Um estudo do desempenho do método de entropia máxima generalizada na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais sem réplicas

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Ruanderson Cosme Almeida

UM ESTUDO DO DESEMPENHO DO MÉTODO DE ENTROPIA MÁXIMA GENERALIZADA NA IDENTIFICAÇÃO DE EFEITOS ATIVOS EM

EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM RÉPLICAS

Natal - RN

25 de junho de 2018

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Ruanderson Cosme Almeida

Monografia de Graduação apresentada ao De-partamento de Estatística do Centro de Ci-ências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como re-quisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Estatística.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciências Exatas e da Terra

Departamento de Estatística

Orientador: Profa. Dra. Carla Almeida Vivacqua

Natal - RN

25 de junho de 2018

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Ruanderson Cosme Almeida

Monografia de Graduação apresentada ao De-partamento de Estatística do Centro de Ci-ências Exatas e da Terra da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como re-quisito parcial para a obtenção do grau de Bacharel em Estatística.

Aprovado em de de .

Profa. Dra. Carla Almeida Vivacqua Orientador

Prof. Dr. André Luís Santos de Pinho Examinador

Prof. Dr. Damião Nóbrega da Silva Examinador

Natal - RN

25 de junho de 2018

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Agradecimentos

Agradeço a meus pais, Antônio Carlos e Maria de Fátima, e a minhas irmãs, Rayane, Ruana e Dayanne, por todo o apoio que me deram ao longo desses de anos de curso.

Aos amigos do curso, principalmente a Rayane, Taynná, Antony, Rodrigo Amorim, Isabelle, Adryan, Rodrigo Matheus, Lucas e Érika, por todos o apoio e momentos que passamos juntos.

Minha orientadora Carla Vivacqua por toda ajuda e dedicação na construção desse trabalho.

Aos professores Damião Nóbrega e André Pinho por terem aceitado fazer parte da banca.

E a todos os meus professores do curso, especialmente a Pledson, por todo incentivo dado no começo do curso.

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“Construímos muros demais e pontes de menos.” Isaac Newton

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Resumo

Para o estudo da influência de fatores em um processo, uma das abordagens mais empre-gadas é o experimento fatorial sem réplicas. É comum utilizar gráficos de probabilidade normal para a análise de dados provenientes deste tipo de plano experimental, porém há controvérsias sobre o seu uso, devido à subjetividade e dificuldade de interpretação, especialmente quando a magnitude do efeito é moderada. Os métodos da entropia máxima generalizada e de Lenth são alternativas propostas para evitar essa subjetividade. O obje-tivo desse trabalho é avaliar o desempenho do método da entropia máxima generalizada para identificar efeitos ativos em experimentos fatoriais sem réplicas. Um estudo de simu-lação é feito considerando um experimento com 16 tratamentos e diferentes cenários para quantidade de efeitos ativos e suas respectivas magnitudes. Para a avaliação do desempenho do método de entropia máxima generalizada são utilizadas as porcentagens de erro do tipo I e do tipo II em comparação com o método de Lenth. Os resultados da simulação indicam que a abordagem de entropia máxima generalizada facilita a identificação de efeitos ativos de magnitude moderada. Além disso, o desempenho do método permanece praticamente inalterado quando a quantidade de efeitos ativos aumenta.

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Abstract

In the study of the influence of factors in a process, one of the most used approaches is based on unreplicated factorial experiments. It is common to use the normal probability plot to analyze data from this type of experimental design, but there are controversies about its use due to subjectivity and difficulty of interpretation, especially when the magnitude of the effect is moderate. The Generalized maximum entropy and lenth’s method are alternatives proposals to avoid this subjectivity. The objective of this work is to evaluate the performance of the generalized maximum entropy method to identify active effects in unreplicated factorial designs. A simulation study is done considering an experiment with 16 treatments and different scenarios for quantity of active effects and their respective magnitudes. For the evaluation of the performance of the generalized maximum entropy method the type I and type II error percentages are used in comparison with the Lenth method. The simulation results indicate that the generalized maximum entropy approach facilitates the identification of active effects of moderate magnitude. In addition, the performance of the method remains virtually unchanged when the amount of active effects increases.

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Lista de ilustrações

Figura 1.1 – Gráfico de probabilidade normal dos efeitos do experimento de moldagem por injeção. . . 14 Figura 2.1 – Gráfico do método de Lenth dos efeitos do experimento de moldagem

por injeção. . . 19 Figura 3.1 – Fluxograma da simulação. . . 20 Figura 4.1 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da

entropia e de Lenth, para o coeficiente inicial 0,25 (σ₂). . . 27 Figura 4.2 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da

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Lista de tabelas

Tabela 1.1 – Matriz com os contrastes e resposta . . . 13

Tabela 3.1 – Tabela ODS do precedimento entropy. . . . 23

Tabela 3.2 – Cenários da simulação. . . 24

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Sumário

Lista de tabelas . . . 10 1 INTRODUÇÃO . . . 12 1.1 Motivação . . . 13 1.2 Objetivo . . . 14 2 REVISÃO CONCEITUAL . . . 15

2.1 Entropia Máxima Generalizada . . . 15

2.2 Método de Lenth . . . 18 2.3 Variância do efeito . . . 19 3 SIMULAÇÃO . . . 20 3.1 Software R . . . 20 3.2 SAS . . . 21 3.3 Cenários da Simulação . . . 23

3.4 Critérios para a avaliação do desempenho . . . 24

4 RESULTADOS . . . 26

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS . . . 29

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1 Introdução

Devido à simplicidade, desempenho e custo benefício, um dos métodos mais utiliza-dos para verificar a influência de variáveis em um processo é através de experimentação planejada. Diferente do que ocorre em um estudo observacional, um estudo experimental se caracteriza pela interferência externa do pesquisador. Sendo assim, planejamento de experimentos consiste em preparar e estudar um processo com o objetivo de obter resulta-dos úteis para o experimentador, de maneira em que o custo em dinheiro e tempo seja o mínimo possível.

Para uma realização adequada de um experimento fatorial é necessário que ele seja planejado. O experimentador, antes de qualquer coisa, precisa definir alguns componentes básicos para o estudo, que serão listados a seguir:

• Resposta: é a variável de interesse no estudo;

• Fatores: são as variáveis que sofrem alterações que se avalie o seu impacto na (s) resposta (s);

• Níveis: são os valores que um fator assume no experimento;

• Tratamentos: é a combinação entre os níveis dos fatores. Caso o experimento tenha apenas um fator, então os tratamentos serão iguais aos níveis.

