Identificação do módulo complexo de materiais viscoelásticos pelo método da viga de oberst modificado

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Identificação do módulo complexo de materiais viscoelásticos pelo

método da viga de Oberst Modificado

Emídio Manuel Pereira Ramos

Dissertação do MIEM

Orientador na FEUP: Professor José Dias Rodrigues

Faculd ade de En ge nharia d a Uni versid ade do Porto Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica

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À Carla e à minha família

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Resumo

Esta dissertação visa a análise às propriedades dos materiais viscoelásticos, sendo abordado inicialmente uma breve introdução aos materiais viscoelásticos, fazendo alusão à sua inserção no mercado industrial e à sua evolução durante o último século. Mais adiante são analisadas as várias configurações de tratamento viscoelástico e a respectiva aplicação das mesmas, sendo abordado também os factores que influenciam as propriedades do material viscoelástico, tais como o efeito da temperatura, o efeito da frequência, das tensões cíclicas e do meio envolvente. A presente dissertação contém a determinação das propriedades de um material viscoelástico (determinação do módulo complexo) experimentalmente, obtida por via de uma função de resposta em frequência do tipo transmissibilidade, passando pela respectiva validação dos resultados, assim como o suporte teórico para as obter. Também é abordado as várias formas de representação do módulo complexo, em função da temperatura, frequência, módulo de ganho e factor de perda.

A presente dissertação contém os vários valores adquiridos na análise experimental, os quais são analisados com o programa comercial CADA, e com os métodos “Circular Curve Fitting” e com a função característica de resposta, os quais possibilitam a identificação do módulo de ganho e do factor de perda de acordo com a norma ASTM E705-56. É também efectuado um ajustamento pelo método das derivadas fraccionárias ao módulo de ganho e consequentemente ao factor de perda, possibilitando uma comparação eficaz com os valores fornecidos pela empresa que distribui o material analisado na presente dissertação.

Em suma, foi possível concluir que os procedimentos adoptados ao longo do trabalho permitiram a identificação das propriedades dinâmicas do material viscoelástico. A configuração experimental utilizada revela-se mais simples que a da norma ASTM E705-56. Por fim, o modelo constitutivo identificado para o material viscoelástico possibilita análises de simulação e/ou projecto de componentes e estruturas em tratamentos viscoelásticos.

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Identification of complex modulus of viscoelastic materials by the method of Modified Oberst beam

Abstract

This dissertation aims to analyze the properties of viscoelastic materials, which initially addressed a brief introduction to viscoelastic materials, alluding to its insertion in the industrial market and its evolution over the last century. Later we analyze the various configurations of viscoelastic treatment and its implementation thereof, being also discussed the factors that influence the properties of viscoelastic material, such as the effect of temperature, the effect of frequency, the effect of cyclic stress and the environment. This work includes determining the properties of a viscoelastic material (determination of the complex modulus) experimentally obtained by means of a frequency response function of the type transmissibility, through their validation of the results, as well as theoretical support for the information. Is also discussed various ways of representing the complex modulus as a function of temperature, frequency, module gain and loss factor.

This work contains several data acquired in the experimental analysis, which are analyzed with the commercial program CADA, and the methods "Circular Curve Fitting" and the characteristic response function, which make possible the identification module gain and loss factor in accordance with the norm ASTM E705-56. It is also made an adjustment with the method of derived fractional to the module of gain and consequently the loss factor, allowing an effective comparison with the values provided by the company that distributes the

material analyzed in this dissertation. In short, it was concluded that the procedures adopted throughout the work allowed

the identification of dynamic properties of viscoelastic material. The experimental setup used appears to be simpler than that of ASTM E705-56. Finally, the constitutive model identified for the viscoelastic material allows simulation analysis and / or project components and structures in viscoelastic treatments.

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ix Agradecimentos

Primeiro de tudo gostaria de agradecer ao meu orientador, José Dias Rodrigues pelo apoio dado ao longo do semestre.

Quero também deixar um agradecimento às seguintes pessoas:

 Carla Alexandra Teixeira Carvalho, pela ajuda na revisão da dissertação;  Bruno Borges, pela ajuda dada no Matlab;

 Luis Cardoso, pela guiamento dado ao longo da dissertaçao;

 Antero da Costa Pereira, pela ajuda na obtenção dos materiais, para a construção dos provetes;

 Ao Sr. Edmundo pela peça de acoplamento ao shaker a qual encastra a viga;  Ao professor Rui Moreira, por incorporar o material viscoelástico nas vigas de base

permitindo a sua análise;

 Ao professor César Vasques, por facultar alguma bibliografia relativa ao assunto;  João Ribeiro, pela ajuda dada na revisão conteúdo em inglês na presente dissertação.

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Índice

Capítulo 1 – Introdução ... 1 1.1. Introdução ... 1 1.2. Motivação ... 2 1.3. Objectivos ... 2 1.5. Estrutura da dissertação ... 3

Capitulo 2 – Algumas Considerações teóricas ... 5

2.1. Tratamentos viscoelásticos ... 5

2.2. Considerações sobre os materiais viscoelásticos ... 5

2.3. Configurações de tratamento viscoelásticos ... 6

2.4. Descrição dos espécimes ... 6

2.5. Vigas com tratamento ... 6

2.5.1. Viga com tratamento superficial sem restrição ... 7

2.5.2. Viga de Von Oort ... 8

2.5.3. Viga Sandwich ... 10

2.6. Efeitos da temperatura e da frequência nas propriedades dos viscoelásticos ... 12

2.6.1. Efeito da Temperatura ... 12

2.6.2. Efeito da frequência ... 13

2.6.3. Efeito das tensões cíclicas ... 15

2.6.4. Efeito do meio envolvente ... 15

2.7. Considerações na caracterização dos materiais viscoelásticos com a frequência... 16

2.8. Módulo Complexo ... 17

Capitulo 3 – Determinação do módulo complexo ... 20

3.1. Medição do Módulo Complexo ... 20

3.2. Sistema discreto com um grau de liberdade ... 22

3.2.1. Configuração do sistema de medição ... 22

3.2.2. Medição da resposta do sistema... 24

3.2.3. Medição da transmissibilidade do sistema ... 26

3.2.4. Considerações sobre os sistemas discretos ... 28

3.3. Validação da caracterização experimental e análise de resultados ... 29

3.4. Representação dos resultados experimentais ... 30

3.4.1. Representação Wicket Plot ... 30

3.4.2. Princípio da correspondência frequência – temperatura ... 32

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xi

3.4.4. Equação de Arrhenius ... 35

3.5. Representação do módulo complexo ... 36

3.5.1. Nomograma de frequência reduzida ... 37

Capitulo 4 – Método da viga de Oberst Modificado ... 38

4.1. Considerações iniciais ... 38

4.2. Construção do sistema de base ... 39

4.3. Modelo Analítico ... 41

Capitulo 5 – Analise experimental - Resultados ... 46

5.1. Análise das vigas de base ... 46

5.2. Analise das vigas Sandwich ... 53

5.2.1. Análise através do programa CADA ... 55

5.2.2. Análise através do método FRC ... 67

5.2.3. Análise pelo método CCF ... 81

Capitulo 6 – Determinação de Ge

η

... 84

Capitulo 7 – Ajustamento do modelo de derivadas fraccionárias ... 94

Capítulo 8 - Conclusões ... 105

Referências ... 106

Anexos ... 107

Anexo A – Nomograma do ISD112 ... 109

Anexo B – Frequências teóricas calculadas ... 113

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Índice de Figuras

Figura 1 – Viga de Oberst ... 7

Figura 2 - Viga de Von Oort ... 9

Figura 3 - Viga Sandwich ... 10

Figura 4 - Variação do módulo de ganho e do factor de perda com a temperatura [1] ... 13

Figura 5 - Efeito da frequência no módulo complexo comportamento; (a) plástico típico, (b) elastómero típico [2] ... 14

