Aplicação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) na análise de problemas de elasticidade bidimensional definidos em domínios heterogêneos por partes.

2020

Escola de Minas

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil PROPEC

Dissertação

Aplicação do Método dos

Elementos de Contorno

(MEC) na análise de

problemas de elasticidade

bidimensional definidos em

domínios heterogêneos por

partes

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO – UFOP ESCOLA DE MINAS – EM

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL – DECIV PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENG. CIVIL - PROPEC

Aplicação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) na análise

de problemas de elasticidade bidimensional definidos em domínios

heterogêneos por partes

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil (PROPEC), do Departamento de Engenharia Civil da Escola de Minas da UFOP, para a obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.

Área de concentração: Estruturas e Construção Mestrando: Gabriel Viecelli Renostro

Orientador: Prof. Francisco Célio de Araújo, Dr.-Ing.

Ouro Preto 2020/1

Renostro, Gabriel Viecelli .

RenAplicação do Método dos Elementos de Contorno (MEC) na análise de problemas de elasticidade bidimensional definidos em domínios

heterogêneos por partes. [manuscrito] / Gabriel Viecelli Renostro. - 2020.

Ren91 f.

RenOrientador: Prof. Dr. Francisco Célio de Araújo.

RenDissertação (Mestrado Acadêmico). Universidade Federal de Ouro Preto. Departamento de Engenharia Civil. Programa de Engenharia Civil.

RenÁrea de Concentração: Estruturas e Construção.

Ren1. Análise bidminesional. 2. Acoplamento genérico. 3. Domínio estendendo-se ao infinito. I. Araújo, Francisco Célio de. II. Universidade Federal de Ouro Preto. III. Título.

Bibliotecário(a) Responsável: Maristela Sanches Lima Mesquita - CRB: 1716 R418a

DEDICATÓRIA

AGRADECIMENTOS

Gostaria de agradecer ao meu orientador Francisco Célio de Araújo por sempre ter me ajudado e sempre estar disponível.

Ao meu amigo e ex-professor Maicon José Hillesheim por todo o apoio e paciência nas horas difíceis.

E a todas as pessoas que me desejaram sucesso durante essa caminhada.

RESUMO

Em aplicações do Método dos Elementos de Contorno (MEC) na resolução de problemas práticos de engenharia, a estratégia de acoplamento genérico de subregiões é, na verdade, imprescindível, no que tange à possibilidade de modelar materiais heterogêneos. Outro pilar fundamental no desenvolvimento de formulações eficientes do MEC é o processo de integração dos núcleos singulares presentes em formulações integrais de problemas físicos. Nesta dissertação, contemplam-se esses dois tópicos relevantes de formulações do MEC, particularmente em aplicações de elasticidade bidimensional (2D).

Em relação à estratégia de acoplamento, procurou-se construir um algoritmo genérico, para o caso 2D, baseado na técnica de subregião-por-subregião (SBS), desenvolvido em trabalhos anteriores para problemas tridimensionais (3D). Ressalta-se que esta técnica tem Ressalta-se mostrado muito atraente e amigável durante a faRessalta-se de modelagem, posto que possibilita a geração e montagem dos modelos discretizados com elementos de contorno como se fossem domínios físicos independentes. A pesquisa de acoplamento é realizada de forma completamente automática via algoritmos que identificam as interfaces do modelo completo.

No cálculo numérico dos coeficientes das matrizes do MEC, quadraturas especiais de integração, que possibilitam a análise de forma eficiente de integrais fracamente singulares e quase-singulares foram implementados. Essas quadraturas numéricas, nesses casos específicos, foram desenvolvidas com base no eficiente processo de Telles, que adota uma transformação polinomial cúbica de coordenadas que suaviza a singularidade e desloca os pontos de integração na direção do ponto singular.

Na implementação computacional, a visualização gráfica das respostas, em termos de campos de deslocamentos e tensões, foi realizada através do programa VisIt (desenvolvido no Lawrence Livermore National Laboratory – LLNL USA) sendo as respostas consideradas como referência para a validação das presentes respostas obtidas com o programa comercial ANSYS 18.1.

Palavras-Chave: Análise bidminesional, Acoplamento genérico, Domínio

ABSTRACT

In applying the Boundary Element Method (BEM) to solve practical engineering problems, the strategy of coupling a generic number of subregions is, in fact, indispensable, as it allows one, among other points, to model heterogeneous materials. Another fundamental pillar in the development of efficient BEM formulations are the integration processes for the singular kernels present in boundary-integral equations of physical problems. In this master-degree thesis, these two relevant topics in BEM formulation, especially in applications in two-dimensional (2D) elasticity, are addressed.

Concerning the coupling strategy, one has aimed to construct a generic algorithm, for 2D problems, based on the subregion-by-subregion (SBS) technique, developed in previous works for three-dimensional (3D) problems. It is worth noting that this strategy has shown very attractive and user-friendly during the modeling phase, since it makes possible the independent generation and assembly of the discretized boundary-element models as they were physically independent domains. An automated search for coupled domains, which identifies the interfaces of the whole model, is carried out.

In the numerical evaluation of the BEM matrix coefficients, special integration quadratures that allows for the efficient integration of weakly singular and nearly-singula integrals were implemented. These numerical quadratures, in these specific cases, were developed based on the efficient Telles process, which adopts a cubic polynomial transformation of the integration coordinate to smooth out the singularity and to displace the integration points towards the singular point.

In the computational implementation, a graphical visualization of the responses, in terms of displacement and stress fields, has been carried out using the VisIt software (developed at the Lawrence Livermore National Laboratoy - LLNL, USA). The responses determined using the ANSYS software have been taken as reference for validation purposes.

Keywords: Two-dimensional analysis, Generic coupling, Domain extending to

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Símbolo de permutação ... 17

