísio Teixeira. UERJ - UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Vieiralves. UFRRJ - UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO RIO DE JANEIRO Reitor: Ricardo Motta Miranda. UFF - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE Reitor: Roberto de Souza Salles. UNIRIO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO Reitora: Malvina Tania Tuttman.

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(7) Álgebra II SUMÁRIO. Volume único. Aula 1 – Anéis quocientes ______________________________________ 7 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 2 – Homomorfismos _____________________________________ 15 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 3 – Teorema do homomorfismo _____________________________ 29 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 4 – Divisibilidade em anéis ________________________________ 39 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 5 – Introdução aos polinômios ______________________________ 51 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 6 – Operações com polinômios _____________________________ 65 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 7 – Anéis de polinômios ___________________________________ 75 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 8 – Divisão de polinômios _________________________________ 89 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 9 – Propriedades da divisão de polinômios ____________________ 103 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 10 – Sobre raízes de polinômios ___________________________ 121 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 11 – Polinômios irredutíveis ______________________________ 137 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 12 – Introdução aos grupos _______________________________ 153 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 13 – Mais exemplos de grupos ____________________________ 165 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 14 – Subgrupos e grupos cíclicos ___________________________ 185 Ricardo Camelier. Aula 15 – O Teorema de Lagrange ______________________________ 199 Ricardo Camelier.

(8) Aula 16 – Classes laterais e o grupo quociente ____________________ 213 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 17 – Subgrupos normais _________________________________ 231 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Aula 18 – Homomorfismos de grupos ___________________________ 247 Hernando Bedoya / Ricardo Camelier. Referências _____________________________________________ 263.

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(41) AULA. Homomorfismos. 2. Meta da aula. objetivos. Apresentar o conceito de homomorfismo de anel e suas propriedades básicas.. Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: • Reconhecer um homomorfismo entre anéis. • Apresentar e demonstrar as primeiras propriedades dos homomorfismos.. Pré-requisitos Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 do curso de Álgebra I..

(42) Álgebra II | Homomorfismos. INTRODUÇÃO. As funções consideradas naturais entre duas estruturas algébricas do mesmo tipo, como os anéis, são aquelas que preservam as operações, ou seja, transformam uma soma de elementos no anel domínio na soma de suas imagens e transformam um produto de elementos no anel domínio no produto de suas imagens. Essas funções, chamadas de homomorfismos, serão o objeto do nosso interesse nesta aula.. Apesar de o conceito de homomorfismo ser muito natural, ele surgiu de forma muito gradual. O conceito de homomorfismo de grupos surgiu, pela primeira vez, em torno de 1830, o de homomorfismo de corpos em torno de 1870 e o de homomorfismo de anel somente em 1920.. HOMOMORFISMO DE ANÉIS Definição 1 Dados dois anéis A e B, uma função

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(44) A

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(46) B é chamada de um homomorfismo (de anéis) se para todo a, b A , vale: H1. (a + b) = (a) + (b); H2. (a . b) = (a) . (b); H3. (1A) = 1B (ou, simplesmente, (1) = 1).. Definição 2 Um homomorfismo

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(48) A

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(50) B é chamado de um isomorfismo se for, também, uma bijeção. Nesse caso, dizemos que A e B são isomorfos e denotamos A B. Lembre que dois conjuntos A e B têm o mesmo número de elementos, ou seja, eles têm a mesma cardinalidade, se existe uma bijeção entre A e B. Assim, se A e B são isomorfos, então eles têm exatamente o mesmo número de elementos. Isso acontece porque se

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(52) A

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(54) B é um isomorfismo, então, em particular, é uma bijeção entre A e B.. Definição 3 O núcleo de um homomorfismo de anéis

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(56) A

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(58) B é o conjunto N( ) = {x A (x) = 0B}, onde 0B é o elemento neutro do anel B.. 16. CEDERJ.