Figura 6 - Configuração Ideal para deformação extensional ... 20

Figura 7 - Configuração Ideal para aplicação de forças de harmónicas (deformação extensional) [1] 21 Figura 8 - Sistema de Configuração Extensional ... 23

Figura 9 - Sistema com um grau de liberdade ... 24

Figura 10 - Sistema com um grau de liberdade - Medição da transmissibilidade ... 27

Figura 11 - Representação hipotética do Wicket Plot ... 31

Figura 12 - Princípio da correspondência frequência - temperatura ... 33

Figura 13 - Modelos de representação dos factores de translação ... 35

Figura 14 – Nomograma do material viscoelástico ISD 112 ... 37

Figura 15 – a),b) e c) mostram o equipamento utilizado no sistema de base. ... 39

Figura 16 – Esquematização do sistema de base ... 40

Figura 17 - Sistema de medição ... 41

Figura 18 – Transmissibilidade teórica e experimental para a viga de 180mm ... 44

Figura 22 - Espécimes para medição das frequências de base ... 47

Figura 23 – Shaker ... 48

Figura 24 - Função resposta em frequência para a viga com 180mm (D 1.1)... 50

Figura 25 - Função resposta em frequência para a viga com 220mm (C 1.2) ... 51

Figura 26 - Função resposta em frequência para a viga com 260mm (B 1.1) ... 52

Figura 27 - Função resposta em frequência para a viga com 300mm (A 1.2) ... 53

Figura 28 - Espécimes na configuração ... 54

Figura 29 – FRF global da Viga Sandwich com 180mm ... 55

Figura 30 - Zoom da primeira forma para a Viga Sandwich de 180mm ... 56

Figura 31 - Zoom da segunda forma para a Viga Sandwich de 180mm ... 57

Figura 32 – FRF global da Viga Sandwich com 220mm ... 58

Figura 33 - Zoom da primeira forma para a Viga Sandwich de 220mm ... 59

Figura 34 - Zoom da segunda forma da Viga Sandwich com 220mm ... 60

Figura 36 - Zoom da primeira forma da Viga Sandwich com 260mm ... 62

Figura 37 - Zoom da segunda forma da Viga Sandwich com 260mm ... 63

Figura 39 - Zoom da primeira forma da Viga Sandwich com 300mm ... 65

Figura 40 - Zoom da segunda forma da Viga Sandwich com 300mm ... 66

Figura 41 - Viga Sandwich de 180mm: análise à primeira forma segundo o Método FRC ... 68

Figura 42 - Viga Sandwich de 180mm: análise ao Zoom da primeira forma segundo o Método FRC .. 69

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xiii

Figura 44 - Viga Sandwich de 180mm: análise à terceira forma segundo o Método FRC ... 71

Figura 45 - Viga Sandwich de 220mm: análise à primeira forma segundo o Método FRC ... 72

Figura 47 - Viga Sandwich de 220mm: análise à segunda forma segundo o Método FRC ... 74

Figura 48 - Viga Sandwich de 220mm: análise à terceira forma segundo o Método FRC ... 75

Figura 49 - Viga Sandwich de 260mm: análise à primeira forma segundo o Método FRC ... 76

Figura 51 - Viga Sandwich de 260mm: análise ao Zoom da terceira forma natural de frequência segundo o Método FRC ... 78

Figura 52 - Viga Sandwich de 300mm: análise à primeira forma natural de frequência segundo o Método FRC ... 79

Figura 53 - Viga Sandwich de 300mm: análise ao Zoom da primeira forma natural de frequência segundo o Método FRC ... 80

Figura 54 - Viga Sandwich de 300mm: análise à terceira forma natural de frequência segundo o Método FRC ... 81

Figura 55 - Comparação dos resultados para o módulo de corte obtidos pelos vários métodos e os valores fornecidos pela 3M ... 85

Figura 56 - Comparação dos resultados para o Factor de perda obtidos pelos vários métodos e os valores fornecidos pela 3M ... 86

Figura 57 - Comparação dos resultados para o módulo de corte obtidos pelos vários métodos e os valores fornecidos pela 3M ... 87

Figura 58 - Comparação dos resultados para o Factor de perda obtidos pelos vários métodos e os valores fornecidos pela 3M ... 88

Figura 59 - Comparação dos resultados para o Módulo ao Corte obtidos pelos vários métodos e os valores fornecidos pela 3M ... 89

Figura 60 - Comparação dos resultados para o Factor de Perda obtidos pelos vários métodos e os valores fornecidos pela 3M ... 89

Figura 61 – Conjugação dos valores do Módulo de corte obtidos para a primeira e segunda forma natural de vibração ... 90

Figura 62 – Conjugação dos valores do Factor de perda obtidos para a primeira e segunda forma natural de vibração ... 91

Figura 63 - Valores obtidos para o Módulo de Corte nas suas componentes reais e imaginárias ... 92

Figura 64 - Ajustamento ao primeiro e segundo modo natural de frequência ... 95

Figura 65 - Ajustamento ao primeiro modo natural de frequência ... 96

Figura 66 - Ajustamento ao segundo modo natural de frequência ... 96

Figura 67 – Ajustamento obtido para o módulo de ganho, módulo de perda e factor de perda para o primeiro e segundo modo natural de vibração... 97

Figura 68 – Ajustamento obtido para o módulo de ganho, módulo de perda e factor de perda para o primeiro modo natural de vibração ... 98

Figura 69 – Ajustamento obtido para o módulo de ganho, módulo de perda e factor de perda para o segundo modo natural de vibração ... 98

Figura 70 – Ajustamento obtido para o módulo de ganho, módulo de perda e factor de perda para o primeiro e segundo modo natural de vibração... 99

Figura 71 – Ajustamento obtido para o módulo de ganho, módulo de perda e factor de perda para o primeiro modo natural de vibração ... 100

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xiv Figura 72 – Ajustamento obtido para o módulo de ganho, módulo de perda e factor de perda para o

segundo modo natural de vibração ... 100

Figura 73 – Comparação dos vários “fitting’s” para o primeiro e segundo modo natural de vibração com os valores retirados da 3M para o ISD112 ... 101

Figura 74 – Comparação dos vários “fitting’s” para o primeiro modo natural de vibração com os valores retirados da 3M para o ISD112 ... 102

Figura 75 – Comparação dos vários “fitting’s” para o primeiro modo natural de vibração com os valores retirados da 3M para o ISD112 ... 102

Índice de Tabelas

Tabela 1 – Parâmetro p para a viga encastrada-livre ... 11

Tabela 2 – Designação dos provetes ... 46

Tabela 3 - Tabela referente às pesagens e às respectivas massas volúmicas ... 46

Tabela 4 - Frequências teóricas calculadas ... 48

Tabela 5 - Frequências obtidas ... 49

Tabela 6 – Designação dos provetes Sandwich ... 54

Tabela 7 - Valores obtidos para os vários comprimentos das vigas Sandwich através do método CADA ... 54

Tabela 8 - Frequências obtidas para o método FRC ... 67

Tabela 9 – Valores obtidos através do método CCF ... 82

Tabela 10 - Valores ajustados para os vários métodos utilizados para o 1º/2º modo natural de vibração (MNV) ... 94

Notação lista de símbolos

Variáveis

𝜔𝑟0 frequência de ressonância de ordem r para a viga de base [rad/s]

𝜔𝑟 frequência de ressonância de ordem r [rad/s]

ℛ� razão da rigidez de flexão da viga compósita 𝐸� módulo extensional complexo [Pa]

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xv 𝐸 módulo de Young ou modulo extensional [Pa]

𝐼 momento de segunda ordem da secção recta da viga [𝑚4_]

𝜌 massa volúmica [𝑘𝑔 𝑚_{⁄ ]}3

𝜂𝑟 factor de perda modal de ordem r

ℎ𝑖 razão de espessuras: ℎ𝑖 = 𝐻𝑖⁄ 𝐻1

𝑓𝑟𝑜 frequência de ressonância de ordem r para a viga de base [Hz]

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Capítulo 1 – Introdução

1.1. Introdução

Nas últimas décadas, a engenharia tem dado passos cada vez maiores em direcção ao desenvolvimento e inovação do produto. O desenvolvimento da engenharia estrutural conduziu à construção de estruturas cada vez mais eficientes sobre o ponto de vista estrutural, levando à concretização de desafios nunca antes alcançados.

