A radiac¸˜ao de quadrupolo de um sistema de dois corpos em uma ´orbita circular ´e um exemplo muito b´asico de como as formas de onda s˜ao calculadas, resolvendo a dinˆamica da fonte emissora e usando os resultados da teoria linearizada que foi apresentado at´e agora.
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E bem conhecido da f´ısica cl´assica que um sistema bin´ario irradiante, uma vez que perde energia, seu raio de ´orbita diminuir´a at´e que o sistema colapse e os corpos colidam. Chama-se esse processo de coalescˆencia. Sabemos que um sistema gravitacional perde energia `a medida que produz ondas gravitacionais, essa perda de energia levar´a `a coalescˆencia de sistemas bin´arios.
Para explicar as observac¸˜oes recentes de ondas gravitacionais pela equipe do LIGO- VIRGO (SCIENTIFIC et al., 2017), foca-se a atenc¸˜ao nas ondas emitidas por duas massas orbi- tando seu centro de massa. O conceito chave ´e que o sistema orbital emite ondas gravitacionais, que transportam energia para longe do sistema, levando a uma decadˆencia das ´orbitas. Para simplificar, vamos supor que as ´orbitas s˜ao circulares na ausˆencia de radiac¸˜ao gravitacional e que quando a radiac¸˜ao ´e levada em considerac¸˜ao, a mudanc¸a nas propriedades orbitais ´e sufici- entemente lenta, a ´orbita circular ainda ´e um modelo razo´avel para a dinˆamica orbital em tempo suficientemente pequeno. Essa suposic¸˜ao ´e violada nos ´ultimos momentos antes que os objetos colidam, mas no entanto, o modelo de ´orbita circular fornece uma boa aproximac¸˜ao (BRACCO; PROVOST; SALATI, 2009).
Figura 6 – Uma vis˜ao em perspectiva da geometria das ´orbitas bin´arias. O plano (x− y) ´e escolhido para que coincidem com o plano das ´orbitas. A distˆancia entre as duas massas ´e dada por r= ra+ rb.
Fonte: O autor.
Para a geometria indicada na (Figura 6), os vetores de posic¸˜ao~ra e~rb indicam as
posic¸˜oes das massas em relac¸˜ao ao centro de massa, que pode-se assumir estar em repouso17. Lembrando que r= ra+ rbpara distˆancias medidas a partir do centro de massa e escolhendo~ra
para ser paralelo a um~rb, pode-se escrever,
~ra= mb~r ma+ mb , ~rb= − ma~r ma+ mb . (2.137)
Assumindo que a dinˆamica newtoniana se aplica `as ´orbitas, pelo menos como uma primeira aproximac¸˜ao, lembra-se que a Segunda Lei de Newton para a massa ma e tamb´em
que para calcular uma forc¸a que assim como a acelerac¸˜ao centr´ıpeta, aponta para o centro da trajet´oria circular F= Gmamb r2 = ma v2a ra , (2.138)
note que va= ωra, no qual,ω ´e a frequˆencia orbital (em radianos / seg),
ω2= Gma+ mb
r3 =
MG
r3 , (2.139)
no qual, M= ma+ mb ´e a soma das duas massas. A equac¸˜ao (2.139) ´e a Terceira lei de Kepler
para um sistema bin´ario.
Em termos deω, pode-se escrever a posic¸˜ao expl´ıcita do buraco negro na posic¸˜ao
a,
xa= racos(ωt), ya= rasen(ωt), za(t) = 0, (2.140) e do buraco negro posic¸˜ao b
xb= −rbcos(ωt), yb= −rbsen(ωt) zb(t) = 0. (2.141)
introduzindo-se uma faseπ/2, essa fase ´e uma escolha ´util da origem do tempo,
x0(t) = rcos(ωt +π
2), y0(t) = rsen(ωt + π
2), z0(t) = 0. (2.142) No referencial do centro de massa, a func¸˜ao delta nos permite integrar isto dire- tamente a obter o segundo momento quadrupolo ´e Mi j = µxi0(t)x0j(t) (Ver Apˆendice A.3), no qual,µ = m1m2/M ´e a massa reduzida e M a massa total do bin´ario (LANDAU, 2013)
M11= µr2 h cos(ωt +π 2) i2 = µr 2 2 [1 − cos(2ωt)], (2.143) M22 = µr2 h sen(ωt +π 2) i = µr 2 2 [1 + cos(2ωt)], (2.144) M12 = M21= µr2 h cos(ωt +π 2)sen(ωt + π 2) i = −µr 2 2 [sen(2ωt)]. (2.145) Todos os outros componentes do Mi j desaparecem, pois contˆem termos em z(t). A
derivada segunda dos momentos quadrupolo s˜ao
¨ M11= 2µr2ω2cos(2ωt), (2.146) ¨ M22= −2µr2ω2cos(2ωt), (2.147) ¨ M12= 2µr2ω2sen(2ωt). (2.148)
substituindo na equac¸˜ao (2.135 ) e sempre que M13= M23= M33 = 0, pois as massa se encon- tram no plano(x − y) e M22= −M11, obt´em-se
h+(t, θ , φ ) = 1 r 4µω2r2G c4 1+ cos2θ 2 cos(2ωt + 2φ ), (2.149) e substituindo na equac¸˜ao (2.136 ) obt´em-se
hx(t, θ , φ ) =
1
r
4µω2r2G
c4 cosθ sen(2ωt + 2φ ). (2.150) Observa-se que as dependˆencias h+∼ (1+cos2θ ) e hx∼ cosθ s˜ao uma consequˆencia
geral das equac¸˜oes (2.135) e (2.136). J´a a dependˆencia deφ pode ser absorvida em ωt, desde que, para uma ´orbita circular s´o insira as func¸˜oes peri´odicas seno e cosseno, portanto, infere-se que ´e equivalente a uma convers˜ao do tempo.
