RELEMBRANDO... CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: determinantes Se o determinante da matriz é diferente de zero existe a inversa, logo:

RELEMBRANDO...

CÁLCULO DA MATRIZ INVERSA: determinantes

Se o determinante da matriz é diferente de zero existe a inversa, logo:

 det M ≠ 0 ⇒ M-1 ₌ 1

𝑑𝑒𝑡 𝑀 . 𝑀̅

 Quem é 𝑀̅? É a matriz adjunta, que é a matriz transposta da matriz dos cofatores.

 Como calcular a matriz dos cofatores, indicada por M’:

Matriz dos Cofatores

Seja M uma matriz quadrada, obtemos a matriz M’, substituindo cada elemento de M por seu cofator.

Exemplo: M = [

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

]

Encontrando a matriz dos cofatores: M’ = [

𝐴₁₁ 𝐴₁₂ 𝐴₁₃ 𝐴₂₁ 𝐴₂₂ 𝐴₂₃ 𝐴₃₁ 𝐴₃₂ 𝐴₃₃ ] A11 = (-1)2 | 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃| A12 = (-1) 3 _|𝑎21 𝑎23 𝑎₃₁ 𝑎₃₃| A13 = (-1) 4 _|𝑎21 𝑎22 𝑎₃₁ 𝑎₃₂| A21 = (-1)3 | 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃| A22 = (-1) 4 _|𝑎11 𝑎13 𝑎₃₁ 𝑎₃₃| A23 = (-1) 5 _|𝑎11 𝑎12 𝑎₃₁ 𝑎₃₂| A31 = (-1)4 | 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃| A32 = (-1) 5 _|𝑎11 𝑎13 𝑎₂₁ 𝑎₂₃| A33 = (-1) 6 _|𝑎11 𝑎12 𝑎₂₁ 𝑎₂₂| Determinante Determinante Determinante Determinante

Determinante Determinante Determinante Determinante

Matriz Adjunta: 𝑀̅

 É a matriz transposta da matriz dos cofatores.

 Matriz transposta: trocamos as linhas pelas colunas.

Matriz Inversa: 𝑴−𝟏

 det M ≠ 0 ⇒ 𝑀−1 ₌ 1

𝑑𝑒𝑡 𝑀 . 𝑀̅

MATRIZES INVERTÍVEIS:

Seja A uma matriz quadrada de ordem n. Dizemos que A é matriz invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = In (matriz unidade de ordem n / matriz canônica do Rn).

Se A não é invertível dizemos que A é singular. Sejam as matrizes: A = [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂], B = [ 𝑎₁₁′ 𝑎₁₂′ 𝑎₂₁′ 𝑎₂₂′ ] e In= [ 1 0 0 1] A . B = In e B . A = In [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂] . [ 𝑎₁₁′ 𝑎₁₂′ 𝑎₂₁′ 𝑎₂₂′ ] = [1 0 0 1]

[𝑇−1_] 𝑐𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑛 _{= [} 𝑎₁₁. 𝑎₁₁′ + 𝑎₁₂. 𝑎₂₁′ 𝑎₁₁. 𝑎₁₂′ + 𝑎₁₂. 𝑎₂₂′ 𝑎₂₁. 𝑎₁₁′ + 𝑎₂₂. 𝑎₂₁′ 𝑎₂₁. 𝑎₁₂′ + 𝑎₂₂. 𝑎₂₂′ ] = [1 0 0 1] Logo, 1) 𝑎₁₁. 𝑎₁₁′ + 𝑎₁₂. 𝑎₂₁′ = 1 2) 𝑎₁₁. 𝑎₁₂′ + 𝑎₁₂. 𝑎₂₂′ = 0 3) 𝑎₂₁. 𝑎₁₁′ + 𝑎₂₂. 𝑎₂₁′ = 0 4) 𝑎₂₁. 𝑎₁₂′ + 𝑎₂₂. 𝑎₂₂′ = 1 Exemplo: 1) Seja A = [3 4 2 3] encontre A -1_.

A . B = In Logo, B é a matriz inversa.

[3 4 2 3] . [ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑] = [ 1 0 0 1] [3𝑎 + 4𝑏 3𝑐 + 4𝑑 2𝑎 + 3𝑏 2𝑐 + 3𝑑] = [ 1 0 0 1] { 3 𝑎 + 4𝑏 = 1 3𝑐 + 4𝑑 = 0 2𝑎 + 3𝑏 = 0 2𝑐 + 3𝑑 = 1 Logo, a =3 b =-2 c= -4 d=3 [𝑇−1_] 𝑐𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑛 _{= [} 3 −4 −2 3 ]

Quando é uma matriz 2 x 2 podemos fazer:

 Primeiro temos que verificar se o determinante é diferente de zero, para que tenha inversa.

 Trocamos de posição os elementos da diagonal principal.

