U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A NTA C A T A R I N A C O O R D E N A Ç Ã O D O S P R O G R A M A S DE P Õ S r G R A D U A Ç Ã O EM E N G E N H A R I A U M A A B O R D A G E M Ã .PREV.ISÃa. A T R A V É S . D E M O D E L A G E M E S T O C Ã S T I C A E •I D E N T I F I C A Ç Ã O H É L I O E N I R M A R O D I N F L O R I A N O P O L I S S A N T A C A T A R I N A - B R A S I L S E T E M B R O - 1973
U N I V E R S I D A D E F E D E R A L DE S A N T A C A T A R I N A C O O R D E N A Ç Ã O DOS P R O G R A M A S DE P Õ S - G R A D U A Ç Ã O E M E N G E N H A R I A U M A A B O R D A G E M ^ P R E V I S Ã O A T R A V É S D E M O D E L A G E M E S T O C A S T I C A E I D E N T I F I C A Ç Ã O H E L I O E N I R M A R O D I N T E S E S U B M E T I D A A A P R E C I A Ç A O C Ò M O R E Q U I S I T O P A R C I A L P A R A A O B T E N Ç Ã O DO G R A U D E ; M E S T R E E M C I Ê N C I A S E M E N G E N H A R I A I N D U S T R I A L F L O R I A N Ó P O L I S S A N T A C A T A R I N A - B R A S I L S E T E M B R O - 19 73 •
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À m i n h a e s p o s a
I V R E S U M O N e s s e t r a b a l h o nos p r o p o m o s um e s q u e m a de p r e v i s ã o pa ra u m p r o c e s s o e s t o c à s t i c o m a s c a r a d o por R u í d o Branco. Os p r o c e s sos e s t o c ã s t i c o s d e s c o n h e c i d o s sao c o n s i d e r a d o s G a u s s i a n o s e ne n h u m a s u p o s i ç ã o e f e i t a no que se r e f e r e ao r u i d o nas o b s e r v a ç o e s . 0 e s q u e m a de t r a b a l h o foi s u g e r i d o pe l a s e q u ê n c i a l õ g ^ ca que u m a p e s s o a s e g u e q u a n d o se p r o p o e a f a zer p r e v i s õ e s . P r i m e i r a m e n t e , nos t r a t a m o s o p r o b l e m a de d e t e r m i n a ç a o da f o r m a f u n c i o n a l do M o d e l o D i n â m i c o . A s s u m i m o s que os p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s s a o a r e s p o s t a de u m . s i s t e m a l i n e à r e x c i t a d o por R u £ do B r a n c o . U s a m o s a r e p r e s e n t a ç a o por v a r i á v e i s de e s t a d o p a r a o si s t e m a . E n t a o , p r o p o m o s u m m é t o d o p a r a d e t e r m i n a ç ã o dos p a r â m £ tr o s do m o d e l o a p a r t i r de dados, s u p o s t o s i s e n t o s de erro. F i n a l m e n t e , c o n h e c e n d o - s e o m o d e l o p a r a o p r o c e s s o e s t o c à s t i c o d e s c o n h e c i d o , p r o p o m o s u m e s q u e m a de p r e v i s õ e s . E s t e c o n s i s t e na d e t e r m i n a ç a o de ser o p r o c e s s o de o b s e r v a ç o e s G a u s s i a n o ou não. Um es q u e m a l i n e a r e s u g e r i d o p a r a p r o c e s s o s G a u s s i a n o s e um e s q u e m a nao l i n e a r p a r a p r o c e s s o s nao G a u s s i a n o s . U m a c o r r e ç ã o a d a p t a t i v a é p r o p o s t a de m o d o que os e£ ros de p r e v i s ã o sao a t e n u a d o s , c o r r i g i n d o - s e a f u n ç a o não linear.
M o s t r a m o s c l a r a m e n t e a s u p e r i o r i d a d e de p r e v i s õ e s nao l i n e a r e s p a r a p r o c e s s o s nao G a u s s i a n o s e de p r e v i s õ e s l i n e a r e s so^ m e n t e p a r a p r o c e s s o s G a u s s i a n o s .
V A B S T R A C T In this w o r k we p r o p o s e a f o r e c a s t i n g sc h e m e for a s t o c h a s t i c p r o c e s s c o r r u p t e d by w h i t e noise. T h e U n k n o w n S t £ c h a s t i c P r o c e s s is a s s u m e d G a u s s i a n and no a s s u m p t i o n is m a d e re^ g a r d i n g the o b s e r v a t i o n noise. The s c h e m e p r o p o s e d f o l l o w s a l o g i c a l s e q u e n c e f r o m the a c q u i s a t i o n of the da t a to the f i n a 1 f o r e c a s t i n g a l g o - r i t h m .
F i r s t we t reat the p r o b l e m of d e t e r m i n i n g the f u n c t i o n a l f o r m of the d y n a m i c m o d e l . We a s s u m e the s t o c h a s t i c p r o c e s s to be an o u t p u t of a l i n e a r s y s t e m e x c i t e d by w h i t e noise. We u s e s t a t e - v a r i a b l e r e p r e s e n t a t i o n for the system. T h em, we p r £ p o s e a m e t h o d for d e t e r m i n i n g the p a r a m e t e r s of the m o d e l f r o m the d a t a a s s u m i n g no error. F i n a l l y , k n o w i n g the m o d e l o for the u n k n o w n s t o c h a s t i c p r o c e s s , we p r o p o s e a f o r e c a s t i n g scheme. It c o n s i s t s of d e t e r m i n i n g w h e t h e r the o b s e r v a t i o n p r o c e s s is G a u £ sian or not. A l i n e a r m o d e l is s u g g e s t e d for G a u s s i a n and nonli^ n e a r for n o n - G a u s s i a n p r o c e s s e s .
A n a d a p t i v e c o r r e c t i o n is p r o p o s e d so that the f o r e c a s t i n g e r r o r s are c o r r e c t e d b y c o r r e c t i n g the n o n l i n e a r f u n £ t ion .
We s h o w c l e a r l y the s u p e r i o r i t y of n o n l i n e a r fo^ r e c a s t for n o n - G a u s s i a n and l i n e a r f o r e c a s t o n l y for G a u s s i a n pro^ c e s s e s .
VI
Q u e r o a q u i a g r a d e c e r a t o d o s m e u s P r o f e s s o r e s , c o l e gas e a m i g o s que m u i t o m e a u x i l i a r a m n e s s e t r a b a l h o c o m seus co^ n h e c i m e n t o s e seu i n c e n t i v o s e m p r e p r e s e n t e s . E m p a r t i c u l a r q u e ro a g r a d e c e r aos c o l e g a s E n g 9 s . J o ã o N i l d o de S o u z a V i a n n a e Wil^ son L u i z B a n n a c h , que c o m seu e s p í r i t o c r í t i c o e a u x í l i o m u i t o c o n t r i b u i r a m . A o s p r o f e s s o r e s e a u x i l i a r e s do D e p a r t a m e n t o de Ci^ e n c i a s E s t a t í s t i c a s e da C o m p u t a ç ã o da U n i v e r s i d a d e Fedeiral de S a n t a C a t a r i n a , e s p e c i a l m e n t e aos P r o f e s s o r e s R e n a t o e M a r e i a R £ b u s k e , que s e m p r e s o u b e r a m a u x i l i a r na s u p e r a ç a o das d i f i c u l d a des c o m o e q u i p a m e n t o , n a e x e ç u ç a o da s i m u l a ç a o . Â C A P E S e ao BN D E pe l o a p o i o f i n a n c e i r o . M u i t o e s p e c i a l m e n t e ao P r o f e s s o r R a j a m a n i D o r a i s w a m i , P h . D . , m e u O r i e n t a d o r , p o r sua i n f i n i t a p a c i ê n c i a e d e d i c a ç ã o , que c o n t r i b u i u m u i t o e s p e c i a l m e n t e pa r a a c o n c r e t i z a ç ã o d e s t e ' t r a b a l h o .
