O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA

(1)

Hewlett-Packard

O ESTUDO DA

CIRCUNFERÊNCIA

Aulas 01 a 05

(2)

Sumário

EQUAÇÃO REDUZIDA DA CIRCUNFERÊNCIA ... 2

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ... 2

EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA ... 2

... 2

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA ... 3

Ponto interno a uma circunferência ... 3

Ponto pertencente a uma circunferência ... 3

Ponto externo a uma circunferência ... 3

... 3

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA ... 4

Reta secante a uma circunferência ... 4

Reta tangente a uma circunferência ... 4

Reta externa a uma circunferência ... 4

GABARITO ... 5

(3)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 2

AULA 01

EQUAÇÃO REDUZIDA DA

CIRCUNFERÊNCIA

Considere um plano cartesiano xOy, com O

 

0, 0 . Uma circunferência contida nesse plano, de centro



0, 0



C x y e raio R, com R  , tem sua equação 0 reduzida na forma



 

2



2 ₂

0 0

x x  y y R

Em que



x y,



representa um ponto qualquer desta circunferência.

Obs.1: Um ponto pertence a uma circunferência se, e somente se, ele for uma das soluções de sua equação reduzida.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. Verifique se os pontos A

 

3, 2 e B

 

4, 5 pertencem a circunferência  de equação



 

2



2

3 2 16

x  y  .

1.2. Determine a equação reduzida da circunferência

de centro C



2, 1 e raio 5.



EQUAÇÃO GERAL DA

CIRCUNFERÊNCIA

A equação reduzida de uma circunferência pode ser reescrita na forma

2 2 2 2 2

0 0 0 0

2 2 0

x  y  x x y y x y R  . Se substituirmos 2x₀ por a, 2y₀ por b e



2 2 2



0 0

x y R por c, teremos a equação geral da circunferência, que será escrita como segue.

2 2 ₀

x y ax by c   Obs.2: Nem todas as equações da forma

2 2 ₀

x y ax by c   representam equações de circunferência, para verificar é necessário reescrever a mesma na forma reduzida e verificar se existe a circunferência descrita pela equação.

Obs.3: Para reescrever uma equação da forma geral para reduzida geralmente é utilizada a técnica de completar quadrados.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.3. Encontre, em cada caso, a equação geral e a

equação reduzida da circunferência de centro C e raio

r.

a) C 



1, 2



e r 1 . b) C  



2, 3



e r 4 c) C

 

0, 0 e r 11 d) C

 

2, 1 e r  2

1.4. Obtenha a equação reduzida da circunferência

que tem um diâmetro com extremidades

 

1, 3 e

 

5, 7 .

1.5. Determine o centro e o raio da circunferência de

equação x2y24x6y  . 3 0

1.6. A circunferência  encontra-se no terceiro

quadrante e, tendo raio 3, tangencia os eixos coordenados. Qual é sua equação reduzida?

Como completar quadrados?

Para completar quadrados vamos relembrar inicialmente de como desenvolvemos um quadrado

perfeito:

Visto isso, podemos completar quadrados

adicionando o que falta na expressão, conforme ilustra o exemplo a seguir:

Vamos completar quadrados na expressão .

Comparando com o produto notável perceba que temos os dois primeiros termos da parte a direita se considerarmos que , assim o termo que está faltando, seria o . Adicionando e subtraindo este termo, para não alterar o valor da expressão, temos:

Assim a expressão que não tinha um quadrado perfeito agora passou a ter.

(4)

1.7. É única a circunferência que passa pelos pontos

 

2, 5 ,

 

1, 6 e



3, 0



? Qual é a sua equação reduzida?

1.8. Dada a circunferência



x1

 

2 y5



220, ache o ponto diametralmente oposto a



1, 1



.

