Distribuições Discretas de
Probabilidades
Ementa:
5.1 – Introdução
5.2 – Distribuição Binomial 5.3 – Distribuição de Poisson
5.1 – Introdução
Como vimos na unidade 4, as distribuições de probabilidade nos dão a probabilidade de ocorrência de cada valor de uma determinada variável aleatória, e possuem como condições de existência:
-Somatório das probabilidades é igual a 1;
-A probabilidade de ocorrência de cada valor de x é
um número entre 0 e 1.
Nesta unidade, estudaremos duas distribui-ções de probabilidades de variáveis aleató-rias discretas de grande aplicação prática e suas características. Estas distribuições são:
-Distribuição Binomial, que trata de contagem de
sucessos em experimentos;
-Distribuição de Poisson, que trata de contagem de
eventos em um meio contínuo.
Existem diversas outras distribuições discretas, tais como: Uniforme, Pascal, Geométrica, Multinomial e Hipergeométrica.
5.2 – Distribuição Binomial
Nesta seção, veremos como determinar as probabilidades para uma categoria importante de distribuição de probabilidades: Os experimentos Binomiais.
Esses experimentos têm a característica de apresentarem exatamente dois resultados complementares: em processos industriais, as peças falham ou não falham. Na medicina, um paciente vive ou morre. Em propaganda, um consumidor reconhece um produto, ou não.
Um experimento binomial satisfaz as seguintes condições:
1. O experimento deve comportar um número fixo de provas.
2. As provas devem ser independentes (o resultado de uma prova não afeta as probabilidades das outras provas).
3. Cada prova deve ter todos os resultados classificados em duas categorias.
4. As probabilidades devem permanecer constantes para cada prova.
Notação para a Distribuição Binomial:
S e F (sucesso e falha) denotam as duas cate-gorias possíveis de todos os resultados.
p e q denotam as probabilidades de S e F.
P(S)=p P(F)=1-p=q
n = denota o número fixo de provas;
x = denota o número de sucessos em n provas; p = prob. de sucesso em 1 das n provas;
q = prob. de falha em 1 das n provas;
P(x)=prob. de se obter exatamente x sucessos em n provas.
Exemplo:
Dado que 10% das pessoas são canhotas, suponha que queiramos achar a probabilidade de se obter exatamente 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 estudantes.
a. Trata-se de um experimento binomial?
b. Em caso afirmativo, identifique os valores de n, x, p e q.
Solução:
a. Verificando as condições para um experimento binomial:
1. O número de provas (15) é fixo.
2. As provas são independentes. O fato de um estudante ser canhoto ou destro não afeta a probabilidade de outro estudante ser canhoto.
3. Cada prova tem duas categorias (um estudante é canhoto ou não).
4. A probabilidade (0,10) é constante.
b. Como o experimento é binomial, temos:
1. Com 15 estudantes em uma turma, n = 15.
2. Queremos 3 estudantes canhotos (sucesso), assim x = 3.
3. A probabilidade de um estudante ser canhoto é 0,10 e, assim, p=0,10.
4. A probabilidade de falha (não canhoto) é 0,9, logo q = 0,9.
Como determinar então a probabilidade em um experimento binomial?
Estudaremos 2 métodos nesta unidade:
-Cálculos com a fórmula da probabilidade;
-Utilização da tabela de probabilidades binomiais.
A fórmula da probabilidade:
Em um experimento binomial, as probabili-dades podem ser calculadas utilizando-se a fórmula da probabilidade binomial:
com: P(x) = prob. de x sucessos em n provas n = número de provas
x = número de sucessos
p = prob. de sucesso em qualquer prova q = prob. de falha em qualquer prova
5 – Distribuições Discretas
x n x q p x x n n x P . . ! )!. ( ! ) (Nesta fórmula, repare que:
Portanto, ela também pode ser escrita como:
Alguns autores ainda preferem:
Na prática, todas as fórmulas são iguais e produzem o mesmo resultado.
