Estatística e Probabilidade EST202 Prof.:Anderson Ribeiro Duarte Lista de Exercícios 1

Prof.:Anderson Ribeiro Duarte

Lista de Exerc´ıcios 1

1. Foram registradas as seguintes medidas para o tempo de secagem, em horas, de uma certa marca de tinta l´atex:

3, 5 2, 6 4, 8 2, 9 3, 6 2, 8 3, 3 5, 6 3, 7 2, 8 4, 4 4, 0 5, 2 3, 0 4, 8

Suponha que os dados anteriores sejam uma amostra aleat´oria simples.

(a) Calcule a m´edia amostral para este conjunto de dados; (b) Calcule a mediana amostral;

(c) Calcule a variˆancia amostral e o desvio padr˜ao amostral; (d) Calcule os quartis amostrais.

2. De acordo com o jornal Chemical Engineering, uma importante pro-priedade da fibra ´e sua absor¸c˜ao de ´agua. Uma amostra aleat´oria de 20 peda¸cos de fibra de algod˜ao foi retirada e a absorva¸c˜ao de cada peda¸co foi medida. Temos os seguintes valores de absor¸c˜ao:

18, 71 21, 41 20, 72 21, 81 19, 29 22, 43 20, 17 23, 71 19, 44 20, 50 18, 92 20, 33 23, 00 22, 85 19, 25 21, 77 22, 11 19, 77 18, 04 21, 12

(a) Calcule a m´edia e a mediana amostral para este conjunto de da-dos;

(b) Calcule a variˆancia amostral e o desvio padr˜ao amostral; (c) Calcule os quartis amostrais.

3. As seguintes pontua¸c˜oes representam as notas no exame final de um curso de Estat´ıstica e Probabilidade:

23 60 79 32 57 74 52 70 82 36 80 77 81 95 41 65 92 85 55 76 52 10 64 75 78 25 80 98 81 67 41 71 83 54 64 72 88 62 74 43 60 78 89 76 84 48 84 90 15 79 34 67 17 82 69 74 63 80 85 61

(a) Estabele¸ca uma tabela de frequˆencias com 5 classes; (b) Construa um histograma;

(c) Calcule a m´edia, a mediana, o desvio padr˜ao, quartis amostrais utilizando sua tabela de frequˆencias;

(d) Calcule a m´edia, a mediana, o desvio padr˜ao, quartis amostrais utilizando os dados e compare com os resultados anteriores; (e) Construa um gr´afico Box-plot para os dados e escreva um pequeno

texto explicativo sobre suas conclus˜oes com base neste gr´afico.

4. O teor de nicotina, em miligramas, em 40 cigarros de certa marca foi registrado como segue:

1, 09 1, 92 2, 31 1, 79 2, 28 1, 74 1, 47 1, 97 0, 85 1, 24 1, 58 2, 03 1, 70 2, 17 2, 55 2, 11 1, 86 1, 90 1, 68 1, 51 1, 64 0, 72 1, 69 1, 85 1, 82 1, 79 2, 46 1, 88 2, 08 1, 67 1, 37 1, 93 1, 40 1, 64 2, 09 1, 75 1, 63 2, 37 1, 75 1, 69

(a) Estabele¸ca uma tabela de frequˆencias com 5 classes (utilize um tamanho de classe inferior a 1);

(b) Construa um histograma;

(c) Calcule a m´edia, a mediana, o desvio padr˜ao, quartis amostrais utilizando sua tabela de frequˆencias;

(d) Construa um gr´afico Box-plot (considerando os valores extremos) para os dados e escreva um pequeno texto explicativo sobre suas conclus˜oes com base neste gr´afico;

(e) Retire os valores extremos da amostra e reconstrua o gr´afico Box-plot (considerando somente os valores n˜ao extremos) para os dados e escreva um pequeno texto comparativo sobre suas conclus˜oes com base neste gr´afico em rela¸c˜ao ao anterior.

5. (Exerc´ıcio Computacional) Na tabela abaixo s˜ao mostrados os tempos de ocupa¸c˜ao (em segundos) para 3 tipos de m´aquinas ATM (1, 2 e 3) instaladas em Bancos em 3 locais distintos na cidade (A, B e C).

