Essa idéia leva à fórmula familiar para a área A de um círculo em termos de seu raio r:

5

INTEGRAIS DEFINIDAS, INDEFINIDAS E SUAS APLICAÇÕES

O conceito de integral tem suas origens no Método da Exaustão, tendo Arquimedes como um de seus grandes desenvolvedores. A motivação deste método foi o cálculo de áreas e volumes de figuras e sólidos com fronteiras curvas.

Todo polígono tem um número associado denominado Área. A área de um retângulo, por exemplo, é definida como sendo o produto da medida da sua base pela da sua altura. Já a área do triângulo é determinada pela metade do produto da medida da sua base pela da altura relativa à base. Como todo polígono pode sempre ser decomposto em triângulos, sua área é a soma das áreas desses triângulos.

2 .h b A= A bh b.h 2 . . 2 ₌ =

∑

= = 3 1 2 i i ih b A

Já o círculo é um pouco mais complexo. Os gregos resolveram o problema de determinar sua área de uma maneira muito natural. Primeiro eles aproximaram essa área, inscrevendo no círculo um quadrado. Depois melhoraram a aproximação, passo a passo, dobrando e redobrando o número de lados, isto é inscrevendo um octógono regular depois um hexadecágono regular (polígono com 16 lados), e assim por diante. As áreas dos polígonos inscritos aproximam-se da área exata do círculo com uma precisão cada vez melhor.

Essa idéia leva à fórmula familiar para a área A de um círculo em termos de seu raio r:

² r A=π

Mas, para conseguir essa exatidão, considera-se que o círculo tenha inscrito nele um polígono regular com um número grande de lados. O qual é subdividido em triângulos isósceles com vértice no centro do círculo. A soma das áreas desses triângulos resulta numa aproximação da área do círculo.

Este é o Método da Exaustão, cujo nome fornece uma boa descrição desse processo, porque a área do círculo é exaurida pelas áreas dos polígonos inscritos.

5.1 O Problema da Área

Seja y= f(x) uma função não-negativa definida num intervalo fechado b

x

a≤ ≤ . Calcular a área da região sob o gráfico de f, acima do eixo das abscissas e entre as retas verticais

x

=

a

e x= .b

Sendo [a,b]_{, como definido, um intervalo fechado e a função f contínua}

nesse intervalo, para cada ponto c pertencente ao intervalo [a,b]_{, devemos}

ter ) ( ) ( lim f x f c c x→ =

Para determinar a área da região hachurada abaixo da curva, pode-se utilizar o método da exaustão como segue:

Método da exaustão para o problema da área sob a curva - Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais;

- Em cada subintervalo construir o retângulo mais alto que fica inteiramente sob o gráfico;

- Anote a soma Sn das áreas desses retângulos. Essa soma aproxima a área

sob o gráfico e a aproximação é melhorada tomando-se valores cada vez maiores de n;

- Calcule a área exata sob o gráfico achando o valor limite ao qual tendem as somas aproximadas Sn quando n tende ao infinito

n n

A

A

+∞ →

= lim

Exemplo: Usando o método da exaustão vamos calcular a área A sob a curva y=x² _{no intervalo [0, 1].}

É fácil perceber que 0 < A < 1, pois A

está contida num quadrado de lado

Para aproximar melhor a área A,

dividimos a região sob a curva em 4

faixas, utilizando para isto as retas

verticais 4 1 = x , 2 1 = x e 4 3 = x .

Podemos aproximar cada faixa por

um retângulo com base igual à largura

da faixa e altura igual ao lado direito da

faixa. As alturas desses

retângulos são os valores da função

² ) (x x

f = nos extremos direitos

dos subintervalos:                 _,1 4 3 4 3 , 2 1 , 2 1 , 4 1 , 4 1 , 0 e .

Chamando de R1 a soma das áreas

desses retângulos, temos:

Como a área A é menor que R1

podemos afirmar que

Podemos também aproximar A usando

os retângulos menores, cujas alturas

são os valores de f nos extremos esquerdos dos

Sendo assim,

Podemos repetir esse

procedimento para um número maior de

Com 8 faixas, obtemos as somas:

3984375 ,

0

3 ≈

R para os retângulos maiores.

2734375 ,

0

4 ≈

R para os retângulos menores.

Assim, melhoramos nossa aproximação da área A sob a curva para: 3984375 , 0 2734375 , 0 < A<

Para obter melhores estimativas, basta aumentar o número de faixas. A tabela ao lado mostra os resultados para

o cálculo da área A usando n retângulos. Observe que com 1000 retângulos obtivemos um bom estreitamento da desigualdade.

Uma estimativa adequada é obtida fazendo-se a média aritmética dos valores desfazendo-se intervalo. Portanto, 3 1 3333335 , 0 ≈ ≈ A .

Há outra forma de comprovar que a soma das áreas dos retângulos é aproximadamente 1/3 : utilizando o limite da soma dos n retângulos, quando n tende ao infinito no sentido positivo. Veja:

Rn é a soma dos n retângulos superiores. Cada retângulo tem largura igual a 1/n e alturas determinadas pela função f(x)=x² nos pontos 1/n , 2/n , 3/n , ..., n/n. Isto é, as alturas são:

2 2 2 2 ,..., 3 , 2 , 1                         n n n n n . Assim: 2 2 2 2 1 ... 3 1 2 1 1 1       + +       +       +       = n n n n n n n n n Rn Fatorando temos: .

(

1² 2² 3² ... ²

)

² 1 . 1 n n n R_n = + + + +

Como a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos é

(

)(

)

6 1 2 1 ² ... ² 3 ² 2 ² 1 + + + +n =n n+ n+ Obtemos:

(

)(

)

6 1 2 1 ³ 1 + + = n n n n R_n Ou seja:

(

)(

)

² 6 1 2 1 n n n R_n = + + n Área 10 0,2850000 < A < 0,3850000 50 0,3234000 < A < 0,3434000 100 0,3283500 < A < 0,3383500 100 0 0,3328335 < A < 0,3338335

Calculando o limite de Rn quando n tende ao infinito, temos:

(

)(

)

3 1 2 . 1 . 6 1 1 2 1 1 6 1 lim 1 2 1 6 1 lim ² 6 1 2 1 lim lim = =      +       + =       +       + = + + = _{→+∞ →+∞ →+∞} +∞ → _{n n n} n n n n n n R n n n n n

O mesmo pode ser mostrado para as somas dos n retângulos inferiores.

