Sobre o Número de Dilworth e p-Grupos Metabelianos Delgados

U n i v e r s i d a d e d e B r a s í l i a I n s t i t u t o d e C i ê n c i a s E x a t a s D e p a r t a m e n t o d e M a t e m á t i c a

S o b r e o N ú m e r o d e D ilw o r t h e p - G r u p o s

M e t a b e lia n o s D e lga d o s

p or

Leonardo de A morim e Silva

D epartam ento de M atem ática

S o b r e o n ú m e r o d e D i l w o r t h e p - G r u p o s

M e t a b e l i a n o s D e l g a d o s

p or

L e o n a r d o d e A m o r i m e S i l v a

D is s e rta ç ã o apresen ta da ao D ep a rta m en to de M a tem á tica da U niversidade

de B rasília, co m o p a rte dos requisitos para ob ten çã o do grau de

M E S T R E E M M A T E M Á T I C A

09 de agosto de 2006

C om issão E xam in adora:

P rof. N o r a i j ^ ^ f ^ ^ o c c o - O rientador (M A T /U n B )

? ô- W jJ * ___________

P rof. Pavel Zalesski - M em bro (M A T /U n B )

r ^

j <

c L ^

) y

____

A g r a d e c i m e n t o s

A g ra d eço a Deus p or m e dar forças para conseguir m ais essa conquista.

À m inha n am orada e com panheira, G isliane, p o r to d o seu am or, carin ho, com preen são,

p o r to d a sua força e a p oio nos m om en tos de m aiores dificuldades.

A o m eu orien tador, P rof. N oraí R om eu R o c c o , pela orientação, p elo in cen tivo, pelas

críticas construtivas e p or to d a aju da.

A o s m eus pais, M arise e Luiz p o r to d o e a p oio, carin ho, com preensão e ensinam entos

durante to d a m in ha vida.

A os m eus irm ãos, Leandro, M irna, Luiza, D u du e J oã o V itor.

À to d o s os m eus am igos e colegas d o D ep artam en to de M atem ática da U nB em espe­

cial ao E uro, p o r sem pre m e aconselhar, a ju d a r e lutar para que eu pudesse term in ar o m estrado.

N este trabalh o abordam os questões relacionadas à largura d o reticu lad o dos sub­ gru p os de u m gru p o e estudam os p -gru p os m etabelianos delgados. Tais gru p os, dentre

os quais se inserem os p -gru p os de classe m axim al, são assim den om in ados p elo fa to de

A b s t r a c t

In this w ork we approached su b jects related to the w idth o f the la ttices o f the su bgrou ps o f a grou p and we studied m etabelian thin p-groups. Such groups, am on g

w h ich insert the m axim al class p -grou ps, are den om in ated like this b y the fa ct o f they

I n t r o d u ç ã o 1

1 R e s u l t a d o s P r e l i m i n a r e s 4

1.1 C om u tad ores, S u bgru po C om u ta d or e Séries C e n t r a i s ... 4

1.2 G ru p os N ilpotentes, S u bgru po de Frattini e alguns resultados sobre p -G ru p o s 7 1.3 R e t i c u l a d o s ... 10

1.4 M ó d u l o s ... 12

1.5 G ru p os M e t a b e lia n o s ... 12

1.6 G ru p os M etabelianos a dois G e r a d o r e s ... 13

2 G r u p o s d e C l a s s e M a x i m a l 2 1 2.1 G ru p os de Classe M a x im a l... 21

2.2 G rau de C o m u ta t iv id a d e ... 23

2.3 E lem entos U n ifo r m e s ... 25

4.2 Séries C entrais e C entralizadores

4.3 p -G ru p os M etabelianos D elgados

N este trabalh o fazem os um estu d o sobre p -gru p os m etabelianos d elgados, que são

gru p os que possuem largura norm al p + 1. N osso estudo tem co m o base os artigos de

B randi, C aranti e S cop p o la “M eta b elia n thin p -g r o u p s ” , Szekeres “M eta b elia n grou p s with

tw o g e n e r a to r s ” e B randi “ T he D ilw orth n u m b er o f subgroup la ttic es”.

N o ca p ítu lo 1, exibim os alguns resu ltados da teoria de p -grupos finitos e dos gru p os

m eta b elia n os 2-gerados. O estudo a resp eito desses grupos m etabelianos 2-gerados tem

co m o referência o artigo de Szekeres, o qual trata este assunto usando técnicas de anéis.

U m ex em p lo de co m o usar tais técn icas para a con stru ção de p -gru p os m etabelian os 2- gerados ta m b ém é d iscu tid o neste cap ítu lo.

Iniciam os o nosso o b je tiv o de estudar os p -gru p os delgados, com um a reflexão sobre os

gru p os de classe m axim al. B lackburn estudou esses grupos em detalhes n o seu artigo “O n

a S p ecial C lass o f p -G r o u p s ”, razão p ela qual neste trabalh o não consideram os os gru pos de classe m axim al co m o grupos delgados.

N o ca p ítu lo 3, onde falam os d o núm ero de D ilw orth, ex p om os alguns resu ltados sobre a largura e a largura norm al de um gru p o. Tais resu ltados aju d am a entender a estrutura

d o reticu lad o dos subgru pos norm ais de um gru p o de largura norm al p + 1, ou seja, dos

gru p os delgados. E xibim os, no final deste capítu lo, um exem plo de um gru p o de largura

n orm al p + 1 que não é de classe m axim al, ju stifica n d o assim que a classe dos p -gru p os

d elgad os abrange aquela dos p -gru p os de classe m axim al.

N o ca p ítu lo 4, apresentam os o estu d o sobre grupos m etabelianos delgados. E m par­

ticu lar, m ostram os que as séries centrais su perior e inferior de um p -gru p o d elgad o coin ­

cid em . N o ca p ítu lo 2, on d e foi feito o estudo dos grupos de classe m axim al, observam os

que estes gru p os são caracterizados p o r possuírem um elem ento cu jo centralizador tem

ord em p 2. C o m o verem os, a tentativa de caracterizar os p -gru p os delgados co m o p-gru p os

In trod u çã o

con ten d o um elem ento cu jo centralizador tem de ordem p 3 falha. M as m ostram os que,

se o gru p o é tal que para cad a g e G — G ', o centralizador C g(sO tem ordem p 3, então G é delgado. A recíp roca está provada para p -gru p os m etabelianos delgados. M ostram os

ta m b ém que a ordem de um p -g ru p o m etabelian o d elgad o G satisfaz p 5 < |G| < p 2p e um exem p lo de que esta cota é atin gida ta m b ém é dado.

U m exem plo d o diagram a d o reticu lad o ^ ( G ) de to d o s os subgru pos norm ais de um

gru p o de classe m axim al e de um gru p o delgado, é d a d o respectivam ente lo g o a seguir, o

que ju stifica o n om e delgado:

G

7 2 (G )

7 3 (G)

7 4 ( G )

7 5 (G ) 7 c < ( G ) - i( G )

7c í( G ) ( G )

G

72 (G)

7 3 (G )

7 4 (G )

7 5 (G)

7 c £ ( G ) - l ( G )

7c< (G )(G )

1 1

P od em os observar que no reticu lad o de um gru p o de classe m axim al ocorre um d ia ­

m ante n o to p o , form a d o p or seus p + 1 subgru pos m axim ais, seguido p o r um a cadeia form a d a pelos term os d a série central inferior. E no caso de um gru p o d elgad o a o c o r ­

rência de diam antes não é m uito b em con trolad a. P or um diam ante nós entendem os um

reticu lad o que tem um m ín im o, um m á xim o e p + 1 outros elem entos interm ediários.

Já n o caso de um gru p o m etabelian o delgado, esse reticulado fica m ais determ in ado,

p o r u m a conseqü ência d o C orolário 4.13, que assegura que os fatores centrais de um p-

gru p o m etabelian o d elgad o têm ord em p 2, exceto 72( G ) /73(G ) e possivelm ente 7^ ( g ) ( G ) .

m etabelianos delgados, que é d escrito em [2]. M as d evid o ao p o u co tem p o, essa técn ica

será estudada em outra ocasião.