Vll I, N D I C E PAG, C A P Í T U L O I 1. I N T R O D U Ç Ã O ... ... 1 C A P Í T U L O II 2. D E T E R M I N A Ç Ã O M A T E M Á T I C A DE U M M O D E L O E C O N O M É T R I C O LI N E A R ... ... 3 2.1 - I n t r o d u ç ã o ... ... ... ... 3 2.2 - P r o c e s s o s E s t o c ã s t i c o s ... 4 2 . 2 . 1 - D e f i n i ç ã o ... ... ... 4 2 . 2 . 2 - C a r a c t e r i z a ç a o dos P r o c e s s o s E s t o c ã s t i c o s ... 5 2 . 2 . 3 - C l a s s i f i c a ç ã o dos P r o c e s s o s E s t o c ã s t i c o s ... 6 2 . 2 . 4 - C o r r e l a ç ã o , O r t o g o n a l i d a d e e I n d e p e n d ê n c i a de P r o c e s s o s E s t o c ã s t i c o s ... 10 2 . 2 . 5 - E s p a ç o de P r o c e s s o s E s t o c ã s t i c o s ... ll 2 . 2 . 6 - R e p r e s e n t a ç a o p o r u m a B a s e de um S u b - E s p a ç o de H i l b e r t ... . . . ... ... . 12 2.3 R e p r e s e n t a ç ã o de u m P r o c e s s o E s t o c ã s t i c o p o r Va -r i ã v e i s de E s t a d o ... 2 . 3 . 1 - E x e m p l o 1 ... ... 14 2 . 3 . 2 - E x e m p l o 2 ... ... . 17 2.4 - A n ã l i s e C o m p a r a t i v a e A p l i c a ç ã o do M o d e l o ... 19 2.5 - M o d e l o s de O b s e r v a ç ã o ... ... 22 2.6 - C o n c l u s ã o do S e g u n d o C a p í t u l o ... 24 C A P Í T U L O III 3. S I M U L A Ç Ã O --- --- . . . 26 3.1 - I n t r o d u ç ã o ... . ... . 26
V I 1 1 3.2 - T e s t e s de C o m p o r t a m e n t o E s t a t í s t i c o dos G e r a d o -res de Niameros A l e a t ó r i o s ... 27 3 . 2 . 1 - T e s t e s de M e d i a e V a r i a n c i a ... ... . 27 3 . 2 . 2 - T e s t e de C h i - Q u a d r a d o ... ... ... 27 3.3 - G e r a ç ã o de N ú m e r o s A l e a t ó r i o s c o m D i s t r i b u i ç ã o N o r m a l (0, 1) ... ... 32 3.4 - G e r a d o r de N Ú m e r o s A l e a t ó r i o s I n d e p e n d e n t e s c o m D i s t r i b u i ç ã o de L a p l a c e ... 34 3.5 - G e r a d o r de N Ú m e r o s A l e a t ó r i o s I n d e p e n d e n t e s com D i s t r i b u i ç ã o de C a u c h y ... ... 36 3.6 - S i m u l a ç a o dos M o d e l o s ... ... . 37 3.7 - S i m u l a ç ã o dos M o d e l o s de O b s e r v a ç ã o ... 43 3.8 - C o n s i d e r a ç õ e s e O b s e r v a ç õ e s S o b r e E s t a S i m u l a ç ã o . 44 C A P Í T U L O IV 4. U M E S T U D O S O B R E I D E N T I F I C A Ç Ã O D E M O D E L O S ... 62 4.1 - I n t r o d u ç ã o ... ... ... 62 4 . 2 - 0 P r o b l e m a G e r a l de E s t i m a ç a o ... 63 4 . 2 . 1 - T i p o s de E s t i m a d o r e s ... 63 4. 3 - O b t e n ç ã o dos P a r â m e t r o s do M o d e l o a P a r t i r dos Da dos ... ... . ... 64 4 . 3 . 1 - E s t i m a d o r e s e C r i t é r i o s de A v a l i a ç a o ... 64 4 . 3 . 2 - P r o p r i e d a d e s do E s t i m a d o r de M a x i m a P r o b a b i l i d ^ de ... ... ... . 66 4 . 3 . 3 - D e t e r m i n a ç a o dos P a r â m e t r o s de um M o d e l o c u j a F o r m a F u n c i o n a l é c o n h e c i d a ... . ...é. 67 4 . 3 . 4 - 0 P r o b l e m a de E s t i m a ç ã o dos P a r â m e t r o s de u m M £ d e l o c u j a F o r m a F u n c i o n a l é D e s c o n h e c i d a ... . 71 4.4.- E s c o l h a do M o d e l o M a i s A d e q u a d o ... . 72 4 . 4 . 1 - E x e m p l o de A p l i c a ç a o ... . ... . 75 4.5 - O b s e r v a ç õ e s S o b r e E s t e C a p í t u l o ... .. 78 C A P Í T U L O V 5. U M A A B O R D A G E M Ã S P R E V I S Õ E S ... . 79
IX 5.1 - I n t r o d u ç ã o ... ... ... ... 79 5.2 - 0 P r o b l e m a de P r e v i s ã o E s t o c i s t i c a ... ... 80 5.3 - E s t i m a ç a p c o m u m a Ú n i c a O b s e r v a ç ã o ... 80 5 . 3 . 1 - A n á l i s e do C o m p o r t a m e n t o do E s t i m a d o r P r o p o s t o . . 82 5.4 - P r e v i s ã o D i s p o n d o - s e de u m C o n j u n t o de O b s e r v a ções ... ... ... 87 5.5 - P r e d i ç ã o ... ... 91 5.6 - D e t e r m i n a ç a o da F u n ç ã o de C o r r e ç ã o ... 91 C A P Í T U L O VI 6. C O N C L U S Ã O ... 94 N O T A Ç Ã O E S I M B O L O G I A U S A D A ... ... . 98 R E F E R Ê N C I A S B I B L I O G R Á F I C A S ... ... 101
C A P I T U L O 1 - I N T R O D U Ç Ã O C o m e s s e t r a b a l h o p r o c u r a m o s e s t a b e l e c e r u m no v o m é t o d o de p r e v i s õ e s . V i s a n d o a l c a n ç a r e s t e o b j e t i v o , d i s c o r r e m o s ao l o n go d e s t e t r a b a l h o s o b r e M o d e l a g e m E s t o c á s t i c a , S i m u l a ç ã o , I d e n t i f i c a ç ã o de M o d e l o s p a ra, f i n a l m e n t e , d e f i n i r m o s u m e s q u e m a r e c u r - sivo e a u t o - a j u s t ã v e l de p r e v i s õ e s . Tal l i n h a de aç ã o nos foi su g e r i d o p e l a s e q ü ê n c i a l ó g i c a que uma p e s s o a e n f r e n t a q u a n d o se p r o p õ e a f a z e r p r e v i s õ e s ou e s t i m a t i v a s . A s s i m sen d o , p r o c u r a m o s , a p a r t i r do s e g u n d o c a p i t u l o , d £ s e n v o l v e r os t e m a s a c i m a r e f e r i d o s , i n i c i a n d o p e l o que c h a m a m o s de M o d e l a g e m , ou seja, a o b t e n ç ã o da f o r m a m a t e m á t i c a de u m m o d e lo de s i s t e m a s e s t o c á s t i c o s . N e s s e c a p í t u l o a n a l i z a m o s i n i c i a l m e n te os p r o c e s s o s e s t o c á s t i c o s , po i s s a b e - s e que o m o d e l o geral de u m s i s t e m a l i n e a r p o d e ter u m a p a r c e l a e s t o c á s t i c a . U t i l i z a n d o - s e de um s u b - e s p a ç o do e s p a ç o de H i l b e r t , e x p r e s s a m o s um p r o c e s s o e£ t o c á s t i c o , p e r t e n c e n t e a e s s e s u b - e s p a ç o , co m o u m a c o m b i n a ç ã o l i n e a r de p r o c e s s o s de R u i d o B r a n c o . B a s e a d o s n i s s o d e f i n i m o s u m m £ d e l o e s t o c á s t i c o g e r a l p a r a r e p r e s e n t a r o c o m p o r t a m e n t o d i n â m i c o dos s i s t e m a s . D e p o i s t r a t a m o s dos m o d e l o s de o b s e r v a ç a o , e f a z e m o s três h i p ó t e s e s r e p r e s e n t a t i v a s de c o n f i a b i l i d a d e de dados. No t e r c e i r o c a p í t u l o s i m u l a m o s os m o d e l o s d i n â m i c o s e de o b s e r v a ç a o , a n t e r i o r m e n t e e n c o n t r a d o s . O b t e m o s g r á f i c o s do c o m p o £ t a m e n t o de u m p r o c e s s o de R u i d o B r a n c o , dos m o d e l o s d i n â m i c o s de p r i m e i r a e s e g u n d a o r d e m e dos m o d e l o s de o b s e r v a ç a o . A n a l i z a n d o e s s e s r e s u l t a d o s , e n c o n t r a m o s c l a r a s v i n c u l a - ç õ e s e n t r e as v a r i á v e i s do p r o c e s s o e os m o d e l o s r e p r e s e n t a d o s . No q u a r t o c a p í t u l o , que d e n o m i n a m o s I d e n t i f i c a ç ã o do M o d £ l o , p r o c u r a m o s a n a l i z a r as t é c n i c a s u s a d a s p a r a d e t e r m i n a r os p a r â m e t r o s dos m o d e l o s , c o n h e c e n d o - s e u m c o n j u n t o de dados. Três C £ sos são f r e q u e n t e m e n t e e n c o n t r a d o s na s o l u ç ã o p r á t i c a de p r o b l e mas d e p r e v i s ã o e são t r a t a d o s em s e p a r a d o . I n i c i a l m e n t e t r a t a m o s
da d e t e r m i n a ç a o do m o d e l o c o n h e c e n d o - se a sua f o r m a f u n c i o n a l e u m c o n j u n t o de d a d o s ; d e p o i s t r a t a m o s da d e t e r m i n a ç a o do m o d e l o - q u a n d o d e s c o n h e c e m o s sua f o r m a f u n c i o n a l , e m b o r a s u p o n h a mos que s e j a l i n ear. P o r ú l t i m o , a b o r d a m o s o caso e m que a f o r m a f u n c i o n a l do m o d e l o é d e s c o n h e c i d a , mas e n c o n t r a - s e em u m c o n j u n to f i n i t o de m o d e l ó s p o s s í v e i s .
