Apostila de estatistica

(1)

ETEC Augusto Tortolero Araujo

CÁLCULOS ESTATÍSTICOS

2º MOD- ADM

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BASES TECNOLÓGICAS

1. Fases do método estatístico:

coleta de dados; apuração dos dados; análise dos resultados 2. População e amostragem 3. Dados absolutos e dados relativos: porcentagens; índices econômicos; coeficientes; taxas 4. Gráficos estatísticos: curvas, barras e setores. 5. Medidas de posição: média aritmética; moda; mediana 6. Estudo da Probabilidade. 7. Medida de dispersão – Amplitude total: coleta de dados; apuração dos dados; análise dos resultados; estimação; inferência estatística e estimação; inferência da média populacional – desvio padrão populacional desconhecido e população infinita;

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amostragem de populações finitas; estimação da proporção em uma população; determinação e regressão linear; curva Gauss Critérios de Avaliação: 2 avaliações escritas; Assiduidade; Interação/Colaboração; Trabalho em grupo.

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1 – Fases do método estatístico

Definição da palavra Estatística - do latim STATUS que significa, estado. 1º fase: Estados ordenam estudo para melhor conhecer a população.

2º fase: Analise de observações numéricas de saúde pública, nascimentos, mortes, etc. 3º fase: Leis quantitativas para traduzir fenômenos sociais e políticos.

4º fase: Cálculo de probabilidade e desperdícios de diversas áreas com a estatística.

Evolução:

➢ – Inicio do século XX – uso de gráficos e tabelas.

➢ A estatística aplicada a administração recebeu novo impulso com a aplicação de conceitos como população X amostras, censos demográficos, etc.

➢ A estatística tornou-se pouco a pouco, instrumento indispensável na análise e na síntese de situações e pressões relativas a campos muito diversos.

Importância:

➢ A estatística é caracterizada atualmente como: “” Ciencia – que dispõe de processos apropriados para recolher, organizar, classificar, analisar e interpretar conjuntos de dados.”.

Aplicações:

➢ A estatística busca extrair informações dos dados para obter melhor compreensão das situações que representam.

Conceitos Estatístico Fundamentais População:

➢ Conjunto de todos os dados possíveis de serem analisadas;

Amostras:

➢ Sub-conjuntos da população. Realiza-se a amostragem quando o nº do individuo em uma população é muito alto;

➢ População X amostra = Confiabilidade? ➢ Amostras = tendenciosos?

Variáveis:

➢ Características que podem ser analisados em uma amostra ou população. Exemplo: nº de funcionários, idades valores de notas fiscais, etc.

A Variável pode ser:

➢ A) Qualitativa: quando expressa uma qualidade ou atributo. Exemplo sexo, religião, estado civil, etc.

➢ B) Quantitativa: quando expressa um valor numérico. Exemplo: falta de funcionários, nº de peças defeituosas, etc.

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A variável quantitativa pode ser:

B – 1) Discreto: quando assume apenas valores inteiros. Ex: nº de funcionários, idade, etc.

B – 2) Contínua: quando assume qualquer valor não inteiro. Ex. nº de salários mínimos pagos, altura das pessoas etc.

Arredondamento de dados.

De acordo com a NBR 5891 (ABNT) e Resolução 886 (IDGE):

a) Valores terminados em 0,1,2,3 ou 4 fica inalterado o ultimo a permanecer. Ex: 10,23 = 10,2 589,32 = 589,3

b) Valores terminados em 5,6,7,8 ou 9 acrescenta-se uma inidade ao algarismo a permanecer.

Ex: 10,28=10,3 589,35= 589,4

Dados absolutos e dados relativos: Construção de tabelas estatísticas:

A confecção de tabelas estatísticas, segue normatizações da ABNT e apresenta alguns componentes obrigatórios:

1 – título – expressa, em poucas palavras o que a tabela contém. 2 - Cabeçalho – indica o conteúdo de cada coluna;

3 –Coluna indicadora - exprime as variáveis; 4 – Campo da tabela – todas as colunas;

1 Exemplo: tabela 1: Valores em dólares dos principais produtos que o Brasil vende a Argentina.

Representação da amostra – População.

