Uma perspectiva não-extensiva da estrutura multi-escala das flutuações presente na onda gravitacional GW150914

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DEPARTAMENTO DE F´ISICA

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM FÍSICA

CLEO VIEIRA DA SILVA

UMA PERSPECTIVA N ÃO-EXTENSIVA DA ESTRUTURA MULTI-ESCALA DAS FLUTUAÇ ÕES PRESENTE NA ONDA GRAVITACIONAL GW150914

FORTALEZA 2019

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Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em F´ısica da Univer-sidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.

´

Area de Concentração: F´ısica da Matéria Con-densada.

Orientador: Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas.

FORTALEZA 2019

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Biblioteca Universitária

Gerada automaticamente pelo módulo Catalog, mediante os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

S579p Silva, Cleo Vieira da.

Uma perspectiva não-extensiva da estrutura multi-escala das flutuações presente na onda gravitacional QW 150914 / Cleo Vieira da Silva. – 2019.

102 f. : il. color.

Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Ciências, Programa de Pós-Graduação em Física, Fortaleza, 2019.

Orientação: Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas.

1. Ondas gravitacionais. 2. Mecânica estatística. I. Título.

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Dissertação de Mestrado apresentada ao Pro-grama de Pós-Graduação em F´ısica da Univer-sidade Federal do Ceará, como requisito parcial para a obtenção do T´ıtulo de Mestre em F´ısica.

´

Area de Concentração: F´ısica da Matéria Con-densada.

Aprovada em 07/10/2019.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas (Orientador) Universidade Federal do Cear´a (UFC)

Prof. Dr. Mackson Matheus Franc¸a Nepomuceno Universidade Federal Rural do Semi- ´Arido (UFERSA)

Prof. Dr. Geova Maciel de Alencar Filho Universidade Federal do Cear´a (UFC)

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Primeiramente a Deus por me conceder essa alegria;

Aos meus pais, Jo˜ao da Silva e Esmeraldina Vieira da Silva, pelo amor, incentivo e apoio;

A minha namorada Vit´oria Maria Rodrigues Vasconcelos, que vem me acompa-nhando em todos os momentos nessa minha caminhada, esta ao meu lado me ajudando a seguir em frente;

Ao meu orientador Prof. Dr. Daniel Brito de Freitas, pela importante orientação acadêmica, credibilidade, confiança e paciência;

Aos amigos que, s˜ao muitos, que me ajudaram neste percurso, incentivando, cola-borando, participando e me ensinando;

`

A Universidade Federal do Ceará e, seu corpo docente, direção e administração que oportunizaram a janela que hoje vislumbro um horizonte vasto e de inúmeras possibilidades;

Agradeço a todos os professores por me proporcionar o conhecimento não apenas racional, mas a manifestação do caráter e afetividade da educação no processo de formação profissional.

O presente trabalho foi realizado com apoio da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de N´ıvel Superior - Brasil (CAPES) - Código de Financiamento 001.

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As recentes detecções de ondas gravitacionais observadas pelo Observatório de Ondas Gravi-tacionais por Interferometria Laser (LIGO, na sigla em inglês) são usadas neste trabalho para investigar flutuações da onda gravitacional quando o sistema binário entra em processo de co-alescência. Com isso, séries temporais foram constru´ıdas a partir dos dados de medida de deformação relativa strain causada pela onda gravitacional GW150914, primeiramente detec-tada pelo LIGO. Assim, utilizou-se o ´ındice entrópico q, emergido da mecânica estat´ıstica não-extensiva desenvolvida por C. Tsallis, para caracterizar a estrutura multi-escala das flutuações. Sabe-se que existem dois tipos de memórias presentes em uma onda gravitacional: uma de ori-gem não-radiativa e outra de oriori-gem radiativa que apresenta frequências excedentes ao limite de detecção instrumental do LIGO e, portanto, ainda não foram detectadas experimentalmente. Esse caráter não linear está associado à memória de Christodoulou que surge de uma correção eletromagnética da expansão de multipolos. Assim, procurou-se com a referida teoria estat´ıstica verificar o comportamento do ´ındice entrópico e mapear regiões de transição de fase que podem quantificar o fenômeno e, possivelmente, correlacioná-lo com propriedades inerentes à f´ısica da onda gravitacional. Dessa forma, o estudo se baseia na ideia de que existem flutuações nas quais a memória gravitacional radiativa pode se manifestar. Dessa forma, o resultado no detec-tor de Hanford indicou que para a onda gravitacional GW150914, uma transição de fase ocorre no valor máximo de q, com tempo correspondente de 7, 75 ms (milissegundo) e, portanto, uma frequência de 130 Hz. Já no detector de Livingston, para o valor máximo de q, o tempo cor-respondente de 3, 85 ms (milissegundo) e, portanto, frequência de 260 Hz. Em frequências máximas, pode-se associar um forte efeito não-extensivo à coalescência dos buracos negros. Depois das frequências de 130 Hz e 260 Hz, o regime torna-se extensivo, ou seja, o sistema encontra-se no estado de equil´ıbrio termodinâmico. Inicialmente, esse resultado revela que a memória radiativa está presente no processo de espiralização do sistema binário de buracos ne-gros. Com isso, acredita-se que a região onde a transição de fase é medida não seja um artefato estat´ıstico, mas uma manifestação f´ısica provocada pelos mecanismos que antecedem a fusão dos buracos negros.

Palavras-chave: Ondas Gravitacionais. Estat´ıstica Não-Extensiva. Flutuação. Estrutura Multi-Escala.

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The recent gravitational waves detections observed by the Gravitational Wave Observatory by Laser Interferometer (LIGO) are used in this work to investigate fluctuations in gravitational waves when the binary system goes into the coalescence process. Thus, time series were cons-tructed from the data of measurement of strain relative deformation caused by the gravitational wave GW150914, first detected by LIGO. Hence, the entropic index q was used, emerged from the non-extensive statistical mechanics developed by C. Tsallis, to characterize the multiscale structure of fluctuations. It is known that there are two types of memory present in a gravi-tational wave: one of nonradiative origin and one of radiative origin that presents frequencies over the instrumental detection limit of the LIGO and, therefore, have not yet been detected ex-perimentally. This nonlinear character is associated with the memory of Christodoulou arising from an electromagnetic correction of the expansion of Multipoles. Thus, one sought with the aforementioned statistical theory to verify the behavior of theentropic index and to map phase transition regions that can quantify the phenomenon and possibly correlate it with properties inherent to the physics of the gravitational wave. In this sense, the study is based on the idea that there are fluctuations in which the radiative gravitational memory can be manifested. Thus, the result in the Hanford detector indicated that for the gravitational wave GW150914, a phase transition occurs at the maximum value of q, with a corresponding time of 7.75 ms (millisecond) and, therefore, a frequency of 130 Hz. On the Livingston detector, for the maximum value of q, the corresponding time of 3.85 ms (millisecond) and, therefore, a frequency of 260 Hz. At maximum frequencies, a strong non-extensive effect can be associated with the coalescence of black holes. In frequencies higher than 130 Hz and 260 Hz, the regime becomes extensive, that is, the system is in the state of thermodynamic equilibrium. Initially, this result reveals that the radiative memory is present in the process of inspiraling the binary system of black holes. Therefore, it is believed that the region where the phase transition is measured is not a statistical artifact, but a physical manifestation provoked by the mechanisms that precede the fusion of black holes.

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Figura 1 – A presença de corpos massivos afeta a curvatura do espaço-tempo. . . 18 Figura 2 – Quatro part´ıculas livres diametralmente opostas. Os eixos estão em unidades

deε. . . 29 Figura 3 – Um c´ırculo de part´ıculas livres deformadas pela passagem de um onda

gravi-tacional. . . 30 Figura 4 – Uma ilustração gráfica da relação do r bem distante da fonte. . . . 32 Figura 5 – A relação entre o referencial(x, y, z) e o referencial ( ˆx′, ˆy′, ˆn). O vetor ˆx′está

no plano(x, y), enquanto ˆy′aponta para baixo, em relação ao plano(x, y). . . 39 Figura 6 – Uma visão em perspectiva da geometria das órbitas binárias. O plano (x_{− y)}

é escolhido para que coincidem com o plano das órbitas. A distância entre as duas massas é dada por r= ra+ rb. . . 42

Figura 7 – A geometria do problema em um referencial (x′, y′, z′) onde um observador fixo est´a a uma grande distˆancia ao longo do eixo z′positivo. A normal para a

órbita faz um ânguloψ com o eixo z′. . . 45 Figura 8 – A evolução temporal da amplitude da onda gravitacional na fase espirada de

um sistema binário. . . 47 Figura 9 – Esquema de ondas gravitacionais. (Topo) As três fases de coalescência: espiralação,

fusão e ringdown. (Inferior) A amplitude das ondas gravitacionais emitidas para a coalescência. . . 48 Figura 10 –Efeito qualitativo da memória nas massas de teste e no espaço-tempo. Sem

a memória, após o passagem das ondas, as massas de teste retornam a uma circunferência (a mesma de antes da passagem das ondas). Com o memória as massas não voltam a uma circunferência, mas permanecem perturbadas. . . 50 Figura 11 –Efeito da memória em um gráfico de forma de onda. A forma de onda azul não

tem memória, a vermelha com memória. O sinal de memória é a linha laranja pontilhada. Observe que a memória se acumula durante toda a mesclagem, com uma velocidade mais alta durante o pico de frequência da onda. . . 50 Figura 12 –A entropia de probabilidade Sq como uma função do número de estados W

(com k= 1), para valores t´ıpicos de q. Para q > 1, Sq satura no valor 1/(q −

1_{)se W → ∞; para q ≤ 1, diverge. Para q → ∞(q → −∞), coincide com a} abscissa (ordenada). . . 53

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direito e q= 2 centralizada. . . 56 Figura 14 –Observat´orios do LIGO em Hanford, Washington e Livingston, Louisiana.