C a p í t u l o 1

R e s u l t a d o s P r e l i m i n a r e s

N este ca p ítu lo relacionam os alguns resultados que serão usados nos cap ítu los subse­ qüentes.

1 .1

C o m u t a d o r e s , S u b g r u p o C o m u t a d o r e S é r i e s C e n ­

t r a i s

Seja G um grupo. D efinim os o com u ta d or de a, b E G co m o sendo a ~ l b~1ab e de­ n otarem os p o r [a,b\. O com u ta d or [ax, a 2, a3, ..., an\ será definido recursivam ente com o

sendo [ai, a2, a3, ..., an] = [[oi, a2, 0 3, « n - i] , «n]- L og o abaixo listam os algum as id enti­ dades básicas envolvendo com utadores:

(i) [0,6] = [6, a]- 1 .

(ii) [ab, c] = [a, c]b[b, c] = [a, c][a, c, b\[b, c]. (iii) [a, bc] = [a, c][a, b\c = [a, c][a, b][a, ò, c].

(iv) [a ,b ~1, c ] h[b ,c ~1, a ] c[ c , a ~1, b]a = 1 (Identid ade de W itt).

Sejam G um gru p o e X um su b con ju n to de G . A interseção (X ) de to d o s os subgru pos de G con ten d o X é ch am ada 0 subgrupo de G gerado p elo con ju n to X . Seja X um su b con ju n to con tid o em G tal que G = (X ), dizem os que G é gerado p o r X . Se X for finito dizem os que G é finitam ente gerado.

D e f i n i ç ã o 1 .1 . Seja G um grupo. O su bgru po de G gerado p or to d o s os com utadores,

e será d en otad o p or G '. P od em os ta m b ém definir o com u ta d or [ L , M ] , onde L e M são su bcon ju n tos de G , co m o sendo

[L, M\ = {[a,b] | a e L , b e M ) .

A série de um gru po G , d ad a p or

G = 7l (G ) > 72(G ) > ... > 7í (G )... > ...

é defin ida recursivam ente co m o sendo:

í

7 1(G ) = G

\ 7 m ( G ) = [7í ( G ) , G ] , i = 1,2,...

E sta série é ch am ada sé r ie cen tral in fe r io r d o gru p o G onde cad a term o 7í( G ) é to ta l­ m ente invariante em G , [[14] pág. 142], ou seja, é invariante p or qualquer en d om orfism o de

G . A lém disso, tom a n d o o quocien te p o r 7i+1( G ) na igualdade de 7i+ i ( G ) = [7í ( G ) , G ],

ob tém -se [7j ( G ) /7t + i(G ), G /7,-+ i(G )] = 1, o que m ostra que cad a fator 7j ( G ) /7i+1( G ) é um fa tor central.

A s é r ie cen tra l su p erio r de um gru p o G

1 = Z0 < Z i ( G ) < Z2(G ) < ...Z j( G ) < ...

é definida d a seguinte m aneira:

Z0(G ) = 1, Z1(G ) = Z ( G ) e,

em geral, Z Í+1(G ) é a pré-im agem em G de Z ( G / Z j ( G ) ) , isto é, Z i+ i ( G ) é aquele sub­ gru p o de G para o qual Z j+ i ( G ) / Z , ( G ) = Z ( G / Z j ( G ) ) .

A p rop osiçã o abaixo estabelece algum as propriedades da série central in ferior e supe­ rior de um grupo.

P r o p o s i ç ã o 1 .2 . S eja m G um grupo e i , j in teiro s p ositivos.

^ [ 7

í

(G ),7

í

( G )]< 7 ^ ( 0 0

(ii) 7 í( 7 j( G ) ) < 7i j { G )

(U i) ["n ( G ) , Z j { G)] < Z j - i ( G ) s e j > i. E m p a rticu la r, [7,;( G ), Z t (G)\ = 1.

Cap ítu lo 1. R esultados P relim in ares

D em o n stra çã o . A d em on stração p o d e ser encon trada em [[14] pág. 144].

P r o p o s i ç ã o 1 . 3 . S eja G um grupo gera d o p o r um con ju n to X . E n tã o (i)

7

i(G) = {[xi,...,xi]9 \xj e

X , j = 1 , . . . i , g

e G).

(ii) 7i ( G ) = { { x l , . . . , x i},~ji + l ( G ) \ x j € X , j = 1

(iii) S e X = { x , y } en tã o 72 (G ) = { [ x, y\, ' y3( G ) ) e assim 7 2( G ) /7 3(G ) é cíclico. (iv ) S e X — { x , y } en tã o G " := 7 2( G ') < 75(G ) .

D em o n stra çã o . A d em on stração p o d e ser encon trada em [[14] pág. 146].

C onsid erem os agora a seguinte lei de com utadores

[[•^1) ■■■■> [^m+lj -^m+n]] = 1)

a qual den otarem os abreviadam ente p o r [m , n] = 1.

Se o g ru p o satisfaz a lei

\Xl, X2, X$, ..., X/ç\ ^2; *^(^(3)5 •••>

onde cp é um a p erm u tação de { 3 ,..., k } , direm os que G satisfaz C ( k , ip), e se G satisfaz

C ( k , i p ) para to d a p erm utação tp de { 3 ,..., k } , direm os que G satisfaz C ( k ) (cf. F. L evin

[9])-A g o r a apenas citarem os alguns resultados de Levin [9] que são u tilizados nos cap ítu los seguintes.

L e m a 1 . 4 . [9 ] G sa tisfa z C ( n + 2 ) , n > 2 se, e s o m e n te se, G sa tisfa z [n — k,2 + k] = 1

para todo k = 0,1, 2..., n —2.

T e o r e m a 1 . 5 . [9 ] S e G sa tisfa z

[n,2] = [n — 1, 3] = ... = [n — k, 2 + k\ = 1,

para algum k < s, on d e 2s = n —2 s e n é p a r e 2 s = n — “ò s e n é im par, en tã o G sa tisfa z C ( 2 n - 2 k - 1).

E m particular, para k = 0 tem os o seguinte resultado:

C o r o l á r i o 1 . 6 . S e G sa tisfa z [n,2] = 1, n > 3 , en tã o G sa tisfa z C ( 2 n — 1 ) .

1 .2

G r u p o s N i l p o t e n t e s , S u b g r u p o d e F r a t t i n i e a l g u n s

r e s u l t a d o s s o b r e

p

- G r u p o s

D e f i n i ç ã o 1 . 7 . U m gru p o G é d ito n ilp o ten te se G possui um a s é r ie central finita, isto é, um a série 1 = G 0 < G i < ... < G „ = G tal que:

(i) G j < G , i = 0 ,..., n (a série é n orm al);

(ii) G j + i /G j < Z ( G / G j ) ( G j + i /G j é um fa tor central de G ).

P r o p o s i ç ã o 1 . 8 . S eja G um grupo n ilp o ten te e 1 = Gq < G i < ... < G n = G um a s é r ie central em G . E n tã o :

(i) ^fi(G) < G n+i - i , para i = 1, ...,n + 1;

(ii) G i < Z i ( G ) para i = 0,..., n ;

(U i) A s s é r ie s cen tra is in fe r io r e su p erio r têm o m e sm o com p rim en to.

D e m o n stra çã o . (i) Para i = 1 tem os 7* (G ) = G „ = G . Para * > 1 observem os que G n+i _ j / G n_j < Z ( G / G n_ j) fornece [G n+1_ j,G ] < G n_j. A ssim , a dm itin d o p o r in d u çã o

sobre i que 7í( G ) < G „ + i_ j, obtem os

7 í+ i(G ) = [7 j( G ) ,G ] < [ G „ + i_ i, G ] < G n- i .

(ii) D em onstra-se de m o d o análogo ao anterior.

(iii) Se G tem classe c então existe u m a série central 1 = G 0 < G x < ... < G c = G

e qualquer ou tra série central de 1 a G tem com p rim en to m aior ou igual a c. P or (i) tem os 7c+i ( G ) = 1, assim a série central inferior tem com p rim en to c, e p o r (ii) tem os que

Z C( G ) = G . L og o a série central superior tam bém tem com p rim en to c. ■

N um gru p o n ilpotente, o com p rim en to das séries centrais superior e inferior são iguais,

co m o foi p rovad o acim a. Este núm ero é a classe de n ilp otên cia de G .

