Relatório de Estágio

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Relatório de

Estágio

Pedro Dias Carrilho

Mestrado em ensino da Matemática no 3º ciclo do

ensino básico e no secundário

Departamento de Matemática da FCUP 2018/2019

Orientador

Professor António Carlos Henriques Guedes de Oliveira,

Professor Catedrático, Faculdade de Ciências da Universidade

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Todas as correções determinadas pelo júri, e só essas, foram efetuadas.

O Presidente do Júri,

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Resumo

O presente trabalho tem 3 componentes principais: uma análise crítica onde se expõem as principais reflexões sobre o processo educativo que decorreu durante o estágio; uma incursão de cariz científico com alguma profundidade sobre o tema da obtenção de raízes das equações polinomiais de grau 2, 3 ou 4 usando apenas operações aritméticas e envolvendo radicais; uma produção de caráter didático balizada pelo programa de matemática para o 10º ano, no domínio da Álgebra e versando sobre conteúdos relacionados com polinómios.

The present work has three main components: a reflexive analysis exposing the main thoughts about the educational process undergone during the internship; an incursion on the extraction of roots of 2nd, 3rd or 4th degree polynomials using only arithmetic operations and radicals; a chapter of a book created with didactical considerations so as to be used by a tenth grade student wishing to learn some themes related to polynomials, under Algebra.

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Palavras-chave

Aprendizagem, Dificuldades, Ensino, Matemática, Equações Polinomiais, Raízes, Divisão inteira de polinómios.

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Índice

Resumo……….. 1

Palavras-chave………. 2

Lista de quadros e figuras……… 4

Introdução..……… 5

Análise crítica………. 6

Raízes de Polinómios de grau 2, 3 ou 4………... 14

Equações do 2º grau……….. 14 Equações do 3º grau……….. 15 Caso 1………. 18 Caso 2………. 19 Caso 3………. 20 Equações do 4º grau……….. 22 Componente didática……… 23

Algoritmo da divisão inteira de polinómios……….………. 24

Regra de Ruffini……….……….. 27

Divisibilidade por 𝑥 − 𝑏 e zeros dos polinómios………. 30

Teorema do resto….……….……….. 30

Soluções……….……….. 33

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Lista de quadros e figuras

Fig. 1 - Gráfico da função 𝑦3_{− 3𝑦 + 2 evidenciando 3 raízes reais, sendo uma}

delas dupla………. 19

Fig. 2 – Gráfico da função 𝑦3_{− 3𝑦 + 1 evidenciando 3 raízes reais distintas… 20}

Fig. 3 – Gráfico da função 𝑦3_{− 3𝑦 + 6 com uma única raiz real e Plano de}

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Introdução

A transformação pessoal é um processo moroso, difícil e frustrante (por ser desagradável errar, por exemplo), mas necessário, pois trabalhar como professor é trabalhar com as mentes de outros. Trata-se de uma atividade que requer grande responsabilidade e que é exigente. O estágio é essencial para aproximar qualquer candidato a professor de matemática do nível mínimo que se deve conseguir pôr em prática logo desde o início da atividade letiva. Caso não se atinja este patamar de exigência corre-se o risco de condenar dezenas ou centenas de pessoas a um futuro inferior ao que poderiam ter. Parte do que se escreve neste trabalho procura refletir a complexidade e as dificuldades que aquela transformação acarreta.

A par da mudança e do melhoramento ligados ao exercício da atividade letiva, vem a necessidade de aprimorar o conhecimento daquilo que se leciona. A 2ª parte deste trabalho foi efetuada com esta ideia em mente.

Finalmente surge a necessidade de apresentar aos estudantes alguma forma de se relacionarem com o saber científico de que é desejável conseguirem apropriar-se. Com este objetivo foi criada a componente didática deste trabalho.

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Análise crítica

Seguem alguns registos da minha consciência sobre o processo educativo em que estive envolvido.

Durante a fase inicial do estágio sentia-me envolvido numa aura de portador das soluções para os males da aprendizagem dos alunos. Na verdade, eu mesmo carregava alguns males, sem saber.

Uma das minhas dificuldades que mais cedo se revelaram foi o desajuste em relação às dinâmicas do trabalho com 28 alunos. Estando habituado a lidar com uma ou duas pessoas de cada vez e a criar soluções individuais, adaptadas a cada uma, subitamente tinha mais de duas dezenas de estudantes para atender.

Durante algum tempo causou-me confusão a possibilidade dos alunos não atingirem por eles próprios os conceitos pretendidos para alguma aula. Por ocasião daquela em que se representaram números na reta real, a Professora esclareceu-me que, por vezes, se os alunos não chegam aos resultados temos de intervir e mostrar como se faz. Eu devia saber que isto é próprio das necessidades educativas de algumas pessoas, pois também eu fui assim várias vezes enquanto aluno e ainda sou, por vezes preciso ver como se faz. Não posso esperar que todos cheguem a tudo por si mesmos, simplesmente não há tempo para isso nem é viável numa aula com 28 alunos. Esta minha confusão / dificuldade vinha sobretudo do hábito de explicador.

O início da prática letiva foi muito estimulante. A dada altura revelei à Professora Cristina a tarefa que tinha preparado a propósito do algoritmo que se pode usar para converter dízimas em frações (e da relação entre o tipo de dízima e os fatores primos do denominador da fração irredutível correspondente). A Professora Cristina fez questão que levássemos à sala de aula a tarefa que ficou conhecida como “Tarefa dos Feijoeiros”. O trabalho foi elaborado com a intenção de fundir os conceitos matemáticos com a cada vez mais reconhecida necessidade de levar os alunos a querer trabalhar em matemática.

Fiquei impressionado com a relutância dos alunos em lerem, com o desfasamento da exigência dos textos do manual em relação ao que eram as suas reais competências de leitura e interpretação de textos. Na altura notava-se uma significativa competitividade, que achei por diversas vezes nociva à aprendizagem. Tudo isto era novo e havia muito a fazer para gerir as dificuldades. As crianças eram algo imaturas,

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não conseguindo controlar as suas emoções e reagindo de modo efusivo a qualquer ocorrência banal (como um simples espirro).

Uma das coisas mais marcantes que tirei desta primeira experiência foi o facto de a Professora Cristina não se limitar a trabalhar conceitos matemáticos, mas desenvolver um trabalho que, claramente, edifica estas crianças e as constrói como cidadãos. Reparei que também teve um efeito regulador e construtivo sobre a minha pessoa. Hoje sei apreciar o carácter progressivo com que a Professora Cristina pautou a sua atuação sobre a mim durante todo o estágio. Foi apresentando desafios à medida que via que eu era capaz de os incorporar no trabalho que me propunha a fazer.

No final desta primeira experiência, tinha consciência de que a minha aprendizagem seria longa e passaria por todos os pormenores que envolve a gestão de uma aula. Por exemplo, a gestão do tempo era algo a que estava quase alheio. Também senti que, precisamente devido à fraca gestão do tempo, as coisas alongaram-se e no final apressei o que era importante não ter apressado: o tempo para os alunos formarem as suas conclusões.

. No secundário, a primeira experiência de lecionação deu-se com o 11º A, já em Novembro. Também aqui me apercebi que, ao mesmo tempo em que tentava implementar um trabalho com os cuidados que vim a valorizar sobretudo das aulas da Psicologia do Desenvolvimento, das Didáticas e de IPP, precisaria ter paciência até aprender a pôr em prática coisas fundamentais. Ainda a propósito da gestão dos vários tempos de uma aula, só gradualmente consegui gerir os tempos para a exposição, para o trabalho autónomo dos alunos e para o acompanhamento desse trabalho. Tive de lidar com o nervosismo causado pela presença da Professora Cristina, de modo a que não se transformasse em prejuízo para os alunos. Além disto também tive de me adaptar ao desafio de trabalhar em tempo real com os alunos enquanto lidava com aquele nervosismo, que era impeditivo de um raciocínio mais veloz.

No que toca ao trabalho efetuado com aquela turma acerca do Produto Escalar, acabei por ficar a pouco mais de meio do que tinha planeado. Pareceu-nos que as ideias principais foram atingidas pela turma, o conceito de produto escalar construído com base no conhecimento que os alunos já possuíam sobre o trabalho de uma força e ainda a aplicação dos vetores na mesma origem para determinar o menor ângulo entre eles.

