Aula8EG

MOMENTOS, ASSIMETRIA E CURTOSE

1. MOMENTO – é qualquer média aritmética de uma potência dos afastamentos dos elementos de um conjunto de dados em relação a um elemento escolhido como origem. x1 x2 A x3 x4 ... xn Seja X1, X2, ... , Xn os n valores assumidos pela variável X, define-se a quantidade

( )

1 n X n X X X X n 1 i r i r n r 2 r 1 r ₌ + + + ₌ =

denominado momento de ordem r centrado na origem 0 (zero), onde r é um inteiro positivo. • Se r=1:

( )

2 n X X n 1 i= i = • Se r=2: n X X n 1 i 2 i 2 ₌ = _{é a média quadrática (MQ)} O momento de ordem r centrado na média X é definido por:

(

)

( )

3 n X X m n 1 i r i r = − = • Se r=1: m1=0 • Se r=2:

(

)

n X X m n 1 i 2 i 2 = − = , al populacion iância var a temos , X

se =µ . Porém a variância amostral é:

(

)

1 n X X m n 1 i 2 i 2 ₋ − = =

O momento de ordem r centrado numa origem A qualquer é definido por:

(

)

( )

4 n A X m n 1 i r i , r = − =

• Se A=0, recai-se em (1), chamado momento de ordem r centrado na origem. • Se A= X , recai-se em (3), chamado momento de ordem r centrado na média X .

• Se A=H ou A=G ou A=Md ou A=Mo, temos os momentos de ordem r centrados na média harmônica ou média geométrica ou mediana ou moda.

MOMENTOS PARA DADOS AGRUPADOS

Se X1, X2, ... , Xk ocorrem respectivamente com as freqüências f1, f2, ... , fk, os momentos anteriores são dados por:

( )

5 n X f n X f X f X f X k 1 i r i i r k k r 2 2 r 1 1 r ₌ + + + ₌ =

O momento de ordem r centrado na média é:

= = k 1 i i f n O momento de ordem r centrado numa origem qualquer A.

( )

7 n ) A X ( f m k 1 i r i i , r = − = = = k 1 i i f n

RELAÇÃO ENTRE OS MOMENTOS

− + − = + − = − = 4 , 1 , 2 2 , 1 , 3 , 1 , 4 4 3 , 1 , 2 , 1 , 3 3 2 , 1 , 2 2 m 3 m m 6 m m 4 m m m 2 m m 3 m m m m m

MOMENTOS SOB FORMA ABSTRATA

( )

m (8) m m m m a _r 2 r r 2 r rr r = _σ = =

onde: σ= m2 é o desvio padrão.

Como 2

2

1 0em

m = =σ , temos a1=0 e a2=1.

2. COEFICIENTE DE ASSIMETRIA

É uma medida do grau de desvio, ou afastamento da simetria da distribuição de freqüências de um conjunto de dados.

( )

6 n ) X X ( f m k 1 i r i i r = − =

Freqüência Freqüência + - Mo X X Mo • ASSIMETRIA S Mo X−

= . Porém, a Mo pode não existir, então:

• ASSIMETRIA S ) Md X ( 3 − =

• COEFICIENTE DE ASSIMETRIA DE PEARSON

( )

3 (9) 2 3 3 2 3 3 3 3 m m m m m a = = = σ

Nota-se que para uma distribuição de freqüências perfeitamente simétrica, como a normal, a3 é nulo.

Exercícios: Calcule a3 para, i. {1,2}; ii. {1,2,3}; iii. {1,2,3,4,19}.

3. COEFICIENTE DE CURTOSE

É uma medida do grau de achatamento da distribuição de freqüências em função dos pesos das caudas, achatamento este considerado usualmente em relação à distribuição normal (simétrica).

(a) Leptocúrtica (+) (b) Mesocúrtica (0) (c) Platicúrtica (-)

• COEFICIENTE DO MOMENTO DE CURTOSE

) 10 ( 2 2 4 4 4 4 m m m a = = σ

• CURTOSE − + − = ca platicúrti ) normal ( a mesocúrtic 0 ca leptocúrti ) 3 a ( ₄

(

)

2 Q Q Q onde , P P Q 3 1 10 90 − = − = κ . normal a para 263 , 0 = κ

Ex1: Considere uma amostra de comprimento de moranguinhos (cm) {2, 3, 7, 8, 10}

Dear SAS-Stat,

Does somebody know if SAS perfom extending Cohen´s kappa to more than two judges?

