Nossos estudos tem como objetivo principal analisar os Nexos Conceituais que

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Anais do X Encontro Nacional de Educação Matemática Pôster 1

INVESTIGANDO O CONCEITO DE LIMITE E CONTINUIDADE A PARTIR DA

PERSPECTIVA LÓGICO-HISTÓRICA1

Renata Pereira de Abreu Universidade Federal de Lavras - UFLA

rpabreu@yahoo.com.br

José Antônio Araújo Andrade Universidade Federal de Lavras - UFLA

joseaaa@dex.ufla.br

Resumo: Este estudo tem como objetivo principal analisar os Nexos Conceituais que envolvem determinados conceitos em seu processo lógico-histórico na tentativa de tornar o ensino cada vez mais acessível e significativo aos alunos. Para um melhor entendimento deste constructo teórico, fundamentamos esta investigação a partir do estudo de vários autores para um melhor entendimento sobre os conceitos de limite e continuidade. Nosso primeiro momento foi o estudo da tese de doutorado de Sousa (2004) sobre Nexos Conceituais e atividades de ensino. Procedemos ao estudo da obra de Caraça (1984) e Karlson (1961), em que buscamos identificar os Nexos Conceituais de limite e continuidade para então, elaborar/organizar atividades de ensino que potencializem a exploração e a sistematização desses conceitos. Em outra etapa do projeto pretendemos trabalhar as atividades que estamos elaborando com alunos do primeiro período do Curso de Licenciatura em Matemática para analisar os frutos de nosso estudo e fazer com que os alunos tenham uma compreensão mais consistente sobre limite e continuidade.

Palavras chave: Movimento; Nexos Conceituais; Limite e Continuidade; Atividade orientadora de Ensino.

INTRODUÇÃO

Nossos estudos tem como objetivo principal analisar os Nexos Conceituais que envolvem determinados conceitos em seu processo lógico-histórico na tentativa de tornar o ensino cada vez mais acessível aos alunos.

Para um melhor entendimento deste constructo teórico, fundamentamos esta investigação a partir do estudo de vários autores para um melhor entendimento sobre os conceitos de limite e continuidade. Nosso primeiro momento foi o estudo da tese de doutorado de Sousa (2004) sobre Nexos Conceituais e atividades de ensino. Procedemos ao estudo da obra de Caraça (1984) e Karlson (1961), em que buscamos identificar os

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Este trabalho tem uma ajuda financeira da Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Minas Gerais - FAPEMIG

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Nexos Conceituais de limite e continuidade para então, elaborar/organizar atividades de ensino que potencializem a exploração e a sistematização desses conceitos.

Em outra etapa do projeto pretendemos trabalhar as atividades que estamos elaborando com alunos do primeiro período do Curso de Licenciatura em Matemática para analisar os frutos de nosso estudo e fazer com que os alunos tenham uma compreensão mais consistente sobre limite e continuidade.

Sousa (2004) define Nexo Conceitual como elo entre as formas de se pensar um conceito, o qual é atributo do movimento de desenvolvimento do pensamento humano. Constitui-se a partir das principais ideias que possibilitam fazer conexões ou realizações para o entendimento de um determinado conceito. A autora apresenta esse constructo teórico compreendendo-o sob dois aspectos, os quais qualificaram de internos e externos. A principio diremos que os nexos externos estão limitados aos elementos perceptíveis do conceito, enquanto que os nexos internos são compostos pelos elementos captados no processo de desenvolvimento lógico-histórico do conceito. Entretanto, nosso foco de trabalho será a exploração dos nexos internos ou simplesmente ditos “Nexos Conceituais” do conceito de Limite e Continuidade.

A atividade de ensino é uma forma de fazer com que os alunos investiguem nelas os conceitos. Ao elaborar as atividades, o professor precisa conhecer os conceitos chave, o que para ele representa um conjunto de Nexos Conceituais internos, dito de outra forma, o professor precisa ter uma compreensão muito clara de quais nexos são internos a um dado conceito para que possa então planejar suas atividades de modo que essas potencializem a compreensão do conceito por parte dos alunos e assim estes tenham condições de externalizá-los, isto é, se apropriar do seu significado e enunciá-lo, bem como saber relacioná-lo em outros contextos.