Procurei escutar e valorizar as dúvidas que surgiram e apercebi-me que me senti receoso com a possibilidade de me questionarem acerca de alguma coisa para a qual pudesse não ter resposta. Isto motivou-me a ser mais escrupuloso na preparação das aulas e a estudar mais as matérias.

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Com o 11º B, já tive o cuidado de anunciar as lições e o sumário, tive maior consciência da passagem do tempo, mas acabei por não atribuir o TPC. Procurei focar mais tempo nos conceitos mais importantes, procurei valorizar as dúvidas e criar um ambiente onde as pessoas sentissem confiança para questionar e participar. Notei que o meu desempenho era sempre melhor na 2ª aula em que lecionava os mesmos tópicos (tanto no secundário como no básico).

Em geral, à medida que o trabalho destes alunos progrediu nas aulas subsequentes, a impressão que nos ficou do aproveitamento que os alunos fizeram da definição apresentada para o produto escalar (e conceitos associados) foi boa. Há alguns casos, praticamente todos limitados aos alunos identificados nas reuniões dos conselhos de turma como tendo maiores dificuldades, em que esta noção parece não ter sido assimilada.

Senti o peso avaliativo que se materializava na presença da Professora Cristina. Foi algo que não consegui afastar durante todo o estágio, embora a sua atitude não o justifique. Muito pelo contrário, foi um estágio colaborativo e construtivo.

Ainda no 1º período, ao pensar num tema para eu lecionar às turmas dos oitavos anos decidimo-nos pela representação de raízes quadradas de números naturais na reta real. Uma das coisas mais importantes que apreendi com esta experiência foi a natureza das aprendizagens que a maioria destas crianças está capaz de fazer (nesta fase das suas vidas), a matemática. Com estas turmas acredito que, dado o seu nível de desenvolvimento, as demonstrações matemáticas não têm valor. A não ser que queiramos satisfazer-nos com a falácia que defende que quando se consegue repetir uma coisa de memória é porque a percebemos, é preciso reconhecer a necessidade de proporcionar a estes alunos a possibilidade de irem apreendendo os conteúdos gradualmente através de atividades que lhes permitem dar significado aos objetos e noções matemáticas.

Outra das coisas que apreendi foi que há uma diferença considerável entre saber o que fazer, e o fazê-lo realmente. Apesar de ter trabalhado várias vezes a ideia do perigo de passarmos para os alunos as nossas visões pessoais dos conceitos matemáticos, dei por mim a tentar fazê-lo mesmo enquanto aplicava uma metodologia de trabalho que visava criar condições para os alunos se relacionarem com os temas da tarefa de modo autónomo; estava a tentar guiar e orientar o pensamento dos alunos.

Mesmo depois do trabalho em Psicologia do Desenvolvimento e nas Didáticas, trazia comigo a convicção persistente de que é possível encontrar aquela forma especial de explicar um determinado assunto de modo a que o aluno o aprenda, o professor que assegura aprendizagens. Cheguei mesmo a criar um item de apoio a uma destas aulas

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em que procurava condicionar os alunos a fazerem uma associação visual entre a área de um quadrado e o seu lado, sob a aparência de plantas e suas raízes... Felizmente apercebi-me depressa do fiasco.

O Professor de Psicologia do Desenvolvimento dizia que um professor não assegura aprendizagens. Já a Professora Cristina, antes da aula, me tinha alertado para a possibilidade de estar a querer dirigir o pensamento dos alunos. A paciência e a disponibilidade da Professora Cristina foram essenciais para eu começar a repudiar a parte de mim que atuava como explicador. Como mais tarde veria, contudo, esta atitude persistiu como um micróbio debilitado, que requer um tratamento prolongado até ser completamente eliminado.

Por esta altura comecei a ganhar consciência da dificuldade adicional de preparar as aulas que teria que lecionar tendo em conta a linha que a Professora Cristina tinha vindo a definir. Reparei que não podia simplesmente pegar naquilo que sabia e na forma como tinha aprendido para introduzir novos temas aos alunos partindo desta base. Durante o acompanhamento que fiz aos alunos em aulas da Professora Cristina não me senti limitado por isto, pois estava bem ao corrente da forma como as matérias eram lecionadas, a dificuldade surgia exclusivamente durante a preparação. Desenvolver esta consciência foi bom pois ajudou-me a identificar lacunas enquanto planeava aulas e a identificar situações em que a minha visão pessoal se intrometeu.

Como exemplo recordo-me da Reflexão Deslizante, em que me apercebi durante a preparação da aula, do paralelismo entre o vetor translação e o eixo de reflexão. Depois da discussão com a Professora Cristina passei a ficar sensibilizado para a identificação dos conceitos fundamentais dos tópicos que vamos lecionar. 1

Outra das ideias apriorísticas persistentes e que vem também de mãos dadas com a ideia do professor que assegura aprendizagens, foi a do timing em que ocorrem estas aprendizagens. “Matéria dada está sabida” não é, nem quero que venha a ser o meu lema, mas era neste tom que tinha caído, sem me dar conta na altura.

Creio que ainda estávamos no 1º período quando os resultados dos testes dos oitavos me levaram a concluir que muitos não aprenderam grande coisa acerca do algoritmo de conversão de dízimas nem da relação destas com as frações (idem para os alunos do secundário e o produto escalar). Creio que, ingenuamente, cheguei a pensar que a Tarefa dos Feijoeiros teria sido milagrosa e funcionado com muitos dos alunos

1_{A propósito deste tópico, achei curioso o facto de a Professora Convidada para o Seminário do}

Gecla ter a mesma visão que eu do funcionamento da Reflexão Axial como se de um espelho se tratasse. Com a Professora Cristina tratámos esta Isometria com papel vegetal, com sucesso.

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(idem para o trabalho com o produto escalar e a Tarefa da Ampulheta, no secundário). Com a minha preocupação veio a subsequente reflexão com a Professora Cristina e a partilha do que tem visto ao longo das várias décadas de trabalho com os alunos. A ideia que retive, e que julgava já saber, foi não se poder esperar que os alunos fiquem a saber uma matéria só porque já a abordámos. Conviviam em mim duas dimensões diferentes: teoricamente já tínhamos falado disto em Didática, a propósito da avaliação reguladora; por outro lado, na prática era como se não estivesse consciente disto! Foi preciso confrontar-me com a realidade.

Deste ponto em diante comecei a ver, de outra forma, o trabalho que a Professora Cristina faz com os alunos. Começa da base, evoluiu, mas periodicamente propõe aos alunos exercícios que aproveita, através do questionamento, para trabalhar os conceitos de base. Isto permite que aqueles que falharam na aprendizagem por altura da introdução tenham mais que uma oportunidade para realizarem aprendizagens. As decisões que toma neste processo são motivadas pelas constatações que derivam da análise dos testes, do que observamos nas aulas regulares e ainda nas aulas de apoio.

Apesar de alguns alunos só conseguirem fazer progressos através da exposição continuada aos mesmos conceitos, voltando recorrentemente ao trabalho com os tópicos já abordados antes, vejo que outros ficam impacientes e chegam a desistir (temporariamente) com esta abordagem, que permite resgatar os que têm mais lacunas. Apesar de me parecer não funcionar bem com os alunos que aprendem melhor num ensino mais direcionado para a memorização, estes não são ignorados pois a Professora Cristina pratica diferenciação pedagógica, expondo os alunos a várias formas de trabalho ao longo do ano.

Hoje percebo que não é viável esperar que um só professor, com cerca de 3 dezenas de estudantes numa sala, consiga chegar a todos. Isto porque também se está dependente do esforço, da responsabilidade do aluno e do acompanhamento em casa. Isto era algo que eu não percebia nos tempos em que, como tantos outros, ignorava os meandros do trabalho que as professoras e os professores fazem nas escolas.

Com os resultados do 1º teste dos oitavos, evidenciou-se também a necessidade de mais uma hora de trabalho para alguns alunos, de onde nasceu o apoio semanal nas tardes de 5ª feira e que se manteve até final de maio. Regularmente registei as dificuldades dos vários alunos e, a partir de metade do 2º período, já conhecia as turmas quase na totalidade. No final, houve melhoria em parte dos alunos que frequentaram o apoio. Por outro lado, o nível de imaturidade continua a ser de tal ordem em alguns que desconfio não haver apoio que lhes valha.