Os lasers e óptica estão contidos nos grandes edif´ıcios de esquina. De cada edif´ıcio de esquina, tubos de feixe evacuados se estendem em ângulos retos por 4 km em cada direção os tubos são cobertos pelos recintos de concreto. . 60 Figura 15 –Layout ótico avançado do LIGO. A luz viaja do laser através do limpador de

modo de entrada para a cavidade de reciclagem de energia. A luz ´e dividida no divisor de feixe e, em seguida, entra nos dois brac¸o longas de 4 km forma-das pelas massas de entrada e teste final. Qualquer sinal sai pelo espelho de reciclagem de sinal e pelo limpador do modo de sa´ıda. . . 61 Figura 16 –Evento da onda gravitacional GW150914 observada pelo LIGO Handford

(canto superior esquerdo) e LIGO Livingston (canto superior direito), em comparação com as previsões teóricas (linha inferior) de dois buracos negros de 29 e 36 massas solares, fundindo há 1.3 bilhões de anos-luz de distância. Na terceira linha: a forma Residual após subtrair a forma de onda da relati-vidade numérica filtrada da série temporal do detector. Na quarta linha: As duas parcelas mostram como a tensão da onda gravitacional produzidos pelo evento em cada detector do LIGO variaram em função do tempo (em segun-dos) e frequência (em hertz ou número de ciclos de onda por segundo). Ambas as parcelas mostram a frequência varrendo nitidamente para cima, de 35 Hz para cerca de 150 Hz em 0,2 segundo. . . 63 Figura 17 –No topo: Amplitude de deformação da onda gravitacional estimada de GW150914

projetado em H1. Abaixo: A separação efetiva de buracos negros em unidades de raios de Schwarzschild e a velocidade relativa efetiva dada pelo parâmetro pós-newtoniano. . . 64 Figura 18 –Espectrogramas e formas de onda para o catálogo de transientes de ondas

gravitacionais. . . 66 Figura 19 –O sinal da GW150914 observado pelos observat´orios do LIGO em Livingston

e Hanford. Foram subtra´ıdos 0, 0074 segundos dos dados de Hanford. Esse procedimento compensa a defasagem temporal causada pela distância entre os detectores. Os sinais vieram de dois buracos negros que se fundem, cada um com cerca de 30 vezes a massa do nosso Sol, a 1,3 mil milhões de anos-luz de distância. . . 69 Figura 20 –Dados da série de flutuação da GW150914 referente ao detector do LIGO

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Figura 22 –Desvio da gaussianidade das distribuições das flutuações do ´ındice entropico

qpor n da GW150914 detectada em Hanford. . . . 74 Figura 23 –Dados da série de flutuação da GW150914 referente ao detector do LIGO

localizando em Livingston, oτ está representado pelos números 1 e 1024. . . 75 Figura 24 –Série temporal para diferenteτ para Livingston. . . 78 Figura 25 –Desvio da gaussianidada das distribuições das flutuações do ´ındice entropico

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ηµν M´etrica do espac¸o de Minkowski

gµν M´etrica do espac¸o curvo

Rρ_{µλ ν} Tensor de Riemman R_µν Tensor de Ricci R Escalar de curvatura Gµν Tensor de Einstein Γρ_{ν µ} S´ımbolo de Christoffel Tµν Tensor de Energia-momento

hµν Perturbação do espaço de Minkowski

Qi j Tensor momento de quadrupolo

µ Massa reduzida

tr Tempo retardado

Operador de d’Alembert

Λ_{i j}_,kl Operador de projec¸˜ao

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1 INTRODUC¸ ˜AO . . . 14

2 A ORIGEM E A F´ıSICA DAS ONDAS GRAVITACIONAIS . . . 16

2.1 Uma breve introdução à relatividade geral . . . 16

2.2 Linearização das equações de campo de Einstein . . . 19

2.3 Propagação de ondas gravitacionais no vácuo . . . 25

2.4 Interac¸˜ao de ondas gravitacionais com massas de teste . . . 27

2.5 Gerac¸˜ao de ondas gravitacionais . . . 30

2.6 Ondas gravitacionais de um sistema bin´ario circular de buraco negro . . . 41

2.7 O efeito de mem´oria em ondas gravitacionais . . . 48

2.7.1 Mem´oria linear . . . 48

2.7.2 Mem´oria n˜ao-linear . . . 49

3 UMA BREVE DESCRIÇ ÃO DE ESTAT´ıSTICA N ÃO-EXTENSIVA . . . 52

3.1 Mecˆanica Estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs . . . 52

3.2 Mecˆanica Estat´ıstica N˜ao-Extensiva . . . 53

3.2.1 Propriedades . . . 54

3.2.1.1 N˜ao negatividade . . . 54

3.2.1.2 Extrema em Probabilidades Iguais . . . 54

3.2.1.3 Expansibilidade . . . 54

3.2.1.4 N˜ao-aditividade . . . 54

3.3 O ´ındice entropico q . . . . 55

3.4 Distribuic¸˜ao q-Gaussiana . . . 55

4 AMOSTRA TRABALHADA . . . 58

4.1 Uma abordagem hist´oria dos Detectores de ondas Gravitacionais . . . 58

4.2 Detectores . . . 59

4.3 O LIGO . . . 60

4.4 O Evento GW150914 . . . 61

4.5 Descric¸˜oes das Ondas gravitacionais . . . 64

5 RESULTADOS . . . 68

6 CONCLUS ˜AO . . . 81

AP ˆENDICE A -- ONDAS GRAVITACIONAIS NO V ´ACUO E O TRANS-VERSE TRACELESS (TT) GAUGE . . . 84

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A.3 Radiac¸˜ao de um sistema fechado de massas pontuais . . . 89

AP ˆENDICE B -- FONTES ASTROF´ISICAS DE ONDAS GRAVITACIO-NAIS . . . 93

B.1 Fontes chirps . . . 93

B.2 Fontes impulsivas . . . 93

B.2.1 Supernovas . . . 94

B.2.2 Colapso de uma Estrela ou um Aglomerado Estelar para formar um Bu-raco Negro . . . 94

B.2.3 Coalescência de Binárias Compactas (Estrelas de Nêutrons e Buracos Ne-gros) . . . 94

B.3 Fontes Peri´odicas . . . 95

B.3.1 Estrelas de Nêutrons em Rotação . . . 95

B.3.2 Estrelas Bin´arias . . . 95

B.4 Fontes Estoc´asticas . . . 96

B.4.1 Ondas Gravitacionais Primordiais . . . 96

B.4.2 Cordas C´osmicas . . . 96

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1 INTRODUC¸ ˜AO

Albert Einstein publicou sua Teoria da Relatividade Geral em 1915, que prevê a existência de buracos negros e ondas gravitacionais, e em junho de 1916, Einstein descobre que as equações de campo da teoria admitiam soluções do tipo onda no limite de campos fracos, as ondas gravitacionais (EINSTEIN, 1918). Anos depois, os cientistas Russel Hulse e Joseph Taylor Jr. demostraram pela primeira vez a evidência indireta da existência das ondas gravita-cionais. Eles observaram, em 1974, duas estrelas de nêutrons orbitando cada vez mais rápido, exatamente o que seria esperado se as estrelas binárias de nêutrons estivessem perdendo energia na forma de ondas gravitacionais. A taxa prevista de aceleração orbital causada pela gravidade, emissão de radiação de acordo com a relatividade geral foi verificada observacionalmente, com alta precisão (HULSE; TAYLOR, 1975).

