Pedro Marcelo Pereira dos Santos Silva
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os Silva
Universidade do Minho
Instituto de Educação
Exploração do significado das e
xpressões como forma de promover a aprendizagem de Equações literais e P
olinómios no 8º ano
Exploração do significado das expressões
como forma de promover a aprendizagem
de Equações literais e Polinómios no 8º ano
Relatório de Estágio
Mestrado em Ensino de Matemática no 3.º Ciclo do
Ensino Básico e no Ensino Secundário
Trabalho realizado sob a orientação do
Doutor José António Fernandes
Universidade do Minho
Instituto de Educação
Pedro Marcelo Pereira dos Santos Silva
Exploração do significado das expressões
como forma de promover a aprendizagem
de Equações literais e Polinómios no 8º ano
DECLARAÇÃO Nome: Pedro Marcelo Pereira dos Santos Silva
Endereço eletrónico: marcelos_21@hotmail.com Telefone: 911043674
Número do Bilhete de Identidade: 13366662 Título do Relatório:
Exploração do significado das expressões como forma de promover a aprendizagem de Equações literais e Polinómios no 8º ano.
Supervisor:
Doutor José António Fernandes Ano de conclusão: 2012
Mestrado em Ensino de Matemática no 3º Ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário. É AUTORIZADA A REPRODUÇÃO INTEGRAL DESTE RELATÓRIO APENAS PARA EFEITOS DE INVESTIGAÇÃO, MEDIANTE DECLARAÇÃO ESCRITA DO INTERESSADO, QUE A TAL SE COMPROMETE.
AGRADECIMENTOS
Ao meu supervisor, Professor Doutor José António Fernandes, pelo interesse, dedicação e disponibilidade no acompanhamento deste projeto, pelo esclarecimento das dúvidas que foram surgindo e por todas as sugestões dadas, tanto para a realização do projeto, como para um desempenho profissional no ensino da Matemática.
Ao meu orientador, Mestre Paulo Ferreira Correia, por se ter mostrado sempre interessado e estimulando-nos na realização deste projeto, por todas as suas ideias e sugestões e por ter mostrado o quanto é possível inovar e melhorar o ensino e a aprendizagem dos alunos em Matemática.
Aos alunos da turma em estudo, por todo o empenho, colaboração e simpatia que revelaram durante a implementação do projeto e ao longo de todo o estágio.
À direção da escola e a todos os professores, por se terem mostrado sempre disponíveis e atenciosos para a realização do projeto.
Aos meus pais e ao meu irmão, por todo o apoio e incentivo demonstrados, por terem ajudado a ultrapassar os momentos de angústia e por fazerem de mim a pessoa em que hoje me tornei.
À Marta e à Sónia, por todos os momentos passados juntos durante o estágio, pela partilha de ideias e pela preocupação que sempre foi demonstrada.
À Netinha e à Sarah, pela dedicação e ajuda nas traduções de textos.
EXPLORAÇÃO DO SIGNIFICADO DAS EXPRESSÕES COMO FORMA DE PROMOVER A APRENDIZAGEM DE EQUAÇÕES LITERAIS E POLINÓMIOS NO 8º ANO
Pedro Marcelo Pereira dos Santos Silva
Mestrado em Ensino de Matemática no 3º ciclo do Ensino Básico e no Ensino Secundário Universidade do Minho, 2012
RESUMO
Este estudo refere-se a uma intervenção de ensino centrada na exploração do significado das expressões como forma de promover a aprendizagem de equações literais e polinómios, numa turma do 8º ano de escolaridade, pertencente a uma escola secundária com 3º ciclo do concelho de Barcelos.
O estudo desenvolveu-se em torno de três objetivos: 1) relacionar as características das tarefas com a promoção do significado das letras e expressões; 2) averiguar os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões na exploração de Equações literais e Polinómios; 3) identificar e descrever os erros e as dificuldades dos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas.
Pretendendo com este estudo motivar os alunos para as aprendizagens em Álgebra, promover aprendizagens mais significativas e contribuir para a melhoria das suas aprendizagens, procurou-se centrar o ensino dos tópicos lecionados em tarefas de diversos tipos e com diferentes contextos. Para além desta metodologia de ensino e aprendizagem, adotou-se o trabalho dos alunos em grupo e deu-se especial atenção às discussões ocorridas no grupo-turma. No que diz respeito às estratégias de investigação e avaliação da ação, recorreu-se à observação e análise das gravações das aulas, à análise das resoluções das tarefas realizadas pelos alunos durante a intervenção, bem como da ficha de avaliação por partes de equações literais e da ficha de avaliação realizada no final da intervenção.
No que diz respeito aos resultados obtidos, verificou-se que as tarefas exploradas em contextos reais proporcionaram uma maior facilidade aos alunos para a atribuição dos significados às letras e expressões. No que se refere às classificações das letras atribuídas por Küchemann (1981), verificou-se que a maioria dos alunos teve menos dificuldade em operar com as letras como objetos e mais dificuldade em operar com as letras quando são interpretadas como incógnitas específicas. Por fim, analisados os erros evidenciados pelos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas, verificou-se que o erro de inversão foi o que ocorreu mais vezes e o erro adição incorreta de termos semelhantes foi o que menos se evidenciou.
EXPLORATION OF THE MEANING OF EXPRESSIONS AS A WAY TO PROMOTE LEARNING OF LITERAL EQUATIONS AND POLYNOMIALS IN 8TH GRADE.
Pedro Marcelo Pereira dos Santos Silva
Master in Mathematics Teaching to the 3rd Cycle of Basic School and Secondary School University of Minho, 2012
ABSTRACT
This study refers to a teaching intervention focused on the exploration of the meaning of expressions as a way to promote the learning of literal equations and polynomials, in an eighth grade class of a school belonging to the County of Barcelos.
The study developed around three objectives: 1) relate the characteristics of tasks with the promotion of the meaning of letters and expressions; 2) explore the meanings attributed to the letters and expressions given by the students in the exploration of Literal equations and Polynomials; 3) identify and describe the errors and difficulties of students in the resolution process of the tasks proposed.
With the intention, in this study, to motivate students to learning abilities in Algebra, to promote more significant learning abilities and to contribute to the improvement of their learning abilities, it was sought to center the instruction of lected topics into a variety of tasks with different contexts. Beyond this methodology of teaching and learning, students’ group work was adopted and special attention was given to the discussions that occurred in the group-class. Regarding the investigation strategies and action evaluation, the observation and analysis of class recordings, the analysis of the resolution of the tasks performed by the students during the intervention, as well as the test of literary equations and the test performed at the end of the intervention were used.
Regarding the results obtained, it was verified that the tasks explored in real contexts provided greater ease to students in the attribution of meanings to letters and expressions. As for the classifications of letters attributed by Küchemann (1981), it was verified that the majority of students had less difficulty in operating with letters as objects and more difficulty in operating with letters when interpreted as variables. Lastly, after analyzing the errors evidenced by students in the resolution process of the proposed tasks, it was verified that the error of inversion was the one that occurred the most and the error of incorrect adding of similar terms was the one that least occurred.