Por exemplo, suponha que um estudo quer analisar a influência das peças de um carro na sua velocidade (km/h). As peças testadas serão dois tipos motores e dois tipos pneus. Assim, os componentes básicos do exemplo são:

• Resposta: velocidade do carro; • Fatores: pneu e motor;

• Níveis: pneu tipo 1, pneu tipo 2, motor tipo 1 e motor tipo 2;

• Tratamentos: pneu tipo 1 e motor do tipo 1, pneu tipo 1 e motor do tipo 2, etc. Há necessidade também de definir se haverá replica. A replicação consiste em aplicar um mesmo tratamento em mais de uma unidade experimental diferente (BOX; HUNTER; HUNTER, 2005). A vantagem do erro experimental e, assim, obter a precisão das estimativas dos efeitos dos fatores.

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Capítulo 1. Introdução 13

O gráfico de probabilidade normal (DANIEL, 1959) é um dos métodos mais utilizados para a análise de experimento fatorial não replicado, porém é um método subjetivo pelo fato de depender da experiência do analista para definir os fatores ativos de forma apropriada. Assim, dois analistas podem chegar a conclusões diferentes para o mesmo experimento.

1.1 Motivação

O exemplo apresentado em Myers, Montgomery e Anderson-Cook (2009) consiste em um experimento de moldagem por injeção em que o pesquisador buscar minimizar o encolhimento durante o processo. Para isso é realizado um experimento fatorial fracionado 27−3, ficando assim um total de 16 tratamentos. Os geradores do experimento são E = ABC, F = BCD e G = ACD. A Tabela 1.1 apresenta os contrastes e a variável resposta.

Tabela 1.1 – Matriz com os contrastes e resposta

A B C D E = ABC F = BCD G = ACD Y 1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 6 2 1 −1 −1 −1 1 −1 1 10 3 −1 1 −1 −1 1 1 −1 32 4 1 1 −1 −1 −1 1 1 60 5 −1 −1 1 −1 1 1 1 4 6 1 −1 1 −1 −1 1 −1 15 7 −1 1 1 −1 −1 −1 1 26 8 1 1 1 −1 1 −1 −1 60 9 −1 −1 −1 1 −1 1 1 8 10 1 −1 −1 1 1 1 −1 12 11 −1 1 −1 1 1 −1 1 34 12 1 1 −1 1 −1 −1 −1 60 13 −1 −1 1 1 1 −1 −1 16 14 1 −1 1 1 −1 −1 1 5 15 −1 1 1 1 −1 1 −1 37 16 1 1 1 1 1 1 1 52

A Figura 1.1 mostra o gráfico de probabilidade normal do experimento. Assim, Myers, Montgomery e Anderson-Cook (2009) concluíram que os efeitos A, B e AB foram ativos, porém McGrath e Lin (2001) consideraram como efeitos ativos A, B, AB, C = AD e G = ACD. Como a análise foi feita apenas com gráficos, essa subjetividade pode ocorrer quando um mesmo experimento é analisado por pessoas diferentes. Para evitar que ocorram essas divergências, existem métodos alternativos para a identificação dos efeitos ativos, sendo um deles o método da Entropia Máxima Generalizada, proposto por Golan, Judge e Miller (1996).

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Capítulo 1. Introdução 14

Figura 1.1 – Gráfico de probabilidade normal dos efeitos do experimento de moldagem por injeção.

Pereira (2015) explica o funcionamento do método da EMG. Este trabalho tem como motivação avaliar o desempenho do método da Entropia Máxima Generaliza (EMG), na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais através de uma simulação computacional.

1.2 Objetivo

O objetivo deste trabalho é verificar o desempenho do método da Entropia máxima generalizada na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais não replicados para 16 tratamentos através de uma simulação. Os objetivos específicos são:

• analisar a porcentagem do erro do tipo I (identificar efeitos inativos como ativos) do método EMG;

• analisar a porcentagem de erro do tipo II (identificar efeitos ativos como inativos) do método;

• verificar o impacto que a magnitude do efeito e a quantidade de efeitos ativos tem sobre o método;

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2 Revisão Conceitual

Nesse capítulo são apresentados os conceitos básicos sobre o método da EMG e do método de Lenth para um melhor entendimento do trabalho.

2.1 Entropia Máxima Generalizada

Na teoria de informação, a entropia é definida por Shannon (1948) como um medida de incerteza, ou seja, quanto menos informação dos dados maior será a entropia. Para medir a incerteza Shannon (1948) se baseou em um estudo de Hartley (1928) que propôs uma medida H para medir a informação. Suponha que temos um conjunto de símbolos s e H é dada por:

H = Kn

sendo n o número de seleções feitas em um conjunto s e K uma constante que depende de um número de símbolos do conjunto s disponível em cada seleção. Suponha que temos um conjunto de eventos possíveis cujas as probabilidades de ocorrência sejam p = p1, p2,..., pn.

Toda a informação que temos sobre os eventos é que as probabilidades p são conhecidas. Assim, temos que a informação é dada por H(p1, p2,..., pn) e deve seguir as seguintes

propriedades:

• H deve ser contínua em pi;

• Se todos os pi são iguais, pi = 1/n, então H é uma função crescente monótona de

n. Com eventos igualmente prováveis há mais incerteza do que quando se tem mais eventos possíveis;

• Se uma escolha for dividida em duas escolhas sucessivas, o H original deve ser a soma ponderada dos valores individuais de Hi.

Assim, Shannon (1948) chegou a conclusão que a única função H que satisfaz essas propriedades é: H = −K n X i=1 pilog pi (2.1)

em que K é uma constante positiva.

Para casos que não temos informações suficientes para estimar o modelo com os métodos usuais,Golan, Judge e Miller (1996) propôs o método da Entropia Máxima

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Capítulo 2. Revisão Conceitual 16

Generalizada, baseada na função H dada em (2.1). Para o método da EMG é necessário reescrever o modelo de regressão linear em função das probabilidades. Então, sendo o modelo linear dado por

Y = Xβ + 

em que a variável resposta Y é um vetor T × 1, a variável explanatória X é uma matriz T × K, β é um vetor K × 1 de parâmetros desconhecidos e = (1,2,..., T)T é um vetor

T × 1 de erros desconhecidos.

