Extensão de uma solução K-Jato de uma estrutura tubular

Texto

(1)Extens˜ ao de uma Solu¸c˜ ao k−Jato de uma Estrutura Tubular Beto Rober Bautista Saavedra TESE APRESENTADA AO ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO PARA ˜ DO GRAU DE DOUTOR OBTENC ¸ AO EM ´ MATEMATICA. ´ Area de Concentra¸cão :Matem´ atica Orientador: Prof. Dr. Joaquim Tavares de Melo Neto Recife, dezembro de 2004.

(2) Extens˜ ao de uma Solu¸c˜ ao k−Jato de uma Estrutura Tubular. Este exemplar corresponde à reda¸caõ final da tese devidamente corrigida e defendida por Beto Rober Bautista Saavedra e aprovada pela comissão julgadora.. Recife,16 de dezembro de 2004.. Banca examinadora: • Prof. Dr. Joaquim Tavares (Orientador) (DMat-UFPE) • Prof. Dr. Fernando Cardoso (DMat-UFPE) • Prof. Dr. Clàudio Cuevas (DMat-UFPE) • Prof. Dr. Jorge Guillermo Hounie (DM-UFSCar) • Prof. Dr. Paulo Domingos Cordaro (IME-USP). 1.

(3) Resumo Na presente tese introduzimos os conceitos de uma Solu¸cão k−Jato e de uma (Φ, κ)−Envoltória Convexa para provar a versão semi-local do Teorema de Extensão Tubular de Bochner para categoria das estruturas tubulares anal´ıticas reais dando uma representa¸cão integral para a extensão .. Palavras-chaves: K-Jato; Estrutura Tubular; Teorema de Extensão de Bochner. 2.

(4) Abstract In the present work we introduce the notions of a k−Jet Solution and of a (Φ, κ)−Convex Envelope to prove a semi-local Bochner’s Tube Extension Theorem for the category of real analytic tubular structures giving a integral representation for the extension.. Keywords: K-Jet; Tube structure;Theorem Bochners extension. 3.

(5) Agradecimentos. Agrade¸co ao meu orientador, professor Joaquim Tavares, pela dedica¸cão e paciência demonstrados durante a orienta¸caõ deste trabalho. Agrade¸co também aos professores do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco pela ajuda matemática e compreensão profissional dos problemas por mim enfrentados nestes cinco anos de doutorado. Não posso esquecer de agradecer aos professores do Departamento de Matemática da Universidade Federal da Bahia por sua amizade e apoio.. Finalizando, dedico este trabalho a meus filhos que dá sentido à minha existência.. 4.

(6) Conte´ udo. Introdu¸ c˜ ao. 6. 1 Solu¸ c˜ ao k−Jato e (Φ, κ)−Envolt´ oria Convexa. 10. 1.1 A Estrutura Tubular: defini¸cão e generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....10 1.2 Solu¸caõ k−Jato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . . 12 1.3 (Φ, κ)−Envoltória Convexa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . 15 2 O Teorema de Extens˜ ao do Tubo de Bochner Truncado. 21. 2.1 Dados assumidos neste cap´ıtulo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . ....21 2.2 Preliminares do Teorema de Extensão do Tubo de Bochner Truncado. . . . . . . . . . . . .....22 2.2.1 Nota¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . .....22 2.2.2 Constru¸caõ de uma cole¸cão de fun¸cões {v² : ² > 0} : defini¸cão e propriedades...23 2.3 Teorema de Extensão do Tubo de Bochner Truncado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . ....30 2.3.1 Extensão de uma Solu¸cão k− Jato de uma Estrutura Tubular Anal´ıtica L.... . . .30 2.3.2 Extensão de uma Solu¸cão Distribu¸cão de Sobolev de uma Estrutura Tubular Anal´ıtica L . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ..33 2.4 Demonstra¸caõ do Teorema 2.2.7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ...40 Simbologia. 57. Bibliografia. 60. 5.

(7) Introdu¸c˜ ao Em 1906, Hartogs [26] provou um notável teorema de extensão . Teorema 1. Sejam Ω um subconjunto aberto de Cm , m ≥ 2, e o subconjunto compacto K ⊂ Ω tal que o subconjunto Ω \ K é conexo. Se u é uma fun¸ca õ holomorfa sobre Ω \ K, ent˜ ao existe uma fun¸ca õ holomorfa u b sobre Ω tal que u b |Ω\K = u.. Em particular, o teorema 1 afirma que toda fun¸cão holomorfa sobre o subconjunto aberto e conexo Cm − K, m ≥ 2, onde K é um subconjunto compacto, pode ser estendida a todo Cm como uma fun¸caõ holomorfa. Recentemente, Skawarczy´ nski [33] dá uma prova elementar deste teorema quando K = Ω é um dom´ınio aberto e limitado com bordo ∂Ω conexo. Em 1943, Bochner [9] provou que toda fun¸cão holomorfa u, definida num aberto tubular conexo b onde R + iΩ j Cm , m ≥ 2, estende-se como uma fun¸cão holomorfa u b, definida sobre Rm + iΩ, m. b é a Envoltória Convexa de Ω em Rm . Este Teorema de Extensão Tubular de Bochner nos Ω permite provar o caso particular do Teorema de Extensão de Hartogs, mencionado acima, como esbo¸caremos a seguir. P. Se a aplica¸caõ Cm −→ Rm é a proje¸cão sobre a parte imaginária, P (x + it) = t, então Cm − K ⊃ Rm + i[Rm − P (K)] Como Rm − P (K) é um subconjunto aberto conexo, e sua envoltória convexa é Rm , ent˜ ao o caso particular do Teorema de Extensão de Hartogs é demonstrado.Observamos que no esbo¸co da prova não precisamos que K seja limitado senão somente fechado. Também, Bochner [9] prova um refinamento do Teorema de Extensão de Hartogs. Ele demonstra que se Ω ⊂ Cm , m ≥ 2, é um aberto limitado com bordo ∂Ω ∈ C ∞ , tal que Cm − Ω é conexo, ent˜ ao. qualquer fun¸caõ u ∈ C ∞ (∂Ω; C) que satisfaz as equa¸cões tangenciais de Cauchy-Riemann pode ser 6.

(8) estendida suavemente como uma fun¸cão que é holomorfa sobre Ω. Registramos este teorema como a Vers˜ ao de Bochner do Teorema de Extens˜ ao de Hartogs. Anteriormente, Severi [32] prova que se Ω ⊂ Cm é um aberto com bordo ∂Ω real anal´ıtico ent˜ ao qualquer fun¸caõ real anal´ıtica de ∂Ω que satisfaz as equa¸cões tangenciais de Cauchy-Riemann pode ser estendida a uma vizinhan¸ca de Ω como uma fun¸cão holomorfa. Para subconjuntos abertos Ω com bordo conexo ∂Ω de classe C 2 , Fichera [20] prova que podemos estender uma C 1 −fun¸caõ u que satisfaz as equa¸co˜es tangenciais de Cauchy-Riemann como uma fun¸cão que é holomorfa sobre Ω. Usando a fórmula de Bochner e Martinelli, Harvey e Lawson [23] estendem o anterior resultado de Fichera para a C k −categoria. Em 1961, Ehrenpreis [15] deu uma nova prova do Teorema de Extensão de Hartogs. A prova de Ehrenpreis é notavelmente simples e sua principal idéia é um argumento cohomol´ ogico. Uma completa descri¸caõ desta prova com todas as implica¸cões dentro da análise complexa em Cm , m ≥ 2, encontram-se em [34]. Hounie e Tavares [27], usando este método de Ehrenpreis, provaram a Versão de Bochner do Teorema de Extensão de Hartogs para qualquer C ∞ −Estrutura Tubular N L j C T (Rm × Rm ), m ≥ 2. Tais estruturas são finas generaliza¸cões da Estrutura Cauchy-. Riemann em Cm . A hipótese necessária na prova de Hounie e Tavares é o Principio do Máximo [14] que deve satisfazer a parte real de toda solu¸cão homogênea da Estrutura Tubular.Esta propriedade,. válida na Estrutura Cauchy-Riemann em Cm , é equivalente [27] a integrabilidade do 1-n´ıvel da cadeia cohomológica( cadeia complexa )induzida pela Estrutura Tubular (ver [40]). Provaram que para um dom´ınio limitado Ω, com bordo ∂Ω ∈ C ∞ , toda fun¸cão u ∈ C ∞ (∂Ω; C) anulando-se sob a a¸caõ de campos vetoriais tangenciais de L pode ser estendida suavemente como uma solu¸cão u b de. L sobre Ω.. Malgrange e Zerner demonstraram uma versão do Teorema de Extensão Tubular de Bochner. para subconjuntos tubulares R2 × iX ⊂ C2 , onde X é uma curva poligonal em R2 . A extens˜ ao é. cont´ınua sobre R2 × Xb, onde Xb é a envoltória convexa, e holomorfa no interior ( ver um resumo da prova em [17]). Em 1979, Kazlow [28] estende este u ´ltimo resultado para fun¸cões cont´ınuas CauchyRiemann definidas numa subvariedade mergulhada Rm × iX sob certas restri¸cões técnicas sobre X. Os mesmos tipos de resultados anteriores aparecem recentemente nos trabalhos de BoivinDwilewicz [3] e nos trabalhos de Boggess [11], [12], [13]. Em particular, Boggess demonstra a existência destas extensões com o Método de Discos Anal´ıticos.Porém o inconveniente do Método dos 7.