A evolução da engenharia tem sido acompanhada e dirigida pela introdução de novas formas estruturais, pela aplicação de processos de produção e montagem mais eficientes e versáteis, em especial, pelo desenvolvimento e utilização de novos materiais mais leves e resistentes. Para esta evolução se concretizar, todas as áreas da engenharia tiveram de acompanhar o seu desenvolvimento e a área de Vibrações não foi excepção.

Desde da década dos anos 50 que a área de Vibrações tem ganho importância no que toca ao desenvolvimento de estruturas, uma vez que estas estão cada mais são mais exigentes e sujeitas a inúmeras solicitações provocadas quer por acções exteriores (ambientais), quer por acções interiores (máquinas, veículos). Esta área visa o estudo e criação de soluções viáveis, de forma a evitar que vibrações excessivas se transmitam às estruturas em causa, pois este tipo de solicitação está geralmente associado à avaria por fadiga.

Um dos parâmetros inerentes a esta área é o amortecimento, que tem sido e continua a ser com bastante frequência um requisito invisível para um bom desempenho mecânico. Com a necessidade de obter amortecimentos eficazes na indústria surgiram os materiais viscoelásticos. Estes materiais são dotados de uma capacidade de amortecimento bastante superior às ligas metálicas, sendo capazes de dissipar grandes quantidades de energia. Existe uma vasta gama de materiais viscoelásticos, como polímeros industriais ou até mesmo borrachas, quer de origem natural quer de origem sintética. Estes materiais oferecem um leque de possibilidades, permitindo produzir os desejados níveis de amortecimento nas estruturas e máquinas, podendo evitar acidentes como o da ponte Tahoma, a ponte de Mississipi e a ponte Millenium. Mas, não é só em estruturas, como as pontes, que os amortecimentos que têm importância. Os veículos terrestres necessitam de elementos capazes de grande dissipação, por exemplo, a suspensão de um automóvel inclui as molas (conferindo rigidez) e o elemento de dissipação, o amortecedor. Outro caso onde o amortecimento ganha ainda mais relevância, é o caso do equipamento militar, pois estes são extremamente sensíveis à qualidade dos processos dinâmicos. Por exemplo, se pensarmos por um instante podemos facilmente concluir como seria difícil para um tanque de guerra efectuar um disparo com precisão, enquanto este se move numa certa direcção, se as vibrações transmitidas ao canhão não fossem suficientemente dissipadas. O amortecimento acaba por ter uma elevada relevância, nas estruturas e/ou máquinas, como se pode constatar ao longo da história da engenharia.

De forma a compensar a reduzida capacidade de amortecimento de certas estruturas, torna-se necessário desenvolver mecanismos dissipativos adicionais. Estes mecanismos podem ser introduzidos nas mais diversas formas, desde a aplicação de simples elementos

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2 viscoelásticos discretos colocados em pontos de ligação da estrutura, a mecanismos activos auto-controlados embebidos na mesma.

1.2. Motivação

A área de vibrações por norma é uma área desconhecida, ou por outra, passa despercebida à maioria das pessoas. A primeira vez que olhei para algo relacionado, a reacção foi bastante recíproca, mas apesar da reacção comecei a dar me conta que havia muito mais por trás da suposta “cortina”. Foi então que um dia visitei a o laboratório de vibrações, o qual me despertou muito interesse e vontade de descobrir mais sobre o assunto. Deste modo decidi fazer a tese na área de Vibrações e Ruído. Foram me apresentados três trabalhos, todos com o seu devido potencial, embora um me desperta-se mais. Esse trabalho, foi o que deu origem à minha tese de final de curso. Este trabalho revelou-se interessante e ao mesmo tempo desafiante, uma vez que desconhecia por completo a existência de matérias viscoelásticos e as próprias capacidades deles. Começando por estudar os referidos materiais, descobri um mundo novo, tendo este estudo recaído sobre a identificação das propriedades do material viscoelástico. O processo de identificação revelou-se desafiante uma vez que a norma adoptada não foi rigorosamente seguida, tendo sido realizadas algumas modificações para uma implementação mais simples do modelo. Sem mais a dizer, segue-se o trabalho realizado este semestre.

1.3. Objectivos

Este trabalho apresenta como objectivo desenvolver um procedimento de identificação das propriedades dinâmicas de materiais viscoelásticos, dependentes da frequência e da temperatura, através de medições experimentais de funções de resposta em frequência e/ou de parâmetros modais.

O desenvolvimento do trabalho contempla ainda os seguintes objectivos complementares: • Recolha de informação sobre metodologias de caracterização das propriedades

dinâmicas de matérias viscoelásticos;

• Definição dos parâmetros de ensaio experimental; • Definição e execução de provetes de ensaio;

• Definição e avaliação de diferentes funções objectivo;

• Realização de ensaios para caracterização em frequência e temperatura do material viscoelástico 3M ISD112.

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3

1.5. Estrutura da dissertação

A dissertação está organizada em oito capítulos:

O primeiro capítulo contém uma ligeira introdução ao trabalho e à sua aplicação nos dias de hoje, a motivação e os objectivos da dissertação;

O segundo capítulo é constituído pelo suporte teórico da dissertação, tendo sido abordado neste capítulo uma alusão aos tratamento viscoelásticos, explicando o que são, para que serve e onde aplica-los. Foi também realizada uma descrição dos vários tipos de tratamento, como também foram descritos os factores que perturbam o comportamento dos materiais viscoelásticos. Por fim este capítulo termina com uma breve explicação do módulo complexo;

O terceiro capítulo recaiu sobre a determinação do módulo complexo assim como o próprio título diz. Foram abordados neste capítulo, sistemas discreto com um grau de liberdade, medição da resposta do sistema assim como a transmissibilidade. Neste capítulo também foram abordadas as várias formas de representar o módulo complexo.

O quarto capítulo recaiu apenas sobre a análise experimental, tendo sido feitas as respectivas considerações iniciais, assim como a representação do sistema de base e o modelo analítico inerente ao mesmo;

O quinto capítulo aborda os resultados experimentais obtidos, fazendo referência à análise das vigas de base, à viga de Oberst modificada (viga Sandwich) e à análise através do programa comercial e através dos métodos CCF e FRC;

O sexto capítulo aborda unicamente a determinação do módulo de ganho e do factor de perda;

O capítulo sete recaiu sobre o ajustamento do modelo de derivadas fraccionárias, isto é, foram ajustados aos vários valores para o módulo de ganho e para o factor de perda uma curva segundo uma lei;

Por fim terminamos com capítulo oito, este refere apenas e unicamente as conclusões retiradas da dissertação e algumas ideias para trabalhos futuros.

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5

Capítulo 2 – Algumas considerações teóricas

2.1. Tratamentos viscoelásticos

Entre os mecanismos passivos de amortecimento, os tratamentos distribuídos e os amortecedores localizados baseados em materiais viscoelásticos assumem uma posição de relevo, uma vez que estes dispõem de uma elevada eficácia, oferecendo vantagens relativamente à simplicidade na sua aplicação, ao seu reduzido custo e à reduzida alteração estrutural introduzida pelos mesmos.

Os materiais viscoelásticos são estruturalmente pouco eficientes, mas exibem uma capacidade dissipativa de energia fora do vulgar, sendo a respectiva energia dissipada sob a foram de calor para o exterior. Esta capacidade tem vindo a ser cada vez mais aproveitada em mecanismos discretos de amortecimento passivo, sob a forma de isoladores ou bases anti-vibração, geralmente aplicadas em pontos de ligação da estrutura a isolar.