Utilizando a estimativa de quadrados mínimos do vetor β, queremos encontrar o vetor para β que forneça o menor valor possível para a soma de quadrados dos erros, obtendo, assim, o seguinte estimador:

ˆ

β = (X0X)−1X0Y

Sejam os valores suporte discretos, fornecidos pelo pesquisador, definidos pelo vetor z0_k = [zk1,zk2,...,zkM], para todo k, sendo os valores z0k definidos por um conhecimento

a priori. Caso o pesquisador não possua nenhuma informação a priori a respeito do parâmetro desconhecido βk, os valores de z0k devem ser distribuídos simetricamente em

torno do zero (SATICI; DEMIRHAN, 2012). E seja p0_k= [pk1, pk2,...,pkM], para todo k, um

vetor de probabilidades desconhecidas associados ao conjunto z0_k. Assim, reparametrizamos βk da seguinte maneira: βk = M X m=1 pkmzkm, k = 1,2,...,K e M ≥ 2

Considerando Z um matriz diagonal K × KM de pontos suporte, temos:

β = Zpβ =         z₁0 0 · · · 0 0 z₂0 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · z0 k                 p1 p2 .. . pk        

Considerando que w0_t = [wt1,wt2,...,wtJ] é um vetor de probabilidades desconhecidas e v0_t = [vt1,vt2,...,vtJ] valores de suporte discretos definidos em torno do zero, podemos

reparametrizar o vetor dos erros da seguinte maneira:

t= J

X

j=1

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Definindo V como uma matriz diagonal T × T J dos pontos suporte vt, w sendo

um vetor T J × 1 de probabilidades associado aos pontos suportes, temos:

 = Vw=         v0₁ 0 · · · 0 0 v₂0 · · · 0 .. . ... . .. ... 0 0 · · · v0 k                 w1 w2 .. . wk        

Assim, podemos reescrever o modelo de regressão linear:

yt= K X k=1 xtkβk+ t= K X k=1 M X m=1 zkmpkmxtk+ X j vjwtj

Para obter o estimador da Entropia Máxima Generalizada basta maximar as entropias conjuntas (GOLAN; JUDGE; MILLER, 1996):

EM G = maxp,w{H(p) + H(w)} = maxp,w{− X k X m pkmln pkm− X t X j wtjln wtj}

sendo sujeito as condições:

X m pkm = 1 X j wtj = 1

Para maximar o EMG, utiliza-se o método de multiplicadores de Lagrange para solucionar p e w, chegando assim, respectivamente, as seguintes soluções:

˜ pkm = e−zkmPµtxtk P me −zkmP_tµtxtk ˜ wtj = e−µtvt P je−µtvt e as estimativas de βk e t são: ˜ βk = X m zkmpkm ˜ t= X j vjwtj

O estimador GME é consistente e possui distribuição assintoticamente normal:

ˆ β ∼ N β, σ q γ N ξ2ω −1 ! .

Para mais detalhes sobre o método da entropia máxima generalizada consultar Pereira (2015).

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2.2 Método de Lenth

Um dos métodos utilizados para evitar a subjetividade do gráfico normal na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais é o método de Lenth. O método se baseia na dispersão dos efeitos e é utilizados quando temos poucos efeitos ativos (LENTH, 1989).

A construção do gráfico é baseada em uma Margem de Erro (M E) e em uma Margem de Erro Simultânea (SM E), dada, respectivamente por

M E = t0,975;glP SE

SM E = tγ;glP SE

sendo γ e P SE o Pseudo Erro padrão dado, respectivamente, por:

γ = 1 + 0,95

1/m

2

P SE = 1,5 × [mediana|ci|], i = 1,...,m

e ci um vetor M × 1 de efeitos estimados.

Caso o efeito, em módulo, seja maior que o SM E, o efeito é considerado ativo; se assumir um valor entre o SM E e o M E, o efeito pode ser considerado ativo. Caso contrário, se o módulo do efeito for menor que o M E, não é considerado ativo.

O Gráfico 3.1 mostra um exemplo de um gráfico do método Lenth dos efeitos do experimento de moldagem por injeção. Nota-se que os contrastes representados pelos rótulos A, B, AB, AD e ACD foram maiores que o modulo do SM E, logo eles são ativos. Todos os outros efeitos foram menores que o M E, ou seja, não foram considerados efeitos ativos.

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Figura 2.1 – Gráfico do método de Lenth dos efeitos do experimento de moldagem por injeção.

2.3 Variância do efeito

A variância do efeito para um experimento fatorial é dada pela seguinte fórmula:

σ2([ef eito]) = 4 × var([erro]) N

em que N é o número de tratamentos. Neste trabalho temos 16 tratamentos e adotou-se uma variância do erro igual a 1, ficando então:

σ2([ef eito]) = 4 × 1

16 = 0,25 σ([ef eito]) = 0,50

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20

3 Simulação

Neste capítulo é apresentado o planejamento da simulação. Primeiro, são apresenta-dos os métoapresenta-dos utilizaapresenta-dos para a simulação apresenta-dos daapresenta-dos no software R (R Core Team, 2017), em seguida, os método utilizados para a realização da entropia máxima generalizada no SAS (SAS INSTITUTE INC., 2003). Por fim, são apresentados todos os cenários utilizados nesse trabalho.

A simulação e a análise dos dados foram feitas nos softwares R e no SAS. Inicial-mente, é utilizado o software R para gerar os dados e exportar os dados em formato de valor separado por vírgula (CSV) para a leitura no SAS. Logo após, utiliza-se o SAS para aplicar o método da EMG. Para analisar o resultado da entropia utiliza-se novamente o software R.

Figura 3.1 – Fluxograma da simulação.

3.1 Software R

No software R, criou-se uma função para realizar a simulação dos dados (Apêndice A). Primeiramente foi utilizado o pacote BHH2, para a criação da tabela de contraste. A simulação é feita da seguinte forma:

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Capítulo 3. Simulação 21

sendo o coef iciente um vetor 2k_{× 1, dado pelo usuário, e o erro um vetor 2}k_{× 1 com}

distribuição normal padrão. O erro é gerado aleatoriamente pelo software R através da função rnorm(.), que possui três parâmetros: tamanho da amostra a ser gerado, a média e o desvio padrão.

Na programação, existem estruturas de repetições para evitar fazer uma tarefa repetidas vezes desnecessariamente. Como para realizar uma simulação é necessário executar o processo 3.1, mais de uma vez, então aplica-se o laço de repetição for(.). A sintaxe desse laço de repetição, no software R, é da seguinte forma:

for(i in m:n){ argumentos }

sendo i a variável incrementável e m e n os valores de início e fim da repetição, respectiva-mente. Para identificar cada repetição é criado um variável chamada "ID". Após gerar todos os dados, utiliza-se a função write.table(.) para exportar os dados e serem utilizados no SAS.