A a b o r d a g e m a e s s e s três c a s o s p r o p õ e u m a s o l u ç ã o p a r a ca da um, sendo o p r i m e i r o caso s o l u c i o n a d o p e l a t é c n i c a do è s t i m a - dor de m á x i m a p r o b a b i l i d a d e ( M a x i m u m L i k e l i h o o d E s t i m a t o r ) . A so_ l u ç ã o do s e g u n d o tipo de p r o b l e m a r e cai no p r i m e i r o caso q u a n d o a t e o r i a d e s e n v o l v i d a no p r i m e i r o c a p í t u l o ê usada. 0 ú l t i m o caso ê a b o r d a d o c o m o a u x í l i o da t e o r i a da d e c i s ã o . P a r a e s s e p r o b l e m a , d e s e n v o l v e m o s u m a p o l í t i c a de t o m a d a de d e c i s ã o d e t e r m i n í s t i c a , - pois a s s u m i m o s c o m o c r i t é r i o de a v a l i a ç ã o u m a d i c o t o m i z a ç a o do es^ p a ç o a m o s t r a i . F i n a l m e n t e , no q u i n t o e ú l t i m o c a p í t u l o , t r a t a m o s dos m é t o d o s e p r o p o m o s u m a t é c n i c a p a r a d e t e r m i n a ç ã o de p r e v i s õ e s . E s t a t é c n i c a e x p l o r a as c a r a c t e r í s t i c a s e s t a t í s t i c a s d o s p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s e n v o l v i d o s , e t e m a v a n t a g e m de ser r e c u r s i v a , p e r m i t i n d o a f ãcil p r o g r a m a ç a o em c o m p u t a d o r e s s e m s o b r e c a r r e g a r a m £ m ó r i a ou u t i l i z a r a r t i f í c i o s de p r o g r a m a ç ã o . A s s i m , d e t e r m i n a m o s _ e s t i m a d o r e s c u j a f o r m a f u n c i o n a l d e p e n d e e x c l u s i v a m e n t e das d i s t r i b u i ç õ e s de p r o b a b i l i d a d e dos p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s e n v o l v i - dos e sao a n a l i z a d o s v ã r i o s ca s o s , i n c l u s i v e o c a s o m a i s c o m u m e n - te e n c o n t r a d o n a p r a t i c a . P o r ú l t i m o , s u g e r i m o s u m e s q u e m a adapta^ tivo que a j u s t a os c o e f i c i e n t e s dos m o d e l o s a m e d i d a que o t e mpo d e c o r r e e n o v a s i n f o r m a ç õ e s são o b t i d a s .
C A P I T U L O II 2. D E T E R M I N A Ç Ã O M A T E M Á T I C A DE UM M O D E L O E C O N O M É T R I C O L I N E A R 2.1 - I N T R O D U Ç Ã O Os m o d e l o s e c o n o m é t r i c o s de s i s t e m a s de c o n s u m o e r e n d a - t ê m sido l a r g a m e n t e u t i l i z a d o s e t ê m d e m o n s t r a d o ser p r e c i o s o s a^ x i l i a r e s e m p r e v i s õ e s a c u r t o e m é d i o p r a z o , e t a m b é m no estabele^ c i m e n t o de p o l í t i c a s e s t r a t é g i c a s . N o s s o o b j e t i v o s e r á e s t a b e l e c e r , de u m a f o r m a u n i f i c a d a , u m m o d e l o m a t e m á t i c o l i n e a r p a r a u m p r o c e s s o de c o n s u m o de bens n o r m a i s . Tal m o d e l o d e v e r á ser u m a s í n t e s e de t odos ou p e l o m e nos da m a i o r i a dos m o d e l o s l i n e a r e s e x i s t e n t e s .
Os p r o c e s s o s de c o n s u m o e de d e m a n d a têm, como de u m mo d o g e r a l t odos os p r o c e s s o s e c o n ô m i c o s , u m a c a r a c t e r í s t i c a i n e r e n t e que ê a a l e a t o r i e d a d e das f u n ç õ e s r e p r e s e n t a t i v a s com r e l a ç ã o ao tempo. P o r isso, a p r o p r i e d a d e p r i n c i p a l de tais p r o c e s s o s é a p r ^ s e n t a r e m u m c o m p o r t a m e n t o e s t o c à s t i c o . E v i d e n t e m e n t e o m o d e l o p r £ p o s t o d e v e r á c o n t e r u m a p a r c e l a que r e p r e s e n t e e s s e c o m p o r t a m e n to a l e a t ó r i o . O u t r a c a r a c t e r í s t i c a e s p e r a d a do m o d e l o é a c a p a c i d a d e de p o d e r - s e u t i l i z a - l o e f i c i e n t e m e n t e p a r a a c o m p u t a ç a o dos resulta^ dos, p e r m i t i n d o a r á p i d a o p e r a ç a o de m a s s a s de d a d o s s e m e x c e d e r a c a p a c i d a d e de m e m ó r i a ou e x i g i r a r t i f í c i o s de p r o g r a m a ç ã o , co n - s i d e r a n d o - s e , s e m p r e , o c u s t o das e s t i m a t i v a s f o r n e c i d a s pelo m o d elo. E m o u t r a s p a l a v r a s , o m o d e l o d e v e r á ser tal qué não seja p r e c i s o c a r r e g a r t o d a a i n f o r m a ç a o s o b r e o c o m p o r t a m e n t o p a s s a d o do s i s t e m a , p o i s de o u t r a f o r m a a m e m ó r i a r e q u e r i d a pelo c o m p u t £ dor s e r i a i m p r a t i c à v e l m e n t e grande. N e s s e c a p í t u l o nós e x p r e s s a r e m o s u m p r o c e s s o e s t o c à s t i c o como u m a c o m b i n a ç ã o l i n e a r de v e t o r e s de u m a b a s e o r t o g o n a l de p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s de r u i d o b r a n c o (White n o i s e p r o c e s s e s ) . P o s t e r i o r m e n t e , o b s e r v a m o s os p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s como a re s
-p o s t a de u m s i s t e m a l i n e a r e x c i t a d o -por u m -p r o c e s s o de R u i d o Br a n C O , e x p r e s s a r e m o s o p r o c e s s o u s a n d o o m o d e l o das v a r i á v e i s de e s tado. E n t a o a r e p r e s e n t a ç ã o por v a r i á v e i s de e s t a d o é m o s t r a d a ser o m o d o m a i s g eral de r e p r e s e n t a ç a o de u m p r o c e s s o e s t o c á s t i c o s e g u n d o u m m o d e l o linear. 2 . 2 - P R O C E S S O S E S T O C Á S T I C O S 2 . 2 . 1 - D e f i n i ç ã o U m p r o c e s s o e s t o c á s t i c o p o d e ser d e f i n i d o co m o uma c o l e ção de v a r i á v e i s a l e a t ó r i a s . S e j a o e s p a ç o a m o s t r a i , e w e u m d a d o e x p e r i m e n t o ; s e j a I o c o n j u n t o dos n ú m e r o s re a i s ; e n tao o c o n j u n t o das f u n ç õ e s r e a i s ou c o m p l e x a s { X ( w , t ) } c o m w e , t e I é u m p r o c e s s o a- l e a t ó r i o ou p r o c e s s o e s t o c á s t i c o . P a r a i n t e r p r e t a r m o s o s i g n i f i c a d o de {X ( w ,t ) }t o m e m o s wi u m d a d o e x p e r i m e n t o e t e I . E n t ã o , p a r a u m da d o w = w £ » x ( w i , t ) r e p r e s e n t a u m a p a r t i c u l a r r e a l i z a ç a o do p r o c e s s o e X ( w £ , t ) = 0(t) é u m a f u n ç a o de t . C o n s i d e r a n d o t = t i , X ( w , t £ ) , e u m a q u a n t i d a d e que s ó m e n t e d e p e n d e de w, p o r t a n t o é uma v a r i á v e l a l e a t ó r i a . Os FIG. 1 - R e a l i z a ç õ e s p a r t i c u l a r e s do p r o c e s s o ( w f i xo ) P o r t a n t o , u m p r o c e s s o e s t o c á s t i c o p o d e ser c o n s i d e r a d o como u m a f u n ç ã o de d u a s v a r i á v e i s , no caso w e t . E m n o s s a s a p l i c a ç õ e s e e x e m p l o s , c o n s i d e r a r e m o s a v a r i á v e l t co m o sendó r e p r e s e n t a t i v a
-do t e m p o e w d e n o t a r á os d i f e r e n t e s e x p e r i m e n t o s , p o r e m , de u m m £ do ger a l , w e t sao q u a i s q u e r . P o r e x e m p l o , X ( w £ , t ) f o r n e c e a e v o l u ç ã o t e m p o r a l do f e n ô m e n o a l e ^ FIG. 2 - V a r i á v e i s a l e a t ó r i a s r e s u l t a n tes de d i v e r s o s e x p e r i m e n t o s . ( t fixo ) 2 . 2 . 2 - C a r a c t e r i z a ç ã o dos P r o c e s s o s E s t o c ã s t i c o s A f u n ç ã o d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e c o n j u n t a de { X ( w , t ) } d e s c r e v e c o m p l e t a m e n t e o p r o c e s s o , p o r e m é m u i t o d i f í c i l u s á - la n a p r á t i c a , como m o d e l o p a r a u m p r o c e s s o es t o c á s t i c o * . Por o utro l a d o , a f u n ç ã o d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e c o n j u n t a a p r e s e n t a o - c o m p o r t a m e n t o m a c r o s c ó p i c o final do s i s t e m a , e n v o l v e n d o o c o n h e c ^ m e n t o d a m á x i m a i n f o r m a ç a o p o s s í v e l s o b r e o p r o c e s s o .