Estes materiais não são estruturalmente eficientes, isto é, apresentam reduzida resistência mecânica, por isso, para tirar partido das capacidades dos materiais viscoelásticos, é necessário integra-los na estrutura, construída com materiais estruturalmente eficientes (ligas de alumínio, ligas de aço e compósitos de fibra de vidro ou carbono), sob a forma de tratamentos dissipativos.

Os tratamentos superficiais e integrados viscoelásticos, resultantes da aplicação superficial ou integrada de uma camada de material na estrutura, constituem uma forma eficaz de realizar esta simbiose de propriedades dos dois tipos de materiais. A elevada eficácia destes tratamentos fizeram com que estes fossem aplicados em massa, pois evidencia facilidade de aplicação e reduzido custo, o que permitiu a expansão destes tratamentos para os mais diversos campos da engenharia, desde a automóvel até à aeroespacial.

2.2. Considerações sobre os materiais viscoelásticos

Algo a ter conta sobre os materiais viscoelásticos é que estes exibem um factor de perda considerável, a qual representa a capacidade de amortecimento, e que esta por sua vez depende essencialmente da temperatura e da frequência de deformação.

A aplicação destes materiais está confinada a uma gama de temperaturas e de frequências a que estes podem estar sujeitos, existindo uma relação entre o módulo de ganho, que representa a capacidade de armazenamento de energia elástica, e o factor de perda, que representa a capacidade de dissipação de energia. Em suma a temperatura e a frequência são pontos-chave para a determinação das propriedades dinâmicas do material em causa.

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6 Estas matérias costumam estar em simbiose (como já foi referido), com uma viga de alumínio ou de aço inoxidável, isto porque quer o alumínio quer o aço inoxidável revela um amortecimento desprezável.

2.3. Configurações de tratamento viscoelásticos

O emprego de camadas de material viscoelástico na estrutura pode ser realizado essencialmente segundo três configurações: superficial sem restrição ou livre (FLD – free layer damping), superficial com restrição (CLD – constrained layer damping) e integrada (ILD – integrated layer damping)[1]. Cada uma destas configurações possui um conjunto de características que as distingue e as orienta na selecção da melhor configuração a ser utilizada.

2.4. Descrição dos espécimes

Uma vez que esta dissertação visa a identificação das propriedades dinâmicas de materiais viscoelásticos, é necessário que se possa criar modelos, para ser possível uma análise a nível experimental. Por norma estes modelos ou espécimes tem a forma de uma viga ou de uma placa, a qual permite facilidade nas medições das propriedades dinâmicas, embora nesta dissertação apenas se tenha trabalhado com vigas. A utilização de vigas também permite uma simulação aproximada da situação real com algum rigor, isto é, torna-se fácil de recriar as condições de fronteira em que a estrutura está inserida, embora esta simplicidade possa ser de certo modo fazer com que o modelo teórico não se corresponda com o modelo original, uma vez que podem aparecer variáveis não lineares, com bastante facilidade.

Como já foi referido na secção 2.3., os tratamentos costumam ser aplicados segundo três configurações.

2.5. Vigas com tratamento

A utilização de vigas para caracterizar materiais viscoelásticos é um processo que permite identificar o módulo complexo. Este processo de caracterização é a principal forma de determinação do módulo complexo de materiais viscoelásticos, embora os resultados obtidos estejam circunscritos às limitações inerentes que condicionam a validade dos resultados. Assim, verifica-se que é relevante dar uma especial atenção às hipóteses simplificativas.

Neste processo, é usual a viga estar encastrada-livre, cujo tratamento que se pretende está aplicado. O material viscoelástico ao ser aplicado vai modificar as frequências naturais da viga original, inclusive o factor de perda. Esta alteração permite caracterizar o material a partir dos três primeiros modos naturais de vibração.

O método de determinação do módulo complexo é guiado pela norma “ASTM E756-98 Standard Test Method for Measuring Vibration-Damping Properties of Materials”. No caso

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7 do trabalho realizado, esta norma não foi seguida rigorosamente, uma vez que se adoptou uma configuração alternativa.

2.5.1. Viga com tratamento superficial sem restrição

Esta configuração é designada também por viga de Oberst (fig1). Esta é obtida pela aplicação de uma camada de material viscoelástico sem restrição sobre a viga (alumínio ou aço inoxidável). Inicialmente caracterizamos a viga base, de forma a identificar as frequências naturais ωr0, sendo em seguida aplicada a camada de material viscoelástico sobre a viga, a qual é ensaiada novamente de forma a obter as novas frequências naturais

ω

_re os correspondentes factores de perda

η

_r.

Figura 1 – Viga de Oberst

A razão entre a rigidez de flexão da viga amortecida e não amortecida é calculada através da seguinte expressão [4]:

(

)

2 2 2 1 1 1 0 1 r 1 r r EI h i E I ρ ω _η ρ ω     = = +_ __ _ +    R (1)

Isto acontece se desprezarmos a massa do acelerómetro caso contrário:

(

)

(

)

(

)

2 1 1 2 2 1 1 0 4 1 4 A r r A r bLH bLH m i bLH m ρ ρ ω _η ρ ω  + +   =_ ₊ _  +     R (2)

Sendo

ρ

1 e

ρ

2 as massas volúmicas dos materiais constituintes da viga de base e da camada

viscoelástico, respectivamente, E₁representa o módulo de elasticidade do material da viga de base e

I

e I₁ são os momentos de segunda ordem da secção recta da camada viscoelástica e da

Material Viscoelástico

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8 viga de base. O parâmetro h2 traduz a razão entre a espessura da camada viscoelástico H2 e a

espessura da viga de baseH₁.

O módulo extensional complexo do material viscoelástico pode ser calculado a partir da equação seguinte [4]:

(

)

2 2 2 2 ₁ ₂ 2 4 1 2 h h h E E h − + + − =   R (3)

Onde o parâmetro auxiliar h

 é definido:

(

2

)

2 2 4 4 6 h= − + h + h  R (4)

As equações anteriores também permitem calcular E₂ e

η

₂:

2 4 2 1 0 1 4 1 48 ( ) ( ) n n L f E H ρ π ξ = (5)

( )

2 2 E =Re E (6)

( )

2 2 2 ( ) Im E Re E

η

= (7)

O único inconveniente na utilização da viga de Oberst é que esta, por vezes, devido a diferentes temperaturas entre a viga de base e o provete viscoelástico, pode resultar na flexão do provete compósito. No entanto, note-se que a temperatura tem de ser relativamente elevada para afectar o provete.

2.5.2. Viga de Von Oort

A viga de Von Oort é facilmente identificável uma vez que este tipo de viga tem duas camadas de material viscoelástico idênticas de cada lado da viga de base (fig. 2).

(24)

9

Figura 2 - Viga de Von Oort

Esta viga, contrariamente à viga de Oberst, não tem o mesmo inconveniente, uma vez que esta é simétrica. Esta montagem também usufrui de outra vantagem, isto é, o eixo neutro da viga compósita permanece inalterado relativamente à posição inicial da viga não amortecida, o que simplifica a equação que define a rigidez de flexão da viga compósita.

O procedimento para obter as propriedades dinâmicas da viga de Von Oort é semelhante ao da viga de Oberst. Assim a razão de rigidez de flexão pode ser escrita da seguinte forma [4]: 2 2 2 1 0 1 2 r r h ρ ω ρ ω     = +_ __ _    R (8)

Considerando a massa do acelerómetro, a equação anterior pode ser escrita de outra forma:

(

)

(

)

2 1 1 2 2 1 1 0 4 4 A r A r bLH bLH m bLH m ρ ρ ω ρ ω  + +   = _ ₊ _      R (9)

A partir da equação anterior podemos obter o módulo extensional do material viscoelástico através da expressão [4]:

(

)

2 1 3 2 1 1 2 1 E E h − = + − R (10)

Onde o factor de perda do material viscoelástico pode ser calculado a partir da seguinte equação:

(

)

2 1 n

η

= − R R (11) Material Viscoelástico Viga de base

(25)

10 Como se pode ver na equação referente ao módulo extensional, esta denota uma maior simplificação relativamente a viga de Oberst. A configuração segundo Von Oort é frequentemente utilizada quando pretendemos analisar a viga experimentalmente dentro de um espectro de temperaturas largo, uma vez que o efeito da temperatura é mínimo.

