Um semigrupo numérico é um subconjunto dos números naturais fechado para a adição, o elemento 0 S e gera Z como grupo. Seja A N, definimos

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J. C. ROSALES AND M. B. BRANCO

1. Introduc¸˜ao

Um semigrupo numérico é um subconjunto dos números naturais fechado para a adi¸c˜_{ao, o elemento 0 ∈ S e gera Z como grupo. Seja} A ⊆ N, definimos < A >= { k X i=1 niai : k ∈ N, a1, . . . , ak ∈ N},

o qual é um semigrupo numérico se e somente se m.d.c(A) = 1. Usual-mente A é conhecido como um sistema de geradores de < A > e dize-mos que A é minimal se nenhum subconjunto próprio de A gerar S. Temos que qualquer semigrupo S é finitamente gerado; isto é existem n0, . . . , np ∈ S tal que S =< n0, . . . , np > e designamos n0 e p + 1 como

a multiplicidade e a dimensão de imersão, respectivamente. Além disto o conjunto N \ S é finito e referimo-nos ao maior inteiro não perten-cente a S como o número de Frobenius e denotamo-lo por g(S) (estas designa¸cões são escolhidas a partir das rela¸cões entre os semigrupos numéricos e a Geometria Algébrica, ver [5]).

Todo o semigrupo num´erico S gerado pelo conjunto {n0, · · · , np}

´

e isomorfo ao mon´_{oide quociente N}p+1/σ (ver [13]) com σ uma con-gruˆ_{encia em N}p+1. R´edei mostra em [9] que a congruˆ_{encia σ em N}p+1´e finitamente gerada e portanto existe ρ um subconjunto de Np+1× Np+1

tal que σ = hρi. Ao conjunto ρ chamamos apresenta¸cão para S e dize-mos que ρ é uma apresenta¸cão minimal se nenhum subconjunto próprio de ρ gerar σ. Vamos caracterizar uma apresenta¸cão minimal em termos da conexidade de certos grafos, esta ideia foi introduzida por Rosales (ver por exemplo [10]). Demonstra-se que o cardinal de qualquer ap-resenta¸cão minimal para S é menor ou igual a n0(n0−1)

2 − 2(n0− 1 − p)

(ver [12]).

Vamos estudar uma classe de semigrupos numéricos bastantes estu-dados, os semigrupos numéricos irredut´ıveis, em virtude dos resulta-dos obtiresulta-dos a partir destes em Geometria Algébrica. Definimos um semigrupo numérico irredut´ıvel como um semigrupo numérico que não pode ser expresso como interseçcão de dois semigrupos numéricos que

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o contenham propriamente. A partir de [6] and [2] conclu´ımos que a classe de semigrupos irredut´ıveis com número de Frobenius ´ımpar (re-spectivamente par) é a mesma que a classe dos semigrupos numéricos simétricos (respectivamente pseudo-simétricos). Por outro lado os semigrupos irredut´ıveis com número de Frobenius ´ımpar (respectiva-mente par) significam geometrica(respectiva-mente curvas de Gorenstein [8] (re-spectivamente curvas de Kunz [2] ). Come¸camos por caracterizar os semigrupos numéricos irredut´ıveis dando especial aten¸cão aos seus con-juntos de Apéry. Estudamos e explicitamos uma familia de semigrupos numéricos irredut´ıveis com multiplicidade 3 e 4. Refinamos a cota su-perior para a cardinalidade duma apresenta¸cão minimal para um semi-grupo numérico, em fun¸cão da sua multiplicidade e da sua dimensão de imersão, no caso irredut´ıvel. A terminar fazemos o estudo destes semigrupos irredut´ıveis com máxima dimensão de imersão.

2. Terminologia e resultados pr´evios

Seja (N, +) um semigrupo de números naturais, dizemos que um semigrupo numérico ´_{e um subconjunto de N fechado para a soma,} con-tem o elemento 0 e gera Z como grupo. A partir desta defini¸cão obcon-temos o seguinte:

(1) Existe um elemento máximo que não pertence a S, a este ele-mento chamamos número de Frobenius e denotamo-lo por g(S). (2) S tem um único sistema minimal de geradores {n0 < n1 < · · · <

np} e o m´aximo divisor comum dos seus elementos ´e igual a um.