No e n t a n t o , nos p r o b l e m a s u s u a i s , a i n f o r m a ç a o é m u i t o l i m i t a d a , e m e s m o nos c a sos em que g r a n d e q u a n t i d a d e de i n f o r m a çao é d i s p o n í v e l , o m o d e l o r e s u l t a n t e não é s i m p l e s , n e m geral. A l é m d i s s o , e x i g e e x t e n s o c o n h e c i m e n t o de m é t o d o s e s t a t í s t i c o s , d ^ v e r g i n d o do o b j e t i v o que é s o l u c i o n a r u m p r o b l e m a de m o d e l a g e m e e s t i m a t i v a . , * - f (X(w,l) ,X(w,2) , . . . , X ( w , n ) ) = ,X(w,2) , . . . ,X(w,n))_ 3 X ( w , 1 ) 3 X ( w ,2)... 3X(w,n) o n d e F ( X ( w , i ) ) é a f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e conjun ta a c u m u l a d a de X ( w ,i ) , ( i = l , 2 , . . ,n) ; p o r t a n t o a d e t e r m i n a ç a o da f u n ç á o d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e c o n j u n t a i m p l i c a na e x i s t ê n c i a de d e r i v a d a s p a r c i a i s de o r d e m 1 a n .
2 . 2 . 3 - Cl a s s i f i c a ç a o dos p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s
a) Q u a n t o ã c o n t i n u i d a d e das v a r i á v e i s : P o d e m o s classifi^ car os p r o c e s s o s como d i s c r e t o s ou c o n t í n u o s , d e p e n d e n d o de:
i) ser t d i s c r e t o ou c o n t í n u o ii) ser X d i s c r e t o ou c o n t í n u o D e n t r o d e s s a c l a s s i f i c a ç a o p o d e r e m o s ter, entao: 1) P r o c e s s o de v a r i á v e l a l e a t ó r i a e tempo d i s c r e t o = sao os p r o c e s s o s em q u e t p e r t e n c e ao c o n j u n t o dos n ú m e r o s i n t e i r o s posl tivos, n e g a t i v o s - o u n u l o s . 0 p r o c e s s o e m si p o d e t a m b e m ser c o n s ^ d e r a d o co m o d i s c r e t o , isto é, X(w,t) p o d e r á s o m e n t e a s s u m i r v a l o res d i s c r e t o s , tais como X ( w , 0 ) , X ( w , Í ) , X ( w , 2 ) , . . . . 0 p r o c e s s o e s b o ç a d o n a f i g u r a 3 é um e x e m p l o de p r o c e s s o de v a r i á v e l a l e a t ó ri a e t e m p o d i s c r e t o s . t FIG. 3 - P r o c e s s o e s t o c à s t i c o c o m t e mpo a l e a t ó r i o . 2) P r o c e s s o a l e a t ó r i o c o n t í n u o com t e m p o d i s c r e t o = q u a n d o o p r o c e s s o a d m i t e v a l o r e s c o n t í n u o s e n t r e s u c e s s i v o s v a l o r e s de t e m po t, como r e p r e s e n t a d o na f i g u r a 4. FIG. 4 - P r o c e s s o e s t o c à s t i c o c o n t í n u o e t e mpo d i s c r e t o
3) P r o c e s s o a l e a t o r i o c o m t empo c o n t i n u o = é o caso em que o p r o c e s s o só p o d e a s s u m i r v a l o r e s d i s c r e t o s a t r a v é s do tempo. U m £ x e m p l o d e s s e caso é m o s t r a d o na f i g u r a 5.
FIG. 5 - P r o c e s s o a l e a t ó r i o c o m tempo c o n t í n u o .
4) P r o c e s s o c o n t í n u o no t e mpo = e o caso m a i s ge r a l , em que t a n t o o p r o c e s s o como o t e m p o de m e d i d a sao c o n t í n u o s , como o m o £ t r a d o na f i g u r a 6. b) Q u a n t o à e x i s t ê n c i a f í s i c a do p r o c e s s o : P o d e m o s c l a s s i f i c a r os p r o c e s s o s e s t o c á s t i c o s como sendo ou n a o um p r o c e s s o f í s i c o . Se o v a l o r do p r o c e s s o em q u a l q u e r i n s t a n t e de t e m p o é e £ t a t í s t i c a m e n t è i n d e p e n d e n t e dos v a l o r e s f u t u r e s , e n t ã o é um p r o c e s s o c a u s a i , i.ê, u m p r o c e s s o e s t o c á s t i c o ê c a u s a i se X(w,t) ê e s t a t i s t i c a m e n t e i n d e p e n d e n t e de X(w,Ç) p a r a todo Ç > t, o u ain da: P { X ( w , t ) X ( w , Ç ) , Ç > t} = P { X ( w , t ) }
c) Q u a n t o ao c a m p o de d e f i n i ç ã o da v a r i á v e l X ; os p r o c e £ sos p o d e m ser c l a s s i f i c a d o s como:
- P r o c e s s o s a l e a t Õ r i o s de v a l o r e s r e a i s ; q u a n d o X(w,t) é um n ú m e r o real p a r a todo t e p a r a q u a l q u e r e x p e r i m e n t o w .
- P r o c e s s o s a l e a t Õ r i o s de v a l o r e s c o m p l e x o s ; q u a n d o X (w,t) p e r t e n c e ao c a m p o dos n ú m e r o s c o m p l e x o s p a r a q u a l q u e r t e w . N e s s e caso, X(w,t) p o d e ser e x p r e s s o por:
X ( w , t ) = X ' ( w , t ) + j X " ( w , t ) , o n d e j e a u n i d a d e i m a g i n á r i a \ F T .