Assim, a área A da região sob a curva é definida pelo limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes. O que nos leva a concluir que

3 1 =

A .

5.2 A Antiderivada

A antidiferenciação é a operação contrária da diferenciação. Por exemplo, dada f(x)₌12x2 ₊2x _{e F(x)=4x}3_+x2 _{+5, temos que}

x x x

F'( )₌12 2 ₊2 _{, então, dizemos que F(x) é antiderivada de f(x)=12x}2 _+2x.

Concluímos que uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I, se F'(x)= f(x) para todo x no intervalo I.

Observe que se _G(_x)₌4_x3 _+x2 ₋17 _{possui derivada G'(x)=12x}2 _{+2x, então}

G(x) também é antiderivada de f (x), embora G(x) ≠F(x). A única diferença entre F(x) e G(x) é o valor da constante, +5 e -17. Concluímos então que toda função do tipo H₍x₎=₄x3+x2 +C _{é antiderivada de f. Antidiferenciação é o}

processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma função. O símbolo

∫

denota a antidiferenciação e escrevemos

∫

f(x)dx=F(x)+C_,

dx x

f( ) _{dentro de}

∫

_{para dizer que a função f (x) é a derivada com relação a}

x de alguma função. Às antiderivadas também chamaremos de integrais. Encontraremos as antiderivadas utilizando algumas regras:

I) A integral da derivada de x é igual a x mais uma constante arbitrária C.

C x dx= +

∫

.

II) Se n for um número racional,

∫

+ + = + C n x dx x n n 1 1 , n≠−1.

A afirmação acima diz que a derivada de C n xn + + + 1 1 é _xn_{. Confira o resultado.} Exemplo:

_∫

x2dx= Exemplo:

∫

dx=

∫

x− dx= x 2 2 1 Exemplo:

_∫

xdx=

_∫

x3dx= 1 3

III) A integral da constante a vezes a função é igual a constante a vezes a integral da função.

( )

x dx a f

( )

xdx af

∫

=

∫

.

IV) A integral da soma é a soma das integrais.

Se f1 e f2 forem definidas no mesmo intervalo, então

( )

( )

( )

_∫

( )

∫

[f1 x +f2 x ]dx=

∫

f1 xdx+ f2 x dx.

Ex:

∫

(

4x3+x2 −17

)

dx=

∫

4x3dx+

∫

x2dx+

∫

−17dx=

Atividades

1. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta. a)

∫

(3x+ dx5) b)

∫

(5x4 −8x3+9x2−2x+7)dx c)

∫

+ dx x x x( 1) d)

∫

+ dt t t 3 4 2 ₇ 5 e)

∫

₃x4dx f)

∫

₂x7dx g)

∫

dx x3 1 h)

∫

dx t5 3 i)

_∫

u2du 3 5 j)

∫

₁₀3 x2dx k)

∫

dx x 3 2 l)

∫

dy y 3 m)

∫

₆t23 tdt n)

∫

₇x3 xdx o)

∫

(4x3+x2)dx p)

∫

(3u5−2u3)du q)

∫

y3(2y2−3y)dy r)

∫

x4(5−x2)dx s)

∫

(3−2t+t2)dt

t)

∫

(4x3−3x2+6x−1)dt u)

∫

(8x4 +4x3 −6x2−4x+5)dx v)

∫

(2+3x2−8x3)dx x)

∫

x(x+ dx1) y)

∫

(ax3+bx2+c)dx z)

_∫

(x2 − dxx) 3 a1)

∫

      _{− dx} x x 1 b1)

∫

      _{+ + dx} x x 5 3 2 2 3 c1)

∫

      _{− + dx} x x4 2 1 1 3 d1)

∫

_ + − _dx x x x2 4 4 e1)

∫

_       _{+ −} dy y y y4 2 2 1 f1)

∫

      _{+ dx} x x ₃ 3 1 g1)

∫

_ − _dt t t 3 3 ₁ 27

Observe que quando calculamos uma integral, por exemplo:

∫

₃x dx=x2+C

, onde C é qualquer valor real. Para cada valor de C obtemos uma curva diferente, neste caso deslocamos a curva _f(x)=x2 _{em C unidades para cima}

e para baixo na direção do eixo y. No mesmo plano cartesiano faça um esboço dos gráficos de f₍x₎=x2+C_{para C ={−3,0,2,5}}

A equação f₍x₎=x2+C _{representa uma família de curvas. Para obtermos a}

curva específica que passa pelo ponto (2, 6), fazemos: 2

4 6 2

6₌ 2_{+C⇒ − =C⇒C= . A equação procurada então é f(x)= x}2 _{+2 que}

esboçamos no gráfico acima.

Atividades

2. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x – 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), ache a sua equação.

Lembrete: A inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x, y) é a derivada nesse ponto.

3. O ponto (3, 2) está numa curva em qualquer ponto (x, y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x – 3. Ache uma equação da curva.

4. A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x, y) de uma curva é

x

3 . Se o ponto (9, 4) está na curva, ache uma equação para ela.

5. Os pontos (-1, 3) e (0, 2) estão numa curva e em qualquer ponto (x, y) da

curva x dx y d 4 2 2 2 −

= . Ache uma equação da curva. Sugestão: faça dx dy dx y d ' 2 2

= e obtenha uma equação envolvendo y’, x, e uma constante arbitrária C1. Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo y, x,

1

Antiderivadas de Funções Trigonométricas

As integrais abaixo são consequencias diretas das derivadas das funções trigonométricas conhecidas.

I) Função Seno.

Se f (x) = sen(x) então

∫

senx dx=−cosx+C_.

II) Função Cosseno.