Figura 2.2 - Corpo  ... 18

Figura 2.3 - Elemento Infinitesimal, Força de Superfície, Força de Volume ... 18

Figura 2.4 - Corpo Prismático (EPD) ... 22

Figura 2.5 - Chapas delgadas (EPT) ... 23

Figura 2.6 - Seção T homogênea real ... 24

Figura 2.7 - Seção T heterogênea equivalente ... 24

Figura 3.1 - Ponto ξ sobre



. ... 30

Figura 3.2 - Domínio infinito ... 32

Figura 3.3 - Discretização de



... 33

Figura 3.4 – Elemento quadrático ... 35

Figura 3.5 – Descontinuidade de forças ... 36

Figura 3.6 - Elemento descontínuo ... 36

Figura 3.7 – Distribuição dos pontos de Gauss ... 39

Figura 3.8 - Subdomínios ... 40

Figura 3.9 – Tensões no contorno ... 43

Figura 4.1 - Corpos em contato ... 44

Figura 4.2 – Nós geométricos ... 45

Figura 4.3 - Nós funcionais... 45

Figura 4.4 - Sistema acoplado para 3 sub-regiões ... 48

Figura 5.1 - Viga homogênea ... 49

Figura 5.2 - Células de visualização (Gmsh) ... 50

Figura 5.3 - Malha de elementos Q4 (ANSYS 18.1) ... 50

Figura 5.4 - Tensões



x₁ com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 53

Figura 5.5 - Tensões 1 x



com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 53

Figura 5.6 – Tensões 1 2 x x



com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 54

Figura 5.7 – Tensões 1 2 x x



com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 54

Figura 5.8 - Deslocamentos UX2 com 15 e 6 pontos de Gauss (MEC) ... 54

Figura 5.9 - Tensões



x₁ (ANSYS 18.1) ... 54

Figura 5.10 – Tensões 1 2 x x



(ANSYS 18.1) ... 55

Figura 5.11 - Deslocamentos UX2 (ANSYS18.1) ... 55

Figura 5.12 - Tensões 1 x



com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 58

Figura 5.13 - Tensões 1

x



com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 58

Figura 5.14 - Tensões



x x_{1 2} com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 59

Figura 5.15 - Tensões 1 2 x x



com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 59

Figura 5.16 - Deslocamentos -UX2 com 15 e 6 pontos de Gauss (MEC) ... 59

Figura 5.17 - Tensões



x₁ (ANSYS 18.1) ... 59

Figura 5.18 - Tensões 1 2 x x



(ANSYS 18.1) ... 60

Figura 5.19 – Deslocamentos UX2 (ANSYS 18.1) ... 60

Figura 5.20 - Viga T homogênea ... 61

Figura 5.21 – Células de visualização (Gmsh) ... 61

Figura 5.22 - Malha de elementos Q4 (ANSYS 18.1) ... 61

Figura 5.23 – Tensões 1 x



com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 64

Figura 5.24 – Tensões 1 x



com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 65

Figura 5.25 - Tensões



x x_{1 2} com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 65

Figura 5.26 - Tensões 1 2 x x



com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 65

Figura 5.27 – Deslocamentos UX2 com 15 e 6 pontos de Gauss (MEC) ... 65

Figura 5.28 – Tensões



x₁ (ANSYS 18.1) ... 66

Figura 5.29 - Tensões



x x_{1 2} (ANSYS 18.1) ... 66

Figura 5.30 – Deslocamentos UX2 (ANSYS 18.1) ... 66

Figura 5.31 - Tensões 1 x



com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 70

Figura 5.32 - Tensões



x₁ com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 70

Figura 5.33 - Tensões 1 2 x x



com 15 pontos de Gauss (MEC) ... 70

Figura 5.34 - Tensões



x x_{1 2} com 6 pontos de Gauss (MEC) ... 70

Figura 5.35 - Deslocamentos UX2 com 15 e 6 pontos de Gauss (MEC) ... 71

Figura 5.36 - Tensões 1 x



(ANSYS 18.1) ... 71

Figura 5.37 - Tensões



x x_{1 2} (ANSYS 18.1) ... 71

Figura 5.38 - Deslocamentos UX2 (ANSYS 18.1) ... 72

Figura 5.39 – Solo com 1 camada ... 73

Figura 5.40 - Células de visualização (Gmsh) ... 73

Figura 5.42 – Tensões 2 x



(MEC) ... 75 Figura 5.43 – Tensões 2 x



(ANSYS 18.1) ... 75

Figura 5.44 - Deslocamentos -UX2 (MEC) ... 76

Figura 5.45 - Deslocamentos UX2 (ANSYS 18.1) ... 76

Figura 5.46 – Solo com 2 camadas ... 77

Figura 5.47 - Células de visualização (Gmsh) ... 77

Figura 5.48 - Malha de elementos Q4 (ANSYS 18.1) ... 78

Figura 5.49 - Tensões 2 x



(MEC) ... 79

Figura 5.50 - Tensões



x₂ (ANSYS 18.1)... 80

Figura 5.51 - Deslocamentos -UX2 (MEC) ... 80

Figura 5.52 - Deslocamentos UX2 (ANSYS 18.1) ... 80

Figura 5.53 – Cavidade ... 81

Figura 5.54 - Células de visualização (Gmsh) ... 82

Figura 5.55 - Malha de elementos Q4 (ANSYS 18.1) ... 83

Figura 5.56 – Tensões



y (MEC) ... 85

LISA DE SÍMBOLOS

CARACTERES GREGOS



Contorno

j



Contorno do j-ésimo elemento

 Domínio

 Vetor gradiente



Coordenadas Cúbicas

 Coordenada cúbica no ponto singular

12

,

21

,

13

,

31

,

23

,

32

     

Distorções angulares 11

,

22

,

33

  

Deformações Lineares



Coordenadas naturais



Coeficiente de Poisson ξ Ponto fonte

ξ

_j j-ésimo ponto fonte



Distância entre o contorno finito e o infinito

ij



Tensor de tensões ij



Tensor de deformações ed



Deslocamento do nó geométrico s



Distância que define integrais singulares

q



Distância que define integrais quase-singulares ik



Matriz de rotação



Autovalor



Massa específica CARACTERES ROMANOS x Ponto

x

_j j-ésimo ponto

p Vetor-tensão

u

Vetor-deslocamento

n Vetor normal ao contorno

t

e

Versor tangente ao contorno

n

e

Versor normal ao contorno

b Força de volume

J Jacobiano

H Matriz de coeficientes dos deslocamentos

G Matriz de coeficientes dos fluxos

ref d Distância de referência ref P Ponto de referência rel d Deslocamento relativo

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ... 11 2 FUNDAMENTOS DA ELASTOESTÁTICA ... 15 2.1 NOTAÇÃO INDICIAL ... 15 2.2 ELASTICIDADE ... 17 2.2.1 Elasticidade 2D ... 21

2.2.1.1 Problemas de Estado Plano de Deformação (EPD) ... 21

2.2.1.2 Problemas de Estado Plano de Tensão (EPT) ... 22

3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO (MEC) ... 25

3.1 FORMULAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO ... 25

3.2 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS ... 27

3.2.1 Forças de volume ... 28

3.3 CONSIDERAÇÃO DO PONTO FONTE SOBRE O CONTORNO ... 30

3.4 REGIÕES QUE SE ESTENDEM AO INFINITO ... 32

3.5 DISCRETIZAÇÃO ... 33

3.5.1 Elementos descontínuos ... 35

3.6 INTEGRAÇÃO ... 37

3.6.1 Quadratura de Gauss-Legendre ... 37

3.6.2 Transformação cúbica de Telles ... 38

3.6.3 Subdomínios ... 39

3.6.4 Deslocamento de corpo rígido ... 40

3.6.5 Integração dos núcleos ... 40

3.7 TENSÕES NO CONTORNO ... 41

4 ACOPLAMENTO MEC/MEC ... 44

5 APLICAÇÕES ... 49

5.1 VIGA ENGASTADA E LIVRE ... 49

5.2 VIGA T ENGASTADA E LIVRE ... 60

5.3 SOLO ... 72

5.4 CAVIDADE ... 81

6 CONCLUSÕES ... 87

6.1 TRABALHOS FUTUROS ... 88

1 INTRODUÇÃO

No séc. XXI, o incrível avanço tecnológico em termos de "computer hardware" tem possibilitado o processamento de uma quantidade extremamente elevada de dados. Assim, aliando-se, essa capacidade de cálculo de computadores digitais aos avanços alcançados por pesquisadores, no desenvolvimento de formulações matemáticas para o tratamento de problemas físicos, cujas respostas, há algumas décadas, eram desconhecidas, atualmente podem ser estimadas com grande precisão, em escalas que permitem descrição macro e micro estrutural. (CAILLETAUD, FOREST, et al., 2003), (GHONIEM e CHO, 2002), (SUQUET, 1997). Particularmente no âmbito de Engenharia Estrutural, esses processos de cálculo têm se refletido essencialmente em redução do peso das estruturas e segurança.