T e o r e m a 1 . 9 . Todo subgrupo de um grupo n ilp o ten te é subnorm al. M a is p recisa m en te, s e G é n ilp oten te de cla sse c en tã o, para qualquer subgrupo H , a s é r ie de n orm a liza d ores co m eça n d o com H alcança G depois de n o m á xim o c pa ssos.

D e m o n str a ç ã o . Sejam

Zi = Z i ( G ) , H0 = H , H j+ l = N G ( H j ) .

Cap ítu lo 1. R esu ltados Prelim in ares

Para provar o teorem a basta m ostrar que Zi < i / j . Para i = 0 isto é óbvio. S u pon h am os então que o resu ltado seja válido para i e m ostrarem os que vale para i + 1. U m a vez que

[ G , Z i+1] < Z i < H i, tem os que

H ? i+l Ç H i l H ^ Z i + i l K H i .

E n tão Zi+ 1 norm aliza H i, isto é, Zi+ 1 < H i+i. ■

T e o r e m a 1 . 1 0 . N um grupo n ilp o ten te G , todo subgrupo n orm a l nã o trivia l in tercep ta o cen tro de G n ã o trivia lm en te.

D e m o n s tra ç ã o . U sarem os in d u ção sobre a classe de nilpotên cia. Seja G um gru p o n ilp oten te e H um su bgru po norm al n ã o trivial. S u ponham os, p o r in d u ção, que o teorem a seja válido para gru p os de classe m enor que G . Se H < Z i ( G ) tem os a con clu são desejada

trivialm ente. T om e H ^ Z i { G ) . E n tão, p o r hip ótese de in d u çã o para G / Z ^ G ) , a in terseção H Z i ( G ) D Z2(G ) con tém um elem ento a £ Z \ {G ). Se a = h z para algum

h G H , z e Z \ ( G ) , então h G H H Z 2( G ) e h ^ Z ±( G ) . Seja g G G um elem ento tal que

[h, g] 7^ e. E n tão

[/*, g]

e

H n [ Z2( G ) , G ] < H n Z1( G ) ,

de m o d o que a interseção H D Z \ (G ) é não trivial, e o teorem a está provado. ■

T e o r e m a 1 . 1 1 . T odo p -gru p o fin ito é n ilp oten te.

D e m o n str a ç ã o . S abem os que o cen tro de um p -g ru p o finito é não trivial, ou seja,

Z ( G ) 7^ 1. Se, para algum i, tem os que Z i ( G ) < G , então Z ( G / Z i ( G ) ) / 1 e assim

* i ( G ) < Z i+1( G ) . U m a vez que G é fin ito, existirá um inteiro i co m Z i (G ) = G .

P orta n to G é nilpotente. ■

D e f i n i ç ã o 1 . 1 2 . Seja G um g ru p o; defin im os o seu subgrupo de F rattini $ ( G ) com o sendo a in terseção de tod os os su bgru pos m axim ais de G . Q u an do G não possui subgru po m axim al, defin im os $ ( G ) = G .

D e f i n i ç ã o 1 . 1 3 . U m elem ento i e G é d ito um n ã o gera d or se ele p o d e ser om itid o de

to d o con ju n to gerador, isto é, se G = (x , Y ) , então G = ( Y ) .

D em on stra çã o. Sejam x um elem ento n ão-gerador de G e M um su bgru po m axim al em G . Se x £ M , então G = (x , M ) , um a con tra d içã o. C onseqüentem ente x G M para to d o

subgrupo m axim al M , e assim x G $ ( G ) . R ecip rocam en te, se 2 € ^ ( G ) , assum a que G = (z , Y ). Se ( Y ) 7^ G , então existe um su bgru p o m axim al M com ( Y ) < M . M as

2: G M , e assim G = (z, Y ) < M , um a con trad ição. P orta n to z não é um gerador. ■

T e o r e m a 1 . 1 5 . S eja G um grupo n ilp oten te. S e A é um subgrupo de G tal que A [ G , G\ =

G , en tã o A = G . P o r ta n to

[ G ,G ] < $ ( £ ) . (1.1)

D em o n stra çã o . S uponha que A / G . Seja A i = A Z i { G), % = 0 ,1 ,2 .... T em os que

A i < A i+i. S u ponh a que existe um n tal que A n < G , A n+X = G . U m a vez que o quociente A n+i/ A n é abeliano tem os que [G , G ] < An, donde

A [G , G ] < A n < G ,

um a con trad ição. A afirm ação (1.1) segue diretam ente d a descrição dos elem entos de

$ ( G ) co m o o con ju n to dos não geradores de G . ■

T e o r e m a 1 . 1 6 . S eja G um grupo fin ito . (i) $ ( ( ? ) é nilp oten te.

( ii) S e G é um p -gru p o fin ito , en tã o $ ( G ) = G ' GP, on d e G p é 0 subgrupo de G gera do p o r todas as p -é s im a s p o tên cia s de elem en to s de G .

(U i) S e G é p -gru p o fin ito , en tã o G / $ ( G ) é um esp a ço v eto ria l so b re Z p.

D e m o n stra çã o , (i) Seja P um p -su b gru p o de Sylow de $ ( G ) para algum p . U m a vez que

$ ( G ) < G , o argum ento de Frattini nos fornece que G =

$ ( G ) N

g

{P)-

M as <Í>(G) consiste

de elem entos não geradores, p orta n to G =

N

g

( P

), isto é, P < G , e assim P < $ ( G ) . P orta n to $ ( G ) é o p rod u to d ireto de seus subgru pos de Sylow , e assim , p o r [Teorem a

5.39 [15]], $ ( G ) é nilpotente.

(ii) Se M é um su bgru po m axim al de G , onde G é um p -gru p o, então tem os que M < G e [G : M ) — p. A ssim G / M é abeliano, de m o d o que G ' < M . A lém disso G / M tem

exp oen te p, de m o d o que x p G M para to d o x G G . P ortan to G ^ G 1’ < 4>(G).

P ara m ostrar a ou tra inclusão, observe que G / G ' G P é um subgru po abeliano de ex­

p oen te p, assim abeliano elem entar, e p orta n to um espaço vetorial sobre Z p. C laram en te

Capítu lo 1. R esultados P relim inares

$ ( G / G ' G P) = 1. Se H < G e H < $ ( G ) , então $ ( G ) é a im agem inversa (d o h om om or-

fism o ca n ôn ico) de $ ( G / H ) (para su bgru pos m axim ais correspon den tes). Segue assim

que $ ( G ) = G ' G P.

(iii) U m a vez que G 'G P = $ ( G ) , o gru p o quocien te G / $ ( G ) é um gru p o abeliano de

expoen te p, de m o d o que é espaço vetorial sobre TLV.

D e f i n i ç ã o 1 . 1 7 . U m p -g ru p o G é d ito ser esp ecia l se G é abeliano elem entar ou G é

de classe 2 e G ' = Z ( G ) = $ ( G ) é abelian o elem entar.

P r o p o s i ç ã o 1 . 1 8 . S eja G um p -g ru p o, tal que para cada subgrupo abeliano H , H / Z ( G)

é cíclico. E n tã o G / Z ( G ) é abeliano elem en ta r, diedral ou n ã o abeliano de ord em p 3 e exp oen te p.

D em o n stra çã o . P od e ser encon trada em [11].

L e m a 1 . 1 9 . (L ei M odu la r). S eja m H , K e L subgrupos de um grupo G e assu m a que K C L . E n tã o (H K ) n L = ( H n L ) K .

