5
INTEGRAIS DEFINIDAS, INDEFINIDAS E SUAS APLICAÇÕES
O conceito de integral tem suas origens no Método da Exaustão, tendo Arquimedes como um de seus grandes desenvolvedores. A motivação deste método foi o cálculo de áreas e volumes de figuras e sólidos com fronteiras curvas.Todo polígono tem um número associado denominado Área. A área de um retângulo, por exemplo, é definida como sendo o produto da medida da sua base pela da sua altura. Já a área do triângulo é determinada pela metade do produto da medida da sua base pela da altura relativa à base. Como todo polígono pode sempre ser decomposto em triângulos, sua área é a soma das áreas desses triângulos.
2 .h b A= A bh b.h 2 . . 2 = =
∑
= = 3 1 2 i i ih b AJá o círculo é um pouco mais complexo. Os gregos resolveram o problema de determinar sua área de uma maneira muito natural. Primeiro eles aproximaram essa área, inscrevendo no círculo um quadrado. Depois melhoraram a aproximação, passo a passo, dobrando e redobrando o número de lados, isto é inscrevendo um octógono regular depois um hexadecágono regular (polígono com 16 lados), e assim por diante. As áreas dos polígonos inscritos aproximam-se da área exata do círculo com uma precisão cada vez melhor.
Essa idéia leva à fórmula familiar para a área A de um círculo em termos de seu raio r:
² r A=π
Mas, para conseguir essa exatidão, considera-se que o círculo tenha inscrito nele um polígono regular com um número grande de lados. O qual é subdividido em triângulos isósceles com vértice no centro do círculo. A soma das áreas desses triângulos resulta numa aproximação da área do círculo.
Este é o Método da Exaustão, cujo nome fornece uma boa descrição desse processo, porque a área do círculo é exaurida pelas áreas dos polígonos inscritos.
5.1 O Problema da Área
Seja y= f(x) uma função não-negativa definida num intervalo fechado b
x
a≤ ≤ . Calcular a área da região sob o gráfico de f, acima do eixo das abscissas e entre as retas verticais
x
=
a
e x= .bSendo [a,b], como definido, um intervalo fechado e a função f contínua
nesse intervalo, para cada ponto c pertencente ao intervalo [a,b], devemos
ter ) ( ) ( lim f x f c c x→ =
Para determinar a área da região hachurada abaixo da curva, pode-se utilizar o método da exaustão como segue:
Método da exaustão para o problema da área sob a curva - Dividir o intervalo [a, b] em n subintervalos iguais;
- Em cada subintervalo construir o retângulo mais alto que fica inteiramente sob o gráfico;
- Anote a soma Sn das áreas desses retângulos. Essa soma aproxima a área
sob o gráfico e a aproximação é melhorada tomando-se valores cada vez maiores de n;
- Calcule a área exata sob o gráfico achando o valor limite ao qual tendem as somas aproximadas Sn quando n tende ao infinito
n n
A
A
+∞ →= lim
Exemplo: Usando o método da exaustão vamos calcular a área A sob a curva y=x² no intervalo [0, 1].
É fácil perceber que 0 < A < 1, pois A
está contida num quadrado de lado
Para aproximar melhor a área A,
dividimos a região sob a curva em 4
faixas, utilizando para isto as retas
verticais 4 1 = x , 2 1 = x e 4 3 = x .
Podemos aproximar cada faixa por
um retângulo com base igual à largura
da faixa e altura igual ao lado direito da
faixa. As alturas desses
retângulos são os valores da função
² ) (x x
f = nos extremos direitos
dos subintervalos: ,1 4 3 4 3 , 2 1 , 2 1 , 4 1 , 4 1 , 0 e .
Chamando de R1 a soma das áreas
desses retângulos, temos:
Como a área A é menor que R1
podemos afirmar que
Podemos também aproximar A usando
os retângulos menores, cujas alturas
são os valores de f nos extremos esquerdos dos
Sendo assim,
Podemos repetir esse
procedimento para um número maior de
Com 8 faixas, obtemos as somas:
3984375 ,
0
3 ≈
R para os retângulos maiores.
2734375 ,
0
4 ≈
R para os retângulos menores.
Assim, melhoramos nossa aproximação da área A sob a curva para: 3984375 , 0 2734375 , 0 < A<
Para obter melhores estimativas, basta aumentar o número de faixas. A tabela ao lado mostra os resultados para
o cálculo da área A usando n retângulos. Observe que com 1000 retângulos obtivemos um bom estreitamento da desigualdade.
Uma estimativa adequada é obtida fazendo-se a média aritmética dos valores desfazendo-se intervalo. Portanto, 3 1 3333335 , 0 ≈ ≈ A .
Há outra forma de comprovar que a soma das áreas dos retângulos é aproximadamente 1/3 : utilizando o limite da soma dos n retângulos, quando n tende ao infinito no sentido positivo. Veja:
Rn é a soma dos n retângulos superiores. Cada retângulo tem largura igual a 1/n e alturas determinadas pela função f(x)=x² nos pontos 1/n , 2/n , 3/n , ..., n/n. Isto é, as alturas são:
2 2 2 2 ,..., 3 , 2 , 1 n n n n n . Assim: 2 2 2 2 1 ... 3 1 2 1 1 1 + + + + = n n n n n n n n n Rn Fatorando temos: .
