Curso Moderno de Matemática Para o Ensino de 1º grau, 8ª série, 3ª edição, 8º v., 1976

Q de

^ para o ^ie Srau

G R U E M A

(Grupo de Ensino de Matemâtica Atualizada)

A N N A A V E R B U C H F R A N C A C O H E N G O T T L I E B L U C f L I A B E C H A R A S A N C H E Z M A N H Ù C I A P E R E L B E R G L I B E R M A N ( l l c e n c i a d a s e m M a t e m â t i c a ) Supervisâo de L . H . J A C Y M O N T E I R O ( d a U n l v e r s i d a d e d e S â o P a u l o )

C U R S O M O D E R N O D E

M A T E M Â T I C A

para o ensino de primeiro grau

" ¥ 7 7 * 7

T É C N I C A S O P E R AT Ô R I A S E M M

R E P R E S E N TA C À O D E A L G U N S I R B A C I O N A I S ! M A R E TA

Grupo I — Exercicios Preliminares

1) Considéré o triangulo retanguio

A B C a o l a d o . a) Meça e complete: m(BC) = a = m(AC) = b = , 2 — m ( A B ) = c = c m a ' c m b ' = c m c ® = c m ' c m ' c m '

b) Assinale com V oil F: a^ 4- b^

+ c ^ b ^ + c ^

2) Desenhe um triangulo retanguio

PQR de modo que: — c ' = b = p = m(QR) = 6,5 cm q = m(RP)_ = 2,5 cm r = m ( P O ) = 6 c m a) Complete: p^ — q ' = c m ' c m ' r " = c m ' 1

b) Assinale com V ou F: p^ + _q'

+ r^ = q '

q' + r^ 3) Na folha recortâvel voce encontra

quadrados brancos e um quadrado colorido.

a) Chaime:

a a medida do lado do quadrado colorido. b a medida do lado do menor quadrado branco. c a medida do lado do maior quadrado branco.

Complete:

A ârea do quadrado colorido é A ârea do menor quadrado branco é A area do maior quadrado branco é

b) Recorte as figuras pelos segmentos

pontilhados e procure encaixâ-las dentro

do quadrado colorido

até recobri-Io totalmente.

c) Se voce conseguiu recobrir totalmente

0 quadrado colorido com todas as figuras

brancas, quer dizer que a soma

das areas das figuras brancas é igual à ârea da figura colorida.

C o m p l e t e : a ^ = +

Voce lembra que:

O maior lado de um triângulo retângulo

se chama hipotenusa e os outros dois

se chamam catetos.

A n o t e :

Se num triângulo retângulo a medida da hipotenusa é a e as medidas dos cate-tos sâo respectivamente 6 e c, entâo:

= b = + e

A n o t e :

Se num triângulo os lados medem, respectivamente, m , nepe acontece que:

m^ = n^ + p^

entâo o triângulo é retângulo em éa medida de sua hipotenusa.

Grupo II — Exercîcios de Apllcaçâo

1) No triângulo retângulo ao lado os

A n o t e

a) Escreva a relaçâo de Pitâgoras para x —

b) Complete: V — {

Observaçào:

Podemos marcar a V2~, V3~, VTetc. na

reta. sem precisar recorrer à represen-taçâo decimal.

A soluçâo negativa de uma equaçâo nâo intéressa quando o problema envolve medidas.

c) A hipotenusa deste triângulo mede u n i d a d e s .

2) Os catetos do triângulo retângulo ao lado

medem 1 eVTunidades respectivamente.

1

nAT

4) Considéré a reta graduada ao lado. O triângulo ABC é retângulo isosceles.

a) Quanto mede AB?

b) Marque na reta o ponto D cuja

abscissa éV 18.

a) Escreva a relaçâo de Pitâgoras para y

(lembre que = 2)

b) Complete: V

c) A hipotenusa mede —

= {

u n i d a d e s .

5) a) Na reta graduada ao lado, usando o triângulo retângulo desenhado, marque o

ponto A, cuja abscissa éVs .

b) Marque agora o ponto B, cuja abscissa

é - (ou seja, o oposto de ).

3) Observe a figura ao lado.

Ela é formada de triângulos retângulos

um apôs 0 outre.

(0 numéro 1 indica a unidade de

comprimento considerada.)

a) Escreva na figura os numéros que indicam

as medidas dos outros segmentes,

b) Quantos triângulos hâ na figura?

c) Quanto mede a hipotenusa do ultimo triângulo?

d) Aproveitando a construçâo considerada,

quantos triângulos deveriam ser traçados para

encontrarum segmento medindo V327 ?

Grupc III — Exercfcios de Recordaçâo

1) Complete:

a ) 2 ' =

b)(^)' =

c)(-5)=' =

I anb joiBUi ojp^ui w OAijisod jnaj d :opu3S B = X =: V/\ :a io {^ ranb noAjasqo A = 3-d (s A e- = (P A Z~ = s-2 (3 A L ^ £-^( q A ^ :oxiBqB saoÔBnbô SBp 'jjjuia 'apBpjaA-soîunfuoo so gQ (ç 2IB J 3 p IB UÏS 0 3 ^^ ZI BJ T2 dX < a OpUBOlpBJ 0 3 0 3D Ip m 0 9 X I I :3nb Bjqiu9| aooA 0 = A OA pB âaU D 3 JB d JO } U l 3S {-Lû -' ly û} = A OA plS Od V 9 JB d JO } tu 3S il yû } = A J Bd U lT JO } tu 3 S :s ou id Jd } X 9nb joiBiu 0JÏ9XUI w SIB9J D 3 X OpU3S B = u,X '^UI9 'OBÔBnbS B BpBQ

(oiapomj

|7 = ,x P P- e- z-L — t-" \t - = . = i.UI (p ■ = 9-Z (0 = ti Cl

±

-

i

i

(®

I 1 ' I

: op

p ou

i o

op

u EA

J Ss

q o 'a

j sidiu

o O

<>

■ ( = } = ) =

- !-(

£ ) (

P

= ,.(f

) ( =

= i-si (q = ,-Z( ^

^ ^ _

^ _p

a nb

a j qu

i sO

:9}3ldiuoo (e A Zl = A 01 - =

01 =

/ (q

/. =

Ç

=

(J

Ig - =

Ig =

^ fP

8 _ . =

8 =

E^(q

9e =

: ox

i Bq

B s3

o 6B

n b9

S Bp

* JJ[IU

3 '9p

B pJ9

A - S0

^ Un

f U0

D SO

3Q

[ Z

EXPOENTE FRACIONÀRIO

Grupo IV — Exercicios Preliminares

Voce lembra que:

Para todo a racional positive e n inteiro maior que 1 V i " - a p o i s a " = a " Complete:

b ) ^

c ) ^

d)v/^

= = 2 ^ e ) ^m " = Observe que:

Ao escrever = T dividiu-se 8 por 2.

Podemos escrever VY = '^ = 2*

D E U M M O D O G E R A L :

=

a " " = a '

Sendo: a numéro real positive

m numéro natural maior que 1

r n u m é r o n a t u r a l

( m o d e l b )

(m € Q» )

VOCÊ SABE QUE 0 M E S M O QUE y?? JUSTIF'C^^ ^AMOS VER SÊ E M E S M O l

^2® = b é

e o m e s m o q u e V 2 ■ — ^ .

b» = 2" Pelade«niÇ-d—•

(b3)3 = (yf

^"Poentes iguais tern

Peladefiniçâodaraiz.

^Ode-se dividiR ^ 'Ndice da baiz 6 ^ E x p o e n t e q u e e s TA MO RADICANDO PELO ^flESMONÛMERO!