No lado experimental, um enorme esforço foi feito na construção de detectores altamente sens´ıveis na Terra. Em 1992, Kip Thorne, Ronald Drever e Rainer Weiss fundaram o Observatório de Ondas Gravitacionais com Interferômetro a Laser (LIGO), e após a primeira geração de detectores, como GEO6001 na Alemanha, as versões iniciais do LIGO, nos EUA, e Virgo, na Itália, uma nova geração está iniciando operações cient´ıficas sob o nome de LIGO avançado e Virgo avançado. A sensibilidade é incrivelmente alta, com o objetivo de detectar amplitudes de tensão de cerca de 10−22 em uma ampla gama de frequências, esperando ver binários e pulsares.

As ondas gravitacionais têm sido por muitos anos uma questão de estudo inten-sivo e controverso. Recentemente, elas ganharam um novo interesse, tanto por razões experi-mentais como teóricas. Embora evidências indiretas de sua existência tenham sido obtidas da observação do sistema pulsar binário PSR 1913+ 16, apenas recentemente a observação direta de ondas gravitacionais de um par de buracos negros e estrelas de nêutrons binárias espirais foi poss´ıvel. Do ponto de vista teórico, um novo e interessante conjunto de ideias relacionadas a simetrias assintóticas2, teoremas e efeito de memória gravitacional emergiu recentemente. O efeito da memória gravitacional consiste, grosso modo, na mudança na separação das part´ıculas que caem livremente após a passagem da onda gravitacional.

O presente trabalho se empenha em utilizar alguns métodos estat´ısticos para análise dos dados da onda gravitacional GW140915 detectada pelo LIGO para investigar uma poss´ıvel assinatura de memória gravitacional linear ou não-linear. Destacando alguns objetivos, tais

1_{E um importante centro de desenvolvimento de tecnologia da comunidade internacional de pesquisa de ondas}_`

gravitacionais.

2_{Simetrias do espac¸o-tempo vistas por observadores localizados longe de todas as fontes do campo}

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como, a aplicação de métodos de analise por série temporal gerada a partir das ondas gravi-tacionais detectadas pelo LIGO, a utilização do ´ındice entrópico q que emerge da mecânica estat´ıstica não-extensiva e a relação dos parâmetros decorrentes desta análise nas grandezas associadas ao fenômeno que gerou tal onda gravitacional.

No Cap´ıtulo 2, apresentam-se os fundamentos da teoria das ondas gravitacionais e a estrutura da teoria da linearização necessária para a construção de formas de ondas. Descre-vemos a f´ısica da fonte e modelamos a amplitude e a fase da forma de onda. Depois, explica-se como a passagem de uma onda gravitacional interage com um detector ideal3 e como funci-ona o detector verdadeiro. Será descrito a questão do chamado efeito memória, isto é, em que condições e como estas ondas podem alterar, de forma permanente ou não, a configuração do estado cinemático de uma part´ıcula.

No Cap´ıtulo 3, será descrito os postulados da mecânica estat´ıstica de Boltzmann-Gibbs e o surgimento da mecânica estat´ıstica não-extensiva, uma generalização da teoria de Boltzmann-Gibbs.

No Cap´ıtulo 4, será apresentado a descrição caracter´ıstica dos detectores do LIGO localizados na cidade Hanford, Livingston, bem como as descrição dos eventos detectados.

No cap´ıtulo 5, será visto a interação da mecânica estat´ıstica não-extensiva de Tsalis com as ondas gravitacionais com a analise de estrutura multi-escala de flutuação e os resultados.

No cap´ıtulo 6 ser˜ao apresentadas a conclus˜ao do trabalho e as perspectivas.

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2 A ORIGEM E A F´ISICA DAS ONDAS GRAVITACIONAIS

Neste cap´ıtulo faz-se uma abordagem da história do estudo das ondas gravitacionais. A teoria gravitacional de Einstein é baseada na suposição de que o espaço cósmico é o espaço Riemaniano curvo, cuja curvatura é devida à presença de grandes massas estelares, como o Sol. Aborda-se também o que é chamada de aproximação de campo fraco das equações de campo de Einstein. Isso, basicamente, consiste em considerar que a métrica do espaço-tempo

gµν difere muito pouco da métrica de Minskowkiηµν. 2.1 Uma breve introdução à relatividade geral

A teoria gravitacional de Newton que é conhecida como a lei da gravitação uni-versal, que explica a interação gravitacional por meio de uma força entre corpos massivos, no qual, essa força é atrativa e proporcional às massas das duas part´ıculas e proporcional também ao inverso do quadrado da distância entre essas duas part´ıculas pontuais. Teve grande sucesso em descrever muitos aspectos da nossa vida cotidiana e, adicionalmente, explica a maioria dos movimentos dos corpos celestes no universo.

A relatividade geral corrigiu a teoria de Newton e é reconhecida como uma das criações mais engenhosas da mente humana. No entanto, essa teoria é conceitualmente diferente da teoria de Newton, pois introduz a noção de espaço-tempo e sua geometria.

Segundo Newton, as mudanças do campo são instantâneas, isto é, elas se propagam com velocidade infinita; se isso fosse verdade, porém o princ´ıpio de causalidade seria quebrado. Nenhuma informação pode viajar mais rápido do que o tecido do espaço-tempo. A existência de ondas gravitacionais é uma consequência imediata de qualquer teoria relativ´ıstica da gravidade (DOUGHTY, 1990).

A forma geométrica fundamental das teorias métricas relativ´ısticas da gravidade é o espaço-tempo, que matematicamente pode ser descrito como uma variedade de quatro di-mensões cujos pontos são chamados eventos. Para a descrição de um fenômeno f´ısico necessita de que seja fornecido a localização do processo e o instante de tempo. Cada evento é descrito por quatro coordenadas xµ = (x0_{, x}1_{, x}2_{, x}3_{) = (ct, x}i_{) = (ct, x, y, z) = (ct, x), em que x}µ _{é um} ponto neste espaço quadridimensional. O conjunto de todos os eventos formam este espaço que é chamado de espaço-tempo.

A escolha da coordenada do sistema é bastante arbitrária e coordena as transformações do formato ˜xµ = fµ(xλ). O movimento de uma part´ıcula arbitrária é descrito por uma curva no espaço-tempo. A distância ds entre dois eventos vizinhos, um com coordenadas xµ e o outro

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com coordenadas xµ+ dxµ, pode ser expresso como uma função das coordenadas através de um tensor simétrico gµν(xλ) = gν µ(xλ).

Considere, em algum referencial, uma curva xµ = (λ ), parametrizada por um parˆametro λ . O intervalo ds entre dois pontos separados por dλ ´e dado por

ds2= gµνdxµdxν, (2.1)

note que ao longo de toda uma curva espacial tem-se, por definic¸˜ao, ds2> 0, e podemos usar

ds= gµνdxµdxν1/2, (2.2)

para medir distâncias adequadas ao longo da curva. Uma curva temporal ou time-like é definida pela condição de que, ao longo dessa curva, ds2 < 0, e neste caso pode-se definir o tempo adequadoτ, de

c2dτ2_{= −ds}2_{= −g}µνdxµdxν (2.3) O tempo próprioτ é o tempo medido por um relógio transportado ao longo dessa trajetória.

O espaço-tempo de Minkowski como definido na relatividade especial de Einstein, é R4denotado do plano Métrica Minkowski

ds2= ηµνdxµdxν. (2.4)

Esta é uma generalização da medida padrão de distância entre dois pontos no espaço pseudo euclidiano para o espaço-tempo de Minkowski1. O tensor simétrico é chamado de tensor métrico ou simplesmente a métrica do espaço-tempo. Na Relatividade Geral o campo gravitacional é descrito apenas pelo tensor métrico, mas em muitas outras teorias um ou mais campos suplementares podem ser também necessários. No que se segue, vamos considerar apenas a descrição da relativ´ıstica geral dos campos gravitacionais (RINDLER, 2003).

A informação sobre o grau de curvatura2 de um espaço-tempo é codificado na métrica do espaço-tempo. De acordo com a relatividade geral, qualquer distribuição de massa, curva o tecido do espaço-tempo, e o tensor de Riemann R_{κλ µν}3 é uma medida da curvatura do espaço-tempo. O tensor de Riemann tem 20 componentes independentes, quando essas compo-nentes desaparecem, o espaço-tempo correspondente é plano (CARROLL, 2004).

As equac¸˜oes de campo gravitacional de Einstein conectam o tensor de curvatura e

1_{O espac¸o-tempo da relatividade especial, em}_η

µν= diag(−1,1,1,1).

2_{O desvio da flatness que ´e uma m´etrica dita plana.}

3_{Isso é uma função do tensor métrico g}

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o tensor Energia-Momento através da relação fundamental, Gµν(xλ) ≡ Rµν− 1 2gµνR= 8πG c4 Tµν. (2.5)

Isso significa que o campo gravitacional está diretamente conectado à geometria do espaço-tempo, e está relacionado à distribuição de matéria e radiação no universo.