E m n o s s o t r a b a l h o , a m e n o s que e x p l i c i t a m e n t e dito, conside_ r a r e m o s s o m e n t e os p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s f í s i c o s , c a u s a i s , reais c o m t empo d i s c r e t o e v a r i á v e l a l e a t ó r i a c o n t i n u a . N a o c o n s i d e r a r ^ m o s os p r o c e s s o s de t e m p o c o n t í n u o p o r q u e p o d e m o s a p r o x i m a r um p r o c e s s o de t e m p o d i s c r e t o a o u t r o de tempo c o n t í n u o tanto q u a n t o q u e i r a m o s , t o m a n d o - s e p a r a isso u m i n t e r v a l o e n t r e t e t+1 tao p £ q u e n o q u a n t o se q u e i r a . A l é m d i s s o , o p r o c e s s o a t e m p o d i s c r e t o e l i m i n a m u i t a s d i f ^ c u l d a d e s de o r d e m m a t e m á t i c a , e n v o l v i d a s nas d e f i n i ç õ e s de deriva^ das. Por isso, a p a r t i r d e s s e p o n t o , n o t a r e m o s os p r o c e s s o s e s t o - c á s t i c o s a t e m p o d i s c r e t o X( w , t ) por X ( w , n ) , n = , ... , ~k > ..., 0, 1, 2, ..., ... d) Q u a n t o à i n d e p e n d ê n c i a e s t a t í s t i c a no t e m p o : c o n s i d e r e m o s as r e l a ç õ e s e s t a t í s t i c a s em r e l a ç ã o ao tempo: 1 - C a s o g e r a l : s e j a u m p r o c e s s o e s t o c á s t i c o X ( w , n ) . No caso m a i s g e ral de d e p e n d ê n c i a t e m p o r a l X(w,n) é d e p e n d e n t e de t o d o s X ( w , m ) , p a r a m = n - 1 , n-2, ..., n - k + 1 , n-k, isto é, P { X ( w , n ) 1X ( w , m ) , m < n } = P {X ( w , n ) [X ( w , n - l ) , X ( w , n - 2 ), ..., , X ( w , n - k ) > 2 - P r o c e s s o M a r k o v i a n o : q u a n d o X(w,n) é e s t a t i s t i c a m e n t e d £ p e n d e n t e s o m e n t e de X ( w , n - 1 ) , ou seja: P { X ( w , n ) I X ( w , m ) , m < n} = P { X ( w,n) I X ( w , n - 1 ) } 3 - P r o c e s s o de r u i d o b r a n c o (white n o i s e p r o c e s s ) ; um p r o c e £ so X(w,n) é c h a m a d o de p r o c e s s o de r u i d o b r a n c o se X ( w , n ) é e s t a t i s t i c a m e n t e i n d e p e n d e n t e de X(w , m ) p a r a
11
P o r t a n t o , se X ( w , n ) é uma s e q u ê n c i a de p r o c e s s o s a l e a t ó r i o s i n d e p e n d e n t e s , e com m é d i a nula, p o d e - s e i n ferir:
E [X(w, j) .X(w,k)J = E [X(w, j)jE fx(w,k)] = ( D <íjk • E [x(w, j ) .X(w,k) _ o n d e z f j k é o d e l t a de K r o n e c k e r . L o g o , u m a s e q u ê n c i a de p r o c e s s o s a l e a t ó r i o s i n d e p e n d e n - tes c o m m é d i a n u l a é o r t o g o n a l em r e l a ç a o ao v a l o r e s p e r a d o . 2 . 2 . 5 - E s p a ç o de P r o c e s s o s E s t o c á s t i c o s
N e s t e trabalho., a m e n o s que e x p r e s s a m e n t e dito, c o n s i d e ^ r a r e m o s s o m e n t e p r o c e s s o s e s t o c á s t i c o s de m é d i a n u l a e v a r i â n c i a f i n i t a , i . é . , , V n E [X(w,n) E [x2(w,n)] < 0 Y n (2) (3) T e n h a - s é em m e n t e que a r e s t r i ç ã o i m p o s t a por (2) nao im p l i c a em p e r d a de g e n e r a l i d a d e , p o i s q u a l q u e r p r o c e s s o de m é d i a n ao n u l a p o d e r á ser c o n s i d e r a d o por m e i o de X - • P o d e m o s con s i d e r a r os p r o c e s s o s que s a t i s f a z e m (2) e (3) como v e t o r e s de um e s p a ç o de v e t o r e s a l e a t ó r i o s .
C o n s i d e r e - s e o e s p a ç o de Hilbert^*^ ’ , que n o t a r e m o s por le, f o r m a d o por p r o c e s s o s e s t o c á s t i c o s , s endo o p r o d u t o i n t e r n o e a n o r m a d e f i n i d o s como: < X ( w , n ) , Y ( w , j ) >= E [x(w,n) .Y(w, j )] , X ( w , n ) e Y ( w , j ) (4) = \/e |X^(w,n) X( w , n ) (5) I s t o f o r m a u m e s p a ç o de H i l b e r t , H, de todos os p r o c e s - sos e s t o c á s t i c o s X ( w , n ) , t a l q u e : IX(w,n)I < 00 , V n C o n s i d e r e - s e os p r o c e s s o s em que E [x(w,n)
(
6)
(7) A r e s t r i ç ã o (7) não i m p l i c a em p e r d a de g e n e r a l i d a d e p o £ que os p r o c e s s o s de m é d i a nao n u l a t a m b e m p e r t e n c e m a este espaço.13 U s a n d o as e q u a ç õ e s (10) e (11) p o d e - s e r e e s c r e v e r (10) como: 1 im N^oo E ^X^(w,n) ^ r 9 E n t a o , d e s d e que E |_X (w,n)j < «>, p o d e m o s s a t i s f a z e r (6). U m e x a m e m a i s d e t a l h a d o da eq. (9) m o s t r a que X( w , n ) p o de ser c o n s i d e r a d o como a resjposta de um s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o e x c i t a d o por u m p r o c e s s o de r u i d o b r a n c o { W ( w , j ) } , (j= ,n), co m o n a F i g u r a 7 • P e l o que f i c o u dito, um p r o c e s s o e s t o c à s t i c o X ( w , n ) p £ de ser r e p r e s e n t a d o p e l a r e s p o s t a de u m s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o e x c i t a d o por um p r o c e s s o de r u i d o b r a n c o . Por c o n v e n i ê n c i a , d e s s e p o n t o em d i a n t e d e i x a r e m o s de represjentar o p a r â m e t r o w na d e s c r i ç ã o dos p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s , de m o d o que: X ( w , n ) serã n o t a d o por X(n) e W ( w , n ) serã n o t a d o por W(n) . n - Z j = - N a 2 . 3nj . E '*W^ (w, j )
(
1 2)
U s a n d o e s t a n o t a ç a o , a e q u a ç a o (9) p a s s a r ã a ser: X(n) = E a „ . . W ( j ) (13) n = Z j=-c S I S T E M A W(n) L I N E A R X(n) -- ► ” D I S C R E T O ( S . L . D . ) FIG. 7 - S i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o e x c i t a d o por u m p r o c e s s o de r u i d o b r a n c o . Se a g o r a c o n s i d e r a r m o s X(n) co m o a r e s p o s t a de um s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o a u m a e x c i t a ç a o W(j) , e f ã c i l c o n s t a t a r que a e q u a ç a o (13) r e p r e s e n t a a s o l u ç ã o da e q u a ç a o de d i f e r e n ç a s ’ que d e s c r e v e o s i s t e m a c o n s i d e r a d o . P o r t a n t o , co m o a e q u a ç a o do16 0 1 0 0 B = 0 e C = 0 • « 1 _ 0 ^ , c o m B e C v e t o r e s de m linhas. c o l u n a s Os v e t o r e s X ( n + 1 ) e X(n) sao v e t o r e s de m lin h a s r e p r e s e n t a t i v o s dos m e s t a d o s do s i s t e m a , e U(n) = Z(n) = [z(n); 0 s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o r e p r e s e n t a d o p e l a s equaç õ e s ' (19) e (20) d e s c r e v e m u m s i s t e m a como o da Fig. 8 . FIG. 8 - D i a g r a m a e s q u e m á t i c o do s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o r e p r e s e n t a d o p e l a s e q u a ç õ e s (19) e (20) . O b s e r v a ç a o : 0 b l o c o r e p r e s e n t a u m o p e r a d o r l i n e a r que t r a n s f e r e uma v a r i á v e l X( n + 1 ) d a da no tempo n+1 p a r a o t e mpo n . O b s e r v a m o s m a i s uma vez que o s i s t e m a l i n e a r d i s c r e to a c i m a r e p r e s e n t a d o po d e ser t o m a d o como um s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o e x c i t a d o por u m a f u n ç a o de r u i d o U e que r e s p o n d e c o m a
19 t e m e s t a s e q u a ç õ e s c o m o m o d e l o , como n a f i g u r a 9 . FIG. 9 - S i s t e m a l i n e a r r e p r e s e n t a t i v o do s i s t e m a de e q u a ç õ e s (41) e (42). 2.4 - A n á l i s e c o m p a r a t i v a e a p l i c a ç a o do m o d e l o 0 s i s t e m a m o s t r a d o n a f i g u r a 9 e u m a r e p r e s e n t a ç a o do s i ^ t e m a l i n e a r d i s c r e t o m a i s geral. V a m o s e f e t u a r a l g u m a s h i p ó t e s e s s o b r e e s t e m o d e l o , de m o d o que p o s s a m o s o b t e r très dos m a i s c o n h £ c i d o s m o d e l o s l i n e a r e s :