M´aquina Local A Local B Local C 1 520621 735577 297562 1 209663 734288 200683 1 215488 751430 201712 1 217342 760310 201299 1 225054 800010 202698 1 225427 890530 204976 1 228291 589942 205336 1 230314 624890 208828 1 230314 625608 209426 1 236938 627958 211355 2 240806 735577 212199 2 242787 781721 212263 2 247526 589942 213851 2 256319 625608 214114 2 262904 627958 214913 2 264201 630978 215194 2 269224 633007 216438 2 272236 636642 217064 2 300216 641738 217728 2 309722 651808 220194 3 310414 653388 222792 3 318212 664107 224816 3 323472 666074 225531 3 323517 667323 225612 3 338636 667639 227054 3 361692 673316 228269 3 365802 673733 229798 3 370109 675555 234762 3 375895 682731 235781 3 382941 682764 236561

Para cada combina¸c˜ao entre tipo de m´aquina e local calcule a m´edia e o desvio-padr˜ao e comente diferen¸cas aparentemente significativas.

6. Uma institui¸c˜ao de ensino est´a oferecendo um curso tecn´ologo, para este curso, s˜ao ofertadas 8 disciplinas b´asicas {B1, B2, . . . , B8}, e 10

disciplinas especiais {E1, E2, . . . , E10}. O curso necessita de 5

disci-plinas b´asicas e 4 disciplinas especiais para ser integralizado.

(a) Quantos op¸c˜oes de escolha de disciplinas existem para integral-iza¸c˜ao do curso?

(b) Se considerarmos que B1 ´e pr´e-requisito para{E1, E2, . . . , E5} e

que B2 e B3 s˜ao pr´e-requisitos para {E6, E7, . . . , E10}. Quantas

op¸c˜oes de escolha de disciplinas existem para integraliza¸c˜ao do curso?

7. Um par de dados ´e lan¸cado. Determine a probabilidade de se obter:

(a) Um total de 8;

(b) No m´aximo, um total de 5.

8. Quatro bits s˜ao transmitidos em um canal digital de comunica¸c˜oes. Cada bit ´e distorcido ou recebido sem distor¸c˜ao. Seja Ai, o evento em

que o i-´esimo bit ´e distorcido, i = 1, 2, 3, 4.

(a) Descreva o espa¸co amostral para esse experimento; (b) Os eventos Ai s˜ao disjuntos?

(c) Descreva o evento (A1∩ A2)∩ (A3∩ A4).

9. Em replica¸c˜ao controlada, c´elulas s˜ao replicadas em um per´ıodo de dois dias. DNA rec´em-sintetizado n˜ao pode ser replicado novamente at´e que a mitose esteja completa. Dois mecanismos de controle foram identificados - um positivo e um negativo. Suponha que uma replica¸c˜ao seja observada em trˆes c´elulas. Seja A o evento em que todas as c´elulas s˜ao identificadas como positivas e B o evento em que todas c´elulas s˜ao negativas. Descreva o espa¸co amostral e mostre os seguintes eventos: (a)A (b)B (c)A∩ B (d)A∪ B

10. Amostras de uma pe¸ca de alum´ınio fundido s˜ao classificadas com base no acabamento (em micropolegadas) da superf´ıcie e no acabamento de borda. Os reultados de 100 pe¸cas s˜ao resumidos a seguir:

borda excelente bom superf´ıcie excelente 80 2

bom 10 8

(a) Seja A o evento em que um item da amostra tem excelente acaba-mento da superf´ıcie e seja B o evento em que um item da amostra tem excelente acabamento de borda. Determine o n´umero de itens em ¯A∩ B; ¯B e A∪ B;

(b) Determine os poss´ıveis resultados para uma sequˆencia de dois itens considerando o acabamento de superf´ıcie e de borda.

11. O tempo de enchimento de um reator ´e medido em minutos (e fra¸c˜oes de minutos). Seja o espa¸co amostral formado por n´umeros reais e positivos.Defina os eventos A e B como segue:

A ={x ∈ R+|x < 72, 5} B ={x ∈ R+|x > 52, 5}

Descreva os seguintes eventos: (a) ¯A (b) ¯B (c)A∩ B (d)A∪ B

12. Em uma planta qu´ımica, 24 tanques de reten¸c˜ao s˜ao usados para a armazenagem do produto final. Quatro tanques s˜ao selecionados ao acaso e sem reposi¸c˜ao. Suponha que seis dos tanques contenham ma-terial em que a viscosidade exceda os requerimentos dos consumidores.

(a) Qual a probabilidade de exatamente um tanque na amostra con-ter macon-terial com alta viscosidade?

(b) Qual ´e a probabiliade de no m´ınimo um tanque na amostra conter material com alta viscosidade?

(c) Em adi¸c˜ao aos seis tanques com altos n´ıveis de viscosidade, quatro tanques diferentes contˆem materiais com altos n´ıveis de impureza. Qual a probabilidade de exatamente um tanque na amostra con-ter macon-terial com alta viscosidade e exatamente um tanque na amostra conter materia com altos n´ıveis de impureza?