Na modelagem de sólidos quaisquer e estruturas, o Método dos Elementos Finitos (MEF) tem sido amplamente usado por engenheiros no desenvolvimento de seus projetos (BATHE, 2014), tendo suas formulações, nas últimas 5-6 décadas, sido muito bem estabelecidas para diversas classes de problemas. Citam-se como vantagens do MEF, entre outras: (1) implementação computacional relativamente simples, que possibilita modelar domínios irregulares e heterogêneos, sob condições de contorno quaisquer; (2) conveniência no tratamento de problemas não-lineares físicos; (3) características numéricas "boas" do sistema de equações. resultante como simetria e esparsidade. Em razão disso, o MEF tem sido incorporado a diversos programas computacionais comercias (SAP2000, ANSYS, ABAQUS, NASTRAN). Como desvantagens do MEF, destacam-se: (1) Sua inabilidade para modelar meios estendendo-se ao infinito; (2) a geração de malhas para modelos físicos é mais complexa, pois envolve discretização de domínio.

Alternativamente ao MEF, também há algumas áreas de engenharia em que o Método das Diferenças Finitas (MDF) tem sido muito usado, como por exemplo, em sismologia (SOUZA, 2018). O MDF apresenta vantagens como: (1) implementação computacional simples; (2) sistemas muito esparsos; (3) elevada eficiência em plataformas de processamento paralelo. Como desvantagens, destacam-se: (1) solução apenas em um certo número limitado de pontos; (2) dificuldades em modelar geometrias irregulares. Como mencionado acima, o MDF tem sido relativamente útil em sismologia, sendo a principal razão disso, o fato das matrizes associadas aos

sistemas de equações algébricas resultantes apresentarem alta esparsidade, o que é muito relevante, já que os modelos usuais na prática são extraordinariamente grandes, que, em análise de custo-benefício, inviabilizam aplicação do MEF.

Também em aplicações à mecânica dos sólidos, outro método que tem se destacado é o Método dos Elementos de Contorno (MEC), que, ao contrário do MEF ou do MDF, que envolve discretização do domínio do problema, em formulações do MEC, o sistema de equações. diferenciais que descreve o problema físico é transformado em um sistema de equações. integrais de contorno, antes que o processo de discretização (a ser adotado) seja efetuado. Isso se reflete, na prática, em modelos geometricamente mais simples e menores, pois envolvem apenas discretização de contorno (BANERJEE e BUTTERFILED, 1981), (BREBBIA, TELLES e WROBEL, 1983), (WROBEL e ALIABADI, 2002). Com isso, a dimensão do sistema de equações diminui drasticamente e, consequentemente, reduz-se o custo computacional (CHENG e CHENG, 2005). Entre as vantagens do MEC, destacam-se: (1) demanda de discretização apenas do contorno; (2) dispensa a discretização do contorno no infinito em problemas de domínios abertos; (3) as respostas apresentam alta precisão; (4) aplicação a problemas quaisquer (não apenas sólidos). Entre as desvantagens, citam-se: (1) Demanda algoritmos especiais de integração ou formas analíticas para integrais impróprias; (2) sistemas de equações não-simétricos; (3) as equações integrais se limitam a regiões homogêneas; (4) regiões heterogêneas demandam modelagem por subdomínios nas aplicações práticas.

Nas últimas 3-4 décadas de pesquisa, o MEC começou a se equiparar ao MEF e MDF (CHENG e CHENG, 2005), que são os mais populares na área de métodos numéricos. Atualmente, o MEC já foi aplicado à diversas classes de problemas de engenharia (sólidos e fluidos), e, assim como o MEF, tem-se destacando relativamente bem na comunidade científica de engenharia (BANERJEE e BUTTERFILED, 1981), (BONNET, 1999), (BREBBIA e DOMINGUEZ, 1989), (BREBBIA, TELLES e WROBEL, 1983), (WROBEL e ALIABADI, 2002). Porém, dada a relativa complexidade de suas formulações matemáticas, o MEC não tem atingido as mesmas proporções de aplicação na comunidade de engenharia como o MEF, embora tenha encontrado aplicações relevantes em projetos isolados como na construção do “software” BEASY (DANSON, 1982).

Embora problemas de engenharia sejam essencialmente tridimensionais, em algumas situações físicas, em elasticidade, como, por exemplo, na análise de solos,

de cortinas atirantadas, de barragens, de vigas e de chapas finas, simplificações podem ser consideradas de modo a possibilitar análise via formulações bidimensionais. Os problemas que envolvem solo, cortinas atirantadas e barragem podem ser analisados via estado plano de deformação (EPD), pois são usualmente problemas definidos em domínios longos, submetidos a deformação nula na direção perpendicular ao plano de análise. Para os casos de vigas e chapas finas, verificam-se as condições físicas que definem o estado plano de tensão (EPT), quais verificam-sejam, tensões nulas na direção perpendicular ao plano de análise e estado de tensão constante ao longo da espessura. Como em outros problemas de engenharia, aqui também o acoplamento de domínios é necessário, em situações práticas, em sua análise via MEC.

Este trabalho visa essencialmente desenvolver uma formulação do MEC para a análise de problemas gerais de elasticidade bidimensional (2D), os quais, por sua vez, podem estar definidos em um número qualquer de domínios acoplados.

Em trabalhos anteriores (ALBERTO, 2002), (DORS, 2002), (ARAÚJO, SILVA e TELLES, 2006), (HILLESHEIM, 2013), (HILLESHEIM, RENOSTRO e ARAÚJO, 2019), (JÚNIOR, 2013), (PALHARES, 2006), (SILVA, 2005), um algoritmo de acoplamento entre um número genérico de modelos de elementos de contorno foi desenvolvido para problemas tridimensionais escalares e vetoriais. Dado que o MEC é um método híbrido, com variáveis primárias em deslocamentos e forças, então complexidade adicional na estratégia de acoplamento surge em razão da necessidade de simular as descontinuidades nas interfaces dos domínios. Em Araújo, Silva e Telles (2006), e Araújo e Gray (2008), este problema foi definitivamente resolvido incorporando-se elementos de contorno descontínuos ao algoritmo de acoplamento, os quais são gerados deslocando-se os nós ao longo da borda do elemento para o interior dele.

Um problema associado à implementação de elementos descontínuos (no caso geral) é a avaliação das integrais singulares e quase-singulares envolvidas em formulações de integrais de contorno.