Seja F = {a0X0+ · · · + apXp | a0, . . . , ap ∈ N} um mon´oide

comuta-tivo livre{X0, . . . , Xp} e ϕ : F → S um epimorfismo de mon´oides

ϕ(a0X0+ · · · + apXp) = a0n0+ · · · + apnp.

Se σ é o kernel de ϕ (i. é, xσy se ϕ(x) = ϕ(y)), então S é isomorfo a F/σ (ver [13]). Rédei mostra em [9] que a congruência σ é finitamente gerada e portanto existe

ρ = {(x1, y1), . . . , (xt, yt)} ⊆ F × F

tal que σ é uma congruência em F gerada por ρ. O conjunto ρ é uma apresenta¸cão para o semigrupo S e dizemos que ρ é uma apre-senta¸cão minimal se nenhum subconjunto próprio de ρ gerar σ.

Seja Sum semigrupo num´erico com {n0 < n1 < · · · < np} um

sis-tema minimal de geradores e ϕ : F → S definido como anteriormente. Denotamos por σ o kernel da congruˆencia de ϕ e, para n ∈ S \ {0}, de-notamos por [n] = {x ∈ F | ϕ(x) = n} (o conjunto das imagens inversas

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de n por ϕ). Vamos definir em [n] a seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia R: a0X0+ · · · + apXp R b0X0+ · · · + bpXp se existem os elementos k00X0+ · · · + k0pXp, k10X0+ · · · + k1pXp, · · · , kj0X0+ · · · + kjpXp ∈ [n] tal que a0X0+ · · · + apXp = k00X0+ · · · + k0pXp e b0X0+ · · · + bpXp = kj0X0+ · · · + kjpXp

e ki0ki+10 + · · · + kipki+1p 6= 0 para todo i ∈ {0, . . . j − 1}.

Seja P = {X1, . . . , Xt} uma parti¸c˜ao de um conjunto X e γ ⊆ X ×

X uma rela¸c˜ao bin´aria em X. Definimos o grafo Gγ, associado a γ

relativamente á parti¸cão P, como o grafo cujos vertices são elementos Xi em P e existe uma aresta XiXj, com i 6= j, em Gγ quando existem

x ∈ Xi e y ∈ Xj tal que (x, y) ∈ γ ∪ γ−1.

Os seguintes resultados podem ser encontrados em [10].

Proposition 1. Seja P = {X1, . . . , Xt} o conjunto das R-classes

contidas em [n] com n ∈ S. Se γ é uma apresenta¸cão para S, e γn = γ ∩ ([n] × [n]), então o grafo associado a Gγn relativamente á

parti¸c˜ao P de [n] ´e um grafo conexo.

Proposition 2. Seja γ um subconjunto de σ tal que Gγn ´e conexo para

todo n ∈ S. Então γ é uma apresenta¸cão para S.

Theorem 3. Se γ ⊆ σ então γ é uma apresenta¸cão para S se e somente se Gγn é conexo para todo n ∈ S.

Em seguida apresentamos um método algor´ıtmico para determinar uma apresenta¸cão minimal de um semigrupo numérico a partir do seu sistema minimal de geradores.

Para n ∈ S definimos o grafo Gn= (Vn, En) tal que

Vn= {ni ∈ {n0, . . . , np} | n − ni ∈ S},

En= {ninj | n − (ni+ nj) ∈ S, i, j ∈ {0, . . . , p}, i 6= j}.

O resultado seguinte dá-nos uma rela¸cão entre as R-classes e o número de componentes conexas de Gn.

Proposition 4. ([10]) Se n ∈ S \ {0}, então o número de componentes conexas de Gn é igual ao número de R-classes of [n].

(4)

Vamos agora definir γn, com n ∈ S, da seguinte forma:

1) se Gn é não conexo e G1n = (Vn1, En1), . . . , Grn = (Vnr, Enr) são as

suas componentes conexas para i ∈ {1, . . . , r} escolhemos um v´ertice nki ∈ V

i

n e um elemento αi = (a0, . . . , ap) tal que ϕ(αi) = n e aki 6= 0,

ent˜ao γn = {(α1, α2), . . . , (α1, αr)}.