Como observado anteriormente, a Estatística tem como objetivo encontrar leis de comportamento para um conjunto de dados á partir da sintetizarão de valores, sob a forma de tabelas gráficas e medidas.

Produtos Valores % Automóveis 606 27,3 Veiculos de carga 541 24,4 Auto peças 531 23,9 Motores 264 11,9 Minérios 148 6,7 Tratores 130 5,9 Total 2220 100%

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A seguir serão apresentadas os procedimentos para a construção de:

Distribuição de frequência: As tabelas mais utilizadas no âmbito da Estatística – Descritiva.

1 - Dados Brutos: São dados coletados e que não expressam nenhum tipo de organização.

No exemplo será utilizado como variável o número de salários mínimos que um grupo de pessoas recebe um caráter populacional:

1 0 0 2 6 7 2 1 7 2 1 4 2 1 1 1 2 2 3 2 5 6 0 2 2 2 3 2 2 2 2 0 1 3 3 2 2 5 6 8 7 2 0 3 6 2 1 2 ( Total = 48 elementos)

2 - Rol: è o arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. Para maior

facilidade, refeito a ordenação de forma crescente: 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 4 5 5 6 6 6 6 7 7 7 8

3– Amplitude total ou “Range” (R): é a diferença entre o maior e o menor valor observado.

R = 8 – 0 R= 8 salários

4 – Frequência Absoluta (F i): Exemplos:

Fi (0) = 5; Fi (8)=1 Fi (7) = 3 Fi (2) = 19; Fi (1) = 8

Fi (4) = 1; Fi (3) = 5 Fi (6) = 4; Fi (5) = 2

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5– Distribuição de Frequência: Modalidade de tabela estatística que agrupa um conjunto de

valores de duas formas:

Caso A Caso B + utilizado X Fi Classes Fi 0 5 0 ├ 2 13 1 8 2 ├ 4 24 2 19 4 ├ 6 3 3 5 6 ├ 8 7 4 1 8 ├ 10 1 5 2 6 4 7 3 8 1 M = 19

6– Numero de Classes (K): Orienta quanto ao número de linhas que a tabela deve conter:

Regra geral:

Se n ≤ 25 - K = 5 classes Se n ˃ 25 K = √𝑛

Com aproximação se necessário para o inteiro maior e inclusão e exclusão de classes quando necessário.

Pelo exemplo n=48, então: K = √48 ≅ 6,9 ≅ 7,0 classes

7 – Amplitude das classes (h):

h = 𝑅 𝐾 𝑖𝑡𝑒𝑚 3 𝑖𝑡𝑒𝑚 6 No exemplo h = 8 7

= 1,14

≅ 2,0 classes

(8)

8- Limite das classes: seguem-se os exemplos:

❖ 0 ├ 2: qualquer valor entre a e 2, incluindo-se 0 e excluindo-se 2. ❖ 0 ┤ 2: qualquer valor entre 0 e 2, excluindo-se 0 e incluindo-se 2. ❖ 0 ─ 2: qualquer valor entre 0 e 2 excluindo-se 0 e 2 .

❖ 0├┤2: qualquer valor entre 0 e2, incluindo-se 0 e 2.

Exemplo: Considere o Rol de 50 valores referente ao número de funcionários em uma empresa . Calcular o número de classes (K), intervalo de classes (h), freqüência absoluta (fi), freqüência acumulada (Fi),

33 35 35 39 41 41 42 45 47 48 50 52 53 54 55 57 59 60 60 61 64 65 65 65 66 66 66 67 68 69 71 73 73 74 74 76 77 77 78 80 81 84 85 85 88 89 91 94 99

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9 – Freqüência Acumulada - Fi: é a somatória dos valores,à partir do primeira freqüência

absoluta – fi. Tem por objetivo a localização de cada elemento na distribuição.

10 – Freqüência Relativa – fi (%): é a porcentagem de participação de cada classe na

distribuição. Calculado pela formula:

fi (%)

= 𝑓𝑖

𝑛

. 100

11 – Ponto média das classes (xi): é o ponto central, que divide cada classe ao meio.