ÍNDICE DECLARAÇÃO ... ii AGRADECIMENTOS ... iii RESUMO ... v ABSTRACT ... vii ÍNDICE ... ix ÍNDICE DE TABELAS ... xi
ÍNDICE DE FIGURAS ... xii
CAPÍTULO I – INTRODUÇÃO ... 1
1.1. Tema, finalidades e objetivos ... 1
1.2. Pertinência ... 2
1.3. Estrutura do relatório ... 3
CAPÍTULO II – ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO ... 5
2.1. Contexto de intervenção ... 5
2.1.1. Caraterização da escola ... 5
2.1.2. Caraterização da turma ... 8
2.2. O ensino e a aprendizagem da Álgebra ... 9
2.2.1. Erros e dificuldades dos alunos em Álgebra ... 9
Importância e origem dos erros e dificuldades ... 9
Erros e dificuldades nas expressões e nas equações ... 11
2.2.2. Um ensino centrado no significado das letras e expressões ... 12
O simbolismo e o pensamento algébrico ... 12
O uso das letras pelos alunos e conceções de Álgebra ... 14
2.3. Plano geral de intervenção ... 16
2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem ... 16
Diversidade do tipo de tarefas e dos seus contextos ... 16
Trabalho de grupo ... 18
Discussões no grupo-turma ... 20
2.3.2. Estratégias de investigação e avaliação da ação ... 21
Tarefas realizadas pelos alunos durante a intervenção ... 21
Ficha de avaliação ... 22
CAPÍTULO III – INTERVENÇÃO ... 23
3.1. Equações literais ... 24
3.1.1. Manipulação de expressões e equações com mais de duas letras ... 24
3.1.2. Praticando equações literais ... 30
3.2. Monómios ... 36
3.3. Polinómios ... 38
3.4. Ficha por partes de equações literais ... 44
3.5. Ficha de avaliação ... 49
CAPÍTULO IV – CONCLUSÕES, IMPLICAÇÕES, RECOMENDAÇÕES E LIMITAÇÕES ... 59
4.1. Conclusões ... 59
4.1.1. Objetivo 1 – Relacionar as características das tarefas com a promoção do significado das letras e expressões ... 59
4.1.2. Objetivo 2 – Averiguar os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões na exploração de Equações literais e Polinómios ... 61
4.1.3. Objetivo 3 – Identificar e descrever os erros e as dificuldades dos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas ... 63
4.2. Implicações para o ensino e aprendizagem ... 65
4.3. Recomendações e limitações ... 65 BIBLIOGRAFIA ... 67 ANEXOS ... 71 ANEXO I ... 73 ANEXO II ... 77 ANEXO III ... 81 ANEXO IV ... 85 ANEXO V ... 91
ÍNDICE DE TABELAS
Tabela 1 – Número de turmas a funcionar na escola... 6
Tabela 2 – Desempenho dos alunos da turma ao longo do ano letivo ... 9
Tabela 3 – Constituição dos grupos de trabalho ... 20
Tabela 4 – Caraterização e organização da intervenção de ensino centrada no projeto ... 23
Tabela 5 – Tipos das tarefas e o seu contexto ... 24
Tabela 6 – Síntese dos erros cometidos pelos alunos ... 32
Tabela 7 – Erros cometidos pelos alunos na resolução desta alínea (n 19) ... 39
Tabela 8 – Erros cometidos pelos alunos ao determinar a área da figura (n 12) ... 42
Tabela 9 – Síntese dos eletrodomésticos escolhidos pelos alunos... 45
Tabela 10 – Estratégias consideradas pelos grupos de alunos para se poupar energia ... 46
Tabela 11 – Classificação (em percentagem), por etapas, de cada aluno na ficha por partes ... 47
Tabela 12 – Respostas dos alunos na questão 1 (n 19) ... 50
Tabela 13 – Erros cometidos pelos alunos na simplificação da expressão,
c
a ca a 2 2 2 12 2 , da pergunta 1b) (n 19) ... 50Tabela 14 – Respostas dos alunos na questão 4 (n 19) ... 52
Tabela 15 – Erros/dificuldades cometidas pelos alunos ao resolver a equação em ordem a p (n 19) ... 52
Tabela 16 – Respostas dos alunos na questão 7 (n 19) ... 55
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1. Relação entre os diversos tipos de tarefas, em termos do seu grau de desafio e de
abertura. ... 17
Figura 2. Resolução do aluno A16. ... 34
Figura 3. Resolução do aluno A15. ... 34
Figura 4. Resolução do aluno A19. ... 35
Figura 5. Resolução do aluno A10. ... 37
Figura 6. Quadrado que faz parte do enunciado da tarefa 15... 39
Figura 7. Resolução do aluno A12. ... 40
Figura 8. Resolução do aluno A8. ... 40
Figura 9. Resolução feita no quadro pelo aluno A2. ... 40
Figura 10. Resolução feita no quadro pelo aluno A5. ... 41
Figura 11. Resolução do aluno A19. ... 42
Figura 12. Resolução do aluno A8. ... 43
Figura 13. Resolução do aluno A3. ... 50
Figura 14. Resolução do aluno A16. ... 51
Figura 15. Resolução do aluno A8. ... 51
Figura 16. Resolução do aluno A11. ... 53
Figura 17. Resolução do aluno A2. ... 53
Figura 19. Resolução do aluno A10. ... 53
Figura 20. Resolução do aluno A9. ... 54
Figura 21. Resolução do aluno A12. ... 55
Figura 22. Resolução do aluno A15. ... 55
Figura 23. Resolução do aluno A2. ... 56
Figura 24. Resolução do aluno A15. ... 57
CAPÍTULO I INTRODUÇÃO
Neste capítulo apresenta-se o tema em estudo, as suas finalidades, os objetivos tratados, a pertinência do estudo à luz do ensino da Matemática e, por fim, faz-se uma breve descrição da estrutura do relatório.
1.1. Tema, finalidades e objetivos
A exploração do significado das letras e expressões como forma de promover a aprendizagem de Equações literais e Polinómios, no 8º ano de escolaridade, foi o tema escolhido para a realização do projeto de intervenção pedagógica supervisionada. Os tópicos Equações literais e Polinómios pertencem à unidade ―Sequências e regularidades. Equações‖ do tema Álgebra, que é um dos grandes temas presentes no Programa de Matemática do Ensino Básico (Ministério da Educação, 2007).
A Álgebra é o tema que serve de base para a elaboração de todo o projeto. O principal motivo que me levou a escolher este tema foi o facto de, para além de estar presente no quotidiano de todos, em inúmeras situações, ser fundamental para as restantes áreas do saber. Sendo a Álgebra um dos temas mais importantes no ensino da Matemática, é também um tema onde grande parte dos alunos revela bastantes dificuldades. Tais dificuldades levam-nos a refletir sobre as aprendizagens dos alunos que não foram consolidadas e também sobre os métodos adotados para o seu ensino. Neste contexto, acho pertinente o ensino dos tópicos referidos com base em tarefas que permitam tirar conclusões sobre a forma de pensar dos alunos e sobre os significados que atribuem às letras e expressões nas tarefas propostas.
A aprendizagem das operações com monómios e polinómios, e da simplificação de expressões algébricas, deve ser progressiva e recorrer a situações que permitam aos alunos compreender a manipulação simbólica envolvida, por exemplo, efetuando cálculos a partir de expressões algébricas substituindo as letras por valores numéricos. É conveniente usar expressões algébricas para representar problemas, usando letras para designar incógnitas ou variáveis, e introduzir expressões com variáveis ligadas a um contexto. O conceito de variável, pela sua complexidade, justifica que os alunos explorem situações variadas em que surjam letras (nomeadamente, em equações e fórmulas) e discutam os seus significados. (Ministério da Educação, 2007, p. 55)
Assim, tendo por referência o significado das expressões e as dificuldades dos alunos no tema Equações literais e Polinómios, estabeleceram-se os três seguintes objetivos gerais para o projeto:
1) relacionar as características das tarefas com a promoção do significado das letras e expressões;
2) averiguar os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões na exploração de Equações literais e Polinómios;
3) identificar e descrever os erros e as dificuldades dos alunos nos processos de resolução das tarefas propostas.
1.2. Pertinência
A Álgebra é um tema fundamental, que se encontra presente no currículo da Matemática escolar de todos os países. É necessário dar-se mais atenção a este poderoso ramo da Matemática, pois ―quem não tiver uma capacidade razoável de entender a sua linguagem abstrata e de a usar na resolução dos mais diferentes problemas e situações está seriamente limitado na sua competência matemática‖ (Ponte, 2005, p. 36).
Lins e Gimenez (1997) afirmam que a Álgebra consiste num conjunto de ações para as quais é possível produzir significados em termos de números e de operações. No entanto, sabe-se que a manipulação algébrica não vai muito além da manipulação de símbolos que na grande maioria das vezes não têm qualquer significado para os alunos, sendo o seu estudo desenvolvido de forma mecanizada.
Na Álgebra residem as ferramentas necessárias para resolver grande parte dos problemas da Matemática, pois ―fornece os meios através dos quais descrevemos e analisamos relações. E é a chave para a caraterização e compreensão de estruturas matemáticas‖ (Usiskin, 1989, p. 18). De acordo com Usiskin (1989), dado o aumento da matematização da sociedade, cada vez mais a Álgebra será alvo de fortes estudos no âmbito da Matemática escolar.
