2ª Série - Ensino Médio Caderno do Professor Volume Material Complementar

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Material Complementar

Versão Preliminar

2ª Série - Ensino Médio

Caderno do Professor

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Expedien

te

EXPEDIENTE

ORGANIZADORES E COLABORADORES

Governador do Estado de Goiás Marconi Ferreira Perillo Júnior

Secretária de Estado de Educação, Cultura e Esporte Raquel Figueiredo Alessandri Teixeira

Superintendente Executivo de Educação Marcos das Neves

Superintendente de Ensino Fundamental Luciano Gomes de Lima

Superintendente de Ensino Médio João Batista Peres Júnior

Superintendente de Desporto Educacional Maurício Roriz dos Santos

Superintendente de Gestão Pedagógica Marcelo Jerônimo Rodrigues Araújo Superintendente de Inclusão Márcia Rocha de Souza Antunes Superintendente de Segurança Escolar e Colégio Militar

Cel. Júlio Cesar Mota Fernandes

Gerente de Estratégias e Material Pedagógico

Wagner Alceu Dias

Língua Portuguesa

Ana Christina de P. Brandão Débora Cunha Freire

Dinete Andrade Soares Bitencourt Edinalva Filha de Lima

Edinalva Soares de Carvalho Oliveira Elizete Albina Ferreira

Ialba Veloso Martins Lívia Aparecida da Silva Marilda de Oliveira Rodovalho

Matemática

Abadia de Lourdes da Cunha Alan Alves Ferreira

Alexsander Costa Sampaio Carlos Roberto Brandão Cleo Augusto dos Santos Deusite Pereira dos Santos Inácio de Araújo Machado Marlene Aparecida da Silva Faria Regina Alves Costa Fernandes Robespierre Cocker Gomes da Silva Silma Pereira do Nascimento

Coordenadora do Projeto

Giselle Garcia de Oliveira

Revisoras

Luzia Mara Marcelino Maria Aparecida Costa Maria Soraia Borges

Nelcimone Aparecida Gonçalves Camargo

Projeto Gráfico e Diagramação

Adolfo Montenegro Adriani Grün

Alexandra Rita Aparecida de Souza Climeny Ericson d’Oliveira Eduardo Souza da Costa Karine Evangelista da Rocha

Colaboradores

Ábia Vargas de Almeida Felicio Ana Paula de O. Rodrigues Marques Augusto Bragança Silva P. Rischiteli Erislene Martins da Silveira Giselle Garcia de Oliveira

Paula Apoliane de Pádua Soares Carvalho Sarah Ramiro Ferreira

Valéria Marques de Oliveira Vanuse Batista Pires Ribeiro Wagner Alceu Dia

Idealização Pedagógica

Marcos das Neves - Criação e Planejamento

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APRESENTAÇÃO

Queridos professores, coordenadores pedagógicos, gestores e alunos,

Projeto inovador e genuinamente goiano, o Aprender+ está sendo ampliado em 2018 para todos os alunos do 5º ano do Ensino Fundamental à 3ª série do Ensino Médio. Lançado em fevereiro de 2017, o projeto foi totalmente elaborado pela equipe da Secretaria de Educação, Cultura e Esporte (Seduce) e integra o compromisso do Governo de Goiás de ter a excelência e a equidade como pilares norteadores das políticas públicas do setor.

O Aprender+ é um material pedagógico complementar destinado ao uso de professores, alunos, coordenadores e gestores, dentro e fora da sala de aula. Inclui conhecimentos e expectativas do Currículo Referência do Estado de Goiás e da Matriz de Referência do Saeb.

Além das atividades de Língua Portuguesa e Matemática, fundamentais para a vida de todos, o conteúdo de 2018 inclui as habilidades socioemocionais, que ganharam importância no mundo inteiro nas últimas décadas. Conteúdo específico, formatado em parceria com o Instituto Ayrton Senna. A abordagem socioemocional ensina a colocarmos em prática as melhores atitudes para controlar emoções, alcançar objetivos, demonstrar empatia, manter relações sociais positivas e tomar decisões de maneira responsável. Visa apoiar o aluno no desenvolvimento das competências que ele necessita para enfrentar os desafios do século 21.

Esse material une modernidade e qualidade pedagógica em uma oportunidade para que todos os alunos da rede tenham chance de aprender mais.

Secretaria de Educação, Cultura e Esporte.

Ap

resen

taç

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Apresentação ... 05

Matemática ... 09

Unidade 1 ... 13

Unidade 2 ... 21

Unidade 3 ... 27

Unidade 4 ... 35

Unidade 5 ... 43

Unidade 6 ... 51

Unidade 7 ... 57

Unidade 8 ... 65

Língua Portuguesa ... 75

Unidade 1 ... 79

Unidade 2 ... 85

Unidade 3 ... 93

Unidade 4 ... 99

Unidade 5 ... 103

Unidade 6 ... 109

Unidade 7 ... 115

Unidade 8 ... 120

Competências Socioemocionais ... 124

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Ensino Médio

Caderno do Professor

Volume 3

2ª

Série

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MATEMÁTICA

APRESENTANDO A UNIDADE 1

O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?

Professor (a), esta unidade propõe atividades relacionadas a cinco expectativas de aprendizagem do Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, 2ª série do Ensino Médio.

As atividades foram elaboradas a partir de cinco expectativas e três subdescritores seguindo uma gradação de complexidade entre eles. Assim, pretende-se ampliar os conceitos dos estudantes no estudo da estatística e probabilidade buscando alcançar o desenvolvimento de suas habilidades em efetuar, resolver, utilizar o princípio fundamental da contagem, identificar e diferenciar tipos de agrupamento.

QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?

Esta unidade tem por base as seguintes expectativas de aprendizagem:

E - 27 ─ Efetuar cálculos envolvendo os agrupamentos de permutação, arranjo e combinação. E - 28 ─ Resolver problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos simples e/ou combinação simples.

E - 29 ─ Utilizar o princípio multiplicativo e o princípio aditivo da contagem na resolução de problemas. E - 30 ─ Identificar e diferenciar os diversos tipos de agrupamentos.

E - 31 ─ Resolver problemas utilizando noções de arranjos simples, permutação e combinação simples. As habilidades a serem desenvolvidas, propostas pela expectativa, são de efetuar, resolver, utilizar, identificar e diferenciar problemas de probabilidades. Assim as atividades estão elaboradas permitindo aos estudantes o desenvolvimento desses conceitos através de uma gradação intencional embasada na expectativa, a qual diagnostica a consolidação dessa habilidade no estudante.

Professor (a), as expectativas E – 27 Efetuar cálculos envolvendo os agrupamentos de permutação, arranjo e combinação e E – 31 Resolver problemas utilizando noções de arranjos simples, permutação e combinação simples, denotam semelhança, porém distinguem-se na habilidade. Tal habilidade nesta atividade deve ser compreendida pelo estudante de forma que sua compreensão seja ampliada. Assim, utilize cada atividade como um meio para alcançar a proposta desta unidade. Elas serão ao mesmo tempo instrumentos de consolidação e avaliação para seu trabalho.

QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?

Professor (a), ressaltamos que as atividades denotam que o estudante compreenda um conteúdo importante na matemática, o estudo das probabilidades.