Outro fator importante ´e a frequˆencia do onda gravitacional, que na ordem de um quadrupolo acaba por ser o dobro da frequˆencia da fonteωGW = 2ω (CARROLL, 2004).
Mais um resultado interessante ´e a dependˆencia do ˆangulo de orientac¸˜ao da radiac¸˜ao. Se o observador vˆe a fonte de borda, ou seja, com um ˆanguloθ =π2, ent˜ao a componente hxde-
saparece e a onda ´e apenas linearmente polarizada, o que resulta em uma perda de informac¸˜ao. Por outro lado, se o observador vˆe a fonte de frente, com uma inclinac¸˜aoθ = 0, ambas as polarizac¸˜oes tˆem a mesma amplitude. Nesse caso, como h+ depende do cos(ωGWt) e hxdepende do sen(ωGWt), a onda gravitacional ´e circularmente polarizada.
A distˆancia r para uma fonte astrof´ısica ´e, para a maioria dos prop´ositos pr´aticos, uma constante18. Enquanto, durante a observac¸˜ao, pode-se negligenciar o movimento apropri- ado da fonte, tamb´em o ˆanguloφ ´e fixo, ent˜ao tem-se ωt + φ = ωt + α, com α = φ − ωr/c constante fixa. Ent˜ao, pode-se mudar a origem do tempo de modo que 2ωt + 2α → 2ωt mais um m´ultiplo inteiro de 2π, assim cos(2ωt + 2α) → cos(2ωt) e sen(2ωt + 2α) → sen(2ωt). Portanto, do ponto de vista observacional, tem-se apenas acesso `a radiac¸˜ao que uma estrela bin´aria emite na direc¸˜ao que aponta da estrela em direc¸˜ao do observador (LI, 2015). O ˆangulo θ ´e, portanto, igual ao ˆangulo ψ entre a normal para a ´orbita e a linha de vis˜ao (ver Fig. 7).
18Deve-se levar em considerac¸˜ao as correc¸˜oes devido ao movimento da Terra ao redor do Sol, ou para ser mais
preciso ao redor do Sistema Solar do Baricentro. Geralmente, pode-se considerar r a distˆancia da fonte at´e o Sistema Solar do Baricentro. Nesse caso ´e importante apenas para observac¸˜oes que durem por alguns meses. No caso dos interferˆometros na terra, as ondas gravitacionais emitidas por um sistema bin´ario s˜ao observ´aveis por cerca de alguns minutos antes que o sistema se aglutine.
Figura 7 – A geometria do problema em um referencial(x′, y′, z′) onde um observador fixo est´a a uma grande distˆancia ao longo do eixo z′ positivo. A normal para a ´orbita faz um ˆanguloψ com o eixo z′. Fonte: O autor. h+(t, θ , φ ) = 1 r 4µω2r2G c4 1+ cos2ψ 2 cos(2ωt), (2.151) hx(t, θ , φ ) = 1 r 4µω2r2G c4 cosψsen(2ωt). (2.152)
Conclui-se que a amplitude da onda e a frequˆencia, permanecem constantes durante toda a interac¸˜ao, isto ´e considerando-se um tempo muito grande. No entanto, no caso real de um bin´ario espiralando, as ondas gravitacionais irradiadas transportam energia para longe do sistema, e como consequˆencia perda de momento angular, em um per´ıodo decrescente e au- mentando a frequˆencia da onda. Como as duas massas se aproximam e a interac¸˜ao se fortalece, tamb´em amplitude da onda aumentar´a. Nesse ponto, muitas das suposic¸˜oes que se utilizou at´e agora n˜ao podem mais ser feitas. Na verdade, para detecc¸˜ao real, tem-se interessado no regime de campo forte da Relatividade Geral, onde as equac¸˜oes linearizadas n˜ao s˜ao mais v´alidas e devem ser estendidas para ordens superiores.