(9) Discos Anal´ıticos é conseguir em geral extensões não -tangenciais. Nestes trabalhos demonstram como estender um CR−dado de uma subvariedade real de Cm ao interior de sua envoltória convexa fechada em Cm quando tais subvariedades são da forma X + iRm , onde X é uma subvariedade. conexa em Rm . Além disso, consideram impl´ıcitamente que a subvariedade M ⊂ Rm não é um hiperplano. Pois, não é verdade, em geral, que cada CR−fun¸cão ,definida num hiperplano real, estende−1. se a um lado como uma fun¸caõ holomorfa. Por exemplo, a fun¸cão u(z1 , . . . , zm ) = e [<(zm )]2 é uma CR−fun¸caõ sobre o hiperplano real M = {=(zm ) = 0} (Ver exemplo 1.2.5 em [40]). Mas, n˜ ao é estendida por uma fun¸caõ holomorfa definida ao menos sobre um lado de M em qualquer vizinhan¸ca de 0.Para verificar isto, basta considerar o Principio de Reflex˜ ao de Schwarz e confrontar −1 2 . Por outro lado, observa-se que com a fun¸caõ holomorfa u(z1 , . . . , zm ) = e zm. {(z1 , . . . , zm ) ∈ Cm : zm = 0} ⊂ M. Verificando assim, a condi¸caõ excludente de Trépeau [37] que garante a existência de um germe de uma hiperf´ıcie complexa, contida em M, passando pelo ponto 0. O exemplo do hiperplano real M nos faz lembrar que para estender CR-fun¸cões tangenciais,nos u ´ltimos 50 anos, foi necessário introduzir certas condi¸co˜es ( algumas delas relacionadas à Forma de Levi) que são extensivamente estudadas no livro [8]. Antes de continuar nossa introdu¸cão , precisamos estabelecer as seguintes nota¸cões : o s´ımbolo BR (0) denota a bola de raio R e centro 0 em Rm ; o conjunto das fun¸cões holomorfas, definidas sobre uma vizinhan¸ca de um subconjunto qualquer F ⊂ Cm , denotaremos por O(F ); e o s´ımbolo TFR denota o subconjunto tubular BR (0) + iF, onde F ⊂ Rm é um subconjunto qualquer.. Andronikof [1] apresenta a Propiedade Local de Bochner dada por Komatsu [29] como segue: Teorema 2. Seja real 0 < ² <. V. 1 2,. a uni˜ ao de dois segmentos [a, b[∪[a, c[ sobre Rm . Para cada n´ umero sejam E² a envolt´ oria convexa fechada do conjunto {a, (1 − 2²)b, c} e. A² = E² − {c}. Ent˜ ao a aplica¸ca õ restri¸ca õ 0. O(TVR ∪ TAR² ) −→ O(TVR ). q 0 é um isomorfismo se R − R > 2 1−² ² sup(|b − a|, |c − a|). O resultado mencionado acima de Malgrange e Zerner nos motiva a pensar que pode refinar-se o Teorema 2 como segue: 8.

(10) Teorema 3. Seja. V. a uni˜ ao de dois segmentos [a, b[∪[a, c[ sobre Rm . Sejam E a envolt´ oria. convexa fechada de {a, b, c} e A = E − [b, c]. Ent˜ ao a aplica¸ca õ restri¸ca õ O(TAR ) −→ O(TVR ) é um isomorfismo. Mas, confrontando com o contra-exemplo de Ye [41], podemos provar que o Teorema 3 n˜ ao é válido. De fato, Ye nos deu um exemplo de uma fun¸cão holomorfa sobre o subconjunto tubular R b e a envoltória convexa de Ω; Porém, aberto TΩR ⊂ C2 que não pode ser estendida a TΩ b , onde Ω ´. se o Teorema 3 for válido, podemos provar que o contra-exemplo de Ye é errôneo.. Porém, Andronikof [1] consiguiu provar, baseando-se no Teorema 2, uma versão semi-local do Teorema de Extensão Tubular de Bochner para a estrutura Cauchy-Riemann em Cm . Teorema 4. Sejam Ω ⊂ Rm um subconjunto aberto, K ⊂ Ω um subconjunto compacto e conexo. 0 b a envolt´ e K oria convexa de K. Ent˜ ao , existe um n´ umero real R > 0 tal que cada fun¸ca õ. R holomorfa sobre TΩR pode ser prolongada holomorficamente a uma vizinhan¸ca de TK b √ 0 R − R > 2 3 diam(K).. 0. se. Observamos que este teorema 4 não dá uma representa¸cão da extensão , mas garante a existência de tal. Em nosso trabalho, como primeiro passo, introduziremos os conceitos de Solu¸cão k−Jato e de (Φ, κ)− Envóltoria Convexa. Logo, desenvolvendo o Método Cohomológico de Extens˜ ao de Ehrenpreis apresentaremos uma versão semi-local do Teorema de Extensão Tubular de Bochner para as estruturas tubulares anal´ıticas.No caso particular da estrutura Cauchy-Riemann de Cm , m ≥ 2, o teorema 4 de Andronikof diferencia principalmente de nossa versão porque nós usamos o inédito conceito de (Φ, κ)− Envóltoria Convexa em lugar de Envoltória Convexa fechada.Mas, conseguimos uma representa¸caõ integral para a extensão .Por outro lado,mostraremos que a (Φ, κ)− Envóltoria Convexa de um compacto está contido na Envoltória Convexa fechada do mesmo compacto (ver corolário 1.3.5).Além disso, estenderemos parcialmente o resultado de Bogges [11](ver corolário 2.3.4). Finalmente,gostar´ıamos de dizer que esta introdu¸cão não é uma completa revisão desta área da Teoria das Fun¸co˜es Complexas de Várias Variáveis,senão uma apresenta¸cão de resultados que formam um alicerce ao nosso trabalho. 9.

(11) Cap´ıtulo 1. Solu¸c˜ ao k-Jato e (Φ, κ)−Envolt´ oria Convexa Em todo o presente trabalho, as coordenadas globais do espa¸co produto RN = Rm × Rn , sendo n ≥ 2, denotaremos por (x, t) = (x1 , . . . , xm , t1 , . . . , tn ). Neste cap´ıtulo lembraremos a defini¸caõ da Estrutura Tubular e apresentaremos alguns resultados básicos relacionados. Introduziremos as defini¸co˜es de uma Solu¸caõ k-Jato de uma Estrutura Tubular e uma (Φ, κ)−Envóltoria Convexa. Além disso, mostraremos que uma C k −Solu¸cão da Estrutura Tangencial induzida de uma dada. Estrutura Tubular, que é definida sobre uma subvariedade fechada tubular Rm ×F, onde F ⊂ Rn é uma subvariedade fechada, pode ser assumida como uma Solu¸cão (k − 1)-Jato.. 1.1. A Estrutura Tubular : defini¸c˜ ao e generalidades.. Os espa¸cos fibrados complexificados tangente e cotangente de RN denotaremos por CT (RN ) e CT ∗ (RN ) respectivamente.. Defini¸c˜ ao 1.1.1 Dada a aplica¸caõ de classe C ∞ , Φ : Rn 7→ Rm , Φ = (φ1 , . . . , φm ), o subfibrado vetorial complexo L ⊂ CT (RN ) gerado globalmente pelos campos vetoriais complexos: Lι. =. m X ∂ ∂φj ∂ −i , ι = 1, . . . , n, ∂tι ∂tι ∂xj j=1. 10. (1.1.1).

(12) denomina-se Estrutura Tubular definida sobre RN . Associamos as seguintes fun¸co ˜es da classe C∞ a ` Estrutura Tubular L : Zj (x, t) = xj + iφj (t),. j = 1, . . . , n.. (1.1.2). No presente trabalho lidaremos com Estruturas Tubulares Anal´ıticas. Isto é, assumiremos que a fun¸caõ Φ : Rn 7→ Rm é anal´ıtica. Denotaremos o subfibrado vetorial complexo ortogonal de L com respeito à dualidade entre vetores. tangentes e formas por L⊥ ⊂ CT ? (RN ). Por um cálculo simples sobre as equa¸cões (1.1.1)-(1.1.2) obtemos dZ1 ∧ ... ∧ dZm 6= 0;. (1.1.3) 1 ≤ ι, l ≤ n, 1 ≤ j ≤ m .. Lι Zj = 0, Lι tl = δι,l ,. (1.1.4). Interpretamos as equa¸co˜es (1.1.3)-(1.1.4) como segue. As 1-formas diferenciais linearmente independentes dZ1 , ..., dZm geram globalmente L⊥ . Além disso, das equa¸cões (1.1.3)-(1.1.4) decorremos que as 1-formas diferenciais {dZ1 , ..., dZm , dt1 , ..., dtn }. (1.1.5). formam uma base de CT ? (RN ) e os campos vetoriais {L1 , . . . , Ln ,. ∂ ∂ ,..., } ∂x1 ∂xm. (1.1.6). formam uma base de CT (RN ). Quando a aplica¸caõ Φ : Rn 7→ Rm é uma submersão temos L⊥ ∩ L⊥ = 0; isto é, a Estrutura Tubular. L. é El´ıptica. Quando a aplica¸cão. Φ : Rn 7→ Rm. é imersão temos. CT ∗ (RN ) =. L⊥ + L⊥ ; isto é, a Estrutura Tubular L é Cauchy-Riemann. E, quando a aplica¸cão Φ : Rn 7→ Rm é um difeomorfismo local diremos que a Estrutura Tubular L é Complexa. Por outro lado, a derivada exterior covariante induzida de L age nas potências exteriores de C k (RN ; E), k = 1, . . . , ∞ ,onde E = CT ? (RN )/L⊥ , construindo o associado complexo diferencial p ^. ^ ¡ ¢ ¡ ¢ dL p+1 C k−1 RN ; E C k RN ; E −→. (1.1.7). Como exemplo vejamos como age sobre as 0-formas: se u ∈ C k (RN ; C), a 1-forma diferencial du podemos expressar como du. =. n X. m X ∂u dZj Lι u dtι + ∂x j ι=1 j=1. 11. (1.1.8).