Se f (x) = cos(x) então

∫

cosx dx=senx+C_.

III) Função Secante ao quadrado. Se f (x) = sec2(_x) _então

∫

_sec2x dx=tgx+C

. IV) Função Cossecante ao quadrado..

Se f (x) = cos_ec2(_x) _então

∫

_cossec2_{x dx=−cotgx+C}

. V) Função Secante vezes a tangente.

Se f (x) = sec(x)tg(x) _então

∫

secx tgx dx=secx+C_.

VI) Função Cossecante vezes cotangente.

Exemplo:

∫

(

_3secx tgx−_5cosec2x

)

dx=

Algumas identidades trigonométricas frequentemente usadas no cálculo de antiderivadas trigonométricas: 1 cosecx= senx 1 sec cosx x= 1 cotgx= tgx ) cos( ) ( ) ( x x sen x tg = ) ( ) cos( ) ( cot x sen x x g = ) cos( 1 ) sec( x x = ) ( 1 ) ( cos x sen x c = 1 ) ( cos ) ( 2 2 _{x + x =} sen x x tg2_{( )+1= sec}2 x x g2_{( ) 1 cosec}2 cot + =

(

1 cos(2)

)

2 1 ) ( 2 _{t t} sen = − ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) (a b sen a b sen b a sen ± = ± ) ( ) ( ) cos( ) cos( )

cos(a±b = a b sen a sen b

) cos( ) ( 2 ) 2 ( x sen x x sen = ) ( ) ( cos ) 2 cos( _{x =} 2 _{x −sen}2 _x Exemplo:

∫

− dx= senx x sen gx ₃ 2 cot 2 Exemplo:

∫

(

tg2x+cotg2x+4

)

dx= Atividades

6. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta.

b)

∫

(

5cosx−4senx

)

dx= c)

∫

dx= x senx 2 cos d)

∫

dx= x sen x 2 cos

e)

∫

(

_4cosecx_cotgx+_2sec2 x

)

dx= f)

∫

(

3cosec2t−5sect tgt

)

dt= g)

∫

(

_2cotg2θ−₃tg2θ

)

dθ= h)

∫

tgθ− _θ θdθ= cos cos 4 3 2

Regra da Cadeia para a Antidiferenciação Para calcular a derivada de ₍₁ 2₎10

10 1 )

(x x

f = + aplicamos a regra da cadeia, e

obtemos: (1 ) (1 )' (1 ) (2 ) 10 10 ) ´(_{x x}2 9 _x2 _x2 9 _x f = + ⋅ + = + ⋅ . Para calcular

∫

(1+x2)9(2x)dx

, vemos que fazendo _g(_x)₌(1_+x2) _{e que g'(x)=2x, temos}

∫

g(x)9g'(x)dx

. Ainda fazendo g(x) = u, temos _{u =}(1_+x2) _e

dx x du xdx du= ⇒ = 2

2 . Fazendo as substituições temos:

∫

=

∫

u du=u +C = +x +C x du x u9 9 10 ₍₁ 2₎10 10 2 ) 2 ( .

Resultado: Se g for uma função diferenciável e se n for um número racional, C n x g dx x g x g n n ₊ + = +

∫

1 )] ( [ ] ) ( ' [ )] ( [ 1 , para n≠−1.

Note que fizemos uma substituição, _{u =}(1_+x2) _{e, na prática, é utilizado o}

termo “integral por substituição”, ao invés de regra da cadeia para integrais. Exemplo: Calcule

∫

3x+4dx_. Fazendo

∫

(

x+

)

2dx 1 4 3 , utilizamos a substituição u = x3 +4 Exemplo: Calcule

∫

x2₍₅+₂x3₎8dx .

Exemplo: Calcule

∫

xcos(x2)dx . Exemplo: Calcule

∫

x2 1+xdx . Fazemos _{u=1+x⇒x=u−1⇒x}2 _=(u−1)2_{, e} prosseguimos os cálculos. Atividades

7. Calcule a integral por substituição, ou seja, utilizando a regra da cadeia:

a) dx x x sen

∫

b)

∫

1−4ydy c)

∫

3 ₃x−₄dx d)

∫

3 ₆−₂xdx e)

∫

5r+1dr f)

∫

x x2+9dx g)

∫

₃x ₄−x2dx h)

∫

x₂

(

x₃−

)

10dx 1 i)

∫

x

(

₂x2 +₁

)

6dx j)

∫

₅x3 ₍₉−₄x2₎2dx k) dx x x

∫

₍ 2 ₊₁₎3 l) dy y y

∫

₋ 4 5 3 ) 2 1 ( m) ds s s

∫

₃ 2 ₊₁ n)

∫

(

x − x+

)

3dx 4 2 _{4 4} o)

∫

x4 3x5−5dx p)

∫

x x+2dx q) dt t t

∫

₊₃ r)

₍

₎

dr r r

∫

₋ 7 1 2 s)

∫

x₃

(

−x₂

)

12dx 2 t)

∫

x2 3−2xdx u)

∫

x

(

+x

)

4dx 1 3 5 ₃ v)

∫

cos4θdθ x)

∫

sen xdx 3 1 y)

∫

x2senx3dx 6 z)

∫

t_cos4t2dt 2 1 a1)

∫

sec25xdx b1)

∫

cosec22θdθ c1)

∫

y_cosec₃y2_cotg₃y2dy d1)

∫

r2_sec2r3dr e1)

∫

x

(

+senx

)

5dx 2 cos f1)

₍

₎

dx x senx

∫

₊ 2 cos 1 4 g1) ₂ 3 1 1 x dx x

∫

+ h1) 1 1 ₂ t dt t

∫

−

i1)

∫

₂senx3 ₁+_cosxdx

j1)

∫

sen2x 2−cos2xdx

l1)

∫

sen3θcosθdθ m1)

∫

(

tg x+ g x

)

2dx 2 cot 2 n1) dx x sen x

∫

4 1 4 1 cos 2 1 o1) dx x sen x

∫

₁₋cos₂3 ₃ p1) dt t t

∫

sec23 q1)