A

^STAMOS ENTÂO StMPLIFICANDO RADICAtS. ASSIM COMO S J M P L I F I C A M O S FRAÇÔES! 11 1 0

3) Complete, observando o modèle:

" v ^ — 7a '

Sendo: a real positivo

men naturalmaiorque 1

r n a t u r a l

Convençâo:

Sendo: a real positivo

p inteiro

q natural maior que 1

a) 2^ = Vt

b ) 1 7 = =

c) 15^ =

d)(4-)^=

e)m^ =

4) Complete, observando o modelo:

a) 5"^ = 4

5 ' ^ 1 _ ( m o d e l o ) ;m E R*) ( m o d e l o )

Grupo V — Exerclcios do Aplicaçâo

1) Complete, observando o modelo:

a ) V i ^ = ' V ^ =

b)'V75- =

c)'V6^ =

d)'V^)" = —

2) Complete, observando o modelo:

a)^ = 5^

b)Vy =

c}V(Jy = __

d)\/^ =

e) \/n? =

(modelo) (a

€

R^)

(xElRo

(modelo) ( m€R . ) b)9"= = c ) 4 " ' =

d)(i)"» =

e) m = = 5) Simplifique os radicals:

a ) V ¥ =

b ) = c ) =

d) VtF —

(m € R.) (a 6 R.) (x € \R^) 13 1 2

6) Complete de modo a obter radicals

de indice 12:

a)^ =

c)V¥ =

d)Vy =

e) V? =

7) Complete de modo a obter radicais de

indice 10:

a)V^ =

h)V¥ =

c)W =

(a £ R»'

(b e

MULTIPLICAÇÂO E DIVISÀO DE RADICAIS

G r u p o V I — E x e r c i c î o s P r e l i m î n a r e s

1) Complete, observando o modelo:

a) a^ • a^ = b) a" • a" =

c) a' : a" =

d) a^ : a' =

2) Complete, observando o modelo:

a ) = ( a b ) ^ b) m^ ■ p" = c ) = a ' * ' = a ® ( m o d e l o ) ( a 0 ) ( a 0 ) ( m o d e l o ) (q ^ 0) A n o t e :

Vamos admitir que as regras para as operaçôes corn potências positivas sâo validas

também quando os expoentes sâo racionais.

3) Complete, observando o modelo:

a ) V ^

■

V ¥ = = s ' ^ = =

' 5 ' = ^

_{( m o d e l o )}

b) Vy • VF =

c)VF~

■

VF =

d)VF • VF =

e)VF • VF =

f)VF • VF=

15

1

D E U M M O D O G E R A L : !

7 7 - 7 7 = • a - =

Sendo: a real positive

mer naturais maiores que 1

4) Complete, observando os modelos:

a)VT

■

V7= 3^

■

5^ = (3

■

5)^ = 73 • 5 (modelo)'

i

b ) V 7 - y 8 " =

^

5 / — A , 1 i - i . - 1 4 . ± 5 . - L

c)77 • VT = 3= • 7" = 3" • 7^° = 3 " • 7 " =

( 3 4 . 7 5 ^ ^ ^ ( m o d e l o ) ï

d)Vr-V9 =

e ) V 3 - V 7

=

;

. |

D E U M M O D O G E R A L : |

Ta" • Vb" = "Va" ■ b" Sendo: a eb reais positivos

p em naturais maiores que 1

5) Complete, observando 0 modelo:

a) Vy : = 8"^ : 8^ = 8"^ = = j

~ ~

7 8 '

8 '

=

7 ^

( m o d e l o )

b)V5^:V5^ =

c ) V T : V T =

. j

d ) V ¥ :

V F

=

^

I

D E U M M O D O G E R A L : 7 7 : 7 7 = " 7 7 7 7 ^ = " 7 7 ^

Sendo: a real positivo diferente de zero mer naturais maiores que 1

6) Complete, observando o modelo:

a)\^;VT= 3^ : 5^ = (3 : 5)^ = '/sTs (modelo)

b ) ^ : V 8 =

c)V5":V4'=

d ) V f : V 9 =

^

D E U M M O D O G E R A L ;

Sendo: a real positivo

b real positivo diferente de zero

m e p naturais maiores que 1

Grupo VII — Exercfcios de Aplicaçâo

1) Efetue:

a ) V r - V T =

b)V^- ^ =

0 ^ : ^ =

d)^- ^ =

2) Efetue:

d ) V ^ =

e ) V 1 2 8 =

POTEIMCIAÇÀO E RADICIAÇÂO

b ) ^

■

^ =

oVJ-. ^ =

(a Oe b i" 0)

romplete, observando o modelo:

■

= 2 • 3=

■

^ = 18^ =

= 1 8 ^

(modelo) b) n/5^ • 3 =

c ) n / ^ 7 =

d) Va®

■

• c =

;)^a®

■

b'®

■

e =

f ) V 2 ^ 3 ^ =

g ) ^ =

Wx/F =

= j ) = 4) Fatore o radicando

e simplifique os radicais:

&)VW =

b)\/6ÔÔ =

cjvTi" =

Grupo VIII — Exercicios Preliminares

1) Complete: a) (a®)- = b) (a^)» = c) (a-")" = d ) a ' = = e ) a ' ^ = f) a^® = 2) Complete, observando o m o d e l o : (a-)^ ( a )

-a)(V^)' = (5^)'=5"^=Vy

b) (n/T)- =

c) (\^)'" =

d ) y = D E U M M O D O G E R A L : S e n d o :

{ T ô . y = ^

a real positivo

m natural maior que 1 q i n t e i r o

( m o d e l o )

I

3) Complete, observando

0 m o d è l e :

2) Complete, dando o resultado sob a forma de uma unica potencia:

a) n/î/S = (^5)' = = 5'

■

' = 5^ =

b) VW=

c ) =

d) ¥7T=

(modelo)

(m natural maior que 1)

a) m^ • m* ■ m"' =

2 2

b) x' • x"'" : X* =

c ) ( 5 - ) ' =

d )

3) Efetue as potencias indicadas,

simplifîcando os resultados ao maximo:

(m G IR+) (x € R.) (a € R+) D E U M M O D O G E R A L :

a)(2V^)= =

9 ^ = " V T

Para a real positive

m ep naturais diferentes de 1

b){3V3y =

c ) ( m ' \ / n r =

d ) ( - ^ ) ' =

/m€ (R, \

in e R?)

p€ R , qe RÎ

Grupo IX - Exerclcios de Aplîcaçâo

ADIÇÂO E SUBTRAÇÂO

1) Observe o modelo e complete dando o

resultado com urn so radical.

a)vr7r= Wl'

■

2 =V^

b ) V v t / i r =

= \/2

c)vVVW=

d)V3W=

( m o d e l o ) (x 6 R.) (a e R.)

Grupo X — Exercicios Preliminares

1) a) Construa ao lado, continuando o "caracol" iniciado, os segmentes de

comprimentos \f2,

respectivamente, na unidade 1 i 1

b) A reta real ao lado é graduada com

a mesma unidade do item a.

Com a ajuda de um compassé marque o ponto A tal que a (A) =

(lembre que a (A) significa abscissa de A).

I x

r

1

2 1 2 0

c) Com a ajuda do compasso marque, à direita de A, um ponto B tal que:

m(ÂB) = \/3

d) Com a ajuda do compasso marque

o ponto C tal que:

a (C) = \/5

e) Complete com = ou ^ B

Você observou que:

\/5

\/y-i-\/3"# \/5

D E U M M O D O G E R A L :

Quase sempre: \/a" + Va 4- b

para a e è reals positivos.

SERÂ QUE:

2 73 + 473ÉO M E S M O Q U E

6 73?

r — ^ ^ \ / 3 e m e v i d e n o ; ^ . ^

2\^ + 4vT = (2 + 4) \A3 Colocou 3 ^ pej^ djstributi^^

(2 + 4) \/T= 6V^ Somou mteiros.

Grupo XI — Exercfcios de Aplicaçao

1) Coloque — ou ^ de modo a obter sentenças verdadeiras: a) 2 + 5 7 b ) \/2 + \/^ V l c) \/4 + \/9 s / n d ) v T e ) ^4 + ^9" 5 f) \ / T - V 9 - \ / 5 g) V T - \ / - 5 h ) 1 > - 5 i ) \ f 4 - \ / 9 1 j ) f > > - 1

2) Reduza os termos semelhantes:

a ) 2 ^ 2 + 2 ' ^ - 1 ^ =

h ) ^ - 2 ^ + ^ =

c)</3 ~ iVJ + 5 =

d ) 2 ^ + S V T- V T =

e) \/~Ï2 - V4~ + ^^12 + 5^^ =

3) Observe o modelo e complete:

a)\/Ï8"+ 3vT+ 5V2- 2VT=(3 + ^(5 - 2)^= 6\f2

(modelo)

b) Vn - n/zT + =

2 3 2 2

d) ^/W- 5^^128" + V^=

4) Observe o modelo e complete:

. 2 + n/Î8'_2 + 2\^_2(1 +vT) _

6 6 6

_ 1 + VT (modelo)

3 b ) e) d ) 15- "/TS _ 1 5

10 + NAïr_

\ ^ - V ^ _

RACI01MALIZAÇÀ0 DOS DENOMINADORES DE FRAÇÔES

'no caderno oe ^piGONOMETRi/x pE MEU IRMÂO

UMAEXPR,^

I" N U N C A V A M O S PODER ESCREVER ISTO

DE MODO MAIS SIMPLES! COMO É QUE VAMOS ACHAR

ODENOMINADOR

C O M U M ?