(59) 2. Vejamos agora dois dos exemplos mais simples de homomorfismo. AULA. de anéis. Exemplo 1 O exemplo mais simples de todos é o homomorfismo identidade. Dado um anel A, o homomorfismo identidade é definido pela função identidade em A, ou seja, id : A A, id(a) = a. Vamos verificar que a identidade é, de fato, um homomorfismo de anéis. Para isso, precisamos verificar os três axiomas de homomorfismos. Sejam a, b A, então H1. id(a + b) = a + b = id(a) + id(b); H2. id(a . b) = a . b = id(a) . id(b); H3. id(1A) = 1A. Assim, id é um homomorfismo. Mais ainda, o homomorfismo identidade é bijetor, portanto, ele é também um exemplo de um isomorfismo. Vamos calcular seu núcleo. Nesse caso, N(id) = {x. A. id(x) = 0A}. Ou seja, queremos resolver a equação id(x) = 0A. Como id(x) = x, a equação se transforma em x = 0A, ou seja, sua única solução é x = 0A, portanto, N(id) = {0A}. Exemplo 2 Seja n. Z, n > 1. Considere a função : Z Zn definida por. (a) = a , onde a é classe residual módulo n do inteiro a. Vamos verificar que é um homomorfismo de anéis. De fato, dados a, b Z, então H1. (a + b) = a + b = > + b = (a) + (b); H2. (a . b) = a . b = > . b = (a) . (b); H3. (1) = 1 = 1Zn. Assim, é um homomorfismo. Mais ainda, o homomorfismo é sobrejetor, pois, dado k. Zn , então (k) = k. No entanto, não é injetor,. pois (0) = 0 e (n) = n = 0, ou seja, (0) = (n) com n 0. Portanto, não é um isomorfismo. Vamos calcular, agora, o núcleo de . Nesse caso, N( = {x

(60) Z (x) = 0}. Ou seja, queremos resolver a equação (x) = 0. Como (x) = x , a equação se transforma em x = 0, e suas soluções são os inteiros múltiplos de n, portanto, N( = nZ = {kn k

(61) Z}. Vamos, agora estudar uma série de propriedades fundamentais sobre os homomorfismos. CEDERJ. 17.

(62) Álgebra II | Homomorfismos. Proposição 1 Seja

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(64) A

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(66) B um homomorfismo de anéis. Temos: 1.

(67) (0A) = 0B (ou, simplesmente,

(68) (0) = 0). 2. (– a) = – (a) para todo a A. 3. (a – b) = (a) – (b), para todo a, b A. 4. (A) é um subanel de B, onde o conjunto imagem de A, (A), é definido por (A) = { (a) a A}. 5. Se A' é um subanel de A, então (A') é um subanel de (A). 6. Se B' é um subanel de B, então (B') é um subanel de A, onde o conjunto imagem inversa de B, (B') é definido por (B') = {a A (a) B'} . 7. Se I é um ideal de A, então (I) é um ideal de (A). 8. Se J é um ideal de B, então (J) é um ideal de A. 9. N( ) é um ideal de A. 10. Se é um isomorfismo (ou seja, é uma função bijetora), então

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(70) B

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(72) A é um homomorfismo de anéis e, portanto, é também um isomorfismo.. Demonstração Algumas das demonstrações deixaremos como atividade para você. Demonstraremos algumas delas. 1. Temos 0 + (0) = (0) = (0 + 0) = (0) + (0), e, cancelando (0) nos dois lados (lembre da lei do cancelamento), segue que

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(91) (0) = 0. 2. Aplicando, inicialmente, a propriedade anterior, temos 0 = (0) = (a)+ (– a)) = (a) + (– a), para todo a. A. Logo, pela unicidade do elemento simétrico, segue. que (– a) = – (a).. 18. CEDERJ.

(92) 2. 3. Temos. AULA. (a – b) = (a + (– b)) = (a)+ (– b), = (a)+ (– (b)), pela propriedade 2 = (a) – (b).. 4. Como A

(93) , segue que (A)

(94) . Agora, dados (a), (b)

(95) (A) e aplicando a propriedade 3, temos que

(96)

(97).