(
1² 2² 3² ... ²)
² 1 . 1 n n n Rn = + + + +Como a soma dos quadrados dos n primeiros números inteiros positivos é
(
)(
)
6 1 2 1 ² ... ² 3 ² 2 ² 1 + + + +n =n n+ n+ Obtemos:(
)(
)
6 1 2 1 ³ 1 + + = n n n n Rn Ou seja:(
)(
)
² 6 1 2 1 n n n Rn = + + n Área 10 0,2850000 < A < 0,3850000 50 0,3234000 < A < 0,3434000 100 0,3283500 < A < 0,3383500 100 0 0,3328335 < A < 0,3338335Calculando o limite de Rn quando n tende ao infinito, temos:
(
)(
)
3 1 2 . 1 . 6 1 1 2 1 1 6 1 lim 1 2 1 6 1 lim ² 6 1 2 1 lim lim = = + + = + + = + + = →+∞ →+∞ →+∞ +∞ → n n n n n n n n n R n n n n nO mesmo pode ser mostrado para as somas dos n retângulos inferiores.
Assim, a área A da região sob a curva é definida pelo limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes. O que nos leva a concluir que
3 1 =
A .
5.2 A Antiderivada
A antidiferenciação é a operação contrária da diferenciação. Por exemplo, dada f(x)=12x2 +2x e F(x)=4x3+x2 +5, temos que
x x x
F'( )=12 2 +2 , então, dizemos que F(x) é antiderivada de f(x)=12x2 +2x.
Concluímos que uma função F será chamada de antiderivada de uma função f num intervalo I, se F'(x)= f(x) para todo x no intervalo I.
Observe que se G(x)=4x3 +x2 −17 possui derivada G'(x)=12x2 +2x, então
G(x) também é antiderivada de f (x), embora G(x) ≠F(x). A única diferença entre F(x) e G(x) é o valor da constante, +5 e -17. Concluímos então que toda função do tipo H(x)=4x3+x2 +C é antiderivada de f. Antidiferenciação é o
processo de encontrar o conjunto de todas as antiderivadas de uma função. O símbolo
∫
denota a antidiferenciação e escrevemos∫
f(x)dx=F(x)+C,dx x
f( ) dentro de
∫
para dizer que a função f (x) é a derivada com relação ax de alguma função. Às antiderivadas também chamaremos de integrais. Encontraremos as antiderivadas utilizando algumas regras:
I) A integral da derivada de x é igual a x mais uma constante arbitrária C.
C x dx= +
∫
.II) Se n for um número racional,
∫
+ + = + C n x dx x n n 1 1 , n≠−1.A afirmação acima diz que a derivada de C n xn + + + 1 1 é xn. Confira o resultado. Exemplo:
∫
x2dx= Exemplo:∫
dx=∫
x− dx= x 2 2 1 Exemplo:∫
xdx=∫
x3dx= 1 3III) A integral da constante a vezes a função é igual a constante a vezes a integral da função.
( )
x dx a f( )
xdx af∫
=∫
.IV) A integral da soma é a soma das integrais.
Se f1 e f2 forem definidas no mesmo intervalo, então
( )
( )
( )
∫
( )
∫
[f1 x +f2 x ]dx=∫
f1 xdx+ f2 x dx.Ex:
∫
(
4x3+x2 −17)
dx=∫
4x3dx+∫
x2dx+∫
−17dx=Atividades
1. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta. a)
∫
(3x+ dx5) b)∫
(5x4 −8x3+9x2−2x+7)dx c)∫
+ dx x x x( 1) d)∫
+ dt t t 3 4 2 7 5 e)∫
3x4dx f)∫
2x7dx g)∫
dx x3 1 h)∫
dx t5 3 i)∫
u2du 3 5 j)∫
103 x2dx k)∫
dx x 3 2 l)∫
dy y 3 m)∫
6t23 tdt n)∫
7x3 xdx o)∫
(4x3+x2)dx p)∫
(3u5−2u3)du q)∫
y3(2y2−3y)dy r)∫
x4(5−x2)dx s)∫
(3−2t+t2)dtt)
∫
(4x3−3x2+6x−1)dt u)∫
(8x4 +4x3 −6x2−4x+5)dx v)∫
(2+3x2−8x3)dx x)∫
x(x+ dx1) y)∫
(ax3+bx2+c)dx z)∫
(x2 − dxx) 3 a1)∫
− dx x x 1 b1)∫
+ + dx x x 5 3 2 2 3 c1)∫
− + dx x x4 2 1 1 3 d1)∫
+ − dx x x x2 4 4 e1)∫
+ − dy y y y4 2 2 1 f1)∫
+ dx x x 3 3 1 g1)∫
− dt t t 3 3 1 27Observe que quando calculamos uma integral, por exemplo:
∫
3x dx=x2+C, onde C é qualquer valor real. Para cada valor de C obtemos uma curva diferente, neste caso deslocamos a curva f(x)=x2 em C unidades para cima
e para baixo na direção do eixo y. No mesmo plano cartesiano faça um esboço dos gráficos de f(x)=x2+Cpara C ={−3,0,2,5}
A equação f(x)=x2+C representa uma família de curvas. Para obtermos a
curva específica que passa pelo ponto (2, 6), fazemos: 2
4 6 2
6= 2+C⇒ − =C⇒C= . A equação procurada então é f(x)= x2 +2 que
esboçamos no gráfico acima.
Atividades
2. Em qualquer ponto (x, y) de uma determinada curva, a reta tangente tem uma inclinação igual a 4x – 5. Se a curva contém o ponto (3, 7), ache a sua equação.
Lembrete: A inclinação da reta tangente a uma curva em qualquer ponto (x, y) é a derivada nesse ponto.
3. O ponto (3, 2) está numa curva em qualquer ponto (x, y) sobre a curva a inclinação da reta tangente é igual a 2x – 3. Ache uma equação da curva.
4. A inclinação da reta tangente num ponto qualquer (x, y) de uma curva é
x
3 . Se o ponto (9, 4) está na curva, ache uma equação para ela.