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Na altura em que lecionei Progressões Aritméticas no 11ºA, já tinha integrado na minha prática os pormenores que não estavam ao meu alcance de início, como a gestão do tempo; o tipo de trabalho que devia fazer ao longo da aula; os números das lições e sumários; trabalho para casa; quem falta e quem sai para ir à casa de banho e quando volta, por exemplo. Ainda sentia que, nos momentos de dificuldades, é minha obrigação transmitir, contudo sempre fiz questão de garantir que os alunos tivessem oportunidade de desenvolver trabalho autónomo e de os apoiar em linha com o seu raciocínio.

Durante a preparação, dei ouvidos à sugestão que a Professora Cristina me deu quando reparou na minha indecisão quanto à apresentação de resultados e definições: é importante fazê-lo quando os alunos sentem necessidade. Nas aulas escolhi definir Progressão Aritmética no quadro, depois de algum trabalho autónomo, e apercebi-me das noções que os alunos estavam a desenvolver. Tratando-se da primeira aula que os estudantes tiveram acerca do assunto, não vi que fosse benéfico apresentar-lhes fórmulas dos resultados, pois estavam a chegar a eles por processos de raciocínio próprio.

Na aula seguinte com o 11ºA sobre progressões aritméticas (dada pela Professora Cristina) achei bom ter dado tempo aos alunos para mais trabalho autónomo, em vez de apresentar fórmulas. Um dos mais fracos teve uma visão brilhante, ao calcular o número de termos entre dois outros termos de uma progressão aritmética por translação do intervalo. Se lhe tivesse negado a possibilidade de trabalho autónomo, apresentando-lhe fórmulas, duvido que tivesse sido capaz de chegar àquele raciocínio. Chegado o ponto em que eu tinha evoluído o suficiente para atuar como professor, mais apto, consciente das minhas dificuldades e capaz de lidar com elas, a Professora Cristina desafiou-me a preparar a lecionação de um tema completo, em vez de apenas um ou dois blocos de 50 minutos. Escolheu-se o 8º ano e o tema das funções afins. Foram alvo de maior cuidado coisas como o controlo e o estímulo à elaboração de registos por parte dos alunos, que obrigavam a que partisse de mim a identificação do que produzir no quadro. Trabalhei a comunicação matemática, que vi ser essencial para a compreensão e aprendizagem, a par da necessidade de estimular os alunos a definirem o que veem e o que apreenderam. Este conjunto de aulas foi também oportuno para expor os alunos a um trabalho mais rico e cognitivamente exigente, com o Geogebra. Os alunos esforçaram-se para interpretarem a tarefa, usarem o Geogebra, mexeram-se e participaram na organização dos espaços, partilharam recursos, comunicaram e tiveram de resolver problemas. Notou-se que estavam mais autónomos. Claro que a avaliação dos alunos não se reduz à apreciação de classificações nos testes e esta ocasião serviu para perceber em que ponto estavam as suas

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aprendizagens e até para me aperceber que o trabalho exploratório e de descoberta choca com as expectativas de alguns alunos, quanto ao que deve ser uma aula. Para mim era claro que estavam habituados a um trabalho de memorização próprio das outras disciplinas, como História e Português. Daqui resulta, tal como já foi mencionado antes, a necessidade de pôr em prática diferentes tipos de trabalho, inclusive alternar fases cognitivamente mais exigentes, com fases de realização de exercícios que tragam confiança aos alunos. Sinto que tenho progressos a efetuar aqui.

Esta ocasião, em conjunto com as aulas de apoio, reforçaram a minha consciência da necessidade de monitorizar o desempenho dos alunos ao longo do ano. Enquanto uns já faziam translações de retas, outros ainda lutavam para simplesmente copiar um gráfico! Das constatações que ia fazendo, saia o planeamento de algumas das aulas de apoio. As dificuldades dos alunos podem ter as origens mais diversas que possamos imaginar, desde complicações familiares, físicas ou até métodos de estudo errados.

Tenho consciência que me foi mais difícil o trabalho com os alunos das turmas do básico que com os do secundário. Há claras diferenças a vários níveis, desde o limiar de atenção, a disponibilidade para ler, a autonomia na tomada de registos, questões relacionadas com a motivação, a quase total ausência de capacidade de abstração e até o grau de civilidade. Tudo isto torna mais exigente o trabalho com os mais jovens e também menos familiar, por ser tão diferente daquilo a que estava acostumado. Vi como o efeito civilizador da atuação da Professora Cristina (e outras, como a Professora Ana Campos), no âmbito da Escola como lugar em que se formam cidadãos, conduziu a um ganho de capacidade de trabalho. A redução dos níveis de imaturidade destas crianças permitiu ganhos na disponibilidade para o trabalho intelectual. Por isto tenho de concluir que dar corpo à formação de cidadãos no espaço da aula não só não é uma perda de tempo nem um atentado à aprendizagem do Saber-Fazer, como é um trabalho necessário para que esta possa ocorrer.

Outra coisa de valor que vi no estágio é o distanciamento que a Professora Cristina consegue ter em relação a alunos que, da parte de pessoas menores (em valores) facilmente receberiam algum ressentimento pelo seu comportamento. Deste modo os alunos não são punidos na avaliação por fatores emocionais ou pessoais. Testemunhei alguns diálogos entre diretores de turma e a Professora que contribuíram para me aperceber de como pode ser desafiante lidar com os pais.

No que toca a questões disciplinares envolvendo alunos mais complicados, fiquei tranquilo com o meu desempenho, quando precisei gritar, gritei; quando precisei dar uma resposta que tivesse o propósito de levar o aluno a olhar para si mesmo e a

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corrigir-se, fi-lo, e quando foi preciso bater na mesa, bati na mesa. O 8ºD era a turma mais difícil mas, quando necessário, pedi conselhos à Professora Cristina e a sua aplicação foi bem-sucedida. Também vi como a Professora esteve sempre no domínio total das suas emoções e como foi hábil a envolver os pais de 2 jovens na sua educação, tendo melhorado imenso o comportamento deles e as condições de trabalho para a turma.

Não ocorreram situações de indisciplina no secundário, apenas tive de gerir a formação de grupos a dada altura, para evitar irresponsabilidades. Contudo, apesar de ter percebido que se pode gerar desinteresse nos alunos por precisarem nessas ocasiões de trabalho diferente ou mais desafiante, acabei por não me conseguir libertar por completo da necessidade de corrigir no quadro certos itens sobre os quais eles já tinham trabalhado. Fiz isto sobretudo a pensar na necessidade que alguns alunos têm de verem concluído e validado o trabalho que lhes foi proposto, por norma os menos seguros ou menos hábeis. A Professora Cristina aconselhou-me mais que uma vez a apresentar até o mesmo problema, mas com valores diferentes.

Participei também nas reuniões dos conselhos de turma, onde vi o que é hábito fazer-se, desde a discussão e negociação das notas, passando pela discussão das medidas universais até à marcação de atividades e testes. Nem quero imaginar o trabalho extra que advém de ter uma direção de turma em mãos, o que vi bastou para perceber que é significativo.

O valor que extraí do estágio é muito positivo. Tendo em conta o meu perfil, a curva de aprendizagem que tinha pela frente era monumental e foi bom não ter consciência dela. Devagar, com as mesmas reincidências que qualquer pessoa tem nos seus conceitos a priori, fui desafiado progressivamente a confrontar-me com as várias etapas da aprendizagem inicial que a Professora Cristina identificou serem essenciais. Refleti, questionei, refinei, errei, corrigi, tornei a errar e a refletir para corrigir. O estágio foi fundamental para não chegar até a uma escola pela primeira vez e condenar centenas de estudantes a práticas desajustadas até aprender pela experiência ou por tentativa e erro. Parece-me relevante referir que ao longo de todo o ano de estágio senti que houve um excesso no domínio da componente académica: as duas cadeiras que me impossibilitaram de iniciar o trabalho com o relatório de estágio até final da época de exames do 1º semestre e o próprio relatório de estágio. Também me pesaram os horários na escola. Senti-me impedido de tirar o proveito que precisaria da oportunidade que é a prática letiva assistida e do todo que é o estágio. Além disso, por mais modesto que tenha sido o meu desempenho, o que fiz só foi possível com custo significativo para a minha companheira, a quem não dei a atenção necessária durante todo este tempo.