a) M o d e l o D i n â m i c o : S u p o n h a m o s que se j a n u lo, como o c o r r e n o r m a l m e n t e nos s i s t e m a s fí s i c o s . En t ã o : lo g o : D = 0 e o s i s t e m a se r e d u z a: X( n + 1 ) = A . X(n) + B ' . U ( n ) Z(n) = C . X(n) , ' que é a f o r m a do e x e m p l o 1 da pág. 14 . b) M o d e l o de M e d i a s M Ó v e i s ( M o v i n g A v e r a g e ) : N e s s e caso v a m o s s u p o r q u e : ^n2 ” ^n3 ~ = a n m ' ® ® C o m isso ás e q u a ç õ e s (25) se t o r n a r ã o :
21 x( n + l ) = A x(n) + B.U(n) x(n+l) = A ^ x ( n - l ) + A B . U ( n - l ) + B.U(n) ■ o ^ x(n+l) = A-^x(n-2) + A B . U ( n - 2 ) + A B . U ( n - l ) + B.U(n) X V. (n+1) = aP ^ x ( n - p ) + A B . U ( n - p ) + . . . + A B . U ( n - l ) + B.U(n). S o m a n d o m e m b r o a m e m b r o : X ( n + 1 ) = 1 / p [ A x ( n ) + A ^ x ( n - 1 ) + . . . + A^ ^x(n-p) + K Q . W ( n ) (29) o n d e W(n) é u m a f u n ç ã o de U(n) e Kq é uma c o n s t a n t e , f u n ção de A e B . A e q u a ç ã o (29) e v i d e n c i a o fato de ser o m o d e l o de s u a v i z £ çao e x p o n e n c i a l , u m caso p a r t i c u l a r do m o d e l o geral de u m s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o , como o e x p r e s s o p e l a e q u a ç a o (28). C o m o v i m o s , a t é c n i c a das v a r i ã v e i s de e s t a d o p e r m i t e - n o s o b t e r u m a r e p r e s e n t a ç ã o u n i f i c a d a dos s i s t e m a s l i n e a r e s d i s c r e t o s . P o r t a n t o , p o d e m o s a f i r m a r que u m p r o c e s s o e s t o c á s t i c o X(n) reprje s e n t a o c o m p o r t a m e n t o de u m s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o e x c i t a d o por u m p r o c e s s o e s t o c á s t i c o do tipo R u i d o B r a n c o , ou seja: X( n + 1 ) = A . X ( n ) + B.W(n) (30) x(n) = C. X ( n ) + D. W ( n ) (31) C o m o já d i s s e m o s em 2.4, i t e m a., o c o r r e que na m a i o r i a dos s i s t e m a s f í s i c o s D = 0 e, p o r t a n t o , d e s s e p o n t o e m d i a n t e c o n s i d e r a r e m o s s e m p r e a e q u a ç a o (31) como sendo: x(n) = C . X ( n ) (32) C o n s i d e r e - s e a g o r a a e q u a ç ã o (9) e a e q u a ç ã o (30). A m b a s são r e p r e s e n t a t i v a s da r e s p o s t a de u m s i s t e m a l i n e a r a u m a e x c i t £ ção do tipo R u i d o B r a n c o , p o r t a n t o , são e q u a ç õ e s e q u i v a l e n t e s . G £
5 18
r a l m e n t e , na l i t e r a t u r a ’ os a u t o r e s a s s u m e m como m o d e l o a e- q u a ç ã o (30). C o m o , p o r é m , d e t e r m i n a r q u a i s são as c l a s s e s de p r o c e s s o s e s t o c á s t i c o s que p o d e m ser r e p r e s e n t a d o s d e s t a m a n e i r a ? E m n o s s o caso, s a b e m o s que s ó m e n t e a q u e l e s p r o c e s s o s que p e r t e n - ç a m ao s u b - e s p a ç o de H i l b e r t , em que as c o n d i ç o e s (6) e (7) sao s a t i s f e i t a s , a d m i t e m e s s a r e p r e s e n t a ç a o .
O u t r a g r a n d e v a n t a g e m da r e p r e s e n t a ç ã o dos s i s t e m a s l i n e a res p e l a e q u a ç ã o (30) é a s i m p l i c i d a d e que r e s u l t a de sua u t i l i z £
2 2 çao c o m o m o d e l o p a r a c o m p u t a ç a o d i g i t a l . O b s e r v e - s e que o v a l o r de X ( n + 1 ) d e p e n d e e x p l i c i t a m e n t e s o m e n t e de u m dos v a l o r e s a n t £ r i o r e s da s é r i e de X(n). Is s o i m p l i c a em que, p a r a c a l c u l a r m o s X ( n + 1 ) nao n e c e s s i t a m o s l e m b r a r X(0), X(l), ..., X(n - l ) . Essa c l a s s e de m o d e l o s é c h a m a d a de m o d e l o s r e c u r s i v o s , e n q u a n t o que os m o d e l o s da f o r m a da e q u a ç a o (3) sao c h a m a d o s de m o d e l o s l i n e a res a u t o - r e g r e s s i v o s . U m a a p l i c a ç a o l a r g a m e n t e d i f u n d i d a no c a m p o da e c o n o m e t r i a elos l i n e a r e s auto-i r e n d a e c o n s u m o ou d e m a n d a dos m o d e l o s l i n e a r e s a u t o - r e g r e s s i v o s é o e s t u d o dos p r o c e s s o s de 2,5 , 1 8 2.5 - M o d e l o s de o b s e r v a ç a o
Nos m o d e l o s ate aqui e s t u d a d o s c o n s i d e r a m o s que os d a dos d i s p o n í v e i s f o s s e m r e p r e s e n t a t i v o s do exato c o m p o r t a m e n t o dos s i £ temas. No e n t a n t o , é e v i d e n t e que nos casos p r á t i c o s isso nao o- c o r r e , p o i s os p r o c e s s o s e s t o c ã s t i c o s r a r a m e n t e sao p a s s í v e i s de m e d i d a d i r e t a e sem erro. E i m p o r t a n t e , p o r t a n t o , c o n s i d e r a r m o s as o b s e r v a ç o e s como p o r t a d o r a s de u m c erto erro.
D e u m m o d o geral, os v a l o r e s o b s e r v a d o s sao u m a fu n ç a o gn dos v a l o r e s r e a i s X^, e de u m a v a r i á v e l a l e a t ó r i a V n , i.é.,
Yn = g n ( X n . V n )
P a r a m a n t e r m o s a u n i d a d e de n o s s o t r a b a l h o , c o n s i d e r a r e m o s que gji se j a u m a f u n ç ã o l i n e a r de X ^ e V^j, e m b o r a seja e v i d e n t e q u e n ã o é e s s e o caso geral. P o r t a n t o , v a m o s a d m i t i r que:
Y n = . Xn + (33)
No e n t a n t o , não p o d e m o s , a p r i o r i , a s s u m i r qu a l seja o com p o r t a m e n t o e s t at I s t i c o de V n • P o d e m o s c l a s s i f i c a r Vjj , em r e l a ç a o a m é d i a e s t a t í s t i c a , e m d u a s cias s e s , a s a b e r : a) Vjj tem m é d i a n u l a b) V ^ t e m m é d i a não n ü l a A c l a s s e dos v a l o r e s o b s e r v a d o s de m é d i a n u l a d e f i n e o con
24
p e n d e f u n d a m e n t a l m e n t e da f u n ç a o d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e do i a
tor de erro . Por isso, é a m a i s c o n f i á v e l se for
d i s t r i b u í d a n o r m a l m e n t e . C a s o a d i s t r i b u i ç ã o de for L a p l a c i a - na, 03 d a d o s nao s e rao tao c o n f i á v e i s como a n t e r i o r m e n t e , e m b o r a
P o r é m , q u a n d o for d i s t r i b u i d a s e g u n d o C a u chy, t£ ~ • • • r 21 r e m o s u m c o n j u n t o de o b s e r v a ç o e s m u i t o ruins, pois E IV V21 < 00 FIG. 10 - R e p r e s e n t a ç a o c o m p a r a t i v a das d i s t r i b u i ç õ e s de Gauss, L a p l a c e e C a u c h y . 2.6 - C o n c l u s ã o do S e g u n d o C a p i t u l o N e s s e c a p i t u l o e x p r e s s a m o s p r o c e s s o s e s t o c á s t i c o s em f u n ção de u m a b a s e o r t o g o n a l de p r o c e s s o s de R u i d o B r a n c o . A p ó s isso, v i m o s c o m o r e p r e s e n t a r um p r o c e s s o e s t o c á s t i c o co m o a r e s p o s t a de u m s i s t e m a l i n e a r d i s c r e t o ã e x c i t a ç a o de u m p r o c e s s o de R u i d o B r a n c o , e o e x p r e s s a m o s u s a n d o o m o d e l o das v a r i ã v e i s de estado. A r e p r e s e n t a ç a o por m e i o das v a r i á v e i s de e s t a d o é m o s t r £ da c o m o s e n d o a f o r m a m a i s g e r a l de se r e p r e s e n t a r u m p r o c e s s o e£ t o c á s t i c o . C o n s i d e r a m o s t a m b é m as d i f e r e n ç a s e n t r e os m o d e l o s i- d e a i s e os m o d e l o s r e s u l t a n t e s das o b s e r v a ç o e s , e x a m i n a n d o - s e ' tr é s h i p ó t e s e s s o b r e o c o m p o r t a m e n t o do erro. No e n t a n t o , o p o n t o m a i s i m p o r t a n t e de n o s s o |:rabalho, a
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n o s s o ver, se r e f e r e à d e t e r m i n a ç a o das c o n d i ç õ e s de v a l i d a d e dos m o d e l o s , as q u a i s f i c a m p e r f e i t a m e n t e d e f i n i d a s q u a n d o do e s t u d o de c a r a c t e r m i c r o s c o p i c o do s i s t e m a , que p r o c u r a m o s f a z e r a t r a v é s da d e f i n i ç ã o de um p r o c e s s o e s t o c ã s t i c o por m e i o de uma b a s e orto g o n a l de u m s u b - e s p a ç o de H i l b e r t .