TENTANDO MULTIPLICA^

0 denominador pgr

UMA MESMA QUANTIDÂDE

ATE "SUMIR"O RADICAL

DO DENOMINADOR! que TAL?

U

G r u p o X I I — E x e r c i c i o s P r e l i m i n a r e s

1) Calcule OS produtos e as potências indicadas (lembre os produtos notaveis):

a ) ( \ ^ ) ' =

b ) { ^ y =

c ) =

d)(V5'y =

e)(\/2 + ly =

f) (V2 + 2)(\^ - 2) =

g)(\/5"-3)' =

h) (V^- 3)(\/5" + 3) =

i ) ( l - \ / J ) ' =

j ) ( l - \ / r ) ( l + \ / J ) =

J 2 4 2 5

^An a ter sentenç^s

2 ) ^ v e r d a d e i r a s

-a)'/l5 • —

b ) ^ - —

c)^- —

= 1 5 h ) i )

(X)\ns-e) (n/3-n/T) •

f) (1 + N^) •

-g) (3-/Ï5)-_

= 2 . = 5 _ = 6 V 3 - V 2

- 4

^

3 - V T 5 = 3 - 2 = 1 - 7 9 - 1 5

Observe os modelos e complete

Hlmodoaobterfraçôesiguais de

denominadores inteiros.

a) 1 _

1 • \/3 _\^

\/I n/3 • "/a 3

(modèle)

A n o t e :

Se uma fraçâo tem radicals em seu denominador, dizemos que

racionalizamos seu denominador quando escrevemos uma fraçâo igual que tem

d e n o m i n a d o r r a c i o n a l .

Grupo XIII — Exerdcios de Aplicaçâo

1) Racionalize os denominadores das fraçôes: a) b )

3 > / 2

_

^

\ / Ï 8

3 \ / T

3 \ f 2 - V 2

h

2

(modèle)

b ) 7 ^ \/5 a _ c) v T 4 c) d) 2 _ \/2 d ) 3 \ ^ 5 _ 1 _ e) 8 3 + /T f ) e ) - 1 0 _ \ / â + f) g) ^ - \ / 2 " 1

3(\/5-v/2) _ 'j(\/5-\/2) _,/5_^

g) v T - s / y h ) \ / 3 " -2 + \/T 2 7

RELAÇÂO DE ORDEM EM B

RACIONALIZAMOS os DENOMINADORES E ENCONTRAMOS: E A G O R A E F E T U A M O S , P A R A A G R A D A R A O S M AT E M Â T I C O S Q U E G O S TA M D E T U D O B E M S I M P L E S : 4 J 3 - 3 - 3 J 2 J 3 - 3 Afirmaçôes J u s t i fi c a t i v a s a

y y" = Aplicou a definiçào de raiz de indice m.

a ^ 0 ® b 5: 0 tQ(jo assunto os radicandos

sâo de SuPo n h a m o s a < b x'" < y"* x < y â < 7 b I d é i a s u a !

Substituiu a e b per seus valores.

Potências de mesmo expoente inteiro de numéros positivos variam de acordo

corn suas bases.

Substituiu X ey por seus valores.

/ _{B a c A N A !}

i COMPARAPl^pl

p^AlsOE MESMO c o m p a r a R R a d i c a n d o s i S E O I N D I C E F O R I G U A L . O R A D I C A L Q U E T E M M A I O R R A D I C A N D O R E P R E S E N T A , O M A I O R N Ù M E R O I 2 9 28

Grupo I - Exercicios de Aplicaçâo

1) Complete com> ou<:

2) Observe a —

d)V^ =

=

a ) ^ _

b ) ^

c ) ^

-^231

(a # 0)

O modèle e complete:

,)y5-= = ^ ^^<v/3

^3^ = ^27

b)N/ÏÔ'= —

-(modelo)

(a # 0)

(x^tO)

c) T é anti-simétrica d) T é transitiva

e) T é uma relaçào de equivalência f) T é uma relaçâo de ordem

Voce observou que:

2) Seja a relaçâo S sobre ]R definida por:

X ^ y

, a) S é uma relaçâo de equivalência? Por que?

b) S é uma relaçâo de ordem? Por que?

3) Marque nas retas graduadas os subconjuntos delR indicados:

a) A = {xe ]R| - 2< x< 3} b) B = {xG K I 1 < 2} 0 1 1 ' 0 1 ' A n o t e :

p r o p r i e d a d e s

Grupo II — Exercicios Prellminares

1) Considéré o conjunto R e a relaçâo T

sobre R definida por: X < y

Assinale com V ou F:

a) T é reflexiva •

b) T é simétrica

O conjunto A também é representado por (- 2, 3] e se chama intervalo (ou segmento) fechaào de extremidades —2e 3.

4) Considéré os conjuntos:

C = {xE R| -2< x< 3} D = (xE R| -2< x< 3} E = (xE R| -2<x<3} Você jâ sabe répresentâ-los

A n o t e : A n o t e : C o n v e n c i o n a m o s : A representaçâo de C na reta A representaçâo de D na reta A representaçâo de E na reta - 2 - 1 0 1 2 3 - 2 - 1 0 1 2 3 - 2 - 1 0 1 2 3 I n d i c a m o s : C = ]-2,3], D = h2,3[ e E = ]-2, 3[

C se chama intervalo (ou segmenta} aberto a esquerda de extremidades

- 2 e 3 .

D se chama intervalo (ou segmenta) aberto a direita de extremidades ~2 e 3. E se chama intervalo (ou segmenta) aberto de extremidades — 2 e 3.

5) Considéré os conjuntos:

F = { x e 3 } G = {x6 R| x< 3} H = {xe ]R| x> 2}

I = {x

€

R I x> 2}

a) Voce jâ sabe representa-los

todos numa reta graduada?

b) Quais os que voce sabe

representar? c) Represente-os: H H 0 1 0 1 C o n v e n c i o n a m o s : A representaçâo de G na reta é: ^ A representaçâo de I na reta é: 1 I 0 1 2 ■i ^ 0 1 2 3 I n d i c a m o s : F = ] - ° ° , 3 ] . G = ] - o o , 3 [ , H = [ 2 , O O [ , I

F se chama semi-retafechada de origem 3.

G se chama semi-reta aberta de origem 3. H se chama semi-reta fechada de origem 2. I se chama semi-reta aberta de origem 2.

= ] 2 , o o [

A n o t e :

O s s i m b o l o s : 00 se le: infinito

— CO se le: menos infinito

Grupo III — Exerdcios de Aplicaçâo

1) Représente nas retas os intervalos:

a) [- 2, 0] b ) ] - 3 , - 2 ]

c ) ] 5 , 7 [ ^

d)[3. 6[ 0 1 0 1 0 1 0 1 3 2

2^ 0 modelo e complete.

a ) ^ b ) c) 0 1 : >■ d 0 1 0 1

[0, 1] (modelo)

5) Come voce representaria

na notaçâo de intervale: a) o conjunto IR? b) o conjunto IR.^? c) 0 conjunto IR. ? A d) 0 conjunto IR* ?

e) 0 conjunto IRf?

d ) e)

3) Représente nas retas:

a) J-". 51

b ) ] - " . 5 (

d) [-3.

4) Complete analogamente ao exercicio 2:

0 1 0 1 a) b) c) d) 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 y 0 1 - f - - - I 0 1 N O A N O P A S S A D O V I M O S Q U E : ( R . + ) E ( R ; SAG GRUPOS COMUTATIVOS. V A L E M E M R A P R O P R I E D A D E

D I S T R I B U T I V A O A

^MULTIPLICAÇÂO SOBRE A ADIÇÂO E

OS PRINCI'PIOS ADITIVOS E M U L T I P L I C A T I V O S !