Sousa (2004) habilmente apresenta a noção de pensamento flexível como elo entre duas formas de pensar já estabelecidas: a empírico-discursiva e a teórica. Esta percepção tornou possível a constituição do constructo teórico Nexos Conceituais se tornando essencial na construção dos conceitos e, consequentemente, na elaboração de atividades de ensino.

A noção de Nexos Conceituais é nossa aliada na elaboração de conceitos e a atividade orientadora de ensino é nossa ferramenta de trabalho. A atividade é aquela que faz com que os estudantes busquem significados e argumentos, com o objetivo de

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solucionar uma situação-problema. Deste modo, a atividade deve estar dentro de um contexto e de um planejamento estruturado a partir de uma compreensão lógico-histórica do conceito a ser explorado. Acreditamos que, organizadas dessa maneira, as atividades de ensino proporcionam outra dinâmica no ensino e aprendizagem, favorecendo aos estudantes a construção do conhecimento através da resolução de problemas de forma mais dialogada.

Os nexos estão baseados em vários processos para configuração de uma forma de pensamento, que contém os conceitos, a lógica, a história, as abstrações, as formalizações do pensar humano no processo de constituir-se humano pelo conhecimento.

A dialética lógico-histórico foi concebida por Sousa (2004) através da necessidade de se estudar o contexto histórico de constituição de um determinado conceito. Neste sentido, temos uma perspectiva de elaborar/organizar atividades de ensino que potencializem o aprender a pensar criando conceitos. Um estudo embasado nessa perspectiva estabelece relações entre os que ensinam e os que aprendem e permitem um melhor entendimento do movimento do pensamento que culminou numa formalização teórica fundamentada no lógico.

UMA ABORDAGEM LÓGICO-HISTÓRICA DOS CONCEITOS DE LIMITE E CONTINUIDADE

Na Grécia clássica havia uma ideia engenhosa, embora paradoxal, a respeito do movimento. Este era compreendido como uma sucessão de estados particulares, que nada mais é que o método estático. Mas, com o tempo, foram descobrindo que a essência do que é movimento não estava na compreensão deste método, pois ele não nos permitia, efetivamente, obter a ideia do que era o movimento. Assim, foi possível perceber que ao fixar a posição de um objeto em um dado instante, este ali já não se encontrava, pois teria percorrido uma infinidade de pontos em um dado segmento.

Karlson (1961, p. 428) cita o eleata Zenão que mostra esta idéia de movimento no argumento das fechas afirmando que “uma flecha não podia voar. Pois se a observarmos num intervalo de tempo infinitamente pequeno, ela só poderá percorrer neste intervalo, um trecho também infinitamente pequeno”.

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Neste argumento das flechas temos sucessões finitas, mostrando que, a flecha em seu voo, sempre estará em repouso, pois ocupa um lugar igual a sua própria dimensão. Mas podemos pensar que se a flecha em seu voo, em cada instante, estará em um ponto, isto significa dizer que ela percorrerá uma infinidade de pontos que permitem conter a sua interdependência. Logo, constatamos que o argumento de Zenão é contra a compreensão do movimento.

O argumento de Aquiles e a Tartaruga também nos permite refletir sobre a questão do movimento, agora a partir de uma sucessão infinita. Neste argumento é dada uma posição inicial a Aquiles e uma distância de vantagem à tartaruga. Quando Aquiles tenta alcançar a posição que estava a Tartaruga, está já teria andado uma nova distância e assim ao infinito. Ao se movimentar ao encontro da Tartaruga, Aquiles possui uma velocidade maior que a da Tartaruga, o que nos faz intuir que ele irá alcançá-la em algum momento. Para obter este ponto devemos aplicar a operação de passagem ao limite, que resultará no ponto de encontro dos dois móveis. Este ponto nos mostra que Aquiles, por ser mais veloz que a tartaruga, chegará a um ponto, em que ambos estarão em uma mesma posição, tomando como ponto de partida à posição de Aquiles.

