COV- 251 Comportamento de Plataformas Oceânicas II
4ª Lista de Exercícios
1) Responda:
i) Qual o significado do coeficiente A24? ii) Qual o significado do coeficiente B51? iii) Qual o significado do coeficiente C53?
iv) Em que faixa de freqüência a Força de Difração é menos relevante e porque?
2) Um barco desloca-se com velocidade V num mar de ondas regulares, conforme mostra a figura abaixo. Mostre que a freqüência de encontro em águas profundas é dada por:
2 cos e V g
ω
ω
= −ω
μ
3) Os seis movimentos de um navio são dados abaixo em relação ao sistema de translação inercial O(x,y,z).
(
)
(
)
(
)
cos cos cos a e x a e y a e z x x t y y t z z t ζ ζ ζ ω ε ω ε ω ε = + = + = +(
)
(
)
(
)
cos cos cos a e a e a e t t t φζ θζ ψζ φ φ ω ε θ θ ω ε ψ ψ ω ε = + = + = +O movimento vertical num ponto P(xb,yb,zb) na estrutura flutuante é composto por contribuições de jogo, afundamento e arfagem, conforme a equação abaixo.
( e, ) b
h ω t = −z xθ +ybφ
Como este movimento foi obtido pela superposição de movimentos harmônicos, ele também é harmônico. Mostre que:
(
e,)
acos(
e h)
h ω t =h ω t+ε ζ onde
cos cos cos cos
sin sin sin sin
a h a z b a b a a h a z b a b a h z x y h z x y ζ ζ θζ φζ ζ ζ θζ φζ ε ε θ ε φ ε ε ε θ ε φ ε = − + = − +
4) Considere um corpo rígido oscilando na superfície livre de um fluido. Vamos assumir que o fluido é incompressível, não-viscoso, irrotacional e sem tensão superficial. As amplitudes dos movimentos e velocidades são pequenas de modo a permitir a linearização das condições de contorno da superfície livre. A presente a formulação matemática em termos da teoria potencial mostrando a equação governante e as condições de contorno necessárias para determinar as cargas hidrodinâmicas atuantes numa estrutura em ondas.
5) Considere um corpo rígido oscilando na superfície livre de um fluido. Vamos assumir que o fluido é incompressível, não-viscoso, irrotacional e sem tensão superficial. As amplitudes dos movimentos e velocidades são pequenas de modo a permitir a linearização das condições de contorno da superfície livre. A distribuição de pressão sobre a superfície do corpo pode ser determinada através da equação de Bernoulli linearizada. Mostre que as cargas atuantes sobre a estrutura são dadas por:
6) As cargas hidrodinâmicas de irradiação são forças e momentos causados pelo fluido num corpo com movimento oscilatório em águas inicialmente em repouso.
O potencial de irradiação está associado à oscilação do corpo em águas inicialmente em repouso. Mostre que as componentes destas forças e momentos de irradiação são dadas por:
onde
7) Considere o movimento oscilatório dado abaixo.
As forças e momentos hidrodinâmicos podem ser divididos em uma carga em fase com a aceleração e uma carga em fase com a velocidade. Mostre que no caso da oscilação do corpo na direção j com potencial de velocidade φj, os coeficientes hidrodinâmicos
(acoplados) de massa e amortecimento são dados por:
8) Utilizando o segundo teorema de Green, mostre que:
9) As forças e momentos hidrodinâmicos de difração e de onda são mostrados abaixo:
Os potenciais de velocidade, Φω(x,y,z,t) e Φd(x,y,z,t), são escritos em termos de potenciais
dependentes do espaço separadamente, φω(x,y,z) e φd(x,y,z), multiplicados por uma
velocidade normalizada oscilatória, v(t)=e-iωt. Mostre que as cargas de onda e de difração são dadas por:
10) A equação anterior apresenta as cargas de onda e difração em termos do potencial de onda e o potencial de irradiação. Descreva em detalhes a teoria das faixas utilizada para obter o potencial de irradiação.