26 C A P Í T U L O III 3. S I M U L A Ç Ã O 3.1 - I N T R O D U Ç Ã O A s i m u l a ç a o é l a r g a m e n t e u t i l i z a d a no e s t u d o de s i s t e m a s - ou o r g a n i s m o s c o m p l e x o s . No e s t u d o d e s s e s s i s t e m a s ou o r g a n i s m o s , o c o r r e , e m a l g u n s cas o s , m u i t a d i f i c u l d a d e de e s p e c i f i c a r a f o r m a m a t e m á t i c a e x a t a do m o d e l o do s i s t e m a , ou em o u t r o s c a s o s , o s i s t e m a t e m e q u a ç õ e s que não t ê m s o l u ç ã o a t r a v é s de m é t o d o s a n a l í t ^ C O S . N e s s e caso a s i m u l a ç a o do s i s t e m a em c o m p u t a d o r e s f o r n e c e d £ d o s s o b r e o c o m p o r t a m e n t o do s i s t e m a que serão de g r a n d e valor.
N e s t e c a p í t u l o a p r e s e n t a m o s a s i m u l a ç a o que e f e t u a m o s com os m o d e l o s d e s e n v o l v i d o s no s e g u n d o c a p í t u l o . N e s s e caso, a utili^ z a ç a o da s i m u l a ç a o se j u s t i f i c a p e l a e s t o c a s t i c i d a d e dos m o d e l o s . Sao a p r e s e n t a d a s as t é c n i c a s que u s a m o s p a r a s i m u l a r n o s s o m o d e l o , u s a n d o l i n g u a g e m F O R T R A N em u m c o m p u t a d o r I B M - 1 1 3 0 . Sao a p r e s e n t a d o s e s q u e m a s g e r a d o r e s de n ü m e r o s a l e a t ó r i o s c o m d i s t r i b u i ç õ e s de p r o b a b i l i d a d e u n i f o r m e , g a u s s i a n a , l a p l a c i a n a e de C a u chy. M o s t r a m o s g r á f i c o s , o b t i d o s a t r a v é s d e s s a s t é c n i c a s , que s i m u l a m o c o m p o r t a m e n t o dos m o d e l o s d i n â m i c o s e de o b s e r v a ç ã o . 0 m o d e l o de a b s e r v a ç a o é d i s c u t i d o em f u n ç a o de três h i p ó t e s e s a s s u m i d a s c o m r e l a ç a o à d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e da v a
r i á v e l de erro, s i m u l a n d o os c a s o s em que a c o n f i a b i l i d a d e dos d £ dos ê bo a , m u i t o b o a e ma.
27 3.2 - T E S T E S DE C O M P O R T A M E N T O E S T A T Í S T I C O DOS G E R A D O R E S DE N Ú M E ROS A L E A T Ó R I O S . P a r a c o n f i r m a ç a o das p r o p r i e d a d e s e s p e r a d a s dos g e r a d o r e s d e n ú m e r o s a l e a t ó r i o s e suas d i s t r i b u i ç õ e s de p r o b a b i l i d a d e , e f e t u a m o s três t e s t e s ; os do i s p r i m e i r o s v i s a m v e r i f i c a r a e x a t i d ã o dos v a l o r e s e s p e r a d o s das m é d i a s e v a r i â n c i a s das d i s t r i b u i ç õ e s .
3 . 2 . 1 - T e s t e s de M e d i a e V a r i â n c i a Co m o e s s e s t e s t e s são a m o s t r a i s , p o d e m o s e s c r e v e r : E 1 n E Xi = y = x X U t i l i z a m o s e s t e s te s t e s em todas as d i s t r i b u i ç õ e s de p r £ b a b i l i d a d e que u s a m o s e o b t i v e m o s r e s u l t a d o s m u i t o bons. P a r a o t e s t e de i n d e p e n d ê n c i a da s e q u ê n c i a dos n ú m e r o s a. l e a t ó r i o s u s a m o s o t e s t e C h i - Q u a d r a d o , que é t a l v e z o m e l h o r t e s te e s t a t í s t i c o d e n t r e t o d o s os c o n h e c i d o s ^ e é l a r g a m e n t e u- t i l i z a d o por ser um t e s t e b ã s i c o e que po d e ser u s a d o em c o n e x ã o c o m m u i t o s o u t r o s .
3 . 2 . 2 - T e s t e de C h i - Q u a d r a d o
P a r a e x e c u t a r m o s este t e s t e t o m a m o s u m a a m o s t r a de n n ú m e r o s . D i v i d e - s e o i n t e r v a l o de v a r i a ç ã o dos n ú m e r o s em K s u b - i n -
t e r v a l o s i g u a i s . A m e d i d a que os n ú m e r o s a l e a t ó r i o s f o r e m sendo - g e r a d o s , v e r i f i c a - s e a qual dos K s u b - i n t e r v a l o s êle p e r t e n c e e a n o t a - s e a f r e q u ê n c i a de o c o r r ê n c i a de n ú m e r o s em c a d a s u b - i n t e r v a l o . A d o t a m o s e s s a f r e q u ê n c i a c o m o sendo a f r e q u ê n c i a o b s e r v a d a _ de o c o r r ê n c i a , fo . C a l c u l a - s e a f r e q u ê n c i a e s p e r a d a de o c o r r ê n c i a de n ú m e r o s a l e a t ó r i o s em c a d a s u b - i n t e r v a l o , e d e f i n i m o s : K . - f . V2 i=l ^ei em que V é u m a v a r i á v e l a l e a t ó r i a c o m d i s t r i b u i ç ã o a p r o x i m a d a m e n
28 te c h i - q u a d r a d o , c o m K-1 graus de l i b e r d a d e . Á f r e q u e n c i a e s p e r a d a e c a l c u l a d a por: f e = n . p i o n d e n é o t a m a n h o da a m o s t r a e p£ é a p r o b a b i l i d a d e de o c o r r e n - cia de um n u m e r o a l e a t ó r i o no s u b - i n t e r v a l o i, ou ainda: P i = P a X <_ b = F(b) - F(a) o n d e F(a) e o v a l o r da f u n ç a o d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e a c u m u l a da no p o n t o a; e "a" e "b" sao os v a l o r e s e x t r e m o s dos s u b - i n t e r - va l o s . E n t ã o , de u m a f o r m a geral, o v a l o r da f r e q u ê n c i a e s p e r a d a fe p a r a d i s t r i b u i ç õ e s u n i f o r m e s , será: f = - 2 - le u K U s a m o s e s t e t e s t e no g e r a d o r de n ú m e r o s a l e a t ó r i o s unifor^ mes R A L E A m o s t r a d a na f i g u r a (13) e o b t i v e m o s r e s u l t a d o s p o s ^ t i v o s c o m u m n i v e l de s i g n i f i c á n c i a de 95%, c o n f o r m e m o s t r a d o no e x e m p l o 1. E x e m p l o 1 : S e j a u m a p o p u l a ç a o de 3 0 . 0 0 0 n ú m e r o s a l e a t ó r i o s u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d o s e n t r e (0, 1). T o m a m o s 30 a m o s t r a s de 1 . 0 0 0 e l £ m e n t o s cada. V a m o s d e t e r m i n a r c o m 95% de c o n f i a b i l i d a d e se esses n ú m e r o s sao i n d e p e n d e n t e s e r e a l m e n t e u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d o s . P a r a is s o d i v i d i m o s o i n t e r v a l o (0, 1) em 100 s u b - i n t e r v a l o s i- g u a i s . E n t ã o : _ n _ 1.000 _ , ^ ^ e u - K ■ 100 “ e ntão, os v a l o r e s s de V p o d e r ã o e s t a r entre: V m a x = 1 2 8 , 4 2 2 e V m i n = 73,361 p o i s V t e m d i s t r i b u i ç ã o c h i - q u a d r a d o c o m 99 g raus de l i b e r d a d e . 13 A f i g u r a 11 m o s t r a u m p r o g r a m a F O R T R A N p a r a e x e c u t a r o e x e m p l o 1.