2.5.3. Viga Sandwich

Quando estamos perante um material viscoelástico cujo módulo de ganho é relativamente reduzido ou se pretende caracterizar o módulo complexo de corte, é usual utilizar-se a viga Sandwich também denominada por viga de Oberst modificada (fig. 3).

Figura 3 - Viga Sandwich

Para obter a equação de rigidez de flexão da viga sandwich, procede-se à utilização das equações de RKU (Ross-Kerwin-Ungar). Estas equações foram desenvolvidas para um conjunto de considerações. A primeira a ter em conta é que estas equações foram desenvolvidas, considerando que as condições de fronteira da viga simplesmente apoiada. Mas realizar uma montagem experimental que permita obter as condições de fronteira de viga simplesmente apoiada pode revelar-se complicado de realizar na prática. A montagem de vigas encastradas-livres, permite simplificar a montagem do equipamento de excitação e de medida. Deste modo é necessário proceder a um processo de correcção aos valores obtidos na caracterização do material viscoelástico.

A aplicação das equações de RKU para o caso da viga de sandwich podem ser simplificadas desprezando o efeito da rigidez de flexão do núcleo viscoelástico, isto é, considera-se que o seu módulo extensional é nulo. O erro relativo a esta simplificação é insignificante uma vez que estes materiais revelam um módulo de ganho reduzido, permitindo

Material Viscoelástico

(26)

11 com esta simplificação inverter facilmente a equação da viga de sandwich de forma a caracterizar o módulo de corte complexo do material viscoelástico.

Como etapa inicial neste processo identificam-se as frequências naturais da viga de base, tal como nos casos anteriores. Em seguida, usando o mesmo processo anteriormente referido, obtêm-se as frequências naturais

ω

_r e os correspondentes factores de perda

η

_r.

Nesta configuração a razão de rigidez de flexão da viga compósita é definida pela seguinte equação [4]:

(

)

2 2 2 1 1 1 0 2 r 1 r r EI h i E I ρ ω _η ρ ω     = =_ + __ _ +    R (12)

Onde o parâmetro de corte é definido por:

2 2 2 12(1 ) 2 4 g h − = + − + R R (13)

Que permite calcular o módulo de corte complexo através da expressão [4]:

2 2 1 2 3 2 ₂ ₁ ₂ ₃ n E H H p E H H g G π g λ = = (14)

Os parâmetrosE₁, H₂ e H₃ representam o módulo extensional do material constituinte das vigas de base, a espessura de cada uma das vigas de base e a espessura da camada viscoelástica. O parâmetro

p

representa a forma modal correspondente à frequência natural em análise (Tabela 1).

Tabela 1 – Parâmetro p para a viga encastrada-livre

𝒓 𝒑𝟐 𝟏 3.516 𝐿_⁄2 𝟐 22.035 𝐿_⁄2 𝟑 61.697 𝐿_⁄2 𝟒 120.90 𝐿_⁄2 𝟓 199.86 𝐿_⁄2 ⋮ ⋮ 𝒎 (2𝑚 − 1)2_𝜋2_⁄_4𝐿2

(27)

12

2.6. Efeitos da temperatura e da frequência nas propriedades dos viscoelásticos

Uma vez que os materiais viscoelásticos aplicados nos tratamentos de amortecimento são de origem polimérica, o que lhes incute uma factor de perda considerável, responsável pela curva elíptica do ciclo de histerese, cujo este depende essencialmente da temperatura e da frequência de deformação. Compreender como se dá a variação das propriedades do amortecimento com o meio envolvente é essencial, para um controlo eficiente do ruído e da vibração, já que a gama de funcionamento é bastante restrita. O facto de as propriedades serem afectadas pelo meio pode à primeira vista ser uma desvantagem, mas a verdade é que esta variação permite uma maior flexibilidade na escolha do material viscoelástico a utilizar. Deste modo é importante saber como é que o meio envolvente afecta as propriedades.

2.6.1. Efeito da Temperatura

As propriedades do módulo complexo dos materiais viscoelásticos, são constituídas pelo G (módulo transversal), E (módulo extensional ou Young) e pelo factor de perda η, variam ligeiramente com a temperatura, sendo este comportamento único para cada material viscoelástico. A alteração das propriedades inerentes ao material dá-se quando a temperatura se encontra perto da temperatura de transição. Como se pode ver a mínima alteração da temperatura altera as propriedades, deste modo podemos verificar que cada material tem uma gama de temperaturas ideal para trabalhar.Pode-se referir que caracteristicamente a gama de temperaturas está dividida em três zonas: uma zona onde o material tem um comportamento vítreo (temperaturas baixas, material com elevada rigidez), a zona de transição, por último, a zona onde o material está no estado amorfo demonstrando um comportamento semelhante a uma borracha (temperaturas altas, material com baixo valor de rigidez), sendo nesta última zona onde o material apresenta o seu valor máximo de amortecimento. Em suma, a eficiência do tratamento de amortecimento depende de uma boa relação entre a temperatura de funcionamento e da temperatura de transição.

(28)

13

Figura 4 - Variação do módulo de ganho e do factor de perda com a temperatura [1]

Quando os tratamentos viscoelásticos estão sujeitos a elevados gradientes de temperatura é necessário aplicar tratamentos multi-camada ou multi-material, permitindo alagar a gama de temperaturas de funcionamento.

2.6.2. Efeito da frequência

Na generalidade a frequência pouco afecta as ligas metálicas, já nos polímeros (materiais viscoelásticos) a frequência pode ter um efeito muito mais perturbador. Qualitativamente, o efeito da frequência é o inverso do efeito da temperatura, ou seja, ao aumentar a frequência será similar a diminuir a temperatura, embora a variação do módulo complexo se dê a diferentes escalas.

(29)

14

Figura 5 - Efeito da frequência no módulo complexo comportamento; (a) plástico típico, (b) elastómero típico [2]

A diferença entre o efeito da temperatura e da frequência é significativa, uma vez que a temperatura pode variar umas centenas de graus desde a região vítrea até à zona de transição, o que corresponde a uma variação da frequência de ordem 10 ou superior. A dimensão da gama de valores da frequência é bastante ampla, uma vez que esta pode ir desde valores baixos como 10−8 Hertz ou menos até 108 Hertz. Aliás esta gama de valores é tão extensa que não é possível medi-la com qualquer método directo conhecido até à data. Se correspondermos a esta escala uma escala de tempo, observamos que o tempo necessário para o material voltar a posição de equilíbrio após uma deformação, podia ir desde 108 segundos (mais de 3 anos) até 10−8 segundos. Deste modo torna-se relevante a escolha no método de medição, especialmente a

Gama de Funcionamento Transição Zona Amorfa Zona Vítrea Alta Baixa Frequência (Escala Logarítmica)

Mó dul o Co m pl exo Mó dul o C om pl ex o Zona Amorfa Transição Zona Vítrea Gama de Funcionamento Alta Baixa Frequência (Escala Logarítmica)

(a) Plástico Típico

(30)

15 baixas temperaturas, uma vez que pode demorar bastante tempo até o material atingir o estado de equilíbrio.

Em suma, quando pretendemos utilizar um material viscoelástico, é importante saber qual é o comportamento do módulo complexo do material em causa num largo espectro de temperaturas e de frequências.