Calculado pela formula:

Xi= 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟+𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟

2

Obs:

Limite inferior 33 ├ 42 limite superior Classe

12 – Polígono de freqüência ou Histograma: são retângulos justapostos, em função das

classes e fi. Fi

Figura 1 Gráfico de Classes

13-Gráfico de Freqüência Acumulada: Linha crescente em função das classes e

Freqüências acumulada: 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 Classe 1 Classe1 Classe 3

(10)

F AC 50 49 45 39 30 18 16 11 6 33 42 51 60 69 78 87 96 105 Classes Gráfico de Freqüência acumulada

Exercícios:

1- Estas são as notas de Matemática de 20 alunos da classe. 7,0 5,0 9,0 5,0 8,0 5,0 8,0 9,0 10,0 8,0

6,0 6,0 7,0 7,0 7,0 5,0 5,0 5,0 6,0 6,0

Elaborar uma tabela de distribuição de frequências com frequência absoluta, frequência relativa e frequências acumuladas. Com base na tabela responder: a) Quantos alunos obtiveram nota 6,0, que é a nota mínima da aprovação? b) Quantos obtiveram nota menor ou igual a 7,0?

c) Que porcentagem de alunos obtiveram nota menor que 8,0? d) Qual foi a porcentagem de alunos reprovados em Matemática?

(11)

2- Observe as diárias de um grande Hotel: Diária (R$) Número de apartamentos

[300,330[ 73 [330,360[ 48 [360.390[ 40 [390,420[ 24 [420,450[ 15 Total 200

Complete a tabela com as frequências: absoluta, absoluta acumulada, relativa e relativa acumulada .

a) Qual é o extremo inferior da 1ª classe?

b) Que intervalo apresenta as diárias mais comuns?

c) Qual é a porcentagem de apartamentos cujas diárias são menores que R$ 360,00? d) Quantos apartamentos correspondem a diárias menores que R$ 390,00?

e) Quantos apartamentos correspondem a diárias a partir de R$ 390,00?

3- A tabela abaixo mostra a distribuição dos salários mensais de 40 empregados de um supermercado.

Salário (R$) Número de empregados

[300,320[ 10

[320,340[ 4

[340.360[ 5

[360,380[ 18

[380,400[ 3

a) Elabore uma tabela com as frequências: absoluta, absoluta acumulada, relativa e relativa acumulada.

b) Qual é o intervalo que apresenta os salários mais comuns?

c) Qual é a porcentagem de empregados que recebem salários abaixo de R$ 360,00? d) Qual é a porcentagem de empregados que recebem os maiores salários?

4- Veja as contribuições fiscais (em real) de 40 pessoas sorteadas ao acaso, durante um ano. 200 150 780 2.132 1.976 208 624 2.236 4.404 5.132 832 676 3.172 3.208 2.132 988 3.926 1.196 2.132 3.728 728 2.948 1.248 2.704 5.928 988 1.710 1.716 1.404 4.108 468 2.392 2.028 4.472 3.174 624 3.959 4.040 1.092 1.040

(12)

a) Organize os dados em ordem crescente

b) Agrupe os dados numa distribuição de frequência com intervalos. Use uma amplitude conveniente.

c) Qual o intervalo de contribuições fiscais mais comum?

5- Um grupo de 50 analistas financeiros efetuou uma previsão, por ganho de ações, em geral, de uma empresa no próximo ano. Os resultados obtidos estão apresentados na distribuição de frequências abaixo.

Ganho por ação ( R$) Número de analistas ( 𝑓1) 𝐹1 𝑓1 𝐹1 4 8% 8 [8,10[ 22% [10,12[ 8 27 37 74% 16% 5 100% Complete a tabela.

(13)

Altura (CM) Ponto médio f Fr (%) fa 146 ├ 150 10 150 ├ 154 7 154 ├ 158 25 158 ├ 162 12.,5 162 ├ 166 164 166├ 170 15 40 Complete a tabela.

12- A exposição continuada a altos níveis de ruído podem causar a PAIR: perda auditiva induzida por ruído. Por esse motivo, o Ministério do trabalho recomenda a exposição máxima diária de 8 horas ao nível de 85 decibéis. Uma grande indústria metalúrgica realizou uma pesquisa para avaliar o nível de ruído em diferentes setores de suas instalações, obtendo os seguintes dados, em decibéis:

45 85 80 42 72 53 111 108 105 86 33 38 40 55 67 62 61 78 70 41 38 35 40 42 111 103 92 90 96 35 51 69 73 33 84 56 57 48 43 43 73 81 87 93 97 62 84 36

a) Organize os dados em ordem crescente.

b) Agrupe os dados numa distribuição de frequência com intervalos e elabore uma tabela com as frequências absoluta, absoluta acumulada relativa e relativa acumulada. Use uma amplitude conveniente.

c) Quantos setores apresentam nível de ruído dentro do limite recomendado pelo ministério do trabalho?