(13) Logo, conforme a defini¸caõ do operador diferencial induzido dL , obtemos dL [u]. ≡. n X. Lι u dtι mod(L⊥ ).. Em todo nosso trabalho usaremos a seguinte identifica¸cão :. 1.2. (1.1.9). ι=1. dL [u] :=. Pn. ι=1. Lι u dtι .. Solu¸c˜ ao k-Jato.. Nesta se¸caõ , apresentaremos uma defini¸cão alternativa de uma solu¸cão de uma Estrutura Tubular L, definida sobre subconjuntos fechados F que não necessariamente são subvariedades do espa¸co. produto RN = Rm × Rn . Precisaremos das seguintes nota¸cões :. ∂σ = ( onde. ∂ σm ∂ σm+1 ∂ σN ∂ σ1 ...( ) ...( ) ( ) ) ; σx1 ∂xm ∂t1 ∂tn. (x, t) = (x1 , . . . xm , t1 , . . . , tn ) ∈ RN ,. |σ| = σ1 + · · · + σm + σm+1 + · · · + σN ,. σ = (σ1 , . . . , σm , σm+1 , . . . , σN ) ∈ NN . Dado o. subconjunto fechado F ⊂ RN , podemos definir uma rela¸cão de equivalência sobre os espa¸cos C k (RN ; C), k = 0, 1, . . . , ∞, como segue : se u, v ∈ C k (RN ; C) temos. u ∼ v ⇔ ∂ σ u(x, t) = ∂ σ v(x, t), ∀(x, t) ∈ F, ∀|σ| ≤ k. Denotaremos o espa¸co quociente respectivo desta rela¸cão de equivalência por J k (F; C). Os elemen-. tos deste espa¸co chamaremos k−Jatos e denotaremos por J k = [u], u ∈ C k (RN ; C). Sem perigo de ambig¨ uidade, podemos identificar um k−Jato qualquer, J k ∈ J k (F; C),. com uma fun¸caõ. u : F → C que é estendida por uma fun¸cão u ∈ C k (RN ; C) tal que J k = [u]. Os campos. vetoriais L1 , . . . , Ln , definidos em (1.1.1), que geram a Estrutura Tubular L interpretaremos como operadores diferenciais sobre os k−Jatos como segue :. Lι : J k (F; C) [u]. −→ J k−1 (F; C), ι = 1, . . . , n 7−→ [Lι u]. Pode-se verificar facilmente que nossa interpreta¸cão está bem definida. Portanto, procede a seguinte defini¸caõ .. 12.

(14) Defini¸c˜ ao 1.2.1 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (RN ), gerada pelos campos vetoriais complexos L1 , . . . , Ln , definidos na equa¸ca õ (1.1.1). Seja o subconjunto fechado F ⊂ RN de forma tubular F = V × F, onde o subconjunto V ⊂ Rm é aberto e o subconjunto F ⊂ Rn é fechado. Se. o k−Jato u : F −→ C é estendido por uma fun¸ca õ u ∈ C k (RN ; C) tal que Lj u(x, t) = 0, ∀(x, t) ∈ F, j = 1, . . . , n.. (1.2.10). ent˜ ao dizemos que u é uma Solu¸ c˜ ao k-Jato da Estrutura Tubular L sobre F. O subconjunto de J k (F; C), formado por todas as Solu¸co ˜es k-Jatos da Estrutura Tubular L sobre o k (V × F ). Também, denotaremos o conjunto subconjunto fechado F = V × F, denotaremos por HL. das solu¸co˜es de classe C k da Estrutura Tubular L sobre o aberto tubular V × W ⊂ Rm × Rn por k HL (V × W ).. A seguir, definiremos a Estrutura Tangencial de uma subvariedade F ⊂ RN que é induzida. de uma dada Estrutura Tubular L. Para isto, será necessário enunciar um caso particular da proposi¸caõ I.3.1 dada em [40] que mostra quando é poss´ıvel defin´ı-la.. Proposi¸c˜ ao 1.2.2 Sejam a Estrutura Tubular L, definida sobre RN , e uma subvariedade. F ⊂ RN .Ent˜ ao , as seguintes condi¸co ˜es s˜ ao equivalentes:. i. Os espa¸cos L⊥ ∩ CT ? (F), L ∩ CT (F) s˜ ao fibrados vetoriais complexos sobre F. ? e constante. ii. Quando p varia em F, a dimens˜ ao da fibra L⊥ p ∩ CTp (F) ´. iii. Quando p varia em F, a dimens˜ ao da fibra Lp ∩ CTp (F) é constante.. Defini¸c˜ ao 1.2.3 Diremos que L ∩ CT (F) é uma Estrutura Tangencial de F induzida de L quando quaisquer das condi¸co ˜es (ii),(iii) da proposi¸ca õ 1.2.2 é satisfeita.. Defini¸c˜ ao 1.2.4 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (Rm × Rn ) gerada pelos campos vetoriais. L1 , . . . , Ln , definidos em (1.1.1). Seja F = Rm × F ⊂ Rm × Rn uma subvariedade tubular fechada de classe C k , k ≥ 2, munida da Estrutura Tangencial L ∩ CT (F). Dizemos que uma fun¸ca õ. u : F → C, de classe C k , definida sobre a subvariedade F, é uma C k −Solu¸ca õ Tangencial de. L ∩ CT (F) se para toda se¸ca õ local L de L ∩ CT (F) temos Lu = 0. Denotaremos o conjunto destas solu¸co ˜es por ZLk (F).. 13.

(15) A seguinte proposi¸caõ prova que uma C k −Solu¸cão Tangencial de uma Estrutura Tubular, que é definida sobre uma subvariedade tubular fechada Rm × F, pode ser assumida como uma Solu¸caõ (k − 1)-Jato.. Proposi¸c˜ ao 1.2.5 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (Rm × Rn ) gerada pelos campos vetoriais. L1 , . . . , Ln , definidos em (1.1.1). Seja F = Rm × F ⊂ Rm × Rn uma subvariedade tubular fechada de classe C k , k ≥ 2, munida da Estrutura Tangencial L ∩ CT (F). Ent˜ ao , para cada Solu¸ca õ k−1 Tangencial uo ∈ ZLk (F), existe uma Solu¸ca õ (k − 1)−Jato u ∈ HL (F) tal que u0 = u sobre F.. Demonstra¸c˜ ao .Podemos assumir, depois de uma mudan¸ca de coordenadas de classe C k numa vizinhan¸ca aberta W ⊂ Rn de um ponto t ∈ F, que o conjunto W ∩ F está determinada pelas equa¸co˜es td+1 = · · · = tn = 0, onde d é a dimensão da subvariedade F. Sobre a vizinhan¸ca aberta Rm × W de Rm × {t} está definida uma base de se¸cões da estrutura tubo L : Lι =. m X ∂φj ∂ ∂ −i , ι = 1, . . . , n, ∂tι ∂tι ∂xj j=1. Pelas condi¸co˜es da proposi¸caõ , podemos escrever Lι u0 = 0, ι = 1, . . . , d,. sobre Rm × W ∩ F.. Sejam as coordenadas t = (t0 , t00 ) = (t1 , . . . , td , td+1 , . . . , tn ) da vizinhan¸ca W. Seja a fun¸caõ u1 ∈. C k (Rm ×W ; C) definida por u1 (x, t) = u0 (x, t0 , 0). Logo, a fun¸cão u2 ∈ C k−1 (Rm ×W ; C), definida por u2 (x, t) = u1 (x, t) − m. n X. Lι u1 (x, t0 , 0)tι ,. ι=d + 1. que coincide com a fun¸caõ u0 sobre R × W ∩ F, satisfaz Lι u2 (x, t) = 0,. ι = 1, . . . , n,. ∀(x, t) ∈ Rm × W ∩ F.. Assim, por meio de uma parti¸caõ da unidade, subordinada a uma cobertura enumerável de abertos {Wj ⊂ Rn : F ∩ Wj 6= ∅} da subvariedade fechada F, podemos encontrar finalmente uma Solu¸cão k−1 (k − 1)−Jato global u ∈ HL (Rm × F ) que é igual a u0 sobre F = Rm × F. 14.

(16) 1.3. (Φ, κ)−Envolt´ oria Convexa.. k No próximo cap´ıtulo estenderemos uma Solu¸cão k−Jato, u ∈ HL (V × K), onde V ⊂ Rm é. um subconjunto aberto e K ⊂ Rn é um subconjunto compacto e conexo, como uma solu¸caõ. b κ , onde K b κ é diferenciável da Estrutura Tubular L definida sobre o interior do conjunto Rm × K a (Φ, κ)−Envoltória Convexa de K relativa a um subconjunto aberto e conexo Rn ⊃ W ⊃ K. Para definir esta envoltória precisaremos das seguintes nota¸cões . Com o s´ımbolo Sm−1 denotaremos a. esfera (m − 1)−dimensional com centro na origem e raio 1 e com a variável θ denotaremos um. elemento qualquer de Sm−1 . Com o s´ımbolo Sm−1 t,κ,θ denotaremos a esfera (m−1)−dimensional com θ centro Φ(t)− 2κ e raio. 1 2κ .. O produto interno Euclideano dos vetores x, y ∈ Rm , denotaremos por. x.y; e a norma Euclideana do vetor x ∈ Rm denotaremos por |x|. Dado um subconjunto aberto e conexo W ⊂ Rn , para cada κ ∈ Z+ , para cada θ ∈ Sm−1 , e para cada t ∈ W denotaremos por. Wt,θ,κ a componente fechada e conexa que contém o ponto t do conjunto ½ ¾ © ª θ 2 1 s ∈ W : θ.[Φ(t) − Φ(s)] − κ|Φ(t) − Φ(s)|2 = 0 = s ∈ W : |Φ(s) − (Φ(t) − )| = 2 2κ 4κ. Da igualdade de conjuntos acima observamos também que podemos definir Wt,θ,κ como a componente fechada e conexa que contém o ponto t do conjunto ³ ´ Φ−1 Sm−1 t,κ,θ ∩ W. (1.3.11). Com estas nota¸co˜es dadas acima podemos definir a (Φ, κ)-Envoltória Convexa como segue :. Defini¸c˜ ao 1.3.1 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (Rm × Rn ) gerada pelos campos vetoriais complexos L1 , . . . , Ln , definidos na equa¸ca õ (1.1.1). Seja o subconjunto compacto e conexo K contido num conjunto aberto e conexo W ⊂ Rn . Definiremos a (Φ, κ)-Envolt´ oria Convexa de b κ , como a componente conexa que contém K do conjunto K relativa a W, denotaremos por K { t ∈ W : Wt,θ,κ ∩ K 6= ∅,. ∀θ ∈ Sn−1 }.. (1.3.12). Observa¸c˜ ao 1.3.2 Pode-se observar da defini¸caõ de Wt,θ,κ , dada em (1.3.11), que se Φ(K) b κ = K relativa a qualquer aberto K ⊂ W ⊂ Rn . est´ a contida num hiperplano de Rn ent˜ ao K. No corolário 1.3.5 daremos uma caracteriza¸cão geométrica da (Φ, κ)−Envoltória Convexa, usando. a defini¸caõ seguinte:. 15.