2) se Gn ´e conexo, ent˜ao γn = ∅.

A partir dos resultados anteriores obtemos o seguinte:

Theorem 5. ([10]) O conjunto γ = ∪_n∈Nγn ´e uma apresenta¸c˜ao

min-imal para S.

Conclu´ımos que para obter uma apresenta¸cão minimal para um semi-grupo numérico temos que fixarmos-nos apenas nos elementos n ∈ S tais que o grafo correspondente Gn não seja conexo. O próximo

resul-tado dá-nos o número de elementos candidatos n ∈ S cujo o grafo pode ser não conexo.

Theorem 6. ([10]) Seja {n0 < n1 < · · · < np} um sistema minimal

de geradores S. Então Gn é não conexo se existe w ∈ Ap(S, n) \ {0} e

j ∈ {1, . . . , p} tal que n = w + nj.

3. Caracterização dos semigrupos numéricos irredut´ıveis O objectivo desta seçcão é dar uma caracteriza¸cão para os semi-grupos numéricos irredut´ıveis. Para n ∈ S \ {0} denotamos por 0 = w(1) < w(2) · · · < w(n) os elementos minimais de S nas respectivas classes de congruência mod n. Denotamos por Ap(S, n), o conjunto Apéry de n in S (ver [1]), o conjunto {0 = w(1) < w(2) < · · · < w(n)}.

´

E conhecido (ver [13]) que Ap(S, n) = {x ∈ S : x − n /∈ S}. Facilmente se verifica o seguinte:

Lemma 7. Seja S um semigrupo numérico. (1) S ∪ {g(S)} é um semigrupo numérico. (2) g(S) = w(n) − n.

(3) {0, n1, . . . , np} ⊆ Ap(S, n0).

Dizemos que um semigrupo numérico é irredut´ıvel se não pode ser expresso como interseçcão de dois semigrupos que o contenham propriamente.

Theorem 8. As afirma¸cões seguintes são equivalentes: 1) S é irredut´ıvel,

2) S ´e maximal no conjunto de todos os semigrupos com n´umero de Frobenius g(S),

(5)

3) S é maximal no conjunto de todos os semigrupos que não contém g(S).

Proof. 1) ⇒ 2) Suponhamos S um semigrupo numérico tal que S ⊆ S e g(S) = g(S). Então S = (S ∪ {g(S)}) ∩ S. Mas se S é irredut´ıvel, deduzimos que S = S.

2) ⇒ 3) Suponhamos S um semigrupo numérico tal que S ⊆ S e g(S) /∈ S. Então S ∪ {g(S) + 1, g(S) + 2, . . .} é um semigrupo numérico que contém S com número Frobenius g(S). Portanto, S = S ∪ {g(S) + 1, g(S) + 2, · · · } e assim S = S.

3) ⇒ 1) Sejam S1 e S2 dois semigrupos num´ericos que cont´em S

propriamente. Ent˜ao, por hip´otese, g(S) ∈ S1 e g(S) ∈ S2. Portanto

S 6= S1∩ S2 e assim S ´e irredut´ıvel.

Usando [6] e [2] obtemos o seguinte resultado.

Proposition 9. 1) Se g(S) é ´ımpar, então S is irredut´ıvel se e somente se para todo h, h0 _{∈ Z, tal que h+h}0 = g(S), temos que h ∈ S ou h0 ∈ S (i. é, S é simétrico).

2) Se g(S) é par, então S é irredut´ıvel se e somente se para todo h, h0 _{∈ Z \ {}g(S)₂ }, tal que h + h0 _{= g(S), temos que h ∈ S ou h}0 _{∈ S (i.}

´

e, S ´e pseudo-sim´etrico).

Em seguida estudamos o conjunto Ap(S, n) de um semigrupo num´erico irredut´ıvel S com numero de Fobenius ´ımpar ou par. O re-sultado seguinte ´e conhecido (ver [1], [3] ou [11]).

