Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de A = ( );

Matrizes: Matriz inversa

Objetivo

Compreender o conceito de matriz inversa, a condição de existência e como determinar a inversa de uma matriz.

Se liga

Para essa aula, é importante você ter visto a aula sobre matrizes.

Curiosidade

Você sabia que o primeiro nome dado às matrizes foi tableau, que em português significa tabela? O nome matriz veio depois com o Joseph Sylvester, em 1850. Seu significado coloquial: local onde algo se gera ou cria

Teoria

Dada uma matriz 𝐴

, dizemos que a matriz 𝐴

(também 𝑛𝑥𝑛) é sua inversa se 𝐴 ∙ 𝐴

= 𝐴

∙ 𝐴 = 𝐼

. Onde 𝛪

é a matriz identidade. Quando existe a matriz inversa de A, dizemos que A é uma matriz invertível ou não singular.

Exemplo: Verifique se existe e, em caso afirmativo, determine a matriz inversa de 𝐴 = ( 5 8 2 3 );

Seja B a matriz quadrada de ordem 2 procurada, temos: 𝐵 = ( 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 ), temos: ( 5 8 2 3 ) ( 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 ) = ( 1 0 0 1 ):

( 5𝑎 + 8𝑐 5𝑏 + 8𝑑

2𝑎 + 3𝑐 2𝑏 + 3𝑑 ) = ( 1 0 0 1 )

{ 5𝑎 + 8𝑐 = 1

2𝑎 + 3𝑐 = 0 → 𝑎 = −3, 𝑐 = 2

{ 5𝑏 + 8𝑑 = 0

2𝑏 + 3𝑑 = 1 → 𝑏 = 8, 𝑑 = −5

Logo, A é invertível e sua inversa é ( −3 8

2 −5 ).

Teorema: Se uma matriz 𝐴

possui inversa, então a inversa é única.

Demonstração: Suponha que B e C sejam inversas de A. Então:

𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼

𝑒 𝐴𝐶 = 𝐶𝐴 = 𝐼

𝐵 = 𝐵𝐼

= 𝐵(𝐴𝐶) = (𝐵𝐴)𝐶 = 𝐼

𝐶 Portanto, 𝐵 = 𝐶.

Observação: A matriz inversa da matriz identidade é a própria matriz identidade.

Propriedades das Matrizes Invertíveis

1) Se A é uma matriz invertível, então 𝐴

é invertível e (𝐴

)

= 𝐴;

2) Se A e B são matrizes invertíveis, então AB é invertível e (𝐴𝐵)

= 𝐵

∙ 𝐴

. 3) Se A é uma matriz invertível, então (𝐴

)

= (𝐴

)

4) Se uma matriz possui inversa, então o determinante dela é diferente de zero. Caso o determinante seja

igual a zero, então a matriz não possui inversa.

Exercícios de fixação 1. A matriz [ 1 2 3

4 5 6 ] possui inversa?

2. Sobre a matriz inversa, diga se as afirmativas abaixo são verdadeiras ou falsas:

I – A matriz A possui mais de uma inversa.

II – Toda matriz quadrada possui inversa.

III – A inversa da matriz A

é a matriz A.

a) V, V e F b) F, V e V c) F, F e V d) V, V e V e) F, F e F

3. Prove que a matriz inversa de ( 1 0

2 2 ) é ( 1 0

−1

2

).

4. Qual a matriz inversa de ( 1 0 0 1 2 3 2 1 1

)?

5. A matriz A é inversa de B. Pode-se afirmar que a diferença entre 𝑥 − 𝑦 é igual a:

𝐴 = ( 2 5

1 𝑥 ) 𝑒 𝐵 = ( 3 𝑦

−1 2 ) a) -8

b) -2

c) 2

d) 6

e) 8

Exercícios de vestibulares

1. Sejam as matrizes 𝐴 = [ 1 2

2 6 ] e M=[ 𝑥 −1

−1 𝑦 ] onde x e y são números reais e M é a matriz inversa de A. Então o produto xy é:

a)

2

b)

3

c)

2

d)

4

e)

1

2. Determine uma matriz invertível P que satisfaça a equação 𝑃

∙ 𝐴 = [ 5 0

0 −2 ] , sendo A= [ 1 −2 3 3 ].

a) P = [

5 3

10 9 2 3

−

9

]

b) P = [ 2 10 6 −15 ] c) P =

[ 2 10

3 −3 ] d) P = [ −

9

−

3

−

9 5 3

]

e) P =[

1

5

1

3 2

−

2

]