30 // A S M » L I S T
0000
0 0 2 30000
0 001 0 0 0 3 0 0 0 5 0 0 0 7 0 0 0 9 O O O A O O O C 'OOOD O O O F 0 0 1 0 0011 0 0 1 3 0 0 1 4 0 0 1 5 0 0 1 6 0 0 1 7 0 0 1 8 0 0 1 9 O O I B O O I D O O I F 0020 0021 0 0 2 3 0 0 2 4 0 0 2 6 0 0 2 8 0 0 2 A 0 0 2 B 0 0 2 D 0 0 2 E 0 0 3 0 0 0 3 2 0 0 3 4 0 0 3 6 0 0 3 7 0 0 3 8 0 0 3 9 0 0 3 A 0 01 01 01 00 0 01 0 00 0 0 01 0 0 0 0 0 0 01 00 00 20 1 01 0 00 01 00 0 01 000
01 00 01 0 0 1 9 0 5 3 1 ^ 1 0 9 0 5 3 1 4 10000
6 E 0 0 0 0 1 C 6 D 0 0 0 0 1 E 6 6 8 0 0 0 0 0 C 6 8 0 0 0 0 0 A 0 2 0 A C 0 0 0 0 3 6 1090 D 6 8 0 0 0 0 0 1890 1 0 8 F A C 0 0 0 0 3 6 6 1 1 0 1140 1801 D021 7171 6 9 2 0 7 4 0 1 0 0 0 0 6 6 0 0 0 0 0 0 6 5 0 0 0 0 0 0 0 6 4 C 4 0 0 0 0038 4 C 8 0 0 0 0 00000
6 E 0 0 0 0 0 0 6 6 8 0 0 0 2 3 C 6 8 0 0 0 0 n A O O C A C 0 0 0 0 3 6 1090 D 6 8 0 0 0 0 0 7 4 0 1 0 0 2 3 6 6 0 0 0 0 0 0 4 C 8 0 0 0 2 3 7F E D 03E5 0001 0001 00001 00002 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4 0 0 0 0 5 0 0 0 0 6 0 0 0 0 7 0 0 0 0 8 0 0 0 0 9 0 0 01 0 0 0011 000 12 0 0 0 1 3 0 0 0 1 4 0 0 0 1 5 0 0 0 1 6 0 0 0 1 7 0 0 0 1 8 0 0 0 1 9 00 02 0 00021 00022 0 0 0 2 3 0 0 0 2 4 0 0 0 2 5 0 0 0 2 6 0 0 0 2 7 0 0 0 2 8 0 0 0 2 9 0 0 0 3 0 0 0 0 3 1 0 0 0 3 2 0 0 0 3 3 0 0 0 3 4 000 3 5 0 0 0 3 6 0 0 0 3 7 0 0 0 3 8 0 0 0 3 9 0 0 0 4 0 0 0 0 4 1 0 0 0 4 2 ENT ENT R A L E A DC STX S T X LDX LD M D .SLT S T O SRT SLT D LDX S L C A S R A S T O M D X STX M D M LDX LDX L I B F DC B IALEA DC STX LDX LD M D SLT S T O M D M LDX B DC DC BSS BSS END S A V E SAVI SAVA MO D IRAIZ TEMP L2 LI 12 12 12 1 1 L L2 LI I L2 12 12 12 L L2 I r a l e a lALEA S A V E + 1 S A V I + 1 R A L E A0
IRAIZ M OD 160
16 15 M O D 16 1 T E M P 113 T E M P + 1 R A L E A f l FLD TEMP R A L E A S A V A + 1 l ALEA0
IRAIZ MOD 160
l A L E A t l l ALEA 3 2 7 4 9 997 1 1 FIG. 12 - F u n ç ã o R A L E A32 3.3 - G E R A Ç Ã O DE N Ú M E R O S A L E A T Õ R I O S C O M D I S T R I B U I Ç Ã O N O R M A L (0,1): P a r a o b t e n ç ã o de n ú m e r o s a l e a t ó r i o s com d i s t r i b u i ç õ e s nao u n i f o r m e s , u s a m o s a t é c n i c a b a s e a d a na f u n ç a o i n v e r s a da fu n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e a c u m u l a d a . P a r a o n o s s o ger a d o r , a £ , b i t r a m o s a m é d i a como zero e a v a r i â n c i a u n i t á r i a ; p o r t a n t o : f (x) E xp { \[2ÍT ' 2 A f u n ç ã o d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e a c u m u l a d a F(x) é da da por: F,(x) -
r
J- a f(t) . dt C o m o p o d e - s e o b s e r v a r na f i g u r a 14, se d i s p o r m o s da f u n ç ã o i n v e r s a F (x) , p o d e r e m o s f a c i l m e n t e g e r a r um c o n j u n t o de n ú m e r o s a l e a t ó r i o s c o m d i s t r i b u i ç ã o n o r m a l a t r a v é s de u m a v a r i á v e l a l e a t £ ri a i n d e p e n d e n t e u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d a e n t r e (0, 1). FIG. 14 - M é t o d o g r á f i c o p a r a o b t e n ç ã o de u m g e r a d o r de n ú m e r o s a l e a t ó r i o s n o r m a l m e n t e d i s t r i b u í d o s .O c o r r e , no e n t a n t o , que F~^ (x) é m u i t o d i f í c i l de ser obti^ da a n a l i t i c a m e n t e . E x i s t e m m u i t o s m é t o d o s a p r o x i m a d o s p a r a d e t e r m i n a r F ^(x). E s c o l h e m o s o a l g o r i t m o de Box, M ü l l e r e M a r s a g l i a ^ . 0 a l g o r i t m o de Box-^MÜller & M a r s a g l i a se o r i g i n a da i n t e g r a ç ã o - da f u n ç ã o d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e c o n j u n t a de du a s v a r i á v e i s g a u s s i a n a s . E m v i s t a d i s t o n e c e s s i t a de duas s e q u ê n c i a s de n ú m e ros a l e a t o r i o s u n i f o r m e m e n t e d i s t r i b u i d o s . P a r a m a i o r c o m o d i d a d e , p r o g r a m a m o s u m g e r a d o r em tudo igual ao g e r a d o r R A L E A , que c h a m a
33
m o s P A L E A , p a r a c o n j u n t a m e n t e f o r m a r e m as duas s e q ü ê n c i a s de nume ros a l e a t o r i o s r e q u e r i d a s . M o s t r a - s e na f i g u r a 15 u m f l u x o g r a m a - s i m p l i f i c a d o do a l g o r i t m o de B o x - M ü l l e r e M a r s a g l i a , e na f i g u r a 16 a s u b - r o t i n a G A U S S que p r o g r a m a m o s p a r a g e r a r n ú m e r o s a l e a t o r i o s n o r m a l m e n t e d i s t r i b u i d o s com m é d i a zero e v a r i â n c i a unitaria,
A s u b - r o t i n a G a u s s p o d e ser u t i l i z a d a a t r a v é s do c o mando: C A L L G A U S S (IX, JX, U, V)
em que: IX e J X sao v a r i á v e i s i n t e i r a s p o s i t i v a s m e n o r e s que - 32 7 4 8 , que i n i c i a l i z a m os g e r a d o r e s u n i f o r m e s , e U e V são duas v a r i á v e i s reais, e s t a t i s t i c a m e n t e i n d e p e n d e n t e s c o m d i s t r i b u i ç ã o n o r m a l (0, 1).
36 3.5 - G E R A D O R DE N Ú M E R O S A L E A T O R I O S I N D E P E N D E N T E S C O M D I S T R I B U ^ ÇÃO DE C A U C H Y . A d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e de C a u c h y t e m a s e g u i n t e _ f u n ç a o d e n s i d a d e de p r o b a b i l i d a d e ; 1 1 f(x) = ‘ d + ( x - y ) 2 ) X < 00 com: E [x] = y = 0 E X A f u n ç a o d i s t r i b u i ç ã o de p r o b a b i l i d a d e a c u m u l a d a é: F(x) = — ^ arc tg (x-y) T o m a n d o - s e F(x) = U e y = 0 , o b t ê m - s e : F" l ( x ) = tg ( H (U-1/2)) A s u b - r o t i n a C a u c h , f i g u r a 19, u t i l i z a a e q u a ç ã o (35) p a ra g e r a r n ú m e r o s a l e a t ó r i o s i n d e p e n d e n t e s c o m d i s t r i b u i ç ã o de Ca_u chy. E s s e g e r a d o r p o d e ser c h a m a d o pe l o c o m a n d o : C A L L C A U C H (IX, X)
o n d e IX ê u m a v a r i ã v e l i n t e i r a p o s i t i v a m e n o r que 3 2 7 4 8 que ini^ c i a l i z a o g e r a d o r de d i s t r i b u i ç ã o u n i f o r m e , e X ê o n ú m e r o a l e £ t ó r i o g e r a d o . // F O R . * L I S T S O U R C E P R O GkAM S U B R O U T I N E C A U C H ( I X » X ) P I = 3 . 1 4 159 U = P A L E A ( I X ) A R C O = P I * (U - 0 . 5 ) X = SINI A R C O ) / C O S ( A R C O ) R E T U R N END FIG. 19 - S u b - r o t i n a CAUCH. A s s i m f i c a m d e f i n i d o s os q u a t r o s g e r a d o r e s de n ú m e r o s alea^ t ó r i o s que u s a r e m o s em n o s s o t r a b a l h o de s i m u l a ç ã o .