Ao resolver as equações de campo, tanto o campo gravitacional (gµν), quanto o mo-vimento da matéria é determinada. Rµν é o chamado tensor de Ricci e vem de uma contração do tensor de Riemann(Rµν = gασRα µσ ν), R é o escalar de curvatura (R = gρσRρσ), enquanto

Gµν ´e o chamado tensor de Einstein, 8πG_c4 = 2, 073x10−48 ´e a constante de acoplamento. O

de-saparecimento do tensor de Ricci corresponde a um espaço-tempo livre de qualquer distribuição de matéria. No entanto, isso não implica que o tensor de Riemann é zero.

Figura 1 – A presenc¸a de corpos massivos afeta a curvatura do espac¸o-tempo.

Fonte: (ENCYCLOPEDIA BRITANNICA , 2012).

Como consequência, no espaço vazio longe de qualquer distribuição o tensor de Ricci desaparecerá enquanto o tensor de Riemann pode ser diferente de zero, isto significa que os efeitos de uma onda gravitacional propagativa em um espaço-tempo vazio serão descritos através do tensor de Riemann (SABBATA; GASPERINI, 1985).

Dentre os resultados mais notáveis da relatividade geral estão: a dilatação tempo-ral gravitacional, o redshift gravitacional4, a precessão do periélio de Mercúrio (EINSTEIN, 1996b) e as ondas gravitacionais (EINSTEIN, 1996a).

4_{A luz, ao deixar um campo gravitacional forte, sofre uma perda de energia, e portanto o comprimento de onda}

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2.2 Linearização das equações de campo de Einstein

Agora vamos supor que um observador está longe de uma dada distribuição de matéria estática, e o espaço-tempo em que ele vive é descrito por uma métrica gµν. Qualquer mudança na distribuição de matéria, isto é, em Tµν, induzirá uma mudança no campo gravitaci-onal, que será registrado como uma mudança na métrica. A nova métrica será,

˜

gµν= gµν+ hµν, (2.6)

no qual, hµν é um tensor que descreve as variações induzidas na métrica do espaço-tempo. Escrevendo analiticamente mais tarde, este novo tensor descreve a propagação de ondulações na curvatura do espaço-tempo, isto é, as ondas gravitacionais.

Para calcular o novo tensor, temos que resolver as equações de Einstein para a distribuição de matéria variável, isto não é uma tarefa fácil em geral. No entanto, assumindo-se que hµν é muito pequeno(|hµν|) ≪ 1, de modo que precisa-se apenas manter termos lineares em hµν em nossos cálculos. Ao fazer essa aproximação, estamos efetivamente assumindo que as perturbações produzidas no espaço-tempo não são enormes. Esta abordagem de linearização tem se mostrado extremamente útil para cálculos.

A primeira tentativa de provar que, em geral, as perturbações gravitacionais da rela-tividade se propagam como ondas com a velocidade da luz é devido ao próprio Einstein (EINS-TEIN, 1918).

Detalhando o que foi falado acima, na prática assume-se que o tensor métrico gµν não é muito diferente da métrica Minkowskiηµν_{= diag(−1,1,1,1), ou seja, g}µν = ηµν, então o tensor

gµν= ηµν+ hµν, (2.7)

como considera-se que hµν representa as pequenas correções para o espaço-tempo plano a métrica ηµν devido à presença de um campo gravitacional fraco, então os termos de ordem mais altas que a de primeira ordem de hµν podem ser desconsiderados nas equações de campo, e temos,

h_µν= ηναhµα, h= hµµ = ηµνhµν, (2.8) isto é, os ´ındices de hµν sobem e descem com o tensor métrico não perturbadoηµν. As compo-nentes contravariantes de gµν são, nessa aproximação

(21)

de modo que, para primeira ordem em h, tem-se,

gµνgνα= (ηµν+ hµν)(ηνα− hνα) ≃ δµν− hµα+ hµα = δµν. (2.10) O s´ımbolo de Christoffel correspondente a métrica da equação (2.7) e são da mesma ordem que hµν Γρ_µν = 1 2g ρσ _∂ν_g µσ+ ∂µgνσ− ∂σgµν, (2.11) Γρ_µν = 1 2(η ρσ − hρσ)∂ν ηµσ+ hµσ+ ∂µ(ηνσ+ hνσ_{) − ∂}σ ηµν+ hµν, (2.12) Γρ_µν= 1 2η ρσ _∂ νhµσ+ ∂µhνσ− ∂σhµν, (2.13) linearizando o tensor de Riemann, no qual, pode-se desconsiderar os termos Γ2 do tensor de curvatura, Rρσ µν = ∂µΓρσ ν− ∂νΓρσ µ+ Γρα µΓασ ν− Γ ρ ανΓασ µ (2.14) Rρσ µν = ηλ ρRλ σ µν (2.15) R_{λ σ µν}= ηλ ρ ∂µ 1 2η ρβ _∂ν_h σ β+ ∂σhνβ− ∂βhσ ν − ∂ν 1 2η ρβ _∂µ_h σ β+ ∂σhµβ− ∂βhσ µ , (2.16) R_{λ σ µν} =1 2ηλ ρη ρβ _∂µ_∂σ_h νβ+ ∂ν∂βhσ µ− ∂µ∂βhσ ν− ∂ν∂σhµβ , (2.17) Rλ σ µν = 1 2 ∂µ∂σhνλ+ ∂ν∂λhσ µ− ∂µ∂λhσ ν− ∂ν∂σhµλ , (2.18)

pode-se redefinir os ´ındices da seguinte forma,

Rµνρσ= 1

2 ∂ν∂ρhµσ+ ∂µ∂σhνρ− ∂µ∂ρhνσ− ∂ν∂σhµρ

(22)

Contraindo o tensor de Riemann linearizado, obt´em-se ent˜ao o tensor de Ricci, Rµν= Rρµρν = ηλ ρRλ µρν, (2.20) Rµν = ηλ ρ 1 2 ∂µ∂ρhλ ν+ ∂λ∂νhµρ− ∂λ∂ρhµν− ∂µ∂νhλ ρ , (2.21) Rµν = 1 2 ∂µηλ ρ∂ρh_{λ ν}+ ηλ ρ∂_λ∂νhµρ− ηλ ρ∂λ∂ρhµν− ∂µ∂νηλ ρhλ ρ , (2.22)

em que, define-seηλ ρ∂λ∂ρ = ∂ρ∂ρ = , no qual, ´e conhecido como operador de d’Alembert 5_{, j´a o termo}_ηλ ρ_h

λ ρ = hλ_λ = h, define-se como o trac¸o de h. Assim o tensor de Ricci ´e,

Rµν =1 2 ∂

ρ_∂ρ

hρν+ ∂ρ∂νhµρ− hµν− ∂µ∂νh. (2.23) No caso para o escalar de curvatura de Ricci,

R= Rµµ = ηµνRµν= ηµν 1 2 ∂ ρ_∂ρ_h ρν+ ∂ρ∂νhµρ− hµν− ∂µ∂νh, (2.24) R= 1 2 ∂ ρ_∂ν hρν+ ∂ρ∂µhµρ− h − h, (2.25) fazendoµ igual a ν, tem-se,

R= ∂ρ∂µhρ µ− h. (2.26)

Para escrever as equações linearizadas do movimento de maneira compacta, defini-mos a métrica do traço-reverso,

¯hµ µ = hµν−1

2ηµνh, (2.27)

que é governada por uma equação de onda, que admite soluções de ondas planas semelhantes às do eletromagnetismo, aqui hµν é a perturbação métrica e ¯hµν é a pertubação de traço re-verso ou o traço inre-verso de hµν6. Assim, obtêm-se a solução das equações de Einstein, para aproximações de campo fraco

hµν = ¯hµν− 1

2ηµν¯h. (2.28)

5_{Na teoria da Relatividade, Eletromagnetismo e Ondulatória, o operador de d’Alembert,é também chamado}

d’Alembertiano, é a generalização do laplaciano na métrica de Minkowski.