Nas atividades 1; 2 e 3 o estudante deve determinar o número de possibilidades utilizando diagrama de árvore. Nas atividades 4; 5; 6 e 7 eles devem determinar a solução de problemas propostos através do cálculo fatorial. Nas atividades 8; 9 e 10 os estudantes devem utilizar o princípio fundamental da contagem (P.F.C.) através de problemas propostos.

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MATEMÁTICA

UNIDADE 1

CONTEÚDO(S)

î Análise Combinatória. î Probabilidade.

EIXO(S) TEMÁTICO(S)

î Números e Operações.

EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM

î E 27 – Efetuar cálculos envolvendo os agrupamentos de permutação, arranjo e combinação. î E 28 – Resolver problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjos simples e/ou combinação simples.

î E 29 – Utilizar o princípio multiplicativo e o princípio aditivo da contagem na resolução de problemas. î E 30 – Identificar e diferenciar os diversos tipos de agrupamentos.

î E 31 – Resolver problemas utilizando noções de arranjos simples, permutação e combinação simples.

DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)

î D32A – Determinar o número de possibilidades utilizando diagrama de árvore. î D32B – Calcular fatorial.

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Gabarito: E

Solução

Professor(a), verifi cando a árvore de possibilidades e a exigência da ati vidade em ter exatamente duas faces iguais, exclui-se as possibilidades de se obter três faces iguais, ou seja, das oito, tem-se seis. O resultado é igual a , ou seja, ∙

Ele corresponde ao lançamento de 3 moedas ao ar. A probabilidade de obter exatamente 2 faces iguais é de

(A) (B) (C) (D) (E)

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UNIDADE 1

ATIVIDADES

1.

2.

Observe o diagrama a seguir:

Emanuel levou em sua mala, para uma viagem de três dias, as seguintes peças de roupa: uma calça lisa, uma calça jeans , uma calça estampada, uma camisa de manga comprida, outra de manga curta, uma camiseta e dois pares de sapato, um marrom e outro preto.

Uti lizando a árvore de possibilidades, pode-se afi rmar que Emanuel (A) pode se vesti r de seis formas disti ntas.

(B) pode se vesti r de quatro formas disti ntas usando a calça jeans. (C) pode se vesti r de doze formas disti ntas.

(D) poderia fi car dezoito dias em sua viagem sem repeti r combinações de roupa e sapato. (E) poderia usar apenas um dia a combinação calça jeans e camiseta.

6 8 34 3 4 1 2 3 8 1 4 1 8 Cara Cara Cara Cara Cara Cara Cara Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa Coroa 1ª Moeda

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Gabarito: D Solução

Professor(a), como a ati vidade pede ao estudante para determinar a solução através do diagrama de árvore, então o estudante deverá fazê-lo, pois com as opções dadas fi ca fácil determinar a resposta.

Gabarito: B

Solução

Usando o princípio fundamental da contagem tem-se: 96 = 4 × 6 × 4, logo ela irá ter mais duas novas CL SP SP SP SM SM SM SP SP SP SM SM SM SP SP SP SM SM SM cl cc ca cl cc ca cl cc ca CJ CE

3.

Observe o diagrama a seguir:

Essa representação mostra as combinações das peças do vestuário do guarda-roupa de Aline.

Com a atual quanti dade de peças de roupa, Aline poderia fi car até 24 dias sem repeti r uma combinação de peças de seu vestuário. Para que esse valor seja de 96 formas diferentes e que Aline não irá adquirir mais chapéus, ela deverá ter em seu guarda-roupas

(A) sete calças e quatro blusas.

(B) mais duas calças novas e mais três blusas novas. (C) cinco calças e cinco blusas.

(D) mais uma calça nova e mais quatro blusas novas. (E) cinco calças e mais duas novas blusas.

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Gabarito: E Solução Gabarito: D Solução Gabarito: A Solução

4.

5.

6.

Observe a expressão a seguir:

Para n natural, n≥2, essa expressão simplificada é igual a (A) n!.

(B) (n - 1)!. (C) (n + 1)!. (D) n ∙ (n + 1)!. E) (n - 2)!.

Essa expressão simplificada é igual a (A) n.

(B) n - 1. (C) n - 2. (D) n - 3. (E) n - 4.

Essa expressão simplificada é igual a (A) 2n. (B) 2n - 1. (C) 2n² - 2. (D) 4n² - 2n. (E) 4n² - 3n. (n - 4)! (n - 3)! (2n)! (2n - 2)! (n - 4)! (n - 3)! = (n - 4) ∙ (n - 3) ∙ (n - 2) ∙∙∙ 3 ∙2 ∙1(n - 3) ∙ (n - 2) ∙∙∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = n - 4 (2n)! (2n - 2)! = 2n ∙ (2n - 1) ∙ (2n - 2) ∙ (2n - 3) ∙ (2n - 4)∙∙∙(2n - 2) ∙ (2n - 3) ∙ (2n - 4) ∙∙∙ = 2n ∙ (2n - 1) = 4n² - 2n 1 n n² ∙ (n - 2)! ∙ 1 -

(

1 n n² ∙ (n - 2)! ∙ 1 - = n² ∙ (n - 2)! ∙ n - 1 = n ∙ (n - 1) ∙ (n - 2)! = n! n

(

n² ∙ (n - 1) ∙ (n - 2)! n =

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7.

8.

9.

Observe a expressão a seguir:

Arnaldo irá a praia e deseja utilizar um modelo básico composto por: uma camiseta, uma bermuda, um boné e um chinelo. Sabe-se que ele possui 8 camisetas, 3 bermudas, 2 bonés e 2 chinelos. Assinale a alternativa correspondente ao número de maneiras distintas que Arnaldo poderá se vestir.

(A) Exatamente 15 maneiras. (B) Entre 40 e 50 maneiras. (C) Entre 60 e 70 maneiras. (D) Exatamente 88 maneiras. (E) Mais de 94 maneiras.

As unidades do Aprender + de Matemática possuem 10 questões de múltipla escolha, onde cada uma possui 5 opções distintas.

A quantidade de gabaritos distintos dessa atividade é igual a (A) 9 765 625. (B) 7 812 500 (C) 1 953 125. (D) 1 562 500. (E) 390 625. n - 1 ! n + 1 ! - n! = 1 81

Assinale a alternativa correspondente ao valor numérico de n. (A) seis (B) oito (C) nove (D) onze (E) treze Gabarito: C Solução Gabarito: E Solução

Pelo P.F.C. temos: 8 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2 = 96 maneiras distintas.

Gabarito: A

Solução

Pelo Princípio Fundamental da Contagem (P.F.C.) temos:

5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 5 = 510 = 9 765 625 maneiras distintas. n - 1 ! n + 1 !- n! =81 →1 n - 1 ! n + 1 ∙ n ∙ n - 1 !- n ∙ n - 1 ! = 81 →1 n - 1 ! n - 1 ! n + 1 ∙ n - n =81 →1 → _{n + 1 ∙n - n =}1 _{81 → n + 1 ∙ n - n = 81 → n}1 2 = 81 → n =∓ 81 → n =∓ 9.

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10.