MEU IRMÂO DISSE

Q U E T U O O I S T O S E / X B R e V I A O I Z 6 N D O Q U 6 m +. •) 6 UM CORpQ q r d e n a o o p e l a R E U A Ç A O 3 5

M p n m n m

S

i

I

FUNÇÔES - DOMINIO E CONJUNTO-IMAGEM

_ Exercicios Preliminares

N o t a ç â o : D(R) é 0 domînio de R I(R) é 0 conjunto-imagem de R Grupo I

DConsidereosconjuntosMeN

da figura ao lado e a relaçâo

S de M em N definida por.

= ±\f\

X H - y

a) Trace as fléchas que representam S.

b) Contome o subconiutvto U

cuios elem-ecws x%m "imagem pela b,

e chame-o de D.

c) Complete: D —

d) Contome o subconjunto de N

cujos elementos sâo imagens e

elementos de M pela S, e chame o

M 1 • 2 , 3 .

e) Complete: I - —

A n o t e :

D chama-se domînio de S.

I chama-se conjunto-imagem de S.

de UM modo GERAL:

Dada uma relaçâo R de A em B chamamos:

2) Considéré os conjuntos:

L = {0. 1, 2, 3( J = {0, 3, 6, 9, 12}

e a relaçâo T de L em J definida por:

' X I — y = 3 x

a) No diagrama ao lado représente os

elementos de L e de J e trace

as fléchas que representam T.

b) Todo element© de L tem imagem em J?

c) Esta imagem é ûnica? d) Contome em azul D(T) e em verde I(T).

e) Assinale com V ou F: D(T) c L

D ( T ) = L

T é funçâo I ( T ) c J

D ( T ) = J

3) O grâfico ao lado représenta uma

relaçâo M sobre R. a) Quais as imagens pela M:

de - 5? d e + 5 ? de 0?

d e + 6 ?

b) Cite outros 4 elementos que possuem

imagens pela M.

Dominio de R ao subconjunto de A cujos elementos têm imagem pela R.

Conjunto-imagem de R ao subconjunto de B cujos elementos sâo imagens de algum

elemento de A pela R.

c) Cubra em azul no eixo dos x o

d o m î n i o d e M . !

^ T

1 1 1

\

_\ i 1 • 1 1 ' X ■

\

1 i 1

J

\ V ! i J / 1 i i 1 1 (

1 1 i

1

_i

_{1 1 1}

3 7 3 6

d) Complete: D(M) [

e) Complete:

2 é imagem de

3 é imagem de

de : pete M.

pela M d e , d e .

f) 4 é imagem de algum elemehto de M?

g) Cite outros elementos que sâo imagens de

algum elemento de R pela M.

h) Cubra corn laranja no eixo dos y

0 conjunto-imagem de

M-i) Complete: KM)

= [

j) M é uma funçâo?

4) Considéré a funçâo f em R definida por:

f : y = 2x + 1

a) Trace o grâfico de f.

b) Todo numéro real tem imagem pela f?

c) Quai 0 dominio de f?

d) Todo numéro real é imagem de algum

elemento de R pela f?

e) Quai 0 conjunto-imagem de f?

f) f é uma funçâo sobre R?

3 8

f

G r u p o M — E x e r c i c i o s d e A p l i c a ç â o

1) Observe os diagramas ao lado.

a) Assinale com X, no quadro, as funçôes:

relaçâo _funçâo P 0 s T R M b) Assinale com V ou F: D ( P ) = A D ( Q ) = A D ( S ) = A D ( T ) = C D { R ) = C D ( M ) = C I ( P ) = B K Q ) = B Ï ( S ) = B 1 ( T ) = E I ( R ) = E K M ) = E r e l a c â o P relaçâo S relaçào R A r e l a c â o Q r e l a c â o T relaçâo M 3 9

2) Considéré o conjunto

A = ixe]N| 10}

e a relaçâo R sobre A defmida por

Xh-y — zx

complete pela enumeraçâo dos elementos:

R =

D(R) = I(R) =

3) Considéré a funçâo real h defini^da

pelo grâfico cartesiano ao lado.

Complete:

a )

D ( h )

=

[

1

b )

1 ( h )

=

[

]

c) A regiào colorida do piano

cartesiano représenta o produto

cartesiano:

5) Considéré a funçào real m definida por:

■ 2

Seja D(m) = [-5. 7]

a) Pinte a regiào do piano cartesiano

que représenta o produto cartesiano: D(m) X M

b) Trace o grâfico cartesiano de m.

c) Complete: K m ) =

4) Considéré a funçâo real f definida por:

y = X - 3

Seja; D(f) == [-4. 6]

a) Trace na figura o grâfico

cartesiano de f.

b) Complete: 1(f) =

A regiào colorida représenta

0 produto cartesiano: 4 0 . y 1 I ' 1 X — 1 1 t 1 1 1 !

i

; i 1 ' :'

i :

FUNÇÂO QUADRÀTICA

Voce lembra que:

Grupo I _ Exercicios Preliminares

1) Trabalhemos no conjunto K. Sej^am

as funçôes monomiais em x.

f(x) = 3x= p(x) = -8

g(x) = -, q(x) = -5x'

h ( x ) = S x • ' M =

a) Complete reduzindo os termes

semelhantes quando possivel:

s(x) = f(x) + g(x) =

t(x) = f(x) + g(x) + h(x) =

u(x) = f(x) + h(x) + p(x) =

= f(x) + g(x) + h(x) + p(x) +

+ q(x) + r(x) =

n(x) = g(x) + h(x) + r(x) =

b) Complete o quadro:

funçâo grau da funçâo

f(x) h(x) p(x) s(x) t ( x ) u ( x ) m ( x ) n ( x ) A n o t e :

A expressâo 3x^ + 4x chama-se hinômio em x

a expressâo - 2x^ - llx - 8 chama-se triuômio em x.

2) a) Complete o quadro assinalando, na

2? coluna, com T os trinômios. com B os binômios e com M os monômios:

polinômios tipo do polinômio grau do polinômio

3 x + 4 4 - 3 x = 2 x - 3 x ^ + 1 5 x 3 x -4 x ^ - 6 2x - 3x= 2 x ^ 3 ) ^ 4 2 5 X - 1 + x ' .

b) Escreva os polinômios do 2? grau,

entre os acima, ordenados pelas potências

decrescentes de x:

b) Représenta no grâfico os pontos

cujas coordenadas voce encontrou

n o i t e m r t .

c) Esboce a curva que représenta a funçâo.

A n o t e :

A funçâo do 2? grau se chama funçâo quadrâtica. Na funçâo quadrâtica

f ( x ) = a x ^ + b x + c ( a # 0 )

a éo coeficiente do termo do 2? grau b éo coeficiente do termo do 1? grau

c é 0 termo indépendante de x

Represeimtaçào grâfica da fuimçào quadrâtica

Grupo II ^ Exercicios Prellminares

1) Seja a funçâo quadrâtica:

f(x) = f

a) Complete o quadro:

d) Complete: D(f) = IR 1(f) =

2) Considéré a funçâo quadrâtica: g(x) = x' - 4

. . . ' — — — X i 1 M —

60

= (x

)q

sic

nb

so

A so

0 |B

S 3J

a p

d X

B JB

S IB

O Q

( a

= (M )I ii = (M )a :a}aiduio3 (p 91» siBnb so isjvd so Of s si Bn ^ (a

(^)a

• ®^

3 l dm

o 3 (

p

•(x)ii 0f6un]f B B:(uasajdaj anb bajho b aooqsg (o

•o uiaji

op sajBd

so uiaJBiuasajdaj

an b s oju od so od ^b j3 ou ajB Uis sy (q ! i i (x )q L 9 S 1 t' G 1 t

Z

\

l-l 0 x lOJpBub 0 ajaiduio3 (B ,x _ X9 = (x)q :BDqBjpBnb OBiunj B ajapisuo^ {£ \ i;

■

° Eiu

n , B

E ,u3

s 3jd

9 J

a nb

E «n

3 n

® ma

i l op

s ajBd

s o o

b s s

B pBu

a piO

O O

s Bfn

o

s oju

o d

s o

o di|

b j3

o u

a jua

s ajd

a y

( q

4 8

4) Considéré a funçâo quadrâtica:

f (x) = x' - 2x - 8

a) Complete o quadro:

X 0 1 - 1 2 - 2 3 - 3 4 5

f(x).

b) Représenta, no sistema de eixos

cartesianos ao lado, a funçâo f(x),

utilizando os pares encontrados

no item a.

c) Complete:

D(f) = 1(f) =

d) Quais os valores de x para

os quais f(x) = 0?