6_{Note que ¯h}_{≡ η}µν_¯h

(23)

Usando as equações (2.23), (2.26) e (2.28) na equação (2.5) pode-se calcular o tensor de Einstein, e descobrimos que a linearização das equações de Einstein é,

∂ρ∂µ ¯hρν− 1 2ηρν¯h + ∂ρ∂ν ¯hρ µ− 1 2ηρ µ¯h − ¯hµν− 1 2ηµν¯h + ∂µ∂ν¯h −ηµν ∂ρ∂σ ¯hρσ− 1 2ηρσ¯h + ¯h = 16πG c4 Tµν (2.29) ∂ρ∂µ¯hρν− 1 2∂ν∂µ¯h + ∂ ρ_∂ ν¯hρ µ− 1 2∂µ∂ν¯h − ¯hµν+ 1 2ηµν¯h + ∂µ∂ν¯h − ηµν∂ ρ_∂σ_¯h ρσ +1 2ηµνηρσ∂ ρ_∂σ_{¯h − η} µ µ ¯h=16πG c4 Tµν, (2.30) ¯hµν+ ηµν∂ρ∂σ¯hρσ− ∂ρ∂µ¯hρν− ∂ρ∂ν¯hρ µ = −16πG c4 Tµν. (2.31) Na teoria linearizada hµν é invariante sob o grupo de Transformações de Poin-caré, ou seja, o grupo de translação e as transformações de Lorentz, bem como em algumas transformações infinitesimais do tipo,

xµ _{→ x}′µ = xµ+ ξµ(x), (2.32)

no qual, as derivadas _|∂µξν| são no máximo da mesma ordem de |hµν|. Usando a lei de transformação da métrica, gµν → g′µν(x′) = ∂ xρ ∂ x′µ ∂ xσ ∂ x′νgρσ(x), (2.33) ηµν′ + h′µν = ∂ (x′ρ_{− ξ}ρ) ∂ x′µ ∂ (x′σ_{− ξ}σ) ∂ x′ν (ηρσ+ hρσ), (2.34) η_µν′ + h′_µν = δµρδνσ− δ ρ µ ∂ ξσ ∂ x′ν − δ σ ν ∂ ξρ ∂ x′µ + ∂ ξρ ∂ x′µ ∂ ξσ ∂ x′ν (ηρσ+ hρσ), (2.35) η_µν′ + h′_µν = δµρδνσηρσ− δ ρ µ ∂ ξσ ∂ x′νηρσ− δ σ ν ∂ ξρ ∂ x′µηρσ+ ∂ ξρ ∂ x′µ ∂ ξσ ∂ x′νηρσ +δµρδνσhρσ− δµρ ∂ ξσ ∂ x′νhρσ− δ σ ν ∂ ξρ ∂ x′µhρσ+ ∂ ξρ ∂ x′µ ∂ ξσ ∂ x′νhρσ, . (2.36)

(24)

eη′

µν = ηµν é invariante nos dois sistemas de coordenadas, descobrimos que a transformação de ordem mais baixa é,

hµν(x) → h′µν(x′) = hµν(x) − ∂νξµ+ ∂µξν. (2.37) Para encontrar a transformac¸˜ao do ¯hµν tem-se

ηµνh′_µν(x′) = ηµνhµν(x) − ηµν ∂νξµ+ ∂µξν, (2.38)

h′(x′_{) = h(x) − ∂}µξµ+ ∂νξν, (2.39) fazendoµ = ν conclui-se

h′(x′_{) = h(x) − 2∂}µξµ. (2.40)

Assim para ¯hµν= hµν−1₂ηµνh, tem-se

¯h′ µν = h′µν− 1 2ηµνh ′ _(2.41) ¯h′ µν= hµν(x) − ∂µξµ+ ∂νξν −1 2ηµν(h(x) − 2∂σξ σ₎ (2.42) ¯h′ µν= hµν(x) −1 2ηµνh − ∂µξµ− ∂νξν+ ηµν∂σξσ (2.43) ¯h′ µν = ¯hµν− ∂µξµ− ∂νξν+ ηµν∂σξσ (2.44) ¯hµν → ¯h′(x′)µν = ¯hµν− ∂µξµ− ∂νξν+ ηµν∂σξσ. (2.45) Para a derivada da perturbação, a equação (2.45) comporta-se como

∂ν¯hµν → ∂ν¯h(x)µν′= ∂ν¯hµν− ∂ν∂µξµ− ∂ν∂νξν+ ηµν∂ν∂σξσ, (2.46)

∂ν¯hµν → ∂ν¯h(x)µν′= ∂ν¯hµν− ξµ. (2.47) No qual, no contexto da teoria linearizada, se a configuração inicial do campo hµν, tal que, ∂νhµν = fµ(x) com fµ(x) alguma função, para obter ∂νhµν′= 0 deve-se escolher

(25)

ξµ(x), de modo que

ξµ = fµ(x), (2.48)

pode-se impor7que ξµ= ∂µ¯hµν, tem-se a liberdade de escolher de gauge em um referencial, no qual

∂µ¯hµν = 0. (2.49)

Na literatura, geralmente a equação (2.49) é conhecido como gauge de Lorentz, em analogia com a eletrodinâmica. A escolha do gauge de Lorentz impõe quatro condições ao tensor simétrico hµν. Isso significa que as dez componentes independentes são reduzidos a seis. Fisicamente isso significa que ter um gauge corresponde à liberdade de descrever o mesmo processo f´ısico em qualquer referencial com seu sistema de coordenadas apropriado. Da mesma forma, escolher um gauge espec´ıfico significa ir a um referencial fixo.

Ao analisar as equações de campo linearizadas de Einstein (2.31) e o gauge de Lo-rentz (2.49), pode-se notar que os últimos três termos do lado esquerdo desaparecem, portanto

¯hµν = −16πG

c4 Tµν. (2.50)

A propagação da perturbação na teoria linearizada aparece como uma onda, que é chamada de onda gravitacional, com amplitude ¯hµν(x). A equação (2.50) é a principal fer-ramenta para calcular a geração de ondas gravitacionais de qualquer fonte. No entanto, para estudar a propagação e visualizar a ação das ondas gravitacionais com massas de teste e, even-tualmente, com um detector, deve-se olhar para a região fora da fonte, no qual, o tensor energia-momento Tµν desaparece. As equações (2.49) e (2.50) juntas implicam em uma consistência

∂νTµν = 0, (2.51)

que é a conservação do tensor Energia-Momento na teoria linearizada.

A interpretação f´ısica das aproximações impl´ıcitas na teoria linearizada podem ser resumidas da seguinte forma: os corpos que atuam como fontes de ondas gravitacionais são levados a mover-se em um espaço-tempo plano ao longo das trajetórias determinadas por sua influência mútua. Em particular, para um sistema auto-gravitacional como uma estrela binária, o fato de que a métrica espaço-tempo de fundo éηµν significa que é poss´ıvel descrever a sua dinâmica usando a gravidade newtoniana, ao invés da relatividade geral completa. A resposta das massas de teste da onda gravitacional hµν gerado por esses corpos é calculada usando

7_{Note que, inserindo (2.37) em (2.19), sob a liberdade do gauge o tensor de Riemann linearizado tamb´em pode}

(26)

gµν = ηµν+ hµν, e desprezando os termos de segunda ordem O(h2) e de ordem superiores

O(hn_{) ao avaliar os s´ımbolos de Christoffel ou o tensor de Riemann (LI, 2015).}

Na próxima seção, veremos como a métrica pode ser ainda mais simplificada no vácuo, com uma escolha apropriada do gauge.

2.3 Propagação de ondas gravitacionais no vácuo

A equação (2.50) é o resultado básico para calcular a geração das ondas gravita-cionais dentro da teoria linearizada. Para estudar a propagação das ondas gravitagravita-cionais, bem como a interação com as massas de teste, é de extremo interesse analisar esta equação que é fora da fonte, ou seja, Tµν = 0

¯hµν= 0. (2.52)

A linearização da equação (2.52) para campos gravitacionais no vácuo, junto com as condições da equação (2.49), e simetria hµν= hν µ e hµµ= 0 descrevem, fisicamente, part´ıculas de spin-2 sem massa, como apontado primeiro por Pauli e Fierz (FIERZ; PAULI, 1939).

A equação (2.52) implica que as ondas gravitacionais viajam à velocidade da luz (ver Apêndice A). Fora da fonte e isso pode-se simplificar muito a forma da métrica, observando que a equação (2.49) não está fixando o gauge completamente, na verdade, vimos na equação (2.47) que, sob a transformação (2.32),∂ν¯hµν transforma-se como na equação. (2.47). Então, a condição ¯hµν = 0 não é mudada por uma transformação de coordenadas adicional xµ →

xµ+ ξµ, no qual,

ξµ= 0. (2.53)

Se ξµ = 0, ent˜ao ξµν = 0 logo, conclui-se que

ξµν _{≡ ∂}µξν+ ∂νξµ− ηµν∂βξβ. (2.54) A equação (2.45) traz a informação que, das seis componentes independentes de ¯hµν, que satisfazem ¯hµν= 0, então pode-se deduzir que a função ξµν, no qual dependem de quatro funções arbitrárias independentesξµ, e que satisfazem a equação, ξµν = 0. Isso signi-fica que pode-se escolher as funções de modo a impor quatro condições em ¯hµν. Primeiramente em particular, escolhe-seξ0 _{de tal forma que o traço ¯h}_{= 0. Note que ¯h = 0, então ¯hµν} _{= hµν}_. As três funções ξi_{(x) são agora escolhidas de modo que h}0i_{(x) = 0. Desde que ¯hµν} _{= hµν}_, condição de Lorentz (∂ν¯hµν= 0) com µ = 0, então tem-se

(27)

Tendo fixado o h0i = 0, isso simplifica para

∂0h00 = 0, (2.56)

conclui-se que h00 se torna constante no tempo. Um termo independente do tempo, o termo

h00 corresponde à parte estática da interação gravitacional, isto é, ao potencial newtoniano da fonte que gerou a onda gravitacional. A onda gravitacional em si é a parte dependente do tempo e, portanto, no que diz respeito ao onda gravitacional , o termo∂0_h

00 = 0 significa que h00 = 0. Então, define-se todos as quatro componentes h0µ e ficamos apenas com os componentes espaciais hi j, para as quais a condição do gauge de Lorentz agora é∂ihi j= 0, e a condição de

traço desaparece se tornando hi_i= 0. Em conclusão, todo este conjunto de condições pode ser resumido

h0µ= 0 (apenas componentes espaciais),

hi_i= 0 (se trac¸o na parte espacial), (2.57)

∂ihi j= 0 (parte espacial ´e livre de divergˆencia).