Estimada a entropia no SAS, utiliza-se novamente o Software R para calcular a porcentagem do erro do tipo I e II. Para o método de Lenth, foi utilizado o co-mando source(.), que permite importar um script ou URL para que possa ser aprovei-tado no código atual sem a necessidade de reescrever os comandos. O script utilizado foi disponibilizado pelo professor Russell V. Lenth, no site da Universidade de Iowa (http://homepage.divms.uiowa.edu/ rlenth/).

O script de Russel V. Lenth funciona de maneira bem simples: ao executar o comando source(.), ele retorna um gráfico como exemplo. O código permite retornar o pseudo erro padrão utilizando a função pse(x) e permite retornar o gráfico e os valores do SME e ME com a função plot.con(x), sendo x em ambos os casos um vetor 2k_{× 1 de}

efeitos.

Para analisar o método de Lenth, criou-se uma nova função (Apêndice C) que tem como parâmetro uma matriz com os contrates e com os dados simulados. A função divide-se em três partes: o cálculo dos efeitos, a execução do método de Lenth e o cálculo dos erros do tipo 1 e 2.

3.2 SAS

Em programação, macros são rotinas criadas para executar tarefas pré-programadas, funcionando de maneira similar às funções no Software R. Para esse trabalho, foram

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elaborados duas macros no SAS, uma para a importação dos dados e outra para executar o método da Entropia Máxima Generaliza (Apêndice B).

O SQL (do inglês Structured Query Language) é uma linguagem de pesquisa utilizada para manipulação de um banco de dados. Dentro do SAS, é possível utilizá-la através de um procedimento. Supondo que temos uma tabela chamada “dados”, e queremos selecionar a coluna “nomes” dessa tabela, a sintaxe do procedimento ficaria da seguinte maneira:

p r o c sql ;

s e l e c t n o m e s f r o m d a d o s;

q u i t;

Antes de calcular a entropia, utiliza-se o proc sql para poder selecionar e dividir os dados de acordo com a variável “ID”. Assim podemos calcular a entropia para cada repetição diferente da simulação.

O proc entropy é utilizado para a estimação linear baseada no método da Entropia Máxima Generalizada. Para utilizá-lo na análise de experimentos fatoriais, é necessário apenas entrar com os dados utilizando o comando data e entrar com o modelo desejado. Supondo um experimento fatorial 23, com nenhum informação sobre o vetor beta a priori, a sintaxe do procedimento seria da seguinte forma:

p r o c e n t r o p y d a t a=d a d o s;

m o d e l y=a b c ab ac bc abc;

run;

e assim o obtemos os resultados. É possível ainda inserir mais informação, como por exemplo, o parâmetro beta (pontos suporte), porém neste trabalho utilizaremos o caso mais simples. Mais detalhes sobre o procedimento podem ser encontrados no suporte do SAS.

Na saída, o procedimento entropy retorna muitas informações (gráficos, estimativas, etc.) que são desnecessárias neste trabalho, visto que utilizar-se-á apenas os efeitos estima-dos. Uma das maneiras de obter apenas os efeitos estimados é fazendo isso manualmente, entretanto como serão executados vários cenários com múltiplas repetições, é inviável fazer isso. No SAS existe uma ferramenta chamada Output Delivery System (ODS), que tem como finalidade enviar tabelas ou gráficos para um destino de saída.

Um dos destinos utilizados pelo ODS é o OUTPUT. Com ele podemos enviar uma parte específica de um procedimento para um conjunto de dados do SAS, facilitando a manipulação dos dados. Todo procedimento tem nomes específicos para as tabelas ODS e para que se obtenha apenas a parte desejada é necessário pesquisar os nomes no help do SAS ou utilizar os seguintes comandos:

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Capítulo 3. Simulação 23 ods t r a c e on; p r o c reg d a t a=d a d o s; m o d e l y = a l t u r a p e s o; q u i t; ods t r a c e off;

em que, dentro do ODS TRACE, encontra-se o procedimento que se deseja saber os nomes da tabela ODS. O proc entropy tem a seguinte tabela ODS:

Tabela 3.1 – Tabela ODS do precedimento entropy.

Nome da tabela ODS Descrição Opções

ConvCrit Critérios de convergência para estimativa default

ConvergenceStatus Status da convergência default

DatasetOptions Conjunto de dados usados default

MinSummary Número de Parâmetros, tipo de estimativa default

ObsUsed Observações lidas, usadas e ausentes default

ParameterEstimates Parâmetros estimados default

ResidSummary Resumo do SSE e MSE para as equações default

TestResults Tabela de declaração de teste TEST statement

Neste trabalho será utilizado o ParameterEstimates. Assim a sintaxe do ODS OUTPUT será da seguinte forma:

ods o u t p u t P a r a m e t e r E s t i m a t e s=N o m e D a t a S e t D e s e j a d o;

p r o c e n t r o p y d a t a=d a d o s;

m o d e l y=a b ab;

run;

em que o ODS OUTPUT precisa ser declarado antes do procedimento em que se deseja obter as informações.

3.3 Cenários da Simulação

Primeiro, é necessário decidir a quantidade de repetições que que serão utilizadas na simulação. Assim, foram testados 100, 200, 500 e 1000 repetições.

Considerando apenas um cenário com dois efeitos ativos de um experimento fatorial não replicado 24, foi gerado dados com a quantidade de repetições definidas anteriormente. Em seguida, utiliza-se o método da EMG e analisa-se a porcentagem do erro do tipo I e II de cada um. Assim, notou-se que com 500 repetições obteve-se um resultado muito semelhante a 1000 repetições. Então, para minimizar o tempo de execução dos métodos, foi definido que a simulação deste trabalho seria realizada com 500 repetições.

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Para este trabalho é utilizado um experimento fatorial não replicado com quatro fatores e cada fator com dois níveis (24_{), resultando em 16 tratamentos. A simulação será}

testada com 2, 3, 4 e 5 efeitos ativos, com magnitudes iguais a 1, 2, 3, 4 e 5 e coeficientes iniciais iguais a 0,25 (que corresponde a metade do desvio padrão do efeito) e 0,50 (que corresponde ao desvio padrão do efeito).

Assim, temos um total de 40 cenários, visto na Tabela 3.2. Entretanto os Cenários 2 e 21 são iguais (o mesmo vale para os outros cenários da coluna). O mesmo ocorre com os Cenários 4 e 22 e suas respectivas colunas. Assim, são 32 cenários distintos. Isso ocorre pelo fato da simulação ter sido feita em duas etapas e a partir de uma análise preliminar da primeira etapa, decidiu-se incluir magnitudes maiores de efeito para comparação.