(98)

(99)

(100)

(101)

(102)

(103)

(104)

(105)

(106) (a) – (b) = (a – b)

(107) (A),. e, também,

(108)

(109).

(110)

(111)

(112)

(113)

(114)

(115)

(116)

(117) (a) . (b) = (a . b)

(118) (A).. Assim, pela Proposição 1 da Aula 5, segue que (A) é um subanel de B. Tente você, agora, provar a próxima propriedade.. ATIVIDADE 1. Demonstre a propriedade 5, ou seja, prove que se A' é um subanel de A, então (A') é um subanel de (A).. ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________. CEDERJ. 19.

(119) Álgebra II | Homomorfismos. B', então 0A

(120) (B')

(121) e, portanto, (B')

(122) . Agora, dados a, b

(123)

(124) (B'), então (a), (b) B'

(125) 6. Como

(126) (0A) = 0B e 0B. e segue que

(127)

(128). (a – b) = (a) – (b) B',. pois B' é subanel de B. Portanto, a – b

(129) (B'). Também temos

(130)

(131). (a . b) = (a) . (b) B',. pois B' é subanel de B. Portanto, a . b.

(132)

(133) (B'). Assim, provamos que.

(134) (B') é um subanel de A. É sua vez de praticar novamente. ATIVIDADE 2. Demonstre a propriedade 7, ou seja, prove que se I é um ideal de A, então. (I) é um ideal de (A). ______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________. J e (0A) = 0B , então 0A

(135)

(136) (J), e, portanto,

(137) (J)

(138) . Agora, dados a, b

(139)

(140) (J) , então (a), (b) J e, assim, 8. Como 0B. segue que (a + b) = (a) + (b) J, pois J é um ideal de B. Portanto, a + b

(141)

(142) (J). Por outro lado, sejam a A e b

(143)

(144) (J), então vale que (a) (A) e (b) J, e, como J é ideal de B e (A) B, temos (a) . (b) J. Portanto, 20. CEDERJ.

(145) AULA. 2. (a . b) = (a) . (b) J, ou seja, a . b

(146)

(147) (J). Assim, concluímos que

(148) (J) é um ideal de A. 9. Para mostrar que o núcleo é um ideal, usamos a propriedade anterior. De fato, N( ) {x

(149) A (x) = 0B}

(150).

(151)

(152)

(153)

(154)

(155)

(156)

(157)

(158).

(159).

(160)

(161)

(162)

(163)

(164)

(165)

(166)

(167)

(168)

(169) ({0B }),. e, como {0B } é um ideal de B, segue, pela propriedade 8, que N( ) é um ideal de A. Assim, concluímos a demonstração da Proposição 1. Veja que deixamos as propriedades 5, 7 e 10 como atividades a serem desenvolvidas por você.. ATIVIDADE 3. Demonstre a propriedade 10 da Proposição 1, ou seja, prove que se é um isomorfismo (ou seja, é um homomorfismo bijetor), então

(170)

(171) B

(172)

(173) A é um homomorfismo de anéis.. _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ ______________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________. CEDERJ. 21.

(174) Álgebra II | Homomorfismos. Os homomorfismos são ricos em propriedades, e agora vamos ver algumas dessas propriedades relacionadas ao núcleo. As primeiras duas propriedades que seguem devem trazer à lembrança as propriedades equivalentes para o núcleo de uma transformação linear e para um homomorfismo de grupos.. Proposição 2 Seja

(175)

(176) A

(177)

(178) B um homomorfismo de anéis e N( ) o núcleo de . Então, 1. (a) = (b) se e somente se b – a

(179) N( ). 2. é injetora se e somente se N( ) = {0}. 3. Se A é um corpo, então é injetora.. Demonstração 1. () Suponhamos que (b) = (a) e vamos mostrar que b – a.