(17) Defini¸c˜ ao 1.3.3 Dado um subconjunto qualquer X ⊂ Rm , definiremos a Envoltória Convexa Fechada de X , denotaremos por Xb, como o fecho do conjunto {x ∈ Rm : x =. m+1 X. λι yι , onde. m+1 X ι=1. ι=1. λι = 1, λι ≥ 0 e yι ∈ X }. Na seguinte proposi¸caõ 1.3.4, demonstraremos que podemos definir de outro modo a Envoltória Convexa de qualquer compacto K ⊂ Rm .. Proposi¸c˜ ao 1.3.4 Dado um compacto qualquer K ⊂ Rm . Então b K. = {x ∈ Rm : x.θ ≤ max{ y.θ } ∀θ ∈ Sm−1 }. y∈K. (1.3.13). Demonstra¸c˜ ao . Seja o subconjunto convexo e fechado definido por K] = {x ∈ Rm : x.θ ≤ max{ y.θ }, ∀θ ∈ Sm−1 }. y∈K. b ⊂ K . Falta demonstrar que K] ⊂ K. b Suponhamos que existe x0 ∈ K] Como K ⊂ K , temos K ]. ]. b Como K b ⊂ Rm é um subconjunto compacto e convexo , existe um hiperplano que tal que x0 ∈ \ K.. b Isto é , existe θ0 ∈ Sm−1 e um ²0 > 0 tal que separa x0 e K.. b y.θ0 ¡ ²0 + x0 .θ0 , ∀y ∈ K. b chegamos a uma contradi¸cão com a defini¸cão de K] . Logo, podemos escrever Como K ⊂ K,. b K] ⊂ K. Esta proposi¸caõ nos dá como corolário uma caracteriza¸cão geométrica da (Φ, κ)−Envoltória. Convexa :. Corol´ ario 1.3.5 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (Rm × Rn ) gerada pelos campos vetoriais. complexos L1 , . . . , Ln , definidos na equa¸ca õ (1.1.1). Seja o subconjunto W ⊂ Rn aberto e conexo. Seja K. o subconjunto compacto e conexo com sua (Φ, κ)-Envolt´ oria Convexa relativa a W,. b κ . Ent˜ denotada por K ao ,. \ b κ ) ⊂ Φ(K) Φ(K. b κ . Então para qualquer θ ∈ Sm−1 existe sθ ∈ K Demonstra¸c˜ ao . Seja qualquer t ∈ K. tal que −θ.Φ(sθ ) \ Φ(t) ∈ Φ(K). ≥. Φ(t).θ ≤ maxy∈Φ(K) y.θ ∀θ ∈ Sm−1 . Logo,. −θ.Φ(t). Isto implica. 16.

(18) Observa¸c˜ ao 1.3.6 A partir do corolário 1.3.5, podemos dizer que se o aberto W contém a \ que contém o compacto K, ent˜ componente fechada de Φ−1 (Φ(K)) ao a (Φ, κ)−Envolt´ oria Convexa b κ relativa a W é igual a K ` (Φ, κ)−Envolt´ oria Convexa relativa a todo o espa¸co Rn .. Para ilustrar esta defini¸caõ da (Φ, κ)−Envoltória Convexa daremos um exemplo trivial sobre uma Estrutura Tubular El´ıptica qualquer, definida sobre o espa¸co produto R4 = R2 × R2 . Observamos que este primeiro exemplo nos mostra um (Φ, κ)-Envoltória Convexa com interior não vazio.. Exemplo 1.3.7 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (R4 ) associada a uma aplica¸caõ sobrejetora de classe C ∞ , Φ : R2 −→ R2 . Seja a circunferência unit´ aria S1 ⊂ R2 . Seja o subconjunto compacto K = Φ−1 (S1 ). Verifica-se facilmente que a envolt´ oria convexa fechada de S1 é o disco D = {τ = (τ1 , τ2 ) ∈ R2 : τ12 + τ22 ≤ 1} b 1 . Afirmamos oria Convexa de K relativa a todo o espa¸co R2 por K Denotaremos a (Φ, 41 )−Envolt´ 4. que a componente fechada e conexa da imagem inversa de D, abusando nota¸co ˜es denotaremos por b1. Φ−1 (D) , que contém o compacto K é igual a K 4. De fato, para provar nossa afirma¸cão mostraremos que para cada ponto t ∈ Φ−1 (D) e cada θ ∈ S1. existe uma curva conexa γ ⊂ Wt,θ, 41 que liga t a algum ponto tθ ∈ K. Denotaremos o produto interno Euclideano de R2 por <, > . Das seguintes equivalências,. 1 < θ, [Φ(t) − Φ(s)] > − |Φ(t) − Φ(s)|2 = 0 ⇔ 4. 1 1 < θ − [Φ(t) − Φ(s)] , [Φ(t) − Φ(s)] > = 0 4 4 < 4θ − [Φ(t) − Φ(s)] , [Φ(t) − Φ(s)] > = 0, θ ∈ S1 ,. ⇔ podemos dizer que γ ⊂ Wt,θ, 14 se. < 4θ − [Φ(t) − Φ(s)] , [Φ(t) − Φ(s)] > = 0, ∀s ∈ γ. A curva diferenciável Φ(γ) denotamos por γ1 e observamos que mostrar a existência de γ é equivalente mostrar a existência de γ1 ⊂ D que liga o ponto Φ(t) ∈ D a algum ponto de τθ ∈ S1 tal que < 4θ − [Φ(t) − τ ]. ,. [Φ(t) − τ ] > = 0, ∀τ ∈ γ1 . 17. (1.3.14).

(19) Por outro lado, denotamos uma segunda curva diferenciável fechada conexa γ2 definida por γ2 = {Φ(t)+ < 4θ, θb > θb : θb ∈ S1 }. e observamos três fatos. O primeiro fato :. Φ(t) ∈ γ2 ∩ D e Φ(t) + 4θ ∈ γ2 . Para ver isso,. é suficiente tomar um θb ∈ S1 ortogonal a θ e tomar outro θb = θ. O segundo fato: γ2 n˜ ao está contida no disco D. Para ver isso, é suficiente observar que a distância dos pontos Φ(t) + 4θ ∈ γ2 ao ponto Φ(t) ∈ D é igual a 4. O terceiro fato : a curva γ2 satisfaz a equa¸cão (1.3.14).Isto é, < 4θ − [Φ(t) − τ ] , [Φ(t) − τ ] > = 0, ∀τ ∈ γ2 . Para verificar isto, é suficiente notar que < 4θ+ < 4θ, θb > θb , < −4θ, θb > θb >. = =. [< 4θ, θb >]2 − [< 4θ, θb >]2 0, ∀ θb ∈ S1. Do primeiro e do segundo fato podemos afirmar que existe uma curva conexa γ1 ⊂ γ2 ∩ D que. liga o ponto Φ(t) a um ponto τθ ∈ γ2 ∩ S1 . Ver figura 1.1 .. S. 1. M(t) .. (2. Figura 1.1: A curva γ2 que passa pelo ponto Φ(t) corta a circunferência S1 . b 1 . E, pelo Do terceiro fato, podemos afirmar que γ1 satisfaz (1.3.14). Logo, Φ−1 (D) ⊂ K 4. b 1 . Assim terminamos provando nossa afirma¸caõ ♦ corolário 1.3.5, podemos escrever Φ−1 (D) = K 4 18.

(20) \ Mas, este segundo exemplo também nos b κ ) 6= Φ(K). Agora,vejamos outro exemplo onde Φ(K. mostra uma (Φ, κ)-Envoltória Convexa com interior não vazio.. Exemplo 1.3.8 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (R3 ×R3 ) associada a aplica¸caõ identidade,. Φ : R2 −→ R3 , Φ = Id. Isto é, a Estrutura Tubular L é a conhecida Estrutura Cauchy-Riemann sobre C3 . Seja o subconjunto compacto K ⊂ R3 definido por. K = {(t1 , t2 , t3 ) ∈ R3 : 0 ≤ t3 = t21 + t22 ≤ 4}. Seja a esfera S de raio 2 e centro (0, 0, 4) definido por S = {((t1 , t2 , t3 ) ∈ R3 ) : t21 + t22 + (t3 − 4)2 = 4} b (defini¸ca Podemos verificar facilmente que a envolt´ oria convexa fechada de K, denotada por K õ 1.3.3), é o conjunto definido por :. b = {(t1 , t2 , t3 ) ∈ R3 : 0 ≤ t2 + t2 ≤ t3 ≤ 4} K 2 1. b é a regi˜ Isto é, K ao fechada limitada pelo plano, t3 = 4 e o parabol´ oide t3 = t21 + t22 . A partir. da figura 1.2, tendo em mente a defini¸ca õ de Wt,θ,κ dada em (1.3.11), induzimos claramente que b 1 , relativa a R3 , é a regi˜ a (Φ, 41 )− Envolt´ ao fechada limitada pela esfera S e o oria Convexa K 4. parabol´ oide t3 = t21 + t22 . Para cada ponto t = (t1 , t2 , t3 ) que est´ a dentro da esfera S existe um subconjunto , Vt ⊂ S3 , aberto n˜ ao vazio tal que S3t,θ, 1 4. \. K = ∅, ∀θ ∈ Vt .. Pois a partir t3 > 2 podemos introduzir uma esfera de raio 2 dentro do parabol´ oide sem cortar o b κ → K. b parabol´ oide.Neste exemplo observamos que se κ → 0 ent˜ ao K. Agora daremos um exemplo de dif´ıcil verifica¸cão .Pois, sua verifica¸cão consiste, em essência,. encontrar raizes reais de uma fam´ılia à 5-parâmetros de polinômios de grau 4.. Exemplo 1.3.9 Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (R3 × R2 ) associada a` aplica¸caõ anal´ıtica,. Φ : R2 −→ R3 , Φ(t) = (t1 , t2 , t21 − t22 ). Seja qualquer aberto 2. unit´ ario D = {t = (t1 , t2 ) ∈ R :. t21. +. t22. W ⊂ R2 2. ≤ 1}. O compacto K ⊂ R. que contém o disco. é a circunferência unit´ aria. b Isto é b 1 , relativa ao aberto W é igual a K. S1 ⊂ W. Ent˜ ao , o (Φ, 41 )−Envolt´ oria Convexa, K 4 b1 = K b = D. K 4 19.

(21) Z. S 4. 2. Z=X +Y. 2. 2. X. Y. Figura 1.2: A esfera S de raio 2 e centro (0, 0, 4) dentro do parabolóide Z = X 2 + Y 2 .. 20.