5 – Distribuições Discretas
! )!. ( ! x x n n Cx n x n x x nC p q x P( ) . . x n x p p x n x P . .(1 ) ) (Utilização da tabela de probabilidades:
Em alguns casos, podemos achar facilmente as probabilidades binomiais recorrendo a uma tabela de probabilidades binomiais. Nesta tabela, localiza-se inicialmente o valor de n, em seguida o valor de x e procura-se na tabela na coluna da respectiva probabilidade p, como mostrado abaixo.
No slide a seguir é mostrado um exemplo de tabela para n=15 e p=0,10.
Em tabelas maiores, existem diversos valores de n, cada um dos
quais com as diversas
probabilidades p mostradas conforme o exemplo ao lado.
5 – Distribuições Discretas
n x p 0,10 15 0 0,206 1 0,343 2 0,267 3 0,129 4 0,043 5 0,010 6 0,002 7 0+ 8 0+ 9 0+ 10 0+ 11 0+ 12 0+ 13 0+ 14 0+ 15 0+Exemplo:
Aplicando a fórmula da probabilidade binomial, determine a probabilidade de se obter 3 estudantes canhotos em uma turma de 15 alunos, dado que 10% da população são canhotos.
Solução:
Dos dados fornecidos, temos: n=15
x= 3
p=0,10 e q = 1 – 0,10 = 0,90
Portanto, temos:
Então, há a probabilidade de 12,9% de que hajam 3 estudantes canhotos em uma sala.
Nota: Somente arredonde os valores no final do cálculo, para evitar erros.
5 – Distribuições Discretas
129 , 0 282429536 , 0 . 001 , 0 . 455 ) 3 ( 9 , 0 . 001 , 0 . ! 3 !. 12 ! 12 . 13 . 14 . 15 ) 3 ( 9 , 0 . 10 , 0 . ! 3 )!. 3 15 ( ! 15 ) 3 ( . . ! )!. ( ! ) ( 12 3 15 3 P P P q p x x n n x P x n xExemplo:
Refaça o exemplo anterior, utilizando a tabela para resolver o problema.
Solução:
Localizamos n=15 na tabela dada, em seguida, localizamos x=3 e lemos o valor da probabilidade diretamente da coluna de p=0,10 na tabela, obtendo então:
P(3) = 0,129
Em muitos cálculos, as probabilidades solicitadas são compostas de várias probabilidades, como no exemplo abaixo:
Exemplo:
Qual a prob. de se obter pelo menos 3 alunos canhotos em uma turma de 15 alunos?
Solução:
Este cálculo (pelo menos 3), exige que se conheçam todas as probabilidades para x igual a 3 até 15, para que somadas seja encontrada a probabilidade de pelo menos 3.
Traduzindo em números:
P(pelo menos 3) = P(3)+P(4)+P(5)+...+P(15)
P(pelo menos 3)= 0,129+0,043+0,010+0,002 +0+0+0+0+0+0+0+0+0 = 0,184
Outra forma de calcular:
P(pelo menos 3) = 1 – P(menos que 3)
P(pelo menos 3) = 1 – (P(0)+P(1)+P(2))
P(pelo menos 3) = 1 – (0,206+0,343+0,267) P(pelo menos 3) = 1 – 0,816 = 0,184
Em muitos cálculos, é mais fácil trabalhar com a segunda forma de cálculo.
Média, variância e desvio padrão da distribuição binomial:
Na unidade 6, vimos as fórmulas gerais para o cálculo da média, desvio padrão e variância de uma distribuição de probabilidades qualquer:
5 – Distribuições Discretas
x.P(x)
2 2
2
2 2 ] ) ( . [ ou )] ( . [
x P x
x P x 2 2 2 ))] ( . ( [ ou )] ( . ) [(
x P x
x P x Para uma distribuição binomial, as fórmulas podem ser simplificadas para:
Média (ou valor esperado):
Variância: Desvio padrão:
5 – Distribuições Discretas
p n. q p n .. 2 q p n .. Exemplo:
Qual o número de canhotos esperado para uma sala de aula com 15 alunos, sabendo que a probabilidade de alguém ser canhoto é de 0,10?