(

)

dx x x x x

∫

3₊+₃22₊₁ 2 r1)

∫

x

(

x2+

)

− x2−x4dx 2 4 1 s1)

∫

+s

(

s+

)

2ds 1 3 t1)

(

)

(

y

)

dy

y

∫

−

+

3 2

3

3

u1)

∫

(

₂t2+₁

)

₃1t3dt v1) _dr r r

∫

3+2 4 3 1 ) 2 ( x1) dt t t t t     −       +

∫

2 2 2 3 1 1 y1) dx x x

∫

+ 2 3 2 3 ) 4 ( z1) dx x x

∫

₋ 2 3 2 1

a2)

∫

sen x sen(cosx)dx

Integral da Função Exponencial e Logarítmica

Função exponencial é toda a função cuja variável independente esteja no expoente, ou seja, uma função da forma _f(x)=ax _{onde a > 0, a≠1 é uma}

função exponencial e o número real a é a base. A integral de tal função é dada por C

a a dx ax ₌ x ₊

∫

_ln , onde a e a log ln = , ou seja, ln a é o logaritmo neperiano de a, que nada mais é que o logaritmo cuja base é o número de euler. Exemplo:

_∫

dx₌

_∫

dx x x 2 3 3 ₁₀ 10 , fazendo a substituição dx du dx du x u= ⇒ = ⇒ = 3 2 2 3 2 3 , temos: u du₌ udu_{= ⋅} u ₊C

∫

∫

10 ₃2 _ln10₁₀ 3 2 3 2 10 .

Retornando a substituição, finalizamos: _C

x + ⋅ 10 ln 10 3 2 2 3 .

Quando a base da função exponencial é o número de euler e, temos a função exponencial natural _f(x)=ex_{. Utilizando a função acima, temos:}

C e C e C e e dx ex ₌ x _{+ =} x _{+ =} x₊

∫

_{ln 1} . Exemplo:

_∫

e dx = x 2 3 , fazendo a substituição u= x⇒du= dx⇒ du =dx 3 2 2 3 2 3 , temos: eu du₌ eudu_{= ⋅}eu₊C

∫

₃2 ₃2

∫

₃2 . Retornando a substituição, finalizamos: C e x + ⋅ 2 3 3 2 .

Quando a base do logaritmo é o número de euler e temos logea, que

chamamos de lna. Tal função é conhecida como logarítmica natural ou logaritmo neperiano e obedece as mesmas regras de logaritmos. Se u for uma função de x diferenciável, e f(u)=lnu, então u du

u df u u du df ' 1 ' 1 _{⇒ =} = , aplicando

a antiderivada em ambos os lados da igualdade, C u u f du u u df =

_∫

⇒ = +

∫

1 ' ( ) ln .

Observação: Lembramos que o domínio da função logarítmica são os reais positivos excluindo o zero. Portanto, os valores considerados para as equações abaixo que estão nos logaritmos neperianos devem ser apenas as imagens reais e positivas. O sinal de valor absoluto que aparece nos livros de cálculo foi omitido.

Exemplo: Calcule

∫

+ dx x x 1 3 2 .

Fazemos a seguinte substituição de variáveis: dx x du dx x du x u= + ⇒ = ⇒ 2 = 2 3 3 3 1 . Então du u C x C u x du u x dx x x + + = + = = ⋅ = +

∫

∫

∫

ln( 1) 3 1 ln 3 1 1 3 1 3 1 3 2 2 3 2 . Exemplo: Encontrar

∫

+ + _dx x x 1 2 2 Como 1 2 2 + + x x

é uma fração racional imprópria, pois temos duas raízes no polinômio do numerador e uma raiz no polinômio do denominador (isso caracteriza a fração racional imprópria), dividimos o numerador pelo denominador, 1 3 1 1 2 2 + + − = + + x x x x . Então:

∫

∫

= − + + + + + − = + + _{dx x x x C} x x dx x x ) 1 ln( 3 2 1 1 3 1 1 2 2 2 . Exemplo: Calcule

∫

dx x x ln

Faz-se a substituição: xdu dx

x dx du x u= ln ⇒ = ⇒ = . Então temos:

∫

∫

∫

= xdu= udu= u +C= x +C x u dx x x 2 _{(ln )2}1 2 1 2 1 ln .

A partir da integral do logaritmo neperiano, podemos obter a fórmula da integral de funções trigonométricas que não foram vistas até então:

I) Função tangente: dx x senx dx tgx

∫

∫

= cos .

Fazendo a substituição de variáveis: dx senx du dx senx du x u = − ⇒ − = ⇒ = cos temos:

∫

∫

∫

=− = + =− + − ⋅ = u C x C u du senx du u senx dx x senx ) ln(cos ln ) (

cos , por propriedade

de logaritmo, fazemos C x C x C x C x x f + = +      = + = + − = − _lnsec cos 1 ln ) ln(cos ) ln(cos ) ( 1 . Exemplo: Calcule

_∫

tg3x dx=

II) Função Cotangente: dx

senx x dx

gx

∫

∫

cot = cos

Fazendo a substituição de variáveis: dx

x du dx x du senx u= ⇒ = ⇒ = cos cos temos:

∫

∫

∫

= ⋅ = = u+C= senx +C u du x du u x dx senx x ) ln( ln cos cos cos . Exemplo: Calcule

∫

cotg3x dx

III) Função Secante:

_∫

secx dx=ln(secx+tgx)

Multiplicamos e dividimos tal função por (secx + tgx).

∫

∫

∫

_ _ = +₊ + + = dx tgx x xtgx x dx tgx x tgx x x dx x sec sec sec sec sec sec sec 2 . Fazendo a substituição dx x xtgx du dx x xtgx du tgx x u = + ⇒ + = ⇒ + = 2 ₂ sec sec sec sec sec _{, temos:}

∫

∫

= = + = + + + ⋅ + _{du u C x tgx C} u xtgx x du u xtgx x ) ln(sec ln 1 sec sec sec sec 2 2 . IV) Função Cossecante:

_∫

coscx dx=ln(coscx−cotgx)+C

Multiplicamos e dividimos tal função por (coscx - cotgx), de forma análoga a função trigonométrica anterior.