2.6.3. Efeito das tensões cíclicas

Os efeitos das tensões cíclicas no módulo complexo são difíceis de medir, isto porque, tensões elevadas resultam numa grande dissipação de energia e consecutivamente esta dissipação faz com que a temperatura aumente rapidamente, e deste modo vemo-nos com dois efeitos conjugados, a temperatura e a tensão. Esta conjugação observa-se especialmente se estivermos a medir os efeitos de uma tensão cíclica na zona de transição, que por sua vez o material demonstra uma capacidade de amortecimento extremamente elevada. Por outro lado na zona amorfa, onde o módulo complexo e o factor de perda variam de forma muito mais lenta com a temperatura, tornando o efeito da temperatura secundário ao da tensão, daí a maior parte das análises serem realizadas na região referida e eventualmente estarem limitadas a essa mesma.

A variação do módulo complexo com uma tensão cíclica é semelhante ao efeito da temperatura, embora o efeito seja deveras muito mais reduzido que o da temperatura. Deste modo podemos definir três regiões, uma linear, a transição, e o equilíbrio. É importante salientar que o comportamento depende seriamente da composição do material em causa.

2.6.4. Efeito do meio envolvente

O módulo complexo além de estar sujeito aos efeitos anteriormente referidos, também está constrangido ao meio envolvente, cujo este pode conduzir mudanças no módulo complexo irreversíveis. Pode-se salientar, por exemplo, a exposição a combustíveis, lubrificantes e outros fluidos, que podem causar danos na estrutura

(31)

16 molecular (como referido está esta seriamente relacionada com os outros efeitos) de um modo irreversível, sendo esta alteração observada no comportamento do módulo complexo.

Outros efeitos relacionados, são a exposição à radiação (ultravioleta ou nuclear) e humidade. No caso da humidade o efeito pode ser reversível em certos casos. De qualquer modo importante precaver contra a humidade uma vez que esta pode afectar as ligas metálicas, o que afectará o adesivo ao material viscoelástico.

2.7. Considerações na caracterização dos materiais viscoelásticos com a frequência

Quando um material viscoelástico é sujeito a um carregamento harmónico, a deformação resultante é também harmónica, tendo a mesma frequência do carregamento. Sendo que nestes materiais observa-se um desfasamentoδentre a deformação ε( )t e a tensão σ( )t imposta pelo carregamento.

A representação da tensão medida em função da deformação medida, denomina-se por ciclo de histerese, cujo este tem a forma de uma elipse sendo o ângulo entre o eixo maior e o eixo das abcissas proporcional à rigidez do material, e a razão entre o eixo menor e o eixo maior é um indicador da sua capacidade de amortecimento. Por um instante, se considerarmos o amortecimento nulo, o material apresentaria um comportamento elástico, onde o ciclo de histerese teria a forma de uma recta, cuja inclinação representaria a sua rigidez.

Se considerarmos um carregamento harmónico sinusoidal no provete este induziria um campo de tensões na forma [4]:

( )

t 0sin

( )

t

σ =σ ω (15)

Onde o material viscoelástico responderia com uma deformação do tipo sinusoidal:

( )

0

(

)

(

)

0 ( ) sin t sin t t t

ε

ω δ

ε

= − ∴ − = ₍₁₆₎

Reescrevendo a equação referente ao carregamento harmónico:

(

)

( )

0 0 0

( )t sin t sin( t ) cos( ) cos( t ) sin

σ =σ ω δ δ− + =σ ω δ− δ +σ ω δ− δ (17) Onde a derivada de ε( )t tem o seguinte valor:

(32)

17

( )

(

)

0

(

)

(

( )

)

0 cos cos( ) d d _dt t t t t dt ε ε =ε ω ω δ− ∴ ω δ− = _{ε ω} (18) Substituindo emσ

( )

t :

( )

0

(

( )

)

0 0 0 cos( ) sin( ) d t t t dt ω ε ε σ σ δ σ δ ε ε = + (19) Substituindo 0

( )

0 cos

σ

_δ

ε

pelo módulo de ganho extensional

E

'

vem:

( ) ( )

'

( )

'

( )

d t dt t t E E tg

ε

σ

ε

δ

ω

= + (20)

Considerando uma deformação de corteγ

( )

t , pode ser escrita da seguinte forma:

( )

_t _G'

( )

_t G' d

( ) ( )

t _tg dt γ τ γ δ ω = + (21)

onde τ

( )

t representa a tensão de corte e '

G o módulo de ganho de corte. O termo tg

( )

δ é

designado por tangente de delta, o qual é equivalente a factor de perda

η

.

2.8. Módulo Complexo

Se generalizarmos a função da deformação harmónica, representando-a por uma função exponencial complexa do tipo [4]:

( )

( ) 0

jwt

t e

ε =ε (22)

reescrevendo a equação referente a σ( )t (apresentada anteriormente) no domínio da frequência:

( )

_E'

( ) ( )

_jE'

( ) ( ) ( )

_E

( )

_{( )}

(33)

18 onde E

( )

ω representa o módulo extensional complexo. E representa a parte real do módulo ' complexo, e indica a capacidade de armazenamento de energia de deformação do material. A componente imaginária do módulo complexo, define a capacidade de dissipação do material viscoelástico, a qual é obtida pelo produto do módulo de ganho pelo factor de perda do material, sendo este produto designado por módulo de perda

E

''

. O factor de perda, definido como a razão entre o módulo de perda e o módulo de ganho do material, pode, em regime harmónico estacionário, relacionar-se com a razão de amortecimento viscoso ξpela seguinte relação:

2

η = ξ (24)

pegando novamente na equação de σ ω e reescrevendo-a:

( )

'

( )

''

( ) ( )

( )

E jE E

σ ω =_ ω + ω ε ω_ = ω ε ω (25)

ou, considerando a deformação em corte, como:

( )

'

( )

''

( ) ( )

( )

t G jG G

τ =_ ω + ω γ ω_ = ω γ ω (26)

A expressão do módulo complexo, pode também ser obtida da teoria da viscoelasticidade linear, a qual descreve que, a relação constitutiva de uma material viscoelástico inicialmente em repouso no instante t=0:

( )

( ) ( )

(

)

0 ( ) 0 t d t t t d d ε ς σ ε ς ς ς =E +

_∫

E − (27)

onde ε

( )

0 representa a deformação inicial no instante t=0e E

( )

t representa a função de relaxação do material, que corresponde à resposta em tensão devido a uma deformação em forma de degrau unitário.

Assumindo que a deformação inicial é nula, na equação anterior, e aplicando o teorema da convolução, que corresponde à transformada inversa de Laplace da multiplicação das transformadas de Laplace da função de relaxação, E

( )

t , e da função velocidade de deformação,sε( )s . Assim podemos escrever a equação anterior no domínio de Laplace:

( )

s s

( )

t ( )s

(34)

19 Se a função módulo do material, sE

( )

s , for avaliada ao longo do eixo imaginário do plano de Laplace(s= jw), ou seja, se considerarmos o regime harmónico, a função obtida designa-se por módulo complexo, E( )ω , representando-se por:

( )

'

( )

''

( )

E ω = jwE jw =E ω + jE ω (29)

O módulo complexo permite representar o amortecimento viscoelástico e o efeito viscoelástico em regime estacionário harmónico.

(35)

20

Capitulo 3 – Determinação do módulo complexo

3.1. Medição do Módulo Complexo

Os processos para obter o módulo complexo mostram-se essenciais para a caracterização das propriedades dos materiais viscoelásticos e para a sua utilização na simulação numérica. Por esta razão, é importante ter em conta o método utilizado para obter o módulo complexo, para determinar se as medições efectuadas deram valores de “confiança”. Quando na ausência de valores de confiança, poderá ser necessário conduzir os nossos próprios testes.

Em geral, muito raramente na prática, o processo de determinação do módulo complexo se revela simples. Se considerarmos uma configuração extensional, como ilustrado na figura 6, por exemplo se aplicarmos uma força f t( ), na extremidade livre de um dispositivo, poderíamos retirar a deformação obtida a partir de um extensómetro [1].