TIA Carlos

Calcular a assimetria e curtose.

cm

x 6

5 30 =

= (na amostra os moranguinhos têm em média 6cm de comprimento).

2 2 2 2 2 2 2 ₅ 9,2cm 46 5 ) 6 10 ( ) 6 8 ( ) 6 7 ( ) 6 3 ( ) 6 2 ( m = − + − + − + − + − = =

note que se dividido por (n-1) temos m2=11,5cm2 (variância amostral)

3 3 3 3 3 3 3 ₅ 3,6cm 18 5 ) 6 10 ( ) 6 8 ( ) 6 7 ( ) 6 3 ( ) 6 2 ( m = − + − + − + − + − =− =− 4 4 4 4 4 4 4 ₅ 122cm 610 5 ) 6 10 ( ) 6 8 ( ) 6 7 ( ) 6 3 ( ) 6 2 ( m = − + − + − + − + − = =

(

9,2cm

)

0,129 cm 6 , 3 a 3 2 3 3 =− − = Assimetria negativa.

(

9,2cm

)

1,4413 cm 122

a4 = ₂4₂ = Como a4 < 3, tem-se distribuição platicúrtica.

Ex2: Dados agrupados.

Distribuição de freqüências do peso de terneiros (kg) da raça crioula preta, Fazenda Canoas-SC, 1985. Classes Peso (kg) Freqüência Absoluta Ponto médio 22,0 |-- 23,5 4 22,75 23,5 |-- 25,0 5 24,25 25,0 |-- 26,5 8 25,75 26,5 |-- 28,0 1 27,25 28,0 |--| 29,5 2 28,75 Total 20 kg 15 , 25 f PM f x ₅ 1 i i 5 1 i i i ₌ = = = 2 2 2 2 3,015kg 20 3 , 60 20 ) 15 , 25 75 , 28 ( 2 ) 15 , 25 75 , 22 ( 4 m = − + + − = = 3 3 3 3 ₂₀ 2,268kg 36 , 45 20 ) 15 , 25 75 , 28 ( 2 ) 15 , 25 75 , 22 ( 4 m = − + + − = = 4 4 4 4 ₂₀ 24,61995kg 399 , 492 20 ) 15 , 25 75 , 28 ( 2 ) 15 , 25 75 , 22 ( 4 m = − + + − = =

(

3,015kg

)

0,4332 kg 268 , 2 a ₃ 2 3 3 = = Assimetria positiva.

(

3,015

)

2,7084 kg 61995 , 24 m m a _{2 2} 4 2 4

4 = = = . Como a4 < 3 a distribuição é platicúrtica.

Exercício1: Com os dados agrupados a seguir, calcule x, m2, m3, m4, a3, e a4.

X 18 15 12 9 6 3

35 , 9 17 159 f x f x ₆ 1 i i 6 1 i i i _{= =} = = 8166 , 16 17 8825 , 285 17 ) 35 , 9 3 ( 2 ) 35 , 9 6 ( 4 ) 35 , 9 9 ( 5 ) 35 , 9 12 ( 3 ) 35 , 9 15 ( 2 ) 35 , 9 18 ( 1 m2 2 2 2 2 2 2 ≈ ≈ − + − + − + − + − + − = 5927 , 23 17 0761 , 401 17 ) 35 , 9 3 ( 2 ) 35 , 9 6 ( 4 ) 35 , 9 9 ( 5 ) 35 , 9 12 ( 3 ) 35 , 9 15 ( 2 ) 35 , 9 18 ( 1 m3 3 3 3 3 3 3 ≈ ≈ − + − + − + − + − + − = 8297 , 678 17 1061 , 11540 17 ) 35 , 9 3 ( 2 ) 35 , 9 6 ( 4 ) 35 , 9 9 ( 5 ) 35 , 9 12 ( 3 ) 35 , 9 15 ( 2 ) 35 , 9 18 ( 1 m4 4 4 4 4 4 4 ≈ ≈ − + − + − + − + − + − =

( ) (

16,8166

)

0,3421 5927 , 23 m m a _{3 3} 2 3

3 = = = . Como a3 > 0, a distribuição é Assimétrica Positiva.

( ) (

16,8166

)

2,4004 8297 , 678 m m a _{2 2} 2 4

4 = = = . Como a4 < 3, a distribuição é Platicúrtica.

Exercício2: Determinar o coeficiente de assimetria e curtose da distribuição:

Classe 50|--60 60|--70 70|--80 80|--90 90|--|100

fi 15 20 30 20 15

1. RESUMO DE CINCO PONTOS

CONCEITO: é o procedimento que utiliza algumas separatrizes para descrever os dados.