 Trocamos de sinal os elementos da diagonal secundária.

 Depois de feitas essas alterações, dividimos todos os elementos pelo determinante.

 A matriz obtida é a matriz inversa.

Obtenção da matriz inversa por escalonamento:

Seja M = [

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

] a matriz dada.

Para obter a matriz inversa por escalonamento devemos: [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ | 1 0 0 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ | 0 1 0 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ | 0 0 1 ] [ 1 0 0 | ? ? ? 0 1 0 | ? ? ? 0 0 1 | ? ? ? ]

n. 27 – TRANSFORMAÇÕES INVERTÍVEIS

Para que uma transformação linear seja invertível, é necessário e suficiente que ela seja um isomorfismo (bijetora).

Teorema: Se T:V W é um isomorfismo, A uma base de V e B uma

base de W, então a matriz da transformação linear T1:W V é tal

que:

 

 

 

Corolário: Seja T:V W uma transformação linear e A uma base de

V e B uma base de W.

Então T é invertível se e só se det

 

Exemplo:

Seja 2 2

: 

T uma transformação linear dada por

 

Como A = {(1, 0), (0, 1)} e á base canônica do R2

(x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) x = 𝛼

y = 𝛽

T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2)

T (x, y) = x (3, 2) + y (4, 3) T (x, y) = (3 x + 4 y, 2x + 3 y)

b) Regra de

T

Primeiro temos que achar a matriz inversa.

 [𝑇−1]_𝑐𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛 _{= [}3 4

2 3]

−1

1º determinante: det T = 9 – 8 = 1 2º encontrando a matriz cofator:

A11 = (-1)2. |3| = 1 . 3 = 3 A12 = (-1)3 . |2| = - 1 . 2 = - 2 A21 = (-1)3 . |4| = - 1 . 4 = - 4 A22 = (-1)4 . |3| = 1 . 3 = 3 Matriz cofator: 𝑀′ = [ 3 − 2 − 4 3 ] Matriz adjunta: 𝑀̅ = (𝑀′₎𝑡 _{= [} 3 − 4 − 2 3 ]

Encontrando a matriz inversa: 𝑀−1 ₌ 1

𝑀−1 = 1 1 . [ 3 − 4 −2 3 ] = [ 3 − 4 −2 3 ]  Encontrando a transformação: T-1 _{(x, y)can = 𝛼 T(v1) + 𝛽 T (v2)} (x, y) = 𝛼 (1, 0) + 𝛽 (0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽 T (x, y) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) T (x, y) = x (3, - 2) + y (- 4, 3) T-1 _{(x, y) = (3 x - 4 y, - 2x + 3 y)} Exercícios:

1. Seja 𝑇: ℝ2 _{→ ℝ}2 _{uma transformação linear dada por 𝐴 =}

[𝑇]𝑐𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛 = [

2 −1

1 1 ], ache as regras de 𝑇 e de𝑇

−1_.

2. Dadas as transformações lineares, determine se 𝑇 tem uma inversa e, se tiver encontre 𝑇−1_.

𝑎. [5 2 2 1] 𝑏. [ 4 7 −1 3] 𝑐. [ 1 −1 1 0 2 −1 2 3 0 ] 3. Considere a transformação linear 𝑇: ℝ3 _{→ ℝ}3_{, tal que}

[𝑇] = [−1 1 01 1 1 0 1 1

] na base canônica. Encontre a [𝑇] 𝑒 [𝑇]−1 . 4. Verifique matricialmente se o operador linear 𝐹 ∈ 𝐿 (𝑅3_{) dado}

por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 2𝑦, 𝑦 + 𝑧) é invertível. Se for, ache a inversa e a regra da transformação.

Exercícios resolvidos:

1. Seja 𝑇: ℝ2 _{→ ℝ}2 _{uma transformação linear dada por 𝐴 =}

[𝑇]𝑐𝑎𝑛𝑐𝑎𝑛 = [

2 −1

1 1 ], ache as regras de 𝑇 e de𝑇

−1_.

a) 1º verificar se existe a inversa, ou seja, det ≠ 0  det = 3 b) Achar a T (x, y)

Como estamos na base canônica: 𝛼 = x e 𝛽 = y T (x, y) = x (2, 1) + y (-1, 1)

T (x, y) = (2x – y, x + y)

c) Achar a T-1 _{(x, y)}

Primeiro temos que achar a matriz inversa: A . A-1 _{= In Logo, A}-1 _{é a matriz inversa.}