13. O espa¸co amostral de um experimento aleat´orio ´e {a, b, c, d, e} com probabilidades 0, 1; 0, 1; 0, 2; 0, 4 e 0, 2, respectivamente. Fa¸ca A deno-tar o evento{a, b, c} e B denotar o evento {c, d, e}. Determine: (a) P (A) (b) P (B) (c) P ( ¯A) (d) P (A∪ B) (e) P (A∩ B) 14. Pedidos de compras de um computador s˜ao sumarizados pelos itens

opcionais solicitados como segue:

propor¸c˜ao de pedidos de compras nenhum item opcional 0, 3

um item opcional 0, 5 mais de um item opcional 0, 2

(a) Qual ´e a probabilidade de um pedido de compras solicitar no m´ınimo um item opcional?

(b) Qual a probabilidade de um pedido de compras n˜ao solicitar mais de um item opcional?

15. Suponha que seu ve´ıculo seja licenciado em um estado que emita placas que consistam em trˆes d´ıgitos (entre 0 e 9), seguidos de trˆes letras (entre A e Z).Se um n´umero de placa for selecionado aleatoriamente, qual a probabilidade de seu ve´ıculo ser selecionado?

16. Cabos de fio de cobre, provenientes de um fabricante, s˜ao analisados em rela¸c˜ao `a resistˆencia e `a condutividade. os resultados de 100 cabos s˜ao dados a seguir:

resistˆencia alta baixa alta condutividade 74 8 baixa condutividade 15 3

(a) Se um cabo for selecionado ao acaso, qual a probabilidade de seu condutividade ser alta ou sua resistˆencia ser alta?

(b) Se um cabo for selecionado ao acaso, qual a probabilidade de seu condutividade ser baixa ou sua resistˆencia ser baixa?

(c) Considere o evento em que o cabo selecionado ao acaso tem baixa condutividade e o o evento em que o cabo selecionado ao acaso tem baixa resistˆencia. Esses eventos s˜ao disjuntos?

17. Um sistema de computadores usa senhas, que s˜ao de seis caracteres (entre 26 letras ou 10 d´ıgitos num´ericos). Letras s˜ao mai´usculas n˜ao s˜ao usadas. Seja A o evento em que uma senha comece com uma vogal e seja B em que uma senha termine com um n´umero par. Suponha que um invasor selecione uma senha ao acaso, determine:

(a) P (A) (b) P (B) (c) P (A∩ B) (d) P (A∪ B)

18. Discos de pl´astico de policarbonato, provenientes de um fornecedor, s˜ao analisados com rela¸c˜ao `a resistˆencia a aranh˜oes e a choques. Os resultados de 100 discos analisados s˜ao:

resistˆencia a choques alta baixa resistˆencia alta (arranh˜oes) 70 9 resistˆencia baixa (arranh˜oes) 16 5

Seja A o evento em que o disco tenha alta resistˆencia a choque e seja B o evento em que o disco tenha alta resistˆencia a arranh˜oes. Determine: (a) P (A) (b) P (B) (c) P (A|B) (d) P (B|A)

19. A an´alise de resultados de um experimento de transmuta¸c˜ao de uma folha (tornando uma folha em uma p´etala) ´e resumido pelo tipo de transforma¸c˜ao completada:

transforma¸c˜ao textura alta n˜ao transforma¸c˜ao cor (sim) 243 26 transforma¸c˜ao cor (n˜ao) 13 18

(a) Se a folha completar a transforma¸c˜ao da cor, qual ´e a probabili-dade de que ela completar´a a transforma¸c˜ao textural?

(b) Se a folha n˜ao completar a transforma¸c˜ao textural, qual ´e a prob-abilidade de que ela completar´a a transforma¸c˜ao da cor?

20. Um lote de 100 chips semicondutores cont´em 20 itens defeituosos. Dois deles s˜ao selecionados, ao acaso e sem reposi¸c˜ao.

(a) Qual a probabilidade de que o primeiro selecionado seja defeitu-oso?

(b) Qual a probabilidade de que o segundo selecionado seja defeitu-oso, dado que o primeiro foi defeituoso?

(c) Qual a probabilidade de que ambos sejam defeituosos?

21. Uma batelada de 350 mitocˆondrias rejuvenescidas cont´em 8 que s˜ao mut´aveis (defeituosas). Duas s˜ao selecionadas ao acaso e sem reposi¸c˜ao da batelada.

(a) Qual a probabilidade de que a segunda selecionada seja defeitu-osa, dado que a primeira foi defeituosa?