Uma senha de 6 caracteres distintos deve ser formada usando as letras R e O e os números 0; 1; 2 e 3. As senhas devem começar e terminar com letras, mas não é permitido usar o 0 (zero) ao lado do O (letra o). Assinale a alternativa correspondente ao número de possíveis senhas produzidas por essas recomendações. (A) 6 (B) 8 (C) 12 (D) 24 (E) 48 Gabarito: C Solução

A senha deve ser formada da seguinte forma:

Letra – Número – Número – Número – Número – Letra. Como só podemos utilizar duas letras, temos duas opções. R _ _ _ _O

O_ _ _ _ R

O próximo passo é organizar os números. A única restrição que temos é que o zero e a letra O não podem ficar juntos. Desta forma, temos três opções para o algarismo zero. Exatamente as três posições não adjacentes a letra O. Veja:

R 0 _ _ _O R _ 0 _ _ O R _ _ 0_O

Basta agora localizarmos os algarismos 1; 2 e 3. Como restam três posições, o primeiro a ser incluído tem três opções, enquanto o segundo tem duas e o terceiro tem apenas uma.

Daí, pelo Princípio Fundamental da Contagem (PFC): 2 ∙ 3 ∙ 2 ∙1 ∙ 1 = 12 maneiras distintas.

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MATEMÁTICA

APRESENTANDO A UNIDADE 2

O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?

Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas a três subdescritores relacionados às expectativas de aprendizagem do Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, da 2ª Série do Ensino Médio.

As atividades foram elaboradas tendo por base três subdescritores seguindo uma gradação de complexidade entre eles. Assim, pretende-se alcançar as habilidades dos estudantes em definir permutação, arranjo simples e combinação simples.

QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?

Os subdescritores contemplados, a partir dessas expectativas, são:

D32D – Diferenciar permutação, arranjo e combinação. D32E – Determinar números de permutações.

D32F – Determinar o número de arranjos.

As habilidades a serem desenvolvidas, propostas pelas expectativas, são: distinguir permutação, de arranjo simples e combinação simples, determinar o número de permutações e, determinar o número de arranjos.

Assim, as atividades foram elaboradas de forma que proporcionem aos estudantes a aprendizagem dos conceitos aplicados, possibilitando a consolidação dessas habilidades.

QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?

Professor(a), o descritor e os subdescritores aparentemente direcionam para as mesmas atividades. Nas atividades 1, 2, 3 e 4 são abordadas situações onde o estudante deverá identificar um problema que envolve permutação, arranjo simples ou combinação simples. Nas atividades 5, 6, 7 e 8 o estudante deverá determinar o número de permutações e nas atividades 9 e 10 o estudante deverá determinar o número de arranjos.

Os estudantes poderão resolver, individualmente, as atividades, mas é fundamental que eles socializem com os demais colegas. É imprescindível a correção das atividades propostas, de modo que engaje e envolva toda a turma e esclareça as dúvidas que os alunos manifestarem.

Ressaltamos a importância de você, professor (a), discutir outras situações que possam colaborar/ampliar/ sistematizar o conhecimento dos estudantes. Portanto, é fundamental provocar os alunos, percebendo as dificuldades deles e procurando saná-las. Lembrando que o caderno do estudante contempla as expectativas de aprendizagem e alguns descritores. Desta forma, caso identifique alguma lacuna no ensino e/ou aprendizagem do estudante, pesquise outras situações que demonstrem essas habilidades presentes na unidade.

Professor(a), utilize cada atividade, de modo que alcance a proposta desta unidade e, ao mesmo tempo, como instrumento de avaliação para sua prática pedagógica.

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UNIDADE 2

CONTEÚDO(S)

î Análise combinatória.

EIXO(S) TEMÁTICO(S)

î Números e operações.

DESCRITOR(ES) – SAEB

î D32D – Diferenciar permutação, arranjo e combinação. î D32E – Determinar número de permutações.

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UNIDADE 2

ATIVIDADES

1.

2.

3.

Considere as observações a seguir:

I – Todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo p ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro apenas pela natureza de seus elementos.

II – Qualquer grupo ordenado de n elementos.

III – Todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos formar com n elementos distintos, sendo p ≤ n. Cada um desses agrupamentos se diferencia de outro pela ordem ou natureza de seus elementos.

As definições apresentadas correspondem, respectivamente, a (A) permutação simples, arranjos simples e combinação simples. (B) permutação simples, combinação simples e arranjo simples. (C) arranjo simples, permutação simples e combinação simples. (D) arranjo simples, combinação simples e permutação simples. (E) combinação simples, permutação simples e arranjo simples

Considere o problema a seguir:

Dos sete professores de geografia de uma escola três serão escolhidos para representarem a mesma em um congresso de educação. De quantas maneiras pode ser feita a escolha desses professores?

De acordo com as informações o problema apresentado é resolvido a partir de (A) permutação simples.

(B) arranjo simples. (C) combinação simples. (D) arranjo e combinação.

(E) permutação com elementos repetidos.

Uma patrulha possui 12 escoteiros. Destes, serão escolhidos: um chefe de patrulha, um cozinheiro e um observador. Quantas são as possibilidades de escolha?

Gabarito: E

Solução

Permutação Simples: Uma permutação de n elementos distintos é um agrupamento ordenado desses elementos. Arranjo Simples: Um arranjo de n elementos dispostos p a p, com p menor ou igual a n, é uma escolha de p entre esses n objetos na qual a ordem importa.

Combinação Simples: Combinações de n elementos tomados p a p são escolhas não ordenadas desses elementos.

Gabarito: C

Solução

Os agrupamentos são combinações simples, pois invertendo a ordem de escolha dos professores não se altera o grupo.

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4.

5.

6.

Considere a palavra TECLADO. Determine o número total de anagramas que podem ser formados com as letras dessa palavra.

(E) permutação com elementos repetidos.

De quantos modos distintos 4 pessoas podem sentar-se em um banco com 4 lugares? (A) 18

(B) 20 (C) 22 (D) 24 (E) 28

Considere a palavra VIOLA. Determine o número total de anagramas que podem ser formados com as letras dessa palavra.

(A) 60 (B) 80 (C) 120 (D) 160 (E) 240 Gabarito: B Solução

Os agrupamentos são arranjos simples, pois invertendo a ordem de escolha dos escoteiros suas respectivas funções irão se alterar.

Gabarito: A

Solução

A quantidade de anagramas de uma palavra sem a repetição de letras é calculada a partir de permutação simples. Gabarito: D Solução P(4) = 4! P(4) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 Gabarito: C Solução

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7.

8.

9.

Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Utilizando estes algarismos quantos números com 3 algarismos podem ser formados? (A) 70 (B) 81 (C) 210 (D) 343 (E) 420 Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7.

Utilizando estes algarismos quantos números com 3 algarismos distintos podem ser formados? (A) 70

(B) 81 (C) 210 (D) 343 (E) 420

Em uma competição com 10 atletas, de quantos modos distintos podem ser conquistadas as medalhas de Ouro, Prata e Bronze?

(A) 6 (B) 7 (C) 120 (D) 720 (E) 6720 Gabarito: D Solução

Como os algarismos não são distintos temos 7 possibilidades para cada algarismo que compõe o número. Assim,

7 ∙ 7 ∙ 7 = 343

Gabarito: C

Solução

Como os algarismos devem ser distintos temos 7 possibilidades para o primeiro algarismo, 6 possibilidades para o segundo algarismo e 5 possibilidades para o terceiro algarismo que compõe o número. Assim, 7 ∙ 6 ∙ 5 = 210 Gabarito: D Solução A_(m,p)= A_(10,3)= A_(10,3)= A_(10,3)= 10 × 9 × 8 A_(10,3)= 720 10! (10 - 3)! 10! 7! m! (m - p)!