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Raízes de Polinómios de grau 2, 3 ou 4

Partamos à descoberta das raízes dos polinómios de grau 𝑛, com 𝑛 = 1, 2 𝑜𝑢 3. Uma equação do tipo:

𝑝0𝑥𝑛+ 𝑝1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑝𝑛 = 0, 𝑝𝑖 ∈ 𝐼𝑅 𝑒 𝑝0≠ 0 (2.1)

pode ser reduzida a uma forma mais simples dividindo ambos os membros por 𝑝0:

𝑥𝑛_{+ 𝑎}

1𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎𝑛= 0, 𝑎𝑖 =_𝑝𝑝₀𝑖 ʌ 𝑖 = 0, 1, … , 𝑛 (2.2)

Deste modo facilitamos a nossa busca pelas soluções da equação (2.1). Quando o grau do polinómio em estudo é 2, 3 ou 4, consegue-se encontrar as suas raízes recorrendo a procedimentos que envolvem apenas as operações aritméticas e radicais, com recurso à substituição 𝑥 = 𝑦 −𝑎1

𝑛.

Equações do 2º grau

Para 𝒏 = 𝟐, usando a substituição indicada, vem 𝑥2_{+ 𝑎} 1𝑥 + 𝑎2= (𝑦 − 𝑎₁ 2)2+ 𝑎1(𝑦 − 𝑎₁ 2) + 𝑎2= 𝑦2− 𝑎₁2 4 + 𝑎2

As raízes deste novo polinómio são 𝑦 = ±√𝑎₄12− 𝑎₂ e, revertendo a substituição

efetuada obtemos 𝑥 = −𝑎₂1± √𝑎₄12− 𝑎₂=−𝑎1±√𝑎₂12−4𝑎2. Por se tratar de um simples exercício de substituição de letras, vamos apenas neste caso determinar ainda as soluções da equação original correspondente, em que os coeficientes são 𝑝_𝑖, 𝑖 = 0, 1, 2:

𝑥 = −𝑝1 𝑝₀± √(𝑝𝑝1₀)2− 4𝑝𝑝2₀ 2𝑝0 𝑝₀ =−𝑝1± √𝑝12− 4𝑝2𝑝0 2𝑝₀

sendo a expressão mais à direita conhecida como a fórmula resolvente (da equação do 2º grau).

Pegando na equação original (2.1), no caso da equação quadrática, é expedito verificar que as possibilidades para as raízes dependem apenas do sinal do binómio discriminante 𝑝₁2_{− 4𝑝}

2𝑝0. Quando é positivo, a raiz quadrada que o encerra tem valor

real, pelo que obtemos duas raízes reais para (2.1). Quando 𝑝₁2_{− 4𝑝}

2𝑝0= 0, obtemos

apenas uma raiz real, embora de multiplicidade 2. Finalmente, quando 𝑝12− 4𝑝2𝑝0< 0,

obtemos duas raízes, mas são ambas complexas conjugadas. No caso dos polinómios do 3º grau, esta identificação das raízes nada tem de expedito, como veremos de seguida.

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Equações do 3º grau

Para 𝒏 = 𝟑, com a substituição 𝑥 = 𝑦 −𝑎1

3 conseguimos eliminar a parcela associada

a 𝑥2_{na expressão da equação} 𝑥3_{+ 𝑎} 1𝑥2+ 𝑎2𝑥 + 𝑎3= 0(2.3): 𝑥3_{+ 𝑎} 1𝑥2+ 𝑎2𝑥 + 𝑎3 = (𝑦 −𝑎1 3)3+ 𝑎1(𝑦 − 𝑎₁ 3)2+ 𝑎2(𝑦 − 𝑎₁ 3) + 𝑎3 = 𝑦3_{+ (−}1 3𝑎12+ 𝑎2) 𝑦 + 2𝑎₁3 27 − 𝑎₁𝑎₂ 3 +𝑎3

As raízes deste polinómio em 𝑦 podem determinar-se com menor complicação se reformularmos o problema como

𝑦3_{+ 𝑎𝑦 + 𝑏 = 0 (2.4).}

Admitindo que uma solução desta equação pode ser escrita como a soma de dois valores 𝑢 + 𝑣, então (2.4) é equivalente a:

(𝑢 + 𝑣)3_{+ 𝑎(𝑢 + 𝑣) + 𝑏 = 0 ⇔}

𝑢3_{+ 𝑣}3_{+ 3𝑣𝑢}2_{+ 3𝑣}2_{𝑢 + 𝑎(𝑢 + 𝑣) + 𝑏 = 0 ⇔}

𝑢3_{+ 𝑣}3_{+ (3𝑢𝑣 + 𝑎)(𝑢 + 𝑣) + 𝑏 = 0}

Na bibliografia sugerem-nos impor duas condições a 𝑢 e a 𝑣 (Weber, 1912): 𝑢3_{+ 𝑣}3_{= −𝑏 (2.5)}

3𝑢𝑣 = −𝑎 (2.6)

Encontrando um par (𝑢, 𝑣) que as satisfaça, obviamente teremos uma solução para (2.4). O que sucede, tal como veremos em seguida, é que não só (2.5) e (2.6) produzem uma solução para a equação pretendida, como são suficientes para determinar as 3 soluções de (2.4), embora elas possam não ser todas reais. Ora, como

3𝑢𝑣 = −𝑎 ⇔ 𝑣 = − 𝑎 3𝑢 podemos desenvolver (2.5):

𝑢3_{+ 𝑣}3_{= −𝑏 ⇔ 𝑢}3₋ 𝑎3

27𝑢3 = −𝑏 ⇔ 27(𝑢3)2+ 27𝑏𝑢3− 𝑎3= 0

Tratando-se de uma equação quadrática em 𝑢3, a fórmula resolvente dá-nos as soluções:

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𝑢

3

₌

−27𝑏±√(27𝑏)2−4x27x(−𝑎3) 2x27

= −

𝑏 2

± √

𝑏2 4

+

𝑎3 27

(2.7)

Independentemente da raiz da quadrática que escolhermos para 𝑢3_{, vamos obter 𝑣}3

de (2.5), pelo que o valor de 𝑢3_{+ 𝑣}3_{será idêntico em qualquer dos casos.}

O nosso objetivo continua a ser descobrir o que serão as soluções de (2.4). A partir de (2.7), optando por

𝑢3 ₌

₋

𝑏 2+ √𝑏 2 4

+

𝑎 3 27 (2.8) e adotando a forma polar

𝑢3 _{= 𝜌𝑒}𝑖𝜃

4𝜋 3 𝑖 com 𝑘 = 0, 1 e 2 respetivamente.

Uma leitura apressada poderia conduzir a três resultados análogos para as raízes de 𝑣3_{e daqui levar a deduzir que, havendo 3 possibilidades para 𝑢 (raiz cúbica de 𝑢}3_{) e 3}

possibilidades para 𝑣, então o total de soluções 𝑢 + 𝑣da equação (𝑢 + 𝑣)3_{+ 𝑎(𝑢 + 𝑣) + 𝑏 = 0}

seria 9. Na realidade, a condição (2.6) determina que para cada 𝑢𝑘 haja apenas um 𝑣𝑘

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𝑣₀= − 𝑎 3𝑢₀= − 𝑎 3√3

𝜌

_𝑒

𝜃_3𝑖 = − 𝑎 3√3

𝜌

Para finalmente chegarmos às soluções da equação cúbica geral (2.3) basta subtrair

𝑎1

3 a cada par acima

2_.

---

Estando determinadas as fórmulas resolventes que procurávamos para as equações do 3º grau envolvendo apenas radicais e operações aritméticas, é interessante apurar como variam os tipos de raízes (reais ou complexas) que se obtém, em função do sinal do discriminante 𝑏

2

4

+

𝑎3

27

.

Por não ser uma tarefa trivial optámos porapenas ilustrar estes

fenómenos recorrendo a 3 casos particulares da equação 𝑦3_{+ 𝑎𝑦 + 𝑏 = 0}

que esgotam as várias possibilidades.

2_{As formas algébricas dos 𝑣}

𝑘 podem ser obtidos de 2.5 e 2.8, passando em primeiro lugar por

𝑣3_{= −}𝑏 2− √

𝑏2

4+ 𝑎3

27. Eventualmente com algum abuso quanto ao significado da expressão que se segue

devido à possibilidade do discriminante ser negativo temos, por exemplo: 𝑣0= √−𝑏₂− √𝑏

2 4 + 𝑎3 27 3 .