5. Os pontos (-1, 3) e (0, 2) estão numa curva e em qualquer ponto (x, y) da
curva x dx y d 4 2 2 2 −
= . Ache uma equação da curva. Sugestão: faça dx dy dx y d ' 2 2
= e obtenha uma equação envolvendo y’, x, e uma constante arbitrária C1. Dessa equação, obtenha uma outra envolvendo y, x,
1
Antiderivadas de Funções Trigonométricas
As integrais abaixo são consequencias diretas das derivadas das funções trigonométricas conhecidas.
I) Função Seno.
Se f (x) = sen(x) então
∫
senx dx=−cosx+C.II) Função Cosseno.
Se f (x) = cos(x) então
∫
cosx dx=senx+C.III) Função Secante ao quadrado. Se f (x) = sec2(x) então
∫
sec2x dx=tgx+C. IV) Função Cossecante ao quadrado..
Se f (x) = cosec2(x) então
∫
cossec2x dx=−cotgx+C. V) Função Secante vezes a tangente.
Se f (x) = sec(x)tg(x) então
∫
secx tgx dx=secx+C.VI) Função Cossecante vezes cotangente.
Exemplo:
∫
(
3secx tgx−5cosec2x)
dx=Algumas identidades trigonométricas frequentemente usadas no cálculo de antiderivadas trigonométricas: 1 cosecx= senx 1 sec cosx x= 1 cotgx= tgx ) cos( ) ( ) ( x x sen x tg = ) ( ) cos( ) ( cot x sen x x g = ) cos( 1 ) sec( x x = ) ( 1 ) ( cos x sen x c = 1 ) ( cos ) ( 2 2 x + x = sen x x tg2( )+1= sec2 x x g2( ) 1 cosec2 cot + =
(
1 cos(2))
2 1 ) ( 2 t t sen = − ) cos( ) ( ) cos( ) ( ) (a b sen a b sen b a sen ± = ± ) ( ) ( ) cos( ) cos( )cos(a±b = a b sen a sen b
) cos( ) ( 2 ) 2 ( x sen x x sen = ) ( ) ( cos ) 2 cos( x = 2 x −sen2 x Exemplo:
∫
− dx= senx x sen gx 3 2 cot 2 Exemplo:∫
(
tg2x+cotg2x+4)
dx= Atividades6. Faça a antidiferenciação e verifique o resultado calculando a derivada da sua resposta.
b)
∫
(
5cosx−4senx)
dx= c)∫
dx= x senx 2 cos d)∫
dx= x sen x 2 cose)
∫
(
4cosecxcotgx+2sec2 x)
dx= f)∫
(
3cosec2t−5sect tgt)
dt= g)∫
(
2cotg2θ−3tg2θ)
dθ= h)∫
tgθ− θ θdθ= cos cos 4 3 2Regra da Cadeia para a Antidiferenciação Para calcular a derivada de (1 2)10
10 1 )
(x x
f = + aplicamos a regra da cadeia, e
obtemos: (1 ) (1 )' (1 ) (2 ) 10 10 ) ´(x x2 9 x2 x2 9 x f = + ⋅ + = + ⋅ . Para calcular
∫
(1+x2)9(2x)dx, vemos que fazendo g(x)=(1+x2) e que g'(x)=2x, temos
∫
g(x)9g'(x)dx. Ainda fazendo g(x) = u, temos u =(1+x2) e
dx x du xdx du= ⇒ = 2
2 . Fazendo as substituições temos:
∫
=∫
u du=u +C = +x +C x du x u9 9 10 (1 2)10 10 2 ) 2 ( .Resultado: Se g for uma função diferenciável e se n for um número racional, C n x g dx x g x g n n + + = +
∫
1 )] ( [ ] ) ( ' [ )] ( [ 1 , para n≠−1.Note que fizemos uma substituição, u =(1+x2) e, na prática, é utilizado o
termo “integral por substituição”, ao invés de regra da cadeia para integrais. Exemplo: Calcule
∫
3x+4dx. Fazendo∫
(
x+)
2dx 1 4 3 , utilizamos a substituição u = x3 +4 Exemplo: Calcule∫
x2(5+2x3)8dx .Exemplo: Calcule
∫
xcos(x2)dx . Exemplo: Calcule∫
x2 1+xdx . Fazemos u=1+x⇒x=u−1⇒x2 =(u−1)2, e prosseguimos os cálculos. Atividades7. Calcule a integral por substituição, ou seja, utilizando a regra da cadeia:
a) dx x x sen
∫
b)∫
1−4ydy c)∫
3 3x−4dx d)∫
3 6−2xdx e)∫
5r+1dr f)∫
x x2+9dx g)∫
3x 4−x2dx h)∫
x2(
x3−)
10dx 1 i)∫
x(
2x2 +1)
6dx j)∫
5x3 (9−4x2)2dx k) dx x x∫
( 2 +1)3 l) dy y y∫
− 4 5 3 ) 2 1 ( m) ds s s∫
3 2 +1 n)∫
(
x − x+)
3dx 4 2 4 4 o)∫
x4 3x5−5dx p)∫
x x+2dx q) dt t t∫
+3 r)(
)
dr r r∫
− 7 1 2 s)∫
x3(
−x2)
12dx 2 t)∫
x2 3−2xdx u)∫
x(
+x)
4dx 1 3 5 3 v)∫
cos4θdθ x)∫
sen xdx 3 1 y)∫
x2senx3dx 6 z)∫
tcos4t2dt 2 1 a1)∫
sec25xdx b1)∫
cosec22θdθ c1)∫
ycosec3y2cotg3y2dy d1)∫
r2sec2r3dr e1)∫
x(
+senx)
5dx 2 cos f1)(
)
dx x senx∫
+ 2 cos 1 4 g1) 2 3 1 1 x dx x∫
+ h1) 1 1 2 t dt t∫
−i1)
∫
2senx3 1+cosxdxj1)
∫
sen2x 2−cos2xdxl1)
∫
sen3θcosθdθ m1)∫
(
tg x+ g x)
2dx 2 cot 2 n1) dx x sen x∫
4 1 4 1 cos 2 1 o1) dx x sen x∫
1−cos23 3 p1) dt t t∫
sec23 q1)(
)
dx x x x x∫
3++322+1 2 r1)∫
x(
x2+)
− x2−x4dx 2 4 1 s1)∫
+s(
s+)
2ds 1 3 t1)(
)
(
y
)
dy
y
∫
−
+
3 23
3
u1)∫
(
2t2+1)
31t3dt v1) dr r r∫
3+2 4 3 1 ) 2 ( x1) dt t t t t − +∫
2 2 2 3 1 1 y1) dx x x∫
+ 2 3 2 3 ) 4 ( z1) dx x x∫
− 2 3 2 1a2)
∫
sen x sen(cosx)dxIntegral da Função Exponencial e Logarítmica
Função exponencial é toda a função cuja variável independente esteja no expoente, ou seja, uma função da forma f(x)=ax onde a > 0, a≠1 é uma
função exponencial e o número real a é a base. A integral de tal função é dada por C
a a dx ax = x +
∫
ln , onde a e a log ln = , ou seja, ln a é o logaritmo neperiano de a, que nada mais é que o logaritmo cuja base é o número de euler. Exemplo:∫
dx=∫
dx x x 2 3 3 10 10 , fazendo a substituição dx du dx du x u= ⇒ = ⇒ = 3 2 2 3 2 3 , temos: u du= udu= ⋅ u +C∫
∫
10 32 ln1010 3 2 3 2 10 .Retornando a substituição, finalizamos: C
x + ⋅ 10 ln 10 3 2 2 3 .