D e m o n stra ç ã o . T em os que ( H D L ) K Ç H K e (H D L ) Ç L K = L , assim (H n L ) K Ç

( H K ) n L . R ecip rocam en te seja x £ (H K ) n L e escreva x = h k, h G H , k £ K . E ntão

h = x k ~ l G L K = L , de m o d o que h € H D L . P ortan to tem os que x £ ( H D L ) K . ■

T e o r e m a 1 .2 0 . (T eo rem a da B a s e de B u rn sid e). S eja G um p -g ru p o fin ito e $ ( G ) o

subgrupo de F rattini. O grupo A = G / & (G ) é abeliano elem en ta r. S e A tem ord em p r , en tã o todo con ju n to { z i , Z2, ...z s } de ele m e n to s que gera m G c o n tém um su b co n ju n to de r ele m e n to s { x i , ...,x r } o qual gera G . N a aplica ção G —>■ A , os ele m en to s x i , . . . , x r sã o aplica dos nu m a base { a i , . . . , a r } de A . R ecip roca m en te, qualquer con ju n to de r elem en to s de A , os quais sã o aplicados num a base de G , gera m G .

D e m o n s tra ç ã o . P od e ser en con trada em [[6] pág. 176].

1 . 3

R e t i c u l a d o s

U m con ju n to parcialm ente ord en a d o é um con ju n to P ju n to com um a relação bin ária “ < ” tal que as seguintes con d ições são satisfeitas, para t o d o x , y , z £ P :

(2) Se x < y e y < x , então x = y (A n tisim étrica ); (3) Se x < y e y < z, então x < z (T ransitiva).

U m elem ento x de um con ju n to parcialm ente ord en a d o (P, < ) é d ito um a cota in fe r io r

para o su b con ju n to S de P se x < s para to d o s € S . 0 elem ento x é o ín fim o de S se x

é um a cota inferior de S e y < x para qualquer co ta inferior y de S . P or (2 ), d a defin ição

anterior, tal ínfim o de S , se existir, será ú n ico e será d en otad o p or PIS'. A n alogam en te

as definições e observações aplicar-se-ão para as co ta s su p eriores e su p re m o, e este será

den otado p o r US'.

D e f i n i ç ã o 1 . 2 1 . U m reticu la d o é um con ju n to parcialm ente ordenado n o qual t o d o par de elem entos tem um suprem o e um ínfim o.

E xem p lo 1.22. Se G é um gru p o qualquer, o con ju n to £ ( G ) , de to d o s os su b gru p os de

G , é um con ju n to parcialm ente ordenado co m respeito à op eração de in clusão, on d e o

suprem o entre d ois su bgru pos desse reticu lad o é o su bgru po gerado pela união, e o ínfim o é a interseção desses su bgrupos.

D ois elem entos x e y num con ju n to parcialm ente ord en ado são d itos co m p a rá v eis se

x < y ou y < x . U m su b con ju n to S de P é u m a cadeia se quaisquer dois elem entos em S são com paráveis; dizem os que S é um a a n ti-ca d eia se quaisquer dois elem entos de S

não são com paráveis. O com p rim en to de u m a cadeia finita S é, p or definição, l^l — 1. U m con ju n to parcialm ente ord en ado P tem co m p rim e n to n, onde n é um núm ero natural, se existe um a cadeia finita em P de com p rim en to n e tod a s as cadeias em P são de com p rim en to no m á xim o n. U m con ju n to parcialm ente ordenado P é de co m p rim e n to

fin ito se ele é de com p rim en to n para algum n £ N. A nalogam ente, P é de largura n

se existe um a anti-cadeia com n elem entos em P e tod a s as anti-cadeias em P têm no

m á xim o n elem entos.

Capítulo 1. R esultados P relim inares

Alguns exem plos de cadeias em 9T (G ) são: { { 1 } , ( —1 ), (i ), G } , { { 1 } , ( —1 ), ( j ), G } ,

{ { ! } . ( - ! ) > (k ) , G } , { { ! } > ( - 1) , (*>}, e t c - E suas anti-cadeias são: { ( i ) , ( j ) , ( k ) } , { ( * ) , ( j ) } ,

{<<),<*>}, W ) , ( * ) b

1 .4

M ó d u l o s

D e f i n i ç ã o 1 . 2 4 . U m R -M ód u lo à esq uerd a sobre o anel R consiste de um gru p o abelian o

( G , + ) e um a op eração R x G —> M (ch am ada m ultiplicação p o r escalar, usualm ente escrita p or ju sta p osiçã o, isto é, co m o r x, r G R e x G M ) tal que para to d o s r , s e R ,

x , y G M , tem os:

1. r ( x + y ) = r x + r y , r e R ; x , y £ G

2. (r + s ) x = r x + s x

3. (r s ) x = r { s x )

4. l x = x

E xem plo 1.25. T o d o gru p o abeliano G p o d e ser visto co m o um Z -m ó d u lo , p ois para n > 0 tem os que n x = x + x + ... + x (n vezes), Orr = 0 e ( —n ) x = — ( n x ) .

D e f i n i ç ã o 1 . 2 6 . U m i?-m ód u lo M é ch a m a d o cíclico se M = R x para algum x G M .

E xem p lo 1.27. T o d o gru p o cíclico é um Z -m ó d u lo cíclico.

O an iq uila d or de um m ód u lo M é o con ju n to { r e i ? | r x = 0 V x E G }

D e f i n i ç ã o 1 . 2 8 . U m m ód u lo M fie l é um m ód u lo onde o aniquilador é 0 .

1 .5

G r u p o s M e t a b e l i a n o s

D e f i n i ç ã o 1 . 2 9 . U m gru po G é m eta b elia n o se existe um su bgru po norm al N < G tal que N e G / N sejam am bos abelianos.

E x em p lo 1.30. T^odo grupo abeliano é m etabelian o.

L e m a 1 . 3 1 . G é m eta belian o se, e s o m e n te se, G " = 1.

Se G " = 1, m ostrarem os que G é m etabelian o. Para isto provarem os a existência de

um subgrupo norm al abeliano em G e então m ostrarem os que o quocien te de G p o r esse

subgru po tam bém é abeliano. Se G é abelian o nada tem os a se fazer, p orta n to p od em os

considerar o caso em que G é não abelian o, e p orta n to G ' 7^ 1.

Se G " = 1, escolha JV = G ' e a afirm ação segue, p ois G / G ' e G ' são abelianos. ■

T e o r e m a 1 .3 2 . S e H é um subgrupo de um grupo m eta belia no G , en tã o H é m eta b elia n o.

D em o n stra çã o . Seja H um su bgru p o d o gru p o m etabelian o G . U m a vez que G é

m etabeliano, p elo lem a 1.31, G " = 1. C o m o H é um su bgru po de G , tem os que H " é

subgru po de G " e p orta n to H " = 1. E ntão, p elo lem a 1.31, H é m etabelian o. ■

T e o r e m a 1 .3 3 . S e G é um grupo m eta b elia n o e <p : G —>■ K é um h o m o m o rfism o , en tã o

<p(G) é m etab elian o.

D em o n stra çã o . Seja G um gru p o m etabelian o e <p co m o acim a. S abem os que — <p(H') para qualquer gru p o H . A ssim <^(G)" = ^ ( G ') ' = <£>(G " ) . U m a vez que G é m etabelian o tem os que G " = 1, e p orta n to ip {G )" = <£>(G") = <^(1) = 1. A ssim , p elo

lem a 1.31, <^(G) é m etabeliano. ■

1 .6

G r u p o s M e t a b e l i a n o s a d o i s G e r a d o r e s

D iscutirem os nesta seção, em linhas gerais, um a técn ica para construir grupos m etabeli­ anos com dois geradores cu jo su bgru po com u ta d or é finito. E sta técn ica está apresentada

no artigo de Szekeres [17], a qual é desenvolvida usando técnicas de anéis. A qu i tratarem os

som ente os gru pos m etabelianos a dois geradores. M aiores detalhes p o d e m ser encon trados

em [17].

Sejam a ,b geradores d o gru p o m etabelian o G e K = G ' finito. T em os que a K , b K

são geradores de G / K, de ordens r e s respectivam ente.