Em trabalhos anteriores, (ARAÚJO, SILVA e TELLES, 2006) e (ARAÚJO e GRAY, 2008), algoritmos que combinam transformações de coordenadas polares (MANG, LI e HANG, 1985), transformações polinomiais (TELLES, 1987), e o teorema de Stokes (LIU, 1998) foram desenvolvidos. Estes algoritmos de integração estão detalhados nos artigos Araújo, Silva e Telles (2006) e Araújo e Gray (2008).

Uma característica relevante no algoritmo de acoplamento 3D é a pesquisa automatizada de acoplamento, que permite com que os modelos de elementos de contorno sejam gerados independentemente pelo analista. Isso faz com que a modelagem seja um processo amigável, uma vez que a imposição das condições de acoplamento (nas interfaces) é efetuada internamente, após montagem (separada) das matrizes do modelo acoplado, com base nas variáveis geradas na pesquisa de acoplamento, que indicam quais graus de liberdade estão acoplados entre si.

Na presente dissertação, esses algoritmos desenvolvidos para a análise 3D de problemas de elasticidade são particularizados para problemas bidimensionais. Particularmente, implementaram-se os elementos de contorno contínuo e descontínuo parabólicos de 3 nós. Assim como em trabalhos anteriores, a estratégia apresenta as seguintes características gerais: (1) opção de acoplamento de um número genérico de subregiões acopladas; (2) algoritmos especiais de integração para integrais singulares e quase-singulares; (3) pesquisa automatizada de acoplamento; (4) inclusão automática de forças de massa via transformação das integrais de volume em integrais de contorno; (5) montagem explícita do sistema acoplado com resolução via solvers diretos.

De forma sucinta, esta dissertação encontra-se estruturada conforme descreve-se a seguir. No capítulo 2, são descritos os fundamentos da elastoestática linear tridimensional, em que se apresentam as equações gerais do problema de valor de contorno (PVC) de elasticidade, incluindo equações diferenciais de equilíbrio, relações deformação-deslocamento e as relações constitutivas do material qualquer (de Hooke), bem como as simplificações pertinentes para casos bidimensionais. No capítulo 3 é deduzida a representação integral de contorno da solução de problemas elastoestáticos, que forma base para a formulação do Método dos Elementos de Contorno (MEC). No capítulo 4 descreve-se o processo de acoplamento genérico para um número qualquer de sub-regiões modeladas com elementos de contorno. No capítulo 5 são expostas algumas aplicações afim de validar o programa desenvolvido na pesquisa. No capítulo 6, apresentam-se conclusões a respeito dos resultados obtidos comentam-se etapas posteriores a serem desenvolvidas como continuação desta pesquisa.

2 FUNDAMENTOS DA ELASTOESTÁTICA

Neste capítulo serão desenvolvidos os conceitos básicos da Teoria da Elasticidade, necessários para o desenvolvimento do Método dos Elementos de Contorno (MEC). As equações são representadas em notação indicial, que possibilita escrever expressões matemáticas complexas de forma sucinta. Assim, apresentam-se, inicialmente aspectos iniciais gerais do sistema de notação indicial. Posteriormente, apresentam-se equações básicas de elasticidade tridimensional, mas focando-se também em problemas bidimensionais, que é a classe de problemas tratados no âmbito desta pesquisa.

2.1 NOTAÇÃO INDICIAL

Em notação indicial um vetor em um espaço n-dimensional é representado na forma

,

x i

_i



1, 2,3...,

n

, e relevante neste sistema de notação é a convenção de soma, segundo a qual índices repetidos são implicitamente somados. Assim, a expressão

2.1 corresponde a um sistema equações algébricas lineares de

n

equações, onde a parcela à esquerda é dada pela expressão 2.2. O índice j, que não se repete, é denominado de índice livre.

, ,

1, 2,...,

ij i i

a x



p i j



n

1 n ij i ij i i a x a x  



2.1 2.2

Outro símbolo importante em notação indicial é o delta de Kronecker, denotado pela letra grega



e que tem as seguintes propriedades:





1 se , 1, 2,3 0 se  _     ij i j i j i j 2.3

Como os índices i e j são livres, tem-se um total de 9 valores.

11 12 13 21 22 23 31 32 33 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ij                   _{  } _         2.4

3 11 22 33 1 1 1 1 3 ii ii i       



       3 1 11 1 12 2 13 3 1 3 2 21 1 22 2 23 3 1 3 3 31 1 32 2 33 3 1 m m m im m m m i m m m m a a a a a a a a a a a a a a                  _{  }    _           







2.5 2.6

Operações envolvendo derivadas também são expressas em notação indicial. Os seguintes exemplos ilustram a representação de derivadas total e parcial, respectivamente: ,_i i du u dx ,_i i u u x 2.7 2.8

Considerando uma função

u u a x

( ( ))

j i , emprega-se a regra da cadeia para

obter a derivada

i

u

x da função com

u

relação a

x

i, segundo a qual.

,i j ,j j i, i j i a u u u u a x a x 2.9

Operações envolvendo permutação, em três dimensões, são descritas pelo símbolo de permutação

e

ijk

, , ,

i j k

1...3

, utilizado no cálculo de determinantes. O

termo é

e

_ijk

0

sempre que quaisquer valores de dois índices forem iguais. Porém, quando os índices permutam em sentido horário,

e

ijk

1

, e no anti-horário,

e

ijk

1

.

A equação 2.10 e a Figura 2.1 ilustram esse comportamento e todas as possibilidades.

123 231 312 213 132 321 1 1 0 ijk e e e e e e e 2.10

Figura 2.1 - Símbolo de permutação

Para exemplificar a utilização do símbolo de permutação, considere o determinante da matriz det A A ilustrado na equação 2.11.

11 12 13 21 22 23 11 22 33 21 32 13 31 12 33 11 32 23 21 12 33 31 22 13 31 32 33 a a a A a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 2.11

A equação 2.11 pode ser expressa conforme a equação 2.12 utilizando-se do símbolo de permutação.

1 2 3

ijk i j k

A e a a a 2.12

2.2 ELASTICIDADE

As análises de tensões, deslocamentos e deformações em corpos tridimensionais, que têm domínio  com contorno



e estão sujeitos a um determinado estado de carregamento, conforme a Figura 2.2, são feitas por meio da teoria da elasticidade. O carregamento é classificado em dois tipos: forças de volume e forças de superfícies, conforme ilustrado na Figura 2.3. As forças de volume atuam distribuídas no volume do corpo, por exemplo a gravidade, cargas térmicas e forças centrífugas. As forças de superfície atuam no contorno externo ou em planos internos do corpo.

Para realizar uma análise via teoria da elasticidade, é necessário encontrar uma função tensorial que satisfaça as condições de equilíbrio dadas na equação 2.15 e as condições de contorn o dadas nas equações 2.13 e 2.14.