Quando a base da função exponencial é o número de euler e, temos a função exponencial natural f(x)=ex. Utilizando a função acima, temos:
C e C e C e e dx ex = x + = x + = x+
∫
ln 1 . Exemplo:∫
e dx = x 2 3 , fazendo a substituição u= x⇒du= dx⇒ du =dx 3 2 2 3 2 3 , temos: eu du= eudu= ⋅eu+C∫
32 32∫
32 . Retornando a substituição, finalizamos: C e x + ⋅ 2 3 3 2 .Quando a base do logaritmo é o número de euler e temos logea, que
chamamos de lna. Tal função é conhecida como logarítmica natural ou logaritmo neperiano e obedece as mesmas regras de logaritmos. Se u for uma função de x diferenciável, e f(u)=lnu, então u du
u df u u du df ' 1 ' 1 ⇒ = = , aplicando
a antiderivada em ambos os lados da igualdade, C u u f du u u df =
∫
⇒ = +∫
1 ' ( ) ln .Observação: Lembramos que o domínio da função logarítmica são os reais positivos excluindo o zero. Portanto, os valores considerados para as equações abaixo que estão nos logaritmos neperianos devem ser apenas as imagens reais e positivas. O sinal de valor absoluto que aparece nos livros de cálculo foi omitido.
Exemplo: Calcule
∫
+ dx x x 1 3 2 .Fazemos a seguinte substituição de variáveis: dx x du dx x du x u= + ⇒ = ⇒ 2 = 2 3 3 3 1 . Então du u C x C u x du u x dx x x + + = + = = ⋅ = +
∫
∫
∫
ln( 1) 3 1 ln 3 1 1 3 1 3 1 3 2 2 3 2 . Exemplo: Encontrar∫
+ + dx x x 1 2 2 Como 1 2 2 + + x xé uma fração racional imprópria, pois temos duas raízes no polinômio do numerador e uma raiz no polinômio do denominador (isso caracteriza a fração racional imprópria), dividimos o numerador pelo denominador, 1 3 1 1 2 2 + + − = + + x x x x . Então:
∫
∫
= − + + + + + − = + + dx x x x C x x dx x x ) 1 ln( 3 2 1 1 3 1 1 2 2 2 . Exemplo: Calcule∫
dx x x lnFaz-se a substituição: xdu dx
x dx du x u= ln ⇒ = ⇒ = . Então temos:
∫
∫
∫
= xdu= udu= u +C= x +C x u dx x x 2 (ln )21 2 1 2 1 ln .A partir da integral do logaritmo neperiano, podemos obter a fórmula da integral de funções trigonométricas que não foram vistas até então:
I) Função tangente: dx x senx dx tgx
∫
∫
= cos .Fazendo a substituição de variáveis: dx senx du dx senx du x u = − ⇒ − = ⇒ = cos temos:
∫
∫
∫
=− = + =− + − ⋅ = u C x C u du senx du u senx dx x senx ) ln(cos ln ) (cos , por propriedade
de logaritmo, fazemos C x C x C x C x x f + = + = + = + − = − lnsec cos 1 ln ) ln(cos ) ln(cos ) ( 1 . Exemplo: Calcule
∫
tg3x dx=II) Função Cotangente: dx
senx x dx
gx
∫
∫
cot = cosFazendo a substituição de variáveis: dx
x du dx x du senx u= ⇒ = ⇒ = cos cos temos:
∫
∫
∫
= ⋅ = = u+C= senx +C u du x du u x dx senx x ) ln( ln cos cos cos . Exemplo: Calcule∫
cotg3x dxIII) Função Secante:
∫
secx dx=ln(secx+tgx)Multiplicamos e dividimos tal função por (secx + tgx).
∫
∫
∫
= ++ + + = dx tgx x xtgx x dx tgx x tgx x x dx x sec sec sec sec sec sec sec 2 . Fazendo a substituição dx x xtgx du dx x xtgx du tgx x u = + ⇒ + = ⇒ + = 2 2 sec sec sec sec sec , temos:∫
∫
= = + = + + + ⋅ + du u C x tgx C u xtgx x du u xtgx x ) ln(sec ln 1 sec sec sec sec 2 2 . IV) Função Cossecante:∫
coscx dx=ln(coscx−cotgx)+CMultiplicamos e dividimos tal função por (coscx - cotgx), de forma análoga a função trigonométrica anterior.