No que se refere ao contexto de intervenção, o estudo desenvolveu-se numa turma do 8º ano de escolaridade, de uma escola do concelho de Barcelos. Pelas observações realizadas, verificou-se que, de um modo geral, os alunos desta turma tinham hábitos de trabalho, embora apresentassem algumas dificuldades, quer a nível do raciocínio matemático, quer a nível da manipulação algébrica.
Assim sendo, era fundamental desenvolver nestes alunos a capacidade da manipulação algébrica e a capacidade do raciocínio matemático, pois
ser capaz de raciocinar é essencial para a compreensão da matemática. Em todos os níveis de escolaridade, os alunos deverão perceber e acreditar que a matemática faz sentido, através do desenvolvimento de ideias, da exploração de fenómenos, da justificação de resultados e da utilização de conjeturas matemáticas em todas as áreas de conteúdo. (NCTM, 2007,p. 61)
―É inquestionável a importância do desenvolvimento do pensamento algébrico nos primeiros anos de escolaridade‖ (Ramos, Boavida & Oliveira, 2011, n.p.) para que quando os alunos cheguem ao 3º ciclo possam ―começar a compreender os diferentes significados e utilizações das variáveis, por meio da representação de quantidades numa diversidade de problemas e contextos.‖ (NCTM, 2007, p. 263).
Para o desenvolvimento dos significados das letras, as atividades que os alunos realizam durante todo o percurso do ensino básico devem contribuir para que desenvolvam o sentido de símbolo e apliquem os seus vários significados em contextos específicos. É de salientar que ―a exigência de manipulação de letras é talvez a mais importante característica do pensamento algébrico‖ (Fernandes & Soares, 2003, p. 335).
1.3. Estrutura do relatório
O relatório de estágio está organizado em quatro capítulos. No capítulo I, Introdução, apresenta-se o tema e as suas finalidades, os objetivos do estudo e justifica-se a sua pertinência. No capítulo II, Enquadramento Contextual e Teórico, justifica-se a relevância do projeto à luz do contexto e da literatura. Em primeiro lugar faz-se uma caraterização do contexto de intervenção onde foi implementado o projeto, caraterizando a escola e a turma envolvidas. De seguida, discute-se a importância do ensino e da aprendizagem da Álgebra fazendo referência aos tipos de erros e dificuldades que os alunos cometem, à importância do simbolismo e do pensamento algébrico, aos vários significados que as letras podem assumir e às diferentes conceções de Álgebra. Por fim, apresentam-se as metodologias de ensino e aprendizagem usadas na intervenção de ensino e as estratégias de investigação e avaliação da ação utilizadas no projeto.
No capítulo III, Intervenção, são apresentados os resultados da intervenção de ensino, centrados nos erros e dificuldades dos alunos na resolução das tarefas propostas, bem como no
significado que atribuíram às letras e expressões. São analisadas produções escritas dos alunos, diálogos ocorridos entre eles e entre eles e o professor durante a realização das tarefas e instrumentos de avaliação realizados durante o período da intervenção.
Por fim, no capítulo IV, Conclusões, Implicações, Recomendações e Limitações, apresentam-se e discutem-se as principais conclusões do estudo com vista a responder aos objetivos que suportaram este estudo. Também são feitas referências às limitações deste estudo e são apresentadas algumas recomendações para estudos futuros.
CAPÍTULO II
ENQUADRAMENTO CONTEXTUAL E TEÓRICO
Este capítulo divide-se em três partes. Na primeira parte contextualiza-se a intervenção, caraterizando a escola e os alunos que foram alvo do estudo. Na segunda parte, destacam-se os erros e as dificuldades dos alunos em Álgebra, salientando a sua importância e a origem desses erros. Estuda-se também o uso das letras pelos alunos e algumas conceções de Álgebra. Na terceira parte apresentam-se as metodologias de ensino e aprendizagem adotadas no projeto de intervenção, bem como as estratégias de investigação e avaliação da ação utilizadas.
2.1. Contexto de intervenção
Neste subcapítulo, caracteriza-se a escola e a turma onde se desenvolveu a intervenção de ensino centrada no significado das expressões e nos erros e dificuldades dos alunos no ensino de equações literais e polinómios.
2.1.1. Caraterização da escola
O estudo apresentado foi desenvolvido numa escola secundária com 3º ciclo situada no concelho de Barcelos. Atualmente, cerca de 46% da população deste concelho tem menos de 24 anos, o que faz com que seja o mais jovem de Portugal. Esta cidade é ainda caraterizada pelos locais históricos, culturais e religiosos que possui, bem como pela ―Festa das Cruzes‖ e o ―galo de Barcelos‖.
Esta escola é um reflexo dos tempos em que vivemos. Com 1205 alunos e 127 professores, distribuídos pelo ensino básico e secundário, a sua população é heterogénea, havendo casos de alunos que vivem diariamente com problemas económicos e sociais. Neste ano letivo há 15 turmas do ensino básico e 40 do ensino secundário, perfazendo um total de 55 turmas a funcionar na escola.
Tabela 1 – Número de turmas a funcionar na escola Ano de escolaridade N.º de turmas
7º Ano 3 8º Ano 5 9º Ano 7 10º Ano 14 11º Ano 13 12º Ano 13 TOTAL 55
Tive a oportunidade de consultar os projetos educativo e curricular da escola, o regulamento interno e o relatório de avaliação externa, onde verifiquei que em todas as vertentes avaliadas a escola obteve a classificação Bom. Quando cheguei pela primeira vez à escola presenciei uma reunião da secção de matemática, em que se falou da planificação anual dos conteúdos, entre outros aspetos. Nessa reunião, foi notório o envolvimento de todos os professores para que o ano letivo se iniciasse e corresse da melhor forma.
Quanto ao manual adotado pelos professores da escola para o 8º ano, na disciplina de matemática, verifiquei que nele se explora o significado das letras e expressões nos tópicos equações literais e polinómios, que são os tópicos que irei lecionar no âmbito do meu projeto. Pelas observações que fui fazendo ao longo do ano, constatei que os professores consultam também outros manuais escolares, para além do que é adotado pela escola, para se comparar diferentes pontos de vista e obter um conhecimento mais abrangente. Também são feitas articulações entre o programa e o manual, acrescentando complementos/alterações que se considerem pertinentes. A partilha de materiais entre os professores é uma prática comum na escola, o que pode contribuir para enriquecer a qualidade do ensino, na medida em que os professores aprofundam os seus materiais e as suas práticas de ensino.
Salienta-se a forma acolhedora com que esta escola se relaciona com a comunidade envolvente. É uma escola aberta a qualquer tipo de projeto que melhore tanto a vida escolar, como a qualidade do ensino. Atualmente, a escola tem dez projetos em execução. São eles: ―Academia do rio‖, ―Arboreto de Barcelos‖, ―Clube europeu‖, ―Espaço +‖, ―Extension lesson‖, ―Gabinete de promoção para a saúde‖, ―MAT xyz ‖, ―Museu de ciências naturais‖, ―Rede pequenos cientistas‖ e ―Revista amanhecer‖.
Irei fazer referência apenas ao ―Arboreto de Barcelos‖, que é um projeto de reconhecimento nacional e ao projeto MAT xyz , no qual estive envolvido. O ―Arboreto de
1986/1987. Desde então, até aos dias de hoje, ―o Arboreto de Barcelos tem vindo sempre a crescer em diversidade florística, sendo hoje em dia, segundo sabemos, a maior coleção dos subarbustos, arbustos e árvores autóctones de Portugal continental‖1. Este projeto tem objetivos
de natureza didática, apoiando os currículos dos ensinos básico e secundário; de natureza educativa, incentivando à defesa do meio ambiente, e pretende promover o conhecimento e a importância da defesa da flora autóctone de Portugal.
Durante o ano letivo estive envolvido no projeto MAT xyz , juntamente com todos os professores que lecionam no 3º ciclo, incluindo o professor orientador que é o responsável pela criação e coordenação do projeto.
O projeto MAT xyz ―surge da necessidade de apoiar todos os alunos do 3º ciclo do ensino básico regular com mais dificuldades a Matemática, designadamente, os alunos com nível negativo à disciplina‖2. Este projeto foi apesentado e aprovado em julho de 2011, em
reunião de professores de Matemática envolvidos no Plano da Matemática II. Foram definidos os critérios de distribuição dos alunos por grupos de desempenho matemático: Matx, Maty e Matz.