Proposition 10. Seja n ∈ S \ {0} com Ap(S, n) = {0 = w(1) < w(2) < · · · < w(n)}. Então S é irredut´ıvel com número de Frobenius ´ımpar (i. é, S é simétrico) se e somente se w(i) + w(n − i + 1) = w(n)

para todo i ∈ {1, . . . , n}.

Proof. Para i ∈ {1, . . . , n} como w(i) ∈ Ap(S, n), ent˜ao w(i) − n /∈ S assim, pela Proposition 9, obtemos que w(n) − w(i) = g(S) − (w(i) − n) ∈ S. Assim w(n) − w(i) ∈ Ap(S, n) porque w(n) ∈ Ap(S, n).

Reciprocamente, se x ∈ S trivialmente temos que g(S) − x /∈ S. Por outro lado, se x /∈ S existe i ∈ {1, . . . , n} tal que x = w(i)−kn com k ∈ N\{0}, então g(S)−x = g(S)−w(i)+kn = g(S)+n−w(i)+(k−1)n ∈ S. Lemma 11. Se S é irredut´ıvel com número de Frobenius par e n ∈ S \ {0}, então g(S)₂ + n ∈ Ap(S, n).

Proof. Temos que g(S)₂ ∈ S ent˜/ ao, atendendo ´a Proposition 9 e que (g(S)₂ + n) + (g(S)₂ − n) = g(S), obtemos que g(S)₂ + n ∈ S.

(6)

Proposition 12. Seja S um semigrupo numérico com número de Frobenius par e n ∈ S \ {0}. Então S é irredut´ıvel se e somente se Ap(S, n) = {0 = w(1) < w(2) < . . . < w(n−1) = g(S)+n}∪{g(S)

2 +n} e w(i) + w(n − i) = w(n − 1) com i ∈ {1, . . . , n − 1}.

Proof. Atendendo a que g(S) é par, então g(S)₂ + n ∈ Ap(S, n) e g(S)₂ + n < max Ap(S, n). Se i ∈ {1, . . . , n−1}, então w(i)−n /∈ S e w(i)−n 6=

g(S)

2 . Usando a Proposi¸c˜ao 9, obtemos que g(S)−(w(i)−n) ∈ S e assim

w(n − 1) − w(i) = g(S) + n − w(i) ∈ S. Por outro lado deduzimos que w(n − 1) − w(i) ∈ Ap(S, n) porque w(n − 1) ∈ Ap(S, n). Al´em disso w(n − 1) − w(i) 6= g(S)₂ + n caso contr´ario ter´ıamos que w(i) = g(S)₂ . Facilmente se verifica que w(i) + w(n − i) = w(n − 1).

Reciprocamente, seja x /∈ S e x 6= g(S)₂ . Tomando w ∈ Ap(S, n) tal que w ≡ x(mod n), temos que x = w − kn para algum k ∈ N \ {0}. Distinguimos dois casos.

(1) Se w = g(S)₂ + n, ent˜ao g(S) − x = g(S) − (g(S)₂ + n − kn) =

g(S)

2 + (k − 1)n. Al´em disso, como x 6= g(S)

2 tem-se k 6= 1,

portanto k ≥ 2. Logo obtemos que g(S) − x ∈ S.

(2) Se w 6= g(S)₂ + n, ent˜ao g(S) − x = g(S) − (w − kn) = g(S) + n − w + (k − 1)n ∈ S.

Observamos que se S é um semigrupo numérico com dois ger-adores minimais {n0, n1} então S é irredut´ıvel, visto Ap(S) =

{0, n1, 2n1, . . . , (n0 − 1)n1}. Por outro lado para todo o semigrupo

num´erico S tem-se que µ(S) ≤ m(S) (ver lema 7).

Proposition 13. Seja S um semigrupo numérico irredut´ıvel. 1) Se g(S) é ´ımpar e m(S) ≥ 3, então µ(S) ≤ m(S) − 1. 2) Se g(S) é par e m(S) ≥ 4, então µ(S) ≤ m(S) − 1.