Exemplo: Calcule
∫
x sen
dx 2
Atividades
8. Calcule o valor das integrais abaixo: a)
∫
− x dx 2 3 b)∫
+10 7x dx c) dx x x∫
23+4 d) dx x x∫
2− 2 e) dx x x∫
533 −1 2 f) dx x x x∫
2( −−11) g) dt sent t∫
1+2cos h) dt t t sen∫
cos 33−1 i)∫
(cotg5x+cosec5x)dx j)∫
(tg2x+sec2x)dx k) dx x x sen∫
2−cos3 2 2 l) dx x sen x∫
cos 33+3 m) dx x x∫
22 −4 3 n) dy y y∫
35+−24 o)∫
x x dx ln p)∫
x(1dx+ x) q) dx x x∫
ln23 r) dx x x x∫
(2(1+−lnln2 )) s) dx x x x x∫
[(ln ) ++ln ] 1 ln 2 2 t) dx x x x x∫
3 −2 3++15 −2 2 3 5 u) dx x x tg∫
(ln ) v) dt t t g∫
cot x)∫
e2−5xdx y)∫
e2x 1+dx z)∫
+ dx e e x x 2 1 a1)∫
e3xe2xdx b1)∫
− e dx e x x 2 3 3 ) 2 1 ( c1)∫
x2e2x3dx d1)∫
+ dx e e x x 3 2 e1)∫
+ex dx 1 f1)∫
32xdx g1)∫
anxdx h1)∫
atetdt i1)∫
5x4+2x(2x3+1)dx j1)∫
x x3dx 10 2 k1)∫
azlnz(lnz+ dz1) l1)∫
ey2ey3eydy m1)∫
dx x x) ln( 4 n1)(
(
)
)
dx x x x x∫
4+ +2+ 2 2 1 2 3 1 3Se tivermos uma função do tipo h(x)= f(x)⋅g(x), a sua derivada é dada pela regra do produto para derivadas: h'(x)=(f(x)⋅g(x))'= f'(x)⋅g(x)+ f(x)⋅g'(x), donde temos, isolando f'(x)⋅g(x): f'(x)⋅g(x)=(f(x)⋅g(x))'−f(x)⋅g'(x).
Aplicando integral em ambos os membros:
dx x g x f x g x f dx x g x f'( ) ( )
∫
[( ( ) ( ))' ( ) '( )]∫
⋅ = ⋅ − ⋅ . Como a integral da soma é asoma das integrais:
∫
f'(x)⋅g(x)dx=∫
(f(x)⋅g(x))'dx−∫
f(x)⋅g'(x)dx=∫
∫
f'(x)⋅g(x)dx=f(x)⋅g(x)− f(x)⋅g'(x)dx. Se fizer v= f(x)⇒dv= f'(x) e também u=g(x)⇒du=g'(x), e assim a fórmula fica da forma:∫
∫
u⋅dv=u⋅v− v⋅du. Então para usar tal fórmula, basta identificar na integralquem será u e quem será dv. Exemplo:
∫
x lnxdx Fazemos x dx du x u= ln ⇒ = e também 2 2 x v xdx dv= ⇒ = , logo∫
∫
= − ⋅ x dx x x x xdx x 2 ln 2 ln 2 2e então é só utilizarmos o método de substituição conhecido. Exemplo:
∫
x3ex2dx Exemplo:∫
x cosxdx Exemplo:∫
x2exdx Exemplo:∫
exsenxdx Atividades9. Calcule a integral por partes: a)
∫
xe3xdxb)
∫
xcos2xdxc)
∫
x secxtgxdxe)
∫
lnxdx f)∫
(lnx)2dx g)∫
xsec2xdx h)∫
x ln2 xdx i)∫
(
)
+ dx x xex 2 1 j)∫
x2sen3xdx k)∫
senxln(cosx)dx l)∫
sen(lnx)dx m)∫
excosxdx n)∫
x5ex2dx o)∫
−x dx x 2 3 1 p)∫
dx e x sen x 2 q)∫
x2senxdx r)∫
−e dx e x x 1 2 s)∫
cos xdxIntegração de Funções Racionais por Frações Parciais
Uma função racional é uma função da forma ( ) (( )) x Q x P x H = , onde P(x) e Q(x) são polinômios. Quando o grau do numerador for maior ou igual ao grau do denominador, temos uma fração racional imprópria, então para realizar a integração, fazemos a divisão do numerador pelo denominador, até obter uma fração racional própria, ou seja, uma fração racional cujo grau do numerador é menor que o grau do numerador. É com frações racionais próprias que vamos
trabalhar. Por exemplo, em
∫
− + + − dx x x x x 4 1 3 10 2 2 4efetuando a divisão temos:
∫
− +∫
−− dx x x dx x 4 23 3 ) 6 ( 2 2. É com expressões como o integrando da segunda parcela que vamos trabalhar. Preocuparemo-nos em escrever funções racionais próprias na forma de soma de frações parciais. Iniciamos fatorando o denominador em produto de fatores lineares e quadráticos. Então serão considerados os casos: I) Em ( ) (( )) x Q x P x
H = , os fatores de Q(x) são todos lineares e nenhum é repetido. Então a soma de frações parciais é dada por:
n n n b x a A b x a A b x a A x Q x P + + + + + + = ... ) ( ) ( 2 2 2 1 1 1 Exemplo:
∫
− − − x x x dx x 2 ) 1 ( 2 3 II) Em ) ( ) ( ) ( x Q x P xH = , os fatores de Q(x) são todos lineares e alguns são repetido. Supondo que (aix+bi) seja repetido p vezes, então:
i i p i i p p i i p i i ax b A b x a A b x a A b x a A + + + + + + + + − − 2 1 1 2 1 ) ( ... ) ( ) ( Exemplo:
∫
− − 3 2 3 ) 2 ( ) 1 ( x x dx x III) Em ( ) (( )) x Q x P xH = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum fator é repetido. Os fatores quadráticos permanecem porque não é possível obter raízes reais para eles, então eles devem permanecer como uma equação do segundo grau. A fração parcial que possui polinômio de segundo grau no denominador fica da forma:
c bx ax B Ax + + + 2 . Exemplo:
∫
∫
− + + + + = + + − − − 1 2 2 ) 2 2 )( 1 ( ) 3 2 ( 2 2 2 x C x x B Ax dx x x x x xIV) Em ( ) (( )) x Q x P x
H = , os fatores de Q(x) são quadráticos e nenhum, ou alguns dos fatores são repetidos. Se um fator quadrático de Q(x), que pode ser
(
ax2 +bx+c)
repetido p vezes, então teremos a soma de p frações parciais da forma:(
) (
)
ax bx c B x A c bx ax B x A c bx ax B x A p p p p + + + + + + + + + + + + −1 2 2 2 2 2 1 1 ... . Exemplo:∫
(
(
)
)
+ − − dx x x x x 2 2 5 4 2 Atividades 1. Calcule a integral: a)∫
−4 2 x dx b)∫
− + 6 2 2 x x dx x c) dx x x∫
52−−42 e) dx x x x x∫
3(−4 −2−2)2f)
∫
− + − dw w w w 4 7 2 11 4 2 g)∫
− − − − dt t t t t 2 5 3 5 26 9 2 2 h)∫
− − − dx x x x x 3 2 4 1 2 6 i)∫
− + + dx x x x 1 2 2 2 j)∫
+ 2 3 3x x dx k)∫
− − + dx x x x x 3 2 4 1 l)∫
x2(x+1)2 dx m)∫
− + − dx x x x x 2 3 2 1 3 n)∫
+ + − − dx x x x x 2 2 ) 1 )( 3 2 ( 7 3 o)∫
(t+2)2(t+1) dt p)∫
− + dz z z 2 2 4) ( 1 3 q)∫
− + − + − 2 5 4 ) 5 11 5 ( 2 3 2 x x x dx x x r)∫
+ − + + − − + dx x x x x x x x 3 5 17 4 5 3 2 3 2 3 4 s)∫
− + − dx x x x x 4 5 4 2 1 2 2 t)∫
+ + − − + + + − dx x x x x x x x 4 4 11 6 9 17 52 30 24 2 3 4 2 3 u)∫
+ −8 1 16x4 x2 dx v)∫
+ x x dx 3 2 x)∫
(
x(x+24+)
4) dx x z)∫
−1 16x4 dx w)∫
(
)
− + − − − 8 4 2 4 4 2 3 2 x x x dx x x a1)∫
(
(
)
(
)
)
+ + + + 1 1 2 1 2 2 t t dt t t b1)∫
+ + + dw w w w w 4 4 13 3 3 3 c1)∫
− + − + 1 ) ( 2 3 2 x x x dx x x d1)∫
+ 2 4 9x x dx e1)∫
+ +x x x dx 2 3 f1)∫
+ + + 2 3 4 4 4 ) 3 ( x x x dx x g1)∫
+ + + − x x x dx x x 3 5 2 2 ) 2 2 ( h1)∫
+ − + + ) 3 2 )( 3 ( ) 9 2 ( 2 2 3 x x x dx x x i1)∫
+ − − + − 2 2 2 3 ) 5 2 ( ) 10 15 5 ( z z dz z z z ji)∫
(t+1)3 dt k1)∫
− − + 1 27 ) 1 2 ( 3 2 x dx x x l1)∫
+ 2 2 5 ) 1 ( x x e dx e m1)∫
(4 2+9)2 18 x dx n1)∫
+ + + + + 4 6 4 ) 2 3 2 ( 2 3 2 x x x dx x x o1)∫
(6 +4( 3++98)( +224+3)+32) 2 3 4 w w dw w w w w A Integral DefinidaPara que possamos compreender a integral definida, entenderemos primeiramente a soma de Riemann.
Imagine uma função qualquer, por exemplo f(x)=10−x2. Para obtermos a
área do gráfico de tal função com o eixo x no intervalo que vai de ¼ até 3, Riemann sugeriu o seguinte processo:
1) Observamos que f é definida no intervalo [ ¼ , 3], ou seja, todos os valores do intervalo tem valor real para a função dada, e portanto a função é contínua no intervalo. Podemos esboçar o gráfico para observar:
2) Dividimos o intervalo [ ¼ , 3] em n subintervalos. Para tal fazemos x0 =a e b
xn = , e escolhemos qualquer um dos (n – 1) pontos intermediários entre ¼ e
3 de modo que x0 <x1<...<xn−1<xn. Os pontos x0, x1, x2, ..., xn−1, xn
não são necessariamente eqüidistantes. Podemos escolher por exemplo: 25 , 0 4 1 0 = = x , x1 =1, 1,5 2 3 2 1 1 2 = = = x , 1,75 4 7 4 3 1 3= = = x , 2,25 4 9 4 1 2 4 = = = x , 3 5 = x . No gráfico temos:
3) O comprimento de cada subintervalo, será denotado por Δix, donde temos
que Δ1x=x1−x0, Δ2x=x2−x1, ...., Δix =xi −xi−1. O conjunto desses
subintervalos forma uma partição do intervalo que podemos chamar de partição
Δ. Para o exemplo, temos os valores de delta: 0,75 4 3 4 1 1 0 1 1 = − = − = = Δx x x , 5 , 0 2 1 1 2 3 1 2 2 = − = − = = Δ x x x , 0,25 4 1 2 3 4 7 2 3 3 = − = − = = Δ x x x , 5 , 0 2 1 4 2 4 7 4 9 3 4 4 = − = − = = = Δ x x x , 0,75 4 3 4 9 3 4 5 5 = − = − = = Δ x x x . E assim, temos que 2,75 4 11 4 1 3− = = =
Δ , que é o mesmo que obtemos fazendo
75 , 2 75 , 0 5 , 0 25 , 0 5 , 0 75 , 0 5 4 3 2 1+Δ +Δ +Δ +Δ = + + + + = Δ = Δ x x x x x . Ao
comprimento de cada subintervalo calculado anteriormente chamamos norma e indicamos por ||Δix||.