(22) Cap´ıtulo 2. O Teorema de Extens˜ ao do Tubo de Bochner Truncado Apresentaremos uma versão semi-local do Teorema de Extensão Tubular de Bochner para as estruturas tubulares anal´ıticas, definidas sobre Rm × Rn . Para a apresenta¸cão , consideraremos a. Estrutura Tubular Anal´ıtica L ⊂ CT (Rm × Rn ) associada, como no cap´ıtulo anterior, com a aplica¸caõ anal´ıtica Z : Rm × Rn −→ Cm , Z(x, t) = x + iΦ(t) = (Z1 , . . . , Zm ), onde Zj (x, t) = xj + iφj (t),. j = 1, . . . , n;. Além disso, a Estrutura Tubular L é gerada pelos campos vetoriais Lι. 2.1. =. m X ∂φj ∂ ∂ −i , ι = 1, . . . , n. ∂tι ∂tι ∂xj j=1. Dados assumidos neste cap´ıtulo.. Neste cap´ıtulo consideraremos somente subconjuntos compactos K ⊂ Rn na categoria de subconjuntos uniformemente convexos retificáveis de Rn que definimos agora :. Defini¸c˜ ao 2.1.1 Dizemos que um conjunto compacto K ⊂ Rn é uniformemente convexo retific´ avel se existe para cada par p, q ∈ K um caminho retific´ avel γ ⊂ K ligando p, q tal que seu comprimento |γ| ≤ C0 (K), onde a constante C0 (K) depende u `nicamente do compacto K . 21.

(23) Exemplos de conjuntos conexos fechados com a propriedade acima são os conjuntos fechados semianal´ıticos [22] e subconjuntos compactos de C k -subvariedades de Rn com k ≥ 2. Seja o aberto. tubular limitado U = V × W ⊂ Rm × Rn , onde o compacto K ⊂ W é uniformemente convexo retific´ avel. Consideramos os seguintes n´ umeros reais D = sup |x − y| ; d = sup |Φ(s) − Φ(t)| x,y∈V. (2.1.1). s,t∈W. Sejam os abertos não vazios , VR ⊂ V0 ⊂ V, tais que. VR = {x ∈ V0 : dist(x, ∂V0 ) ≥ R}, onde o. n´ umero real positivo R > 0 satisfaz o seguinte dado assumido: R2. d 1 p 2 < −d d + 2d2 + D2. (2.1.2). Um exemplo da existência de n´ umeros reais D, d, R, que satisfazem o dado assumido, pode ser √ √ D = 14d; R = 7d.. 2.2. Preliminares do Teorema de Extens˜ ao do Tubo de Bochner Truncado.. 2.2.1. Nota¸c˜ oes .. Fixamos uma fun¸caõ real. χ ∈ Cc∞ (V ; R), onde. χ ≡ 1 em V0 e χ ≡ 0 em V \ V0 . Com. γ denotaremos o caminho contido em Rn que liga um ponto fixo t0 ∈ K a um ponto qualquer t ∈ Rn . Seja a fun¸caõ. G² (ξ) = exp(−²4−1 ξ 2 ), onde. ξ ∈ Rm ,. 2 , que ξ 2 = ξ12 + · · · + ξm. m. é a transformada Fourier-Laplace da fun¸cão holomorfa E² (z) = (²π)− 2 exp(−²−1 z 2 ), onde z ∈ 2 . Precisaremos das seguintes nota¸cões técnicas, Cm , z 2 = z12 + . . . zm. ∂ α1 |α| = α1 + · · · + αm ; |β| = β1 + · · · + βn ; ∂xα = ( ∂x ) . . . ( ∂x∂m )αm ; Lβ = Lβ1 1 . . . Lβnn ; 1. ∂tβ = ( ∂t∂1 )β1 . . . ( βt∂n )βn , onde α = (α1 , . . . αm ) ∈ Nm e β = (β1 , . . . , βn ) ∈ Nn . De qualquer fun¸caõ. u ∈ C 1 (Rm × Rn ; C) obtemos a seguinte 1-forma diferencial dL [u](x, t). =. n X ι=1. Lι u(x, t)dtι , (x, t) ∈ Rm × Rn .. k No caso de uma solu¸caõ k-Jato u ∈ HL (V × K) com sua extensão u ∈ C k (Rm × Rn ; C) temos. que a 1−forma diferencial dL [u] com coeficientes de classe C k−1 se anula sobre V × K. Por 22.

(24) comodidade usaremos a seguinte nota¸cão para a (m + 1)−forma diferencial : dx ∧ dL [u](x, t). 2.2.2. =. n X ι=1. Lι u(x, t) dx ∧ dtι , (x, t) ∈ Rm × Rn .. (2.2.3). Constru¸c˜ ao de uma cole¸c˜ ao de fun¸c˜ oes {v² : ² > 0} : defini¸c˜ ao e propriedades.. Neste parágrafo, para cada u ∈ C k (Rm × Rn ; C) definiremos uma correspondente cole¸cão de fun¸co˜es. {v² } ⊂ C ∞ (Rm × Rn ; C). Para isto, precisaremos da seguinte proposi¸cão .Logo, demonstraremos algumas propriedades básicas desta cole¸cão {v² } de utilidade para nosso trabalho.. Proposi¸c˜ ao 2.2.1. Seja qualquer fun¸ca õ u ∈ C k (Rm × Rn ; C). Seja qualquer α ∈ Nm , onde. |α| ≤ k − 1. Ent˜ ao , para cada z ∈ Cm e cada ² > 0, temos ¸ ·Z n X ∂ E² (z − Z(y, s))[∂yα χu](y, s)dy dsι = ) ( ∂sι Rm ι=1 Z E² (z − Z(y, s))dy ∧ dL [∂yα χu](y, s). (2.2.4). Rm. Em outras palavras, o segundo membro da equa¸ca õ (2.2.4) é uma 1-forma diferencial exata em rela¸ca õ a vari´ avel s ∈ Rn .. Demonstra¸c˜ ao . Fixamos as variáveis z ∈ Cm , α ∈ Nm , |α| ≤ k − 1, e ² > 0. Observamos. que a fun¸caõ χu tem suporte compacto em rela¸cão a variável y ∈ Rm . Verificamos a equa¸caõ. (2.2.4) com os seguintes cálculos. ·Z ¸ n X ∂ ( ) E² (z − Z(y, s))[∂yα χu](y, s)dy dsι ∂sι Rm ι=1 ¸ ·Z n X ¤ ∂ £ ) E² (z − Z)[∂yα χu] dy dsι ( = Rm ∂sι ι=1 Z X Z m n X ¤ ∂φj (s) ∂ £ α = Lι [E² (z − Z)[∂y χu]]dy ∧ dsι + i ( ) E² (z − Z)[∂yα χu] dy ∧ dsι . ∂s ∂y m m ι j R j=1 ι=1 R ·Z ¸ Z n m X X ∂φj (s) ¤ ∂ £ = ( ) E² (z − Z)[∂yα χu] dy ∧ dsι . Lι [E² (z − Z)[∂yα χu]]dy ∧ dsι + i ∂sι m Rm ∂yj ι=1 R j=1. Aplicando o teorema de Stokes, o u ´ltimo membro da u ´ltima igualdade anula-se.E, observando que Lι E² (z − Z(y, s)) = 0, ι = 1, . . . , n, segue-se ·Z ¸ n X ∂ α ( ) E² (z − Z(y, s))[∂y χu](y, s)dy dsι ∂sι Rm ι=1 23. =. n Z X ι=1. Rm. E² (z − Z)Lι [∂yα χu]dy ∧ dsι ..

(25) Conforme a nota¸caõ dada em (2.2.3), conseguimos ·Z ¸ n X ∂ α ) ( E² (z − Z(y, s))[∂y χu](y, s)dy dsι ∂sι Rm ι=1. = =. Z. n X. Lι [∂yα χu]dy ∧ dsι. Rm. E² (z − Z). Rm. E² (z − Z)dy ∧ dL [∂yα χu](y, s). Z. ι=1. Com estas u ´ltimas igualdades terminamos a demonstra¸cão Agora podemos definir a cole¸cão de fun¸cões de classe C ∞ , v² : Rm × Rn −→ C, associada a uma. fun¸caõ dada u ∈ C k (Rm × Rn ; C), como segue Z E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ dL [χu](y, s), v² (x, t) =. (2.2.5). γ×Rm. onde. γ ⊂ Rn. é qualquer curva retificável que liga os pontos t a um ponto fixo t0 . Pela. proposi¸caõ 2.2.1, a fun¸caõ v² é bem definida e independente da escolha de γ. A seguir, demonstraremos algumas propriedades básicas da fun¸cão v² .. Proposi¸c˜ ao 2.2.2 (1-propriedade) Para cada (α, β) ∈ Nm × Nn , onde |α| + |β| ≤ k −. 1, para cada (x, t) ∈ Rm × Rn e para cada ² > 0, podemos formular o seguinte:  Z  E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ dL [∂yα χu](y, s), se |β| = 0    γ×Rm     β α Lt ∂x v² (x, t) =     Z     6 0 E² (x − y)[Lβ ∂yα χu](y, t)dy, se |β| = Rm. Demonstra¸c˜ ao .Conforme a nota¸cão dada em (2.2.3) podemos escrever. Lβ ∂xα v² (x, t). =. Lβ ∂xα. Z Z. Rm. γ. =. n X. Lβ. ι=1. =. n X ι=1. Como. ∂xα Lβ. =. Lβ ∂xα. Lβ. Z Z. Rm. γ. Z Z γ. Rm. E² (Z(x, t) − Z(y, s)). n X ι=1. Lι [χu](y, s)dy ∧ dsι. ∂xα [E² (Z(x, t) − Z(y, s))]Lι [χu](y, s)dy ∧ dsι. −∂yα [E² (Z(x, t) − Z(y, s))]Lι [χu](y, s)dy ∧ dsι. e integrando por partes, obtemos Z Z n X Lβ E² (Z(x, t) − Z(y, s))Lι [∂yα χu](y, s)dy ∧ dsι Lβ ∂xα v² (x, t) =. = Lβ. Z. γ×Rm. ι=1. γ. Rm. E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ dL [∂yα χu](y, s) 24. (2.2.6).