1

( )

x

( ),

x x



i i

u

u

Dirichlet

2

( )

x



=

( )

x , x



i ij j i

p

n p

Neumann

2.13 2.14

Figura 2.2 - Corpo 

Fazendo o equilíbrio de um elemento infinitesimal de volume, chega-se à equação 2.15, em que



ij

( )

x

é o tensor de tensão de Cauchy e

b x

( )

é a força de

volume, sendo

b

j

( )

x

a componente do vetor que atua segundo

x

j .

,

0

ij i

b

j



2.15

Figura 2.3 - Elemento Infinitesimal, Força de Superfície, Força de Volume

A equação 2.16 precisa ser atendida para que as condições de equilíbrio estático em um elemento infinitesimal de volume sejam satisfeitas. Portanto, para se definir o estado de tensão de um elemento, é necessário calcular apenas tensões em três faces ortogonais entre si.

ij ji





2.16

Com o estado de tensão definido em um ponto

x

qualquer do corpo, é possível calcular o vetor-tensão

p x

( )

. referente a qualquer plano que intercepta tal ponto, através da equação 2.17, onde

n

é o vetor unitário normal ao plano. Tem-se em notação indicial.



i ij j

p

n

2.17

Dentre os estados de tensão existentes em um ponto, é possível escolher um, tal que a tensão de cisalhamento seja nula. As direções dos planos que formam esse estado de tensão são chamadas de direções principais, e as tensões normais a tais planos de tensões principais. Isso ocorre quando o vetor p está paralelo ao vetor

n

e pode ser descrito como:

i i

p



n

2.18

Substituindo a equação 2.18 na equação 2.17, obtém-se o sistema de equações 2.19:

(

 

_{ij ij}

)

n

_j

0

2.19

O sistema de equações 2.19 é um problema de autovalor e autovetor, cuja solução é obtida impondo-se a condição de que o mesmo possua soluções não-triviais. Portanto, o cálculo do valor das tensões principais é feito a partir do seguinte sistema de equações:

0 ij ij

  2.20

A equação 2.20 corresponde à equação cúbica 2.21 com os invariantes dados a seguir. Suas raízes são os valores das tensões principais no ponto do sólido em questão. 3 2 1 1 2 3

0

I

I

I







2.21 1 kk

I



2 1 ( ) 2  ij ij  ii jj I 3 1 6 ijk pqr ip jq kr I e e    2.22

Quando um corpo está sujeito a forças externas, ocorrem deslocamentos relativos entre os pontos do corpo, fazendo com que ele se altere de sua configuração original para uma configuração deformada. Em seus pontos surgem estados de deformação e de tensão, associados ao processo de deformação. Se

x

i são as componentes do vetor posição de um certo ponto, e

x u

a posição desse mesmo

ponto, porém na configuração deformada, então

u

i são as componentes do vetor de deslocamento

u

, e que estão em função de

x

. Desconsiderando os termos infinitesimais de ordem superior e assumindo a condição de linearidade geométrica (pequenos deslocamentos e pequenas deformações), é possível descrever as deformações em função dos deslocamentos, através das derivadas parciais do vetor

u

. Essas relações deformação-deslocamento, no âmbito de pequenas deformações e pequenos deslocamentos formam o tensor de deformação de Cauchy, representado na equação 2.23. , , 1 ( ) 2 kl uk l ul k  2.23

Observa-se, na resolução de problemas de elasticidade 3D, a necessidade de determinar 15 incógnitas, sendo 3 componentes de deslocamento, 6 de deformações e 6 de tensões. Entretanto, a equação 2.15 descreve apenas um sistema homogêneo de três equações de equilíbrio, assim, faz-se necessário utilizar-se das relações deformação-deslocamento descrita na equação 2.23, e das relações constitutivas do material dadas pela lei de Hooke generalizada dada na equação 2.24, para se obter as equações adicionais:

ij

c

ijkl kl





2.24

O tensor

c

ijkl possui 81 termos para os casos mais genéricos, entretanto,

algumas considerações como simetria de tensores de tensões e de deformações, hiperelasticidade, ortotropia ou isotropia, podem ser adotadas para reduzir a quantidade de tais termos. Para os casos de materiais isotrópicos em regime linear-elástico, o tensor

c

ijkl possui duas constantes independentes, e a equação 2.24 pode

ser escrita conforme a equação 2.25 que tem suas constantes definidas em 2.26. 2 2 1 2 ij mm ij ij G G       2.25 : 2 1 E

G Módulo de elasticidade transversal 

:

E Módulo de elasticidade longitudinal

: Coeficiente de Poisson



Também é possível descrever de forma inversa a equação 2.25. Tem-se então a equação2.27 a seguir. 1 2 1 ij ij kk ij G







 



2.27

Assim, com as condições de compatibilidade descritas na equação 2.23, as relações constitutivas na equação 2.25 e as condições de equilíbrio na equação 2.15, chega-se à equação 2.28, conhecida como equações de Navier, que descrevem o equilíbrio em termos das componentes de deslocamento.

, , 0 1 2 i jj j ji j G Gu u b



2.28 2.2.1 Elasticidade 2D

A teoria da elasticidade descrita anteriormente é utilizada para solucionar problemas gerais, em três dimensões. Mas há possibilidade de simplificá-la para análises bidimensionais, as quais se enquadram em 2 tipos de abordagens possíveis, que são, Problemas de Estado Plano de Deformação (EPD) e Problemas de Estado

Plano de Tensão (EPT). A escolha de cada uma delas dependerá da natureza do

problema que está sendo analisado.

2.2.1.1 Problemas de Estado Plano de Deformação (EPD)

Os problemas que podem ser analisados em estado plano de deformação (EPD) são aqueles definidos em corpos prismáticos longos sob ação de carga transversal constante ao longo de seu eixo longitudinal, podendo variar nos planos transversais, conforme ilustra a Figura 2.4. Assim, algumas simplificações podem ser feitas em relação aos problemas tridimensionais, que são:

1( 1, 2) u f x x 2( 1, 2) v f x x 0 w 11 1(x x1, 2)   22 2(x x1, 2)   12 3(x x1, 2)   33 31 32

0







Como tais simplificações mantém o estado triplo de tensões, o aspecto da equação 2.28 é o mesmo em relação aos casos tridimensionais.

Figura 2.4 - Corpo Prismático (EPD)

2.2.1.2 Problemas de Estado Plano de Tensão (EPT)

Os problemas analisados em estado plano de tensão (EPT) são chapas delgadas com carregamento paralelo ao seu plano, uniformemente distribuído ao longo de sua espessura, pequena, e que pode variar nos planos das seções transversais da chapa, conforme ilustra a Figura 2.5. Considera-se também que o carregamento perpendicular às faces seja nulo, de modo as tensões paralelas às faces sejam nulas. Assim, as simplificações em relação aos casos tridimensionais são:

11 1(x x1, 2)   12 2(x x1, 2)   22 3(x x1, 2)   31 32 33

0







33 11 22 1 2      31 32

0





em que a componente de deformação



33 em geral não nula, ocorre, neste caso, que

o aspecto das eqs. de Navier é diferente em relação ao tridimensional, dados pela equação 2.29.