Medidas de aposição

As medidas de posição sinalizam uma tendência a valores centrais ou valores que separam um conjunto de dados em certas proporções. Dentre as medidas de posição a serem estudadas temos média , mediana e moda,

1- Média Aritmética (x): é a medida de posição mais importante no âmbito da estatística descritiva, uma vez que considera todos os valores para seu cálculo, sendo bastante precisa. Refere-se a somatória dos dados brutos de um conjunto de dados , dividido pelo total de valores.

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Fórmula:

x = Ʃ

𝑥 𝑛

Ʃ

somatória

x

cada valor nº total de elementos

Exemplo: os valores abaixo referem-se à idade de 10mfuncionários de dado setor, na Empresa Alfa S.A. Calcule a média;

21, 24, 30, 32, 36, , 38, 19, 19,29.

x =

269

10 = 26,9 ou arredondando, 27. 2- Média para dados agrupados:Média ponderada: Nesse caso o Rol ou dados brutos e a média são calculados em função de seu ponto médio (xi) e a frequência absoluta (fi), com a seguinte fórmula:

x =

Ʃ (xi.fi) 𝑛 Exemplo: Para a distribuição abaixo, calcule a média ponderada: Nº de salários fi xi xi.fi 0 2 2 1 2 2 4 10 3 30 4 6 3 5 15 6 8 5 7 35 8 10 5 9 45

Ʃ

n= 25

Ʃ-

127

x ≡

Ʃ (xi.fi) 𝑛

=

127 25

= 5,08

(15)

x = 5,1 salários

Mediana (Md): Mediana é a medida de posição que divide um grupo de valores em duas metades conforme o esquema em ordem crescente:

Md 0% n

2 50% n

2 100 %

Mediana para dados não agrupados: neste caso os dados devem estar em ordem crescente e a mediana é o valor central.

Podem ocorrer duas situações:

a) Quando n é impar a mediana é o valor central. Exemplo: 10, 10, 12, 15, 15, 18, 28

n = 3 Md: 15 n = 3 Fórmula: Med = 𝑛+1

2

b) Quando n é par a mediana é ponto médio entre os valores centrais: 10, 10, 12, 15, 17, 17, 18, 21

Nº 3 n 3

Md=

15+17

2

Md= 16

3- Mediana para Dados Agrupados: Nesse caso sem considerar se n é par ou ímpar

segue-se os:

a) Calcula-se

𝑛

2

;

b) Pela Fac, localize-se a classe que contém a Md;

c) Aplica-se a fórmula:

lmd + (

𝑛

2

- Fac anterior) . h

Fi md

(16)

Fac: Frequencia Acumulada anterior à classe que contém a Md;

Fi md: freqüência absoluta da classe que contém a Md;

h: Amplitude de classes.

Exemplo: Para a distribuição abaixo, calcule a Mediana:

Estaturas (cm)

Fi

F ac

120 ├ 128

6

6 128 ├ 136

12

18 136 ├ 144

16

34 144 ├ 152

13

47 152 ├ 160

7

54 Ʃn= 54

Moda (Mo)

Moda é a medida de posição que representa o valor que mais aparece na distribuição,

ou seja , o mais freqüente.

Cálculo da Moda:

Fórmula geral:

Mo: lmo 1 . h

1 + 2

Onde:

lmo: limite inferior da classe modal (classe modal: classe de maior Fi),

1: Diferença entre a Fi da classe modal e a Fi anterior;

(17)

2: Diferença entre a Fi da classe modal e a Fi posterior;

h: Amplitude da classe.

Exemplo: Para a distribuição abaixo, calcule a Moda:

Estaturas (cm)

Fi

F ac

120 ├ 128

6

6 128 ├ 136

12

18 136 ├ 144

16

34 144 ├ 152

13

47 152 ├ 160

7

54 Ʃn= 54

Medidas de Dispersão

Dispersão ou variação é o grau que os dados tendem a se afastar de um valor

central , geralmente a média aritmética.