Solução:
Sabendo que n=15 e p=0,10, temos:
5 – Distribuições Discretas
5 , 1 1 , 0 . 15 . n p 35 , 1 9 , 0 . 1 , 0 . 15 . . 2 q p n 161895 , 1 35 , 1 . . n p q 5.3 – Distribuição de Poisson
A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de probabilidade, aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo especificado. A variável aleatória x é o número de ocorrências do evento em um intervalo. O intervalo pode ser o tempo, a distância, a área, o volume ou outra unidade contínua análoga.
Ela é utilizada também como modelo matemático da chegada de pessoas em filas.
A probabilidade de Poisson pode ser encontrada com a seguinte fórmula:
Onde:
x = número de ocorrências da variável aleatória em um determinado intervalo.
µ = média de ocorrências da variável aleatória pela unidade do intervalo. e = 2,71828....
5 – Distribuições Discretas
! . ) ( x e x P x A distribuição de Poisson exige:
-Que a variável aleatória x seja o número de
ocorrências de um evento em um intervalo.
-Que as ocorrências sejam aleatórias.
-Que as ocorrências sejam independentes umas das
outras.
-Que as ocorrências sejam distribuídas uniformemente sobre o intervalo considerado.
A distribuição de Poisson tem os seguintes parâmetros:
-Média µ
-Desvio padrão σ=√ µ
Ela difere da distr. Binomial em 2 aspectos:
1 – A distr. Binomial é afetada pelo tamanho amostral n e pela prob. p, enquanto que a distr. de Poisson é afetada apenas pela média µ.
2 – Em uma distr. Binomial, x pode variar de 0 a n, enquanto que na de Poisson não há limite superior.
Exemplo:
Para fins de análise dos impactos das bombas V-1 na Segunda Guerra Mundial, o sul de Londres foi subdividido em 576 regiões com área de 0,25km2 cada. A área conjunta das 576 regiões foi atingida por 535 bombas.
Escolhida aleatoriamente uma região, determine a probabilidade de ela ter sido atingida exatamente 2 vezes.
Solução:
Aplica-se a distribuição de Poisson porque estamos em face de ocorrências de impactos de bombas no intervalo de uma região. O número médio de impactos por região é:
µ=535/576=0,929
Como queremos a probabilidade de dois impactos em uma região, fazemos x=2 na fórmula:
5 – Distribuições Discretas
170 , 0 2 395 , 0 . 863 , 0 ! 2 . 929 , 0 ! . ) ( 929 , 0 2 e x e x P x Às vezes, utiliza-se a distribuição de Poisson como aproximação da distribuição binomial, quando n é grande e p é pequeno. Uma regra empírica consiste em utilizar esta aproximação quando n ≥ 100 e n.p ≤ 10. Ao utilizarmos a distribuição de Poisson como aproximação da binomial, podemos achar o valor da média com a fórmula µ=n.p.
Exemplo:
Apostando no número 7 em uma roleta de cassino, tem-se a probabilidade de ganhar igual a 1/38. Suponha que apostemos no número 7 em cada uma das 500 rodadas.
a. Determine o número médio de ganhos em tais experimentos.
b. Determine a probabilidade do número 7 ocorrer exatamente 13 vezes.
Solução: Não dá para utilizarmos a fórmula da distr. Binomial, pois n! = 500!, e as calculadoras não fazem esta conta.
Mas n =500 e n.p=13,158 (quase satisfaz a condição empírica, portanto, podemos usar a distr. de Poisson para aproximar). Assim:
Comparando com P(13)=0,111, vemos que o erro cometido é muito pequeno.