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10.

Uma empresa possui 20 funcionários. Na festa de final de ano serão sorteados três prêmios entre esses funcionários de forma que cada pessoa só ganha um prêmio. O 1º prêmio sorteado será a quantia de R$ 2 000, o 2º prêmio sorteado será a quantia de R$ 1 000 e o 3º prêmio sorteado será a quantia de R$ 500. De quantas maneiras pode ser feito esse sorteio?

(A) 1 140 (B) 3 420 (C) 6 840 (D) 8 540 (E) 10 260 Gabarito: C Solução A_(m,p)= A_(20,3) = A_(10,3) = A_(10,3) = 20∙19∙18 A_(10,3) = 6 840 20! (20 - 3)! 20! 17! m! (m - p)!

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MATEMÁTICA

APRESENTANDO A UNIDADE 3

O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?

Professor (a), esta unidade propõe atividades relacionadas a um descritor da matriz referência Saeb. As atividades foram elaboradas a partir do descritor D32, que traz como habilidade resolver problema de contagem, utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.

QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?

Esta unidade tem por base o descritor D32, que traz como habilidade resolver problema de contagem, utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples. Assim as atividades estão elaboradas permitindo aos estudantes o desenvolvimento desses conceitos através de uma gradação intencional embasadas no descritor que diagnostica a consolidação dessas habilidades no estudante.

QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?

Professor(a), na atividade 1 é necessário que o estudante tenha a habilidade de resolver problema de contagem, utilizando o princípio fundamental de contagem. Na atividade 2 é necessário que o estudante possua a habilidade de resolver problemas utilizando permutação simples. Já na atividade 3 é necessário que o estudante possua a habilidade de resolver problemas utilizando arranjo simples.

Na sequência vem a atividade 4, que necessita do estudante a habilidade de resolver problemas utilizando análise combinatória simples. Nessa mesma direção vem as atividades 5 e 6, onde a habilidade solicitada é resolver os problemas utilizando o princípio fundamental da contagem. Por fim, nas atividades de 7 a 10 o estudante precisa ter a habilidade de resolver problemas que envolvam a análise combinatória.

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MATEMÁTICA

UNIDADE 3

CONTEÚDO(S)

î Análise combinatória.

EIXO(S) TEMÁTICO(S)

DESCRITOR(ES) – SAEB

î D32 – Resolver problema de contagem, utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.

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UNIDADE 3

ATIVIDADES

1.

2.

Rafaela foi ao shopping comprar roupas para levar em uma viagem a trabalho. Ela comprou seis blusinhas, quatro saias e dois pares de sapato do tipo salto alto. Utilizando todas essas opções de blusinhas, saias e sapatos, o número distinto que Rafaela poderá combinar todo o vestuário é

(A) 15. (B) 24. (C) 30. (D) 48. (E) 60.

O número de anagramas que podemos formar a partir das letras da palavra INFORMAR, sendo que eles comecem com “I” e terminem com “AR”, é de?

(A) 120 (B) 720 (C) 1 440 (D) 5 040 (E) 20 160 Gabarito: D Solução

Professor(a), para resolver as atividades de 1 e 10 é necessário que o estudante possua a habilidade de resolver problemas envolvendo contagem, nessa atividade utilizaremos o princípio fundamental de contagem, definido como sendo o produto de duas ou mais etapas independentes. Em notação matemática isso seria o mesmo que considerarmos que uma determinada atividade possa ser realizada em duas etapas, ou seja, de m e n maneiras distintas, o total de possibilidades será dado pelo produto de m por n (m x n).

Pelo princípio fundamental de contagem temos:

Número de blusinhas x número de saia x número de sapatos = 6 ∙ 4 ∙ 2 = 48.

Gabarito: A

Solução

Professor(a), para resolver essa atividade é necessário que o estudante possua a habilidade de resolver problemas utilizando permutação simples, que é cada um dos agrupamentos que podemos formar com certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê apenas pela mudança de posição entre seus elementos. Nessa atividade temos: na primeira posição sempre teremos a letra I, o número de possibilidades nesta posição é igual a 1; para as duas últimas posições temos reservadas as letras A e R;

para as demais posições temos 5 letras disponíveis, calculemos então P6: 5! = 5×4 × 3× 2× 1 = 120

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3.

4.

5.

O número de palavras, com sentido ou não, com 5 letras distintas que se pode formar com 10 letras quaisquer do nosso alfabeto é de

(A) 50. (B) 252. (C) 3 024. (D) 5 000. (E) 30 240.

(OBMEP/2009 – adaptada) O segredo de um cofre é constituído por 2 letras distintas (considere 26 letras do alfabeto) seguidas de três algarismos também distintos. Sabe-se que a primeira letra é uma vogal, a segunda é uma consoante e o último algarismo é par.

Nessas condições o número de tentativas para abrir esse cofre é um número (A) maior que 52 000.

(B) entre 43 000 e 51 000. (C) entre 47 000 e 45 000.

(D) quadrado perfeito entre 40 000 e 42 100. (E) entre 37 500 a 38 200.

(OBMEP/2011 - adaptada) Cada uma das placas das bicicletas de Quixajuba contém três letras.

A primeira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto A = {G, H, L, P, R}, a segunda letra é escolhida dentre os elementos do conjunto B = {M, I, O} e a terceira letra é escolhida dentre os elementos do conjunto C = {D, U, N, T}. Devido ao aumento no número de bicicletas da cidade, teve-se que expandir a quantidade de possibilidades de placas. Ficou determinado acrescentar duas novas letras a apenas um dos conjuntos ou uma letra nova a dois conjuntos.

Gabarito: E

Solução

Professor(a), para resolver essa atividade é necessário que o estudante possua a habilidade de resolver problemas utilizando análise combinatória simples.

Sendo vogal a primeira opção, tem-se 5 possibilidades e para o segundo elemento do segredo tem-se 25 consoantes, como não se pode repetir algarismos, tem-se 9 possibilidades, depois 8 e por fim 7. Logo para encontrar essa senha temos:

Gabarito: E

Solução

Professor(a), para resolver essa atividade é necessário que o estudante possua a habilidade de resolver problemas utilizando arranjo simples. Arranjos são agrupamentos nos quais a ordem dos seus elementos faz a diferença. Para calcular utiliza-se a fórmula:

A_(n,p)= .

Onde n representa o número de elementos e p um natural menor ou igual a n. Logo, A_(n,p) = → A_10,5= → 30 240. n! (n - p)! n! (n - p)! (10 - 5)!10! 5 21 9 8 5 VOGAL Letras Algarismos par (0, 2, 4, 6 ou 8) = 37 800

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Ao acrescentar as duas letras novas, o número maior de novas placas é (A) 100. (B) 96. (C) 90. (D) 60. (E) 40. Gabarito: E Solução

Professor(a), para resolver as ati vidades uti lize as orientações da solução da ati vidade 1, pois trata-se de uma ati vidade que se resolve pelo princípio fundamental da contagem.