Tabela 3.2 – Cenários da simulação.

Coeficiente Efeitos Ativos Constante a ser multiplicada pelo coeficiente

1 2 3 4 5 σ(ef eito)/2 2 C01 C02 C03 C04 C05 3 C06 C07 C08 C09 C10 4 C11 C12 C13 C14 C15 5 C16 C17 C18 C19 C20 σ(ef eito) 2 C21 C22 C23 C24 C25 3 C26 C27 C28 C29 C30 4 C31 C32 C33 C34 C35 5 C36 C37 C38 C39 C40

3.4 Critérios para a avaliação do desempenho

Ao realizar um teste de hipótese, sempre existe a possibilidade de ocorrer dois tipos de erros, o tipo I e tipo II. O erro do tipo I ocorre quando se rejeita a hipótese nula quando ela é verdadeira. Já o erro do tipo II ocorre quando não se rejeita a hipótese nula, quando ela é falsa. A Tabela ?? apresenta todos os possíveis resultados ao realizar um teste de hipótese.

Tabela 3.3 – Todos os possíveis resultados de um teste de hipótese.

Resultado do Teste Hipótese Verdadeira

H0 H1

H0 Acerto 1 Erro do tipo II

H1 Erro do Tipo I Acerto 2

Supondo que em um julgamento temos as seguinte hipóteses:

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Caso o réu seja realmente inocente e o júri condene-o, estaria cometendo um erro do tipo I. Já no caso do réu ser culpado e o júri não condená-lo, estaria cometendo o erro do tipo II.

Para a análise da EMG e do método de Lenth, serão utilizados as porcentagens do erro do tipo I e do tipo II. O resultado desejado é uma baixa porcentagem para ambos os erros.

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4 Resultados

Este capítulo tem como objetivo apresentar os resultados obtidos com a simulação descrita no Capítulo 3. Para a análise dos resultados será utilizado a porcentagem do erro do tipo I e do tipo II, além de uma comparação com o método de Lenth.

Sejam as hipóteses testadas:

H0 : [Ef eito Inativo] × H1 : [Ef eito Ativo],

então, nesse trabalho, será considerado que ocorreu o erro do tipo I quando um efeito for considerado ativo, porém ele é inativo. Já o erro do tipo II ocorrerá quando um efeito for considerado inativo, porém ele é ativo. Para o método da da EMG, um efeito é considerado ativo quando o valor p ≤ 0,05; para o método de Lenth um efeito é considerado ativo quando o |ef eito| ≥ SM E. As Figuras 4.1 e 4.2 apresentam gráficos de linhas com as médias dos erros do tipo 1 e do tipo 2. As tabelas utilizadas para criação dos gráficos encontram-se no Apêndice D.

A Figura 4.1 apresenta apresenta as porcentagens médias dos erros do tipo I e II do método EMG e de Lenth, considerando o coeficiente inicial 0,25. Nota-se que a porcentagem do erro do tipo I para o método de Lenth tem valor próximo 0% independente da magnitude ou da quantidade de efeitos ativos. A porcentagem do tipo I para o método EMG diminui a medida que aumentamos a magnitude. Quando aumentamos a quantidade de efeitos ativos a porcentagem do erro to tipo I fica em torno de 50% quando consideramos magnitude 1σ/2, porém se considerarmos magnitude 5σ/2 nota-se que porcentagem do erro do tipo I diminui, chegando a ficar próximo de 10% quando temos 5 efeitos ativos.

O erro do tipo II diminui a medida que aumentamos a magnitude, para ambos os métodos. Considerando o método de Lenth, a porcentagem do erro do tipo II fica próximo a 100%, independente da quantidade de efeitos ativos, quando temos a magnitude 1σ/2. A medida que aumentamos a magnitude o erro do tipo II vai diminuindo, porém essa queda é menor quando temos mais efeitos ativos. Para o método EMG, nota-se que a porcentagem do erro do tipo II é aproximadamente 50%, independente da quantidade de efeitos ativos, para a magnitude 1σ/2. A medida que a magnitude o erro do tipo II vai diminuindo e essa queda fica maior quando temos mais efeitos ativos.

(28)

Capítulo 4. Resultados 27

Figura 4.1 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da entropia e de Lenth, para o coeficiente inicial 0,25 (σ₂).

A Figura 4.2 apresenta apresenta as porcentagens médias dos erros do tipo I e II do método EMG e de Lenth, considerando o coeficiente inicial 0,50. Pode-se observar as porcentagens dos erros do tipo I e II tiveram resultados semelhantes a Figura 4.1. Nota-se também que como temos um coeficiente inicial maior, os erros de ambos os métodos convergem para 0%.

(29)

Capítulo 4. Resultados 28

Figura 4.2 – Gráfico de linhas com as médias do erro do tipo I e II do método da entropia e de Lenth, para o coeficiente inicial 0,50 (σ).

(30)

29

5 Considerações Finais

Esse capítulo apresenta as conclusões obtidas com os resultados do Capítulo 4 e sugestões para trabalhos futuros. Neste trabalho foi realizado um estudo através de uma simulação computacional para verificar o desempenho do uso do método da entropia máxima generalizada na identificação de efeitos ativos em experimentos fatoriais não replicados. Também foi realizado uma comparação com o método de Lenth.

Em relação ao método da entropia máxima generalizada, nota-se que à medida que aumenta a magnitude, o erro do tipo I e do tipo II diminuem. Para magnitude σ/2, porcentagem do erro do tipo II apresentou um resultado parecido independente da quantidade de efeitos ativos. Com magnitude 1σ/2, o erro do tipo II ficou em torno de 30,0%, caindo para cerca de 2,0% na magnitude 3σ/2 e convergindo para 0,0% a partir da magnitude 4σ/2. Considerando σ, nota-se que a partir da magnitude 3σ, a porcentagem do erro do tipo II é igual a 0%, independente da quantidade de efeitos ativos. Porém, quando consideramos as magnitudes 1σ e 2σ, há um aumento nas porcentagens do erro do tipo II quando aumenta-se a quantidade de efeitos ativos.

Nota-se que a porcentagem do erro do tipo I apresenta um decaimento a medida que aumenta-se a magnitude. Porém, diferente do erro do tipo II, a porcentagem do erro do tipo I também apresenta um decaimento a medida que aumenta-se a quantidade de efeitos ativos.