4) Em cada partição Δix escolhemos um ponto qualquer ξi, tal que i
i
i x
x−1<ξ < . Para o exemplo, podemos tomar
2 1 1 = ξ , pois 1 2 1 4 1 < < , o que quer dizer que x0 <ξ1<x1. Satisfazendo a condição xi−1<ξi <xi, podemos
escolher 1,25 4 5 4 1 1 2 = = = ξ , 1,75 4 7 4 3 1 3= = = ξ , ξ4 =2 e 2,75 4 11 4 3 2 5 = = = ξ .
Calculamos o valor da função em cada um dos pontos ξi, fazendo 2 ) ( 10 ) ( i i f ξ = − ξ . Então temos: 4 3 9 2 1 10 2 1 2 = − = f , 16 7 8 4 5 10 4 5 2 = − = f , 16 15 6 4 7 10 4 7 2 = − = f ,
( )
2 =10−( )
22=6 f e 16 7 2 4 11 10 4 11 2 = − = f .5) Observamos que o produto f (ξi)⋅Δix é a área do retângulo de base Δix e
altura f(ξ . Somando as áreas dos retângulos formados por cada uma das i)
partições podemos aproximar a área formada entre o gráfico de f(x)=10−x2
e o eixo x, no intervalo [ ¼ , 3]. Então f(ξ1)⋅Δ1x+f(ξ2)⋅Δ2x+ f(ξ3)⋅Δ3x+ f(ξ4)⋅Δ4x+ f(ξ5)⋅Δ5x=
( )
28,667 3 86 3 32 18 4 3 16 7 2 2 1 6 4 1 16 15 6 2 1 16 7 8 4 3 4 3 9 = = = + + + + , que é a área aproximada.O somatório da área formada por cada partição, da forma
∑
= Δ ⋅ = Δ ⋅ + + Δ ⋅ + Δ ⋅ n i i i n n x f x f x f x f 1 2 2 1 1) ( ) ... ( ) ( ) (ξ ξ ξ ξ é denominada soma deRiemann, por causa do matemático Georg Frederic Bernhard Riemann (1826 - 1866).
O gráfico da função pode estar abaixo do eixo x, fazendo com que no somatório, a área de uma dada partição seja descontada e não somada, então não teríamos a área entre o gráfico e o eixo x, como podemos ver na figura abaixo:
No exemplo, f(ξ3), f(ξ4), f(ξ5), f(ξ8),f (ξ9),f (ξ10) são negativos gerando
parcelas negativas. Por causa desses casos é que estamos interessados no valor absoluto das parcelas e assim fazemos
∑
= Δ ⋅ n i i i x f 1 ) (ξ . Observe que quanto maior o número de partições Δix, menor a norma dessas partições
|| ||Δix , e mais o somatório
∑
= Δ ⋅ n i i i x f 1 )(ξ se aproxima da área real entre o gráfico e o eixo x. Então a área entre o gráfico e o eixo x no intervalo [a, b], onde a função é definida pode ser aproximado por
∑
= → Δ ⋅Δ n i i i x f x i || 0 1 || maxlim (ξ) .
Assim, consideramos que a norma da partição de maior comprimento tende a zero, logo o comprimento das demais partições também tenderá a zero, e os retângulos irão se ajustando entre o gráfico e o eixo x, de forma que o somatório de suas áreas seja uma boa aproximação da área entre o gráfico e o eixo x. O limite acima expressa a integral definida num intervalo.
Definição: Se f for uma função definida no intervalo fechado [a, b], então a integral definida de f de a até b, denotada por
∫
b( )
a f x dx, será dada por
( )
∑
∫
= Δ → = ⋅Δ n i i i x b a f x dx i f x 1 0 || ||maxlim (ξ) , se o limite existir.
Na notação de integral definida
∫
ab f( )
x dx, f( )
x é chamada de integrando, ade limite inferior e b de limite superior. O símbolo
∫
, utilizado para a integração é o mesmo utilizado para o cálculo da antiderivada. Seu formato é parecido com S, que lembra soma, pois a integral definida é o limite de uma soma. Para calcular a integral definida, temos que na verdade calcular o limite de uma soma, o que nem sempre torna-se viável de se fazer. Podemos calcular a integral definida através da antiderivada, por isso também o sinal ser usado em ambos os casos. O segundo teorema fundamental do cálculo define o cálculo da integral definida pela antiderivação ou pelo cálculo da integral indefinida da seguinte forma:Segundo Teorema Fundamental do Cálculo: Seja f uma função contínua no intervalo fechado [a, b] e seja g uma função tal que g'(x)= f(x) para todo x em [a, b]. Então b f
( )
t dt g(b) g(a)a = −
∫
.Ou seja, basta calcular a antiderivada, e fazer o valor da antiderivada no extremo superior menos a antiderivada no extremo inferior. Dessa forma a antiderivada fica conhecida também como integral indefinida.
Exemplo: Encontre o valor de
∫
3x dx 12
e interprete o resultado geometricamente.