3. A matriz inversa de A=[ 2 0 −1 2 1 10 0 0 −1

] é:

a) A=[ −2 0 1

−2 −1 −10

0 0 1

]

b) A=[ 1/2 0 −1/2

−1 1 11

0 0 −1

]

c) A=[ 2 2 0

0 1 0

−1 10 −1 ]

d) A=[ −2 −2 0

0 −1 0

1 −10 1 ]

e) A= [ −1/2 0 1/2

1 1 11

0 0 −1

]

4. A matriz quadrada M=[ −1 0

0 2 ] representa uma mensagem codificada. A mensagem decodificada é a matriz quadrada 𝑀

= [ 𝑥 𝑦

𝑧 𝑤 ], tal que 𝑀

é a inversa da matriz M. Sendo assim, o valor de 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 é:

a) – 1 b) 0 c) 1 d)

2

e) –

5. Calcular x tal que a matriz A=[ 1 2

0 𝑥 ] seja igual a sua inversa:

a) -2

b) 1

c) -1

d) 2

e) 0

6. Dada a matriz M= (

√3

2

𝑘

−𝑘

2

) , se 𝑀

= 𝑀

, então K pode ser:

a)

4

b) −

4

c)

4

d) −

24

e)

2

7. Considere a matriz A=[ 𝑎 2𝑎 + 1

𝑎 − 1 𝑎 + 1 ] em que a é um número real. Sabendo que A admite inversa cuja primeira coluna é [ 2𝑎 − 1

1 ], a soma dos elementos da diagonal principal de é igual a a) 5

b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

8. O elemento da segunda linha e terceira coluna da matriz inversa da matriz ( 1 0 1 2 1 0 0 1 1

) é:

a)

3

b)

2

c) 0 d) -2 e) −

3

9. João comeu uma salada de frutas com a, m e p porções de 100g de abacaxi, manga e pera, respectivamente, conforme a matriz X. A matriz A representa as quantidades de calorias, vitamina C e cálcio, em miligramas, e a matriz B indica os preços, em reais, dessas frutas em 3 diferentes supermercados. A matriz C mostra que João ingeriu 295,6 cal, 143,9 mg de vitamina C e 93 mg de cálcio.

Considerando que as matrizes inversas de A e B são 𝐴

e 𝐵

, o custo dessa salada de frutas, em cada supermercado, é determinado pelas seguintes operações:

a) 𝐵 ∙ 𝐴

∙ 𝐶 b) 𝐶 ∙ 𝐴

∙ 𝐵 c) 𝐴

∙ 𝐵

∙ 𝐶 d) 𝐵

∙ 𝐴

∙ 𝐶

e) 𝐶 ∙ 𝐴 ∙ 𝐵

10. Seja 𝐴 = (𝑎

)

uma matriz tal que 𝑎

= { −𝑗

, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗

(−𝑖)

, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗 . A inversa da matriz A, denotada por A

é a matriz:

a) [ −2 1/2 1 −1/2 ] b) [ −2 1/2

−1 1/2 ] c) [ −1/6 −2/3

1/6 −2/3 ] d) [ −1/6 −2/3

1/6 2/3 ] e) [ −2/3 −1/6

1/3 −1/6 ] MATRIZ X Porções de 100 g Abacaxi

Manga Pêra

[ 𝑎 𝑚

𝑝 ]

MATRIZ A (por cada 100g)

Abacaxi Manga Pêra Calorias

Vitamina C Cálcio

[

52 64,3 63,3 27,2 43 3,5

18 21 15

]

MATRIZ B (por cada 100g)

Abacaxi Manga Pêra Coma bem

Compre mais Boa compra [

0,15 0,30 0,40 0,16 0,25 0,45 0,20 0,27 0,35 ]

MATRIZ C Calorias Vitamina C (mg) Cálcio (mg)

[ 295,6 143,9 93

]

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Gabaritos

Exercícios de fixação

1. Para ter inversa, a matriz precisa ser quadrada, do tipo 𝐴

. E a matriz dada é do tipo 𝐴

. 2. C

I –Falsa.

Pelo teorema, temos que: Se uma matriz 𝐴

possui inversa, então a inversa é única.

Portanto, a matriz A possui apenas uma única inversa.

II – Falsa. Uma matriz quadrada que possui determinante igual a zero não possui inversa.

III – Verdadeira.

Se A é uma matriz invertível, então 𝐴

é invertível e (𝐴

)

= 𝐴.

