Cap3 Sec3 2x4

(1)

Capítulo 3

Regras de Derivação

Antes de começar esta seção, talvez

você precise revisar as funções

trigonométricas.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Uma convenção análoga é verdadeira para

as outras funções trigonométricas, cos, tg,

cossec, sec e cotg.

Lembre-se, da Seção 2.5, de que todas as

funções trigonométricas são contínuas em

todo número em seus domínios.

REGRAS DE DERIVAÇÃO

3.3

Derivadas de Funções

Trigonométricas

Nesta seção, nós aprenderemos sobre:

Derivadas de Funções Trigonométricas e suas

Aplicações

REGRAS DE DERIVAÇÃO

Se esboçarmos o gráfico da função

f (x) = sen x e usarmos a interpretação de

f’ (x) como a inclinação da tangente à curva

do seno a fim de esboçar o gráfico de f’ (veja

o Exercício 14 da Seção 2.8).

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Isso dará a impressão de que o gráfico de f’

pode ser igual à curva do cosseno.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Vamos tentar confirmar nossa conjectura

de que se f (x) = sen x, então f’ (x) = cos x.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Da definição

da derivada

temos:

(2)

Dois desses quatro limites são fáceis de

calcular.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Equação 1

Uma vez que consideramos x uma

constante quando calculamos um limite

quando h

o 0, temos

lim sen x = sen x

lim cos x = cos x

h

o

0 h

o

0 DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Equação 1

O limite de (sen h)/h não é tão óbvio.

No Exemplo 3 da Seção 2.2 fizemos a

conjectura, com base nas evidências

numérica e gráfica, de que

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Equação 2

Agora, usamos um argumento geométrico

para demonstrar a Equação 2.

Suponha primeiro que

T

está entre 0 e

S/2.

A Figura (a) mostra um

setor do círculo com o

centro O, ângulo central

T

e o raio 1.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Traçamos BC perpendicular a OA.

Pela definição de medida

em radiano, temos

arc AB =

T

.

Além disso,

_BC_ = _OB_ sen

T

= sen

T

.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

Do diagrama vemos que

_BC_ < _AB_ < arc AB

Portanto, sen

T

<

T

logo sen

T

< 1

T

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

Suponha que as tangentes em A e B se

interceptam em E.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

Você pode ver da figura (b) que o

comprimento de um círculo é menor que o

comprimento de um polígono circunscrito;

logo,

arc AB < |AE| + |EB|.

(3)

Assim

= arc AB < |AE| + |EB| < |AE| + |ED|

= |AD| = |OA| tg

= tg

No Apêndice F, a desigualdade tg é

demonstrada diretamente da definição do

comprimento de um arco sem que se recorra à

intuição geométrica, como feito aqui.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

Consequentemente, temos

de modo que

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

Sabemos que lim

_To

0 1 = 1 e lim

To

0 cos

T

= 1;

logo, pelo Teorema do Confronto, temos

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

Mas a função (sen

T

)/

T

é uma função par;

assim, seus limites à direita e à esquerda

devem ser iguais.

Assim, temos

e demonstramos a Equação 2.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

Podemos deduzir o valor do limite que

restou em (1) como segue

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Demonstração

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Equação 3

Se pusermos agora os limites (2) e (3) em

(1), obteremos

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Logo, demonstramos a fórmula para a

derivada da função seno:

(4)

Derive y = x

2 _{sen x.}

Usando a Regra do Produto e a Fórmula 4, temos

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

EXEMPLO 1

Utilizando o mesmo método que na

demonstração da Fórmula 4, você pode

demonstrar (veja o Exercício 20) que

DERIVADA DA FUNÇÃO COSENO

Fórmula 5

A função tangente também pode ser derivada

empregando a definição de derivada.

Mas é mais fácil usar a Regra do Quociente

com as Fórmulas 4 e 5, como segue:

DERIVADA DA FUNÇÃO TANGENTE

Fórmula 6

As derivadas das funções trigonométricas

que restaram, cossec, sec e cotg, também

podem ser encontradas facilmente usando

a Regra do Quociente (veja os Exercícios

17-19).