Sejam a , os autom orfism os internos in duzidos p or a e b em K , isto é,

da = a ~ l da d13 = 6_1o?6, V d G K . (1.2)

Cap ítu lo 1. R esultados P relim inares

Claram ente a , (3 são in dependentes d os representantes a, b de a K , b K e

a r = e, (3S = e (1.3)

onde e indica o autom orfism o id entidade de K. Seja

{

m n \

C jjo;1/?-7; m > 0, n > 0, q j G Z > , (1.4)

í=o j=o J

onde a ° = 0 ° = e. K é um iü -gru po pela defin ição usual

dpa = (dp) a , df'p+(T') = dpda , de = d p a ra d £ K , p , a G R , (1-5)

e

dmp = (c^ )m p a ra m G Z . (1.6)

P ara conven iência de n ota çã o escreverem os K aditivam ente. D efina um m on om orfism o ■0 de K no i?-m ó d u lo A = K ^ tal que

d f + d% = (d±d2)^, (1-7)

pd* = (d» )* ,

(

1

.

8

)

para to d o di, c?2, d G K , p G -R. A ssim

^ ( p a ) ^ = ( d ^ ) * = a ( pd^ ) ,

{p + a ) d * = {dp+a)^ = (dpd ? f = p d ? + <rd*,

de m o d o que o i?-m ód u lo A carrega u m a anti-representação de R . E tam bém , é claro, um a representação direta já que R é com u tativo.

L e m a 1 . 3 4 . A é m on o g ên ico e é gera do p o r c^ on d e

c = a ~ l b~l ab. (1-9)

D e m o n str a ç ã o . Seja B o fí-m ó d u lo gerado p or c^, H = B^* on d e ipip* = e. U m a vez

c £ H . E ntão G / H é abeliano, gerado p o r a H , b H , p orta n to H

D

K\ m as H Ç K , assim

K = H . m

Seja n : Z [ x , y] —>■ R o hom om orfism o

F ( x , y y = F ( a , P ) .

A estrutura de A é com pletam en te determ in ada p elo ideal N de to d o F £ Z [ x , y\ tal que F ^ age trivialm ente sobre A , isto é,

F ( a , 0 ) . c * = O. (1.10)

U m a vez que K é finito, N deve con ter u m a constante não nula h; além disso

x r — 1 £ N , y s — 1 £ N . (1.11)

D e fato,

F ( x , y ) = x r — 1 =>- F ( x , y Y = a r — 1 (p or 1.3, a r = e)

(,

a r

- 1 ) ( c^) = a r ( c^) -

= 0.

A d escrição com p leta de G requer, assim,

(a) u m a esp ecificação de N £ Çp[x, y\ (on d e ( p[x, y] representa os ideais p-prim ários de

Z[x

, y]) e

(b ) u m a esp ecificação dos elem entos ar , b s £ K .

A parte (a) da afirm ação acim a está d em on strada na seção 4 de [17].

A respeito da parte (b ), seja

{aTf = p é e (bsf = - a é , (1.12)

on d e p = ip(a, (3) e cr = r ) ( a, 0 ) são elem entos convenientes de Z [a , (3\.

U m a vez que a com u ta com ar , devem os ter a p = p, isto é,

( x - l ) i p ( x , y ) £ N p (1.13)

Cap ítu lo 1. R esultados Prelim inares

para cada p, onde N p é a com p on en te p -prim ária de N . A lém disso, com o b 1ab = a c p or

(1.9), tem os para r > 0,

b~1á rb = ( a c ) r = a c a ~ 1a2ca ~ 2 ...ar ca ~ rar ,

assim p or (1.12), $ p é = ( í r V ô ) ^ = (1 + a + ... + a r~ l + p) c*,

( y - 1 )(p(x, y ) - (1 + x + ... + a:r_1) G N p . (1.14)

A nalogam ente m ostram os para rj(x, y ) ,

( y - l ) r ] { x , y ) E N p, (1.15)

( x - 1 )rj{x, y ) - ( l + y + ... + y s_1) G N p, (1.16)

se s > 0.

C ad a com p on en te p -prim ária de ar e bs é representada p or p olin óm ios tp(x, y ) , r)(x, y )

mod N p, os quais satisfazem as con d ições acim a. Se r = 0 então t p ( x , y ) = 0(m o d N p)

para ca d a p e, sim ilarm ente, se s = 0 então 7] ( x, y ) = 0(m o d N p).

T em os que ( p e r ) são independentes d os representantes a, b das classes laterais a K , b K .

Se su bstituirm os a p or ad, d G K on d e d^ = A(ce,(3)c^, então fazendo cálcu los m ostra-se que é su bstitu íd o p or (c^)* = (1 + ((3 —1) A( a, ( 3) ) c ^, e <p(x,y) p o r í p * ( x , y ) , onde

(p(x, y ) = <p*(x, y ) {1 + { y - l)A (ar, y ) } - (1 + x + ... + x r _1)A (a;, y ) . (1.17)

M as ( y — y) = (l-|-a;-|-...+a;r_1) m o d N p, p or 1.14, assim <p(x, y ) = i p * ( x , y ) m o d N p .

A s equ ações (1 .1 3 )-(1 .1 6 ) nem sem pre têm solu ção. U m a con d içã o necessária (con tu d o

não suficiente) para a existência de solu çã o é

(1 + x + ... + x r_1) ( l + y + ... + y s~ l ) G N p

para to d o p, co m o vim os de (1.14) ou (1.16). Para a existência de um sistem a desses é necessário (con tu d o não suficiente) que

as condições são vazias se r = 0 ou s = 0. P elo T eorem a 2 [17] vem os que d a d o um

N G Çp[x,y\ sem pre existem valores r = r 0, s = s0 para os quais (1.18) é satisfeito. N este caso, am bos, <p e rj estão n o espaço vetorial d eterm in ad o pelas equações

( x - 1 )<p(x, y ) = 0, ( y - l ) r ] ( x, y ) = 0 (m o d N p).

O resultado final p o d e ser resum ido c o m o segue. P ara ob ter um gru p o m etabelian o

com dois geradores e su bgru po com u ta d or finito:

(a) Selecione um con ju n to de ideais p -prim ários N p G CP[x, y], um para ca d a p no conjunto fin ito P de núm eros prim os.

(b) D eterm ine o m enor par de inteiros tq > 0, So > 0 tal que x r° — 1 G N p, y s° — 1 G N p

para cada p G P . Tais inteiros sem pre existem p elo T eorem a 2 [17]. T om e m últiplos

adequados r = m r 0, s = n s0 tais que, se m > 0, então r|s, e se m = 0 então n = 0. A lém

disso, 1 + x + ... + x r~ l G N p, se necessário.

(c) T om e solu ções <pp ( x , y ) , r i p( x , y ) das equações (1 .1 3 )-(1 .1 6 ). P elo m enos u m a solu ção

(ipp = r)p = 0) existe se (1.18) é satisfeito.

O gru p o G correspon den te consiste dos elem entos

ambn Cp'p^a’P\ 0 < m < r, 0 < n < s, peP

onde F p ( x , y ) é con siderad o m ód u lo N p gerando as relações seguintes:

cpcg = CqCp para to d o p , q G P ;

aT1cpa = Cp, = c^;

c T l b~l ab = Cp;

pe p

ar = Y [ c ^ a'P\ br = J J c^ a^ \

p eP p€P

G é un icam ente determ in ad o p or essas relações.

A gora farem os alguns com entários d o que foi feito acim a e darem os um ex em p lo de

co m o esta técn ica p o d e ser utilizada para construirm os p -gru p os m etabelianos 2-gerados.

Cap ítu lo 1. R esultados Prelim inares

Se G = (a, b) é m etabelian o 2-g era d o, em pregando as técnicas acim a e tom a n d o

c = [a ,b], sejam x e y autom orfism os d o gru p o abeliano G ' in duzidos p or a e b, respec­

tivamente, e A o anel (com u ta tivo) de endom orfism os de

G'

gerado p or x e y , tem os

que G ' é um ^4-módulo cíclico gerado p o r c. Seja tam bém I o ideal de A gerado p or

X = x — 1, Y = y — 1. D esta form a

7í ( G) =

c P - \

para i > 2, on d e Io = A .

De fato, tem os pelos resu ltados acim a que

72 ( G ) = G ' = c. A .

Para i = 3 tem os, p or definição, que

73( G ) = [72( G ) ,G ] .