Inicialmente é possível fazer o emplacamento de 5 × 3 × 4 = 60 bicicletas. Vamos analisar as duas situações possíveis:

– Aumentamos duas letras em um dos conjuntos. Com isso, podemos ter: A × B × C Número de placas

7 × 3 × 4 84 5 × 5 ×4 100 5 ×3 × 6 90

Assim, com a modifi cação mostrada, o número de novas placas é no máximo 100-60=40. – Aumentar uma letra em dois dos conjuntos. Com isso, podemos ter:

A × B × C Número de placas 6 ×4 × 4 96

6 ×3 × 5 90 5 × 4 × 5 100

Neste caso, o número de placas novas também é no máximo 40. A × B × C Número de placas A × B × C Número de placas A × B × C Número de placas 6 ×4 × 4 96 6 ×3 × 5 90 5 × 4 × 5 100 A × B × C Número de placas A × B × C Número de placas 7 × 3 × 4 84 5 × 5 ×4 100 5 ×3 × 6 90 A × B × C Número de placas

6.

7.

(Unifor/CE - 2013) Um casal e seus quatro fi lhos vão ser colocados lado a lado para ti rar uma foto. Se todos os fi lhos devem fi car entre os pais, de quantos modos disti ntos os seis podem posar para ti rar a foto?

(A) 24 (B) 48 (C) 96 (D) 120 (E) 720

(PUC/RJ - 2009) A senha de acesso a um jogo de computador consiste em quatro caracteres alfabéti cos ou numéricos, sendo o primeiro necessariamente alfabéti co. O número de senhas possíveis será?

(A) 364 (B)10.36³ (C) 26.36³ (D) 264 (E) 10.264 Gabarito: B Solução

Professor(a), para resolver esse item o estudante precisa ter a habilidade de resolver problemas que envolvem o princípio fundamental da contagem. Para isso uti lize as orientações na solução das ati vidades anteriores. Nessa ati vidade os pais deverão ocupar os extremos:

P M ou M P

(30)

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Gabarito: C Solução

Professor(a), para o estudante resolver essa ati vidade ele precisar ter a habilidade de resolver problemas de contagem uti lizando a análise combinatória. Uti lize as orientações das ati vidades anteriores que abordam essa teoria. Nessa ati vidade temos:

Gabarito: C

Solução

Professor(a), para resolver esse item o estudante precisa ter a habilidade de resolver problemas que envolvam a análise combinatória, para isso uti lize as orientações postas na solução da ati vidade 4. Nessa ati vidade temos quatro escolhas, para a primeira, só podemos ter letras, então, temos 26 opções; para a segunda, a terceira e a quarta podemos ter números e letras, então temos 10 (números) + 26 (letras) = 36 opções para cada escolha. Desta forma, teremos 26.36.36.36 senhas possíveis, ou seja, 26.36³.

Gabarito: D

Solução

Professor(a), para o estudante resolver essa ati vidade ele precisar ter a habilidade de resolver problemas de contagem uti lizando a análise combinatória simples. Para isso uti lize as orientações na solução da ati vidade 7. Para essa ati vidade temos:

Consideremos que a ordem não importe, apenas as escolhas. Desta maneira, temos duas escolhas de vogais e três de algarismos, lembrando que estes têm que ser disti ntos.

5∙5∙10∙9∙8→18 000 placas possíveis.

8.

9.

(FAAP/SP – 2011) Quantas motos podem ser licenciadas se cada placa ti ver 2 vogais (podendo haver vogais repeti das) e 3 algarismos disti ntos?

(A) 25000 (B) 120 (C) 120 000 (D) 18 000 (E) 32 000

(COPEVE – MINISTÉRIO PÚBLICO – 2012) Dispomos de cinco cores disti ntas; todas elas deverão ser usadas para pintar cada letra da palavra “COPEVE”, cada letra de uma só cor, e de modo que as vogais sejam as únicas letras pintadas com a mesma cor.

De quantos modos pode ser feito isto? (A) 145 (B) 125 (C) 120 (D) 100 (E) 60 5 5 10 9 8 vogais consoantes

Np = 5 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 1 = 120, logo teremos 120 maneiras de pintarmos a palavra copeve.

(31)

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10.

(COPEVE – CASAL 2014) O Departamento de Recursos Humanos de uma empresa tem oito funcionários. Com esses funcionários, quantas comissões com três membros podem ser formadas?

(A) 8 (B) 28 (C) 56 (D) 488 (E) 5 040 Gabarito: C Solução

Professor(a), para o estudante resolver essa atividade ele precisar ter a habilidade de resolver problemas utilizando combinação simples. Utilize as orientações já vistas anteriormente. Para essa solução tem-se: C_8,3= → 56.8!

(32)

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MATEMÁTICA

APRESENTANDO A UNIDADE 4

O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?

Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas com duas expectativas de aprendizagem do Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, da 2ª Série do Ensino Médio.

As atividades foram elaboradas, tendo por base um descritor e um subdescritor, seguindo uma gradação de complexidade entre eles. Assim, pretende-se alcançar as habilidades dos estudantes em resolver problema de contagem, utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples e determinar o número de elementos de um espaço amostral de um evento.

QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?

E-32 Realizar cálculos utilizando Binômio de Newton.

E-33 Conceituar evento e espaço amostral de um experimento.

O descritor e os subdescritores contemplados, a partir dessas expectativas, são: D32 e D33A. As habilidades a serem desenvolvidas, propostas pelas expectativas, são: realizar cálculos utilizando Binômio de Newton e conceituar evento e espaço amostral de um experimento.

Assim, as atividades foram elaboradas de forma que proporcionem aos estudantes a aprendizagem dos conceitos aplicados, possibilitando a consolidação dessas habilidades.

QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?

Professor(a), o descritor e os subdescritores aparentemente direcionam para as mesmas atividades. Nas atividades 1, 2 e 3 são abordadas a resolução de problema de contagem, utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples. As atividades/ item 4, 5, 6 e 7 abordam cálculos utilizando Binômio de Newton. Finalmente, as atividades 8, 9 e 10 tratam da determinação do número de elementos de um espaço amostral de um evento.

Os estudantes poderão resolver individualmente as atividades, mas, é fundamental que eles socializem com os demais colegas. É imprescindível a correção das atividades propostas de modo que engaje e envolva toda a turma e esclareça as dúvidas que, por ventura, os alunos manifestem.

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MATEMÁTICA

UNIDADE 4

CONTEÚDO(S)

î Análise combinatória. î Probabilidade.

EIXO(S) TEMÁTICO(S)

EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM

î E-32 – Realizar cálculos utilizando Binômio de Newton.

î E-33 – Conceituar evento e espaço amostral de um experimento.

DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)

î D32 – Resolver problema de contagem, utilizando o princípio multiplicativo ou noções de permutação simples, arranjo simples e/ou combinação simples.

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UNIDADE 4

ATIVIDADES

1.

2.

(Escola 2014 /adaptada) Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. Será formado um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país.

Nessas condições, assinale a opção que indica quantas possíveis equipes podem ser formadas. (A) 2 700

(B) 3 500 (C) 4 060 (D) 5 600 (E) 6 700

(Escola 2014 /adaptada) De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Sílvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais?

