BIOESTATÍSTICA
UNID
ADE 6
CÁCULO DAS PROBABILIDADES
Todas as vezes que se estudam fenômenos de observação, cumpri-se distinguir o próprio fenômeno e o modelo matemático (determinístico ou probabilístico), que melhor o explica.
Os fenômenos estudados pela estatística, são fenômenos que estão sujeitos ao acaso (fenômenos aleatórios), porque mesmo em condições normais de experimentação variam de uma observação para outra.
Para fenômenos aleatórios adotar-se-á um modelo matemático probabilístico chamado de: Cálculo das Probabilidades. Este é o objeto de estudo de nossa unidade.
OBJETIVO DA UNIDADE:
Caracterizar os experimentos aleatórios calcular as possibilidades de acontecimento de tais experimentos, a chance de um evento ocorrer ou não, ou seja, a probabilidade de sucesso ou insucesso.
PLANO DA UNIDADE:
• Caracterização de um experimento aleatório • Espaço amostral
• Evento
• Eventos mutuamente exclusivos • Definição de Probabilidade • Principais teoremas
• Probabilidades finitas dos espaços amostrais finitos • Espaços amostrais finitos equiprováveis
• Probabilidade condicional • Teorema do produto • Independência estatística
CARACTERIZAÇÃO DE UM EXPERIMENTO ALEATÓRIO
A fim de se entender melhor a caracterização dos experimentos, convém observar o que há de comum nos seguintes experimentos:
Retirar uma carta de um baralho de 52 cartas e observar o seu naipe. Retirar com ou sem reposição, bolas de uma urna, que contém 5 bolas brancas e 6 pretas.
Jogar um dado e observar o número mostrado na face de cima. A análise desses experimentos revela:
a) cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições;
b) não se conhece um particular valor do experimento a priori, porém podem-se descrever todos os possíveis resultados – as probabilidades.
c) quando o experimento for repetido um grande número de vezes, surgirá uma regularidade, isto é, haverá uma estabilidade da fração f = r/n (freqüência relativa), em que n é o número de repetições e r o número de sucesso de um particular resultado estabelecido antes da realização.
Como veremos adiante, a característica (c) é de fundamental importância para a avaliação da probabilidade de certo evento.
ESPAÇO AMOSTRAL
Para cada experimento , define espaço amostral S o conjunto de todos os possíveis resultados desse experimento.
a) Jogar um dado e observar o número da face de cima.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) jogar duas moedas e observar o resultado.
S = {(ca, ca); (ca, co); (co, ca); (co, co)}, onde ca = cara e co = coroa.
o símbolo significa ex-perimento.
EVENTO
É um conjunto de resultados do experimento, isto é, um subconjunto de S. Inclusive e o próprio S.
Usando as operações com conjuntos, podemos formar novos eventos. Assim:
· É o evento que ocorre se pelo menos um deles ocorrer.
· É o evento que ocorre se ambos ocorrerem simultaneamente.
· É o evento que ocorre se A não ocorre.
a) jogar três moedas e observar o resultado.
S = {(ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca); (co, ca, ca); ( co, co, ca); (co, ca, co); (ca, co, co); (co, co, co)}
A = Evento ocorrer pelo menos duas caras.
A = {(ca, ca, ca); (ca, ca, co); (ca, co, ca) ; (co, ca, ca)}
b) lançar um dado e observar o número da face de cima.
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
B = Evento ocorrer número par. B = {2, 4, 6}
Sendo S um espaço amostral finito com n elementos, pode-se verificar
que o número total de eventos extraído de S é 2n.
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
Dois eventos A e B são ditos mutuamente exclusivos se A e B não puderem ocorrer simultaneamente, isto é, .
jogar um dado e observar o resultado S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A ocorrer número par – {2, 4, 6}
B ocorrer número ímpar – {1, 3, 5}
Eventos mutuamente exclusivos ou disjuntos.
DEFINIÇÃO DE PROBABILIDADE
Dado um experimento aleatório e S o espaço amostral, a probabilidade de um evento, Pr(A) é uma função definida em S, que associado a cada evento um número real, satisfaz os seguintes axiomas:
·
· Pr(S) = 1
EXEMPLIFICANDO
EXEMPLIFICANDO
PRINCIPAIS TEOREMAS
· P( ) = 0
·
· Se logo Pr(A) Pr(B)
·
Até o momento, já postulamos a existência do número Pr(A) e temos várias propriedades associadas a ele, mas não mencionamos como calcular Pr(A).
A freqüência relativa será de grande valor para aproximarmos o cálculo
de Pr(A). Nota-se que não se está afirmando que fA é a mesma coisa que
Pr(A). Mesmo que a aproximação seja grosseira, em nada abalará a lógica do modelo estabelecido acima.
PROBABILIDADES FINITAS DOS ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS
Seja S um espaço amostral finito S= {a1, a2, ..., an}. Considera-se o
evento formado por um resultado simples A = {ai}.
A cada evento simples {ai}, associa-se um número pi denominado de
probabilidade de {ai}, satisfazendo as seguintes condições:
· pi 0, onde i = 1, 2, ..., n · p1 + p2 + ...+ pn = 1
A probabilidade Pr(A) de cada evento composto (mais de um evento) é então definida pela soma das probabilidades dos pontos de A.