(26) Se |β| = 0, está demonstrado o primeiro caso na equa¸cão (2.2.6) . Para |β| = 6 0, é suficiente provar o caso particular |β| = 1. Pois, usando este caso particular um n´ umero finito de vezes demonstraremos o caso geral.Pela proposi¸caõ 2.2.1 e integrando por partes, temos Z E² (Z(x, t) − Z(y, s)) ∧ dy ∧ dL [∂yα χu](y, s) = Lι γ×Γs ·Z ¸ Z = Lι E² (Z(x, t) − Z(y, t0 ))[∂yα χu](y, t0 )dy E² (Z(x, t) − Z(y, t))[∂yα χu](y, t)dy − m Rm ¸ ·ZR E² (x − y)[∂yα χu](y, t)dy = Lι =. Z. Rm. ∂ α E² (x − y) [∂y χu](y, t)dy − ∂t m ι R. =. Z. Rm. =. Z. Rm. =. Z. Rm. E² (x − y) E² (x − y). ¸ · m X ∂ . ∂φj i E² (x − y) [∂yα χu](y, t)]dy ∂xj Rm j=1 ∂tι. Z. ∂ α [∂ χu](y, t)dy + ∂tι y. Z. i. Rm. ∂ α [∂ χu](y, t)dy − i ∂tι y. Z. Rm. · ¸ m X ∂φj ∂ E² (x − y) [∂yα χu](y, t)dy ∂tι ∂yj j=1 E² (x − y). m X ∂φj ∂ α [∂ χu](y, t)dy ∂tι ∂yj y j=1. E² (x − y)[Lι ∂yα χu](y, t)dy. Com esta u ´ltima igualdade podemos concluir a demonstra¸cão Nas duas proposi¸co˜es seguintes, usaremos a anterior proposi¸cão 2.2.2(1-propriedade) para estudar a C k −convergência uniforme, sobre subconjuntos compactos de Rm × Rn , da cole¸cão de fun¸co˜es {v² }, quando ² −→ 0.. Proposi¸c˜ ao 2.2.3 (2-propriedade) Seja (α, β) ∈ Nm × Nn , onde |α| + |β| ≤ k − 1 e. |β| = 6 0. Ent˜ ao , as fun¸co ˜es {Lβ ∂xα v² } convergem uniformemente a Lβ ∂xα (χu), sobre qualquer subconjunto compacto K ⊂ Rm × Rn , quando ² −→ 0.. Demonstra¸c˜ ao . Se |β| = 6 0, pela proposi¸cão 2.2.2, podemos escrever Lβ ∂xα v² (x, t). =. Z. Rm. E² (x − y)[Lβ ∂yα χu](y, t)dy. Logo, como a fun¸caõ Lβ ∂xα (χu) é uniformemente cont´ınua sobre qualquer subconjunto compacto K ⊂ Rm × Rn e pelas propriedades conhecidas de E² , podemos afirmar que a cole¸cão de fun¸co˜es {Lβ ∂xα v² } converge uniformemente a Lβ ∂xα (χu), sobre K, quando ² −→ 0 25.

(27) A seguinte proposi¸caõ pode ser considerada em essência como uma Generaliza¸ca õ do Teorema de Aproxima¸caõ de Baouendi-Treves sobre subconjuntos fechados do tipo V R × K.. Proposi¸c˜ ao 2.2.4 (3-propriedade) Seja a Estrutura Tubular L ⊂ CT (Rm × Rn ). Seja. α ∈ Nm , onde |α| ≤ k − 1. Se a fun¸ca õ. u ∈ C k (Rm × Rn ; C) representa a uma Solu¸ca õ. k k−Jato u ∈ HL (V × K), i.e. u = u, ent˜ ao as correspondentes fun¸co ˜es {∂xα v² } convergem unifor-. memente a 0 sobre V R × K, quando ² −→ 0.. Demonstra¸c˜ ao . Sejam quaisquer (x, t) ∈ V R × K, α ∈ Nm , onde |α| ≤ k − 1.. Pela. proposi¸caõ 2.2.2, podemos escrever. ∂xα v² (x, t). =. Z. γ×Rm. E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ dL [∂yα χu](y, s). (2.2.7). A proposi¸caõ 2.2.1, e como o compacto K ⊂ Rn é uniformemente convexo retific´ avel, nos permite assumir a curva γ ⊂ K, que liga os pontos t0 e t, de comprimento menor que uma constante,|γ| < C0 (K). Observamos que a constante K. A 1-forma diferencial. dL [∂yα χu]. C0 (K). depende somente do compacto. expressaremos como a soma de duas 1-formas diferenciais ,. dL [∂yα χu] = χ∂yα dL [u] + ω,. (2.2.8). onde ω(y, s) ≡ 0, se y ∈ V0 ou y ∈ Rm \V. A partir das equa¸cões (2.2.7) e (2.2.8), segue que Z E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ χ∂yα dL [u](y, s) + ∂xα v² (x, t) = γ×Rm. (2.2.9). Z. γ×Rm. E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ ω(y, s). Denotaremos as duas integrais em (2.2.9) por I²α (x, t) e II²α (x, t) respectivamente,. I²α (x, t). =. II²α (x, t). =. Z. γ×Rm. E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ χ∂yα dL [u](y, s);. γ×Rm. E² (Z(x, t) − Z(y, s))dy ∧ ω(y, s).. Z. Como γ ⊂ K, então segue-se I²α (x, t) = 0, ∀² > 0, ∀(x, t) ∈ V R × K. 26. (2.2.10).

(28) Para demonstrar esta proposi¸caõ resta mostrar que II²α → 0, uniformemente sobre V R × K, quando ² → 0. Pela defini¸caõ da fun¸cão E² e como o suporte da 1-forma diferenciável está contida. no conjunto V ⊂ Rm , podemos escrever II²α (x, t). =. −m 2. (²π). Z. Rm. =. m. (²π)− 2. Z. V. Z. Z. e. −(x−y+i(Φ(t)−Φ(s)))2 ². γ. e. −(x−y+i(Φ(t)−Φ(s)))2 ². γ. dy ∧ ω(y, s). dy ∧ ω(y, s). (2.2.11). Entretanto, notamos que o valor absoluto da exponencial na equa¸cão (2.2.11) é e. −|x−y|2 +|Φ(t)−Φ(s)|2 ². Pela condi¸caõ da 1-forma ω, para estimar a integral II²α é suficiente estimar esta exponencial quando (x, t) ∈ V R × K e (y, s) ∈ [V \V0 ] × K. Neste caso, considerando o dado assumido deste cap´ıtulo (2.1.2), obtemos −|x − y|2 + |Φ(t) − Φ(s)|2 ≤ −R2 + d2 < −d2 Logo, se (x, t) ∈ V R × K e (y, s) ∈ (y, s) ∈ [V \V0 ] × K, resulta |e. −(x−y+i(Φ(t)−Φ(s)))2 ². |. ≤ e. −d2 ². (2.2.12). Por outro lado,como o comprimento da curva γ ⊂ K é limitada por C0 (K), podemos escrever Z (2.2.13) | ω(y, s)| ≤ M (V, K, k), ∀ (y, t) ∈ V × K, γ. onde M (V, K, k) é uma constante que depende do aberto V, do compacto K e do inteiro positivo k > 0. Então , pelas equa¸co˜es (2.2.11),(2.2.12) e (2.2.13), obtemos Z −d2 m |II²α (x, t)| ≤ M (V, K, k)(²π)− 2 e ² ( dy), ∀(x, t) ∈ V R × K.. (2.2.14). V. Com a equa¸caõ (2.2.14), mostramos II²α −→ 0, uniformemente sobre V R × K, quando ² → 0. Observa¸c˜ ao 2.2.5 E´ importante notar que para a demonstra¸caõ da proposi¸caõ 2.2.4 precisamos somente da rela¸ca õ. R2 > d2 , que é uma conseq¨ uência direta do dado assumido neste. cap´ıtulo (2.1.2). O seguinte corolário nos mostra porque a proposi¸cão 2.2.4 é em essência uma Generaliza¸ca õ do Teorema de Aproxima¸caõ de Baouendi-Treves sobre subconjuntos fechados do tipo V R × K. 27.

(29) Corol´ ario 2.2.6 Seja t0 ∈ K o ponto fixado arbitrariamente. Então , para qualquer Solu¸caõ k-Jato. k u ∈ HL (V × K), existe o seguinte limite com convergência uniforme sobre V R × K Z lim (2.2.15) E² (Z(x, t) − Z(y, t0 ))[χu](y, t0 )dy = u(x, t), (x, t) ∈ V R × K. ²−→0. Rm. Demonstra¸c˜ ao .As proposi¸cões (2.2.1)-(2.2.4) e a defini¸cão da fun¸cão v² garantem a existência do seguinte limite com convergência uniforme sobre V R × K ¸ ·Z Z E² (x − y)[χu](y, t)dy = 0 E² (Z(x, t) − Z(y, t0 ))[χu](y, t0 )dy − lim ²−→0. Rm. Rm. Logo, como a fun¸caõ χu é uniformemente cont´ınua sobre V × K,. χu ≡ u sobre VR × K,. e. pelas propriedades conhecidas de E² , podemos afirmar que existe o seguinte limite com convergência uniforme sobre V R × K Z lim E² (Z(x, t) − Z(y, t0 ))[χu](y, t0 )dy = u(x, t), ²−→0. Rm. (x, t) ∈ V R × K. Assim terminamos a demonstra¸caõ. As duas proposi¸co˜es anteriores (2-propriedade e 3- propriedade)nos motivam a perguntar se a cole¸caõ {∂xα v² }, correspondente a uma Solu¸cão k−Jato, é uniformemente convergente sobre qualquer subconjunto compacto K ⊂ Rm × Rn , quando ² −→ 0. Em geral, a resposta é negativa. Pois, caso contrário, podemos demonstrar que toda Solu¸cão k−Jato pode ser estendida como uma solu¸caõ diferenciável definida globalmente sobre Rm ×Rn . Seguindo os resultados de Joaquim Tavares [36], somente conseguimos provar a convergência uniforme da cole¸cão de fun¸cões {∂xα v² },. b κ , correspondente a uma Solu¸caõ ao menos sobre subconjuntos compactos convexos de V R × K. k−Jato, k > m + 3. Apresentaremos este fato no seguinte teorema, que consideramos como a 4-propriedade, cuja longa demonstra¸cão daremos na se¸cão 2.4.. 28.