(A) 70 (B) 90 (C) 100 (D) 120 (E) 220 Gabarito: C Solução

Professor(a), retome com os estudantes a fórmula de combinação simples C_(n,p) =

O número de possíveis grupos pode ser dado por: C_(n,p) =

C_(30,3)= C_(30,3)= C_(30,3)= C_(30,3)= 4 060

Consequentemente, poderão ser formadas 4 060 equipes.

Gabarito: D

Solução

Professor(a), mostre para os estudantes que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois serão formados agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos.

Portanto, o número de posições possíveis é P5 = 5! = 120. 30! 3!(30 - 3)! 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27! 3 ∙ 2 ∙ 1(27)! 30 ∙ 29 ∙ 28 ∙ 27! 3∙2∙1(27)! n! p!(n - p)! n! p!(n - p)!

3.

(Escola 2014 / adaptada) Uma família é composta por seis pessoas (pai, mãe e quatro filhos) que nasceram em meses diferentes do ano. Calcule as sequências dos possíveis meses de nascimento dos

(36)

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4.

Qual é o termo em x5_{no desenvolvimento de (x + 3)}8_?

Gabarito: A

Solução

Sabemos que 1 ano é composto de 12 meses, então devemos determinar o número de sequências através do arranjo de 12 meses, tomados 6 a 6.

Sendo assim, n=12 p=6 A_(n,p)= A_(n,p)= A_(n,p)= A_(n,p)= A_(n,p)= 12∙11∙10∙9∙8∙7 A_(n,p)= 665 280

Portanto, podemos formar 665.280 sequências dos possíveis meses de nascimento dos membros dessa família.

Solução

Professor(a), retome com os estudante que um termo genérico T_(p+1) do desenvolvimento de (a+b)n_, sendo p um número natural, é dado por

T_(p+1) a(n-p)_{∙ b}p_onde = C_(n,p)=

é denominado Número Binomial e C_(n,p) é o número de combinações simples de n elementos, agrupados p a p, ou seja, o número de combinações simples de n elementos de taxa p. Este número é também conhecido como Número Combinatório.

Tratando o binômio, tem-se: n = 8 n - p = 5 → 8 - p = 5 → p = 3 T₍₃₊₁₎= C_(8,3)∙ x(8-3)_{∙ (3)³} = C_(8,3)= = C_(8,3)= = C_(8,3)= = C_(8,3)= 56 T₄= 56 ∙ x5 _{∙ 27} T= 1512 x5 12! 6! 12! (12 - 6)! 12∙11∙10∙9∙8∙7∙6! 6! n! (n - p)! 8 ∙7 ∙6 6 8 ∙7 ∙6 ∙5 ∙4 ∙3 ∙2 ∙1 3 ∙ 2 ∙ 1(5 ∙4 ∙3 ∙2 ∙1) 8! 3!(8 - 3)! n! p!(n - p)! n p n p 8 3 8 3 8 3 8 3

membros dessa família. (A) 665 280

(B) 665 000 (C) 660 028 (D) 600 228 (E) 600 028

(37)

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Gabarito: C Solução

Professor(a), retome com os estudantes a fórmula do termo geral do Binômio de Newton. Dados:

{

n = 6 a = -2

Substi tuindo na fórmula: T_(p+1)= (-1)p_(-2)p_{∙ x}(6-p)

O termo independente de uma equação é aquele que é coefi ciente de x0_. Então, 6 – p = 0 - p = -6 p = 6 Logo, T_(p+1)= (-1)6_(-2)6_{∙ x}(6-6) T₇= 1 ∙ 1 ∙ 64 ∙ x0 T₇= 64

Portanto, o termo independente é 64.

Gabarito: E

Solução

Professor(a), converse com os estudantes que para resolver essa ati vidade é necessário uti lizar a fórmula (a+b)n → T_(k+1)= a(n-k)_∙bp

Aplicando a fórmula vamos encontrar o 4º termo.

Quarto termo → T₄= T_(k+1), então 4 = k + 1 = > k = 4 – 1 = > k = 3. Precisamos saber o valor de a, n, e b.

T₍₃₊₁₎= (3x)(5-3)_{∙ 4³} Tratando o binômio, tem-se =

=

5.

6.

O termo independente da expansão da expressão (x-2)6_é:

(A) 21 (B) 38 (C) 64 (D) 78 (E) 86

Determinar o quarto termo do desenvolvimento de (3x+4)5_.

(A) 576x² (B) 760x² (C) 3 760x² (D) 4 700x² (E) 5 760x² 6 p n k 5 3 t p 5 3 6 6 (3x + 4)5 n a b a = 3x b = 4 n = 5 k = 3 t! p!(t - p)! 5! 3!(5 - 3)!

(38)

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= = = = 10 Logo, T_(k+1)= a(n-k)_{∙ b}p_{→ T} 4 = (3x)(5-3) ∙ 4³ → T4 = 10 ∙ (3x)(5-3) ∙ 4³ → T4 = 90x² ∙ 64 → T4 = 5760x². O quarto termo é 5760x². 5! 3!(2)! 5∙4∙3∙2∙1 3∙2∙1∙2∙1 20 2 5 3 5 3 5 3 5 3 5 3 n k

7.

8.

(UF. Viçosa) A soma dos coefi cientes do desenvolvimento de (2x+3y)m é 625. O valor de m é igual a (A) 3.

(B) 4. (C) 5. (D) 6. (E) 10.

Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num determinado lance, o juiz reti ra, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade da face que o juiz vê ser vermelha e da outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é

(A) . (B) . (C) . (D) . (E) . Gabarito: B Solução

Professor(a), mostre para os estudantes que para somar os coefi cientes, teremos x = 1 e y = 1 (2 ∙ 1 + 3 ∙ 1) (2 ∙ 1 + 3 ∙ 1)m _{= 5}m 5m _{= 625 → m = 4} Logo, o valor de m é 4. 1 2 (A) . 2 5 (B) . 1 5 (C) . 2 3 (D) . 1 6 (E) . Gabarito: E Solução

Professor(a), retome com os estudantes o conceito de eventos independentes. Dizemos que dois eventos são independentes quando a realização ou a não-realização de um dos eventos não afeta a probabilidade da realização do outro e vice-versa.

Sejam: A = evento cartão com as duas cores e

B = evento face vermelha para o juiz, tendo ocorrido o cartão de 2 cores. P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B/A)

P(A) = e P = (Probabilidade condicional – ocorre B, se ocorrer A) P(A ∩ B)= ∙ =

B A

P(A) = e P = (Probabilidade condicional – ocorre B, se ocorrer A)1 3

P(A) = e P = (Probabilidade condicional – ocorre B, se ocorrer A) 1

3 P(A ∩ B)= ∙ =

1 2

P(A) = e P = (Probabilidade condicional – ocorre B, se ocorrer A) 1

2 P(A ∩ B)= ∙ = 1

(39)

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Gabarito: D Solução

Professor(a), mostre aos estudantes que através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.

Como cada moeda pode produzir dois resultados disti ntos, três moedas irão produzir 2 ∙ 2 ∙ 2 resultados disti ntos, ou seja, poderão produzir 8 resultados disti ntos. Este é o espaço amostral.

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:

P(E) = → P(E) = → P(E) = → P(E) = 0,25 → P(E) = 0,25 ∙ 100% → P(E) = 25%.

A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%. 2 8 14 n(E) n(S)

9.