Exemplo: Calcule

∫

x sen

dx 2

Atividades

8. Calcule o valor das integrais abaixo: a)

∫

− x dx 2 3 b)

∫

₊₁₀ 7x dx c) dx x x

∫

23₊₄ d) dx x x

∫

₂₋ 2 e) dx x x

∫

₅33 ₋₁ 2 f) dx x x x

∫

2_{( −}−₁1₎ g) dt sent t

∫

₁₊₂cos h) dt t t sen

∫

_{cos 3}3₋₁ i)

∫

(cotg5x+cosec5x)dx j)

∫

(tg2x+sec2x)dx k) dx x x sen

∫

2−_cos3 ₂ 2 l) dx x sen x

∫

cos 3₃+3 m) dx x x

∫

22 ₋₄ 3 n) dy y y

∫

₃5₊−₂4 o)

∫

x x dx ln p)

∫

_x(1dx_{+ x)} q) dx x x

∫

ln23 r) dx x x x

∫

(2₍₁+₋ln_ln2 ₎) s) dx x x x x

∫

[(ln ) ₊+ln ] 1 ln 2 2 t) dx x x x x

∫

3 −2 3₊+₁5 −2 2 3 5 u) dx x x tg

∫

(ln ) v) dt t t g

∫

cot x)

∫

_e2−5x_dx y)

∫

_e2x 1+_dx z)

∫

+ dx e e x x 2 1 a1)

∫

e3xe2xdx b1)

∫

− e dx e x x 2 3 3 ) 2 1 ( c1)

∫

x₂e₂x3dx d1)

∫

+ dx e e x x 3 2 e1)

∫

+_ex dx 1 f1)

∫

₃2xdx g1)

∫

anxdx h1)

∫

atetdt i1)

∫

₅x4+2x_(2x3+_1)dx j1)

∫

x x3dx 10 2 k1)

∫

azlnz_(lnz+ dz₁₎ l1)

∫

ey₂ey₃eydy m1)

∫

dx x x) ln( 4 n1)

₍

(

)

₎

dx x x x x

∫

₄₊ +₂₊ 2 2 1 2 3 1 3

Se tivermos uma função do tipo h(x)= f(x)⋅g(x), a sua derivada é dada pela regra do produto para derivadas: h'(x)=(f(x)⋅g(x))'= f'(x)⋅g(x)+ f(x)⋅g'(x), donde temos, isolando f'(x)⋅g(x): f'(x)⋅g(x)=(f(x)⋅g(x))'−f(x)⋅g'(x).

Aplicando integral em ambos os membros:

dx x g x f x g x f dx x g x f'( ) ( )

∫

[( ( ) ( ))' ( ) '( )]

∫

⋅ = ⋅ − ⋅ . Como a integral da soma é a

soma das integrais:

∫

f'(x)⋅g(x)dx=

∫

(f(x)⋅g(x))'dx−

∫

f(x)⋅g'(x)dx=

∫

∫

f'(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)− f(x)⋅g'(x)dx_{. Se fizer} v= f(x)⇒dv= f'(x) e também u=g(x)⇒du=g'(x)_{, e assim a fórmula fica da forma:}

∫

∫

u⋅dv=u⋅v− v⋅du_{. Então para usar tal fórmula, basta identificar na integral}

quem será u e quem será dv. Exemplo:

∫

x lnxdx Fazemos x dx du x u= ln ⇒ = e também 2 2 x v xdx dv= ⇒ = , logo

∫

∫

= − ⋅ x dx x x x xdx x 2 ln 2 ln 2 2

e então é só utilizarmos o método de substituição conhecido. Exemplo:

∫

x₃ex2dx Exemplo:

∫

x cosxdx Exemplo:

∫

x2exdx Exemplo:

∫

exsenxdx Atividades

9. Calcule a integral por partes: a)

∫

xe3xdx

b)

∫

xcos2xdx

c)

∫

x secxtgxdx

e)

∫

lnxdx f)

∫

_(lnx₎2dx g)

∫

x_sec2xdx h)

∫

x ln2 xdx i)

∫

₍

₎

+ dx x xex 2 1 j)

∫

x2sen3xdx k)

∫

senxln(cosx)dx l)

∫

sen(lnx)dx m)

∫

ex_cosxdx n)

∫

x₅ex2dx o)

∫

−x dx x 2 3 1 p)

∫

dx e x sen x 2 q)

∫

x2senxdx r)

∫

−e dx e x x 1 2 s)

∫

cos xdx

Integração de Funções Racionais por Frações Parciais

Uma função racional é uma função da forma ( ) ₍( )₎ x Q x P x H = , onde P(x) e Q(x) são polinômios. Quando o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, temos uma fração racional imprópria, então para realizar a integração, fazemos a divisão do numerador pelo denominador, até obter uma fração racional própria, ou seja, uma fração racional cujo grau do numerador é menor que o grau do numerador. É com frações racionais próprias que vamos

trabalhar. Por exemplo, em

∫

− + + − _dx x x x x 4 1 3 10 2 2 4

efetuando a divisão temos:

∫

− +

∫

−₋ dx x x dx x 4 23 3 ) 6 ( 2 ₂

. É com expressões como o integrando da segunda parcela que vamos trabalhar. Preocuparemo-nos em escrever funções racionais próprias na forma de soma de frações parciais. Iniciamos fatorando o denominador em produto de fatores lineares e quadráticos. Então serão considerados os casos: I) Em ( ) ₍( )₎ x Q x P x

H = , os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido. Então a soma de frações parciais é dada por:

n n n b x a A b x a A b x a A x Q x P + + + + + + = ... ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 Exemplo:

∫

− − − x x x dx x 2 ) 1 ( 2 3 II) Em ) ( ) ( ) ( x Q x P x

H = , os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são repetido. Supondo que (aix+bi) seja repetido p vezes, então:

i i p i i p p i i p i i ax b A b x a A b x a A b x a A + + + + + + + + − − 2 1 1 2 1 ) ( ... ) ( ) ( Exemplo:

∫

− − 3 2 3 ) 2 ( ) 1 ( x x dx x III) Em ( ) ₍( ₎) x Q x P x

H = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum fator é repetido. Os fatores quadráticos permanecem porque não é possível obter raízes reais para eles, então eles devem permanecer como uma equação do segundo grau. A fração parcial que possui polinômio de segundo grau no denominador fica da forma:

c bx ax B Ax + + + 2 . Exemplo:

∫

∫

− + + + + = + + − − − 1 2 2 ) 2 2 )( 1 ( ) 3 2 ( 2 2 2 x C x x B Ax dx x x x x x

IV) Em ( ) ₍( )₎ x Q x P x

H = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum, ou alguns dos fatores são repetidos. Se um fator quadrático de Q(x), que pode ser

(

ax2 +bx+c

)

_{repetido p vezes, então teremos a soma de p frações parciais da} forma:

(

) (

)

ax bx c B x A c bx ax B x A c bx ax B x A p p p p _{+ +} + + + + + + + + + + −1 2 2 2 2 2 1 1 _... . Exemplo:

∫

₍

(

)

₎

+ − − dx x x x x 2 2 5 4 2 Atividades 1. Calcule a integral: a)

∫

−4 2 x dx b)

∫

− + 6 2 2 x x dx x c) dx x x

∫

52₋−₄2 e) dx x x x x

∫

3(₋4 −2₋2)₂

f)

∫

− + − _dw w w w 4 7 2 11 4 2 g)

∫

− − − − _dt t t t t 2 5 3 5 26 9 2 2 h)

∫

− − − _dx x x x x 3 2 4 1 2 6 i)

∫

− + + _dx x x x 1 2 2 2 j)

∫

+ 2 3 _3x x dx k)

∫

− − + _dx x x x x 3 2 _{4 1} l)

∫

_x2_(x+1)2 dx m)

∫

− + − _dx x x x x 2 3 2 ₁ 3 n)

∫

+ + − − _dx x x x x 2 2 ) 1 )( 3 2 ( 7 3 o)

∫

_(t+2)2_(t+1) dt p)

∫

− + _dz z z 2 2 ₄₎ ( 1 3 q)

∫

− + − + − 2 5 4 ) 5 11 5 ( 2 3 2 x x x dx x x r)

∫

+ − + + − − + _dx x x x x x x x 3 5 17 4 5 3 2 3 2 3 4 s)

∫

− + − _dx x x x x 4 5 4 2 1 2 2 t)

∫

+ + − − + + + − _dx x x x x x x x 4 4 11 6 9 17 52 30 24 2 3 4 2 3 u)

∫

+ −8 1 16_x4 _x2 dx v)

∫

+ x x dx 3 2 x)

∫

(

_x(x+24₊

)

₄₎ dx x z)

∫

−1 16_x4 dx w)

∫

(

)

− + − − − 8 4 2 4 4 2 3 2 x x x dx x x a1)

∫

₍

(

₎

₍

)

₎

+ + + + 1 1 2 1 2 2 t t dt t t b1)

∫

+ + + _dw w w w w 4 4 13 3 3 3 c1)

∫

− + − + 1 ) ( 2 3 2 x x x dx x x d1)

∫

+ 2 4 9x x dx e1)

∫

+ +x x x dx 2 3 f1)

∫

+ + + 2 3 4 ₄ 4 ) 3 ( x x x dx x g1)

∫

+ + + − x x x dx x x 3 5 2 2 ) 2 2 ( h1)

∫

+ − + + ) 3 2 )( 3 ( ) 9 2 ( 2 2 3 x x x dx x x i1)

∫

+ − − + − 2 2 2 3 ) 5 2 ( ) 10 15 5 ( z z dz z z z ji)

∫

_(t+1)3 dt k1)

∫

− − + 1 27 ) 1 2 ( 3 2 x dx x x l1)

∫

+ 2 2 5 ) 1 ( x x e dx e m1)

∫

₍₄ 2₊₉₎2 18 x dx n1)

∫

+ + + + + 4 6 4 ) 2 3 2 ( 2 3 2 x x x dx x x o1)

∫

(6 +4₍ 3+₊9₈₎₍ +224₊₃₎+32) 2 3 4 w w dw w w w w A Integral Definida

Para que possamos compreender a integral definida, entenderemos primeiramente a soma de Riemann.

Imagine uma função qualquer, por exemplo _f(x)=10−x2_{. Para obtermos a}

área do gráfico de tal função com o eixo x no intervalo que vai de ¼ até 3, Riemann sugeriu o seguinte processo:

1) Observamos que f é definida no intervalo [ ¼ , 3], ou seja, todos os valores do intervalo tem valor real para a função dada, e portanto a função é contínua no intervalo. Podemos esboçar o gráfico para observar:

2) Dividimos o intervalo [ ¼ , 3] em n subintervalos. Para tal fazemos x0 =a e b

xn = , e escolhemos qualquer um dos (n – 1) pontos intermediários entre ¼ e

3 de modo que x0 <x1<...<xn−1<xn. Os pontos x0, x1, x2, ..., xn−1, xn

não são necessariamente eqüidistantes. Podemos escolher por exemplo: 25 , 0 4 1 0 = = x , x₁ =1, 1,5 2 3 2 1 1 2 = = = x , 1,75 4 7 4 3 1 3= = = x , 2,25 4 9 4 1 2 4 = = = x , 3 5 = x . No gráfico temos:

3) O comprimento de cada subintervalo, será denotado por Δix, donde temos

que Δ1x=x1−x0, Δ2x=x2−x1, ...., Δix =xi −xi−1. O conjunto desses

subintervalos forma uma partição do intervalo que podemos chamar de partição

Δ. Para o exemplo, temos os valores de delta: 0,75 4 3 4 1 1 0 1 1 = − = − = = Δx x x _, 5 , 0 2 1 1 2 3 1 2 2 = − = − = = Δ x x x , 0,25 4 1 2 3 4 7 2 3 3 = − = − = = Δ x x x , 5 , 0 2 1 4 2 4 7 4 9 3 4 4 = − = − = = = Δ x x x , 0,75 4 3 4 9 3 4 5 5 = − = − = = Δ x x x . E assim, temos que 2,75 4 11 4 1 3− = = =

Δ , que é o mesmo que obtemos fazendo

75 , 2 75 , 0 5 , 0 25 , 0 5 , 0 75 , 0 5 4 3 2 1+Δ +Δ +Δ +Δ = + + + + = Δ = Δ x x x x x _{. Ao}

comprimento de cada subintervalo calculado anteriormente chamamos norma e indicamos por ||Δix||.