(180) N( ). De fato, (a) = (b) implica que (b) – (a) = 0. Assim, (b – a) = (b) – (a) = 0, ou seja, b – a

(181) N( ). () Reciprocamente, suponhamos que b – a.

(182) N( ) e vamos. mostrar que (a) = (b). De fato, se b – a

(183) N( ), então (b – a) = 0. Assim, (b) – (a) = (b – a) = 0, ou seja, (a) = (b). 2. () Suponhamos, primeiramente, que é injetora. Vamos mostrar que N( ) = {0}. De fato, se é injetora, considere a.

(184) N( ). Então (a) = 0, e. como (0) = 0, segue que (a) = (0). Como é injetora, temos a = 0. Assim, N( ) = {0}. () Reciprocamente, suponha que N( ) = {0}. Vamos mostrar que

(185) é injetora. Se (a) = (b), então, pela propriedade anterior, temos que b –

(186) a.

(187) N( ). Como estamos supondo que N( ) = {0}, segue que b – a = 0, ou seja, a =

(188) b , o que prova que é injetora. 3. Suponhamos que A é corpo e seja a

(189) A com a 0. Então. existe a, o inverso multiplicativo de a, que satisfaz a . a = 1A. Assim,. 22. CEDERJ.

(190) 2. (a) . (a–1) = (a . a –1), pois é homomorfismo. AULA.

(191)

(192)

(193)

(194)

(195)

(196)

(197)

(198)

(199)

(200)

(201)

(202)

(203)

(204)

(205)

(206)

(207)

(208)

(209)

(210) =

(211) (1A) =

(212) 1B , pois é homomorfismo. Portanto, concluímos que (a) é invertível e, em particular, (a)

(213) 0. Logo, a N( ) para todo a A com (a)

(214) 0, o que nos leva a concluir que N( ) = {0}. Pela propriedade anterior, segue que é injetora. Exemplo 3 Vamos descrever um homomorfismo muito importante, chamado homomorfismo canônico (ou homomorfismo projetor). Seja A um anel e I um ideal de A. Seja.

(215) A A/I, definida por (a) = > , onde > = a. + I

(216) A/I é a classe residual de a

(217) A módulo I. Vamos verificar, agora, que é um homomorfismo de anéis. De fato, sejam a, b

(218) A, então H1. (a + b) = a + b = > + b = (a) + (b); H2. (a . b) = a . b = > . b = (a) . (b); H3. (1A) = 1 A = 1A/I . Assim, é um homomorfismo. Mais ainda, o homomorfismo é sobrejetor, pois para qualquer >

(219) A/I temos que (a) = > . Chamamos.

(220) A A/I de homomorfismo canônico. Vejamos, agora, como se comportam os homomorfismos sob a operação de composição de funções.. Proposição 3 Sejam g : A B e

(221) B C dois homomorfismos de anéis. Então: a) A composição

(222)

(223) g : A C é um homomorfismo de anéis; b) Se A B e B C, então A C , isto é, se A é isomorfo a B e B é isomorfo a C, então A é isomorfo a C. A demonstração desta proposição faz parte das Atividades Finais da aula.. CEDERJ. 23.

(224) Álgebra II | Homomorfismos. Para terminar esta aula, queremos enfatizar para você que os anéis isomorfos têm propriedades idênticas, e eles diferem apenas na apresentação de seus elementos. O que importa é que o isomorfismo preserva todas as propriedades entre tais anéis. A Atividade Final é um desafio para você. Lembre-se de consultar os resultados apresentados. Leia várias vezes as demonstrações das propriedades e tente imitá-las. Tenha sempre papel e lápis à mão e, se for preciso, apague e reescreva quantas vezes for necessário. Achamos que se você entendeu bem esta aula, então terá capacidade de sobra para resolver essas atividades. Vamos lá!. ATIVIDADES FINAIS 1. Sejam A um anel e a A – {0}. Defina a função a

(225)

(226) A

(227) A por a (x) = a . x. a. Mostre que a é sobrejetora se e somente se a é invertível. ___________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ b. Mostre que se A é um domínio de integridade, então a é injetora. ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ c. a é um homomorfismo? ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 2. Prove a Proposição 3. ____________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________. 24. CEDERJ.