C om efeito, G ' = c. A . T em os qu^ V w e G ' im plica w = d1, onde 77 G A , e que G = (a, b).

Assim

[w ,a] = [d1, a] = c~ vc na,

e lem brando que d 10, = d100 = cXT> o b tem os que

[«;, a] = c ^ - 1+x) = = d ] X,

e assim observam os que X age p ega n d o um elem ento de G ' e fazen d o o com u ta d or desse elem ento' co m a. A nalogam ente tem os que

[W) b] = cí?(_1+2/) = = d>Y ,

e p orta n to Y age p egan d o um elem ento de G ' e fazendo o com u ta d or desse elem ento com

b. O bservam os tam bém que r ]X ,r )Y G I , e assim [ w , a ] , [ w , b ] G c l . Para o com u ta d or a baixo tem os que

[w, ab\ = [d1, ab\ = [d1, b][cv , a]h = cv Y(dl X ) x = criY+'nx X ^

foram feitos acim a p o d em os deduzir que, para to d o s w G 72 (G ) e g G G , o com u tador

[w,g] G c l . L og o 7 3( G ) = c l .

Su pondo p o r in d u ção que 7í( G ) = c P ~ 2, tem os que

7»+ i(G ) = [7í ( G ) , G ] = [cP ~ 2,G\.

Para quaisquer w G 7í( G ) tem os que w = ca , co m a G P ~ 2. A ssim

[w,a} = [tf, a] = c - acaa = c~ acax = c~ a+xa = c ^ x~^ = c<tX,

onde a X G C onseqüentem ente caX G c l ^ +1^~2. E seguin do o ra ciocín io acim a,

deduzim os que [w ,g] G Ver G P ~ 2 e V j G G . D on de con clu ím os que 7i+ i ( G ) = co m o afirm am os.

Sejam agora cp, ^ G A tais que

f aP = cyj,

1 = cip.

\

Tem os então, p o r resu ltados anteriores, que as seguintes relações valem :

Xip = Q, Yij) = 0, -X ij> = N ( y ) , Y<p = N ( x ) . (1.19)

A qui a norm a N ( z ) de um elem ento z em A é defin ida com o

N ( z ) = 1 + 2 + ... + zp_ 1 = p + (2) ( z - 1) + ... + ^ (z - 1)*_ 1 + ... + ( z - l ) p_1.

U m exem p lo de co m o construir gru pos m etabelian os 2-gerados esp ecifican d o os dados

acim a e usando o m é to d o de extensão apresentado em [[18] pág. 130-133] é d a d o a seguir.

E xemplo 1.35. [2] Seja p > 3 um núm ero p rim o e seja

M = (c 0, u i, Vi, u 2, w 2, v 2)

um p -g ru p o abeliano elem entar de ordem p 6, escrito aditivam ente. O bserve que este é um caso particular d o desenvolvim ento acim a, p ois aqui estam os trabalh ando num p -gru p o.

Cap ítu lo 1. R esultados Prelim inares

Defina dois endom orfism os X , Y de M p or

c0A = «1,

CoY =

Vl

UlX

=

u 2

, UlY

=

w2

V iX =

W2,

vi

Y

=

V2

u 2X

=

w 2X

=

v 2X

=

0

u 2Y

=

w

2Y

=

v

2Y =

0.

É fácil ver que X e Y com u tam , e que X 3 = Y3 = 0. E ntão x = l + X e y = l + Y

são autom orfism os com u ta n d o em M . Seja A o anel dos endom orfism os de M gerado p o r

x e y, e I o ideal gerado p or X e Y . A ssim M é um ^4-m ódulo cíclico gerado p o r co, e p A = 0, p ois M é de exp oen te p.

P od em os agora construir um gru p o m etabelian o F = (a, b) co m o um a extensão de M

p or um gru p o abeliano elem entar de ordem p2, escolhendo ( p, ^ € I2 e co lo ca n d o

{

[a, b] = c0,

cg = c0x, cb0 = c0y,

Áp = coip, bP = c0i/>,

de m o d o que as relações 1.19 são satisfeitas. M as este de fa to é o caso, pois

X<p, YxP, Xi P, Y<p e I3 = 0,

e

N ( x ) = p + (2) X + ... +

(

5

)

X * - 1 +

...

+ X? - 1 = 0,

G r u p o s d e C l a s s e M a x i m a l

N este ca p ítu lo dam os a defin ição de gru p os de classe m axim al e estudam os algum as

de suas propriedades. Tais grupos foram prim eiram ente estudados p o r B lackburn e tais

resultados foram apresentados em [1].

2 .1

G r u p o s d e C l a s s e M a x i m a l

D e f in iç ã o 2 .1 . Seja G um p -g ru p o de ord em p n co m n > 2. U m a vez que | G /7 2(G)| > p2

então a classe c£ (G ) de G é no m á xim o n — 1. D izem os que G é um p-grupo de cla sse

m axim a l se G tem ordem p n e classe n — 1.

A estrutura d o reticu lado dos subgru pos norm ais de um p -g ru p o de classe m axim al

fica totalm en te determ in ada p elo lem a a seguir.

L e m a 2.2. S eja G um p -gru p o de cla sse m axim a l de ordem p n . E n tã o :

(i) T em os que | G /7 2(G Í)| = p2 e |7í(G9 : 7í+ i ( G !)| = p para 2 < i < n — 1. A s sim

| G : 7í(G )| = p % para 2 < i < n.

(ii) A n ã o s e r que G seja cíclico de ord em p 2, te m o s que $ { G ) = G ' e d ( G ) = 2 (o n d e d ( G ) é o n ú m ero m ín im o de g era d ores de G ).

(U i) O s ú n icos subgrupos n orm a is de G sã o os 7i ( G ) e os subgrupos m a xim a is de G . M a is p rec is a m en te , s e N é um subgrupo n orm a l de G de índ ice p l > p2 en tã o N = 7í( G ) .

(iv ) S e N é um subgrupo n orm a l de G de ín d ice > p2 en tã o G / N tam b ém tem cla sse m axim al.

Cap ítu lo 2. G ru pos de Classe M axim al

(v) Z i ( G ) = 7n- i { G ) para 0 < i < n —1.

D emon stra çã o, (i) T em os que

n—1

|G| = | G : G 'i n i 7 i ( G ) : 7 , + i ( G ) l

i =2

A gora é suficiente observar que |G| = p n, e p o r ou tro lado, |G : G ' \ > p 2 e

|7

í

(G)

: 7 i + 1 ( G ) | >

p para 2 < i < n — 1.

(ii) S abem os que G ' < $ ( G ) , p o r (i) tem os que |G : $ (G )| < p 2. Se |G : $ (G )| = p então

G / $ ( G ) é cíclico e G tam bém é cíclico e de ordem p 2. C aso con trário |G : $ (G )| = p2 e

d( G ) = 2.

(iii) Seja N um subgru po norm al de G tal que |G : iV| = p % co m 0 < i < n. Se * = 0 ou

i = 1 então N = G ou N é m axim al em G respectivam ente. C aso C ontrário, se % > 2 tem os que 7í ( G ) < N . U m a vez que |G : 7í(G )| = p l , con clu ím os que N = 7í ( G ) .

(iv) Isto é im ediato de (iii) e (i), um a vez que a classe de G /7j( G ) é i - 1 sem pre que

i < n.

(v) O resu ltado é ób v io para n = 2, p od e m o s então assum ir que n > 3. E ntão o gru p o fator G / Z n_3( G ) não é abeliano e conseqüentem ente o quocien te deste gru p o p elo cen­

tro n ã o é cíclico. A ssim |G : Z n_2(G)| > p 2. U m a vez que |Zj+ i ( G ) : Z j(G )| > p para

0 < « < n - 3 e

n— 3

p " = |G| = |G : Z n_2(G)| ]^ [ \Zi+1( G ) : Z { {G )| ,

i =0

tod a s desigualdades acim a, de fa to, são igualdades. Segue que |G : Z*(G )| = p n~l para

0 < i < n - 2 e pela parte (iii), Z i( G ) = 7„ _ j ( G ) . ■

U m d iagram a d o reticu lado dos subgru pos norm ais 9 t ( G ) de um p -g ru p o G de classe

m axim al de ordem p n p o d e ser apresentado com o segue, n o qual p od em os observar que

G

7 3 ( G )

7 n — l ( G )

7 » ( G ) = 1

2 . 2

G r a u d e C o m u t a t i v i d a d e

Falarem os agora de um im portan te con ceito que tem um papel fundam ental no estudo

de p -gru p os de classe m axim al.