4) Em cada partição Δix escolhemos um ponto qualquer ξi, tal que i

i

i x

x−1<ξ < . Para o exemplo, podemos tomar

2 1 1 = ξ , pois 1 2 1 4 1 _{< <} , o que quer dizer que x0 <ξ1<x1. Satisfazendo a condição xi−1<ξi <xi, podemos

escolher 1,25 4 5 4 1 1 2 = = = ξ , 1,75 4 7 4 3 1 3= = = ξ , ξ4 =2 e 2,75 4 11 4 3 2 5 = = = ξ .

Calculamos o valor da função em cada um dos pontos ξi, fazendo 2 ) ( 10 ) ( i i f ξ = − ξ . Então temos: 4 3 9 2 1 10 2 1 2 ₌       − =       f , 16 7 8 4 5 10 4 5 2 ₌       − =       f , 16 15 6 4 7 10 4 7 2 ₌       − =       f ,

( )

2 ₌10₋

( )

22₌6 f e 16 7 2 4 11 10 4 11 2 ₌       − =       f .

5) Observamos que o produto f (ξi)⋅Δix é a área do retângulo de base Δix e

altura f(ξ . Somando as áreas dos retângulos formados por cada uma das i)

partições podemos aproximar a área formada entre o gráfico de _f(x)=10−x2

e o eixo x, no intervalo [ ¼ , 3]. Então f(ξ1)⋅Δ1x+f(ξ2)⋅Δ2x+ f(ξ3)⋅Δ3x+ f(ξ4)⋅Δ4x+ f(ξ5)⋅Δ5x=

( )

28,667 3 86 3 32 18 4 3 16 7 2 2 1 6 4 1 16 15 6 2 1 16 7 8 4 3 4 3 9 = = =            +       +             +             +             , que é a área aproximada.

O somatório da área formada por cada partição, da forma

∑

= Δ ⋅ = Δ ⋅ + + Δ ⋅ + Δ ⋅ n i i i n n x f x f x f x f 1 2 2 1 1) ( ) ... ( ) ( ) (ξ ξ ξ ξ é denominada soma de

Riemann, por causa do matemático Georg Frederic Bernhard Riemann (1826 - 1866).

O gráfico da função pode estar abaixo do eixo x, fazendo com que no somatório, a área de uma dada partição seja descontada e não somada, então não teríamos a área entre o gráfico e o eixo x, como podemos ver na figura abaixo:

No exemplo, f(ξ3), f(ξ4), f(ξ5), f(ξ8),f (ξ9),f (ξ10) são negativos gerando

parcelas negativas. Por causa desses casos é que estamos interessados no valor absoluto das parcelas e assim fazemos

∑

= Δ ⋅ n i i i x f 1 ) (ξ . Observe que quanto maior o número de partições Δix, menor a norma dessas partições

|| ||Δix , e mais o somatório

∑

= Δ ⋅ n i i i x f 1 )

(ξ se aproxima da área real entre o gráfico e o eixo x. Então a área entre o gráfico e o eixo x no intervalo [a, b], onde a função é definida pode ser aproximado por

∑

= → Δ ⋅Δ n i i i x f x i || 0 ₁ || maxlim (ξ) .

Assim, consideramos que a norma da partição de maior comprimento tende a zero, logo o comprimento das demais partições também tenderá a zero, e os retângulos irão se ajustando entre o gráfico e o eixo x, de forma que o somatório de suas áreas seja uma boa aproximação da área entre o gráfico e o eixo x. O limite acima expressa a integral definida num intervalo.

Definição: Se f for uma função definida no intervalo fechado [a, b], então a integral definida de f de a até b, denotada por

∫

b

( )

a f x dx, será dada por

( )

_∑

∫

= Δ → ₌ ⋅Δ n i i i x b a f x dx _i f x 1 0 || ||

maxlim (ξ) , se o limite existir.

Na notação de integral definida

∫

_ab f

( )

x dx, f

( )

x _{é chamada de integrando, a}

de limite inferior e b de limite superior. O símbolo

∫

, utilizado para a integração é o mesmo utilizado para o cálculo da antiderivada. Seu formato é parecido com S, que lembra soma, pois a integral definida é o limite de uma soma. Para calcular a integral definida, temos que na verdade calcular o limite de uma soma, o que nem sempre torna-se viável de se fazer. Podemos calcular a integral definida através da antiderivada, por isso também o sinal ser usado em ambos os casos. O segundo teorema fundamental do cálculo define o cálculo da integral definida pela antiderivação ou pelo cálculo da integral indefinida da seguinte forma:

Segundo Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja g uma função tal que g'(x)= f(x) para todo x em [a, b]. Então b f

( )

t dt g(b) g(a)

a = −

∫

.

Ou seja, basta calcular a antiderivada, e fazer o valor da antiderivada no extremo superior menos a antiderivada no extremo inferior. Dessa forma a antiderivada fica conhecida também como integral indefinida.

Exemplo: Encontre o valor de

∫

3x dx 1

2

e interprete o resultado geometricamente.

As mesmas propriedades da antiderivada, ou seja, da integral indefinida são válidas para a integral definida. Então, abaixo verificamos abaixo algumas propriedades da integral definida que são diferentes que a da antiderivada:

I) Se a > b, então

∫

_ab f(x)dx=−

∫

_ba f(x)dx se

∫

_ba f(x)dx existir. Exemplo: Verifique que

∫

=−

∫

3

1 2 1 3 2_{dx x dx} x .