A n o t e :

A curva que représenta a funçâo quadrâtica chama-se parabola.

Se f é uma funçâo real, todo numéro real a, ta! que f(a) = 0,

chamado zero da funçâo f.

V

Grupo III — Exerclcios de Aplicaçâo

1) Considéré a funçâo:

f(x) = - 2x^

a) Complete o quadro:

X 0 1 - 1 2 - 2 3 - 3

f(x)

b) Représenté, no sistema de eixos cartesianos ao lado, a f(x),utilizando os pares encontrados no item a.

c) Complete: D ( f ) = 1(f) = d) Hâ em IR zeros da funçâo f? q u a n t o s ? . quais? y_L . 1 —

I l

I ; I I i - f - 4 1 4 -t • I - î - t

I

|-t-- f- rf -2) Considéré a funçâo: g(x) = x^ - 4x + 4 a) Complete o quadro: X 0 1 - 1 2 3 4 5 g(x) 4 9

y

, ^ W y \ ! n • V "/* "• J '

B.'.i i ^ h ' i

["4'

Ki'

j}r..

k

r r . , » / ; « w J

b) Esboce, ao lado, o graf.eo

cartesiano de g(x), utdizando

OS pares obtidos no Item Û.

3) Considéré a funçào: h(x) = + 6x + 5 a) Complete o quadro:

X 0 1 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7

h(x)j

9

b) Esboce, ao lado, o grâfico de h,

utilizando os dados do item a.

D(h) = 1(h) =

x 0 1 - 1 2 - 2 3 4

j ( x )

b) Représente, ao lado, o grâfico de j, utilizando os pares o b t i d o s n o i t e m a . c) Complete: DO) = IG) = d) j possui zeros em R? 1 1 1 1 . Y i : 1 1 1 ; 1 1 1 1 i ! ; 1 i 1 _j 1 1 1 1 i i 1 ■ t 1 ^ i ! 1 i <

i

i

1 i ■ . ! ! ; 1 ■ i i 1 ' • ' 1 1 ; i ' 1 ; . i !

i Î

' i * ! 1 1 i 1 J ; 1 I _{1 1} I ! i 1 i 1 1 1 I 1 i 1 t '

1

^

—

1 j t i I 1 — 1 1 5 1

5) Considéré a funçâo:

m(x) = -x' + 6x- 11

a) Complete o quadro;

b) Esboce, ao lado, o grâfico de m,

usando os pares do item a.

c) Hâ em JR zeros de m?

X 0 1 - 1 2 3 4 5 6 7

m(x)

Voce observou que:

, , v <4 / ■i/ V

j

i 1 J y y > > , • • 1

a) O dominio da funçâo quadrâtica é sempre R.

b) Uma funçâo quadrâtica pode ter dois, um ou nenhum zero.

y

EQUACÔES DO 2? GRAU

Grupo I — Exercicios Prellminares

1) Considéré a funçâo:

fi(x) = 9

-a) Complete o quadro:

X 0 1 - 1 2 - 2 3 - 3 4 - 4

fi ( x )

b) Représente ao lado a fi(x),

utilizando os pares do item a. c) Quais as coordenadas dos pontos em que a curva corta o eixo dos x?

( . )

( . . )

d) Quais as ordenadas destes pontos?

e) Quais as abscissas destes pontos?

y

d) Neste caso:

, = Oentâoteremos:

2 = 0,cujoconjunto-verdadee

'''' . „.o^erdade da equaçâo

4, Considéré a equaçâo:

3x + 2)d = Sx

Complete:

a) Reduzindo os termes

semeIhantesobtem-se:

b)Fatorandooprimeiro membre tem-se

c) Voce conclui que

d)Oconjuntoverdade da equaçâo

3x + 2x= = 5xé

V-5) Considéré a equaçâo:

x' + 2x - 15 = 0

Complete:

a) Fatore o primeiro membro:

-l- 2x " 15 — {x

(lembre que voce deve procurar

dois numéros cuja soma seja + 2 e ci^o

" p r o d u t o s e j a - 1 5 ) .

b) Se 0 primeiro membro é nulo,

voce tern: (x

c) Você conclui que d) E entâo V =

6) Considéré a equaçâo:

+ 2x + 1 = 0

Complete:

a) Fatore o primeiro membro: (x

b) Voce conclui que:

= 0 ou

)(x

- ) ^ ) ( x _ = O o u ) = 0 0 c) Donde: V = — )(x_ 0 ou ) = 0 - = 0 7) Considéra a equaçâo: - l O x + 2 5 = 0 Complete:

a) Fatore o primeiro membro: (x _

b) Voce conclui que:

c ) D o n d e : V = 8) Complete os quadros: - ) ( x - - ) = = 0 o u 0 = 0 a) _equaçâo x^ = p V x ' - 2 5 = 0 = 0 _{4 x ' - 2 5 = 0} = 0 _{2 5 + x ' = 0} = 0 X» - 2 = 0 b) equaçâo ax^ + bx + c = 0 f a t o r a n d o o 1 ? m e m b r o V x ^ + 5 x = 0 x ^ — 2 x = 3 x 2 x + 4 = 3 x ^ ■+ • 4 4 x + x ' = 5 x + 3 x " 2 x ^ - 5 = 5 x - 5 c) _equaçâo ax^ + bx + c = 0 f a t o r a n d o o 1 ? m e m b r o V x^ — 7x = — 6 — 12x x^ — llx + 30 — X — 6 4 x = x ^ - x + 4 6 x = x ^ + 9 x ^ + 1 4 x + 4 0 = - 9 5 7

V A M O S T E N T A R T R A N S F O R M A R . E U FA Ç O É VOCÉ J U S T I F I C A ! E S T A B E M . V A M O S R E S O L V E R 2 + 7 x f 2 = 0 NESTA EQUAÇÀO: a = 3 b = 7 c = 2

3x^ + 7x = 2 Aplicou o principio aditivo.

12(3x^ + 7x) = 12(- 2) Aplicou o principio multiplicative (escolheu o fator 12 por ser o

quadruplo de 3 e facilitar a obtençào de um quadrado no 1? membre).

36x^ + 84x = - 24 Efetuou os calcules aplicando a distributiva.

(36x^ + 84x) + 49 = - 24 + 49 Aplicou o principio aditivo (somou

0 quadrado de 7, para tornar el?

membre um quadrado).

36x' + 84x + 49 = 25 Efetuou os calcules.

(6x + 7)^ = 25 Fatorou o 1? membro.

6x + 7 = Definiçâo de raiz quadrada.

6x + 7 = 5ou6x + 7 = ~5 Separou as duas possibilidades.

6x = ""7 + 5ou6x = -7~5 Aplicou o principio aditivo às duas equaçôes.

- 2 - 1 2

Xi — —7- ou X2 — —7- Efetuou OS calcules indicades.

— 2 ~ 2 Simplificou as fraçôes.

V = ~ 2} Achou 0 conjunto verdade.

A n o t e :

As sentenças ligadas pele conective ou do tipo:

6 x = - 7 + 5 e u 6 x = - 7 - 5 X = - 7 + 5 7 o u X = - 7 - 57

podem ser escritas. resumidamente, como a sentença composta:

6 x = - 7 ± 5 X —

- 7 ± 5

(lê-se: X é igual a menos sete mais ou menos cinco, sobre seis)

V A M O S R E S O L V E R OUTRA EQUAÇÀO:

+ 3x + 3 = 0

2x^ + 3x = - 3 Aplicou 0 principio aditivo.

8(2x^ + 3x) = 8(- 3) Aplicou 0 principio multiplicative

(escolheu 8 por ser 0 quadruplo de

2 e facilitar a obtençào de um quadrado

no 1? membro).