A equação (2.57) é chamada de transverse-traceless ou gauge sem traço transverso, ou simplesmente o TT de gauge, pois o traço desaparece e as componentes não nulas do tensor

hµν estão no plano transversal à direção do propagação. Observe que as dez componentes inde-pendentes iniciais,foram reduzidos a seis com o gauge Lorentz, associado as quatro funçõesξµ que satisfazem a equação ξµ= 0, e assim fica-se com apenas dois graus de liberdade. Além disso, observe que o TT de gauge só pode ser escolhido fora da fonte, desde que dentro ¯hµν seja diferente de zero e somente o gauge de Lorentz possa ser usado.

A solução da equação (2.52) tem forma onda plana, pode-se ver detalhadamente no Apêndice A, Define-se a métrica no TT de gauge por hT T_{i j} (x) = ei j(~k)eikx, com kµ=

ω/c,~k8 e _{ω/c = |~k| . O tensor e}i j(~k) é conhecido como tensor de polarização. Para uma onda de

plano único com um dado vetor de onda ~k 9, observe que a partir da equação (A.20) que as componentes não nulas de hT T_{i j} estão no plano transversal ao ˆn porque, em uma onda plana, a condição∂i_h

i j = 0 se torna nihi j = 0. Particularizando a escolha para a definição ˆn na direção

8_{E a convenção usual de que a parte real é obtida no final do cálculo.}

9_{Ou para uma superposição de ondas planas com frequências diferentes, mas todas com a mesma direção de}

(28)

do eixo z, e, impondo que hi j seja sim´etrica e sem trac¸o, tem-se hT T_{i j} (t, z) =     h+ hx 0 hx −h+ 0 0 0 0     i j cos_{[ω(t − z/c)],} (2.58)

no qual, (i, j) s˜ao os ´ındices no plano transversal (x, y), h+ e hx s˜ao chamados amplitudes da

polarizac¸˜ao plus e cross da onda (LI, 2015).

Esta solução pode ser projetada no TT de gauge para encontrar a solução geral da onda plana hµν(x) se propagando na direção ˆn, fora das fontes, já no gauge de Lorentz (ver Apêndice A). O operador de projeção

Λ_{i j}_,kl_{( ˆn) ≡ P}_ikPjl−

1

2Pi jPkl, (2.59)

no qual, o Pi j ´e definido como

Pi j( ˆn) ≡ δi j− ninj, (2.60)

e ni é a direção de propagação da onda gravitacional.

Agora aplica-se o tensor Lambda a perturbação hµν de uma onda plana no gauge de Lorentz, porém ainda não no TT gauge, a onda gravitacional no TT gauge é dado em termos das componentes espaciais hi j de hµν (WEINBERG, 1973)

hT T_{i j} = Λi j,kl( ˆn)hkl. (2.61)

Por construção, o lado direito da equação (2.61) é transversal e sem traços em(i, j), enquanto que, do fato de que foi uma solução da equação de onda no vácuo e que estava no gauge de Lorentz10ou fisicamente falando a escolha adequada do sistema de referência, segue-se que hT T_{i j} = 0.

2.4 Interac¸˜ao de ondas gravitacionais com massas de teste

Considere duas part´ıculas livres em repouso. Uma na origem e outra em x= ε,

z= y = 0. A sua distˆancia relativa ´e,

∆ℓ ≡ Z |ds2|1/2= Z Pf Pi |gµνdxµdxν|1/2= Z ε 0 |gxx| 1/2_dx_, _(2.62)

10_{Observe que ´e importante que h}

µνjá esteja no guage de Lorentz, caso contrário, a equação de movimento que

(29)

de_|hµν|<< 1, pode-se aproximar esta integral para, ∆ℓ ≈ |gxx(x = 0)|1/2ε ≈ [1 + 1 2h T T xx (x = 0)]ε, (2.63)

da equação ¯hµν = A_µνeikα xα, ver Apêndice A, segue-se que a perturbação oscila com o tempo,

portanto, a própria distância entre as duas part´ıculas oscilam. Este fenômeno ocorrer nos testes para a detecção de ondas gravitacionais.

Segue da Equação (2.58) que as ondas gravitacionais têm dois componentes in-dependentes, hxx e hxy. Para ver o efeito de cada componente, pode-se analisar um anel de

part´ıculas livres em repouso.

Deixe hT T_xx _{6= 0 e h}T T_xy = 0. Por uma quest˜ao de simplicidade, em vez de um anel, considere dois pares de part´ıculas livres diametralmente opostas. No caso um par de part´ıculas como descrito acima. O outro par de part´ıculas, uma part´ıcula na origem e o outro em y= ε, z =

x= 0. Ent˜ao, o mesmo c´alculo exato que acima mostra que,

∆ℓ ≈ |gyy(x = 0)|1/2ε ≈ [1 + 1 2h T T yy (x = 0)]ε = [1 − 1 2h T T xx (x = 0)]ε, (2.64)

Então fica evidente que esses dois pares oscilam em um padrão′+′. Agora hT T_xx = 0 e hT T_xy _{6= 0, considerando outros dois pares de part´ıculas livres diametralmente opostas em um} imaginário c´ırculo, cujas posições espaciais são (ver Fig. 2)

pi₁_→ ε + ε √ 2 2 , ε √ 2 2 , 0 ! , (2.65) pi₂_→ ε + ε √ 2 2 , −ε √ 2 2 , 0 ! , (2.66) pi₃_→ _{ε − ε} √ 2 2 , −ε √ 2 2 , 0 ! , (2.67) pi₄_→ _{ε − ε} √ 2 2 , ε √ 2 2 , 0 ! . (2.68)

(30)

Figura 2 – Quatro part´ıculas livres diametralmente opostas. Os eixos est˜ao em unidades deε.

Fonte: (PEREIRA, 2017).

Calculando-se a distˆancia correta entre as part´ıculas 1 e 3.

Obtendo-se o mesmo resultado para as part´ıculas 2 e 4. Portanto, esses dois pares oscilam em um padr˜ao x. O racioc´ınio acima se estende naturalmente a um anel de part´ıculas, ent˜ao pode-se ver que o anel se deforma de acordo com a Fig. 3. Quando h(T T )xx 6= 0 e h(T T )xy = 0

afirma-se que a onda gravitacional tem polarizac¸˜ao plus h+. Quando h(T T )xx = 0 e h(T T )xx 6= 0

(31)

Figura 3 – Um c´ırculo de part´ıculas livres deformadas pela passagem de um onda gravitacional.

Fonte: (HENDRY, 2007).

2.5 Gerac¸˜ao de ondas gravitacionais

A solução das equações de campo de Einstein linearizadas (2.50) pode ser obtida utilizando a função de Green e o método das transformadas de Fourier. A solução é exatamente análoga a teoria dos potenciais do eletromagnetismo (JACKSON, 2007).