Em relação ao método de Lenth, nota-se que o erro do tipo II diminui a medida que aumenta-se a magnitude. Considerando σ/2, a porcentagem do erro do tipo II fica muita alta, mesmo com a magnitude 5σ/2. Considerando σ ocorre uma melhora no desempenho do erro do tipo II, ficando abaixo dos 5% a partir da magnitude 4σ. Nota-se que também houve um aumento no erro do tipo II a medida que aumenta-se a quantidade de efeitos ativos. O erro do tipo II apresentou, independente da magnitude e da quantidade de efeito ativo, valores abaixo de 1%.

O método da entropia máxima generalizada apresentou uma porcentagem de erro do tipo II muito baixa, chegando a valores próximo de zero sem precisar ter um magnitude alta. O erro do tipo I apresentou melhorias à medida que se aumentava a quantidade de efeitos ativos, precisando de uma magnitude cada vez menor para a porcentagem do erro do tipo I se aproximar de 5%. Já o método de Lenth apresentou um desempenho melhor quando se tem uma quantidade menor de efeitos ativos e uma magnitude maior.

Concluindo, o uso do método da entropia máxima generalizada é mais indicado quando se tem uma quantidade grande de efeitos ativos, assim, teremos uma baixa porcentagem de erro do tipo I e do erro do tipo II, sem precisar de uma magnitude alta.

(31)

Capítulo 5. Considerações Finais 30

Já o uso do método de Lenth é mais indicado quando temos poucos efeitos ativos e uma magnitude moderada.

Para trabalhos futuros, o método da entropia máxima generalizada poderia ser testado com uma quantidade maior de efeitos ativos na simulação. Além disso, também seria interessante testar valores de magnitudes diferentes dentro do cenário. Por exemplo, um cenário que o efeito ativo A tenha coeficiente de 0,5σ(ef eito) e o efeito ativo B tenha coeficiente ativo 5σ(ef eito). Outra sugestão seria testar o método com outra quantidade de tratamentos.

(32)

31

Referências

BOX, G. E. P.; HUNTER, J. S.; HUNTER, W. G. Statistics for experimenters : design, innovation, and discovery. [S.l.]: Wiley-Interscience, 2005.

DANIEL, C. Use of half-normal plots in interpreting factorial two-level experiments. New York: Technometrics, 1959.

GOLAN, A.; JUDGE, G.; MILLER, D. . Maximum Entropy Econometrics: Robust Estimation With Limited Data. [S.l.]: John Wiley Sons, 1996.

HARTLEY, R. V. L. Transmission of Information, Bell System Technical Journal. [S.l.]: Wiley, 1928.

LENTH, R. V. Quick and easy analysis of unreplicated factorials. v. 31, p. 469–473, 11 1989.

MCGRATH, R. N.; LIN, D. K. J. Confounding of location and dispersion effects in unreplicated fractional factorials. Journal of Quality Technology, Taylor Francis, 2001.

MYERS, R. H.; MONTGOMERY, D. C.; ANDERSON-COOK, C. M. Response Surface Methodology: Process and Product Optimization Using Designed Experiments. [S.l.]: Wiley, 2009.

PEREIRA, I. F. de S. Uso da Entropia Máxima Generalizada para identificar efeitos ativos em experimentos fatoriais sem Réplicas. RN: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 2015.

R Core Team. R: A Language and Environment for Statistical Computing. Vienna, Austria, 2017.

SAS INSTITUTE INC. SAS/STAT Software, Version 9.1. Cary, NC, 2003.

SATICI, E.; DEMIRHAN, H. Use of generalized maximum entropy estimation for freight flows modelling and an application. v. 10, 2012.

SHANNON, C. E. A mathematical theory of communication. The Bell System Technical Journal, v. 27, 1948.

(33)

32

Apêndice

Apêndice A

Segue o código para a simulação dos dados com magnitude 1, 2 efeitos efeitos e coeficentes dos efeitos igual a 0,25. Para os outros cenário é análogo.

rm(list=ls())

### instalação do pacote BHH@ install.packages("BHH2") library(BHH2)

### k=quantidade de fatores

### efAt=quantidade de efeitos ativos k=4

efAt=2

### matriz com os contrastes (uso do pacote BHH2)

si <- ffFullMatrix(ffDesMatrix(k)[,1:k],x=c(1:k),maxInt=k)$Xa

### função para nomear os fatores

letras=c("a","b","c","d","e","f","g","h","i","j","k","k","m","n", "o","p","q","r","s","t","u","v","w","x","y","z") nomes=c(rep(0,2^k)) aux=1 for(i in 1:k){ a=combn(letras[1:k],i) for(j in 1:dim(a)[2]){ aux=aux+1 nomes[aux]=paste(c(a[(1:i),j]),collapse="") } };nomes[1]="um"

(34)

Referências 33 simulacao=function(coeficientes,k,w){ si <- ffFullMatrix(ffDesMatrix(k)[,1:k],x=c(1:k),maxInt=k)$Xa y=vector() id=vector() for(t in 1:w){ erro=0 erro=matrix(rnorm(2^k, 0, 1)) y=rbind(y,si%*%coeficientes+erro) id=c(id,rep(t,2^k)) };y=data.frame(cbind(y,id));y return(y) } #############magnitude 1 e 2 ef ativos ### quantidade de repetições rep=500 erroef=0.25

###vetor com os coeficentes co=rep(erroef,efAt)

(coef1=c(0,co,0,0,0,rep(0,10)))

### execução da simulação (coef1=coeficentes, k= numeros de fatores, rep= ###quantidade de repetições) res=simulacao(coef1,k,rep)

### nomeando a varivael resposta e a varivael para identificar a repetição names(res)=c("y","id")

###nomeando os efeitos si=data.frame(si);si names(si)=nomes;si

### juntar a tabela de contraste com o resultado da simulação (variavel ###resposta e id) export1=cbind(si,res)

###exportar os dados no write.table(export1,

(35)

Referências 34 "C:\\Users\\Aluno.Labest-01\\Desktop\\Resultados\\Resultados1\\dados1.CSV", row.names = F,sep="\t")

Apêndice B

/ *m a c r o p a r a i m p o r t a r os d a d o s* / %m a c r o I m p o r t a r(i n p u t) ; p r o c i m p o r t out=d a d o s f i l e=&i n p u t d b m s=tab r e p l a c e; run; d a t a f i n a l; s t o p; run; %m e n d; / *m a c r o e x e c u t a r o m t o d o da e n t r o p i a m x i m a g e n e r a l i z a d a* / %m a c r o E n t r o p i a; %do i n d e x = 1 %to &v a r C o u n t; ods o u t p u t P a r a m e t e r E s t i m a t e s=t e s t e;

p r o c e n t r o p y d a t a=d a d o s(w h e r e=(id=& &v a r V a l& i n d e x.) ) ; m o d e l y=a b c d ab ac ad bc bd cd abc abd acd bcd a b c d; run; d a t a f i n a l; set f i n a l t e s t e; run; %end; %m e n d;