16x^ + 24x = - 24 Distributiva.

J 5^2 _)_ 24x + 9 = - 24 + 9 Aplicou o principio aditivo (somou

0 quadrado de 3, para tornar 0 1?

membro um quadrado).

(4x + 3)^ = - 15 Fatorou 0 1? membro.

MAS NÂO É POSSI'VEL UM Q u a d r a d o N E G A T I V O ! 6 0 6 1

\ i w

Grupo

1) a) Complete

0 quadro, calculando d :

b )

Quaisasequaçôesadmaem^que

c) Quais as equaçôes acima

que tern raizes reais?

d) Quais

e) Quais as equaçôes acima

que nâo tern raizes reais?

2) Observe os modèles e resolva as

' equaçôes em K, completando.

a x ^ + b x + c = 0 d 1) 9x^ - 6x + 1 = 0 2) 3x' + I4x - 5 = 0 3) 2x^ - X + 3 = 0 4) x^ + 5x + 7 = 0 5) 4x^ + 12x + 9 = 0

a) 2x^ - X + 4 = 0 d = - 4ac

d = ( - 1 ) ^ - 4 - 2 - 4 = - 3 1 < 0

A equaçào nâo tern soluçào real

V - { } = 0

b)2x' + 7x + 3 = 0 A = b' - 4ac

A = 4 9 - 2 4 = 2 5 > 0 -b ± \/~E^ X — s 2 a

^ - 7 ± V ^

X i _ - 7 + 5 o u _{X i =} - 7 - 5 .

c) + X - 72 = 0

d = d = X = X = X i = X , = V =

d) 2x^ + 2x + 3 ==

e) 3x^ + 8x - 3 =

f) x' + 4x + 4 = 0

g) 4x' - 20x + 25 = 0 o u X 2 = o u X 2 =

X i = - y o u

V = {-f,-3}

X j = - 3 6 5

Voce observou que:

Numa equaçào do 2? grau

seA > 0 entào aequaçâo tern duas raizes reaise diferenles.

se A = 0 entâo aequaçô tem uma so raiz real. Se A < 0 entào a equaçâo nâo tem raizes reais.

S E A < o t e m o s QUE OIZER QUE NÀO HÂ RAIZES REAIS? NÂO

BASTA DIZER QUE V =07

SERÂQUE HÂ RAI'ZES NÂO R E A I S ? D E FAT O O U V j jerque existe UM

^ONJUNTONUMÉRU.^

cy g AS EOUAÇÔe^ "

0"^^ 2°

A < 0 tem RAl'ZEs, y

3) Complete o quadro (U =]R)ecoloque

< , > ou = na 3? coluna. a x ^ + b x + c = 0 4 x ^ - 2 x + 1 = 0 / 2 _ _{6 x + 4 = 0} 4 x ' - 2 0 x + 2 5 = 0 = 2 x + 1 = 0 3x' - lOx + 8 = 0 3 x ' - l O x + 1 0 = 0 Six' + 60x 4- 100 = 0 b^ - 4ac A 0 V numéro de r a i / e s e m H y V

J

4) Resolva as equaçôes em ]R

e complete: a) ax" 4- bx + c = 0 A V - 4 x 4 - 4 = 0 - 2 x - 2 = 0 x= - 2x 4- 5 = 0 5x' - 5x 4- 2 = 0 x' - 4x - 1 = 0 9x^ 4- lOx + 1 = 0 X» + 3x 4- S = 0 s>x^ 1 I I I o b) e q u a ç â o ax^ 4- bx 4- c = 0 A V 1 l i X 1

X

^

* ^ 3 2 8 5 1 7 x - 6 8 4 X - 1 3x — x' _ 1 1

2

3

" ^ 3

(x + 5)(x + 2) = 40 (x- l)(x + 4) _ T

3

^

6 7 6 6

A = A = P =

5) Considéré a equaçâo:

4^:-12X + P-0

Complete*

a)

d) Este é 0 valor de _

Ss^'d^renteSVreeiso ^

'TReso.vendoai-q-ç^°j-^^^^^^ p

g) Esta é a condiçao para q ^

pniiacâo dada nâo tenha

h) Para que . precise que: P

6) Considéré a equaçâo:

3x=-2x-3m = 0

para que valores de w a

: a v t v " « —

reais e diferentes?

7) Considéré a equaçâo:

9x^ + rx + 4 = 0

Para que valores de r a

equaçâo terâ sô uma

raiz real?

8) Considéré a equaçâo:

nx^ - 2x + 1 = 0

Para que valores de « a

equaçâo terâ raizes reais?

o u = 0

. 0 o u > 0

SOMA E PRODUTO DAS RAiZES

Grupo V — Exercicios Prelimînares

1) Complete o quadro: a x ^ + b x + c = 0 x , X 2 Xi + Xî X , ■ X 2 _ b a c a 2 x ^ + 7 x + 3 = 0 3 x ' - 8 x - 3 = 0 x ^ + 9 x + 1 4 = 0 4 x ^ - 2 0 x + 2 5 = 0 x ^ - 9 = 0 x = - 2 x = 0 x ^ - 2 = 0 . x = + S x = 0

AI VERDAD^gg^

6 9

2) Dada a equaçao

ax^ + bx + c = 0 (a 7^0, A 5^0)

e a s s u a s r a i z e s - b + n / Â 2 a -h - Va 2a mostre que: X , = X 2 a) Xi + X2 = — sl b) X, • X2 = — afirmaçôes 1) X, • X2 =

2 ) x , . x ,

=

^

4a? 3)x, • X2 _ ( - b ) ^ ' - i V Â ' r 4) X, • X2 = - A 5) X, • X2 = 6) xi • Xî = - ( justificativas

substituindo A por - 4ac

7 0

afirmaçôes justificativa

1 ) X . + X , = + somando as duas raizes

2) X, + Xï = e f e t u a n d o o s c â l c u l o s

3) X, + Xî =

di

Grupo VI — Exercicios de Aplicaçâo

Observe os modèles e complete o quadro:

X i X 2 S=Xi + X2 b a P = Xi«X2 c a a a o u x^-Sx + P=0 ax^ + bx + c = 0 1 - 3 S = -2 2 P = -3 - 3 x^ + 2x-3 = D x ^ + 2 x - 3 = 0 1 2 2 5 " 2 P = 1 1

x^-|x + l =0

2x^-5x + 2 = 0 2 - 4 - 1 - 3 2 3 1 3 1 5 4 " 3 1 " 2 1 2 5 5 0.3 - 2 0,1 - 0 , 5 -2,5 1 ' 4 • l + \ ^ I - V ï 2 * y / ï 3 2 --s/T 3 • ■ 7 1

SISTEMA DE EQUAÇÔES E PROBLEMAS

Probiemas

Grupo VN - Exercîcios de Aplicaçâo

1) Observe e complete, resolvendo os

sistemas de equaçôes em R.

b)-X - y = 4 xy = 21 (4 + y)y = 21 y i = y 2 = v = {( x + y = - 5

^xy = -50

V = {( X = 4 + y X i = X ; = ) , ( _ X = ), ( )}

2) G produto de dois numéros

pares consecutlvos é 224.

Ouais sâo estes numéros?

Complete:

a) Se indicarmos o primeiro

numéro por x, o segundo sera

b) e o produto sera _

c) A sentença matemâtica

correspondente à senten^

dada é x(x + 2) -

--d) Para descobrir estes numéros

basta resolver a equaçâo do 2. grau

e) O conjunto verdade é V

f) Os dois numéros sâo _

. o u

7 2 C) X - y = - 2 X2 - y2 = 20 v = {( X + 2y = 9 xy = 10 V = e) V = 3x — y = 0 ==^ y + y2 = 10 ) i

3) O quadrado da quantia que

Janete possui, aumentado do

dobro da mesma qu^ntia.

Cri 120,00. Complete:

a) Se representarmos ^

wo "'S'ïï'iS

C) Sent V -y =

f) Janete possui

Voce observou que:

Ac resolver um problema voce passa pelas seguintes fases:

1) Simbolizar as incognitas do problema.

2) Equacionar a situaçào apresentada.

3) Resolver a equaçào ou o sistema encontrados.

4) Discutir as soluçôes encontradas em relaçào à situaçào do problema.