11) As equações do movimento de um corpo rígido num sistema inercial de coordenadas fixas no espaço são obtidas da segunda lei de Newton. As equações vetoriais de translação do centro de gravidade e rotação ao redor do CG são dadas respectivamente por:
Quais são as duas hipóteses importantes que são feitas para as cargas do lado esquerdo das equações do movimento.
12) Para um sistema linear, as cargas hidrodinâmicas são adicionadas para obter-se a carga total. Assumindo pequenos movimentos e a simetria do corpo, mostre que as equações do movimento podem ser escritas da seguinte forma:
13) Definindo-se um sistema linear com forças e momentos de excitação de ondas harmônicas simples dadas por:
Conhecendo-se a massa da estrutura flutuante e a sua distribuição, mostre que as equações acopladas do movimento podem ser escritas da seguinte forma:
14) Geralmente, um navio tem um plano de simetria vertical-longitudinal, de modo que seus movimentos podem ser separados em componentes simétricos e anti-simétricos. Quais são os movimentos simétricos e anti-simétricos? Apresente as equações dos movimentos simétricos e anti-simétricos.
15) Qual é o efeito da ancoragem no acoplamento das equações?
16) Após a substituição das soluções particulares, cada equação do movimento pode ser dividida em duas equações. Obtenha as seis equações resultantes do movimento simétrico e as seis equações resultantes do movimento anti-simétrico.
Soluções particulares
(
)
(
)
(
ψζ)
φζ ζ ε ω ψ ψ ε ω φ φ ε ω + = + = + = t t t y y e a e a y e a cos cos cos(
)
(
)
(
θζ)
ζ ζ ε ω θ x θ ε ω ε ω − = − = − = t t z t x e a z e a x e a cos cos cos z17) As figuras abaixo mostram as características de freqüência dos movimentos acoplados de heave e pitch de um transportador de óleo cru, que foram obtidas usando o programa SEAWAY, baseado na teoria das faixas.
Responda as seguintes questões em relação à amplitude e ao ângulo de fase do movimento:
a) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pela proa com freqüência tendendo a zero?
b) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pelo costado com freqüência tendendo a zero?
c) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pela proa com freqüência tendendo a infinito?
d) Descreva o movimento da estrutura quando a onda incide pelo costado com freqüência tendendo a infinito?
e) O que representam os picos nas curvas de amplitude?
18) Quando o deslocamento e a rotação ao redor do centro de gravidade são conhecidos, o movimento de qualquer ponto, P(xb,yb,zb), sobre o navio, pode ser determinado - novamente
por superposição. O deslocamento longitudinal harmônico é dado por:
Assumindo que:
(
)
(
)
(
ψζ)
φζ ζ ε ω ψ ψ ε ω φ φ ε ω + = + = + = t t t y y e a e a y e a cos cos cos(
)
(
)
(
θζ)
ζ ζ ε ω θ θ ε ω ε ω − = − = − = t t z z t x x e a z e a x e a cos cos cos19) O valor espectral das ondas, Sζ(ωe), baseado em ωe não é igual ao valor espectral,
Sζ(ω), baseado em ω. Mostre que em águas profundas,
( )
20) A figura abaixo foi obtida para a freqüência de encontro ωe e V=16 nós.
Responda as seguintes questões:
a) O que representa a curva superior? b) O que representa a curva inferior?
c) Explicar o formato da curva da freqüência de encontro para ondas incidindo pela proa. d) Explicar o formato da curva da freqüência de encontro para ondas incidindo pela popa.
21) A figura abaixo mostra como um espectro de onda fica distorcido quando transformado em termos de freqüência de encontro em ondas de popa. Por que o espectro de energia de onda transformado tem esta forma?
( )
g
V
S
S
eμ
ω
ω
ω
ζ2
cos
1
−
=
ζ22) Mostre como os momentos de área do espectro de energia de onda transformado podem ser calculados sem dificuldade.
23) Quando as ondas estão se aproximando em direção à proa, as freqüências de encontro sempre ficam maiores do que as freqüências das ondas, nenhum problema especial é encontrado. Admitindo-se conhecido o espectro de energia de onda e o RAO da estrutura, discurse como podem ter sido obtidos os espectros de energia da estrutura mostrados abaixo.
25)
27)