Para uniformizar as expressões usadas em problemas 3D, EPD e EPT, modifica-se a constante



para



dada por   (1 ). Assim, as eqs. de Navier são dadas pela equação 2.29, que têm mesmo aspecto das eqs. usadas em problemas 3D e em EPD. , , 0 1 2 j ii k kj j G Gu u b



2.29

Figura 2.5 - Chapas delgadas (EPT)

Viga T

É possível analisar bidimensionalmente uma viga T via EPT, desde que se tenha uma situação em que o estados de tensão e de deformação sejam constantes ao longo do eixo

z

. Com isso, transforma-se a seção T homogênea real ilustrada na Figura 2.6, em uma seção heterogênea equivalente, modificando a região



2

conforme ilustra a Figura 2.7.

A relação tensão-deformação para a região



1 permanece idêntica em ambos

os casos. Porém, para a região



2, esta relação é dada pela equação 2.30, e para

' 2



, devido à modificação em

t

f e

E

1, a relação é dada pela equação 2.31.

1 1 1 1 1 ( f ) 1 df df E dA E t dy E   2 2 2 2 2 (w ) 2 df df E dA E t dy E   2.30 2.31

Figura 2.6 - Seção T homogênea real

Figura 2.7 - Seção T heterogênea equivalente

Para uma correta simulação, as deformações da viga T equivalente precisam, necessariamente, ser iguais às deformações da viga T real, ou seja,

 

2 1. Com isso,

tem-se a equação 2.32, utilizada para se obter

E

₂ em função de

E

1,

t

f e

t

w.

2 1 f w t E E t 2.32

Com

E

2, calcula-se a tensão



2 na viga T equivalente, que por sua vez precisa

ser corrigida pela equação 2.33 para se obter a tensão



1 na viga T real.

1 2 w f t t

 

2.33

3 MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO (MEC)

Neste capítulo são apresentados aspectos essenciais para o desenvolvimento do Método dos Elementos de Contorno. Na seção 3.1 é deduzida a representação integral da solução de problemas elastoestáticos, que possibilita expressar a resposta em um ponto qualquer do sólido em termos dos valores de contorno (deslocamentos e forças) em questão. Na seção 3.2 é apresentada a solução fundamental de Kelvin,

*

ujk , em um domínio

*

 , elástico e infinito, com contorno *

. Na seção 3.3 desenvolve-se a equação integral de contorno considerando que o ponto ξ . Na seção 0 são discutidos domínios que se estendem ao infinito. Na seção 3.5 é apresentado o processo de discretização da equação integral de contorno, e na seção 3.6 são demonstradas as técnicas de integração dos núcleos fracamente e fortemente singulares.

3.1 FORMULAÇÃO INTEGRAL DE CONTORNO

Será utilizado neste capítulo o método dos resíduos ponderados para chegar à representação integral das soluções elastoestáticas, embora também seja possível utilizar-se do 2º teorema do trabalho recíproco de Betti para se chegar à mesma equação.

Suponha-se um estado tensional



ij

(x)

aproximado a partir da equação 2.15,

serão consequentemente introduzidos erros no domínio  e no contorno

  

_{1 2} dados pelas equações 3.1, 3.2 e 3.3.

,

'( )

x



0,

x



j ij i j

r

b

se

1

''( )

x

( )

x

( )

x

0,

x



j j j

r

u

u

se

2

'''( )

x

( )

x

( )

x

0,

x



j j j

r

p

p

se

3.1 3.2 3.3

Ortogonalizando os erros do domínio  e dos contornos



1 e



2 de



, utilizando-se

funções de ponderação

u

' ( )

j

x

,

f

j

( )

x

e

g

j

( )

x

, escreve-se então a expressão geral do

método dos resíduos ponderados dada pela equação a seguir.

1 2 , ( ) ' ( )x [ ( )x ( )] ( )x x [ ( )x ( )] ( )x x 0       ij i b uj j d uj uj fj d pj pj gj d 3.4

Pela regra do produto da diferenciação tem-se que

(



ij

u

' ),

j i



ij i,

u

'

j



ij

u

'

j i, , e utilizando-se do teorema da divergência ,

    i i i i f d f n d , obtém-se. , ' ( ' ), ' , ' ' ,                ij iu dj iju j id iju j id u j ij in d iju j id 3.5

Considerando

u

' ( )

j

x

como sendo um campo de deslocamento do meio elástico-linear

onde o tensor de deformações ' 1 '_, ' _, 2

 _ij u_{i j} u _{j i} está associado, tem-se então.

, , , , ,

1 1

' ( ' ' ) ( ' ' ) '

2 2

 _{ij ij} _iju_{i j} _iju _{j i} _iju _{j i} _iju _{j i} _iju _{j i} 3.6

Substituindo a equação 3.6 na equação 3.5, obtém-se.

, ' ' '          ij iu dj u j p dj ij ijd 3.7

Considerando-se também que para um tensor de 4ª ordem

c

ijmn

c

mnij, tem-se então a

expressão.

'

'

'

'

'

'

 

_{ij ij}

c

_{ijmn mn}

 

_ij



_{mn ijmn}

c



_ij



_{mn mnij}

c



_ij

 

_{mn mn}

 

_{ij ij} 3.8

Assim, pode-se escrever a equação 3.7 conforme a equação a seguir.

, ' ' '          ij iu dj u j p dj ij ijd 3.9

Por analogia, escreve-se também a equação 3.7 de acordo com a equação 3.10.

, ' ' '          ij iu dj u p dj j ij ijd 3.10

Com as equações 3.9 e 3.10, finalmente chega-se a.

, ' ' ' ' ,

 

   

   

ij iu dj u j p dj u p dj j ij iu dj 3.11

De posse da equação 3.11, a equação 3.4 é reescrita novamente, assim, tem-se.

1 2 , ' ' ' ' [ ( )x ( )] ( )x x [ ( )x ( )] ( )x x 0              j j j j ij i j j j j j j j j j u p d u p d u d u b d u u f d p p g d 3.12

Considerando-se as funções

f

j

( )

x

p

j

'( )

x

e

g

j

( )

x

u

' ( )

j

x

, e substituindo na equação 3.12, obtém-se. 1 2 1 2 , ' ' ' ' ' ' 0             j j j j j j j j ij i j j j u p d u p d p u d p u d u d u b d 3.13

Como o problema fundamental em uma região *

com contorno *

, eventualmente infinita, é definido pela equação a seguir,

* * * , ( ) , , ( ) 0 1 2 x x ijk i jk jk ii ik ij ik G Gu u         3.14

é possível considerar as funções de ponderação como sendo u' ( )_j x u*_jk(x



), *

' ( )j x jk(x )

p p



e



' , ( )ij i x



*ijk i, (x



)



(x

 

) jk, onde k refere-se à direção

na qual o pulso unitário atua. Substituindo tais funções de ponderação na equação 3.13, obtém-se finalmente a equação que é a representação integral da solução de problemas elastoestáticos em um ponto  qualquer no domínio, também conhecida como identidade Somigliana e que serve para a derivação do Método dos Elementos de Contorno. 1 2 1 2 * * * * * ( ) j jk jk j jk j jk j jk j jk j u   u p d u p d p u d p u d u b d           3.15

3.2 SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS

O problema fundamental citado anteriormente para definir a equação 3.14 é estritamente necessário para a formulação do Método dos Elementos de Contorno, pois de posse da solução do problema, conhecida como solução fundamental, será possível, como se mostrou acima, encontrar a representação integral de contorno. Em elasticidade, particularmente, a solução fundamental mais utilizada é devida a Kelvin, deduzida a partir da equação diferencial 3.16, em um domínio elástico infinito * com contorno * onde as relações constitutivas dadas na equação 2.25 são válidas.