Do grupo Matx fazem parte os ―alunos interessados e empenhados, mas que revelam muitas dificuldades de aprendizagem‖; do grupo Maty fazem parte os ―alunos em que, embora revelem desinteresse e falta de empenho, o nível negativo resulta essencialmente de falta de estudo‖; e ao grupo Matz pertencem os ―alunos desinteressados e com interesses divergentes com os da vida escolar, podendo revelar comportamentos pouco adequados para a sala de aula‖ (Correia, 2011).
Este projeto visa alcançar o sucesso dos alunos nesta disciplina, através dos seguintes objetivos:
(1) garantir que todos os alunos do 3º ciclo do ensino básico regular, com nível negativo a Matemática, possam usufruir de apoio pedagógico acrescido à disciplina, desde o início do ano letivo; (2) prestar um apoio pedagógico diferenciado e mais individualizado aos alunos com nível negativo a Matemática e (3) atender aos diferentes ritmos de aprendizagem, aos conhecimentos adquiridos nos anos de escolaridade anteriores, ao grau de desenvolvimento das capacidades de resolução de problemas, comunicação matemática e raciocínio matemático, à atitude face à Matemática e à postura em sala de aula (Correia, 2011).
1 Consultado em janeiro 11, 2012, em http://jjcprovas.cienciahoje.pt/2976. 2 Consultado em janeiro 11, 2012, em http://www.esbarcelos.pt/_mat_xyz.
2.1.2. Caraterização da turma
Para a concretização do meu projeto foi fundamental, em primeiro lugar, conhecer a turma onde ele foi desenvolvido. A intervenção pedagógica foi realizada numa turma do 8º ano de escolaridade, da Escola Secundária de Barcelos, que se situa no distrito de Braga. Esta turma era constituída por 20 alunos (A1,A , …,2 A ), dos quais 11 eram raparigas e 9 eram rapazes, 20 com uma média de idades de 13 anos, o que constitui a idade normal dos alunos deste ano de escolaridade. Desta turma não fazem parte alunos repetentes, existindo um aluno com Necessidades Educativas Especiais (NEE).
Pela consulta efetuada ao Projeto Curricular da turma, verifiquei que este aluno se encontra ao abrigo do decreto-lei 3/2008, que lhe confere o direito a usufruir de adequações curriculares. Pela observação que fui fazendo desde o início do ano letivo, constatei que este aluno apresenta dificuldades na aquisição e assimilação de conhecimentos, para além de que a sua relação com parte dos colegas da turma não é boa.
Todos os alunos da turma têm computador e acesso à Internet em casa e nenhum apresenta problemas graves de saúde. Relativamente à ocupação dos tempos livres, grande parte opta pela televisão e pelo computador. A Matemática inclui-se nas disciplinas preferidas da maioria dos alunos, juntando-se à Educação Física e ao Espanhol. Já a História e a Físico-Química revelam ser as disciplinas em que sentem mais dificuldades.
De acordo com os resultados do teste de avaliação diagnóstica, realizado no início do ano letivo, verifica-se que, de uma forma geral, os alunos possuem bastantes dificuldades ao nível do raciocínio matemático e, no que se refere às expressões algébricas, a pontuação média das suas respostas foi de 1,26, numa escala de 0 a 2. Apesar de neste subtópico a média das pontuações não parecer muito preocupante, há conteúdos em que os alunos têm muitas dificuldades, como na simplificação de expressões numéricas recorrendo às regras operatórias das potências (média de 0,26) e na resolução de equações (média de 0,84).
As conversas com o professor orientador e as minhas colegas de estágio permitiram-me ter uma maior perceção acerca de cada aluno da turma. No geral, a turma foi bastante trabalhadora e participativa nas discussões que foram feitas ao longo das aulas. Os alunos empenharam-se nas tarefas propostas e mostraram-se motivados na realização das mesmas.
Quanto ao desempenho dos alunos ao longo do ano letivo, pode observar-se pela Tabela 2 que foi sempre positivo, terminando com uma média muito próxima do nível 4.
Tabela 2 – Desempenho dos alunos da turma ao longo do ano letivo 1º Período 2º Período 3º Período
x s x s x s
3,47 0,83 3,43 0,85 3,95 0,94 Nota: x representa a média e s o desvio padrão das classificações obtidas pelos alunos.
É de salientar que dos 20 alunos da turma, no 3º período, apenas um obteve nível negativo e 7 terminaram o ano com nível 5.
2.2. O ensino e a aprendizagem da Álgebra
Neste subcapítulo apresenta-se a importância do ensino e da aprendizagem da Álgebra, salientado os erros e dificuldades que os alunos cometem na resolução de tarefas, bem como a importância de um ensino centrado no significado das letras e das expressões.
2.2.1. Erros e dificuldades dos alunos em Álgebra
Nesta secção faz-se referência à importância e origem dos erros dos alunos, bem como aos tipos de erros que podem surgir na simplificação de expressões e na resolução de equações.
Importância e origem dos erros e dificuldades
Os erros acompanham todo o percurso de aprendizagem de qualquer aluno, sendo observados nas respostas que apresentam às questões colocadas pelos professores. Os erros são ferramentas muito valiosas para os professores, pois ―evidenciam características comuns da compreensão de determinados conceitos. Como tal, devem ser identificados pelo professor, pois é através deles que se podem fazer inferências sobre a forma como os alunos aprendem‖ (Soares, 2005, p. 25).
Uma das grandes preocupações dos professores de Matemática é a melhoria da aprendizagem dos alunos e a forma como eles aprendem. Desta forma, a análise de erros pode mostrar-se uma ferramenta crucial neste processo. Também é fundamental mudar a forma de pensar relativamente aos erros que os alunos cometem e, ao longo dos tempos, ―a cultura do erro enquanto fracasso tem aos poucos cedido espaço para uma cultura que admite o erro como elemento que pode ajudar na construção do conhecimento, uma cultura mais construtivista‖ (Vale, 2010, p. 35).
Para além dos erros permitirem ao professor compreender de que forma os alunos pensam, também fornecem informações relevantes aos próprios alunos acerca da sua evolução
na aprendizagem. Este último aspeto é muito importante na medida em que ―se os alunos não forem forçados a confrontar-se explicitamente com os conceitos errados e os princípios científicos que aprenderam, as conexões podem nunca se fazer‖ (Hiebert & Carpenter, 1992, p. 89).
Mas afinal, qual é a origem dos erros que os alunos cometem? Sendo a aprendizagem um processo evolutivo, envolve ―um conjunto de modificações no comportamento do aluno, tanto a nível físico como biológico e no ambiente no qual está inserido‖ (Soares, 2005, p. 27). Assim sendo, todo este processo origina nos alunos novas aprendizagens e potencialidades. Os conceitos adquiridos pelos alunos ao longo das aprendizagens realizadas não são concebidos de forma imediata, cada aluno irá abordar e recriar os conceitos de forma pessoal. Ora, é nesta etapa de compreensão e formalização dos conteúdos matemáticos que os alunos cometem erros. Assim, segundo Rosmini, ―o erro consiste numa síntese mal feita dos conceitos, isto é, as primeiras perceções dos alunos são isentas de erros, os erros surgem nos julgamentos feitos pela razão após a perceção dos conceitos pelos alunos‖ (2002, citado em Soares, 2005, p. 27).
Outra origem dos erros pode estar relacionada com o uso da língua. O facto de muitos alunos provirem de meios socioculturais diferentes, faz com que também possuam capacidades cognitivas diferentes. O facto de os professores atribuírem significados a palavras diferentes daqueles a que os alunos estão habituados, pode conduzir os alunos a erro. Assim, deve ter-se prudência na forma como é feito o discurso na aula com os alunos, para que não ocorram erros que resultam da atribuição de diferentes significados às palavras ou conceitos abordados.