Em todas as amostras ou populações, ocorrem variações ou variabilidade dos

indivíduos que as constituem. Além disso, amostras com uma mesma média podem

apresentar distribuições diferentes e portanto só a média não nos dá uma idéia clara de

como se distribuem.

Das medidas de dispersão veremos: Variância, desvio-padrão, coeficiente de

variação e erro padrão da média.

Exemplo: Amostra 1- 5, 5, 5

x

= 5 Amostra -2 – 0, 10, 5

x

= 5

(18)

1) Variância ( 𝑠2_{) : a variância de um conjunto de dados pode ser definido como o grau}

de variação (ao quadrado) dos dados em relação à média. a) Variância para dados não agrupados;

Formula geral:

𝑠

2 =

∑ 2

_𝑋 -

(Ʃx)

2

n ou

_𝑠

2

=

∑ (xi-x )2

n – 1 n-1

Exemplo: considere o comprimento de 6 peças (cm). Calcule s2 4, 6, 8, 8, 3, 5, 10

∑ 2

_𝑋

= 4

2 +

6

2 +

8

2 +

8

2 +

3,5

2 +

10

2

= 292,25

∑

_𝑋

2 = (39,5)

2

_{= 1560,25}

S

2

= 292,25 - 1560,25 = 292,5 – 260,04

6 5

6 - 1

S

2

=

32,21

5 = 6,44 cm

2

b ) Variância para dados Agrupados.

Nesse caso como não são conhecidos os valores originais (dados brutos ou rol) a variância . (s2 _{) passa a ser calculada pela formula:}

𝑠

2 =

Ʃ

( xi

2

.fi)

-

(Ʃxi.fi)

2 n

n - 1

onde: xi = pto médio fi = freqüência absoluta

Onde X = cada valor e n = nº de elementos

(19)

n = nº total de elementos

Ex: para os dados abaixo, calcule a variância (s2_):

Salários mínimos

Salários mínimos fi xi xi2 _xi2_.fi

1 ├ 4 14 4 ├ 7 14 7 ├ 10 11 10 ├ 13 8 13 ├ 16 11 16 ├ 19 2 n = 60 2) Desvio Padrão (s)

O desvio padrão é a raiz quadrada do valor obtido para a variância independente de originar-se de dados agrupados ou não.

Então: s = √𝑠2

Por exemplo, se s2 _{= 4 cm}2 _{S = 2 cm}

3) Coeficiente de variação (%)

Conhecido como C.V. (%) expressa a porcentagem de variação dos dados em relação à média.

C.V (%) = s

x . 100

Classificação do C.V (%)

Baixo: entre 0 e 10 % (baixa variação) Médio:entre10,1 e 20 % ( média variação) Alto : entre 20,1 e 30 % ( alta variação)

Muito alto: acima de 30% (altíssima variação) Por exemplo, para um conjunto de valores que originaram:

𝑥̅

4,8 CM

S 2 CM c.v (%) = 2

4.8 . 100 c.v (%) = 41,67 (Altíssima dispersão)

(20)

É um indicativo de precisão com que a média foi calculada. S = (

𝑚

̂

)

s

√𝑛 Por exemplo, se s = 2 cm , n = 9 e 𝑋̅ = 4,8 cm. S (

𝑚

̂) = 2 = 2 = 0,67 cm

√9 3

Então: 𝑋̅ = 4,8 ± 0,67 cm. Exercícios.

Para as séries abaixo calcule: media ( 𝑋̅ ), variância (s2_{) desvio padrão (s) coeficiente}

de variação (C.V (%)) e erro padrão da média.

a) Comprimento de peças (cm) 5,5 3,5 4,5 2,0 4,5 5,0 6,0 2,5 6,0 6,0 2,5 2,5 b) Acidente de trabalho 53 44 66 75

c) Número de horas trabalhadas: 2 10 12 14 16 18 20 12 1 2 2 0 4 3 20 6

d) Número de peças defeituosas: 88 28 36 41 49 54 65 72

(21)

e) Passagens aéreas vendidas: 20 25 28 31 37 42 45 49 43 f) Idade (ano) fi 42 ├ 45 2 45 ├ 48 5 48 ├ 51 6 51 ├ 54 4 54 ├ 57 5 57 ├ 60 3 60 ├ 63 5 n = 30 g) Peso de embalagem (gramas) h) fi 100 ├ 119 1 119 ├ 138 5 138 ├ 157 8 157 ├ 176 12 176 ├ 195 13 195 ├ 214 14 214 ├ 233 10 233 ├ 252 3 252 ├ 271 6

Estudo das Probabilidades

Definição: a probabilidade expressa por meio de valores numéricos as probabilidades pela ocorrência dos resultados de um fenômeno.