As mesmas propriedades da antiderivada, ou seja, da integral indefinida são válidas para a integral definida. Então, abaixo verificamos abaixo algumas propriedades da integral definida que são diferentes que a da antiderivada:
I) Se a > b, então
∫
ab f(x)dx=−∫
ba f(x)dx se∫
ba f(x)dx existir. Exemplo: Verifique que∫
=−∫
31 2 1 3 2dx x dx x .
II) Se f(a) existe, então a f x dx
a
∫
( ) .Exemplo:
∫
1x dx 12
III) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então
∫
∫
∫
ab f(x)dx= ac f(x)dx+ cb f(x)dx, onde a < c < b. Exemplo: Verifique que∫
=∫
2 +∫
1 3 2 2 2 3 1 2dx x dx x dx x
IV) Se a função f for integrável nos intervalos [a, b], [a, c] e [c, d], então
∫
∫
∫
ab f(x)dx= ac f(x)dx+ cb f(x)dx, não importando a ordem de a, b e c. Exemplo: Verifique que∫
=∫
2 +∫
1 3 2 2 2 3 1 2dx x dx x dx x
V) Se as funções f e g forem integráveis no intervalo fechado [a, b] e se
) ( )
(x g x
f ≥ para todo x em [a, b], então:
∫
∫
ab f(x)dx≥ abg(x)dxExemplo: Comprove o resultado para f(x)= x2 +1 e para g(x)=x2 no
intervalo [1, 3] e faça o gráfico das funções.
1. Calcule o valor da integral definida usando os resultados: 3 2 1 2 =
∫
−x dx 2 3 2 1 =∫
−xdx∫
0 senxdx =2 π cos 0 0 =∫
π xdx π π 2 1 0 2 =∫
sen xdx a)∫
x x dx − − + 2 1 2 4 5) 2 ( b)∫
x dx − − 2 1 2) 8 ( c)∫
x x dx − − + 2 1 2) 2 1 5 2 ( d)∫
x x dx − − − 2 1 2 4 1) 3 ( e)∫
2−1 x+ 2dx ) 1 2 ( f)∫
x x dx − + − 2 1 2 ) 2 1 3 1 5 ( g)∫
x x dx − − + 2 1( 1)(2 3) h)∫
2−13x(x−4)dx i)∫
π senx+ x+ dx 0 (2 3cos 1) j)∫
π xdx 0 2 cos 3 k)∫
0π x+ 2dx ) 4 (cos l)∫
0(senx−2)2dx π2. Calcule as integrais definidas abaixo: a)
∫
5 dx 2 4 b)∫
dx − 4 37 c)∫
dx − 2 2 5 d)∫
−1 dx 5 6 e)∫
− dx − 10 5 f)∫
3 dx 3 g)∫
7 xdx 3 2 h)∫
5 xdx 23 i)∫
4x dx 0 2 j)∫
x dx − 1 2 3 k)∫
xdx − + 6 3 3 l)∫
x dx − + 1 2 3 2 ) 1 ( m)∫
x x dx − − + 0 4 2 4 8 16) ( n)∫
x x dx − − + 4 1 2 4 ) 16 8 ( o)∫
3senxdx 6 π π p)∫
−3 xdx 2 3 cos π π q)∫
4 x− dx 1 ( 2) r)∫
x dx − + 2 1 2 5 s) dx x x∫
− + 2 1 2 t) dx x x∫
− − + 2 5 3 5 u)∫
−2 x− x dx 2 3 9cos ) cos 4 ( π π v)∫
−2 sen xdx 2 3 3 π π x)∫
4 x − x + x+ dx 2 1( 3 6 2 9 1) y)∫
x x dx − + 1 1 3 1 3 4 ) 4 ( z)∫
2 x x + dx 0 3 2 1 2 w)∫
03x 1+xdx a1)∫
2sen x⋅ x dx 0 3 cos π b1)∫
3 x − x+ dx 0 2 4 1) 3 ( c1)∫
4 x −x + dx 0 2 3 1) ( d1)∫
36 x2 − x dx ) 2 ( e1)∫
x x dx − + − 3 1 2 5 1) 3 ( f1) dx x x∫
12 +2 2 1 g1)∫
y y dy − − 5 3 3 4 ) ( h1) dz z z∫
1 + 0 ( 2 1)3i1)
∫
14 x(2+x)dx j1)∫
10 x− dx 1 5 1 k1)∫
0 5t t2 +1dt l1)∫
w w dw − − 0 2 2 4 3 m1)∫
−31( y+2)3 dy n1)∫
2 sen xdx 0 2 π o1)∫
π xdx 0 2 1 cos p1)∫
2t t + dt 1 3 2 1 q1) dx x x∫
3 − 1 (3 2 1)3 r1) dy y y y y∫
1 ++ + 0 3 3 2 2 4 3 ) 2 ( s1) dw w w w∫
4 − 2 3 4 t1) dx w w∫
15 + 0 (1 )34 u1)∫
5x x− dx 4 2 4 v1)∫
03(x+2) x+1dx x1)∫
x x dx − + + 1 2( 1) 3 y1) dx x x∫
1 ++ 0 3 1 1 z1)∫
1e dx 0 2 w1)∫
1e2 x dx a2)∫
3 1 e x dx b2)∫
e dx x x 1 ln c2)∫
2 2 ) (ln e e x x dx d2)∫
3 + − 0 2 dx e ex x e2)∫
2 − 0 4 2 dx xe x f2)∫
+ 2 1 e e dx e x xREFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
ANTON, H. Cálculo: Um Novo Horizonte. 8 reimp. Porto Alegre: Bookman, 2007.
GUIDORIZZI, H. L. Um Curso de Cálculo. Volume 1. 5 ed. Rio de Janeiro: Livros Técnicos Científicos, 2001.
HUGHES-HALLETT, D. [et al.]. Cálculo Aplicado. Rio de Janeiro: LTC, 2005. STEWART, J. Cálculo. Volume 1, 6. ed. São Paulo: Pioneira, 2006.
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