Figura 6 - Configuração Ideal para deformação extensional

𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝒇(𝒕) 𝒙(𝒕) 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒅𝒖𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑭𝒐𝒓ç𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍 𝑽𝒊𝒔𝒄𝒐é𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑬𝒙𝒕𝒆𝒏𝒔𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒐

(36)

21 A deformação obtida dar-nos-á uma ideia do comportamento de deformação do material ao longo do tempo a uma determinada temperatura que foi realizado o teste. Mas a análise torna-se difícil de realizar, se o comportamento do material for analisado ao longo do tempo, senão dispusermos de técnicas avançadas para a analisar os resultados do módulo complexo. Deste modo é necessário conduzir vários testes a diversas temperaturas, para que seja possível aproximarmo-nos de um resultado verídico.

Por outro lado podemos fazer a seguinte consideração, aplicando uma força sinusoidal

( )

iwt

f t =Fe , o que resultaria numa resposta estável,

( )

( ) 0

iwt

x t =x e −ψ que também seria sinusoidal variando no tempo com a mesma frequência, com um desfasamento relativamente à força aplicada. Esta resposta poderia ser medida a partir de um acelerómetro, como se pode ver na figura 7.

Figura 7 - Configuração Ideal para aplicação de forças de harmónicas (deformação extensional) [1]

Se a força e o deslocamento forem medidos com precisão e como funções do tempo, à temperatura e frequência da análise, obteríamos um módulo complexo com a seguinte forma:

( ) 0

i

F =kx e−ψ .

Esta análise revela-se muito simples na teoria, mas na prática deparamo-nos com algumas dificuldades. Para que esta análise seja possível realizar é necessário tomar as seguintes considerações: 𝒙𝒆(𝒊𝒘𝒕) 𝑭𝒆(𝒊𝒘𝒕) 𝑨𝒄𝒆𝒍𝒆𝒓𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐 𝑻𝒓𝒂𝒏𝒔𝒅𝒖𝒕𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑭𝒐𝒓ç𝒂 𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍 𝑽𝒊𝒔𝒄𝒐é𝒍𝒂𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂

(37)

22 • O espécime tem de ser longo e ter baixa espessura, para que o módulo medido seja o módulo de Young, caso contrário deverá ser aplicado uma correcção devido à geometria do espécime;

• O espécime não pode sofrer deformação devido à massa do acelerómetro e da célula de carga;

• Os instrumentos de medida devem medir o desfasamento;

• A massa do acelerómetro, da célula de carga e do espécime é finita, e deve ser tomada em conta para o cálculo do módulo complexo, particularmente quando a frequência é elevada.

Como se pode constatar, obter medições válidas pode revelar-se desafiante.

3.2. Sistema discreto com um grau de liberdade

O sistema com um grau de liberdade é o mais simples para obter o módulo complexo, embora este sistema quando aplicado experimentalmente possa ficar longe do modelo teórica. Os métodos baseados na impedância, são os mais usuais, embora estes dependam da precisão da resposta medida, que deve incluir a amplitude e a fase. Esta tarefa pode-se relevar difícil a até mesmo dispendiosa.

3.2.1. Configuração do sistema de medição

Quando estamos perante um sistema com um grau de liberdade, o material viscoelástico assume a função de amortecedor. Sistema pode ter duas configurações possíveis, isto é, pode deformar o material viscoelástico ao corte ou extensionalmente, este último está representado na figura 8:

(38)

23

Figura 8 - Sistema de Configuração Extensional

Deste modo, a rigidez complexa equivalente é calculada em função dos parâmetros dimensionais do provete de material viscoelástico e do seu módulo complexo, na forma:

E A

K E

L

= (30)

E– Módulo complexo extensional do material viscoelástico

E

A

– Área transversal do provete de material viscoelástico

L

– Comprimento do provete em extensão

Como já foi referido esta configuração permite teoricamente um tratamento matemático simples e directo na caracterização do módulo complexo, por outro lado torna-se difícil impor restrições na montagem experimental para que esta possua unicamente um grau de liberdade como considerado. Aliás a montagem experimental da figura 8, apresenta um modo de vibração devido à translação vertical e um modo de rotação, cuja frequência, é inferior mas próxima da pretendida. Assim torna-se importante restringir este último movimento.

𝑴

𝑴𝒂𝒕𝒆𝒓𝒊𝒂𝒍 𝑽𝒊𝒔𝒄𝒐é𝒍𝒔𝒕𝒊𝒄𝒐 𝑴𝒂𝒔𝒔𝒂 𝑴ó𝒗𝒆𝒍

(39)

24

3.2.2. Medição da resposta do sistema

Um dos métodos mais utilizado é o método da impedância, este realiza a caracterização do material viscoelástico por via da rigidez da mola, K�, do sistema teórico com um grau de liberdade (Figura 9), determinada a partir da sua resposta.

Figura 9 - Sistema com um grau de liberdade

A equação de movimento do sistema com um grau de liberdade e massa M é definida como:

( )

Mx t +K x t = f t (31)

Considerando que o carregamento imposto é harmónico,

( )

j t

f t =Feω , a resposta do sistema será também harmónica (como já foi referido) do tipo

( )

j t

x t = X eω , sendo possível reescrever a equação de movimentos do sistema na forma:

2 K X M F ω − +  =   (32) 𝑀 𝑓(𝑡) _𝑥(𝑡) 𝐾�

(40)

25 A função de resposta em frequência e respectiva inversa podem ser determinadas na forma:

( )

2 2 1 F M K F M K X X

α ω

ω

= = Ζ = = − + − + (33)

( )

j X ₂j

( )

F 2M K Y F M K j K j ω ω ω ω ω ω ω ω − + = = = = − + T (34)

( )

2 2 2

( )

2 2 2 X F M K A F M K X

ω

− = = = = − M − (35)

A componente real da rigidez complexa, K =RE ( )K , permite caracterizar o módulo de ganho do material viscoelástico, e o factor de perda, IM( )

RE( ) K K

η= , torna-se mais simples utilizando directamente as inversas das funções de resposta em frequência (rigidez dinâmica, impedância mecânica e massa aparente). Tal possibilita determinar a rigidez complexa em função das inversas das funções de resposta em frequência através das seguintes expressões:

2 K =ω M + Ζ (36)

( )

2

( )

_{( )}

2 IM RE RE K M M ω ω η ω ω Ζ = + Ζ = + Ζ (37)

Receptância, 𝛼 Rigidez dinâmica, 𝓏

Mobilidade, 𝑌 Impedância Mecânica, 𝔗

Acelerância, 𝐴 Massa Aparente, ℳ

(41)

26 2 K =ω M + jωT (38) 𝐾(𝜔) = 𝜔[𝜔𝑀 − IM(𝔗)] 𝜂(𝜔) = RE(𝔗) 𝜔𝑀 − IM(𝔗) 2 2 K =ω M +ω M (39)

( )

2

( )

IM

( )

_{( )}

RE RE K M M ω =ω _ + _ η ω = − + M M M (40)

3.2.3. Medição da transmissibilidade do sistema

Quando estamos perante um sistema com um grau de liberdade este pode ser modificado para uma configuração de base móvel (Figura 10), a qual descreve um movimento harmónico, x t₀

( )

= X e₀ j tω , sendo a caracterização do material viscoelástico realizada através da medição da função transmissibilidade absoluta entre a base e a massa concentrada

M

.