2 * * * ( , ) ( , ) ( ) 0 1 2 u x ξ G u x ξ b x G



3.16 A força de volume * ( )

b x é uma força unitária em todas as direções no ponto fonte ξ,

e é descrita pela função delta de Dirac conforme a equação. *

( ) ( , )

b x =



x ξ ej

A solução fundamental de Kelvin é dada pela equação a seguir, e relaciona a resposta em um ponto p, qualquer, devida a uma carga unitária em um ponto fonte

ξ

.

* 1 {(3 4 ) ln( ) , , } 8 (1 ) jk jk j k u r r r G









3.18

As correspondentes tensões fundamentais, em um ponto qualquer do contorno



, são obtidas derivando-se a equação 3.18 e, utilizando-se das equações 2.17, 2.23, 2.25, chega-se à equação 3.19, onde

n

é o vetor normal, nesse ponto, que aponta para fora de . * 1 [(1 2 ) 2 , , ] (1 2 )( , , ) 4 (1 ) n jk jk j k j k k j r p r r r n r n r

 







3.19

Para se definir um estado de tensão em qualquer ponto x , deriva-se a equação 3.15 em relação

ξ

e substitui-se na equação 3.20. Assim, chega-se à equação 3.21 que representa as tensões em função das variáveis de contorno. Os núcleos fundamentais da equação 3.21 são dados pelas equações 3.22 e 3.23.

2 ( ) 1 2 j m k jk ij m k j u u u G G













ξ * * * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

jk ujki pi d pjki ui d ujki bi d

       ξ x,ξ x x,ξ x x,ξ x * 1 {(1 2 )( , , , ) 2 , , , } 4 (1 ) jki i jk k ij j ki i j k u r r r r r r r













* 2{2 (1 2 ) , ( , , ) 4 , , , 2 (1 ) 2 ( , , , , ) (1 2 )(2 , , ) (1 4 ) } n jki i jk k ij j ki i j k j k i k j i i j k k ji j ki i jk G r p r r r r r r r n r r n r r n r r n n n              3.20 3.21 3.22 3.23 3.2.1 Forças de volume

As forças de volume são dadas pela integral sobre  da equação 3.15, em que utilizam-se células de integração para considerar casos mais genéricos de forças

distribuídas. Porém, quando um corpo está sujeito a forças gravitacionais, solicitação térmica estacionária e/ou forças centrífugas constantes, é possível, através do teorema da divergência, transformar a integral sobre  em uma integral sobre



. Tendo a relação entre a solução fundamental u*jk e o tensor de Galerkin

*

kj

G dada na equação 3.24 e Gkj* pela equação 3.25, obtém-se a solução fundamental

*

jk

u (equação 3.26), para casos bidimensionais onde considera-se forças de volume.

* * * , , 1 2(1 ) jk kj mm ki mj u G G



* 1 2 1 ln 8 kj jk G r G r





* 1 7 8 (3 4 ) ln( ) , , 8 (1 ) 2 jk jk j k jk u r r r G       3.24 3.25 3.26

Percebe-se que a equação 3.26 difere da equação 3.18 pela constante 7 8

2 jk

c

 

. Esta constante corresponde a um movimento de corpo rígido, e portanto, a equação 3.26 precisa ser utilizada em todas as integrais envolvendo u*jk,

caso se queira considerar eventuais forças de volume que atuam em um corpo. Para *

jk

p não há alterações, pois, tanto derivando a equação 3.18 quanto a equação 3.26, chega-se à equação 3.19. Assim, considerando b x( ) constante e utilizando a equação 3.24, reescreve-se a integral sobre  da equação 3.15 conforme a seguinte equação.

* * , , , 1 2(1 ) k j kj m km j m B b G G d    3.27

Então aplica-se o teorema da divergência,

, j j j j f d f n d     , e chega-se a. * * , , 1 2(1 ) k j kj m km j m B b G G n d    3.28

Em seguida, derivando-se a equação 3.25 em relação a

m

e em relação j, e substituindo na equação 3.28, obtém-se a equação 3.29 onde

B

_k é a k ésima

componente que soma-se ao vetor b da equação 3.46 quando se considera força de volume . 1 [2 ln 1] 8 2(1 ) j j k k k m m b r n B r b r n d G     3.29

Para se definir um estado de tensão em qualquer ponto x , quando se considera forças de volume, deriva-se o núcleo da integral da equação 3.29 em relação ξ e integra-o ao longo de



conforme a equação 3.30, em seguida, soma-se o valor obtido àquele da equação 3.21.

2 , 1 [2 ln 1] [ ] 8 2(1 ) 2(1 ) j k i i i k jk k j k m m b n _{r b r n} r b n b r n d G r









  3.30

3.3 CONSIDERAÇÃO DO PONTO FONTE SOBRE O CONTORNO

Para que a equação 3.15 seja válida, é necessário conhecer os valores de

( )

u x

em



1 e

p x

( )

em



2, para isso, considera-se primeiramente o ponto

ξ

sobre



conforme ilustra a Figura 3.1.

Figura 3.1 - Ponto ξ sobre



.

Com isso, surgem integrais singulares quando

ξ

j

x x

j

|

j



e a equação 3.15

* * *

0 0 0

( ) lim ( , ) ( ) lim ( , ) ( ) lim ( , ) ( )

x x x x x x j jk jk j jk j jk j u u p d p u d u b d                       3.31

As integrais da equação 3.31 que envolvem u*jk são fracamente singulares e

convergem no sentido normal de integração, porém a que envolve p*jk é fortemente

singular e por isso precisa ser tomada no sentido do valor principal de Cauchy. Assim, tem-se a equação 3.32 para a integral que envolve p*jk sobre

  

  da equação

3.31,

* * *

0 0 0

lim ( , ) ( ) lim ( , ) ( ) lim ( , ) ( )

x x x x x x jk j jk j jk j p u d p u d p u d                    3.32

onde a integral sobre



_ pode ser descrita de acordo com,

* * *

0 0 0

lim ( , ) ( ) lim ( , )[ ( ) ( )] {lim ( , ) } ( )

x x x x x jk j jk j j jk j p u d p u u d p d u                  3.33

e devido à continuidade dos deslocamentos, reescreve-se a equação 3.33 como.