(36)

Referências 35 / *d a d o s 1* / / *i m p o r t a n d o os d a d o s* / %I m p o r t a r("C:\U s e r s\A l u n o.Labest- 0 1 \D e s k t o p\R e s u l t a d o s\ R e s u l t a d o s 2\d a d o s 1.txt") / * s e l e o de c a d a r e p e t i o de a c o r d o com o id* / p r o c sql n o p r i n t; s e l e c t s t r i p(put(c o u n t(d i s t i n c t id) ,15.) ) i n t o : v a r C o u n t f r o m d a d o s; s e l e c t d i s t i n c t id i n t o :va r Va l 1- :v a r V a l&v a r C o u n t f r o m d a d o s; q u i t; / *e x e c u o do m a c r o p a r a f a z e r a e n t r o p i a* / %E n t r o p i a; / *e x p o r t a n d o o r e s u l t a d o da e n t r o p i a* / p r o c e x p o r t d a t a=f i n a l o u t f i l e= "C:\U s e r s\A l u n o.L a b e s t\D e s k t o p\R e s u l t a d o s\ R e s u l t a d o s 2\R e s u l t E n t r o p i a 1.txt" d b m s=tab r e p l a c e l a b e l; run;

Apêndice C

### função para utilizar o código de Russel_Lenth

source("C:\\Users\\ruand\\OneDrive\\Área de Trabalho\\Final\\Russel_Lenth.r")

###vetores para armazenar os resultados v1=vector()

v2=vector() v3=vector() v4=vector()

###função para calcular a quantidade dos erros utlizadando o metodo de lenth ###parâmetro dados= matrix com os contraste e a variável respotas

(37)

Referências 36 lenth=function(dados){ a=1 b=16 res=vector() res1=vector() aux=vector() for(i in 1:500){ aux=dados[a:b,] res=(dados[,2:16]*dados[,17])/8 res1=rbind(res1,res) a=a+16 b=b+16 print(i) } a=1 b=16 res=vector() dim(res1) head(res1) efeitos=vector() for(i in 1:500){ efeitos=rbind(efeitos,apply(res1[a:b,],2,sum)) res=rbind(res,plot.con(efeitos[i,])) a=a+16 b=b+16 print(i) } head(res) head(efeitos) dim(efeitos) final=vector() for(i in 1:15){ final[i]=sum(efeitos[,i]>res[,2]) } return(final) } ####importando os dados

(38)

Referências 37

d=read.table("C:\\Users\\ruand\\OneDrive\\Área de Trabalho\\Final\\0,25\\Resultados1\\Dados1.txt",head=T,sep="\t")

###executando a função v1=lenth(d)

Apêndice D

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A e B como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada. Efeitos 1σ₂ 2σ₂ 3σ₂ 4σ₂ 5σ₂ A 31,6 10,6 2,0 0,0 0,0 B 25,0 8,0 1,2 0,0 0,0 C 55,2 48,2 46,0 36,8 32,4 D 54,6 43,4 43,6 37,0 32,6 AB 53,8 50,2 45,6 36,6 35,4 AC 50,6 49,8 45,8 42,2 34,2 AD 52,2 48,2 45,8 35,6 35,0 BC 53,0 50,6 44,2 41,2 31,0 BD 57,2 50,6 39,8 35,8 31,4 CD 51,0 45,4 39,8 36,8 35,0 ABC 49,6 42,2 39,6 37,6 29,8 ABD 54,4 48,8 46,4 42,4 36,4 ACD 52,2 49,8 37,6 35,2 33,2 BCD 53,4 52,0 40,4 37,8 35,8 ABCD 57,2 50,0 40,2 39,0 27,6

(39)

Referências 38

Tabela - Porcentagem de erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B e C como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada. Efeitos 1σ₂ 2σ₂ 3σ₂ 4σ₂ 5σ₂ A 31,4 11,0 2,4 0,0 0,0 B 29,6 7,8 2,0 0,2 0,0 C 26,6 8,8 1,6 0,0 0,0 D 54,2 47,4 37,6 27,6 26,8 AB 56,2 41,8 33,6 30,8 25,8 AC 52,2 44,2 40,6 29,6 21,6 AD 51,4 44,8 38,8 28,0 22,4 Bc 50,8 44,4 39,0 28,6 30,0 BD 52,8 44,2 36,8 27,4 28,4 CD 53,4 43,8 41,6 28,2 22,8 ABC 51,0 43,8 36,0 30,2 23,6 ABD 51,0 43,8 37,8 30,4 24,0 ACD 52,0 47,4 34,0 29,2 23,2 BCD 52,8 45,6 34,4 30,4 25,6 ABCD 52,4 46,2 36,0 27,6 27,8

Tabela - Porcentagem de erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C e D como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada.

Efeitos 1σ₂ 2σ₂ 3σ₂ 4σ₂ 5σ₂ A 30,6 8,8 1,6 0,0 0,2 B 31,8 10,4 2,2 0,0 0,0 C 31,2 8,0 1,8 0,2 0,0 D 31,8 11,2 1,6 0,0 0,0 AB 53,6 40,0 33,0 27,2 18,4 AC 51,0 41,0 31,8 24,6 15,2 AD 50,2 44,4 31,0 24,6 17,2 BC 50,2 39,4 34,8 21,4 19,8 BD 48,0 42,6 33,2 23,2 19,0 CD 52,8 44,4 29,8 24,0 16,6 ABC 51,8 43,0 36,0 24,6 14,8 ABD 51,4 43,4 25,4 23,8 16,4 ACD 51,0 42,4 32,0 27,4 20,4 BCD 50,2 39,6 33,6 23,8 18,0 ABCD 49,6 40,4 32,6 22,0 19,6

(40)

Referências 39

Tabela - Porcentagem de do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C, D e AB como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada.