N o que segue, qu an do G for um p -g ru p o de classe m axim al, escreverem os G * =

7

* ( G )

para i > 2 e G 0 = G .

D e f i n i ç ã o 2 . 3 . Seja G um p -gru p o de classe m axim al de ordem p n. D efin im os G i =

C g ( G

2

/ G 4) . E m outras palavras, G i é co m p o sto pelos elem entos x G G tal que [x, G 2] <

G 4 .

Se N é um su bgru po norm al de G tal que | G /iV | > p 4, tem os pela defin ição que

( G / N ) , = G i/ N .

Cap ítu lo 2. G ru pos de Classe M axim al

T e o r e m a 2 . 4 . Seja G um p-grupo de cla sse m axim al. E n tã o G\ é um subgrupo m a xim a l ca ra cterístico de G .

D em on stra çã o. Seja ip £ A u t {G ). U m a vez que G2 e G4 são subgru pos característicos de G , tem os que

Y

p

{x

)

i G 2] = [ v ( x ) , ( p (G 2)] = <p([x, G 2]) < G 4.

Isto m ostra que G i é característico em G .

P or ou tro la do, tem os que G / G í m ergulha em A u í ( G2/ G 4). M as |G2 : G 4| = p 2,

assim G2/ G 4 = C p2 ou C p x C p . N o prim eiro caso, |Aw í(G2/ G 4)| = p . ( p — 1), n o segun do

caso |^m í(G2/ G 4)| = |GL2(p)| = ( p2 — p ) . ( p2 — 1). E m quaisquer casos, a m aior p otên cia

de p que d ivide | A « í(G2/ G 4)| é p , assim deduzim os que |G : Gi| < p. Se G i = G então G3 = [G , G 2] = [G i, G 2] < G 4. Isso é possível som ente se G3 = 1, o que con trad iz o fa to

que |G| > p 4. m

Segue que, com a n ota çã o in trod u zid a acim a, |Gj : G j+ i| = p para 0 < i < n — l e G j = 1 para i > n.

D efin im os agora o grau de com u tatividade, esse invariante p o d e ser con siderad o co m o

a chave para a análise d a estrutura de um p -g ru p o de classe m axim al, o qual m ede o q uanto os term os da série { G j}i>1 com u ta m com cad a ou tro.

D e f i n i ç ã o 2 . 5 . Seja G um p -gru p o de classe m axim al. D efin im os o grau de com u ta tiv i-dade de G , o qual den otam os p o r ^ (G ) ou sim plesm ente p o r £, co m o sendo

■£(G) = m a x fí m — 2|[Gj, G j] ^ G í+ j+ k para to d o h j > 1} •

D e f i n i ç ã o 2 . 6 . U m j9-g ru p o de classe m axim al será ch am ado ex cep cio n a l se ^ ( G ) = 0 .

L e m a 2 . 7 . S eja G um p -gru p o de cla sse m axim al com \ G \ = p n e n > 4 . E suponha que G n ã o é um grupo excep cion a l. N ós esco lh em o s elem en to s s e s\ em G com

G = ( G \ , s ) e G i = ( G2, s i ) .

D emon stra çã o. T em os que

G = ( G i , s ) = ( G2, Si, s ) .

U m a vez que G2 = G ' < $ ( G ) tem os que G = (s i, s ). Pela p rop osiçã o (1.3) tem os que

= 72 (G ) = ([s i, s], 7 3( G ) ) = ( s 2, G 3) .

S uponha p o r in d u ção que G j_ i = (G j, S j_ i). U m a vez que G = (s, Si) segue que

G j = [G j_ i, G ] = ( G j+ i, [s j_ i, s], [s j_ i, S i ] ) .

C om o G não é excep cion a l, existe i < n — 1

[s » -i,s i] g [ G j _ i ,G i ] < G j+ i

C om o [sj_ i, s] = Si tem os que G j = (G j+ i, s*), o que m ostra o resultado. ■

2 . 3

E l e m e n t o s U n i f o r m e s

Seja G um gru p o de classe m axim al de ordem p n. D a m esm a m aneira que definim os o su b gru p o G i = C g ( G2/ G 4), p od em os considerar, m ais geralm ente, os centralizadores

de 2-passos C G ( G j / G j+2) para 1 < i < n —2. A ssim co m o G i , to d o s esses subgrupos são característicos e m axim ais em G . U m a vez que [ G i ,G i ] = [ G i , G 2] < G 4, segue

que C g ( G i / G 4) = G i e, conseqüentem ente, é suficiente considerar os centralizadores de

2-passos para 2 < i < n —2.

D e f i n i ç ã o 2 . 8 . Seja G um p -gru p o de classe m axim al de ordem p n. D izem os que s G G

é um elem en to u n ifo rm e se s £ U "r22C 'G (G i/ G i+2).

P od em os im ediatam ente nos perguntarm os se qualquer p -g ru p o de classe m axim al

possui elem entos uniform es, isto é, se é verdade ou não que G

U ^ C

g

ÍG

j

/ G ^ )

.

B lackburn m ostrou ju ntam ente com algum as propriedades sobre o grau de com u tatividade

que isso é sem pre verdadeiro.

T e o r e m a 2 . 9 . (B la ck b u rn ). S eja G um p -g ru p o de cla sse m axim al, de ord em p n . E n tã o va lem as seg u in tes a firm a çõ es:

Cap ítu lo 2. G ru pos de Classe M axim al

(%) S e £ ( G ) = 0 en tão p > 5, n é p a r e 6 < n < p + 1.

(ii) £ ( G / Z { G ) ) > 1.

(Ui) G tem elem e n to s u n iform es.

D e m o n stra ç ã o . A dem on stração está feita em detalhes em ([4], ca p ítu lo 4, 47-55)

A s partes (i) e (ii) n o T eorem a 2.9 ju stifica o term o “gru p o excep cion a l” que é usado

para gru p os de grau de co m u tatividad e zero.

L e m a 2 . 1 0 . S eja G um p -g ru p o de cla sse m axim al, de ord em p n e s um ele m e n to u n i­ fo r m e de G . Se l < i < n — 2 e x E G i — G t-+ en tã o [s,ar] G G i+ i — G

í+2-D em o n stra ç ã o . C o m o x G G j, é ó b v io que [s,x ] G G j+ i e tem os som ente então que

m ostrar que [s, ar] ^ G j+2- S u p on h a p o r con trad ição que [s, x] G G j+2. E screven do

G — G /G ^-j-2} isto significa que s e x com u ta m em G . T em os tam bem que [5, Gj_|_i] ^ G j+2 ou seja, s centraliza G j+ i. U m a vez que G j = (x , G i+1), segue que s centraliza G j. E n tão

[s, G j] < G j+2 e s G C g ( G í / G í +2), o que contradiz o fa to de s ser um elem ento uniform e.

■

T e o r e m a 2 . 1 1 . S eja G um p -g ru p o de cla sse m axim al de ordem p n e s um elem e n to u n ifo rm e de G . E n tã o va lem as seg u in tes p ro p ried a d es:

( i ) C a ( s ) = ( s ) Z ( G ) .

(ii) s - e Z ( G ) e co n s eq ü en tem en te o ( s ) < p2 e |Cg(s)| = p 2■

(U i) O s con ju gad os de s sã o ex a ta m en te os e lem en to s na cla sse la teral sG?2

-(iv ) P a ra 0 < t < n — 4, 0 subgrupo H = (s, G t+ i) é um p -g ru p o de cla sse m axim a l de ord em p n~t tal que H i = G i+t para i > 1. A ss im tem o s que £ ( H ) = n — t — 2 ou £ { H ) > £ { G ) + t .