No que diz respeito à aprendizagem da Álgebra, os alunos deparam-se com vários tipos de dificuldades. De acordo com Ponte (2005), muitas dessas dificuldades estão relacionadas com o facto de se usar letras para representar variáveis e incógnitas, fazendo com que os alunos não fiquem com a ideia de que essas letras representam números desconhecidos, não percebendo assim o sentido das expressões algébricas. Uma outra grande dificuldade dos alunos é perceber as alterações de significado, na Álgebra e na Aritmética, dos símbolos e , bem como das convenções adotadas. Por exemplo, em Aritmética, 35 tem um significado aditivo (305), enquanto em Álgebra, 5 tem um significado multiplicativo (y 5y ). Por outro lado, em Aritmética, 42indica uma ―operação para fazer‖, enquanto em Álgebra, x 5 representa uma unidade irredutível (enquanto não for concretizada a variável x ).
Compreendem-se todas estas dificuldades devido à complexidade dos conceitos que estão envolvidos e também à complexidade da linguagem utilizada, como mostra Rojano (2002, citado
em Ponte, 2005) através dos diferentes significados do símbolo . Este símbolo pode representar a equivalência entre duas expressões (em 5(a b)5a5b as expressões são equivalentes), uma equação (em 3x 2x 1as expressões não são equivalentes) ou uma relação (y x 1 define uma relação funcional afim).
Erros e dificuldades nas expressões e nas equações
Vários autores referem-se a vários tipos de erros que os alunos cometem na resolução de equações. A classificação que é atribuída aos erros na resolução de equações é a mesma que é atribuída aos erros na simplificação de expressões algébricas.
Neste projeto foram evidenciados vários tipos de erros que os alunos cometeram ao longo das resoluções das tarefas propostas. Aqui, serão apresentados os erros evidenciados pelos autores Hall (2002) e Kieran (1992).
Estes autores realizaram estudos relativamente aos erros dos alunos na resolução de equações, tendo especificado, para além de outros, os erros de inversão, redistribuição, transposição e eliminação. Os erros de inversão indicam uma confusão criada na escolha da operação inversa adequada. Vejamos os seguintes exemplos: na equação 5x 2 o aluno seleciona a operação de subtração como inversa da operação de multiplicação, resultando assim a equação x 25. Por outro lado, na equação x 52, o aluno pode confundir-se ao selecionar a operação de divisão como inversa da operação de adição, resultando assim a equação
5 2
x .
Os erros de redistribuição resultam quando os alunos tentam aplicar o mesmo processo a ambos os membros da equação. Por exemplo, os alunos podem considerar que a equação
4
3
x tem a mesma solução que a equação x 3242. Este erro surge quando os alunos não aplicam exatamente a mesma operação em ambos os membros da equação.
Os erros de transposição resultam da aplicação errada da regra mudar de membro-mudar de sinal. Segundo Kieran (1992), nestas situações, os alunos não operam sobre as equações como objetos matemáticos, ignorando assim a simetria da equação.
Os erros de eliminação revelam uma dificuldade dos alunos ao resolver equações ou simplificar expressões. Ao simplificarem a expressão 5ab 5a, alguns alunos obtêm como resultado b , pois consideram 5ab 5a 5ab5a. Carry, Lewis e Bernard (1980) realizaram um estudo acerca dos processos de resolução de equações utilizados por estudantes universitários, onde também detetaram o erro de eliminação, tendo este sido o mais comum na
simplificação das expressões que decorrem dos vários passos necessários para a resolução de equações. Por outro lado, os alunos omitem letras ou números na resolução de equações. Por exemplo, para resolver a equação 3cd 5 em ordem a c, os alunos escrevem
3 5
c , eliminado assim a letra d .
Também Kieran (1992) refere-se ao erro adição de termos não semelhantes e ao erro uso de parêntesis. No entanto, neste estudo, este último erro é classificado como eliminação de parêntesis. O erro adição de termos não semelhantes é identificado quando os alunos adicionam termos que não são semelhantes, sendo mais frequente na simplificação de expressões algébricas. Por exemplo, 2a5b 7ab . Também o erro adição incorreta de termos semelhantes foi estudado por Kieran (2006). Por exemplo, da equação 2x 5x 8, resulta a equação 7x 8.
O erro eliminação de parêntesis resulta da aplicação errada da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição ou à subtração. Quando os alunos são confrontados com equações ou expressões envolvendo várias letras em que é necessário fazer uso desta propriedade, existe uma grande probabilidade de não operarem corretamente os monómios em causa.
Para além destes erros, também outro foi detetado ao longo da intervenção de ensino: desembaraçar de denominadores. No entanto, não foram encontrados autores fazendo referência a este tipo de erro. Assim, explicita-se em que consiste o erro referido, com base na intervenção de ensino realizada.
O erro desembaraçar de denominadores acontece quando os alunos pretendem simplificar uma expressão ou apenas um membro de uma equação, retirando os denominadores, o que faz com as equações não sejam equivalentes.
Para além de todos estes erros, ainda houve alunos que mostraram dificuldade no que diz respeito à interpretação das perguntas, não respondendo ao que era realmente solicitado. 2.2.2. Um ensino centrado no significado das letras e expressões
Nesta secção será apresentada a importância do simbolismo e do pensamento algébrico, bem como os diversos significados que as letras podem assumir e conceções de Álgebra.
O simbolismo e o pensamento algébrico
Aritmética e Geometria. Sendo esses problemas expressos em linguagem natural, mostrou-se fundamental o contributo de Diofanto para a abreviação de determinadas situações. Contudo, a transformação radical deu-se muito mais tarde com François Viète, no século XVI, construindo a chamada Álgebra simbólica.
O raciocínio matemático envolve, sobretudo, a articulação de afirmações de uma forma lógica. Quando se estuda Álgebra esta articulação é feita através de símbolos, particularmente letras do nosso e de outros alfabetos e sinais a que também estamos habituados. A partir dos símbolos pode-se expressar ideias matemáticas de forma precisa, mostrando-se muito importantes e úteis na resolução de problemas. Contudo, ―os símbolos podem ter significados diversos, conforme o contexto em que são usados, e uma boa parte das dificuldades dos alunos está precisamente nesta interpretação‖ (Ponte, Branco & Matos, 2008, p. 89).
Foi visto em secções anteriores que as grandes dificuldades dos alunos residem no uso dos símbolos matemáticos. Ora, sendo ―a existência do discurso matemático praticamente impossível sem abreviaturas‖ (Davis & Hersh, 1995, p. 124), é fundamental não perdermos de vista os seus significados, pois se dermos apenas atenção ao modo de manipular símbolos podemos cair num formalismo sem qualquer sentido para o aluno. A solução para uma aprendizagem eficaz da Matemática utilizando símbolos ―terá de passar por uma estratégia de ir introduzindo os símbolos e o seu uso, em contextos significativos, no quadro de atividades que mostrem de forma natural aos alunos o poder matemático da simbolização e da formalização‖ (Ponte, 2005, p. 40).
A importância dos símbolos também é reconhecida pelo matemático americano Devlin (2002), quando defende que ―sem os seus símbolos algébricos, uma grande parte da matemática simplesmente não existiria‖ (p. 11). De acordo com Ponte et al. (2008), a simbologia usada na matemática é uma ferramenta muito poderosa para a resolução de problemas sendo, por outro lado, a sua grande fraqueza na medida em que pode tornar-se confuso e incompreensível para os alunos, pois os símbolos têm tendência a desviar-se daquilo que são os referentes concretos iniciais. Este aspeto fica claro quando se utiliza simbologia de um modo abstrato, onde os símbolos não têm qualquer significado para os alunos.
Segundo Kieran (1992), a evolução progressiva de conceções estruturais está implícita no desenvolvimento do simbolismo algébrico. Até François Viète ter inventado a Álgebra simbólica, a Álgebra consistia na resolução de problemas através de descrições verbais, que consistiam nas descrições dos processos computacionais de resolução dos problemas. Assim, esta invenção de
François Viète ―fez com que a álgebra passasse a ser mais que uma ferramenta processual, permitindo que as formas simbólicas fossem usadas como objetos estruturais‖ (Soares, 2005).