II) Se f(a) existe, então a f x dx

a

∫

( ) .

Exemplo:

∫

1x dx 1

2

III) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então

∫

∫

∫

_ab f(x)dx= _ac f(x)dx+ _cb f(x)dx, onde a < c < b. Exemplo: Verifique que

∫

=

∫

2 +

∫

1 3 2 2 2 3 1 2_{dx x dx x dx} x

IV) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então

∫

∫

∫

_ab f(x)dx= _ac f(x)dx+ _cb f(x)dx, não importando a ordem de a, b e c. Exemplo: Verifique que

∫

=

∫

2 +

∫

1 3 2 2 2 3 1 2_{dx x dx x dx} x

V) Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a, b] e se

) ( )

(x g x

f ≥ para todo x em [a, b], então:

∫

∫

_ab f(x)dx≥ _abg(x)dx

Exemplo: Comprove o resultado para _f(_x)_{= x}2 ₊1 _{e para g(x)=x}2 _no

intervalo [1, 3] e faça o gráfico das funções.

1. Calcule o valor da integral definida usando os resultados: 3 2 1 2 ₌

∫

−x dx ₂ 3 2 1 =

∫

−xdx

∫

0 senxdx =2 π cos 0 0 =

∫

π xdx π π 2 1 0 2 ₌

∫

sen xdx a)

∫

x x dx − − + 2 1 2 _{4 5)} 2 ( b)

∫

x dx − − 2 1 2₎ 8 ( c)

∫

x x dx − − + 2 1 2₎ 2 1 5 2 ( d)

∫

x x dx − − − 2 1 2 _{4 1)} 3 ( e)

∫

₂−1 x+ 2dx ) 1 2 ( f)

∫

x x dx − + − 2 1 2 ₎ 2 1 3 1 5 ( g)

∫

x x dx − − + 2 1( 1)(2 3) h)

∫

₂−13x(x−4)dx i)

∫

π senx+ x+ dx 0 (2 3cos 1) j)

∫

π xdx 0 2 cos 3 k)

∫

₀π x+ 2dx ) 4 (cos l)

∫

0₍senx−₂₎2dx π

2. Calcule as integrais definidas abaixo: a)

∫

5 dx 2 4 b)

∫

dx − 4 37 c)

∫

dx − 2 2 5 d)

∫

−1 dx 5 6 e)

∫

− dx − 10 5 f)

∫

3 dx 3 g)

∫

7 xdx 3 2 h)

∫

5 xdx 23 i)

∫

4x dx 0 2 j)

∫

x dx − 1 2 3 k)

∫

xdx − + 6 3 3 l)

_∫

_{x dx} − + 1 2 3 2 ) 1 ( m)

∫

x x dx − − + 0 4 2 4 _{8 16)} ( n)

∫

x x dx − − + 4 1 2 4 ) 16 8 ( o)

∫

3senxdx 6 π π p)

∫

−3 xdx 2 3 cos π π q)

∫

4 x− dx 1 ( 2) r)

∫

x dx − + 2 1 2 ₅ s) dx x x

∫

− + 2 1 ₂ t) dx x x

∫

− − + 2 5 ₃ 5 u)

∫

−2 x− x dx 2 3 _{9cos )} cos 4 ( π π v)

∫

₋2 sen xdx 2 3 3 π π x)

∫

4 x − x + x+ dx 2 1( 3 6 2 9 1) y)

_∫

_{x x dx} − + 1 1 3 1 3 4 ) 4 ( z)

∫

2 x x + dx 0 3 2 ₁ 2 w)

∫

₀3x 1+xdx a1)

∫

2sen x⋅ x dx 0 3 _cos π b1)

∫

3 x − x+ dx 0 2 _{4 1)} 3 ( c1)

∫

4 x −x + dx 0 2 3 ₁₎ ( d1)

∫

₃6 x2 − x dx ) 2 ( e1)

∫

x x dx − + − 3 1 2 _{5 1)} 3 ( f1) dx x x

∫

12 +2 2 ₁ g1)

∫

y y dy − − 5 3 3 _{4 )} ( h1) dz z z

∫

1 ₊ 0 ₍ 2 ₁₎3

i1)

∫

₁4 x(2+x)dx j1)

∫

10 x− dx 1 5 1 k1)

∫

₀ 5t t2 +₁dt l1)

∫

w w dw − − 0 2 2 4 3 m1)

∫

₋3_{1( y+2)}3 dy n1)

∫

2 sen xdx 0 2 π o1)

∫

π xdx 0 2 1 cos p1)

∫

2t t + dt 1 3 2 ₁ q1) dx x x

∫

3 ₋ 1 ₍₃ 2 ₁₎3 r1) dy y y y y

∫

1 ₊+ ₊ 0 3 3 2 2 4 3 ) 2 ( s1) dw w w w

∫

4 − 2 3 4 t1) dx w w

∫

15 ₊ 0 (1 )34 u1)

∫

5x x− dx 4 2 ₄ v1)

∫

₀3(x+2) x+1dx x1)

∫

x x dx − + + 1 2( 1) 3 y1) dx x x

∫

1 ₊+ 0 3 1 1 z1)

∫

1e dx 0 2 w1)

∫

₁e2 x dx a2)

∫

3 1 e x dx b2)

∫

e dx x x 1 ln c2)

∫

2 2 ) (ln e e x x dx d2)

∫

3 + − 0 ₂ dx e ex x e2)

∫

2 − 0 4 2 dx xe x f2)

∫

+ 2 1 _{e e} dx e x x

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman, 2007.

GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 2001.

HUGHES-HALLETT, D. [et al.]. Cálculo Aplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2005. STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.

Lista de Sites

Matemática Essencial: Disponível em

http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/superior/superior.htm (acesso em março/2011).

e-Cálculo: Disponível em http://ecalculo.if.usp.br/ (acesso em março/2011).

Cálculo A. Disponível em