(b) Qual a probabilidade de que ambas sejam defeituosas? (c) Qual a probabilidade de que ambos sejam aceit´aveis?

22. Se P (A|B) = 1, a igualdade A = B tem de ser verdadeira?

23. Suponha que P (A|B) = 0, 4 e P (B) = 0, 5. Determine P (A ∩ B) e

P ( ¯A∩ B).

24. Uma batelada de 25 pe¸cas moldadas por inje¸c˜ao cont´em 5 delas que sofreram excessivo encolhimento.

(a) Se duas pe¸cas forem selecionadas ao acaso e sem reposi¸c˜ao, qual ser´a a probabilidade de que a segunda pe¸ca tenha sofrido exces-sivo encolhimento?

(b) Se trˆes pe¸cas forem selecionadas ao acaso e sem reposi¸c˜ao, qual ser´a a probabilidade de que a terceira pe¸ca tenha sofrido excessivo encolhimento?

25. O circuito a segur opera se, e somente se, houver um caminho de dispositivos funcionais, da esquerda para a direita. A probabilidade de cada aparelho funcionar ´e mostrada. Suponha que a probabilidade de um dos dispositivos ser funcional n˜ao dependa dos demais dispositivos. Qual ser´a a probabilidade do circuito operar?

26. Consumidores s˜ao usados para avaliar projetos iniciais de produtos. No passado 95% dos produtos altamente aprovados recebiam boas re-vis˜oes, 60% dos produtos moderadamente aprovados recebiam boas revis˜oes e 10% dos produtos ruins recebiam boas revis˜oes. Al´em disso 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% moderada-mente aprovados e 25% tinham sido prosutos ruins.

(a) Qual a probabilidade de um produto atingir uma boa revis˜ao? (b) Se um novo projeto atingir uma boa revis˜ao, qual ser´a a

proba-bilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado? (c) Se um produto n˜ao atingir uma boa revis˜ao, qual ser´a a

proba-bilidade de que ele se torne um produto altamente aprovado?

Solu¸c˜

oes

classe freq.abs. freq.rel. freq.abs.acum. freq.rel.acum. ponto m´edio

10⊢ 28 5 0, 083 5 0, 083 19 28⊢ 46 6 0, 100 11 0, 183 37 46⊢ 64 11 0, 183 22 0, 367 55 64⊢ 82 25 0, 417 47 0, 783 73 82⊢ 100 13 0, 217 60 1, 000 91 (b) (c) ¯X = 65, 5 X = 69, 76˜ S2= 453, 508 S = 21, 296 Q1 = 49, 27 Q2 = ˜X Q3= 80, 56 (d) ¯X = 65, 483 X = 71, 5˜ S2= 446, 627 S = 21, 134 Q1 = 54, 5 Q2= ˜X Q3 = 80, 6

(e)

O gr´afico anterior confirma as medidas descritivas j´a obtidas

4. (a) tc= ⌊ (max− min) qc ⌋ = ⌊ (2, 55− 0, 72) 5 ⌋ =⌊0, 366⌋ = 1 por obviedade, utilizaremos tc= 0, 4

classe freq.abs. freq.rel. freq.abs.acum. freq.rel.acum. ponto m´edio

0, 72⊢ 1, 12 3 0, 075 3 0, 075 0, 92 1, 12⊢ 1, 52 5 0, 125 8 0, 200 1, 32 1, 52⊢ 1, 92 19 0, 4753 27 0, 675 1, 72 1, 92⊢ 2, 32 10 0, 250 37 0, 925 2, 12 2, 32⊢ 2, 72 3 0, 075 40 1, 000 2, 52 (b) (c) ¯X = 1, 77 X = 1, 773˜ S2= 0, 157 S = 0, 397 Q1 = 1, 562 Q2= ˜X Q3 = 2, 040 (d)

(e)

A retirada dos valores extremos do gr´afico anterior aumenta a simetria da distribui¸c˜ao dos dados.

5. ¯XA,1 = 253945, 2 SA,1= 94049, 565 ¯ XA,2 = 266594, 1 SA,2= 22972, 238 ¯ XA,3 = 347069, 0 SA,3= 27023, 208 ¯ XB,1= 714054, 3 SB,1 = 95178, 588 ¯ XB,2= 655497, 9 SB,2 = 57696, 450 ¯ XB,3= 670663, 0 SB,3 = 8914, 605 ¯ XC,1 = 214387, 5 SC,1 = 29457, 425 ¯ XC,2 = 215395, 8 SC,2 = 2509, 275 ¯ XC,3 = 229097, 6 SC,3 = 4952, 797

Quando consideramos os tipos de m´aquinas, quanto a m´edia temos a m´aquina 3 com maior tempo de ocupa¸c˜ao no local A, as outras m´aquinas tem ocupa¸c˜ao m´edia similar no local A; a m´aquina 1 com maior tempo de ocupa¸c˜ao no local B, as outras m´aquinas tem ocupa¸c˜ao m´edia similar no local A; as m´aquinas apresentam tempos similares no local C.