É fundamental fazer a distinção entre os termos processual e estrutural, mencionados anteriormente. Segundo Kieran (1992), o termo ―processual‖ refere-se a operações aritméticas sobre números. Por exemplo, se considerarmos a expressão algébrica 8x y e substituirmos x por 1 e y por 3, o resultado é 5. Outro exemplo envolve a resolução da equação
14 5
3x , atribuindo vários valores a x até encontrar o valor que torna a igualdade numérica verdadeira. Nestas situações, os objetos que são operados e os resultados obtidos são sempre expressões numéricas. Por outro lado, o termo ―estrutural‖ refere-se a um conjunto de operações que são feitas não só sobre números mas também sobre expressões algébricas. Por exemplo, a expressão algébrica 3a2ba pode ser reduzida a 2a2b e a equação
4 2
3x x pode ser transformada em x 3. Nestas situações, os objetos que são operados são expressões algébricas, podendo o seu resultado também ser uma expressão algébrica.
O uso das letras pelos alunos e conceções de Álgebra
É fundamental que os alunos compreendam desde cedo os vários significados e usos das letras, ―pois é uma das razões apontadas para os erros que os alunos cometem‖ (Soares, 2005, p. 18). Dietmar Küchemann identificou diferentes níveis de interpretação para as letras em expressões matemáticas quando investigou acerca de como as crianças entendem a aritmética. As diferentes interpretações dos alunos foram classificadas segundo seis níveis: letra avaliada, letra ignorada, letra como objeto, letra como incógnita específica, letra como um número generalizado e letra como variável (Küchemann, 1981).
Segundo o estudo de Küchemann, poucas foram as crianças entre os 13 e 15 anos que foram capazes de considerar as letras como números generalizados e um número ainda menor foi capaz de interpretar as letras como variáveis. Quando foi feita a comparação entre a letra como incógnita específica e a letra generalizando números, um grande número de alunos interpretou as letras como incógnitas especificas, em vez de as interpretar como números generalizados. Já no caso das interpretações das letras como objeto e como letra ignorada, a grande maioria dos alunos foi capaz de trabalhar corretamente essas interpretações das letras.
De seguida, apresentam-se exemplos para se perceber cada um dos níveis mencionados anteriormente.
A ―letra avaliada‖ funciona como uma letra que substitui um número, podendo ser determinado através do método tentativa erro, sem ser necessário operar com a incógnita. Por exemplo, para dar resposta à questão: se a58, então a ? são necessárias apenas operações concretas. Também faz parte deste nível a resposta à questão: se x 3y 1 e
2
y , então x ?, apesar de estarem envolvidas duas letras.
A ―letra ignorada‖ resulta quando os alunos ignoram a letra, reconhecendo a sua existência mas sem lhe atribuir qualquer significado. Por exemplo, na questão: se ab 43, então ab2?, as letras a e b podem ser ―ignoradas‖, considerando assim o valor de
b
a como um só e adicionar a 2. O mesmo acontece na questão: se ef 8, então ?
f g
e , uma vez que o valor de ef , que é 8, pode ser adicionado a g .
Na ―letra como objeto‖, as letras podem ser vistas como nomes de objetos concretos. Por exemplo, num quadrado de lado l , 4 poderá ser interpretado como quatro lados e não como l quatro vezes uma determinada quantidade. Nos casos da simplificação de expressões, como por exemplo 2a5ba, que simplificada resulta em 3a 5b, pode usar-se os termos ―a para maças e b para laranjas‖.
No que diz respeito à categoria ―letra como incógnita específica‖, os alunos reconhecem a letra como um número específico, embora desconhecido, podendo operar diretamente sobre ele. Por exemplo, na operação: multiplica n5 por 4 pode-se operar sobre a letra n , embora se desconheça o seu valor.
Na ―letra como um número generalizado‖, cada letra poderá ter vários valores. Por exemplo: se cd 10 e c d , então c ?
Por fim, a ―letra como variável‖ está relacionada com questões do tipo: qual é maior, 2n ou n2?. Nestas situações é necessário descobrir uma relação entre as duas expressões, quando n varia. Nesta categoria a letra representa um conjunto de valores.
Para além de ser útil a compreensão do uso das letras pelos alunos em Álgebra, é importante discutir as conceções que existem da mesma. Para tal, tomemos em consideração as quatro conceções de Álgebra escolar que Usiskin (1989) definiu: Álgebra como aritmética generalizada, Álgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas, Álgebra como o estudo de relações entre quantidades e Álgebra como o estudo de estruturas.
Na conceção ―Álgebra como aritmética generalizada‖ tratam-se as letras como padrões generalizados. Por exemplo, 35,75,73 é generalizada como ab ba. Nesta conceção de Álgebra, as instruções-chave são traduzir e generalizar.
Na conceção ―Álgebra como o estudo de procedimentos para resolver certos tipos de problemas‖ as letras são ou incógnitas ou constantes. Consideremos o seguinte exemplo: quando 3 é adicionado a 5 vezes um certo número, a soma é 40. Encontre esse número. Esta situação é facilmente traduzida para linguagem algébrica através da equação 35x 40. Os alunos terão de adotar um procedimento para dar resposta ao problema. Fica assim patente que as instruções-chave nesta conceção são simplificar e resolver.
Na conceção ―Álgebra como o estudo de relações entre quantidades‖ uma letra é um argumento (quando toma valores num domínio) ou um parâmetro (quando é substituída por um número que depende de outros números). Somente nesta conceção existem as noções de variável dependente e independente. Por exemplo, para uma dada função f(x), determine f(x) para x a ou determine x , de modo que f(x)a.
Por fim, na conceção ―Álgebra como o estudo de estruturas‖, as letras não são mais do que símbolos arbitrários. Por exemplo, fatorizando o polinómio 3x2 4yx 132y2, obtém-se
) 6 )( 22 3
( x y x y , onde se pode verificar a resposta substituindo x e y no polinómio dado e na sua factorização por valores que pertencem ao domínio. Porém, de um modo geral, os alunos verificam a resposta multiplicando os binómios. Assim, tendem a tratar as letras como símbolos arbitrários, sem qualquer referência aos números.
2.3. Plano geral de intervenção
Neste subcapítulo apresentam-se as metodologias de ensino e aprendizagem usadas na intervenção de ensino e justifica-se a sua importância à luz do contexto e da literatura. Além disso, também se apresentam as estratégias de investigação e avaliação da ação, identificando a pertinência de cada estratégia para poder responder aos objetivos do projeto.
2.3.1. Metodologias de ensino e aprendizagem
Ao longo da intervenção de ensino foram usadas três metodologias de ensino e aprendizagem: diversidade do tipo de tarefas e dos seus contextos, trabalho de grupo e discussões no grupo-turma.
Diversidade do tipo de tarefas e dos seus contextos
Para o ensino da Álgebra é fundamental usar tarefas que, à partida, suscitem interesse por parte dos alunos. Para tal, é importante salientar que existem tarefas de vários tipos, ―umas
mais desafiantes, outras mais acessíveis, umas mais abertas, outras mais fechadas, umas referentes a contextos da realidade, outras formuladas em termos puramente matemáticos‖ (Ponte, 2005). Assim, o professor desempenha um papel importante na escolha das tarefas para aplicar na sua aula de modo a que o processo de ensino-aprendizagem decorra de uma forma atrativa, exigindo, assim, dos alunos a prática do raciocínio e da comunicação matemática. A exploração de tarefas variadas, que enfatizem o significado das expressões, envolvam desafio por parte dos alunos e com um certo nível de abertura serão apropriadas para a aprendizagem da Álgebra, pois
apelam à inteligência dos alunos, desenvolvem a compreensão e aptidão matemática, estimulam os alunos a estabelecer conexões e a desenvolver um enquadramento coerente para as ideias matemáticas, apelam à formulação e resolução de problemas e ao raciocínio matemático, promovem a comunicação sobre Matemática e mostram a Matemática como uma atividade humana permanente. (Ponte & Serrazina, 2009, p. 3)
Relativamente ao tipo de tarefas, evidenciam-se duas dimensões: grau de desafio matemático e grau de estrutura. Segundo Ponte (2005), o grau de desafio matemático está relacionado com a perceção da dificuldade de uma determinada questão e varia entre os polos de desafio ―reduzido‖ e ―elevado‖. Já o grau de desafio varia entre os polos ―aberto‖ e ―fechado‖. Considera-se tarefa fechada ―aquela onde é claramente dito o que é dado e o que é pedido e tarefa aberta a que comporta um grau de indeterminação significativo no que é dado, no que é pedido, ou em ambas as coisas‖ (Ponte, 2005, p. 18).