D e m o n stra çã o . (i) Seja g um elem ento qualquer de G . C om o G = (s ) G j p od em os escrever g = s lx , on d e i G Z e x G G i . E ntão g G C g ($ ) se, e som ente se, [s,x ] = 1.

Mas, de a cord o com Lem a 2.10, se x G G j — G i+i com 1 < i

<

n —

2 então [s, a;] G

G j+ i — G j+2 e, em particular, [s,rr] / 1. Segue que x G G n_ i = Z ( G )(d e a cord o co m 2.2). C onseqüentem ente

C

q

(

s

)

= (s ) Z ( G ) .

(ii) N a prova de (i) vim os que C g ^ s ) = Z (G ). C om o sp G G i com u ta com s, segue

que s p G Z (G ).

2|-Uma vez que qualquer con ju g a d o de s pertence a s G2 (s9 = s[s, í/]), deduzim os que os

elementos na classe lateral sG2 são precisam ente os con ju gad os de s.

(iv) N ão há nada a se provar se t = 0, assim p od em os assum ir que t > 1. E stá claro

pela parte (ii) que \H\ = p | G t+i| = p " _ í . A p lica n d o 2.10 repetidam ente, para qualquer

x G G í+i — Gí+2 tem os que

[x, s, Ít.1, s] G G i+t - G i+t+i para 2 < i < n - t - l .

Em particular, para i = n — t — 1 segue que 1 ^ [rc, s, "T ?r2, s] G i í n- í- 1 e H têm classe m axim al. E m ordem , para provar que Hi = G j+t, suporem os prim eiro que i > 2. P or

2.3 tem os que Hi tem um elem ento em G j+Í — G j+ t+ i. U sando esta p ropriedad e não

som ente com Hi, m as tam bém com qualquer H j con tid o em Hi, dedu zim os que Hi tem

elem entos em G * — G*;+ i para i + t < k < n — 1. C onseqüentem ente G i+t < H i e, um a

vez que am bos os subgru pos têm a m esm a ordem , segue a igualdade. P or ou tro la do,

[G j+ i, i / 2] = [G í+ i, G j+ 2] ^ G 2j+3 Si G f.)_4 = H4 e ob tem os que H\ = G t+ i. F inalm ente,

se i = £ (G ) então [H u H j] = [G i+Í, G j+ t] < G i+j+l+2t = H i+j+e+t para quaisquer i , j > 1

e conseqüentem ente ou £ ( H ) = n — t — 2 ou £ ( H ) > ^ (G ) + t . m

P ara finalizar esta seção, vam os m ostrar que p -gru p o de classe m axim al p o d e ser

caracterizado co m o sendo um gru p o que possui um elem ento cu jo centralizador tem ordem

P2.

L e m a 2 . 1 2 . Seja G um p-grupo com |G| = p n, n > 3 . E n tã o G é um p -g ru p o de cla sse m axim a l se, e s o m e n te se, ex istir um e le m e n to g de G tal que

\{ gh \ h e G }| = p n~2.

( O lem a tam b ém vale para n = 2)

D e m o n s tr a ç ã o . (1) Seja g G G tal que

\{ gh \ h e G } \ = p n - 2 = \ G : C G(g)\

Para n = 3 , co m o G não é abeliano, G tem classe 2. Provarem os para n > 3 p or in du ção

sobre n.

Cap ítu lo 2. G ru pos de Classe M a xim al

C om o Z (G ) < C g(<?) e 9 ^ Z ( G ) tem os que | Z( G ) | = p. Seja B = Z ( G ) e

C g / b (9B ) = L / B com

L = { h | g h = g z com z = [g, h] £ B } .

E ntão a aplicação h —» [g, /i] é um h om om orfism o de L em B co m nú cleo C c ( g ) - C onse­

qüentem ente segue que

\L\ < p \ C G(g)\ = P

3-Seja G = G / B e g = g B , então

| { ^ | h

£

õ } | = | G : Ce (S)| = |G : L\ >

p

n~3

U m a vez que

| h

£

G j Ç g G ' p ois

f

= h ~ l g h

=

h ~ l Z ( G ) g Z ( G ) h Z ( G )

=

h ~1g h Z {G ) =

h -1h g [ g , h ] Z ( G ) = g Z ( G ) [ g , h ] Z ( G ) e g &

e

\{ g h \ h e g

}| < | G'|

<p n~3,

tem os então que

\{g~h \h e g

}|

= P n ~ 3

e conseqüentem ente pela nossa hipótese de in du ção

e ^

7

_n-

2

_{( G / B ) =}

7

_{n -}

2

_{( G ) B / B .}

L og o 7 n_

2

_{( G )} ^ B = Z ( G ) e assim 7 n_i ( G ) ^ e. Segue que G é um p -g ru p o de classe

m axim al.

(2) Seja G um p -gru p o de classe m axim al. Se p > 2, então p elo T eorem a 2.11, existe

[ { /I f c e G J I ^ G tC c M N p “

-Se p = 2, p o r [[7] III 11.9] G = {a, b) co m a2" 1 = e e ab = a

\{bh \h e G } \ = \{ ba V\ j = 0, 1,

A ssim tom a m os g = b.

2

-l+2n 2 ou ab _ a -l^ en^ão

C a p í t u l o 3

O N ú m e r o d e D i l w o r t h

O nú m ero de D ilw orth D (03) de um con ju n to parcialm ente ord en ado 53 é defin ido co m o a m áxim a cardin alidade possível de um a anti-cadeia em 53.

D e f i n i ç ã o 3 . 1 . Seja G um grupo.

a) A largura w ( G ) é defin ida c o m o o núm ero de D ilw orth d o reticu lado £ ( G ) , de to d o s os su bgru pos de G .

b) A largura n orm a l w n (G ) é o ^ ( ^ ( G ) ) , onde 9 t((x ) é o reticu lado de to d o s su bgru pos

norm ais de G .

P ara m elh or elucidar a defin ição de largura de um gru p o, veja m os o exem p lo a seguir:

G / \ / \ C 33 / \ /\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ / \ \ / \ / \ / \ / \ /

/ \

y

C3x<354

/ \ / \

/ \ / \

X c32: \ / C5 4 \

\ / / \ \ / \ /

/ \ C 5 3

/ / \ \ / / / \ / / z'- / ' / ' / \ / /\ / \

C 3/ ) ( C52

\ ✓ ' \ /

C.3 c 5

Pod em os observar algum as con clu sões im ediatas da largura de um gru p o: seja U um su b g ru p o de um gru p o G ; tem os que u ;(U ) < w ( G) e se N é um su bgru po n orm al de G

então w (G / N ) < w (G ) e w n(G /N ) < w n (G ).

L e m a 3 . 3 . S eja G = Zpa x Z qb on d e p e q sã o p rim o s d istin tos e 1 < a < b. E n tã o w ( G ) = a + 1.

L e m a 3 . 4 . S eja p um p rim o.

(a ) S e G é um p -g ru p o abeliano elem en ta r de p o s to c, en tã o w ( G ) > 1 + p + ... + p c_1.

(b ) S e G = Z p x Z pa on d e a é um in teiro p o sitiv o , en tã o w ( G ) > a ( p — 1) + 2.

( c ) P a ra qualquer n dado ex iste s o m e n te um a quantidade fin ita de p -g ru p o s fin ito s abelianos e n ã o cíclico s de largura n.

D e m o n str a ç ã o , (a) Esse lim ite inferior d ad o é igual a quantidade de su bgru pos de ordem p em G . Estes claram ente form am um a anti-cadeia.

(b ) Se a = 1, segue da parte (a). P od em os então considerar a > 2. U m sim ples argu­ m en to de con tagem m ostra que G con tém exatam ente p subgrupos cíclicos de ord em p b

para to d o 2 < b < a. De fato, tem os que G = Z p x Z p» = ( x , y \xp = 1, y pa — 1, [or, y] = l ) . U m su b g ru p o cíclico de G é gerado p o r um ú n ico elem ento z = x ly i , 0 < i < p — 1, 0 <

j < p a —1. O bserve que

V n G N, z n = x my :in, um a vez que [x, y] = 1,