3. ( 1 0 2 2 ) ( 𝑎 𝑏

𝑐 𝑑 ) = ( 1 0 0 1 )

( 𝑎 𝑏

2𝑎 + 2𝑐 2𝑏 + 2𝑑 ) = ( 1 0 0 1 )

{

𝑎 = 1 𝑏 = 0

2𝑎 + 2𝑐 = 0 → 2(1) + 2𝑐 = 0 → 2𝑐 = −2 → 𝑐 = −1 2𝑏 + 2𝑑 = 1 → 2(0) + 2𝑑 = 1 → 𝑑 = 1

2 Portanto, a matriz inversa é

( 1 0

−1 1 2

)

4. (

1 0 0 1 2 3 2 1 1

) (

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖

) = (

1 0 0 0 1 0 0 0 1

)

(

𝑎 𝑏 𝑐

𝑎 + 2𝑑 + 3𝑔 𝑏 + 2𝑒 + 3ℎ 𝑐 + 2𝑓 + 3𝑖 2𝑎 + 𝑑 + 𝑔 2𝑏 + 𝑒 + ℎ 2𝑐 + 𝑓 + 𝑖

) = (

1 0 0 0 1 0 0 0 1

)

{

𝑎 = 1 𝑏 = 0 𝑐 = 0

1 + 2𝑑 + 3𝑔 = 0 → 3𝑔 = −2𝑑 − 1 (𝐼) 2𝑒 + 3ℎ = 1 → 3ℎ = 1 − 2𝑒 (𝐼𝐼)

2𝑓 + 3𝑖 = 0 → 2𝑓 = −3𝑖 (𝐼𝐼𝐼) 2 + 𝑑 + 𝑔 = 0 → 𝑑 = −𝑔 − 2 (𝐼𝑉)

𝑒 + ℎ = 0 → 𝑒 = −ℎ (𝑉)

𝑓 + 𝑖 = 1 → 𝑖 = 1 − 𝑓 (𝑉𝐼)

Portanto, substituindo IV em I.

3𝑔 = −2𝑑 − 1 e 𝑑 = −𝑔 − 2, então:

3𝑔 = −2(−𝑔 − 2) − 1 → 3𝑔 = 2𝑔 + 4 − 1 → 𝑔 = 3 Portanto, 𝑑 = −𝑔 − 2 → 𝑑 = −3 − 2 = −5

Agora, substituindo V em II, temos 3ℎ = 1 − 2𝑒 e 𝑒 = −ℎ, então:

3ℎ = 1 − 2(−ℎ) → 3ℎ = 1 + 2ℎ → ℎ = 1 Portanto, 𝑒 = −ℎ → 𝑒 = −1

Substituindo VI em III, temos:

2𝑓 = −3𝑖 e 𝑖 = 1 − 𝑓, então:

2𝑓 = −3(1 − 𝑓) → 2𝑓 = −3 + 3𝑓 → 𝑓 = 3 Portanto, 𝑖 = 1 − 𝑓 → 𝑖 = 1 − 3 = −2 Portanto, a matriz inversa é:

(

1 0 0

−5 −1 3

3 1 −2

)

5. E Temos 𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐼

( 2 5

1 𝑥 ) ∙ ( 3 𝑦

−1 2 ) = ( 1 0 0 1 ) ( 6 − 5 2𝑦 + 10

3 − 𝑥 𝑦 + 2𝑥 ) = ( 1 0 0 1 ) ( 1 2𝑦 + 10

3 − 𝑥 𝑦 + 2𝑥 ) = ( 1 0 0 1 )

Então, { 2𝑦 + 10 = 0 → 2𝑦 = −10 → 𝑦 = −5 3 − 𝑥 = 0 → 𝑥 = 3 . Portanto, temos que 𝑥 − 𝑦 = 3 − (−5) = 3 + 5 = 8.

Exercícios de vestibulares

1. A [ 1 2

2 6 ] ∙ [ x −1

−1 y ] = [ 1 0 0 1 ] x − 2 = 1 → x = 3

−1 + 2y = 0 → y = 1 2 xy = 3 ∙ 1

2 = 3

2

2. E

Seja p= [ 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 ].