Observe-se o seguinte diagrama, proposto por Ponte (2005), que resume os diversos tipos de tarefas, quanto ao grau desafio e ao grau de abertura.
Figura 1. Relação entre os diversos tipos de tarefas, em termos do seu grau de desafio e de abertura.
No que diz respeito ao contexto que as tarefas podem assumir, Skovsmose (2000) distingue três dimensões: tarefas enquadradas num contexto da realidade, tarefas enquadradas num contexto de semi-realidade e tarefas que se referem a contextos puramente matemáticos. Frequentemente, desde o 1º ciclo até ao ensino secundário, os alunos não chegam a perceber o papel que a Matemática desempenha em situações do mundo real. Assim, ―faz parte do papel do professor estabelecer conexões com a vida real na prática da aula de Matemática.‖ (Ferri, 2010, p. 19).
Skovsmose (2000) caracteriza as tarefas num contexto da semi-realidade a partir dos seguintes atributos: ―é totalmente descrita pelo texto do exercício; nenhuma outra informação é relevante para a resolução do exercício; mais informações são totalmente irrelevantes; o único propósito de apresentar o exercício é resolvê-lo‖ (p. 69). Nas tarefas apresentadas neste contexto, os alunos podem resolver as situações sem ter conhecimento da realidade a que se referem.
De acordo com Ponte (2005), as tarefas em contextos puramente matemáticos também são relevantes, na medida em que os alunos podem sentir-se desafiados para a sua realização.
Assim, para ensinar Matemática deve ter-se em conta a implementação de tarefas variadas (Fernandes, Almeida, Mourão & Campelo, 1993). Considero que as tarefas exploratórias, encaminhando os alunos para a descoberta, assumem um papel importante e podem levar a um maior interesse e motivação por parte dos alunos. Pensar em tarefas específicas para cada conteúdo poderá despertar curiosidade nos alunos, levando a que assumam uma atitude positiva perante a Matemática e, por outro lado, enriqueçam a sua aprendizagem.
No entanto, considerar apenas tarefas diversificadas para a aprendizagem dos alunos não é suficiente. Deve ter-se em conta a forma como são implementadas, designadamente: ―como organizar e orientar o trabalho dos alunos; que perguntas fazer de modo a desafiar os diversos níveis de competência dos alunos; como apoiá-los, sem interferência no seu processo de pensamento‖ (NCTM, 2007, p. 20). Também devemos ter em consideração que os alunos têm de praticar os conteúdos explorados. Para tal, as tarefas rotineiras também devem ser tidas em conta para a consolidação dos conhecimentos.
Trabalho de grupo
O trabalho de grupo é um dos métodos de trabalho dos alunos na sala de aula. Petocz & Reid (2007) defendem que o trabalho em grupo possibilita aos alunos desenvolver habilidades e
competências interpessoais; permite que estejam expostos aos pontos de vista dos outros elementos do seu grupo e promove a reflexão e discussão, que são competências essenciais para se tornarem profissionais reflexivos e competentes.
O trabalho dos alunos em pequenos grupos pode ser uma metodologia eficaz para o ensino da Matemática, na medida em que pode enriquecer os conhecimentos de cada um. Quando os alunos falam e ouvem os colegas, ―clarificam significados e a construção pessoal do conhecimento‖ (Martinho & Ponte, 2005, p. 276). Por outro lado, quando a discussão se alarga a toda a turma, ―os alunos acabam por calcular mais o que dizem ou mesmo calar-se se não tiverem a certeza da pertinência do seu comentário ou temerem a reação do professor‖ (Martinho & Ponte, 2005, p. 276).
Para além do trabalho em grupo permitir aos alunos ―expor as suas ideias, ouvir os seus colegas, colocar questões, discutir estratégias e soluções, argumentar e criticar outros argumentos‖, torna-se mais fácil para os alunos ―arriscar os seus pontos de vista, avançar com as suas descobertas e exprimir o seu pensamento‖ (Ponte et al., 1997, p. 19).
Numa investigação feita por Roa, Correia e Fernandes (2009), sobre uma intervenção de ensino de Combinatória, foram analisadas as perceções dos alunos acerca do seu trabalho em pequenos grupos. Nos questionários que lhes foram entregues no final da intervenção de ensino, foi notório o reconhecimento da importância desta metodologia na sua aprendizagem. Verificou-se que 91% dos alunos consideraram o trabalho de grupo importante para que surgisVerificou-sem ideias diferentes e 83% dos alunos referiram que a resolução dos problemas em grupo aumentou a sua participação nas tarefas propostas. Para além disto, a grande maioria dos alunos considerou o trabalho de grupo importante para aprender melhor e para superar dúvidas e dificuldades.
Dada a importância reconhecida a esta metodologia de ensino e aprendizagem, considerei pertinente adotá-la na implementação do projeto. Para além disso, justifica-se o trabalho dos alunos em pequenos grupos uma vez que, desde o início do ano letivo, os alunos vinham trabalhando desta forma em todas as aulas de Matemática. Apesar de ser a primeira vez que estes alunos trabalhavam desta forma, não foram observadas reações negativas ao novo método, apesar de ao longo do ano letivo serem feitos pequenos ajustes entre os grupos de alunos. No entanto, e de acordo com Petocz & Reid (2007), as competências necessárias para o trabalho de grupo ser eficaz não são inatas, daí esta metodologia de trabalho ter de ser praticada e discutida com os alunos ao longo das aulas.
Para a realização deste projeto, organizaram-se os alunos em grupos de 3, 4 ou 5 elementos. Na elaboração dos grupos teve-se em conta o nível de desempenho em Matemática dos alunos. Os grupos eram homogéneos entre eles e heterogéneos dentro de cada um deles, na medida em que em cada grupo havia um bom aluno, um aluno médio e um aluno mais fraco. À medida que decorreu o ano letivo, foram sendo feitos ajustes nos grupos de trabalho, encontrando-se totalmente definidos no momento da intervenção. Assim, agruparam-se os 20 alunos da turma em 5 grupos, como se apresenta na Tabela 3.
Tabela 3 – Constituição dos grupos de trabalho
Grupo GI GII GIII GIV GV Elementos do grupo 9 A A12 17 A 1 A A7 14 A A19 5 A A10 13 A A16 3 A A4 6 A A8 2 A A11 A15 18 A A20 Discussões no grupo-turma
As discussões ocorridas na aula de Matemática e a comunicação que delas resulta tem sido alvo de muitos estudos no âmbito da educação Matemática. A comunicação ocorrida nas aulas ―constitui um processo social onde os participantes interagem trocando informações e influenciando-se mutuamente‖ (Martinho & Ponte, 2005, p. 275). Estas discussões mostram-se importantes para os alunos, na medida em que, ―ao falarem e ouvirem os colegas, estes vão clarificando os significados das palavras bem como os seus pensamentos e ideias‖ (Martinho, 2007, p. 31). Assim sendo, as discussões levam os alunos a novas descobertas e permitem que reforcem o seu próprio conhecimento, que combinado com o dos outros reflete-se na melhoria das suas aprendizagens (Martinho, 2007).
Num estudo efetuado por Almeida e Fernandes (2008), concluiu-se que
uma visão da Matemática associada ao desenvolvimento de capacidades e à construção de conhecimentos, uma perspetiva de ensino/aprendizagem centrada no aluno… parecem ter contribuído para a implementação de padrões de interação e modos de comunicação que impliquem a troca de ideias entre os alunos e a negociação de significados (pp. 595-596).
A partir destes resultados considerei pertinente envolver, sempre que possível, os alunos em discussões no próprio grupo e no grupo-turma.
Relativamente a esta metodologia de ensino e aprendizagem, os alunos, após terminarem cada tarefa, apresentavam no quadro para os restantes colegas da turma a forma como pensaram para dar resposta ao que era proposto. Estas discussões mostraram ser muito úteis,
na medida em que os alunos discutiam as resoluções dos colegas e opinavam acerca da sua validade, fomentando assim a participação de outros alunos ao longo da aula.
Foi um desafio moderar estas discussões, na medida em que pretendia, em todas as tarefas, averiguar os significados que os alunos atribuíam às letras e expressões na exploração dos tópicos que lecionei.