10.

Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles (sem repeti r). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos números formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser par?

(A) (B) (C) (D) (E)

Três moedas são lançadas ao mesmo tempo.

Assinale a opção que indica a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima. (A) 10% (B) 15% (C) 20% (D) 25% (E) 50% 1 7 3 7 3 5 5 7 4 5 18 42 37 Gabarito: B Solução

Professor(a), mostre aos estudantes que temos 7 possibilidades de escolha do primeiro algarismo dos números e seis escolhas do segundo algarismo (os números não podem ter algarismos repeti dos). Assim, temos 7 ∙ 6 = 42 casos possíveis. Para o número ser par deverá terminar em 2, 4 ou 6. Devemos ter 3 possibilidades (2, 4, 6) associadas a 6 possibilidades (não podem ter algarismos repeti dos). Assim, temos 3 ∙ 6 = 18 casos favoráveis. Logo a probabilidade será:

(40)

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MATEMÁTICA

APRESENTANDO A UNIDADE 5

O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?

Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas a duas expectativas de aprendizagem do Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, da 2ª série do Ensino Médio.

As atividades foram elaboradas seguindo uma gradação de complexidade entre elas. Assim, pretende-se alcançar o depretende-senvolvimento das habilidades dos estudantes em conceituar evento e espaço amostral de um experimento, calcular a probabilidade de um evento e resolver problemas utilizando a probabilidade da união de eventos.

QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?

E-33 Conceituar evento e espaço amostral de um experimento. E-34 Calcular a probabilidade de um evento.

E-36 Resolver problemas utilizando a probabilidade da união de eventos. Os subdescritores contemplados, a partir dessas expectativas, são:

D33A – Determinar o número de elementos de um espaço amostral de um evento; D33B – Calcular a probabilidade de um evento simples e

D33C – Calcular a probabilidade da união entre dois eventos (mutuamente exclusivos ou não). As habilidades a serem desenvolvidas, propostas pelas expectativas estão contempladas nas atividades elaboradas, permitindo aos estudantes o desenvolvimento dos conceitos abordados por meio de uma gradação intencional.

QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?

Professor(a), na atividade 1 os estudantes encontrarão o número de elementos de um espaço amostral de um evento. As atividades 2, 3, 4 e 5 focam no cálculo da probabilidade de um evento simples.

A habilidade de calcular a probabilidade da união entre dois eventos (mutuamente exclusivos ou não) é contemplada nas atividades 6, 7, 8, 9 e 10.

Os estudantes poderão resolver, individualmente, as atividades; mas, é fundamental que eles socializem com os demais colegas. É imprescindível a correção das atividades propostas, de modo que engaje e envolva toda a turma e esclareça as dúvidas que, por ventura, os alunos manifestarem.

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MATEMÁTICA

UNIDADE 5

CONTEÚDO(S)

î Probabilidade.

EIXO(S) TEMÁTICO(S

EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM

î E-33 – Conceituar evento e espaço amostral de um experimento. î E-34 – Calcular a probabilidade de um evento.

î E-3 – Resolver problemas utilizando a probabilidade da união de eventos.

DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)

î D33A – Determinar o número de elementos de um espaço amostral de um evento. î D33B – Calcular a probabilidade de um evento simples.

(42)

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UNIDADE 5

ATIVIDADES

1.

2.

Três dados com seis faces serão lançados.

O número de combinações dos resultados possíveis é de (A) 18.

(B) 36. (C) 92. (D) 142. (E) 216.

Uma bola será reti rada de uma sacola contendo 5 bolas azuis e 7 bolas vermelhas. A probabilidade desta bola ser azul é

(A) (B) (C) (D) (E) Gabarito: E Solução

Professor(a), o espaço amostral será determinado pelo produto do número de faces dos dados, assim tem-se: 6 × 6 × 6 = 216

Gabarito: B

Solução

O espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser reti rada uma bola azul está na razão de 5 para 12.

Sendo S o espaço amostral e E o evento da reti rada de uma bola azul, matemati camente, podemos representar a resolução assim:

P(E) = P(E)= 12 5 5 12 12 7 5 7 7 12 n(E) n(S) 5 12

(44)

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Solução

a) temos 7 possibilidades de escolha do primeiro algarismo dos números e 6 escolhas do segundo algarismo (os números não podem ter algarismos repeti dos). Assim, temos 7 ∙ 6 = 42 casos possíveis.

Para o número ser par deverá terminar (unidade) em 2, 4 ou 6. Devemos ter 3 possibilidades (2, 4, 6) associadas a 6 possibilidades (não podem ter algarismos repeti dos). Assim, temos 3 ∙ 6 = 18 casos favoráveis. Logo a probabilidades será:

P(par) = = b) Casos possíveis = 42 Casos favoráveis = 1 ∙ 6 = 6

Gabarito: E

Solução

Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou todas serão cara ou todas coroa, então a probabilidade será dada por:

P(E) = P(E) = = P(E) = 0,25 P(E) = 0,25∙100% = 25%

4.

5.

A probabilidade de no lançamento de 4 moedas obtermos cara em todos os resultados é de (A) 3,8%.

(B) 2,25% (C) 4,85%. (D) 5,2%. (E) 6,25%

Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construímos todos os números que podem ser representados usando dois deles (sem repeti r). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos números formados, qual a probabilidade de o número sorteado ser:

a) par b) múlti plo de 5 n(E) n(S) 2 8 P(E) = = 1₄ 1 16 18 42 P(par) = = 3₇

A probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima é (A) 8%. (B) 12%. (C) 15%. (D) 20%. (E) 25%. Gabarito: E

Solução: Primeiramente, é necessário encontrar o número total de possibilidades de resultados: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16

Posteriormente, devemos encontrar o número de possibilidades de obter cara em todos os resultados. Na realidade, só existe uma possibilidade de que isso aconteça.

Por fi m, basta dividir o segundo pelo primeiro: = 0,0625

Multi plicando 6,25 por 100, para obter um percentual, temos: 6,25%

(45)

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6.

7.

Os bilhetes de uma rifa são enumerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser maior que 40 ou um número par é de (A) 90%. (B) 80%. (C) 70%. (D) 60%. (E) 50%.

Num único lance de um par de dados honestos, a probabilidade de sair um número em que a soma seja um múlti plo de 4 ou um número primo é de

(A) 1/3 (B) 1/4 (C) 1/5 (D) 2/3 (E) 2/5 Gabarito: B Solução n(U) = 100

A = maior que 40 → n(A) = 60 e B = ser par → n(B) = 50 P(A) = = e P(B) = =

n(A∩B) = 30

pois existem 60 números maiores que 40 e a metade deles,30,são pares� P(A∩B) = =

P(A B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% . 60 100 P(A) = = e P(B) = = 30 100 P(A∩B) = = 50 100 P(A) = = e P(B) = =3 5 P(A) = = e P(B) = = 3 10 ₃ 5 B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% .1 2 B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% .3 10 B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% .6 10 B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% .5 10 B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% .3 10 B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% .8 10 B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = + - = + - = = 80% . 1 2 Gabarito: D Solução

Veja o esquema a seguir:

9 36 9 36 15 36 15 36 2436 23 P(A)= e P(B) e P(A∩B) = 0 P(A B) = + = = 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12

A = soma ser múlti plo de 4 B = Soma ser primo

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Ao reti rar uma carta de um baralho de 52 cartas, a probabilidade desta carta ser vermelha ou um ás é de (A) . (B) . (C) . (D) . (E) . Gabarito: A Solução P(1) = x P(6) = 2x P(2) = P(3) = P(4) = P(5) =1/6 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 → x + + + + + 2x = 1 3x = 1 - → 3x = - → 3x = → .∙. P(1) = Gabarito: D Solução n(Ω) = 52

Evento A:a carta é vermelha =

>

n(A) = 26 Evento B:a carta é ás =

>

n(B)=4

n(A∩B) = 2

P(A B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) P(A B) = + - =

>

P(A B) =

8.