A equação (2.50) é por definição linear em hµν e pode ser resolvida da mesma maneira que em eletromagnetismo. Define-se a função de Green G_{(x − x}′) através da equação

_xG_{(x − x}′) = δ4_{(x − x}′), (2.72) a solução para equação (2.50) em termos de a função de Green é dada por,

¯hµν(~x) = −16πG

c4 Z

d4x′G_{(x − x}′)Tµν(x′). (2.73) A solução da equação (2.72) depende, é claro, das condições de contorno que impo-mos. Assim como no eletromagnetismo, para um problema de radiação, a solução apropriada é

(32)

a func¸˜ao retardada do Green11 G_{(x − x}′_{) = −} 1 4_{π|x − x}′_|δ (x 0 r− x ′₀ ), (2.75)

subsistindo a função de green na equação (2.73), tem-se

¯hµν(~x) =16πG c4 Z d3x′dx′₀δ h x0− x′0 − |~x −~x′_|i_T_µν(x′ 0,~x′) 4_{π|~x −~x}′_| , (2.76) ¯hµν(~x) = 4G c4 Z d3x′Tµν(x0− |~x −~x ′_|,~x′₎ |~x −~x′_| , (2.77) no qual, x′0= ct′0_{, x}0 r = ctr, tr= t −|~x −~x ′_| c , (2.78)

e escreve-se a solução para as condições de contorno através do tempo retardado (MISNER et al., 2017), a solução para (2.50) em termos da função de Green retardado é dada por,

¯hµν(t,~x) = 4G c4 Z _d3_x′ |~x −~x′_|Tµν t₋|~x −~x ′_| c ,~x′ , (2.79)

Aplicando-se o gauge de TT e escolhendo a origem das coordenadas para estar no centro de massa da fonte e o observador estar na posição apontada pelo vetor~x, e exigindo que o observador esteja bem distante da fonte (LI, 2015). Através da equação (2.61), hT T_{i j} Λ_{i j}_,klhkl=

Λ_{i j}_,kl¯h_kl, pode-se escrever a equac¸˜ao da seguinte forma

hT T_{i j} (t,~x) =4G c4Λi j,kl( ˆn) Z _d3_x′ |~x −~x′_|Tkl t₋|~x −~x ′_| c ,~x ′ . (2.80)

A notação ˆx_{= ˆn, ˆn = ~x/r e |~x|= r. Note que h}T T_{i j} depende apenas das integrais dos componentes espaciais Tkl. A razão que permitiu eliminar T0ke T00 é que eles estão relacionados com T_kl pela conservação do tensor energia-momento. Agora, denotando-se d o tamanho t´ıpico da fonte, e aproximando d_{≪ r pode-se realizar a expansão, veja a Fig (4)}

11_{Mais precisamente, a função de retardada de Green é selecionada pela imposição das condições de contorno}

”radiação de entrada”de Kirchoff-Sommerfeld, isto é, impõe-se lim t−→∞ ∂ ∂ r+ ∂ c∂ t (r ¯hµν)(~x,t) = 0 (2.74)

no qual, o limite é tomado ao longo de qualquer superf´ıcie ct+ r = constante, juntamente com a condição de

que r ¯hµν e r∂ρ¯hµν seja a condição de contorno neste limite. Fisicamente, isso significa que não há radiação de

(33)

Figura 4 – Uma ilustração gráfica da relação do r bem distante da fonte. Fonte: O autor. |~x −~x′_|= q (~x −~x′₎2₌ q r2_{+ r}′2_{− 2~x ·~x}′_{= r}   1 + r′2 r2 − 2_{~x ·~x}′ r2 | {z } ε    1/2 = r (1 + ε)1/2, (2.81)

aplicando a s´erie de Taylor_{ε ≪ 1,}

|~x −~x′_{|= r} 1+1 2ε + ··· , (2.82) |~x −~x′_{|= r −~x}′_{· ˆn +}d 2 2r. (2.83)

(34)

está localizado, de modo que toma-se o limite r_{→ ∞ em t fixo} 12. ou seja, considerando o observador longe da fonte, reescreve-se o denominador da equação (2.80), no qual,_{|~x −~x}′_{|= r,} portanto, a grandes distâncias, tem-se

hT T_{i j} (t,~x) = 4G c4_rΛi j,kl( ˆn) Z d3x′Tkl t− r c+ ~x′_{· ˆn} c ,~x′ ! , (2.84)

As equações para a geração de radiação são muito simplificadas se as velocida-des t´ıpicas dentro da fonte forem pequenas em comparação com a velocidade da luz. Essa aproximação pode ser feita, já que espera-se que a velocidade da fonte é muito menor que a ve-locidade da luz, ou seja, v_{/c ≪ 1. Se ω}s é a frequência angular t´ıpica do movimento dentro da

fonte e d é o tamanho da fonte, as velocidades t´ıpicas dentro da fonte são v ∽ωsd. A frequência

ω da radiação também será de ordem ωs13 e, portanto,ω ∽ ωs ∽ v/d. Em termos λ = c/ω,

isto significa queλ ∽c

vd. Portanto, para fontes n˜ao relativ´ısticas com v≪ c o comprimento de

onda de uma onda gravitacional ´e muito maior que seu tamanho t´ıpico

λ ≫ d, (2.85)

ent˜ao pode-se realizar uma expans˜ao em v/c do tensor de energia-momento

Tkl t− r c+ ~x′_{· ˆn} c ,~x′ ! ≃ Tkl t₋r c,~x′ +x ′_i ni c ∂0Tkl+ 1 2c2x ′_i x′jninj∂₀2Tkl+ ···, (2.86)

no qual, todos os Tkle suas derivadas s˜ao calculados no ponto

t₋r_c,~x′_{. Para simplificar ainda} mais as equac¸˜oes, define-se a partir do tensor energia-momento Ti j

hT T_{i j} (t,~x) = 4G c4_rΛi j,kl( ˆn) Z d3x′ " T_klt₋r c,~x ′₊x ′_i ni c ∂0Tkl+ 1 2c2x ′_i x′jninj∂₀2T_kl_{+ ···} # , (2.87) Si j(t) = Z d3xTi j(t,~x), (2.88) Si j,k(t) = Z d3xTi j(t,~x)xk, (2.89) Si j,kl(t) = Z d3xTi j(t,~x)xkxl, (2.90)

12_{Na teoria linearizada, as ondas gravitacionais s˜ao estudadas no espac¸o infinito, ou seja, r}_{→ ∞ em t fixo}

13_{Veremos que uma fonte realizando uma oscilação harmônica simples na frequência} _ω

s emite ω = 2ωs de

(35)

Si j,kl...n(t) = Z

d3xTi j(t,~x)xkxl...xn. (2.91) Usando-se essas definições e colocando-se a expansão para baixa velocidade, obtêm-se hT T_{i j} (t,~x) = 4G c4_rΛi j,kl( ˆn) Skl+1 cnmS˙ kl,m₊ 1 2c2nmnpS¨ kl,mp + ··· . (2.92)

A equação (2.92) é geralmente chamada de expansão multipolar e pode ser expan-dida até ordem arbitrária, tendo em conta os termos de alta ordem (2.86).

O significado f´ısico dos vários termos da expansão torna-se mais claro quando elimina-se o momento de Ti j em favor do momento da densidade de energia T00, e do mo-mento linear, T_c0i. Então define-se o momento de T_c00

M= 1 c2 Z d3xT00(t,~x), (2.93) Mi= 1 c2 Z d3xT00(t,~x)xi, (2.94) Mi j = 1 c2 Z d3xT00(t,~x)xixj, (2.95) Mi jk= 1 c2 Z d3xT00(t,~x)xixjxk (2.96) Mi jk...n= 1 c2 Z d3xT00(t,~x)xixjxk...xn. (2.97) A densidade de momento 1_cT0i ´e denotado por

P=1 c Z d3xT0i(t,~x), (2.98) Pi=1 c Z d3xT0i(t,~x)xi, (2.99) Pi j= 1 c Z d3xT0i(t,~x)xixj, (2.100) Pi jk= 1 c Z d3xT0i(t,~x)xixjxk (2.101)

(36)

Pi jk...n=1

c Z

d3xT0i(t,~x)xixjxk...xn. (2.102) Assim, as derivadas temporais dessas quantidades e do momento de Ti j satisfazem as relações que se seguem da conservação energia-momento. O tensor energia-momento de matéria Tµν satisfaz a equação de espaço plano∂µTµν = 0.

Para obter as identidades, tomando-se uma caixa de volume V maior que a fonte, e denotamos seu limite por∂V (ent˜ao o Tµν desaparece em∂V ). Ent˜ao

∂µTµ0= ∂0T00+ ∂iTi0= 0, (2.103) ∂0T00= −∂iTi0, (2.104) note que ˙M= ∂ M_{∂ t} = c∂0M ˙ M= c∂0M= 1 c Z d3x∂0T00_{= −}1 c Z d3x∂iT0i. (2.105)

Observe que um sistema f´ısico que irradia ondas gravitacionais perde sua massa. A conservação da massa M do corpo radiante, expressada pela equação (2.105), deve-se ao fato que na aproximação linearizada a ação retroativa da origem à dinâmica, devido à energia levada pelas ondas gravitacionais é desconsiderada. Da mesma forma, obtêm-se a identidade

c ˙Mi= Z d3xxi∂0T00_{= −} Z d3xxi∂jT0 j= Z d3x(∂jxi)T0 j = Z d3xδi_jT0 j = cPi. (2.106) De maneira an´aloga, obt´em-se as identidades semelhantes para os termos de mais alta ordem do momento de T00 e T0i para os primeiros momentos de ordem mais baixa de T00 tem-se. ˙ M= 0, (2.107) ˙ Mi= Pi, (2.108) ˙ Mi j = Pi, j+ Pj,i, (2.109) ˙ Mi jk= Pi, jk+ Pj, jki+ Pk,i j. (2.110)

(37)

Para o momento de ordem mais baixa de T0i tem-se ˙ Pi= 0, (2.111) ˙ Pi, j= Si j, (2.112) ˙ Pi, jk= Si j,k+ Sik, j. (2.113) Percebe-se que as equações ˙M= 0 e ˙Pi= 0 são respectivamente a conservação da massa e do momento total da fonte. Outra identidade interessante é ˙ ˙Pi, j_{− ˙P}j,i= Si j_{− S}i j_{= 0,}

que segue da equação (2.112), usando o fato de que Si j é um tensor simétrico, e é a conservação do momento angular da fonte.