Quando consideramos os locais, quanto a m´edia temos o local B exigindo tempos maiores de ocupa¸c˜ao e os locais A e C com ocupa¸c˜oes m´edias semelhantes.

Quando consideramos os tipos de m´aquinas, quanto ao desvio-padr˜ao temos a m´aquina 1 com alta variabilidade no local A, as outras m´aquinas tem variabilidade similar no local A; a m´aquina 1 com grande variabi-lidade no local B, a m´aquina 2 tem variabilidade alta no local B por´em

menor que a m´aquina 1, j´a a m´aquina 3 apresenta variabilidade bas-tante inferior; a m´aquina 1 com enorme variabilidade no local C, a m´aquina 3 tem variabilidade no superior a m´aquina 2 no local C. ´E f´acil ver que os valores de variabilidade para m´aquina 1 independente do local s˜ao bastante elevados.

Quando consideramos os locais, quanto a variabilidade, temos o local C com variabilidade bem baixa e o local A com as variabilidades mais elevadas. 6. (a) C8,5× C10,4= 11760 (b) B1, n˜ao B2, n˜ao B3; C5,4× C5,4= 25 B1, B2, n˜ao B3; C5,3× C5,4 = 50 B1, B3, n˜ao B2; C5,3× C5,4 = 50 B2, B3, n˜ao B1; C5,3× C5,4 = 50 B1, B2, B3; C5,2× C10,4= 2100

Totalizando ent˜ao 2275 possibilidade de integralizar o curso.

7. (a)5

36 (b)

10 36

8. (a) Seja D bit distorcido e ˜D bit n˜ao distorcido. ΩA= A1∪ A2∪ A3∪ A4∪ { ˜D ˜D ˜D ˜D} A1 ={DDDD, DDD ˜D, DD ˜DD, D ˜DDD, DD ˜D ˜D, D ˜DD ˜D, D ˜D ˜DD, D ˜D ˜D ˜D} A2 ={DDDD, DDD ˜D, DD ˜DD, ˜DDDD, DD ˜D ˜D, ˜DDD ˜D, ˜DD ˜DD, ˜DD ˜D ˜D} A3 ={DDDD, DDD ˜D, D ˜DDD, ˜DDDD, D ˜DD ˜D, ˜DDD ˜D, ˜D ˜DDD, ˜D ˜DD ˜D} A4 ={DDDD, DD ˜DD, D ˜DDD, ˜DDDD, D ˜D ˜DD, ˜DD ˜DD, ˜D ˜DDD, ˜D ˜D ˜DD} (b) Os eventos Ai n˜ao s˜ao disjuntos. (c){DDDD} 9. Ω ={+ + +, + + −, + − +, − + +, + − −, − + −, − − +, − − −} (a) A ={+ + +} (b) B ={− − −} (c) A∩ B = ∅ (d) A∪ B = {+ + +, − − −} 10. (a) 10, 10 e 92

(b) EE, EB, BE, BB

11. (a) ¯A ={x ∈ R+|x ≥ 72, 5} (b) ¯B ={x ∈ R+|x ≤ 52, 5}

12. (a) 0, 461 (b) 0, 712 (c) 0, 206 13. (a) 0, 4 (b) 0, 8 (c) 0, 6(d) 1 (e) 0, 2 14. (a) 0, 7 (b) 0, 8 15. 1 263× 103 16. (a) 0, 97 (b) 0, 26 (c) n˜ao 17. (a) 5 36 (b) 5 36 (c) 25 1296 (d) 335 1296 18. (a) 0, 86 (b) 0, 79 (c) 70 79 (d) 70 86 19. (a) 0, 903 (b) 0, 591 20. (a) 0, 2 (b) 19 99 (c) 0, 038 21. (a) 0, 02 (b) 0, 000458 (c) 0, 9547

22. N˜ao, basta que B seja um subconjunto de A 23. (a) 0, 2 (b) 0, 3 24. (a) 0, 2 (b) 0, 2 25. 0, 9702 26. (a) 0, 615 (b) 0, 618 (c) 0, 052 27. P ( ¯A∩ ¯B) = P [ (A∪ B) ] = 1−P (A∪B) = 1−P [P (A) + P (B) − P (A ∩ B)] = 1 + P (A∩ B) − P (A) − P (B)