Três cavalos A, B e C estão em uma corrida. A probabilidade de A ganhar a corrida é duas vezes mais do que B; e B tem duas vezes mais probabilidades de ganhar a corrida do que C. Quais são as probabilidades de vitória de cada um? Solução: Pr(C) = p Pr(B) = 2p Pr(A) = 4p p + 2p + 4p = 1
ESPAÇOS AMOSTRAIS FINITOS EQUIPROVÁVEIS
Quando se associa a cada ponto amostral a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável. Em particular se S contém n pontos, então a probabilidade de cada ponto será .
Este método de avaliar Pr(A) é teoricamente enunciado da seguinte maneira:
Escolhe-se aleatoriamente (a expressão “aleatória” indica que o espaço amostral é equiprovável), uma carta de um baralho que contém 52 cartas.
Vale lembrar que um baralho possui 4 naipes, cada naipe possui 13 cartas onde 13x4 = 52 cartas. As figuras são: Dama, Rei e Valete, considerando os 4 naipes, temos 12 figuras, pois 3x4=12.
Em muitos problemas, o cálculo das
probabilidades de um evento reduz-se a um problema de contagem. Assim é que a análise combinatória (teoria da contagem), tem fundamental importância para se contar o número de casos favoráveis e possíveis.
Num lote de 12 peças 4 são defeituosas, duas peças são retiradas aleatoriamente. Calcular:
a) a probabilidade de ambas serem defeituosas;
b) a probabilidade de ambas não serem defeituosas;
c) a probabilidade de ao menos uma ser defeituosa.
Solução:
a) A = ambas serem defeituosas. A pode ocorrer
S pode ocorrer
EXEMPLIFICANDO
DICA
Logo a probabilidade de ambas serem defeituosas é:
b) B = Ambas não serem defeituosas. B pode ocorrer
S pode ocorrer
Logo a probabilidade de ambas não serem defeituosas é:
c) C = ao menos uma ser defeituosa. C = ou seja, Pr(C) = Pr( )
Pr( ) = 1 – Pr(B) como já conhecemos Pr(B) que é a probabilidade de ambas não serem defeituosas, temos que:
Vimos, com este exemplo, a necessidade de utilizamos análise combinatória. Precisamos, através da combinação, calcular o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis. Sem o auxílio da teoria de contagem, não seria possível.
PROBABILIDADE CONDICIONAL
Seja Lançar um dado
A = saia o número 3 Pr(A) = 1/3
B = saia número impar Pr(B) = 1/2
É de grande importância para o cálculo das probabilidades se calcular a probabilidade condicional. Neste exemplo, podemos estar querendo a probabilidade do evento A condicionada ao evento B, isto é:
Pr(A/B) (Lê-se: probabilidade de A condicionada a B ou
probabilidade de A dado B). Assim, Pr(A/B) = 1/3
Podemos observar que na probabilidade condicional, há uma redução no espaço amostral, pois neste caso passamos de S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} para S’ = {1, 3, 5} e é neste espaço que calcularmos a probabilidade condicional.
DEFINIÇÃO:
Podemos constatar que P(A/B) assim definida satisfaz os axiomas de probabilidades já mencionadas.
Seja Lançar dois dados A = {(x1, x2)} / x1 + x2 = 10 B = {(x1, x2)} / x1 > x2
Avaliar Pr(A), Pr(B), Pr(A/B) e Pr(B/A)
(ocorrências: (5,5); (4,6) e (6,4))
TEOREMA DO PRODUTO
A partir da probabilidade condicional, podemos calcular a probabilidade de dois eventos simultaneamente.
Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas, duas peças são retiradas, uma após a outra sem reposição. Qual a probabilidade de ambas serem defeituosas?
A = a primeira ser defeituosa. B = a segunda ser defeituosa.
INDEPENDÊNCIA ESTATÍSTICA
Um evento A é considerado independente de um outro evento B, se a probabilidade de A for igual à probabilidade condicionada de A dado B, isto é, se Pr(A) = Pr(A/B). É evidente que se A é independente de B, B é independente de A, isto é, Pr(B) = Pr(B/A).
Teorema:
Se A e B são independentes, então: Pr(A B) = Pr(A). Pr(B).
Dado n eventos A1, A2, ..., An, diz-se que eles são independentes se
forem 2 a 2, 3 a 3, n a n, isto é:
Lançar um dado duas vezes.
A tirar face 5 no primeiro lançamento.
B tirar soma 7. C tirar soma 8. Pr(A) = 6/36 = 1/6 Pr(B) = 6/36 = 1/6 Pr(C) = 5/36 Pr(AB) = 1/36 Pr(AC) = 1/36
Pr(A B) = P(A) . P(B) A e B são independentes.
Pr(A C) P(A) . P(C) A e C não são independentes.
É HORA DE SE AVALIAR!
Não esqueça de realizar as atividades desta unidade de estudo, presentes no caderno de exercício! Elas irão ajudá-lo a fixar o conteúdo, além de proporcionar sua autonomia no processo de ensino-aprendizagem. Caso prefira, redija as respostas no caderno e depois as envie através do nosso ambiente virtual de aprendizagem (AVA). Interaja conosco! Nesta unidade, aprendemos como caracterizar um experimento aleatório e como descrever e calcular os possíveis resultados de um fenômeno. Na próxima unidade, veremos duas distribuições de probabilidade. As distribuições Binomial e Normal.