2.3.2. Estratégias de investigação e avaliação da ação
Para as estratégias de investigação e avaliação da ação deste projeto recorreu-se, como instrumentos de recolha de informação, às tarefas realizadas pelos alunos na intervenção, à ficha por partes de equações literais e à ficha de avaliação sumativa realizada no final de todas as intervenções.
Tarefas realizadas pelos alunos durante a intervenção
Durante as aulas que fizeram parte da intervenção de ensino foram propostas várias tarefas aos alunos, onde foi pedido que escrevessem tudo aquilo que pensavam nas fichas que lhes eram entregues, quer através de cálculos, texto ou esquemas. Também foi pedido aos alunos para que nunca apagassem aquilo que faziam, riscando apenas levemente onde tinham errado. Todas as fichas de trabalho eram recolhidas no final de cada aula para fotocopiar, sendo entregues aos alunos na aula seguinte.
Todas as tarefas eram corrigidas no quadro pelos alunos e foram audiogravadas as suas apresentações e discussões das mesmas no grupo-turma. Para tal, foi entregue um pedido de autorização para as gravações das aulas ao diretor da escola (Anexo I) e a todos os encarregados de educação (Anexo II), que foi por todos concedida. Em cada grupo de trabalho estava disposta uma máquina de filmar para gravar as discussões ocorridas entre os alunos do grupo nas resoluções das tarefas, o que permitiu analisar estratégias e formas de pensamento dos alunos.
As tarefas realizadas pelos alunos durante a intervenção permitiram analisar os significados que atribuíam às letras e expressões, bem como os erros que cometeram ao resolver as várias tarefas.
Ficha por partes de equações literais
Ao longo do ano letivo foram realizadas seis fichas por partes, que juntas equivalem a um teste. Cada ficha por partes era constituída por um pequeno grupo de tarefas, relativas apenas a um só tópico do programa. Uma vez que terminei a intervenção de ensino junto ao início das
férias da Páscoa, foi sugerido aos alunos realizarem a ficha por partes de equações literais (Anexo III) em grupo, durante as férias. Esta ficha, que consistiu na elaboração de um relatório, tinha como objetivo aplicar os conteúdos matemáticos abordados nas aulas em situações concretas do quotidiano. Para a realização da ficha os alunos teriam de se apoiar numa das tarefas abordadas nas aulas sobre este tópico, que abordava a temática consumos de energia elétrica. Perceber-se-á melhor em que consistiu esta ficha no capítulo III deste relatório, uma vez que são aí analisadas as resoluções de cada grupo de alunos.
Ficha de avaliação
As fichas de avaliação ou testes são o modo de avaliação mais frequente no ensino. São, habitualmente, provas escritas, realizadas individualmente pelos alunos, não havendo qualquer tipo de consulta e com tempo limitado. Com os resultados destas fichas, os professores recolhem informação sobre a aprendizagem dos alunos. No entanto, deve ter-se especial atenção ao facto destas fichas não avaliarem um conjunto de outros aspetos que são fundamentais, designadamente
não avaliam o desempenho oral do aluno nem o modo como ele é capaz de participar numa discussão... Sendo provas individuais, não podem naturalmente avaliar até que ponto o aluno desenvolveu a apetência para interagir com outros na resolução de um problema e têm que deixar de fora tarefas que exijam cooperação. Sendo provas sem consulta, são incapazes de determinar a capacidade do aluno para estudar um texto matemático ou para procurar a informação de que necessita. Finalmente, sendo provas com tempo limitado, são inadequadas para pôr à prova a persistência do aluno e o seu gosto e aptidão para se envolver numa investigação prolongada. (Ponte, Boavida, Graça, & Abrantes, 1997, pp. 106-107)
Para este estudo, foi usada a ficha de avaliação realizada no final do ano letivo (Anexo IV). Desta ficha fizeram parte os conteúdos abordados nas aulas de cada um dos elementos do núcleo de estágio. Sendo assim, fizeram também parte dessa ficha de avaliação os tópicos equações literais e polinómios, que são os tópicos alvo do meu projeto. Antes de serem corrigidas, foram fotocopiadas todas as fichas de avaliação dos alunos para, posteriormente, poderem ser analisados os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões e os erros que cometem ao resolver as tarefas propostas.
CAPÍTULO III INTERVENÇÃO
Neste capítulo, dividido em cinco secções, apresenta-se a análise da intervenção de ensino recorrendo aos dados recolhidos ao longo das aulas e durante os momentos de avaliação. Nestas secções analisam-se as características das tarefas utilizadas na intervenção e que fazem parte da análise dos dados recolhidos, os significados que os alunos atribuíram às letras e os erros e dificuldades por eles sentidos na realização das tarefas propostas.
Na Tabela 4 apresenta-se a caraterização e organização da intervenção de ensino centrada no projeto, segundo as aulas, as tarefas e os objetivos das aulas.
Tabela 4 – Caraterização e organização da intervenção de ensino centrada no projeto
Aula Tarefas Objetivos da aula
1 (90 minutos)
1. Parque de diversões 2. Festa de final de ano 3. Ecossondas
Averiguar os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões.
Interpretar e representar informação, ideias e conceitos representados de diversas formas, incluindo textos matemáticos. Resolver equações literais em ordem a uma das letras.
2 (90 minutos)
4. Índice de massa corporal 5. Os biólogos no rio Cávado 6. A matemática e a
interdisciplinaridade
Resolver equações literais em ordem a uma das letras.
Averiguar os significados atribuídos pelos alunos às letras e expressões.
Interpretar e representar informação, ideias e conceitos representados de diversas formas, incluindo textos matemáticos. 3
(90 minutos) 7. Consumo de energia elétrica 8. Os perigos do álcool Consolidar conhecimentos sobre equações literais. 4
(90 minutos)
9. Monómios: definição e propriedades
10. Verdadeiro ou falso
Compreender a definição e propriedades dos monómios.
Interpretar e representar informação, ideias e conceitos representados de diversas formas, incluindo textos matemáticos. 5
(90 minutos)
11. Operações com monómios 12. Monómios e polinómios 13. Áreas e perímetros
Operar com monómios e polinómios (adição algébrica e multiplicação).
Interpretar e representar informação, ideias e conceitos representados de diversas formas, incluindo textos matemáticos. 6
(90 minutos)
14. Grau de um polinómio 15. O quadrado
16. Operações com polinómios 17. Desafio
Determinar o grau de um polinómio. Operar com monómios e polinómios (adição algébrica e multiplicação). Consolidar conhecimentos.
Apresento na tabela seguinte as caraterísticas das tarefas que irão ser analisadas neste capítulo. Nestas características são tidos em conta o contexto e o tipo de cada tarefa analisada.
Tabela 5 – Tipos das tarefas e o seu contexto
Momento Tarefas Contexto Tipos de tarefas Realidade Semi-realidade Matemático Abertas Fechadas
Aulas 1 3 4 6 8 9 15 16 Ficha por partes * Ficha de avaliação 1 4 7
*A ficha por partes foi constituída apenas por uma tarefa.
Pela observação da tabela, verifica-se que de todas as tarefas que irão ser analisadas, a grande parte concentra-se no contexto da realidade. Quanto ao tipo de tarefas, pode constatar-se que quase todas são fechadas. As tarefas referidas na tabela 5 serão apresentadas nas secções seguintes, sendo mais enfatizada numas a análise dos significados que os alunos atribuem às letras e expressões e noutras a análise dos erros cometidos e as dificuldades sentidas na sua realização.
3.1. Equações literais
3.1.1. Manipulação de expressões e equações com mais de duas letras
A primeira tarefa que irei analisar diz respeito à tarefa inicial da primeira aula. É uma tarefa enquadrada num contexto real e pode ser considerada um problema. Sendo assim, é uma tarefa fechada na medida em que é dito o que é dado e o que é pedido que os alunos realizem. Nesta tarefa era fornecida uma tabela com dados relativos ao número de visitantes e funcionários de um parque de diversões. Os alunos tinham de criar expressões algébricas e equações utilizando os dados da tabela e determinar o seu valor para os dados fornecidos. Nesta situação era fundamental uma correta interpretação dos significados das letras utilizadas.