[2 −1 1 1 ] . [ 𝑎 𝑐 𝑏 𝑑] = [ 1 0 0 1] [2𝑎 − 𝑏 2𝑐 − 𝑑 𝑎 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 ] = [ 1 0 0 1] { 2 𝑎 − 𝑏 = 1 𝑎 + 𝑏 = 0 2𝑐 − 𝑑 = 0 𝑐 + 𝑑 = 1 Logo, a = 1 3 b = − 1 3 c = 1 3 d = 2 3 [𝑇−1_] 𝑐𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑛 _{= [} 1 3 1 3 −1 3 2 3 ] T-1 (x, y) = x (1 3 , − 1 3) + y ( 1 3 , 2 3) T-1 _{(x, y) = (}𝑥+ 𝑦 3 , − 𝑥 + 2 𝑦 3 )

2. Dadas as transformações lineares, determine se 𝑇 tem uma inversa e, se tiver encontre 𝑇−1_.

𝑎. [5 2

2 1]

 Primeiro temos que calcular o determinante para saber se a

matriz admite inversa:

[5 2

2 1] → 𝑑𝑒𝑡 = 5 − 4 = 1

 Depois temos que achar a matriz inversa. [𝑇−1_] 𝑐𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑛 _{= [} 1 −2 −2 5 ]

Como temos a base canônica: 𝑥 = 𝛼 ; 𝑦 = 𝛽 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹𝑣₁ + 𝛽 𝐹𝑣₂ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (1, −2) + 𝑦 (−2, 5) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (𝑥 − 2𝑦, −2𝑥 + 5𝑦) 𝑅: [𝑇]−1 _{= (𝑥 − 2𝑦, −2𝑥 + 5𝑦)} 𝑏. [ 4 7 −1 3]

 Primeiro temos que calcular o determinante para saber se a

matriz admite inversa:

[ 4 7

−1 3] → 𝑑𝑒𝑡 = 12 + 7 = 19

𝑑𝑒𝑡 ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

 Depois temos que achar a matriz inversa.

[𝑇−1_] 𝑐𝑎𝑛 𝑐𝑎𝑛 _{= [} 3 19 −7 19 1 19 4 19 ]

Como temos a base canônica: 𝑥 = 𝛼 ; 𝑦 = 𝛽 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝛼 𝐹𝑣₁ + 𝛽 𝐹𝑣₂ 𝑇(𝑥, 𝑦) = 𝑥 (3 19, 1 19) + 𝑦 (− 7 19, 4 19) 𝑇(𝑥, 𝑦) = (3𝑥 19 − 7𝑦 19, 𝑥 19 + 4𝑦 19) 𝑅: [𝑇]−1 _{= (}3𝑥−7𝑦 19 , 𝑥+4𝑦 19 ) 𝑐. [1 −10 2 −11 2 3 0 ]

 Primeiro temos que calcular o determinante para saber se a

matriz admite inversa: [ 1 −1 1 0 2 −1 2 3 0 1 −1 0 2 2 3 ] → 𝑑𝑒𝑡 = 0 + 2 + 0 − 4 + 3 + 0 = 1 𝑑𝑒𝑡 ≠ 0, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑎𝑑𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎

 Depois temos que achar a matriz inversa.

[𝑇−1_] 𝑐𝑎𝑛

𝑐𝑎𝑛 _{= [−2 −2}3 3 −1₁

−4 −5 2

]

Como temos a base canônica: 𝑥 = 𝛼 ; 𝑦 = 𝛽; 𝑧 = 𝛿 𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛼 𝐹𝑣₁ + 𝛽 𝐹𝑣₂ + 𝛿 𝐹𝑣₃

𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑥, −2𝑥, −4𝑥) + (3𝑦, −2𝑦, −5𝑦) + (−𝑧, 𝑧, 2𝑧) 𝑅: [𝑇]−1 _{= (3𝑥 + 3𝑦 − 𝑧, −2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧, −4𝑥 − 5𝑦 + 2𝑧)}

3. Considere a transformação linear T: R3 _{→ R}3_{, tal que} [𝑇] = [

−1 1 0 1 1 1 0 1 1

] na base canônica. Encontre a [𝑇] 𝑒 [𝑇]−1 . a) [𝑇] T (x, y, z)can = 𝛼 T(v1) + 𝛽 T (v2) + 𝛿 T (v3) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e á base canônica do R3 (x, y, z) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽 (0, 1, 0) + 𝛿 (0, 0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽 z = 𝛿 T (x, y, z) = 𝛼 T (v1) + 𝛽 T (v2) + 𝛿 T (v3) T (x, y, z) = x (-1, 1, 0) + y (1, 1, 1) + z (0, 1, 1) T (x, y, z) = (- x + y, x + y + z, y + z) b) [𝑇]−1 a. Encontrando a inversa: - determinante: 𝑑𝑒𝑡 = [−1 1 01 1 1 0 1 1 ] −1 1 1 1 0 1 = −1 + 1 − 1 = − 1 Encontrando a matriz dos cofatores: M’

A11 = (-1)2 | 1 1 1 1| A12 = (-1) 3 _|1 1 0 1| A13 = (-1) 4 _|1 1 0 1| A21 = (-1)3 | 1 0 1 1| A22 = (-1) 4 _|−1 0 0 1| A23 = (-1) 5 _|−1 1 0 1| A31 = (-1)4 | 1 0 1 1| A32 = (-1) 5 _|−1 0 1 1| A33 = (-1) 6 _|−1 1 1 1| M’ = [−1 −10 −1 11 1 1 −2 ]

Matriz Adjunta: 𝑀̅ – é a transposta da matriz cofator.