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Caso 1:𝑏 2 4 + 𝑎3 27= 0 ⇔ 𝑏2 4 = − 𝑎3 27 ⇔ 𝑏2 = −4𝑎3

27 . Escolhendo 𝑎 = −3, e optando por

𝑏 = 2, vamos determinar que tipo de raízes tem o polinómio 𝑦3_{− 3𝑦 + 2. Neste caso,}

recorrendo a um teorema que dá um resultado muito útil na determinação das raízes racionais de polinómios com coeficientes inteiros, poderíamos obter as soluções da equação de grau 3 em análise de modo expedito. Contudo, o propósito desta secção é também aplicar o trabalho que se fez até aqui e que nos oferece um método mais robusto, pelo que vamos tomar esta via.

Sendo o discriminante nulo, de (2.5) chegamos a 𝑢3=

−

𝑏₂ =

−

2₂= −1 ∈ 𝑰𝑹. Adotando a forma polar passamos a 𝑢3₌

_𝑒

−𝜋𝑖 _{pelo que procuramos os}

_{𝑢 = 𝑟𝑒}

𝛼𝑖_tais

que:

(𝑟𝑒

𝛼𝑖

)

3

= 𝑒

−𝜋𝑖 _⇔

𝑟

3

_𝑒

3𝛼𝑖

_{= 𝑒}

−𝜋𝑖 _⇔ 𝑟3_{= 1 ʌ 3𝛼 = −𝜋 + 2𝑘𝜋, 𝑘 ∈ 𝒁 ⇔} 𝑟 = √13 ʌ 𝛼 = −𝜋 3+ 2𝑘𝜋 3 , 𝑘 ∈ 𝒁

Os valores de 𝑘 que produzem todos os números complexos distintos que podemos obter desta expressão podem ser, por exemplo 𝑘 = 0, 1 e 2 e daí chegamos às 3 raízes possíveis para a equação 𝑢3 = −1:

𝑢

0

= 𝑒

− 𝜋

3𝑖

,

𝑢

₁

−−3 3

𝑒

𝜋 3𝑖

= 𝑒

𝜋 3𝑖

,

𝑣

₁

= 𝑒

− 𝜋 3𝑖

,

𝑣

₂

= 𝑒

−𝜋𝑖

Para obtermos as raízes do polinómio 𝑦3− 3𝑦 + 2 = 0 devemos agora formar os 3 pares:

𝑢

_{= −2}

Com este caso particular vislumbramos o que sucede sempre que 𝑏2

4 + 𝑎3

27= 0, isto é,

obtém-se duas raízes reais sendo uma delas dupla. Observemos um gráfico do polinómio em análise, que melhor evidencia este fenómeno:

(22)

Fig. 1 – Gráfico da função 𝑦3_{− 3𝑦 + 2}_{evidenciando 3 raízes reais, sendo uma delas dupla} Caso 2: 𝑏 2 4 + 𝑎3 27< 0 ⇔ 𝑏2 4 < − 𝑎3 27 ⇔ 𝑏2< −4𝑎3 27 . Se 𝑎 = −3 optamos por 𝑏 = 1 e o

polinómio cujas raízes vamos extrair desta vez é 𝑦3_{− 3𝑦 + 1.}

Desta vez o discriminante é negativo e conduz a números complexos ao usarmos 2.5 para chegarmos a 𝑢3= −𝑏 2+ √ 𝑏2 4 + 𝑎3 27= − 1 2+ √ 12 4 + (−3)3 27 = − 1 2+ √3 2 𝑖 = 𝑒 2𝜋 3𝑖 ∈ 𝑪.

Analogamente ao que temos feito, procuramos os 𝑢 = 𝑟𝑒𝛼𝑖_{tais que:}

(𝑟𝑒𝛼𝑖₎3_{= 𝑒}2𝜋_{3 𝑖} _⇔

𝑟 = √13 ʌ 𝛼 =2𝜋 9 +

2𝑘𝜋

3 , 𝑘 ∈ 𝒁 Escolhemos os 𝑘 de modo a obter: 𝑢₀ = 𝑒2𝜋9𝑖 , 𝑢₁= 𝑒

8𝜋

9𝑖 , 𝑢₂= 𝑒 14𝜋

9 𝑖 _{e as correspondentes}

metades das raízes que procuramos são: 𝑣0= −

−3 3 𝑒

− 2𝜋_{9 𝑖}_{= 𝑒}− 2𝜋_{9 𝑖}_, _𝑣

1= 𝑒− 8𝜋9 𝑖 , 𝑣2 = 𝑒− 14𝜋9 𝑖

Sem dificuldade vê-se que ao somarmos os pares estamos a somar números complexos conjugados, de modo que as três raízes do polinómio 𝑦3_{− 3𝑦 + 1 são números reais}

distintos: 𝑢₀+ 𝑣₀= 𝑒2𝜋9 𝑖 _{+ 𝑒}− 2𝜋9 𝑖 _{= 2 𝑅𝑒 (𝑒}2𝜋9 𝑖 _{) = 2 cos (}2𝜋 9) 𝑢₁+ 𝑣₁= 𝑒8𝜋9 𝑖 _{+ 𝑒}− 8𝜋9 𝑖_{= 2 cos (}8𝜋 9) 𝑢₂+ 𝑣₂ = 𝑒 14𝜋9 𝑖 _{+ 𝑒}− 14𝜋9 𝑖 _{= 2 cos (}14𝜋 9 )

(23)

Embora se trate apenas de um caso particular, ilustra que quando 𝑏

2

4 + 𝑎3

27< 0 o

polinómio 𝑦3_{− 𝑎𝑦 + 𝑏 tem três raízes reais distintas. Graficamente, no caso atual:}

Fig. 2 – Gráfico da função 𝑦3_{− 3𝑦 + 1}_{evidenciando 3 raízes reais distintas}

Caso 3: 𝑏 2 4 + 𝑎3 27> 0 ⇔ 𝑏2 4 > − 𝑎3 27 ⇔ 𝑏 2_>−4𝑎3

27 . Desta vez tomamos 𝑎 = −3, 𝑏 = 6 e o

polinómio em análise passa a ser 𝑦3_{− 3𝑦 + 6.}

Sendo o discriminante positivo, de (2.5) obtemos um valor real: 𝑢3_{= −}𝑏 2+ √ 𝑏2 4 + 𝑎3 27= − 6 2+ √ 62 4 + (−3)3 27 = −3 + 2√2 = (3 − 2√2)𝑒 −𝜋𝑖 _{∈ 𝑰𝑹.}

Analogamente ao que temos feito, procuramos os 𝑢 = 𝑟𝑒𝛼𝑖_{tais que:}

(𝑟𝑒𝛼𝑖₎3_{= (3 − 2√2)𝑒}−𝜋𝑖 _⇔

𝑟 = √(3 − 2√2)3 ʌ 𝛼 = −𝜋 3+

2𝑘𝜋

3 , 𝑘 ∈ 𝒁 Escolhemos os 𝑘 de modo a obter:

𝑢₀= √(3 − 2√2)3 𝑒− 𝜋3𝑖 _, _𝑢₁_{= √(3 − 2√2)}3 _𝑒𝜋3𝑖 _, _𝑢₂_{= √(3 − 2√2)}3 _𝑒 𝜋𝑖

e as correspondentes metades das raízes que procuramos são: 𝑣₀= (3 − 2√2)− 1 3_𝑒𝜋₃𝑖 _{, 𝑣} 1= (3 − 2√2)− 1 3𝑒− 𝜋 3𝑖 , 𝑣₂ = (3 − 2√2)− 1 3 𝑒− 𝜋𝑖

Neste caso particular, verificou-se que as duas primeiras raízes do polinómio 𝑦3_{− 3𝑦 + 6:}

𝑢0+ 𝑣0 e 𝑢1+ 𝑣1, são números complexos conjugados mas a terceira raiz 𝑢2+ 𝑣2

(24)

No geral, quando 𝑏

2

4 + 𝑎3

27> 0, o polinómio 𝑦3−

𝑎𝑦 + 𝑏 admite apenas uma raiz real e duas raízes complexas conjugadas. Na imagem à direita podemos ver o aspeto gráfico da situação que particularizámos. Note-se que representámos simultaneamente o gráfico correspondente ao polinómio no plano real e usou-se o mesmo quadriculado como Plano de Argand para apresentar as raízes complexas:

Fig. 3 – Gráfico da função 𝑦3_{− 3𝑦 + 6}

com uma única raiz real e Plano de Argand mostrando as suas 2 raízes complexas

(25)

Equações do 4º grau

Para 𝒏 = 𝟒 vamos usar outro procedimento. Comecemos por escrever de modo conveniente um polinómio qualquer de grau 4 como

𝑥4_{+ 2𝑘𝑥}3_{+ 𝑎}

2𝑥2+ 𝑎3𝑥 + 𝑎4, com 𝑘, 𝑎𝑖 ∈ 𝐼𝑅

A solução que vamos adotar passa por fatorizá-lo no produto entre dois polinómios de grau 2 com coeficientes reais a determinar. Para isso notemos o seguinte:

(𝑥2_{+ 𝑘𝑥 + 𝑃)}2_{− (𝑄𝑥 + 𝑅)}2₌

(𝑥2_{+ 𝑘𝑥 + 𝑃 − 𝑄𝑥 − 𝑅)(𝑥}2_{+ 𝑘𝑥 + 𝑃 + 𝑄𝑥 + 𝑅) =}

𝑥4_{+ 2𝑘𝑥}3_{+ (2𝑃 + 𝑘}2_{− 𝑄}2_)𝑥2_{+ 2(𝑘𝑃 − 𝑄𝑅)𝑥 + 𝑃}2_{− 𝑅}2

Graças a esta propriedade, para encontrarmos as raízes de qualquer polinómio de grau 4, dependemos simplesmente da determinação dos 3 parâmetros P, Q e R. Para tal optamos por passar pela resolução de um sistema:

{ 2𝑃 + 𝑘2_{− 𝑄}2_{= 𝑎} 2 2(𝑘𝑃 − 𝑄𝑅) = 𝑎₃ 𝑃2_{− 𝑅}2_{= 𝑎} 4 ⇔ { 𝑄2_{= 2𝑃 + 𝑘}2_{− 𝑎} 2 𝑄𝑅 = 𝑘𝑃 −𝑎3 2 𝑅2_{= 𝑃}2_{− 𝑎} 4 ⇒ { 𝑄2_𝑅2_{= (2𝑃 + 𝑘}2_{− 𝑎} 2)(𝑃2− 𝑎4) (𝑄𝑅)2_{= (𝑘𝑃 −}𝑎3 2) 2

A obtenção de P, Q e R fica agora dependente da resolução de uma equação do 3º grau: (2𝑃 + 𝑘2_{− 𝑎} 2)(𝑃2− 𝑎4) = (𝑘𝑃 − 𝑎₃ 2) 2 ⇔ 2𝑃3_{− 𝑎} 2𝑃2 + (𝑎3 𝑘 − 2𝑎4)𝑃 + 𝑎4(𝑎2− 𝑘2) − 1 4 𝑎32= 0

(26)

Componente Didática

Dada a necessidade de incluir uma exposição teórica das principais definições e resultados, o formato que naturalmente se impôs foi o de um capítulo de manual. O domínio escolhido foi a Álgebra e o conteúdo os Polinómios, de onde se abordam alguns dos temas referidos no programa de Matemática para o 10º ano, destacando-se o Algoritmo da Divisão Inteira de Polinómios e o Teorema do Resto.

Tratando-se de um material de natureza didática, construído com o propósito de ser um produto acabado que se pudesse apresentar a um aluno, não foram respeitadas algumas das regras definidas para o layout do relatório de estágio, como a legenda de figuras. A numeração das notas de rodapé e o número de página continuam da parte anterior do relatório.

(27)

Algoritmo da Divisão Inteira de Polinómios

A divisão inteira de polinómios segue um procedimento chamado Algoritmo da Divisão

Inteira de Polinómios e que é parecido com o que fazemos na divisão inteira em IN0.

Antes de continuares a ler aceita o desafio, por mais simples que te pareça, de fazer a divisão inteira de 317 por 15 à mão.

317 15 317 15 317 15 317 15 2 30 2 - 30 2 1 317 15 317 15 317 15 317 15 - 30 2 - 30 21 - 30 21 - 30 21 17 17 17 17 15 _{- 15} 2

Podemos dizer que a divisão inteira de 317 por 15 dá 21 com resto 2 e podemos escrever 317 = 15 × 21 + 2. Ou seja, dividir 317 por 15 passa por encontrarmos os dois números 𝒒 e 𝒓 (de IN0), com 𝒓 < 15, de maneira a que 317 seja igual a 15 × 𝒒 + 𝒓. 3

No caso geral, o algoritmo da divisão garante-nos que, se tivermos dois números naturais D (dividendo) e d

≠ 0

(divisor), existem apenas dois números de IN0 q e r tais

que,

D = d x q + r, com r < d

Exemplo de aplicação do Algoritmo da Divisão Inteira de Polinómios:

Vamos dividir 𝐷(𝑥) = 3𝑥2_{+ 9𝑥 − 12 por 𝑑(𝑥) = 𝑥 + 1. Não é por acaso que se diz que}

os dois tipos de divisão são parecidos. Desta vez queremos descobrir os dois únicos polinómios 𝒒(𝒙) e 𝒓(𝒙) tais que

𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥) × 𝒒(𝒙) + 𝒓(𝒙), onde grau(𝑟(𝑥)) < grau(𝑑(𝑥)) ou 𝑟(𝑥) = 0

multiplicamos pelo divisor

𝑥 + 1

e escrevemos o resultado (6 × (𝑥 + 1)) por baixo do resto parcial

6𝑥 − 12

:

Agora, subtraindo 6

𝑥 + 6

a

6𝑥 − 12

, chegamos a um novo resto parcial sem termo de grau 1.

(29)

Neste ponto temos de parar, porque já encontrámos os dois polinómios 𝑞(𝑥) = 3𝑥 + 6 (quociente) e 𝑟(𝑥) = −18 (resto), tais que o grau de 𝑟(𝑥) é inferior ao grau de 𝑑(𝑥), que mencionámos no início deste exemplo de aplicação:

3𝑥2_{+ 9𝑥 − 12 = (𝑥 + 1) × (3𝑥 + 6) − 18}

---

O que viste é só um exemplo de um resultado matemático que se pode aplicar a quaisquer polinómios 𝐷(𝑥), 𝑑(𝑥) que precisemos dividir, desde que 𝑑(𝑥) ≠ 0.

Algoritmo da Divisão Inteira (ou Euclidiana) de Polinómios

Sempre que temos dois polinómios 𝐷(𝑥) (dividendo) e 𝑑(𝑥) ≠ 0 (divisor), existem e são apenas dois os polinómios 𝑞(𝑥) (quociente) e 𝑟(𝑥) (resto) tais que: 4

𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥), onde 𝑔𝑟𝑎𝑢 (𝑟(𝑥)) < 𝑔𝑟𝑎𝑢 (𝑑(𝑥)) ou 𝑟(𝑥) = 0 (Não iremos provar este resultado)

Para ganhares maior habilidade, é importante teres em conta ainda o próximo exemplo. Sejam:

𝐷(𝑥) = −4𝑥3_{− 2 𝑑(𝑥) = 2𝑥}2_{+ 𝑥}

4_{Para a escrita ser menos pesada, deixámos de fora a palavra polinómio em: “(polinómio dividendo)”,}

“(polinómio divisor)”, “(polinómio quociente)” e “(polinómio resto)”.