(228) 2 AULA. RESUMO Nesta aula, foram apresentados os seguintes resultados: i. O conceito de homomorfismo entre dois anéis A e B, ou seja, uma função

(229)

(230) A

(231).

(232) B que para todo a, b

(233) A, satisfaz: H1. (a + b) = (a) + (b); H2. (a . b) = (a) . (b); H3. (1A) = 1B (ou, simplesmente, (1) = 1). ii. O conceito de isomorfismo, ou seja, um homomorfismo que também é uma bijeção. iii. As propriedades apresentadas e demonstradas servem para verificar que os homomorfismos preservam algumas estruturas dos anéis. iv. O conceito de núcleo de um homomorfismo, ou seja, o núcleo do homomorfismo.

(234)

(235) A

(236)

(237) B é o conjunto N( ) {x

(238) A (x) = 0B}

(239) . Algumas propriedades importantes dos homomorfismos são verificadas pelo comportamento do seu núcleo. v. O homomorfismo projetor, ou seja, dado o anel A e I um ideal de A, é definido por.

(240) A A/I, (a) = >. (lembre que > = a + I A/I).. RESPOSTAS. Atividade 1 Como A'

(241) , segue que (A')

(242) . Agora, dados (a), (b)

(243) (A'), temos, aplicando a propriedade 3,.

(244)

(245)

(246)

(247)

(248)

(249)

(250)

(251)

(252)

(253)

(254)

(255)

(256)

(257)

(258)

(259)

(260)

(261)

(262)

(263)

(264)

(265)

(266)

(267)

(268)

(269)

(270)

(271)

(272)

(273)

(274)

(275)

(276)

(277)

(278) (a) – (b) = (a – b)

(279) (A'), e, também,. (a) . (b) = (a . b)

(280) (A'). Assim, pela Proposição 1 da Aula 5, segue que (A') é um subanel de (A). CEDERJ. 25.

(281) Álgebra II | Homomorfismos. Atividade 2 Como 0A I e 0B = (0A), então 0B. (I), e, portanto, (I)

(282) . Agora, dados. (a), (b) (I) então segue que

(283)

(284).

(285). (a) + (b) = (a + b)

(286) (I),.

(287) (I) . Vamos considerar, agora, (a) (A) então, como a A, b I I é ideal, temos a . b I. Portanto,. ou seja, (a) + (b).

(288)

(289).

(290). e (b).

(291) (I),. (a) . (b) = (a . b)

(292) (I),. ou seja, (a) . (b)

(293) (I). Assim, concluímos que (I) é um ideal de (A).. Atividade 3 Dados x, y B, sejam a = –1

(294) (x) e b = –1

(295) (y), ou seja, (a) = x e (b) = y. Como é um homomorfismo, sabemos que.

(296)

(297).

(298). (a + b) = (a) + (b) e (a . b) = (a) . (b).. Temos, então, que.

(299)

(300).

(301). –1

(302) (x + y) = –1 ( (a) + (b)), pela escolha de x e y = –1 ( (a + b)), pois é homomorfismo = a + b, pois –1

(303)

(304) id = –1

(305) (x) + –1

(306) (y).. Lembre que id representa a função identidade. Temos, também,.

(307)

(308).

(309).

(310)

(311) –1

(312) (x . y) = –1 ( (a) . (b)), pela escolha de x e y = –1 ( (a . b)), pois é homomorfismo = a . b, pois –1

(313)

(314) id = –1

(315) (x) . –1

(316) (y).. Finalmente, como (1A) = 1B e é bijetora, segue que –1 (1B) = 1A. Concluímos, assim, que –1 : B

(317) A é um homomorfismo.. 26. CEDERJ.