4) Quai 0 numéro inteiro cujo

dobro, adicionado ao triplo

de seu quadrado, é igual a 1?

Représente o numéro procurado por x.

Complete:

a) Equacionando a situaçào

obtém-se a equaçào:

d) O numéro procurado

b) Resolvendo a equaçào,

o b t é m - s e : V

c) O ûnico elemento inteiro de V é

7 4

P « A soma de dois numéros é

16 e a soma de seus quadrados é 136

Quais sào estes numéros'

Représente os numéros por

X e y.

Complete:

^ quacionando a situaçào

obtemos o sistema:

1

R«olvendo 0 siMema

obtemos V = {(

Os dois numéros sào

). (. _ ) }

6) Um grupo de alunos alugou um ônibus para uma excursâo,

por Cr$ 300.00. Dois deles nâo puderam viajar, e, em consequência, a despesa

de cada um dos outros aumentou

em Cr$ 5.00.

Quanios alunos deviam ir à excursâo.'

Quanto gastou cada aluno que

participou da excursâo?

Représente por:

X o numéro de alunos que

deviam ir à excursâo.

y a despesa que cada aluno teria.

Complete:

O numéro de alunos que viajaram é

A despesa de cada aluno que viajou é

c) A despesa total é sempt"^

igual ao produto do numéro

de pessoas pela

d) Equacionando a situaçào

t e m - s e :

e) Efetue o produto indieado

na segunda equaçào. oce

o b t é m :

o

h) Elimine os denommadores

da equaçào acima usando

o principio multiplicativo.

Voce encontra: x y = ( X - 2 ) ( ) = 300 x y = _ xy -2y = 3 0 0 f) Resolva o sisterna,

valor de y na primeira equaç •

T V o c e o b t e m . y

(a fraçâo existe pois o

de alunos nâo e zero)

8) Substitua na segunda

o valor encontrado pa a y.

i) Reduza os termes semelhantes e resolva a equaçâo.

Vo c ê e n c o n t r a : V =

j) Os alunos que planejavam

ir à excursâo eram em nûmero de

e) Resolvendo

Cada e m x : achad. de M 7 6

8^ Fâbio

arcos custava

comprou

1) A despesa individual, antes

da desistência, séria de

m) Cada aluno que viajou gastou

7) Marcos comprou cadernos

iguais e gastou Crî 36.00.

f abio foi em outra papelaria

e comprou cadernos mais baratos

c c a d a u m .

i D i i T i q u a n t i a

igual a de Marcos, comprou

guantos cadernos comprou Fâbio?

Représenté por:

X o preço de cada caderno Hp \a

y o nûmero de caderna^ Marcos.

_{ernos comprados}

por Marcos.

Complete:

Preço de un, caderno de Fâbio:

''>^-ero de cadernos dePâbio:

"latemâticL^qut'repre"''"'?®^

_{-®-'os décadrées}

valor de^y na retirando o

-aaMarcos.

a você obtém: V =

c a d e r n o s .

8) Mauricio percorreu. corn seu

carro, uma distância de 480 km.

Roberto, rodando a uma

velocidade média superior em 20 km/h à de Mauricio, percorreu a

mesma distância em 2 horas a menos.

Quai a velocidade média do carro de

Mauricio?

Quanto tempo viajou cada um

Représenté por

^ 0 nûmero de horas que rodou Mauricio

y a velocidade média do carro de Mauricio

Complete

a) Nûmero de horas que rodou Roberto

Velocidade média do carro de Roberto

c) Escreva o sistema que traduz

a situaçâo do problema

d) Resolva o sistenia.^retirando

o valor de y na equaçâo relatiya

à situaçâo de Mauricio

(a velocidade do carro de

Mauricio nao é zero).

Você obtém a equaçâo em x;

e) Resolvendo a equaçâo

acima voce obtem:

f) Ouanto tempo rodou Mauricio?

8) Ouanto tempo rodou Roberto.

h) Oual a velocidade média do

carro de Mauricio?

9) Um poligono tem 9 diagonals

Quantos lados tem este pohgono

Quai é seu nome.'

Représentâmes por « o numéro de

lados do pohgono.

Complete ou responda:

a) O numéro de vértices é

' i n m *

b) De cada vértice podemos

traçar segmentos que o ligam com

todos os vértices do pol'goM'

" . ï r i , î » ~ S

podemos traçar

c) Fazendo o mesmo raciocinio para

todos os vértices teremos ao todo

d) Considéré agora dois vértices

nâo consécutives do poligono,

chamando-os, por exemplo,

A e M. Pelo raciocinio acima voce contou

ÂM e~MÂ. Estes segmentos representaram

duas diagonals diferentes.

e) Entâo cada diagonal foi

contada duas vezes. O numéro

total de diagonais é

f) A sentença correspondente ao

enunciado do problema é

g) Resolvendo a equaçào

n' - 3n - 18 = 0 o b t é m - s e V =

h) Das duas raizes encontradas,

a que représenta o numéro

de lados do poligono é

diagonais.

diagonais.

7 8 n ( i) O poligono tem j) 0 poligono se chama l a d o s .

Voce observou que:

H - n(n-3)

2

Se d é o numéro de diagonais de um poligono de n lados, tem-se:

« i W l i l P

10) Explique por que o triângulo

nao tem diagonals

(observe a formula acima)

m

11) Procuremos quai é o poligo^Q

que tem 20 diagonals^

Complete;

a) Chamando de n o nûmer

de lados do poligono considerado

a sentença correspondente ao

enunciado do problema é

Resolvendo a equaçào

obtém-se-c) O poligono tem

d) O poligono é um

U) Ç

^ïnplete o quadro. convencionando

chamar de n o numéro de

lados de um poligono e de d o

numéro de suas diagonals.

13. Na figura ao lado, a regiâo

colorida représenta um terreno,

cuja ârea é de 1 050 m^. Quai a medida real do lado

de cada quadrinho da planta?

(Sugestào: chame a medida procurada de x. Equacione o problema,

lembrando que a area de um

T adrado é o quadrado da medida

do lado.) V = . lados. •1 i n d ■ 5 1 4 14 3 5 ■ 1 3 5 • -/ 7 9

T

14. A area de um retangulo é 70 m'.

Sua largura excede de 3 m o

r » . c o m p r i m e n l o .

Quais as medidas de suas dimensôes?

Chame de a medida

em métros do comprimento.

Complete:

a) A med.da da largura é representada por:

b) A area é representada por x( )

Ç) A equaçào que traduz o

_{enunciado do problema é: x( ^}

d) Resolvendo a equaçào

voce acha:

e) O comprimento do retangulo mede

') A largura do retangulo mede

V = ) = m m to numéro ou a Iptro

^ "''"recordearelaçào

de Pitâgoras.)

8 0 Polfgono e q u â ç a o e conjunto v e r d a d e Poii'gono equaçào e conjunto v e r d a d e X 5

\

x X 1 2 5 1 \ 2 x 4 4

\

W e

\ x \ \

\ / 2

V V 6 8 1

16. A hipotenusa de um triângulo

retângulo made 26 cm e a razào

^entre as medidas dos catetos é

Y2 • Quanto medem os catetos?

Représenta porxey as medidas

dos catetos.

Complete:

y

b)Osistema que traduE o enunciado

do problema é:

c) Ap6s resolver o sistema

vrvo-encontrou que OS catetos medem

respectivamente

17. A hipotenusa de um tria. ,

retangulo mede IS cm e a s®"

das medidas dos catetos é 21 cm'

Quanto medem OS catetoT?

18. A hipotenusa de um

t.-retângulo mede n

A X I O M A D E TA L E S

. _ c m e c m

8 2

Grupo I — Exercicios Prellminares

Voce lembra que:

Com uma origem, um sentido e uma unidade, temos uma graduaçâo na reta.

Para associar numéros reais a pontos de uma reta precisamos escolher uma

graduçâo.