(30) Teorema 2.2.7 (4-propriedade) Seja a Estrutura Tubular Anal´ıtica L ⊂ CT (Rm × Rn ).. Sejam o tubo aberto limitado V ×W ⊂ Rm ×Rn e o subconjunto compacto K ⊂ W uniformemente convexo retific´ avel.Consideramos os seguintes n´ umeros reais D = sup |x − y| ; d = sup |Φ(s) − Φ(t)|, x,y∈V. s,t∈W. e fixamos os abertos n˜ ao vazios , VR ⊂ V0 ⊂ V, tais que VR = {x ∈ V0 : dist(x, ∂V0 ) ≥ R}, onde o n´ umero real positivo R > 0 satisfaz o seguinte dado assumido neste cap´ ıtulo (2.1.2): 1 d p < R 2 − d2 d + 2d2 + D2. k Sejam a Solu¸ca õ k−Jato u ∈ HL (V × K) e sua correspondente cole¸ca õ de fun¸co ˜es de classe C ∞. b κ a (Φ, κ)-Envolt´ {Lβ ∂xα v² : |α| + |β| ≤ k}. Seja K oria Convexa de K relativa a W. Assumimos. os inteiros positivos k, ν ∈ Z+ tais que k > 2 + 2ν, 2ν > m. Ent˜ ao , se fixamos qualquer n´ umero real positivo. d R2 −d2. < κ <. α, β, onde |α| + |β| ≤ k − 2 − 2ν, podemos afirmar que a cole¸ca õ de. √1. e quaisquer. 2d2 +D2 fun¸co ˜es {Lβ ∂xα v² } d+. converge. b κ a Lβ ∂xα v; onde a uniformemente sobre qualquer subconjunto compacto convexo Ξ ⊂ V R × K. b κ ]; C) tem derivadas parciais Lβ ∂ α v cont´ınuas sobre qualquer fun¸ca õ v ∈ C k−2ν−2 (VR × int[K x subconjunto compacto convexo Ξ, e tem a representa¸ca õ integral seguinte. −m. v(x, t) = (2π). Z. Rm. onde θ :=. ξ |ξ| , ξ. Z. γθ ×Rm. exp(i[Z(x, t) − Z(y, s)].ζκ ) dy ∧ dL [(1 − ∆y )ν χu] ∧ dζκ (1 + ζκ2 )ν. ∈ Rm ; ζκ := ξ + iκ|ξ|[Z(x, t) − Z(y, s)]; o s´ımbolo ∆y denota o operador de. Laplace sobre Rm ; o s´ımbolo γθ denota uma curva diferenci´ avel por partes, dependente de θ, que b κ ao ponto fixo t0 ∈ K; e o s´ımbolo dy ∧ dL [(1 − ∆y )ν χu] ∧ dζκ denota a liga o ponto t ∈ K (2m + 1)−forma diferencial h.. " n # i X −1 Lι [(1 − ∆y )ν χu](y, s)dy ∧ dsι ∧ dξ . Πm [xι + iφι (t) − yι − iφι (s)]) ι=1 (1 + iκξι |ξ| ι=1. Além disso, se p ∈ Ξ ∩ [V R × K] ent˜ ao lim. Ξ 3 q→p. ∂xα v(q) =. 0, ∀|α| ≤ k − 2ν − 2.. 29. (2.2.16).

(31) 2.3. Teorema de Extens˜ ao do Tubo de Bochner Truncado.. 2.3.1. Extens˜ ao de uma Solu¸c˜ ao k−Jato de uma Estrutura Tubular Anal´ıtica L.. ´ Registramos a seguinte afirma¸caõ como o Teorema de Extensão do Tubo de Bochner Truncado. E uma versão semi-local do Teorema de Extensão Tubular de Bochner.. Teorema 2.3.1 Seja a Estrutura Tubular Anal´ıtica L ⊂ CT (Rm × Rn ) . Sejam o tubo. aberto limitado V × W ⊂ Rm × Rn e o subconjunto compacto K ⊂ W uniformemente convexo retific´ avel. Consideramos os seguintes n´ umeros reais D = sup |x − y| ; d = sup |Φ(s) − Φ(t)|, x,y∈V. s,t∈Ω. e fixamos os abertos n˜ ao vazios , VR ⊂ V0 ⊂ V, tais que VR = {x ∈ V0 : dist(x, ∂V0 ) ≥ R}, onde o n´ umero real positivo R > 0 satisfaz o seguinte dado assumido neste cap´ ıtulo (2.1.2): R2. 1 d p 2 < −d d + 2d2 + D2. b κ a (Φ, κ)-Envolt´ Seja K oria Convexa de K relativa a W. Assumimos os inteiros k, ν ∈ Z+ tais que k > 2 + 2ν, 2ν > m.. Ent˜ ao , para qualquer n´ umero real positivo. d R2 −d2. <κ<. d+. √1. 2d2 +D2. , podemos definir uma. aplica¸ca õ k−2ν−2 k b κ ]), b ∈ HL (VR × int[K (V × K) 3 u 7−→ u HL. onde a fun¸ca õ u b, com derivadas parciais ∂tβ ∂xα u b cont´ınuas sobre qualquer subconjunto compacto b κ , onde Ξ1 j V R é um subconjunto compacto convexo e Ξ2 ⊂ K b κ é um Ξ = Ξ1 × Ξ2 ⊂ V R × K subconjunto compacto e convexo, estende a Solu¸ca õ k-Jato u no seguinte sentido: lim. Ξ 3 q→p. b(q) ∂xα u. = ∂xα u(p),. se p ∈ Ξ ∩ [V R × K], ∀|α| ≤ k − 2ν − 2.. (2.3.17). Além disso, Se λ é uma curva diferenci´ avel fechada e conexa, de comprimento finito, com um k−2ν−2 b κ ] ent˜ extremo τ ∈ K, tal que λ − {τ } ⊂ int[K ao , para quaisquer u1 , u2 ∈ HL (V × λ) com. a condi¸ca õ u1 = u2 = u sobre o subconjunto fechado V × {τ }, temos u1. = u2 sobre V R × λ 30. (2.3.18).

(32) Demonstra¸c˜ ao . Considerando o fato que os campos vetoriais. ∂ ∂ ∂x1 , . . . , ∂xm ,. L1 , . . . , Ln geram. o fibrado tangente complexificado CT (Rm × Rn ), podemos expressar o teorema 2.2.7 como segue. Existe a aplica¸caõ b κ ]; C), b = u − v ∈ C k−2ν−2 (VR × int[K Hk (V × K) 3 u 7−→ u. onde a fun¸caõ u b e suas derivadas parciais ∂tβ ∂xα u b são cont´ınuas sobre qualquer subconjunto. b e estende u no seguinte sentido : compacto convexo Ξ ⊂ V R × K lim. Ξ 3 q→p. ∂xα u b(q) = ∂xα u(p) − = ∂xα u(p),. lim. Ξ 3 q→p. ∂xα v(q). se p ∈ Ξ ∩ [V R × K], ∀|α| ≤ k − 2ν − 2.. (2.3.19). A seguir, usando a proposi¸cão 2.2.3 (2-propriedade), mostraremos que a fun¸cão diferenciável k−2ν−2 b κ ]) . u b pertence ao conjunto HL (VR × int[K. Lι u b(x, t). = Lι u(x, t) − Lι v(x, t). b κ ], ι = 1, . . . , n. = lim²→0 Lι v² (x, t) − Lι v(x, t) = 0, (x, t) ∈ VR × int[K. A equa¸caõ (2.3.18) é uma conseq¨ uência imediata do corolário 2.2.6. Com todos os argumentos dados acima conclu´ımos a demonstra¸cão. Observa¸c˜ ao 2.3.2 Na demonstra¸caõ do teorema 2.3.1, notamos que ub tem uma representa¸caõ integral, consequência imediata da representa¸ca õ integral de v dada no teorema 2.2.7.. Por sua vez este teorema implica o seguinte corolário 2.3.4. Para o enunciado deste corolário, precisaremos da seguinte defini¸cão. Defini¸c˜ ao 2.3.3 Seja a Estrutura Tubo Anal´ıtica L ⊂ CT (Rm × Rn ) . Seja a subvariedade. \) a envolt´ \ a envolt´ fechada conexa N ⊂ Rn . Seja Φ(N oria convexa fechada Φ(N ). Seja Φ(K) oria. convexa fechada Φ(K), onde K ⊂ N é um subconjunto compacto qualquer. Denotaremos com. \)] que contém a subvariedade o s´ımbolo N M a componente conexa da imagem inversa Φ−1 [Φ(N \ que contém o subconjunto compacto N. Denotaremos por K M a componente conexa de Φ−1 [Φ(K)]. K ⊂ N. Dizemos que uma fam´ılia enumer´ avel de subconjuntos compactos uniformemente convexos retific´ aveis { Kι ⊂ N : ι = 1, 2, . . . , ∞} satisfaz a 4−propriedade se 31.