𝑃

∙ 𝐴 = [ 5 0

0 −2 ] → 𝑃 ∙ [ 5 0

0 −2 ] = 𝐴 → [ 𝑥 𝑦

𝑧 𝑤 ] ∙ [ 5 0

0 −2 ] = [ 1 −2 3 3 ] [ 5𝑥 −2𝑦

5𝑧 −2𝑤 ] = [ 1 −2

3 3 ] → 𝑥 = 1

5 , 𝑦 = 1, 𝑧 = 3

5 𝑒 𝑤 = − 3 2

𝑃 = [ 1

5 1

3 5 − 3

2 ]

3. B [

2 0 −1 2 1 10 0 0 −1

] ∙ [

a b c d e f g h i

] = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

{

2a − g = 1 → a 1/2 2a + d + 10g = 0 → d = −1

−g = 0 → g = 0 {

2b − h = 0 → b = 0 2b + e + 10h = 1 → e = 1

−h = 0 → h = 0 {

2c − i = 0 → c = −1/2 2c + f + 10i = 0 → f = 11

−i = 1i = −1 [

a b c d e f g h i

] = [ 1

2 0 − 1 2

−1 1 11 0 0 −1 ]

4. E

Calculando:

[ −1 0

0 2 ] ∙ [ 𝑥 𝑦

𝑧 𝑤 ] = [ 1 0

0 1 ] → [ −𝑥 −𝑦

2𝑧 2𝑤 ] = [ 1 0 0 1 ]

{

−𝑥 = 1 → 𝑥 = −1

−𝑦 = 0 → 𝑦 = 0 2𝑧 = 0 → 𝑧 = 0 2𝑤 = 1 → 𝑤 = 1/2

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤 = −1 + 0 + 0 + 1 2 = − 1

2

5. C

Como 𝐴 = 𝐴

então 𝐴 ∙ 𝐴 = 𝐼, ou seja:

[ 1 2

0 𝑥 ] ∙ [ 1 2

0 𝑥 ] = [ 1 0 0 1 ]

Multiplicando a primeira linha da matriz a pela segunda coluna da matriz inversa, temos:

2 + 2𝑥 = 0 𝑥 = −1 6. E

𝑀 = (

√3

2 𝐾

−𝐾 √3 2 )

𝑀

= 𝑀

= (

√3 2 −𝐾 𝐾 √3 2 ) ( √3/2 𝐾

−𝐾 √3/2 ) ∙ ( √3/2 −𝐾

𝐾 √3/2 ) = [ 1 0 0 1 ] 3

4 = 𝐾

= 1 → 3 + 4𝐾

= 4 → 1

4 → 𝐾 = 1 2 𝐾 =

2

ou 𝐾 = −

7. A

𝐴𝐴

= 𝐼

[ a 2a + 1

a − 1 a + 1 ] ∙ [ 2a − 1 x

−1 y ] = [ 1 0 0 1 ]

Temos o sistema { a(2a − 1) − (2a + 1) = 1 (a − 1) ∙ (2a − 1) − 1(a + 1) = 0 Resolvendo o sistema temos a = 2, A = [ 2 5

1 3 ] e A

= [ 3 −5

−1 2 ].

Portanto, a soma dos elementos da diagonal principal é 3 + 2 = 5

8. A

Para descobrir a inversa, calculamos:

[

1 0 1 2 1 0 0 1 1

] ∙ [

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖

] = [

1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

Como a questão pede apenas o 𝑎

, só precisamos descobrir o elemento 𝑎

da matriz inversa, nesse caso o f. Fazendo o produto da matriz pela última coluna da matriz inversa temos:

c + 1 = 0 → C = −i → c = −1 + f

2c = f = 0 → 2(−1 = f) + f = 0 → 3f = 2 → f = 2 3 f + i = 1 → i = 1 − f

9. A

O produto de a por x calcula a quantidade de calorias, vitamina c e cálcio consumidos. Igualando esse produto a c, calculamos os valores de a, m e p. O produto de b por x calcula o gasto em cada supermercado. Seja g a matriz dos gastos:

𝐴 ∙ 𝑋 = 𝐶

(𝐴

∙ 𝐴) ∙ 𝑋 = 𝐴

∙ 𝐶

𝐼 ∙ 𝑋 = 𝐴

∙ 𝐶 → 𝑋 = 𝐴

∙ 𝐶 𝐺 = 𝐵 ∙ 𝑋 → 𝐵 ∙ 𝐴

∙ 𝐶 10. E

Calculando:

𝐴 = [ −1

(−1)

(−2)

−2

] = [ −1 1

−2 −4 ] → 𝑑𝑒𝑡 𝐴 = 6 𝐴

= [ −4 2

−1 −1 ] 𝐴̅ = (𝐴

)

= [ −4 −1

2 −1 ] 𝐴

= 1

6 ∙ [ −4 −1

2 −1 ] = [ −2/3 −1/6

1/3 −1/6 ]