Além disso, o momento linear ˙Mi= 0 também é conservado, desde que ¨Mi = 0, enquanto o momento angular ˙Mi j tem uma derivada que corresponde a duas vezes o primeiro momento do tensor energia-momento

¨ Mi j= ∂02 Z d3xT00xixj= Z d3x(∂k∂lTkl)xixj= Z d3x2Ti j= 2Si j. (2.114) Combinando-se as equações (2.110) e a (2.113) obtém-se

... Mi jk= 2 ˙ Si, jk+ ˙Sik, j+ ˙Sjk,i , (2.115)

derivando da equação (2.113) segue-se também que

¨

Pi, jk= ˙Si j,k+ ˙Sik, j, (2.116) utilizando a equac¸˜ao (2.115) pode-se verificar que

˙ Si j,k=1 6 ... Mi jk+1 3 ¨ Pi, jk+ ¨Pj,ik_{− 2 ¨P}k,i j. (2.117) As equações (2.114) e (2.117) relacionam-se Si j e ˙Si j,k, que são os dois momentos de ordem mais baixa que aparecem na expansão multipolar (2.92), até o momento de T00 e de

T0i, e tamb´em pode-se proceder da mesma forma com os termos de mais alto ordem.

Os dois primeiros momentos de massa não podem contribuir para a emissão das ondas gravitacionais, uma vez que são conservados. A radiação de ordem principal é dada pelo

(38)

momento quadrupolo, usando a equação (2.114), o termo principal da expansão (2.92) é

hT T_{i j} (t,~x) = 2G

c4_rΛi j,kl( ˆn) ¨M

kl_(t

ret). (2.118)

Do ponto de vista do grupo de rotação 14, o tensor M_kl, como qualquer tensor simétrico com dois ´ındices, decompõe-se em representações irredut´ıveis como

Mkl= Mkl₋1 3δ kl_M ii +1 3δ kl_M ii, (2.119)

no qual, Mii é o traço de Mi j. O primeiro termo é o sem traço por construção, e é um operador spin_{− 2 puro, enquanto a parte traço é um escalar. Como o tensor lambda Λ}i j,kldá zero quando contra´ıdo comδkl, apenas o termo sem traço contribui. Define-se a notação

ρ = 1

c2T 00

. (2.120)

Para as ordem mais baixa em v/c, ρ torna-se a densidade de massa 15. Tamb´em introduzimos o momento de quadrupolo

Qi j _{≡ M}i j₋1 3δ i j_M kk= Z d3xρ(t,~x) xixj₋1 3r 2_δi j , (2.121)

então a equação (2.118) torna-se

hT T_{i j} (t,~x) = 2G

c4_rΛi j,kl( ˆn) ¨Qkl(tret). (2.122) Quando o campo gravitacional é forte, há um número de efeitos não-lineares que in-fluenciam a geração e propagação de ondas gravitacionais. Por exemplo, os efeitos não-lineares são significativos durante as últimas fases de formação de buraco negro. A descrição anal´ıtica de tal mudança dinâmica no espaço-tempo é imposs´ıvel. Além disso, existem diferenças nas pre-visões de várias teorias da gravidade relativ´ıstica no caso de altas concentrações de distribuições de energia que variam rapidamente.

No entanto, todas as teorias m´etricas da gravidade16, desde que essas teorias

ad-14_{Em mecânica e geometria ,o grupo de rotação 3D , frequentemente denotado SO(3) , é o grupo de todas as}

rotações sobre a origem de tridimensional espaço euclidiano R3sob a operação da composição. Matematicamente

um grupo de rotação é um grupo no qual os elementos são matrizes ortogonais com determinante 1. No caso do espaço tridimensional, o grupo de rotação é conhecido como o grupo ortogonal especial (HAMERMESH, 2012).

15_{Dimensionalmente, T}

00/c2 é uma densidade de massa mas, claro, além da contribuição devida à massa

res-tante da fonte, contém também todas as contribuições para T00provenientes da energia cinética das part´ıculas que

compõem a fonte, contribuições da energia potencial Para fontes que geram um forte campo gravitacional, como estrelas de nêutrons, a energia de ligação gravitacional também será importante. Apenas para fontes de campo

fraco e no limite n˜ao relativ´ıstico, T00/c2se torna a densidade de massa. No entanto, como a expans˜ao multipolar

da teoria linearizada assume campos fracos e é uma expansão não relativ´ıstica, para a ordem mais baixa em v/c,

podemos realmente substituir T00/c2pela densidade de massa.

16_{Muitas vezes a relatividade geral ´e chamada de teoria m´etrica da gravidade, ou simplesmente gravidade}

(39)

mitam o limite newtoniano, obtém previsões semelhantes para a quantidade total de radiação gravitacional emitida pela onda gravitacional de fontes fraca, isto é, fontes onde o conteúdo energético é pequeno o suficiente para produzir apenas pequenas deformações do espaço-tempo plano e onde todos os movimentos são lentos comparados com a velocidade da luz.

Se a distribuição de massa que produziu a onda gravitacional é pequena comparada com o comprimento de onda, a amplitude pode ser calculada a partir da aproximação quadru-polar dada pela equação (MAUCELI, 1997)

hT T_{i j} (t,~x) =1 r 2G c4Q¨ T T i j (tret), (2.123)

no qual, Qi j é o momento de quadrupolo e r é a distância à fonte. Percebe-se que a amplitude

´e muito pequena devido ao fator G

c4 = 8x10−45s2kg−1m−1, o que torna muito dif´ıcil produzir

tais ondas em laboratório. Ou seja, essa variação de distância entre duas part´ıculas seria tão pequena que nenhum instrumento poderia med´ı-la. Porém, considera-se eventos de dimensões astronômicas, isto é, fontes astrof´ısicas de ondas gravitacionais, as expectativas em detectá-las seriam mais otimistas e então as amplitudes dessas ondas poderão ser definitivamente medidas. As fontes de ondas gravitacionais podem ser classificadas pelo comportamento temporal do seu sinal. De acordo com essa classificação, as fontes são divididas em: fontes

chirps, fontes impulsivas bursts, fontes periódicas e fontes estocásticas ver detalhadamente no Apêndice B.

Impondo ˆn= ˆz como a direção de propagação da onda gravitacional, como feito anteriormente, sem perda de generalidade, pode-se calcular os componentes do momento qua-drupolo ¨Mkl projetada no gauge do sem traço reverso (Ver Apêndice A.2 ), usando o tensor Lambda, ou seja, ¨M_{i j}T T = Λi j,kl( ˆn) ¨Mkl Λ_{i j}_,kl( ˆn) ¨M_kl=     ¨ M11− ¨M22 2 M¨12 0 ¨ M21 − ¨ M11− ¨M22 2 0 0 0 0     i j . (2.124)

A partir disto, tem-se diretamente as duas amplitudes de polarização plus e cross de uma onda gravitacional viajando na direção z e na aproximação quadrupolar que definimos em (2.58) pode-se ver diretamente a equação

h+= 1 r G c4 M¨11− ¨M22 , (2.125) hx= 2 r G c4M¨12. (2.126)

(40)

se propaga em uma direção genérica ˆn, introduzimos dois vetores unitários ˆx′e ˆy′, ortogonais a ˆ

ne entre si, escolhido de modo que ˆx′_{× ˆy}′= ˆn, veja a Figura (5).

Figura 5 – A relação entre o referencial (x, y, z) e o referencial ( ˆx′, ˆy′, ˆn). O vetor ˆx′ está no plano(x, y), enquanto ˆy′aponta para baixo, em relação ao plano(x, y).

Fonte: O autor.

Ent˜ao no referencial(x′, y′, z′), a onda se propaga ao longo do eixo ˆn = z′, ent˜ao pode-se usar o resultado anterior para h+ e hx,

h+(t, ˆn) =1 r G c4 M¨′11− ¨M′22 , (2.127) hx(t, ˆn) = 2 r G c4M¨′12, (2.128)

no qual, M_{i j}′ s˜ao as componentes do segundo momento de massa no referencial(x′, y′, z′). Estes podem ser relacionados as componentes Mi j no referencial(x, y, z) observa-se que no referencial

(x′, y′, z′) o vetor ˆn tem coordenadas n′_i= (0, 0, 1), enquanto no referencial (x, y, z), Este resultado pode ser estendido para direções de propagação genérica ˆn. Apresentar as coordenadas esféricas (φ , θ ) de modo que

ˆ

n= ni= (senθ senφ , senθ cosφ , cosθ ), (2.129)