Então temos que o paradoxo de Zenão não nos permite executar a soma desta série ilimitada, pois um ponto isolado pode pertencer a infinitas funções e, assim, não conseguiríamos obter nenhum resultado. No entanto, o movimento está quando queremos fixar a posição da flecha ou de Aquiles e a Tartaruga em um determinado lugar e percebemos que eles ali já não se encontravam, pois teriam percorrido uma infinidade de pontos. Podemos então com o auxílio de uma função e de um ponto encontrar valores que representam uma série que dependendo de seu comportamento poderão ser divergentes, convergentes ou indeterminados.

Para demonstrar isso Caraça (1984, p. 215) coloca a metáfora de Leonardo da Vinci que diz da chama: “olha para a chama e considera a sua beleza; fecha os olhos e torna a olhar: o que vês não estava lá e o que lá estava já o não encontras”.

Isto nos mostra que, historicamente, a compreensão do movimento só se tornou possível quando se deixou de insistir em pensá-lo por meio de uma teoria totalmente equivocada – a partir do método estático – para concebê-lo de outra maneira, levando-se em conta, nesse outro modo de estudar o movimento, os argumentos usados para refutar a teoria que fora abandonada. Em outras palavras, quando uma forma de pensar não é válida

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surge à necessidade de um novo conceito. É daí que aparece a definição de infinitésimo, seu conceito mais analítico vem da ideia de vizinhança, onde podemos estudar o que se passa ao redor de pontos, isto é ver a interdependência do ponto com os seus vizinhos.

Quando falamos de infinitésimo temos logo que pensar em um conjunto de pontos pertencentes à vizinhança do ponto de análise, sendo condição necessária, considerar sucessivamente a amplitude dos intervalos (variável) estabelecidos como vizinhança de modo que seus valores fiquem tão próximos de zero quanto quisermos, ou seja, uma variável só será infinitésima quando a sucessão tender para o valor zero.

Um exemplo que nos permite visualizar com mais clareza é a viagem em um automóvel. Na viagem as pessoas que estão em seu interior podem ver a questão do movimento olhando a estrada e os objetos que estão em seu redor, pois a paisagem parece estar em movimento; embora aquelas que observam sua passagem em um ponto externo, talvez, tenham melhores condições de verificar, em sua trajetória, que sua posição esta variando com o tempo. Com isso podemos perceber que a velocidade é a personificação da questão do movimento e que a velocidade instantânea dependerá do objeto em questão. Se um observador externo tirar uma foto de um automóvel em movimento, este se tornará estático na fotografia. Quando olhamos para ela vemos que o automóvel está parado, pois a foto faz com que este movimento se torne estático, não havendo neste caso, uma variação da distância e nem do tempo, mas somente uma imagem. Nesse sentido, para se conhecer a velocidade instantânea, ou seja, para sabermos a velocidade do automóvel no momento exato em que tiramos à fotografia é necessário haver uma variação ínfima de tempo e espaço, o que significa considerar um intervalo de tempo e espaço tendendo a zero.

Este movimento do automóvel pode ser visualizado na representação gráfica, pois o desenho nos possibilita analisar o comportamento da função a partir da noção de limite, que nada mais é que o movimento, a relação de interdependência de um ponto a outro. Quando fazemos os intervalos de tempo desta curva tornarem cada vez menores, este se aproximará de uma reta tangente, ou seja, a velocidade no instante de tempo considerado será tão próximo de zero quanto quisermos, demonstrando assim, o indivisível (infinitamente pequeno).

No decorrer de nossos estudos estamos aprofundando o entendimento do conceito de limite e continuidade numa perspectiva lógico-histórica. Para que possamos ter este entendimento, os números são de grande importância, pois foi este é o grande feito da

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matemática e com ele estão ligados todos os seus outros conceitos. Karlson (1961, p.5) traz isso no trecho: “Os números originaram-se já no primeiro dia da criação, pois neste dia separou Deus a luz das trevas, surgindo assim duas coisas no mundo”.

Com isso observamos que os números foram surgindo como conseqüência da criação dos objetos que hoje nos rodeiam. Nesta época não havia quem os percebessem, mas com o passar dos tempos foram se estruturando até que tornassem a principal descoberta para a matemática.