FORMAS: Título Título

Md i

Q1 Q3 ou Q1

Md i s Q3

s

onde: i: é o limite inferior do rol;

_s: é o limite superior do rol.

Ex: Distribuição de freqüências do peso de terneiros (kg) da raça crioula preta, Fazenda Canoas-SC, 1985. Classes Peso (kg) Freqüência Absoluta Ponto médio 22,0 |-- 23,5 4 22,75 23,5 |-- 25,0 5 24,25 25,0 |-- 26,5 8 25,75 26,5 |-- 28,0 1 27,25 28,0 |--| 29,5 2 28,75 Total 20

Pesos vivo (kg) dos terneiros ao nascer da fazenda canoas-SC 1985 25,1875 22 23,8 26,12 ou 23,8 25,1875 22 29,5 26,12 29,5

2. GRÁFICO DE CAIXAS

CONCEITO: É um dispositivo gráfico para o resumo de cinco pontos. C3=Q3+3dQ Q3+2dQ s Q3 Md 2dQ Q1 _i Q1-2dQ C1=Q1-3dQ onde: 2 Q Q

dQ₌ 3− 1 _{(Desvio semi-quartil ou amplitude semi-interquartílica)}

Ex: Considere o rol do comprimento das assas de 40 insetos (mm) (ver Iemma) 2,2 2,3 2,5 2,6 3,0 3,5 3,5 3,8 3,8 3,9

4,1 4,1 4,1 4,1 4,1 4,2 4,3 4,3 4,4 4,4 4,6 4,9 5,0 5,0 5,3 5,8 6,0 6,0 6,0 6,0 6,0 6,5 6,9 7,1 7,2 7,7 8,3 8,5 11,3 13,8 Como n é par:

Posições de elementos para o cálculo da mediana: +1 2 n e 2 n mm 5 , 4 2 6 , 4 4 , 4 md= + =

Posições de elementos para o cálculo do 1o quartil: +1 4 n e 4 n Pontos Externos Pontos Externos

mm 0 , 4 2 1 , 4 9 , 3 q1 = + =

Posições de elementos para o cálculo do 3o _{quartil: +1} 4 n 3 e 4 n 3 mm 0 , 6 2 0 , 6 0 , 6 q₃ = + = mm 2 , 2 i = mm 8 , 13 s =

Cálculo de alguns percentis:

P5=P100(0,05), como np=2 (inteiro) P100(0,05)= [ ] [ ] 2,4mm 2 5 , 2 3 , 2 2 x x2 + 3 ₌ + ₌ P50 = P100(0,50), como np=20 (inteiro) P100(0,50)= [ ] [ ] 4,5mm 2 6 , 4 4 , 4 2 x x20 + 21 ₌ + ₌ P25 = P100(0,25), como np=10 (inteiro) P100(0,25)= [ ] 4,0mm 2 1 , 4 9 , 3 2 x x[10] + 11 ₌ + ₌ P75 = P100(0,75), como np=30 (inteiro) P100(0,75)= [ ] [ ] 6,0mm 2 0 , 6 0 , 6 2 x x30 + 31 ₌ + ₌

P82= P100(0,82), como np=32,8 (não inteiro) P100(0,82)=x_[int_[32,8_]+1_]=x_{[ ]}33 =6,9mm

Exercício:

Calcule todos os decis e os percentis P90 e P95. Desvio semi-quartil 1,0mm 2 0 , 4 0 , 6 2 q q dQ₌ 3− 1 ₌ − ₌ q3+3dQ = 6,0+3,0 = 9mm q3+2dQ = 6,0+2,0 = 8mm q1-2dQ = 4,0-2,0 = 2mm q1-3dQ = 4,0-3,0 = 1mm

s 13,8 * 13,8

13,0 Pontos externos 12,0 candidatos a discrepantes

11,0 * 11,3 10,0

C3=Q3+3dQ 9,0 8,5 Pontos externos cautela

Q3+2dQ 8,0 8,3 7,0 Q3 6,0 5,0 Q1 4,0 3,0 Q1-2dQ 2,0 C1=Q1-3dQ 1,0 0,0

3.RESUMO DE SETE PONTOS

Título Título Md

Q1 Q3

i s

C1 C3

Ex: Comprimento das assas de 40 insetos (mm) 4,5 4,0 6,0 2,2 13,8 1,0 9,0 md=4,5 i=2,2