O movimento do sistema com um grau de liberdade excitado pela base móvel é descrito pela seguinte equação:

( )

(

( )

0

( )

)

0

Mx t +K x t −x t = (41)

Impedância mecânica, (𝑘, 𝜂) = 𝑓(𝔗)

(42)

27

Figura 10 - Sistema com um grau de liberdade - Medição da transmissibilidade

Uma vez que o movimento da base móvel é do tipo harmónico, a massa concentrada

M

descreve um movimento harmónico com a mesma frequência, embora desfasado da oscilação da base em resultado do amortecimento viscoelástico, do tipo

( )

j t

x t =X e ω . Deste modo a equação do movimento do sistema pode ser escrita na forma:

2 0 K M X K X ω  +  =   (42)

A função transmissibilidade absoluta do sistema pode ser obtida pela equação:

2 0 K X X T M K ω = = − + (43)

Obtêm-se a seguinte equação se resolvermos a equação anterior em ordem a K�:

( )

2 1 T K M T

ω ω

= _ _ −   (44)

Separando a rigidez complexa na sua componente real,

K

, e no respectivo factor de perda,

η

, obtemos:

𝑀

𝑥(𝑡)

𝐾�

(43)

28

( )

2

( )

(

_{( )}

( )

)

_{( )}

( )

2 2 2 RE RE 1 (IM ) (RE 1) (IM ) T T t K M T T ω =ω  − +  − +     (45)

( )

_{( )}

₍

_{( )}

₎

_{( )}

2 IM( ) RE RE 1 (IM ) T T T T η ω = − − + (46)

Como se viu anteriormente torna-se relativamente mais simples obter a rigidez complexa a partir da inversa, como se verificou na medição da resposta do sistema, e neste caso também se verifica, pois a inversa da função transmissibilidade apresenta uma formulação mais simples. Deste modo a inversa da função transmissibilidade é definida por:

2 1 K M T K ω − ₌ − ₍₄₇₎

A equação 47 pode ser reescrita na forma de determinar a rigidez complexa:

( )

2 1 1 M K T ω ω = ₋ − (48)

Ou, pode ser reescrita para determinar as componentes da rigidez complexa:

( )

2

_{( )}

( )

1

_{( )}

1 2 1 2 RE 1 (RE 1) (IM ) T K M T T

ω ω

− − − − = − + (49)

( )

_{( )}

( ₁1) 1 IM T RE T η ω = ₋− − (50)

3.2.4. Considerações sobre os sistemas discretos

Os métodos de caracterização baseados em sistemas discretos com um grau de liberdade (ou eventualmente com dois ou três graus de liberdade) permitem uma identificação directa do módulo complexo do material em função da frequência a partir da medição efectuada. Por outro lado, a aplicação deste método na caracterização de materiais com elevado amortecimento deve se ter especial cuidado, pois apresenta uma elevada sensibilidade ao ruído inerente à cadeia de medição, aos efeitos colaterais devido à montagem experimental

(44)

29 e aos parâmetros dimensionais do sistema, nomeadamente aos valores das massas móveis. Apesar da dificuldade inerente à montagem experimental, este método de caracterização, quer recorrendo à medição da resposta do sistema quer recorrendo à medição da transmissibilidade, é bastante utilizado na determinação experimental das propriedades de um vasto leque de materiais viscoelásticos, incluindo fibras finas viscoelásticos e espumas poliméricas rígidas.

3.3. Validação da caracterização experimental e análise de resultados

Quando efectuamos a caracterização de um material viscoelástico através de um determinado processo, ao nosso dispor fica um conjunto de valores de módulo de ganho e de factor de perda do material para diferentes pares de frequência e de temperatura. É importante verificar a qualidade dos resultados obtidos independentemente da quantidade dos mesmos. Nesta verificação é determinante a identificação de erros sistemático e erros aleatórios associados, para filtrar um conjunto de valores de resultados coerentes e representativos do material em análise.

Enquanto os erros aleatórios têm origem em causas esporádicas que perturbam a montagem experimental, estes podem ser facilmente identificados na globalidade do conjunto de resultados, já a detecção de erros sistemáticos requer alguma experiencia e uma análise cuidadosa dos resultados obtidos. As origens deste tipo de erros encontram-se normalmente associadas a falhas no processo de caracterização, mais concretamente na falta de garantia do equilíbrio termodinâmico do material, na falta de representatividade da montagem experimental relativamente ao modelo teórico assumido e à aplicação de uma deformação inadequada ao material viscoelástico em análise. De forma a evitar este tipo de erros é necessário garantir um conjunto de condições durante a realização do processo de caracterização, das quais as mais relevantes são:

• Garantir o equilíbrio térmico e molecular do provete de material viscoelástico em análise, isto é, além de ser necessário que se atinjam condições isotérmicas no provete viscoelástico, é necessário que o processo de relaxação da cadeia molecular atinja uma situação de equilíbrio antes de cada medição;

(45)

30 • A deformação imposta ao provete viscoelástico deve estar contida no regime

linear do material de forma a evitar o erro associado ao seu comportamento não linear;

• O nível das grandezas medidas, relativas ao carregamento e à deformação imposta, deve permitir obter uma relação sinal/ruído elevada de forma a evitar este tipo de perturbação;

• A representatividade da montagem experimental deve ser garantida em toda a gama de frequências e de temperaturas considerada, garantindo as condições de fronteira e os graus de liberdade previamente estabelecidos e considerados no modelo teórico;

• A montagem experimental deve evitar a contaminação da medida devida às ressonâncias do sistema e à vibração externa transmitida ao sistema.

3.4. Representação dos resultados experimentais

De forma a validar os resultados obtidos, é necessário verificar a qualidade dos mesmos e identificar eventuais valores afectados por erros sistemáticos e aleatórios. Deste modo torna-se importante ter ao nosso dispor métodos ou ferramentas que permitam uma identificação rápida e eficaz dos mesmos.

3.4.1. Representação Wicket Plot

A representação gráfica Wicket Plot constitui uma das formas mais simples de verificar a qualidade dos resultados medidos e identificar os valores afectados por erros sistemáticos e aleatórios. Nesta representação, o factor de perda (também conhecido por módulo de perda) está em função do módulo de ganho, estando ambos representados numa escala logarítmica.

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Figura 11 - Representação hipotética do Wicket Plot

Regra geral nos materiais viscoelásticos o módulo de ganho e o factor de perda são descritos por funções únicas em relação ao par frequência – temperatura, é obvio que estas duas componentes sejam também relacionadas por uma única função. Assim, os pontos representados no gráfico devem supostamente descrever uma curva única e contínua, independentemente da frequência e da temperatura de cada um dos pontos. A maioria dos pontos deverá descrever a curva principal, todos os outros pontos que se desviarem serão considerados contaminados, quer por erros aleatórios quer por erros sistemáticos. Deste modo o conjunto de valores deve ser filtrado, de modo a que todos os pontos que se desviem significativamente da curva principal sejam retirados.

𝐿𝑜𝑔 (𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑎𝑛ℎ𝑜 (𝐺′₎₎ 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑎𝑙𝑒𝑎𝑡ó𝑟𝑖𝑜 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 𝐸𝑟𝑟𝑜 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚á𝑡𝑖𝑐𝑜 𝐿𝑜𝑔 (𝐹 𝑎𝑐 𝑡𝑜 𝑟 𝑑𝑒 𝑝 𝑒𝑟 𝑑𝑎 (𝜂 ))

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3.4.2. Princípio da correspondência frequência – temperatura

O processo de caracterização do material viscoelástico pode ser efectuado de uma forma discreta, medindo o módulo complexo para valores discretos de frequência e de temperatura, recorrendo, ao método da viga vibrante, ou a de uma forma contínua na frequência, aplicando os métodos de caracterização baseados na medição da resposta ou da transmissibilidade de um sistema discreto.

Qualquer que seja a metodologia adoptada, constituído um conjunto de valores do modulo complexo para diferentes pares de frequência - temperatura. O processo princípio da correspondência frequência - temperatura, é caracterizado por permitir combinar os efeitos da temperatura e da frequência numa só variável, designada por frequência reduzida f_R. Este princípio decorre na observação de que diferentes pares de frequência e de temperatura podem apresentar o mesmo módulo complexo, existindo entre esses pares uma relação bem definida. Deste modo, supondo que existem dois pares de frequência - temperatura, ( , )f T1 1 e( , )f T2 2 ,

para os quais a seguinte relação é valida:

( )

1 1 2 2

R T T

f = fα T = f α T (51)

Onde

α

_T designa-se por factor de translação, sendo única e exclusivamente uma função da temperatura. A determinação do factor de translação baseia-se na observação de que é possível construir uma única curva de módulo de ganho e de factor de perda por simples translação horizontal dos conjuntos de pontos medidos a diferentes temperaturas, como se pode ver na figura 12.