(33) i.. K1 ⊂ K2 ⊂ · · · ⊂ Kι ⊂ . . . . . . N ;. S∞. ι=1. Kι = N ;. ii. Cada KιM é um subconjunto compacto.. S∞. ι=1. Kι4 = N 4 ;. ι→∞. iii. Existe uma seq¨ uência de n´ umeros reais positivos { κι ∈ R : ι = 1, 2, . . . , ∞} tal que κι −→ 0; S∞ M b κ denota a (Φ, κι )−Envolt´ b κ ], onde cada s´ımbolo K b b oria Kκι ⊂ Kκι+1 ; e int[N ] = ι=1 int[K ι ι b κ ] 6= ∅. Convexa do compacto Kι , em rela¸ca õ a Rn , com interior n˜ ao vazio,isto é, int[K ι. Corol´ ario 2.3.4 Seja a Estrutura Tubular Anal´ıtica L ⊂ CT (Rm × Rn ). Seja a subvariedade. fechada conexa N ⊂ Rn . Seja a fam´ılia enumer´ avel de subconjuntos compactos uniformemente. convexos retific´ aveis { Kι ⊂ N : ι = 1, 2, . . . , ∞} que satisfaz a 4−propriedade. Assumimos os inteiros positivos k, ν ∈ Z+ tais que k > 3 + 2ν, 2ν > m.. Ent˜ ao , para cada Solu¸ca õ Tangencial u ∈ ZLk (Rm × N ) existe uma u ńica solu¸ca õ diferenci´ avel. k−2ν−3 b s˜ ao cont´ınuas u b ∈ HL (Rm × int[N M ]), onde a fun¸ca õ u b e suas derivadas parciais ∂tβ ∂xα u. b κ , para algum ι = 1, . . . , ∞; e estende sobre qualquer subconjunto compacto convexo Ξ ⊂ Rm × K ι. a Solu¸ca õ Tangencial u no seguinte sentido: lim. Ξ 3 q→p. b(q) ∂xα u. = ∂xα u(p),. se p ∈ Ξ ∩ [Rm × N ], ∀ |α| ≤ k − 2ν − 3.. (2.3.20). Demonstra¸c˜ ao . Para esta demonstra¸cão , consideramos o corolário 1.2.5, e o corolário 1.3.5.Como o espa¸co. Rm é de diâmetro ilimitado, para cada um dos subconjuntos compactos. Kι , podemos escolher os correspondentes abertos limitados, de acordo à se¸cão 2.1, Kι ⊂ KιM ⊂ Wι ⊂ Rn ; VRι ⊂ V0,ι ⊂ Vι ⊂ Rm tal que : ι→∞. 1. Os subconjuntos abertos VRι , Rι −→ ∞, são bolas abertas de raio Rι , de centro 0, e V ι ⊂ VRι+1 e. ∞ [. VRι = Rm. (2.3.21). ι=1. 2. O dado assumido neste cap´ıtulo, 1 dι q < Rι2 − d2ι dι + 2d2ι + D2ι. de modo que Rι2. dι 1 q , ι = 1, . . . , ∞. 2 < κι < − dι dι + 2d2ι + D2ι 32. (2.3.22). (2.3.23).

(34) Por outro lado, aplicando o teorema 2.3.1 sobre cada subconjunto fechado V ι × Kι , obtemos uma k−2ν−3 b κ ]) com a condi¸cão dada em (2.3.17). solu¸caõ diferenciável u bι ∈ HL (VRι × int[K ι. Além disso, a fun¸caõ u bι com derivadas parciais ∂tβ ∂xα u bι são cont´ınuas sobre qualquer sub-. b κ é um subconjunto b κ , onde Ξ2,ι ⊂ K conjunto compacto convexo Ξι = V Rι × Ξ2,ι ⊂ VRι × K ι ι. compacto convexo, estende a Solu¸cão Tangencial u no seguinte sentido: lim. Ξι 3 q→p. ∂xα u b(q). = ∂xα u(p),. se p ∈ Ξι ∩ [V Rι × N ], ∀|α| ≤ k − 2ν − 3.. (2.3.24). Logo, se λ é uma curva diferenciável fechada e conexa, de comprimento finito, com extremo b κ ] então podemos assumir que τ ∈ Kι , tal que λ − {τ } ⊂ int[K ι Isto, implica. u bι+1 = u bι+2 , sobre VRι × λ. u bι+1 (x, t) = u bι+2 (x, t),. b κ ]. ∀(x, t) ∈ V Rι × int[K ι. Assim, a equa¸caõ (2.3.25) nos permite provar a existência de. (2.3.25). k−2ν−3 u b ∈ HL (Rm × int[N M ]).. Também, a unicidade é uma conseq¨ uência da equa¸cão (2.3.25). Com estes argumentos terminamos a demonstra¸caõ. Observa¸c˜ ao 2.3.5 Se n = m e a aplica¸caõ Φ : Rn → Rm é a identidade, i.e. Φ = Id, o corol´ ario 2.3.4 é um resultado parcial de Bogges [11] para CR-Solu¸co ˜es Tangenciais u de classe C k , k > 3 + m. Mas, nossa extens˜ ao é ao menos de classe C k−3−2ν enquanto a outra extens˜ ao é n˜ ao -tangencial.. 2.3.2. Extens˜ ao de uma Solu¸c˜ ao Distribu¸c˜ ao de Sobolev de uma Estrutura Tubular Anal´ıtica L .. Nesta se¸caõ , consideraremos o aberto tubular, U = V × W ⊂ Rm × Rn , limitado e simplesmente conexo, onde o subconjunto fechado W é uniformemente convexo retific´ avel. Assumimos o aberto tubular limitado V × Ω ⊂ Rm × Rn , onde o aberto Ω contém a componente conexa de \) ], que, por sua vez, contém W . Como na se¸cão 2.1, consideramos os seguintes n´ Φ−1 [ Φ(W umeros reais D = sup |x − y| ; d = sup |Φ(s) − Φ(t)|, x,y∈V. s,t∈Ω. 33. (2.3.26).

(35) e fixamos os abertos não vazios , VR ⊂ V0 ⊂ V, tais que VR = {x ∈ V0 : dist(x, ∂V0 ) ≥ R}, onde o n´ umero real positivo R > 0 satisfaz o seguinte dado assumido neste cap´ ıtulo (2.1.2):. R2. 1 d p 2 < −d d + 2d2 + D2. (2.3.27). O inconveniente do teorema 2.3.1 é a necessidade de ao menos m + 4 derivadas da Solu¸cão k b da Estrutura Tubular k−Jato u ∈ HL (V × W ) para estende-la como uma solu¸cão diferenciável u c ]. Como o aberto tubular limitado U é simplesmente conexo, o L, definida em VR × int[W κ. seguinte teorema 2.3.8 supera este inconveniente. Para demonstrar este teorema faremos uso dos operadores diferenciais de segunda ordem, introduzidos na se¸cão II.4 de [40], definidos por ∆x = (. ∂ 2 ∂ 2 ) + ··· + ( ) ∂x1 ∂xm. ; ∆L,% := L21 + · · · + L2n + %2 ∆x , % > 0.. (2.3.28). E, assumiremos ρ suficientemente grande para considerar o operador diferencial ∆L,% el´ıptico. Lembramos que, usando a nota¸caõ dL , a derivada exterior agindo sobre uma C 1 −fun¸cão u podemos expressar como. m m n X X X ∂u ∂u Lj udtj + du = dL [u] + dZι = dZι . ∂x ∂x ι ι ι=1 ι=1 j=1. Denotaremos o Espa¸co de Sobolev de ordem s ∈ R definido sobre Rm × Rn por H s (Rm × Rn ; C). Como referência mencionamos o conhecido lema de Sobolev : seja k ∈ N; se s >. m+n 2. + k ent˜ ao. H s (Rm × Rn ; C) ⊂ C k (Rm × Rn ; C). Denotaremos por H s (V × W ; C) o espa¸co quociente H s (V × W ; C) = H s (Rm+n ; C)/N s (V × W ; C), onde N s (V × W ; C) = {f ∈ H s (Rm × Rn ; C) : f = 0 em V × W }. Isto é, se f, g ∈ H s (V × W ; C) então , f = g ⇔ < f, υ >=< g, υ >, ∀υ ∈ C0∞ (V × W ; C). Este espa¸co quociente é chamado o Espa¸co das Distribu¸cões de Sobolev de ordem s ∈ R sobre o aberto V × W. Aplicando o lema de Sobolev, conclu´ımos que se s >. m+n 2. + k, onde k ∈ N, ent˜ ao. s (V × W ) denotaremos o espa¸co das solu¸co˜es H s (V × W ; C) ⊂ J k (V × W ; C). Com o s´ımbolo BL. da estrutura tubo L que são elementos de H s (V × W ; C). Observamos que se s >. m+n 2. + k, onde. k s (V × W ). Para a demonstra¸cão do seguinte teorema precisaremos k ∈ N, então BL (V × W ) ⊂ HL. dos lemas a seguir.. 34.

(36) Lema 2.3.6 Seja a Estrutura Tubular Anal´ıtica L ⊂ CT (Rm × Rn ). Seja o subconjunto aberto. U = V × W ⊂ Rm × Rn tal que Z(V × W ) ⊂ O, onde O ⊂ Cm é um subconjunto aberto. De qualquer fun¸ca õ f : O × W −→ C, holomorfa em rela¸ca õ a vari´ avel z ∈ O e de classe C 1 , obtemos a seguinte identidade [. ∂ f ](Z(x, t), t) ∂tι. = Lι [f (Z(x, t), t)], ι = 1, . . . , n.. (2.3.29). Demonstra¸c˜ ao . Verificamos este lema com o seguinte cálculo. Lι [f (Z(x, t), t)]. = df |(Z(x,t),t) [Lι |(x,t) ] =. [. =. [. n X ∂f ∂f ](Z(x, t), t))dZ[Lι ] + ](Z(x, t), t))dtj [Lι ] [ ∂Z ∂tj ι=1. ∂ f ](Z(x, t), t), ∂tι. ι = 1, . . . , n.. Assim terminamos a verifica¸caõ. Lema 2.3.7 Seja P = P (x, t, −i ∂x∂ 1 , . . . , −i ∂x∂m , −i ∂t∂1 , . . . , −i ∂x∂n ) um operador diferencial. el´ıptico homogêneo, de ordem µ ∈ N, de coeficientes anal´ıticos, definido sobre RN = Rn × Rm .. Seja U = V × W ⊂ RN. um aberto com fecho compacto. Ent˜ ao , para cada s ∈ R, o operador. diferencial P:. H s (U ) −→ H s−µ (U ). (2.3.30). g → Pg é sobrejetor.. Demonstra¸c˜ ao .Na realidade, este lema é um caso particular do Teorema 13.52, demonstrado em [25]. Pois, o operador P tem constant strength ( Defini¸cão 13.1.1 , dada em [25]). Para garantir o anterior, mostraremos que existem constantes positivas C0 , C1 , dependentes do aberto U, tal que C0 |ξ|µ ≤ |P (x, t, ξ)| ≤ C1 |ξ|µ ,. ∀(x, t) ∈ U , ∀ξ ∈ RN .. De fato, como P é el´ıptico, o ´ınfimo inf (x,t,ξ)∈U ×SN |P (x, t, ξ)|, onde SN é a esfera unitária Ndimensional, é positivo.Logo, como P é homogêneo encontraremos uma constante C0 > 0 tal que C0 |ξ|2ν ≤ |P (x, ξ)|,. ∀(x, t) ∈ U , ∀ξ ∈ RN . 35.