Em fontes astrof´ısicas mais interessantes de ondas gravitacionais, pode-se usar uma descric¸˜ao newtoniana da dinˆamica, como estrelas de nˆeutrons, buracos negros ou bin´arios com- pactos, s˜ao sistemas auto-gravitacionais, portanto, o teorema do virial ´e aplic´avel e em ordem
de magnitude pode-se esperar que as energias cin´eticas e potenciais sejam compar´avel, o que implica 1 2 GµM r = 1 2µv 2 . (2.153)
Em termos do raio de Schwarzschild19(DAS, 2011), rS= 2GM/c2, pode-se escre-
ver
rs/d ∼ (v/c)2, (2.154)
no qual, d ´e o tamanho t´ıpico do sistema.
A extens˜ao da teoria linearizada que precisa ser no regime de campo forte ´e ent˜ao dada por uma expans˜ao em rs/d ∼ (v/c)2e ´e usualmente chamada de expans˜ao p´os-newtoniana,
pois o espac¸o-tempo n˜ao pode ser considerado plano al´em da ordem mais baixa e, portanto, a dinˆamica das fontes n˜ao pode mais ser descrita pela gravidade newtoniana. Essas expans˜oes baseiam-se no pressuposto de que as velocidades dentro da fonte s˜ao menores que a velocidade da luz c.
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A medida que o bin´ario circular comec¸a a emitir energia suficiente atrav´es de ondas gravitacionais, a reac¸˜ao de radiac¸˜ao n˜ao pode mais ser desprezada, a perda de energia aumenta a frequˆencia e, portanto, as velocidades do bin´ario ver Figura (8). Assim, termos de ordem mais elevada em(v/c)2comec¸am a ficar cada vez mais importantes. Nas fases tardias da espiralac¸˜ao, pouco antes da fus˜ao dos bin´arios, o formalismo p´os-newtoniano desempenha, portanto, um papel fundamental ao modelar formas de onda precisas (BLANCHET, 2014).
19O raio de Schwarzschild ´e um parˆametro f´ısico que aparece na soluc¸˜ao de Schwarzschild para as equac¸˜oes de
campo de Einstein, correspondendo ao raio que define o horizonte de eventos de um buraco negro de Schwarzs-
Figura 8 – A evoluc¸˜ao temporal da amplitude da onda gravitacional na fase espirada de um sistema bin´ario.
Fonte: (LIGO, 2018a).
Na primeira parte, o bin´ario est´a se movendo ao longo de uma ´orbita quase circular. A perda de energia atrav´es das ondas gravitacionais ´e insignificante, e pode-se usar os resultados da teoria linearizada para descrever a forma de onda. Assim que o sistema comec¸ar a perder energia suficiente, a expans˜ao de um sistema p´os-newtoniano para ordem superior em (v/c)2 ´e necess´ario. Esta ´e a segunda parte da fase espiralada do bin´ario, que eventualmente leva a uma fus˜ao dos dois corpos compactos, enquanto a frequˆencia, a amplitude e consequentemente a energia levada pela onda gravitacional aumentam cada vez mais.
Na iminˆencia da fus˜ao de buracos negros a teoria p´os-newtoniana n˜ao pode mais ser aplicada, por´em existem outras prescric¸˜oes para gerar as formas de ondas, como o formalismo de um corpo efetivo20ou a relatividade num´erica21ver Figura (9) (LIGO, 2018a).
20O formalismo de um corpo efetivo ´e uma abordagem anal´ıtica que visa fornecer uma descric¸˜ao precisa do
movimento e da radiac¸˜ao de buracos negros bin´arios coalescentes. Apresentamos uma breve revis˜ao dos elementos b´asicos dessa abordagem.
21E um ramo da relatividade geral que utiliza m´etodos num´ericos e algoritmos para resolver e analisar pro-´
blemas. Para este fim, os supercomputadores s˜ao frequentemente utilizados para estudar buracos negros, ondas gravitacionais , estrelas de nˆeutrons e muitos outros fenˆomenos regidos por Einstein teoria da relatividade geral.
Figura 9 – Esquema de ondas gravitacionais. (Topo) As trˆes fases de coalescˆencia: espiralac¸˜ao, fus˜ao e ringdown. (Inferior) A amplitude das ondas gravitacionais emitidas para a coalescˆencia.
Fonte: (BAUMGARTE; SHAPIRO, 2011).