AULA 02

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UM

PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA

Ponto interno a uma circunferência

Um ponto P x y é interno a uma circunferência



,



de centro C x y e raio R quando a distância



0, 0



entre P e C é menor que R, ou seja, dPC . R

Ponto pertencente a uma circunferência

Um ponto P x y pertence a uma circunferência



,





0, 0



entre P e C é igual a R, ou seja, dPC . R

Ponto externo a uma circunferência

Um ponto P x y é externo a uma circunferência



,





0, 0



entre P e C é maior que R, ou seja, dPC  . R

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.1 Determine em cada item a seguir a posição relativa

entre o ponto P e a circunferência  . a) P

 

2, 3 e :



x2

 

2 y1



216 b) P

 

3, 5 e :



x2

 

2 y1



2 8 c) P



2, 1 e



:



x1

 

2 y2



218

2.2 Seja p um número real, determine os valores de p

para os quais o ponto



3, p seja interno à



circunferência de equação

2 2 ₄ ₂ _{11 0}

x y  x y  . TAREFA 1 – No capítulo “Circunferência” fazer as

questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 1 a 4, 6, 9, 10 e 11.

Outro modo de determinar a posição relativa entre um ponto e uma circunferência

Outro modo de verificar a posição relativa entre um ponto P e uma circunferência é substituir o ponto na equação da circunferência, aí teremos três possibilidades de resultado.

• Se o número obtido no lado esquerdo for

menor que o obtido no lado direito, então P é interno à circunferência;

• Se o número obtido no lado esquerdo for igual

ao obtido no lado direito, então P pertence à circunferência;

• Se o número obtido no lado esquerdo for

maior que o obtido no lado direito, então P é externo à circunferência;

(5)

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA

RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA

Reta secante a uma circunferência

Uma reta s é secante a uma circunferência de centro



0, 0



C x y e raio R quando a distância entre s e C é

menor que R, ou seja, dC s,  . R

Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência terão dois pontos de intersecção.

Reta tangente a uma circunferência

Uma reta s é tangente a uma circunferência de centro C x y e raio R quando a distância entre s



0, 0



e C é igual a R, ou seja, dC s,  . R

Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência terão exatamente um ponto de intersecção.

Reta externa a uma circunferência

Uma reta s é externa a uma circunferência de centro



0, 0



C x y e raio R quando a distância entre s e C é

maior que R, ou seja, dC s,  . R

Obs.4: Neste caso a reta e a circunferência não terão pontos de intersecção.

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

2.3 Determine a posição relativa entre a reta r e a

circunferência  em cada item a seguir. a) r x   e : 2 0 :4x24y225; b) r x:2 3y  e 3 0 2 2 :x y 4x 8y 7 0       ; c) r x y:    e 5 0 :x2y22x2y16 0 ; d) r x:2 4y  e 1 0 :



x5

 

2 y2



216.

2.4 Discuta em função do parâmetro real k a posição

relativa entre a circunferência

2 2

:x y 4x 6y 5 0

      e a reta :r x y k  0 .

2.5 Determine a equação da reta tangente a

circunferência de equação



x2

 

2 y1



225 e que passa pelo ponto dado em cada item a seguir.

Outro modo de determinar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência

Outro modo de verificar a posição relativa entre um reta r e uma circunferência é resolver o sistema linear determinado por suas equações.

• Se obtivermos duas soluções distintas,

então a reta s é secante à circunferência;

• Se obtivermos duas soluções iguais, então

a reta s é tangente à circunferência;

• Se não obtivermos solução real, então a

(6)

Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 5 a) P

 

5, 3 ; b) P 



3, 4



GABARITO

EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS

1.1. A  e B  1.2.



x2

 

2 y1



225 1.3. a)



x1

 

2 y2



2 e 1 x2y22x4y  4 0 b)



x2

 

2 y3



216 e x2y24x6y  3 0 c) x2y2121 e x2y2121 0 d)



x2

 

2 y1



2 e 2 x2y24x2y  3 0 1.4.



x3

 

2 y5



2 8 1.5. C



2, 3 e



R  4 1.6.



x3

 

2 y3



2 9 1.7. x2y28x4y13 0 1.8.

 

3, 9 2.1. a) interior a P  b) exterior a P  c) P  2.2.



p | 1  15   x 1 15



2.3. a) secante b) secante c) exterior d) tangente

2.4. 5 3 2 é secante a 5 3 2 é exterior a 5 3 2 é tangente a k r k r k r         _{ } _       2.5. a) 3 29 4 4 y  x

TAREFA 2 – No capítulo “Circunferência” fazer as

questões do Praticando em Sala de Aula (PSA) de 13 a 17, 20, 21, 25, 29, 31 e 33.