(318) AULA. 2. Atividade Final 1 a. () Suponha que a é sobrejetora. Vamos mostrar que a é invertível. De fato, como a é sobrejetora, existe a' A tal que a (a') = 1A, isto é, a . a' = 1A. Logo, a' é o elemento inverso de a, isto é, a é invertível. () Reciprocamente, suponha que a é invertível. Vamos mostrar que a é sobrejetora. Seja b A um elemento qualquer. Temos que

(319)

(320).

(321). a (a. b) = a . (a. b), pela definição de a. = (a . a) . b = 1A . b, pois a é invertível = b. Mostramos, assim, que para qualquer que seja b. A, existe x = a-1 . b tal que. a (x) = a. Portanto, concluímos que a é sobrejetora. b. Vamos mostrar que é injetora. Suponhamos que a

(322) (x) = a(y), isto é,. a . x = a . y. Logo, a . x – a . y = 0 e, portanto, a . (x – y ) = 0. Como A é domínio de integridade e a 0, segue que x – y = 0, isto é, x = y, o que prova que a é injetora. c. a é homomorfismo somente no caso em que a = 1A , pois.

(323)

(324). a

(325) (x . y) = a . (x . y ) e.

(326)

(327). a

(328) (x) . a

(329) (y) = a2 . (x . y ).. Para serem iguais, é necessário que a = a2, isto é, a = 1A.. CEDERJ. 27.

(330) Álgebra II | Homomorfismos. Atividade Final 2 Vamos verificar os axiomas de homomorfismo para a composição g. Dados. a, b A, temos H1. ( g)( a + b) =

(331) (g ( a + b)), pela definição de composição =

(332) (g (a) + g (b)), pois g é homomorfismo; =

(333) (g (a)) +

(334) (g (b)), pois é homomorfismo; H2. ( g)( a . b) =

(335) (g ( a . b)), pela definição de composição =

(336) (g (a) . g (b)), pois g é homomorfismo; =

(337) (g (a)) .

(338) (g (b)), pois é homomorfismo; H3. ( g)(1A) = (

(339) g (1A)), pela definição de composição = (1B), pois g é homomorfismo; = 1C , pois é homomorfismo. Assim, provamos que a composição g é um homomorfismo de anéis.. b. Suponhamos que A é isomorfo a B e B é isomorfo a C. Queremos provar que. A é isomorfo a C. Como A B e B C, então existem isomorfismos g

(340) A

(341) B e

(342) B

(343) C. Como e g são homomorfismos, então, pelo item a), g

(344) A

(345) C também é um homomorfismo. Agora, você sabe que se e g são funções bijetoras, então a composição g também é bijetora. Portanto, concluímos que g

(346) A

(347). C é um homomorfismo bijetor, ou seja, g

(348) A

(349) C é um isomorfismo de anéis. Assim, concluímos que A C .. 28. CEDERJ.

(350) AULA. Teorema do homomorfismo. 3. Metas da aula. objetivos. Apresentar o teorema do homomorfismo de anéis e sua demonstração. Realizar outra demonstração do teorema do resto chinês.. Ao final desta aula, você deverá ser capaz de: • Demonstrar o teorema do homomorfismo. • Demonstrar que os anéis Zn e Z /nZ são isomorfos.. Pré-requisitos Você vai precisar dos conhecimentos sobre anéis e ideais, desenvolvidos nas Aulas 21 a 23 de Álgebra I, e Aulas 1 e 2 deste curso..