Logo após, foram surgindo vários estudos sobre feitos matemáticos que, com a ajuda dos números, tornaram-se nosso maior aliado. Um desses feitos foi o conceito de limite e continuidade no qual temos que ter em mãos um estudo sobre as funções, pois são elas que nos proporciona o desenvolvimento lógico-histórico desses conceitos, sendo assim, fundamentais para uma análise mais profunda sobre a questão do cálculo infinitesimal que tem como símbolo o movimento que é o Nexo Conceitual chave para o entendimento de limite e, consequentemente, de continuidade.

Quando nos envolvemos com funções estamos diante de uma sucessão de pontos formando assim uma curva, que é a imagem da função. Esta curva pode ser cortada por uma reta definida por dois pontos, constituindo assim uma reta secante. Quando fazemos esta reta se movimentar, estamos encontrando outras secantes a partir da compressão do intervalo projetado em um dos eixos em que distam esses dois pontos, fazendo com que esta se aproxime de uma reta tangente a um dos pontos do intervalo, que nada mais é que a posição limite, isto é, queremos atingir um valor onde a curva possua um único ponto em comum com a reta.

A questão da tangencia é muito importante, pois nos permite falar de derivadas de uma função, mas juntamente com ela temos a questão da continuidade que é um conceito fundamental para o entendimento do que é derivada ou integral. A continuidade de uma função nos permite saber se a função possui ou não rupturas em um intervalo. O seu conceito é fundamental e é com ele que podemos obter com maior exatidão o intervalo em que a função não possua nenhum salto, ou seja, a curva possui infinitos pontos na vizinhança do seu campo de variação.

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Na busca dos Nexos Conceituais que se desenvolveram em um processo lógico-histórico, até o momento conseguimos identificar os seguintes nexos: vizinhança, infinitésimo, interdependências, fluência, variável e funções; podendo haver mais alguns que serão acrescentados no decorrer de nossos estudos. Deste modo, para perceber esses Nexos Conceituais é importante que se tenha um entendimento lógico-histórico a respeito da tentativa de compreender o movimento. Estes Nexos Conceituais irão ajudar a elaborar atividades de ensino e até mesmo no momento em que estas forem desenvolvidas com os estudantes, pois no seu desenvolvimento alguns nexos que eram externos passam a ser internos a um dado conceito.

O estudo envolvendo todos estes conceitos de cálculo faz com que tenhamos uma

melhor compreensão no desenvolvimento de atividades de ensino sobre outra perspectiva, colaborando assim para aspecto didático-pedagógico da estruturação curricular.

Temos como objetivo utilizar o conceito de limite e continuidade para resolução de certos problemas que se fundamentam no movimento lógico-histórico e que propiciem uma maior agilidade aos estudantes em lidar com o conceito e não com o decorar fórmulas. As atividades orientadoras de ensino fundamentadas nos nexos conceituais internos tem a intencionalidade de estimular os alunos a reproduzirem processos mentais parecidos com os desenvolvidos na história da criação de um dado conceito, dando enfoque nos pontos chave de tal formalização, os quais denominamos “Nexos Conceituais”. Dessa forma o aluno tem a oportunidade de entender o conceito em seu cerne, através da dialética lógico-histórico, e perceber o movimento e a interdependência existente entre os vários aspectos presentes em um ou mais conceitos.

REFERÊNCIAS

CARAÇA, Bento de Jesus. Conceitos fundamentais da Matemática. Lisboa: Livraria Sá da Costa Editora, 1984.

KARLSON, Paul. A magia dos números. Rio de janeiro- Porto Alegre- São Paulo, Editora Globo, 1961.

MOURA, Manoel Oriosvaldo de. A Atividade de Ensino como ação formadora. In: CASTRO, Amélia Domingues; CARVALHO, Ana Maria Pessoa de (org.) Ensinar a ensinar: didática para a escola fundamental e média. São Paulo: Pioneira, 2001.

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SOUSA, Maria do Carmo de. O ensino de álgebra numa perspectiva lógico-histórica: um estudo das elaborações correlatas de professores do ensino fundamental. Campinas, SP: Tese de doutorado (UNICAMP), 2004.