Ao lançar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face saía com o dobro de frequência da face 1, e que as outras faces saíam com a frequência esperada em um dado não viciado.

A frequência da face 1 é igual a (A) . (B) . (C) . (D) . (E) . 1 6 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 → x + + + + + 2x = 1 26 52 B) = + - = 1 9 3x = 1 - → 3x = - → 3x = → 1 9 P(1) = 2 6 3x = 1 - → 3x = - → 3x = → 6 6 3x = 1 - → 3x = - → 3x = → 4 6 3x = 1 - → 3x = - → 3x = → 4 6 3x = 1 - → 3x = - → 3x = → 1 6 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 → x + + + + + 2x = 1 4 52 B) = + - = 1 6 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 → x + + + + + 2x = 1 2 52 B) = + - = 1 6 P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1 → x + + + + + 2x = 1 28 52 1 9 (A) . 1 6 (B) . 2 9 (C) . 2 52 (A) . 4 52 (B) . 26 52 (C) . 28 52 (D) . 30 52 (E) . 2 6 (D) . 6 9 (E) .

9.

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Uma urna contém 20 bolas idênti cas numeradas de 1 a 20. Extraindo-se uma bola ao acaso dessa urna, qual a probabilidade de o número da bola sorteada ser:

a) múlti plo de 2 ou 3? b) múlti plo de 5 ou 7?

10.

Solução:

a) consideramos os seguintes eventos: A =

>

o número múlti plo de 2:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}

B =

>

o número múlti plo de 3:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} B = {3, 6, 12, 15, 18}

A ∩ B = {6, 12, 18} = = 60%. b) consideramos os seguintes eventos: A → o número é múlti plo de 5:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} A = {5, 10, 15, 20} =

B → o número é múlti plo de 7:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20} B = {7, 14} =

Como A ∩ B = Ø, então P(A U B) = P(A) + P(B) = = 30% 12

20

A ∩ B = {6, 12, 18} = = 60%.

6 20 Como A ∩ B = Ø, então P(A U B) = P(A) + P(B) = = 30%

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MATEMÁTICA

APRESENTANDO A UNIDADE 6

O QUE SABER SOBRE ESTA UNIDADE?

Professor(a), esta unidade propõe atividades relacionadas a três expectativas de aprendizagem do Currículo Referência da Rede Estadual de Educação de Goiás de Matemática, 2ª série do Ensino Médio.

As atividades foram elaboradas a partir dessa expectativa e de um subdescritor que diagnostica a habilidade dos estudantes em resolver problemas que envolvam cálculos de probabilidade. Neste módulo trabalha-se com probabilidade de eventos complementares e condicional.

Assim, pretende-se que os estudantes construam suas habilidades de modo que possam resolver esses problemas compreendendo a diferença entre o espaço amostral e os eventos.

QUAIS EXPECTATIVAS DE APRENDIZAGEM/DESCRITORES ESTÃO EM FOCO?

î E-35 Resolver problemas envolvendo o cálculo de probabilidades.

î E-37 Resolver problemas envolvendo a probabilidade de eventos complementares. î E-38 Resolver problemas envolvendo a probabilidade condicional.

As atividades foram elaboradas tendo por base, além das expectativas de aprendizagem, o subdescritor D33D. Este subdescritor diagnostica a habilidade dos estudantes em calcular a probabilidade condicional, porém as atividades envolvem também a probabilidade de evento complementares. Outro aspecto observado nessas atividades, é a capacidade dos estudantes em diferenciar espaço amostral, evento e experimento aleatório.

As atividades estão elaboradas permitindo aos estudantes o desenvolvimento desses conceitos através de uma gradação intencional, embasadas nas expectativas e subdescritores, os quais avaliam a consolidação dessas habilidades.

QUAIS AS ATIVIDADES PROPOSTAS?

Professor(a), nas atividades 1, 2, 3 e 4 os estudantes deverão resolver problemas que envolvam o cálculo de uma probabilidade condicional. Nas atividades 5, 6 e 7 trabalha-se a habilidade do estudante em resolver problemas que envolvam probabilidade de eventos complementares. Nas atividades 8, 9 e 10 trabalha-se a habilidade dos estudantes em resolver problemas que, de forma geral, envolvam probabilidade.

Caso seja necessário, amplie e acrescente novas atividades de forma que esse conhecimento possa se consolidar.

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MATEMÁTICA

UNIDADE 6

CONTEÚDO(S)

î Probabilidade.

EIXO(S) TEMÁTICO(S)

î Números e Operações.

EXPECTATIVA DE APRENDIZAGEM

î E-35 – Resolver problemas envolvendo o cálculo de probabilidades.

î E-37 – Resolver problemas envolvendo a probabilidade de eventos complementares. î E-38 – Resolver problemas envolvendo a probabilidade condicional.

DESCRITOR(ES) – SAEB / SUBDESCRITOR(ES)

î D33D – Calcular a probabilidade condicional.

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UNIDADE 6

ATIVIDADES

1.

2.

3.

Pretende-se obter 6 como resultado da soma dos números apresentados nas faces de dois dados enumerados de 1 a 6, não viciados, voltadas para cima, lançados simultaneamente.

A probabilidade desse acontecimento tem como percentual um valor aproximado igual a (A) 13,9%.

(B) 14,9%. (C) 13,5%. (D) 14,5%. (E) 14,7%.

Em uma sacola foram colocadas 13 bolas brancas e 7 bolas verdes.

Determine, em percentual, a probabilidade de se reti rar, ao acaso, uma bola branca.

Sabe-se que em um lote de 12 peças, 4 possuem defeitos.

Se reti ramos 3 peças aleatoriamente, uma após a outra, a probabilidade de todas elas serem sem defeito é igual a (A) (B) (C) (D) (E) Gabarito: A Solução

Em cada dado, o espaço amostral é de 6 eventos, logo, dois dados temos que o espaço amostral terá 6×6 elementos, totalizando 36.

Assim, no lançamento dos dois dados, as possibilidades de se obter 6 nas faces voltadas para cima, será: (2 e 4),(4 e 2),(1 e 5),(5 e 1),(3 e 3).

P = P = 0,139 P= 13,9%

Solução

O espaço amostral possui 20 elementos, assim, a probabilidade de se reti rar uma bola branca está na razão de 13 para 20.

Logo, temos: P(E) = → = 65%

O percentual da probabilidade de se reti rar uma bola branca é de 65%. 5

36

n(E) n(S)

Logo, temos: P(E) = → = 65%13₂₀ Logo, temos: P(E) = → = 65%

8 12 14 55 24 50 6 10 16 3