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

Reunimos todas as fórmulas de derivação para

funções trigonométricas na tabela a seguir.

Lembre-se de que elas são válidas apenas quando

x estiver medido em radianos.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Derive f (x) = sec x

.

1 + tg x

Para quais valores de x o gráfico de f tem

uma tangente horizontal?

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

EXEMPLO 2

A Regra do Quociente dá

(5)

Na simplificação da resposta, usamos a

identidade tg

2 _{x + 1 = sec}

2 _x.

Uma vez que sec x nunca é 0, vemos que

f’ (x) = 0 quando

tg x = 1, e isso ocorre

quando x = n

S

+

S

/4,

onde n é um inteiro.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

EXEMPLO 2

As funções trigonométricas muitas vezes

são usadas em modelos de fenômenos do

mundo real.

Em particular, as vibrações, ondas, movimentos

elásticos e outras grandezas que variem de maneira

periódica podem ser descritos utilizando-se as

funções trigonométricas.

A seguir, analisaremos um exemplo de movimento

harmônico simples.

APLICAÇÕES

Um objeto na extremidade de uma mola

vertical é esticado 4 cm além de sua posição

no repouso e solto no instante t = 0.

Veja a figura e observe que o

sentido positivo é para baixo.

Sua posição no instante t é

s = f (t) = 4 cos t

Encontre a velocidade e a

aceleração no instante t e use-as

para analisar o movimento do

objeto.

APLICAÇÕES

EXEMPLO 3

A velocidade e a aceleração são

APLICAÇÕES

EXEMPLO 3

O objeto oscila desde o ponto mais baixo

(s = 4 cm) até o mais alto (s = -4 cm).

O período de oscilação

é 2

S, que é o período do

cosseno de t.

APLICAÇÕES

EXEMPLO 3

A velocidade escalar é

_v_ = 4 _sen t_, que é

máxima quando

_sen t_ = 1, isto é, quando

cos t = 0.

Assim, o objeto move-se

mais rapidamente quando

passa por sua posição de

equilíbrio (s = 0).

APLICAÇÕES

EXEMPLO 3

Sua velocidade escalar é 0 quando sen t = 0, isto é,

no ponto mais alto e no mais baixo.

A aceleração a = -4 cos t = 0 quando s = 0.

Ela tem seu maior módulo

nos pontos mais altos e

mais baixos. Veja os

APLICAÇÕES

EXEMPLO 3

Encontre a 27

a

_{derivada de cos x.}

Algumas das primeiras derivadas de f (x) = cos x são:

f’ (x) = -sen x

f” (x) = -cos x

f’’’ (x) = sen x

f

(4)

_{(x) = cos x}

(6)

Vemos que as derivadas sucessivas ocorrem em

um ciclo de comprimento 4 e, em particular,

f

(n)

_{(x) = cos x sempre que n for um múltiplo de 4.}

Portanto,

f

(24)

_{(x) = cos x}

e, derivando mais três vezes, temos

f

(27)

_{(x) = sen x}

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

EXEMPLO 4

Nosso uso principal para o limite na

Equação 2 foi demonstrar a fórmula de

derivação para a função seno.

Mas esse limite também é útil na

determinação de outros limites envolvendo

trigonometria, como nos dois exemplos a

seguir.

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Encontre

Para aplicar a Equação 2, vamos primeiro

reescrever a função multiplicando e dividindo por 7:

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

EXEMPLO 5

Se fizermos

T

= 7x, então

T

o0 quando

x

o0, de modo que, pela Equação 2, temos:

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

EXEMPLO 5

Calcule lim x cotg x.

x

o0

Aqui, dividimos o numerador e o denominador por x:

DERIVADAS DE FUNÇÕES TRIG.

EXEMPLO 6

Pela continuidade do cosseno

e pela Equação 2.