A tomada de decisões baseia-se sempre em probabilidade ou seja, classes chances de os eventos ocorrerem.

Conceitos Fundamentados

➢ Experimento Aleatório é qualquer processo que permite ao amostrador fazer observações. É um experimento que pode ser repetido infinitas vezes e não há chance de antever os resultados.

(22)

➢ Eventos É um resultado ou conjunto de resultados. Exemplo: no lançamento de um dado o evento seria a ocorrência do numero par.

E =

{2,4, 6} P =

3

6

= 0,5 = 50%

Obs:

Numa empresa, que a probabilidade de que 20% dos funcionários faltam, num determinado dia da semana.

E = ????

➢ Eventos mutuamente exclusivo: quando a probabilidade de ocorrência de um, exclui a ocorrência do outro.

Exemplo: No lançamento de um dado deseja-se a ocorrência de um número par ou impar.

E =

∅

➢ Eventos simultâneos: eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo, sem a necessidade de exclusão.

Exemplo: No lançamento de um dado deseja-se a probabilidade de ocorrências de um numero ímpar e maior que 3.

E=

{1}

P =

1

6

= 0,1667 ou 16,67

Revisão Matemática

Números Fatoriais (!)

São números inteiros e positivos que devem ser faturados ou seja, multiplicados pelo seu antecessor até alcançar se a unidade como por exemplo:

3 !

= Três fatorial = 3 x 2 x 1 = 6

5! =

Cinco fatorial = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 Exceção = 0 ! = zero fatorial = 1

Calculadoras: ou ou geralmente como segunda função.

Distribuição Normal (Curva de Gauss)

A distribuição normal é uma das mais importantes distribuições de probabilidade, também conhecido como Curva de Gauss ou Loplace Glauss. A variável segue o modelo.

(23)

Curva Normal

A probabilidade é estimado em função da área da curva.

Propriedades da curva normal.

➢ A curva tem a forma de um sino e é Simétrico em relação à medida;

➢ O achatamento da curva é dado em função da media e do desvio padrão. Por exemplo

Para a determinação da probabilidade utiliza-se a tabela de curva normal em função de Z.

O desvio padrão é maior Maior achatamento da Curva

O desvio padrão é menor

Menor achatamento da curva 50 % 50 %

- Z

0 Z

50% 50%

- X

X

(24)

- Z

𝑋̅

A Tabela fornece os valores das probabilidades de Z até – Z.

Exercícios

Com o uso da tabela de Distribuição normal, calcule as probabilidades: a) P ( 0 ≤ Z ≤ 2,24).

b) ( - 1,94 ≤ Z ≤ 0 )

c) P ( -1,45 ≤ Z ≤ 2.38 )

d) P (Z ≥ 1.78 )

e) P ( Z ≤ 1,65)

Obs: Em estudos reais a probabilidade não esta registrada com Z. Portanto para o uso da tabela devemos converter o valor de X (variável real) para Z (variável tabelado, através da formula:

Variável Z _{Variável X}

0 2,46

Quando se deseja apenas as

extremidades da curva resulta-se de 50%

Quando deseja-se a faixa central e + metade da curva com 50%

Variável X Z = 𝑋−𝑋_𝑆 Média Desvio padrão

(25)

Funções estatísticas do Excel (FÓRMULAS)

=MÉDIA (Ax;Ax) =VAR ((Ax;Ax) =MED (Ax;Ax) =DESVPAD (Ax;Ax) =MÁXIMO (Ax;Ax)

=MÍNIMO (Ax;Ax) =MAIOR (Ax;Ax) =MENOR (Ax;Ax)

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BIBLIOGRAFIA

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