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A e B efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada. Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ A 8,2 0,2 0,0 0,0 0,0 B 8,0 0,0 0,0 0,0 0,0 C 46,6 33,2 32,6 26,2 18,6 D 46,8 34,2 30,2 20,2 17,2 AB 51,6 35,0 31,2 24,8 20,2 AC 51,0 36,8 28,2 22,8 18,0 AD 51,0 35,8 28,4 21,8 21,0 BC 47,8 37,8 29,2 22,8 19,0 BD 42,8 37,8 29,4 24,0 19,8 CD 46,6 35,0 33,2 19,8 17,4 ABC 50,0 39,4 28,8 22,4 21,8 ABD 48,0 34,4 31,4 25,2 19,4 ACD 49,6 37,4 28,8 22,0 19,6 BCD 49,0 34,6 29,8 25,2 19,0 ABCD 50,6 38,8 31,6 28,4 19,2

(41)

Referências 40

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B e C efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada. Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ A 9,8 0,0 0,0 0,0 0,0 B 9,4 0,4 0,0 0,0 0,0 C 9,4 0,2 0,0 0,0 0,0 D 42,6 32,0 19,4 14,8 9,8 AB 45,8 34,0 20,6 14,8 9,6 AC 42,6 33,0 19,2 17,2 10,0 AD 43,8 30,8 24,0 14,4 9,8 BC 48,4 25,0 18,6 15,4 9,8 BD 44,2 30,8 19,6 16,2 10,6 CD 45,6 33,4 20,6 17,0 9,6 ABC 47,0 32,4 21,8 13,6 11,6 ABD 45,2 29,4 25,8 13,4 13,0 ACD 44,0 29,6 18,6 12,0 8,8 BCD 41,8 31,2 20,8 15,2 11,6 ABCD 41,8 32,0 19,8 15,2 9,8

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C e D efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada. Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ A 11,8 0,4 0,0 0,0 0,0 B 11,6 0,0 0,0 0,0 0,0 C 10,8 0,0 0,0 0,0 0,0 D 12,8 0,6 0,0 0,0 0,0 AB 38,6 25,6 11,8 5,4 2,8 AC 39,0 24,0 13,2 9,0 2,6 AD 41,6 25,0 13,8 7,6 2,8 BC 41,8 20,8 12,0 8,8 3,4 BD 40,4 22,4 12,0 7,0 4,2 CD 37,2 24,2 13,0 6,2 3,8 ABC 41,0 23,6 13,2 6,8 3,0 ABD 40,2 26,6 15,8 8,6 5,2 ACD 43,2 20,4 14,0 8,2 3,8 BCD 42,8 22,6 14,2 6,6 2,8 ABCD 41,8 25,8 13,2 7,4 3,6

(42)

Referências 41

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do erro do tipo 2 considerando A, B, C, D e AB efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método da entropia máxima generalizada. Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ A 14,2 0,2 0,0 0,0 0,0 B 14,2 0,2 0,0 0,0 0,0 C 11,4 0,8 0,0 0,0 0,0 D 12,4 0,4 0,0 0,0 0,0 AB 12,8 0,2 0,0 0,0 0,0 AC 34,0 20,0 7,8 3,0 0,6 AD 39,2 17,8 7,0 3,4 1,4 BC 36,0 20,6 8,4 3,0 0,4 BD 36,2 19,6 8,0 2,8 0,2 CD 32,8 18,6 7,0 2,6 1,0 ABC 44,6 18,4 6,4 2,6 1,0 ABD 38,0 17,4 8,4 2,8 0,6 ACD 39,0 17,2 8,8 2,8 0,8 BCD 40,6 20,2 8,2 5,0 0,4 ABCD 39,4 20,2 5,6 2,8 0,6

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A e B efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.

Efeitos 1σ 2 2 σ 2 3 σ 2 4 σ 2 5 σ 2 A 98,2 94,2 83,2 61,6 33,0 B 98,6 92,6 84,6 58,6 33,6 C 0,40 0,60 0,20 0,80 0,20 D 0,20 0,20 0,20 0,20 0,00 AB 0,80 0,00 0,40 0,20 0,20 AC 0,20 0,00 0,40 0,40 0,20 AD 0,00 0,00 0,00 0,20 0,40 BC 0,40 0,40 0,20 0,40 0,20 BD 0,40 0,40 0,00 0,00 0,20 CD 0,20 0,20 0,00 0,40 0,20 ABC 0,40 0,20 0,40 0,40 0,00 ABD 0,20 0,20 0,00 0,20 0,20 ACD 1,00 0,20 0,20 0,00 0,20 BCD 0,20 0,40 0,00 0,00 0,00 ABCD 0,00 0,20 0,20 0,20 0,00

(43)

Referências 42

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B e C efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2, considerando A, B, C e D efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.

Efeitos 1σ₂ 2σ₂ 3σ₂ 4σ₂ 5σ₂ A 98,60 96,8 88,4 67,6 44,2 B 98,00 95,0 87,8 69,8 43,8 C 98,60 95,2 88,8 66,0 44,0 D 99,00 96,4 88,6 67,0 44 ,0 AB 0,00 0,20 0,00 0,20 0,20 AC 0,20 0,00 0,00 0,00 0,40 AD 0,00 0,00 0,00 0,00 0,60 BC 0,20 0,00 0,00 0,00 0,00 BD 0,00 0,00 0,00 0,00 0,20 CD 0,00 0,00 0,20 0,20 0,00 ABC 0,40 0,00 0,00 0,20 0,00 ABD 0,20 0,00 0,00 0,00 0,20 ACD 0,00 0,00 0,40 0,20 0,00 BCD 0,20 0,00 0,20 0,00 0,60 ABCD 0,40 0,00 0,00 0,00 0,00

(44)

Referências 43

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2, considerando A, B, C, D e AB efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A e B como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.

Efeitos 1σ 2σ 3σ 4σ 5σ A 90,4 58,0 18,8 1,4 0,0 B 93,8 55,4 18,2 1,6 0,0 C 0,40 0,20 0,40 0,40 0,20 D 0,00 0,80 0,00 0,40 0,00 AB 0,00 0,60 0,00 0,60 0,20 AC 0,20 0,20 0,20 0,80 0,20 AD 0,20 0,20 0,20 0,00 0,40 BC 0,00 0,80 0,00 0,40 0,40 BD 0,20 0,00 0,60 0,40 0,20 CD 0,20 0,40 0,60 0,00 0,60 ABC 0,00 0,00 0,20 0,20 0,40 ABD 0,20 0,00 0,20 0,00 0,00 ACD 0,40 0,20 0,20 0,40 0,00 BCD 0,20 0,60 0,40 0,20 0,20 ABCD 0,40 0,40 0,20 0,20 0,60

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Referências 44

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B e C como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B, C e D como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.

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Referências 45

Tabela - Porcentagem do erro do tipo 1 e do tipo 2 considerando A, B, C, D e AB como efeitos principais ativos, de acordo com a magnitude do efeito, para o método de Lenth.