𝑞(𝑥) 𝑟(𝑥) 𝐷(𝑥) 𝑑(𝑥)

Praticando:

Encontra todos os polinómios 𝑐(𝑥) e 𝑠(𝑥) que podemos usar para escrever 6𝑥3₊3

2𝑥2− 6𝑥 − 3

2= (2𝑥 + 1

2) × 𝑐(𝑥) + 𝑠(𝑥) e tais que o grau de 𝑠(𝑥) seja inferior

ao grau de 2𝑥 +1

(30)

No polinómio dividendo faltam as parcelas 0𝑥2_{e 0𝑥. Se as incluíres, corres menor risco}

de errar durante o algoritmo da divisão inteira de polinómios:

Vamos dividir:

Conseguirás justificar porque razão parámos a divisão inteira dos dois polinómios aqui? Chegados a este ponto, podemos escrever,

−𝟒𝒙𝟑_{− 𝟐 = (𝟐𝒙}𝟐_{+ 𝒙)(−2𝑥 + 1) − 𝑥 − 2}

Regra de Ruffini

Ao dividir polinómios, sempre que o divisor for do tipo 𝒙 − 𝒃 (com 𝒃 ∈ 𝑰𝑹), em vez do algoritmo da divisão pode usar-se a Regra de Ruffini 5_{. Desvendemos este método}

usando o 1º caso que vimos, onde dividimos 3𝑥2+ 9𝑥 − 12 por 𝑥 + 1. Como viste, usando o algoritmo da divisão chegámos a isto:

5_{A Regra de Ruffini pode aplicar-se quando o polinómio divisor é do tipo 𝑘𝑥 + 𝑏 (com 𝑘, 𝑏 ∈ 𝐼𝑅), mas só}

(31)

Para usar a Regra de Ruffini só precisamos dos coeficientes dos polinómios. Comecemos por posicionar os coeficientes do dividendo numa tabela, deste modo:

Em seguida, com o polinómio divisor escrito na forma 𝑥 − 𝒃, posicionamos 𝒃 na tabela:

Baixamos o primeiro coeficiente da 1ª linha:

Multiplicamos…: …e o resultado fica por baixo do 2º coeficiente do dividendo:

De seguida somamos 9 + (−3)…:

…e o resultado vai para baixo do −3:

Multiplicamos o 6 por −1…:

…e o resultado vai para baixo do −12: E, por fim, somamos −12 + (−6):

x

(32)

Compara os números que obtiveste na linha de baixo (da tabela) com os coeficientes dos polinómios quociente e resto que calculámos atrás, usando o algoritmo da divisão:

A Regra de Ruffini é um método prático de calcular os polinómios quociente e resto, mas deves ter em atenção o alerta que fizemos no início da página 27.

Podes já ter reparado que o grau do dividendo é igual à soma dos graus do divisor e do quociente. Na realidade, isto sucede sempre que se faz a divisão de polinómios: Com base no que vimos na página 26, quando dividimos dois polinómios 𝐴(𝑥) (dividendo) de grau 𝑚 e 𝑏(𝑥) ≠ 0 (divisor) de grau 𝑛, onde 𝑚 ≥ 𝑛 e 𝐴(𝑥) = 𝑏(𝑥) × 𝑐(𝑥) + 𝑓(𝑥), uma das consequências é: 𝑔𝑟𝑎𝑢 (𝑓(𝑥)) < 𝑔𝑟𝑎𝑢 (𝑏(𝑥)).

Naquelas condições vem: 𝑔𝑟𝑎𝑢 (𝑏(𝑥) × 𝑐(𝑥) + 𝑓(𝑥)) = 𝑔𝑟𝑎𝑢 (𝑏(𝑥) × 𝑐(𝑥)) 6_{. Então,}

como são iguais 𝐴(𝑥) e 𝑏(𝑥) × 𝑐(𝑥) + 𝑓(𝑥), conclui-se:

𝒈𝒓𝒂𝒖 (𝑨(𝒙)) = 𝑔𝑟𝑎𝑢 (𝑏(𝑥) × 𝑐(𝑥)) = 𝒈𝒓𝒂𝒖 (𝒃(𝒙)) + 𝒈𝒓𝒂𝒖(𝒄(𝒙))

6_{Recorda o que viste este ano acerca das operações entre polinómios.}

Para descobrires:

1. Ruffini Challenge: desafia um colega a usar um método diferente do teu, para ambos descobrirem 𝑞(𝑥) e 𝑟(𝑥) de modo a escrever 𝑥3_{− 9𝑥 + 13 na forma (𝑥 − 3) × 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥).}

2. Percorre as divisões de polinómios que se efetuaram até aqui nas páginas 3, 4 e no

Ruffini Challenge. Vês alguma relação entre os graus dos polinómios dividendo, divisor

(33)

Divisibilidade por

𝒙 − 𝒃 e zeros dos polinómios

Nesta fase, a divisão de polinómios já não é uma novidade para ti. Estamos aptos a estudar o que se obtém ao dividir um polinómio qualquer por 𝑥 − 𝑏, com 𝑏 ∈ 𝐼𝑅.

O que viste acima são só 3 exemplos de um resultado que pode ser demonstrado por ti:7

Teorema do Resto

O resto da divisão inteira de um polinómio 𝒑(𝒙) qualquer, por 𝒙 − 𝒃 (𝒃 ∈ 𝑰𝑹), é 𝒑(𝒃). Demonstração

Para provarmos que este resultado é válido, vamos usar um polinómio 𝑝(𝑥) (que para nós deve representar todo e qualquer polinómio) e um 𝑏 ∈ 𝐼𝑅 (que pode ser todo e qualquer número real). Se 𝑞(𝑥) for o polinómio quociente e 𝑟 o resto da divisão inteira de 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 𝑏, podemos escrever:

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑏) × 𝑞(𝑥) + 𝑟

Então, ao calcularmos 𝑝(𝑏), podemos usar esta expressão, obtendo: 𝒑(𝒃) = (𝑏 − 𝑏) × 𝑞(𝑏) + 𝑟 = 0 × 𝑞(𝑏) + 𝑟 = 𝒓

7_{Seja 𝑝(𝑥) = −2𝑥}2_{+ 4𝑥. Então 𝑝(−1) = −2 × (−1)}2_{+ 4 × (−1) = −6. Quanto é 𝑝(2)?}

1. No 1º exemplo da divisão inteira de polinómios (pág. 1) 𝐷(𝑥) = 3𝑥2_{+ 9𝑥 − 12.}

Depois de reescreveres o polinómio divisor 𝑑(𝑥) na forma 𝑥 − 𝑏, compara o resto daquela divisão com 𝐷(−1). 7

2. Que relação há entre o resto da divisão de 𝐷(𝑥) por 𝑥 − 3 e 𝐷(3)?

3. Cria um polinómio 𝑝(𝑥) e escolhe número real 𝑐 (inteiro, para tua conveniência). Calcula 𝑝(𝑐) e compara-o com o resto da divisão inteira de 𝑝(𝑥) por 𝑥 − 𝑐.

Praticando:

A bisavó do Diogo gosta de espreitar os apontamentos de matemática do bisneto. Ontem ficou intrigada com uma questão de aula que encontrou:

Ele riscou isto tudo porquê? Ora, o enunciado é: “Encontre o resto da divisão inteira deste polinómio do 3° grau por 𝑥 +1₂ sem calcular o quociente.” Isto é demais para a minha cabeça… …mas para a tua cabeça não é demais. Qual é a resposta?

(34)

De seguida vamos ver o que significa um polinómio ser divisível por outro. Recorda como é com números:

12 é divisível por 4 ⇔ o resto da divisão inteira de 12 por 4 é 0 (12 = 4 × 3 + 0). 88

Com os polinómios passa-se algo idêntico.

Sejam 𝐴(𝑥) e 𝑏(𝑥) ≠ 0 dois polinómios quaisquer. Dizemos que 𝑨(𝒙) é divisível por 𝒃(𝒙) quando o resto da divisão inteira de 𝐴(𝑥) por 𝑏(𝑥) é o polinómio nulo.

Quando trabalhamos com polinómios é frequente precisarmos encontrar os seus zeros. Chama-se zero de um polinómio 𝒑(𝒙) a qualquer número real 𝒃 tal que 𝒑(𝒃) = 𝟎. Geometricamente, identificamos os zeros de um polinómio

como sendo os valores de 𝒙 onde o gráfico correspondente interseta o eixo dos 𝑥𝑥. Na imagem ao lado está o gráfico da função polinomial 𝑔(𝑥) = 𝑥3− 2𝑥2− 𝑥 + 2, que tem 3 zeros. Confirma que 𝑥 = 2 é um deles.

8 _{Também se diz que 12 é múltiplo de 4.}

Praticando:

1. Qual é o resto da divisão inteira de 𝑡(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) por 𝑥 + 3?

2. Calcula o 𝑗 ∈ 𝐼𝑅 que torna 𝐴(𝑥) = 𝑥2_{− 𝑗𝑥 + 2 divisível por 𝑥 − 1. Descobre dois colegas}

na tua sala que tenham usado métodos diferentes, entre si, e diferentes do teu.