* * 0 0 lim ( , ) ( ) {lim ( , ) } ( ) x x x jk j jk j p u d p d u            3.34

A integral sobre  _ dada na equação 3.32 corresponde ao valor principal de Cauchy (V.P.), assim é possível reescrever a equação 3.32 conforme a seguinte equação3.35. * * * 0 0 lim ( , ) ( ) . . ( , ) ( ) ( ){lim ( , ) } x x x x x jk j jk j j jk p u d V P p u d u p d                  3.35

Substituindo a integral sobre

  

  da equação 3.31 pela equação 3.35 tem-se,

* * * ( ) ( ) ( , )x ( )x ( , )x ( )x ( , ) ( )x x jk j jk j jk j jk j c  u  p  u d u  p d u  b d       3.36

em que

c

jk

( )



, denominado jump-term, é definido pela equação 3.37.

* 0 ( ) lim ( , )x jk jk jk c p d        3.37

3.4 REGIÕES QUE SE ESTENDEM AO INFINITO

Em problemas com domínios infinitos, além de considerar o contorno



, é preciso levar em conta a influência que as cargas em



causam no contorno





quando



conforme ilustra a Figura 3.2. Para isso, acrescenta-se à equação 3.36 a parcela referente ao contorno



. Assim, considerando

b

j

(x)=

0

, tem-se.

* * * * ( ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) lim ( , ) ( ) ... ... lim ( , ) ( ) x x x x x x x x jk j jk j jk j jk j jk j c u p u d u p d u p d p u d                   3.38

Figura 3.2 - Domínio infinito

Seguindo o princípio de Saint-Venant, quando



, a resultante de forças em



, devido a um estado de carregamento qualquer em



, é equivalente ao de

uma carga concentrada, ou seja, comporta-se como a solução fundamental no infinito. Assim, o comportamento assintótico

O u

( ( ))

j

x

e

O p

(

j

( ))

x

para casos bidimensionais

é apresentado da forma.

( )

d



_

O

 

d

( )

(ln( ) 1),

j

u

x

O



se

j k

( )

(1),

j

u

x

O

se

j

k

1 ( ) ( ) j p x O



3.39

Esse comportamento faz com que as integrais improprias da equação 3.38 não se anulem independentemente como no caso 3D, porém a soma delas convergem para zero quando



. Portanto as condições de regularidade apresentadas a seguir são satisfeitas. * * lim u_jk( , )x p_j( )x d p_jk( , ) ( )x u_j x d 0          3.40

3.5 DISCRETIZAÇÃO

Considera-se, nas integrais das equações 3.15 e 3.36, corpos contínuos com infinitos graus de liberdade. Porém na prática os problemas possuem geometrias complexas e não admitem uma solução analítica. Para que seja possível utilizar tais equações, é necessário dividir o domínio de integração em pequenas partes através de elementos cuja geometria seja simples e a função que descreva as variáveis de campo sobre ele seja conhecida. Esse processo é chamado de discretização do problema, ilustrado na Figura 3.3.

Figura 3.3 - Discretização de



Com isso, os valores ao longo de



são obtidos interpolando os valores nodais através das funções de forma

h

q. Assim,

u

j

( )

x

e

p

j

( )

x

podem ser descritos como.

( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) x x i i Q n n j q iq q Q n n j q iq q u h u p h u   3.41

Com a equação 3.41, reescreve-se a equação 3.36 conforme a seguinte equação, considerando

b

j

(x)=

0

. * ( ) * ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( , )x ( , )x n n Q Q N N n n jk j jk q jq n jk q jq n n q n q c



u



p



h u d u



h p d     3.42

Considerando o ponto ξ em cada nó do contorno discretizado, tem-se o sistema de equações representado pela equação matricial, onde as submatrizes e subvetores possuem a mesma dimensão do problema.

1 1 11 12 1 1 11 12 1 1 2 2 21 22 2 2 21 22 1 1 1 1 2 2 ( ) 0 ( ) 0 ( ) N N N N N N N N NN N N N NN N c u h h h u g g g p c u h h h u g g g p c u h h h u g g g P    3.43

Somando-se as matrizes referentes aos valores de

u

, reescreve-se a equação 3.43 considerando ˆh c hii ii ii. Tem-se, 11 12 1 1 11 12 1 1 2 21 22 1 1 21 22 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ N N N N N N N NN N N N NN h h h u g g g p u g g g p h h h u g g g P h h h 3.44

Matricialmente, a equação 3.44 é escrita conforme a ~seguinte equação.

Hu=Gp

3.45

Introduzindo as condições de contorno prescritas, escreve-se a equação 3.45 na forma,

Ay=b

3.46

onde A é uma matriz cheia e não simétrica que contém os coeficientes de H e G relativos aos valores incógnitos de

u

em



1 e p em



2, y é o vetor de valores

incógnitos, e b é o resultado do produto de uma matriz que contém os coeficientes relativos aos valores prescritos de

u

em



1 e p em



2 no contorno, por um vetor

valores incógnitos no contorno, com isso, utilizando-se da equação 3.15, pode se obter os valores de

u

e p em qualquer ponto

ξ



.

Entre os vários tipos de elementos unidimensionais que podem ser utilizados para discretizar o contorno em problemas bidimensionais, adotar-se-ão elementos isoparamétricos de três nós que interpolam exatamente uma função quadrática ou de ordem inferior. A Figura 3.4 ilustra tal elemento, e a equação 3.47 são dadas suas respectivas funções de forma.

Figura 3.4 – Elemento quadrático

( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( 1) 2 ( ) (1 ) (1 ) 1 ( ) ( 1) 2 i a ia b ib c ic a b c x h x h x h x h h h              3.47 3.5.1 Elementos descontínuos

Problemas que envolvem descontinuidade de força, conforme ilustra a Figura 3.5, podem ser resolvidos adotando-se o conceito de nó duplo, onde dois nós possuem a mesma posição geométrica, porém, diferentes valores de força de contorno podem ser associados a cada um dos nós. Entretanto, quando se tem

valores prescritos de deslocamentos em elementos adjacentes a esse nó e há descontinuidade do vetor normal, a matriz A da equação 3.46 torna-se singular, impossibilitando, nesse caso, a utilização de nós duplos.

Figura 3.5 – Descontinuidade de forças

Uma forma para resolver esse tipo de problema é deslocando os nós geométricos

x

a e

x

c a uma pequena distância



ed da extremidade do elemento conforme ilustra a Figura 3.6. Esses elementos são denominados elementos descontínuos, e devido ao deslocamento



ed de seus nós, geram equações adicionais linearmente independentes, podendo ser aplicados a qualquer tipo de problema que envolva descontinuidade.

Figura 3.6 - Elemento descontínuo

As equações são geradas quando o ponto

ξ

está sobre os chamados nós funcionais que, ora coincidem com os nós geométricos, ora não, gerando sistemas de equações não-singulares. Ressalta-se, porém, que cuidado especial deve ser tomado em relação às integrais quase-singulares.

Os elementos descontínuos são, na verdade, essenciais para implementação do processo genérico de acoplamento MEC/MEC, pois é impossível desenvolver um algoritmo de subregiões robusto para problemas práticos sem que se utilize de tais elementos (ARAÚJO, D'AZEVEDO, et al., 2013), já que nesses casos normalmente há a necessidade de simulação dessas descontinuidade de forças.