1) a) Determine a abscissa do ponto A nas seguintes graduaçôes:

G , origem 0 régua branca sentido 00' a(A) = a origem O

régua colorida

sentido 00' a ( A ) = 8 3

origemO' régua branca sentido 00' a(A) = _ G.

b) Complete:

origem regua colorida sentido a(A) = lembra _{q u e :}

A medida do

Representamos:

segmento ^

graduaçâo é o modulo da diferença das abscissas

® suas extremidades.

m(XY) = XY = |a(Y) - a(X)|

2) Determine

^^"•edidas dos

graduaçào G,

n a G,

. '^rigemo

branca sentido 8 4 A B = B D = ' E D = D A C D B E

Grupo II — Exercfcios de Aplicaçâo

1) Sabendo que, em uma graduaçào,

a(P) = 8, a(0) = 3, a(0) = 0,

a(R) = 1, a(S) = -3, a(T) = - 1

a) marque os pontes P. Q, S,

T na reta r.

Sabendo que a(A) = 3. a(B) - 13

a) determine a abscissa do ponto

médio M de AB

a ( M ) = '

b) marque o ponto M na reta.

3)

Sab,

_{'""do-se que numa dada graduaçào}

a(A) = 5. a(B) = 9

assinale

a- ( , = Ve BR = 1

b) determine: m(PQ) m(RS) m{PT) m C T m(OP)

m{ÔS)

m(PO)

m { ^ )

Voce lembra que:

Projeçôes, paralelamente a uma reta, de segmentes eqûipolentes sâo segmentes

eqùipelentes.

Segmentes eqûipolentes sâo cengruentes, portante possuem a mesma medida em

quaiquer graduaçâe.

4) Complete, de acordo corn as

informaçôes das figuras.

Os numéros e as letras correspondem

às medidas dos segmentos em uma certa u n i d a d e . a) AB = 6 A'B' = 8 B C = 6 B ' C = X

CD = 6 CD' = y

b) Sabendo que AC = 24

!

c) sabendo que AD = 36

X = . y =

a /

A ' X / B / 1 B ' c / 1 C y / D / j D ' -8 6

h) X =

y =

i) x =

Grupo III — Exercicios Preliminares

1) a) Projeté os pontos B, C, D, M, X

paralelamente à reta ÀA'.

C O

V

\ \

X 2 . a 2 a X s A B C D X 2 3 4 X r — b) Complete os quadros: GraduaçâoI Graduaçâo II

Voce observou que:

D E U M M O D O G E R A L : r _{a ( X )} 1 2 3 _3,5 - 1 X s _a(X') 3 r _a(X) 1 2 3 3,5 - 1 X s a(X') 5 r a(X) 1 2 3 3,5 - 1 X Graduaçâo III s a(X') - 3

Abscissas dos pontos em r Abscissas dos pontos em s

graduaçâo I I I I I I a ( A ) = 1 a ( A ' ) 3 5 - 3 a ( B ) = 2 a ( B ' ) 3 • 2 5 ■ 2 - 3 • 2 a ( D ) = 3 , 5 a ( D ' ) 3 ■ 3,5 5 * 3,5 - 3 ■ 3,5 a ( X ) = X a ( X ' ) 3 X 5 X - 3 X a ( A ) = 1 a(X) = X a ( A ' ) = y a(r) = y • X 8 9

2) a) Projeté os pontos B, C, D,

M, N e X paralelamente à

reta AA' sobre s.

b) Complete os quadros: Graduaçâo I r _{a ( X )} 2 4 6 8 t 2 - 4 X s a(X') 3 c) Complete: Graduaçâo I a ( A ) 2 , , , V

i(Â^ =T (modelo)

a(B) _ 4 a(B') a(M) __ a(M') a ( N ) _ a(N') Graduaçâo II r _a(X) 2 4 6 8 - 2 - 4 X s a ( r ) 5 Graduaçâo III r a ( X ) 2 4 6 8 - 2 - 4 X s a ( X ' ) - 3 Graduaçâo II a(A) _ 2 . , , ,

5 (modelo)

a(B) _ • a(B') a ( D ) _ a ( D ' ) a ( X ) _ a ( X ' ) " -Graduaçâo III

=_?.(modelo)

a(A*) -3'

a ( M ) _ a ( M ' ) " ~ a ( N ) ^ a ( X ) _ a ( X ' ) d) Complete com = ou # : na graduaçâo I na graduaçâo II na graduaçâo III a(A) a(B) a ( X )

a(A*) a(B') a(X')

a(A) a(B) a(X)

a(A') a(B') - a ( X ' )

a ( A ) a(B) a(X)

a(A') a(B') a ( X ' )

Você observou que:

a ( A ) _ a ( B ) _ a ( A ' ) a ( B ' ) a ( C ) _ a ( C ' ) ' _ a ( X ) • a ( X ' ) nas très graduaçôes o u a i n d a O A O B O C C D O X O A ' O B ' O C O D ' O X ' D E U M M O D O G E R A L :

Dadas duas retas res, secantes

em O, e os pontos A1A2A3 ... A„, cm r» e suas projeçôes paralelas

a;, Aj, A^, ...,A;;ems,

O A , O A ,

0 A 1 ' O A ;

• ■ ■ = em qualquer graduaçâo. Esta relaçâo é conhecida como Relaçâo de

£ 6 = .a .D = GD = .a .a = aa = .D .a = Da == .a .v = av = .0 0 = .D .V = DV = .D O = .a .V = av = .a o :3}d\dui00 D a .D .a .a .v .D O .a o .v o

.30 .

.a.V ^VO

. .

no =

snboloo (q

ao ■ av vo ' ~= Da ~= av ~ = DO " = 3 0 vo ~ = = (.D)B

= (.

a)B

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B 09S

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J SB

U I BfoS

( £

b) Coloque V ou F e complete com — ou ^ :

O C A B o c A ' B * o c O B * O B ~ O C A B A C A ' B ' A ' C A B A ' B ' C D ' " C D

poisOC - A'B' OC • AB

pois OC * OC OB * OB

pois AB

■

A'C A'B • AC

pois AB

■

CD CD' • A'B'

Voce observa que:

Um feixe de paralelas détermina sobre duas transversais segmentes proporcionais.

(Esta é outra formulaçâo da relaçào de Taies.)

3) Observe as figuras e complete:

F I G U R A

_PROPORÇÂO

X / a

^ /

\ x

b ~ X — 1

/

\

g 9 4 F I G U R A

_PROPORÇÂO

5) Sabendo que:

ÀB U Â^' e BM OA

OA = 3 BB' = 12

OB = 6 B'M - ^

Complete: A B = B M = 4) Sabendo que: O A = 5 A B = 2 O A ' = 4 A C = 7 Complete:

/

A ' C =

/

O B ' =

/ / /

A/"""BT

0 .v.g '.g.q S 0} U 91 U §9 S SO

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0 — = .9 .V — = 9W - = W. V = .9 9 = .V V isiaidiuoo e = 9V 6 = ao 9 = VO

01

= .V

O

wa

//

.v

y

s q^

o pu

S (9

A n o t e :

A correspondência que associa os pontos

A ^ A ' B ^ B ' C C * e t c .

de tal^modo que

O A O B O C

OA'^ OB' OC •"

e OAA', OBB', OCC .. estejam alinhados chama-se HOMOTETIA de razào

k e centro 0.

Grupo II — Exerdclos de Aplicaçâo

1) a) Determine os correspondentes de B e C pela homotetia de centro O e razâo

k = O A

O A '

b) Se A é ponte médio de OA'

quai 0 valor de k?

c) Desenhe os triângulos ABC e A'B'C.

2) a) Assinale o po„t^.

^ tal que;

O A

OA-b) Assinale o corresna„.i

B pela homoteurd;"*'

O P ro " ^®ntro

_{fazao k tal que:}

k

3 ~ OA'

3) a) Assinale o ponto A' na reta

OA tal que:

OA _ 2

OA' - y

b) Assinale os correspondentes

de B e C pela homotetia de

centro O e razào ~ = -2A

1 O A '

c) Desenhe os triângulos ABC e

A ' B ' C .

A n o t e :

Figuras que se correspondem por uma homotetia chamam-se figuras homotéticas.

TO I SOJdpjBd S0)U9lUâ9S uio pu od sd xiO D s op ic jB d s o;u 3iu S9 s c 9 s o|n 9u | s op cp ip siu ^ u io ^u biu bi; 9)o iu ot{ y nv H3 9 oa oN wn aa ob ;u 9 'B ps io uio ii Bu in jo d 3 av ap sju sp uo ds sjjo o o 9 .O .Q iV ®S is jo uy

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