𝑀̅ = [−1 −10 −1 11 1 1 −2 ] Matriz Inversa: 𝑴−𝟏 𝑀−1 = 1 𝑑𝑒𝑡 𝑀 . 𝑀̅ [𝑇]−1 _{= [} 0₁ 1₁ −1₋₁ −1 −1 2 ] T (x, y, z)can = 𝛼 T(v1) + 𝛽 T (v2) + 𝛿 T (v3) A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} e á base canônica do R3 (x, y, z) = 𝛼 (1, 0, 0) + 𝛽 (0, 1, 0) + 𝛿 (0, 0, 1) x = 𝛼 y = 𝛽 z = 𝛿

[𝑇]−1 _{(x, y, z) = 𝛼 T (v}

1) + 𝛽 T (v2) + 𝛿 T (v3)

[𝑇]−1 _{(x, y, z) = x (0, 1, – 1) + y (1, 1, – 1) + z (– 1, – 1, 2)}

[𝑇]−1 _{(x, y, z) = ( y – z , x + y – z , – x – y + 2 z)}

4. Verifique matricialmente se o operador linear 𝐹 ∈ 𝐿 (𝑅3_{) dado}

por 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 2𝑦, 𝑦 + 𝑧) é invertível. Se for, ache a inversa e a regra da transformação.

A matriz F em relação a base canônica do 𝑅3 _é:

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 − 𝑦, 2𝑦, 𝑦 + 𝑧) 𝐹(1, 0 , 0) = (1 − 0, 2(0), 0 + 0) = (1, 0, 0) 𝐹(0, 1, 0) = (0 − 1, 2(1), 1 + 0) = (−1, 2, 1) 𝐹(0, 0 ,1) = (0 − 0, 2(0), 0 + 1) = (0, 0, 1) Portanto, M = [1 −1 00 2 0 0 1 1 ]

Para obter a matriz inversa por escalonamento devemos:

[ 1 −1 0 | 1 0 0 0 2 0 | 0 1 0 0 1 1 | 0 0 1 ] → 𝐿3 = 𝐿2 − 2𝐿3 [ 1 −1 0 | 1 0 0 0 2 0 | 0 1 0 0 0 −2 | 0 1 −2 ] [ 1 −1 0 | 1 0 0 0 2 0 | 0 1 0 0 0 −2 | 0 1 −2 ] → 𝐿1 = 𝐿2 + 2𝐿1 [ 2 0 0 | 2 1 0 0 2 0 | 0 1 0 0 0 −2 | 0 1 −2 ]

[ 2 0 0 | 2 1 0 0 2 0 | 0 1 0 0 0 −2 | 0 1 −2 ] → { 𝐿1 = 𝐿1 2 𝐿2 = 𝐿2 2 𝐿3 = 𝐿3 −2 [ 1 0 0 | 1 1 2 0 0 1 0 | 0 1 2 0 0 0 1 | 0 −1 2 1] Portanto, 𝐹−1_{(1, 0, 0) = (1, 0, 0)} 𝐹−1(0, 1, 0) = (1 2, 1 2, − 1 2) 𝐹−1(0, 0, 1) = (0, 0, 1) Assim, 𝐹−1_{(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥(1, 0, 0) + 𝑦 (}1 2, 1 2, − 1 2) + 𝑧 (0, 0, 1) 𝐹−1(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥 +𝑦 2, 𝑦 2, − 𝑦 2 + 𝑧) Referências Bibliográficas

BOLDRINI, J. L. et al. Álgebra linear. São Paulo: Harper & Row, 1980.

BORGES, A. J. Notas de aula. Curitiba. Set. 2010. Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR. CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. São Paulo: Atual, 1990.

ANTON, H.; BUSBY, R. C. Álgebra linear contemporânea. São Paulo: Bookman, 2008.

KOLMAN, B.; HILL, R. Introdução à álgebra linear com aplicações. 6ª ed. Rio de Janeiro: Prentice-Hall, 1998.

LIPSCHUTZ, S. Álgebra linear. São Paulo: McGraw-Hill do Brasil, 1972.

NUNES, Luiz Fernando. Notas de aula: Matemática 1. Professor do Departamento de Matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – UTFPR.

STEINBRUCH, A. e WINTERLE, P. Álgebra linear. São Paulo: Pearson-Makron Books, 2010.