(351) Álgebra II | Teorema do homomorfismo. INTRODUÇÃO. Todo homomorfismo gera um isomorfismo entre um anel quociente e o anel imagem do homomorfismo. Esse importante resultado será o tema desta aula. Como aplicação, vamos rever o teorema do resto chinês, visto no seu curso de Álgebra I, obtendo, agora, uma nova demonstração. Vamos começar revendo a definição de isomorfismo de anéis, apresentada na aula anterior.. DEFINIÇÃO 1 Um homomorfismo

(352)

(353) A

(354)

(355) B é chamado de um isomorfismo se for, também, uma bijeção. Nesse caso, dizemos que A e B são isomorfos e denotamos A

(356) B. O resultado principal desta aula, o teorema do homomorfismo, é similar a um resultado correspondente sobre os homomorfismos de grupos, apresentado no curso de Álgebra I. Lembre, da aula anterior, que dado o homomorfismo de anéis

(357)

(358) A

(359)

(360) B, então o conjunto imagem de A, (A), é um subanel de B e o núcleo de , N( ), é um ideal de A.. TEOREMA DO HOMOMORFISMO DE ANÉIS Dado um homomorfismo

(361)

(362) A

(363)

(364) B entre os anéis A e B, então existe um isomorfismo de anéis.

(365) : A/N ( ) A

(366) que satisfaz.

(367)

(368)

(369) S, onde S A

(370)

(371) A/N ( ) é o homomorfismo canônico. Representamos esse resultado pelo seguinte esquema. A. . A

(372)

(373) B. .

(374) A/N ( )

(375) A/N ( )

(376) A É de suma importância que você acompanhe passo a passo todas as etapas desta demonstração. Ela é longa e será dividida em várias etapas para facilitar a sua compreensão. Para que você não se perca na argumentação, leia e releia com atenção cada uma de suas etapas. Certifique-se de que você entendeu cada passagem e faça suas próprias anotações, justificando as passagens que você considera mais difíceis. Vamos lá então! 30. CEDERJ.

(377) AULA. 3. Demonstração Vamos dividir a demonstração em alguns passos. 1o Passo: Vamos definir uma função

(378) : A/N( ) A! segundo o diagrama anterior.. (a ) (a) para todo a a + N( ) A/N( ). Então, precisamos provar que é, de fato, uma função bem definida, o que significa mostrar que se a b, então (a ) (b), ou seja, se a b, então (a) (b). Suponhamos, então, que a b. Da aula anterior, Para isso, definimos. sabemos que N( ) é um ideal de A, logo, a – b N( ) e, portanto, (a – b) 0B. Assim,

(379)

(380)

(381)

(382)

(383)

(384)

(385)

(386)

(387)

(388)

(389)

(390)

(391)

(392) (a) – (b) (a – b) 0B, ou seja,

(393)

(394)

(395)

(396)

(397)

(398)

(399)

(400)

(401)

(402)

(403)

(404)

(405)

(406) (a) (b), ou, equivalentemente, pela definição de , que (a ) (b). Concluímos, assim, que é, de fato, uma função de A/N ( ) em (A). 2o Passo: Vamos mostrar que. é um homomorfismo. Para isso, basta. verificar que satisfaz os axiomas de homomorfismo vistos na Aula 2. Se a , b A/N ( ), temos: H1.. (a + b) (a + b) (a + b) pela definição de

(407)

(408)

(409)

(410)

(411)

(412)

(413)

(414)

(415)

(416)

(417)

(418)

(419)

(420) (a) + (b) pois

(421) é homomorfismo (a) + b

(422) pela definição " H2.. (a . b) (a . b) (a . b) pela definição de

(423)

(424)

(425)

(426)

(427)

(428)

(429)

(430)

(431)

(432)

(433)

(434)

(435) (a) . (b) pois

(436) é homomorfismo (a) . (b)

(437) pela definição " H3.. (1A)

(438) (1A) pela definição de

(439) 1A pois

(440) é homomorfismo. Concluímos, assim, que a função. é um homomorfismo entre. os anéis A/N ( ) em (A). CEDERJ. 31.

(441) Álgebra II | Teorema do homomorfismo. 3o Passo: Vamos provar, agora, que. é uma função bijetora.. Vamos começar provando que ela é injetora. Pela Proposição 2, item 2, da Aula 7, basta mostrar que N ()

(442) #0A$. Seja a. N(), então, pela definição de , (a) (a ) 0B, ou seja, a N( ). Portanto, a

(443) a % N( ) 0A. Isso prova que N ()