Praticando:

1. Já sabes que 𝑥 = 2 é um zero de 𝑔(𝑥) = 𝑥3_{− 2𝑥}2_{− 𝑥 + 2. Será 𝑔(𝑥) divisível}

por 𝑥 − 2? Justifica.

2. Alguém descobriu que 𝑔(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1. Esta informação leva-nos a outro zero de 𝑔(𝑥). Como? Qual é esse zero?

(35)

Do polinómio 𝑓(𝑥) cujo gráfico correspondente está na imagem, sabemos que é divisível apenas por 𝑥 − 4 e por 𝑥 + 5. Quais são os seus zeros? Justifica.

Com as atividades que acabaste de desenvolver, é possível que tenhas reparado numa regularidade, que é um resultado matemático:

Sejam 𝑝(𝑥) um polinómio e 𝑏 um número real quaisquer. 𝒃 é um zero de 𝒑(𝒙) ⇔ 𝒑(𝒙) é divisível por 𝒙 − 𝒃

Este resultado é uma consequência do Teorema do Resto e das noções de divisibilidade e de zero de um polinómio. Podes provar que é verdadeiro para todo e qualquer polinómio 𝑝(𝑥) partindo da aplicação do algoritmo da divisão inteira de polinómios a 𝑝(𝑥) e 𝑥 − 𝑏, para escrever:

𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑏)𝑞(𝑥) + 𝑟, (onde 𝑞(𝑥) e 𝑟 são únicos)

Por um lado, se 𝒃 é um zero de 𝒑(𝒙) então 𝑝(𝑏) = 0. O Teorema do Resto diz que

𝑝(𝑏) = 𝑟. Então 𝑟 = 0, ou seja, 𝑝(𝑥) é divisível por 𝑥 − 𝑏.

Por outro lado, se 𝒑(𝒙) é divisível por 𝒙 − 𝒃, então 𝑟 = 0. O Teorema do Resto diz-nos

que 𝑟 = 𝑝(𝑏). Então 𝑝(𝑏) = 0, ou seja, 𝑏 é uma raiz de 𝑝(𝑥).

Depois disto podemos avançar no estudo das propriedades dos polinómios, já na próxima secção do teu manual, onde se trata da fatorização de polinómios.

(36)

Soluções:

As possibilidades de resolução que apresentamos podem não ser as únicas formas corretas de resolver as várias atividades.

Praticando (pág. 26):

Ao efetuar a divisão dos dois polinómios chegamos a 𝑐(𝑥) = 3𝑥2− 3 e 𝑠(𝑥) = 0. O algoritmo da divisão inteira de polinómios garante que são os únicos.

Para descobrires (pág. 29)

1. Seja pelo algoritmo da divisão inteira de polinómios, seja pelo método de Ruffini, vão

ter a 𝑞(𝑥) = 𝑥2_{+ 3𝑥 e 𝑟(𝑥) = 13.}

2. Em qualquer dos casos vem: Grau(Dividendo) = Grau(divisor) + Grau(quociente).

1. No exemplo mencionado, 𝑑(𝑥) = 𝑥 − (−1), (𝑏 = −1). Mais, 𝐷(−1) =

= 3 × (−1)2_{+ 9 × (−1) − 12 = −18. Acontece que isto é o resto da divisão inteira de 𝐷(𝑥)}

por 𝑥 − (−1).

2. Usando a Regra de Ruffini e, separadamente, calculando 𝐷(3), verás que são iguais. 3. Pode ser uma boa oportunidade para experimentares com vários polinómios e números

reais diferentes, recorrendo à função de CAS (cálculo algébrico simbólico) do Geogebra, para te auxiliar com alguma confirmação de cálculos.

Praticando (pág. 30)

Diz a bisavó do Diogo que o enunciado obriga a achar o resto sem calcular o quociente. Então não vale usar nem o algoritmo da divisão, nem a regra de Ruffini. Apesar disso,

(37)

a tentativa que o Diogo fez no papel juntamente com a informação do enunciado, revelam que os polinómios são 𝐷(𝑥) = −4𝑥3_{+ 3𝑥 + 2 e 𝑑(𝑥) = 𝑥 +}1

2.

O Teorema do Resto mostra-nos que o resto da divisão dos dois polinómios pode ser facilmente determinado a partir do cálculo de 𝐷(−1

2), que dá 1.

Praticando (pág. 31, em cima)

1. O algoritmo da divisão diz-nos que são únicos os polinómios 𝑞(𝑥) e 𝑟 que nos

permitem escrever 𝑡(𝑥) = (𝑥 + 3)𝑞(𝑥) + 𝑟. Por outro lado, o enunciado diz-nos que 𝑡(𝑥) = (𝑥 + 3)(𝑥 − 1), de onde vem (𝑥 + 3)(𝑥 − 1) = (𝑥 + 3)𝑞(𝑥) + 𝑟. Como só há um polinómio 𝑞(𝑥) e um 𝑟 nestas condições, então 𝑞(𝑥) = (𝑥 − 1) e 𝒓 = 𝟎.

2.

1º Processo: dois métodos possíveis passam por aplicar o algoritmo ou a regra de Ruffini a 𝐴(𝑥), conduzindo ao resto 𝑟 = 3 − 𝑗. Para 𝐴(𝑥) ser divisível por 𝑥 − 1 é preciso 𝑟 = 0. Então vem 3 − 𝑗 = 0 ⇔ 3 = 𝑗.

2º Processo: o Teorema do Resto mostra-nos que o resto da divisão inteira de 𝐴(𝑥) por 𝑥 − 1 é 𝐴(1). Então, como ser divisível por 𝑥 − 1 é o resto dessa divisão dar 0, vem 𝐴(1) = 0. Acontece que 𝐴(1) = 12_{− 𝑗 × 1 + 2 = 3 − 𝑗. Então vem 0 = 3 − 𝑗 ⇔ 𝑗 = 3.}

Praticando (pág. 31, em baixo)

1.

1º Processo: 𝑔(𝑥) será divisível por 𝑥 − 2 se o resto da divisão inteira for 0. Aplicando o algoritmo da divisão inteira de polinómios ou a regra de Ruffini, vemos que é assim. 2º Processo: se dividirmos o polinómio 𝑔(𝑥) por 𝑥 − 2, virá 𝑔(𝑥) = (𝑥 − 2)𝑞(𝑥) + 𝑟 (para dois únicos 𝑞(𝑥) e 𝑟). Ao substituirmos nessa expressão 𝑥 por 2, vem 𝑔(2) = (2 − 2)𝑞(2) + 𝑟 = 0 + 𝑟 = 𝑟, ou seja 𝑔(2) = 𝑟. Como sabemos que 2 é um zero de 𝑔(𝑥) fica 0 = 𝑟, ou seja, 𝑔(𝑥) é divisível por 𝑥 − 2.

2. Se 𝑔(𝑥) é divisível por 𝑥 + 1, então o resto da divisão inteira de 𝑔(𝑥) por 𝑥 + 1 dá 0.

Isto quer dizer que, a partir do algoritmo da divisão inteira, podemos escrever apenas 𝑔(𝑥) = (𝑥 + 1)𝑞(𝑥). Se analisares o 2º membro desta equação percebes que, ao

(38)

𝑥_𝑥

)

₎

)

₎

Do 2º membro de cada equação, facilmente percebemos que 𝑓(4) = 0 e 𝑓(−5) = 0, ou seja 𝑥 = 4 e 𝑥 = −5 são dois zeros de 𝑓(𝑥).

Se quisesses ir mais longe e tentar justificar que são os únicos zeros, claro que podias assumir que o gráfico que te mostrámos revela as tendências que 𝑓(𝑥) segue em todo o IR. Isto quer dizer que poderias argumentar que, como o gráfico de 𝑓(𝑥) não interseta o eixo dos 𝑥𝑥 noutras abcissas diferentes de 4 e de −5, então 𝑓(𝑥) só tem esses dois zeros.

Por outro lado, o que estudaste até aqui também pode ser usado para dares a justificação pedida. Como verás depois da atividade, existe um resultado matemático muito útil para, por exemplo, determinar os zeros dos polinómios.

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Referências bibliográficas

Weber, H. (1912). Lehrbuch der Algebra. 1ª Edição. Viewig & Sohn. Braunschweig.

Waerden, B. L. (1985). A History of Algebra. Springer Verlag.

Katz, V. J. (1992). A History of Mathematics. HarperCollins College Publishers. New York.