Proof. 1. Se {m(S), n1, · · · , nµ(S)−1} ´e um sistema minimal de

ger-adores de S ent˜ao {0 < n1 < · · · < nµ(S)−1} ⊆ Ap(S, m(S)) e

nµ(S)−1 6= w(n). Portanto µ(S) ≤ m(S) − 1.

2. Suponhamos que µ(S) = m(S), ent˜ao S ´e gerado minimalmente por {m(S), n1, . . . , nm(S)−1} e assim obtemos

Ap(S, n) = {0 < n2 < · · · < nm(S)−1} ∪ {n1 =

g(S)

2 + m(S)}. Por hipotese m(S) − 1 ≥ 3 ent˜ao n1 6= n2 6= nm(S)−1. Usando

(7)

{m(S), n1, . . . , nm(S)−1} n˜ao ´e um sistema minimal de geradores para

S. Donde conclu´ımos µ(S) 6= m(S), portanto µ(S) ≤ m(S) − 1. Recordar que atendendo á observa¸cão feita depois da Proposi¸cão 12, que se µ(S) = 2 então S é irredut´ıvel. Em seguida vamos estudar os semigrupos numéricos irredut´ıveis com µ(S) = 3 e µ(S) = 4. Além disso obtemos que se m(S) = 4 e S é irredut´ıvel então µ(S) ≤ 3, porque de 1) e 2) da Proposition 13, se m(S) ≥ 4 então µ(S) ≤ m(S) − 1.

Vamos então estudar os seguintes casos: 1) S é irredut´ıvel com m(S) = µ(S) = 3, 2) S é irredut´ıvel com m(S) = 4 e µ(S) = 3.

Theorem 14. Seja S um semigrupo numérico. Então, as condi¸cões seguintes são equivalentes:

1) S ´e irredut´ıvel com m(S) = µ(S) = 3,

2) S é gerado por {3, x + 3, 2x + 3} em que x é um inteiro positivo não múltiplo de 3.

Proof. 1) ⇒ 2) Se m(S) = µ(S) = 3, ent˜ao {3, n1, n2} ´e um sistema

minimal de geradores de S. A partir Proposi¸c˜ao 13 deduzimos que g(S) ´

e par e pela Proposi¸c˜ao 12 obtemos que Ap(S, 3) = {0, n1 =

g(S)

2 + 3, n2 = g(S) + 3}.

Fazendo x = g(S)₂ temos que n1 = x + 3 e n2 = 2x + 3. Donde se conclui

que x não é múltiplo de 3, porque x = g(S)₂ ∈ S./

2) ⇒ 1) Temos que {3, x + 3, 2x + 3} ´e um sistema minimal de geradores para S e assim m(S) = µ(S) = 3 e Ap(S, 3) = {0, x + 3, 2x + 3}. Conclu´ımos que 2x + 3 = g(S) + 3 e portanto g(S)₂ + 3 = x + 3. A partir da Proposition 12 podemos afirmar que S ´e irredut´ıvel com g(S)

par.

O semigrupo numérico S = h3, 3 + x, 2x + 3i é um MED-semigrupo (MED significa máxima dimensão de imersão que é µ(S) = m(S)). Aplicando os resultados obtidos em [12] deduzimos que o cardinal de apresenta¸cão minimal para S é 3, isto é:

ρ = {(2X1, X0+ X2), (2X2, (x + 1)X0+ X1), ((x + 2)X0, X1+ X2)}.

Vamos agora estudar os semigrupos numéricos irredut´ıveis com m(S) = 4 e µ(S) = 3. Delorme prova em [4] que um semigrupo S ger-ado minimalmente por {n0, n1, n2} é interseçcão completa e somente

se ni ∈ h nj (nj,nk),

nk

(nj,nk)i para {i, j, k} = {0, 1, 2}, onde (nj, nk) denota o

m.d.c(nj, nk). Al´em disso, Herzog prova em [7] que S, nas condi¸c˜oes

(8)

Theorem 15. Seja S um semigrupo numérico. Então, as seguintes condi¸cões são equivalentes:

1) S ´e irredut´ıvel com n´umero de Frobenius ´ımpar, m(S) = 4 and µ(S) = 3,

2) S ´_{e gerado por {4, 2x, x + 2y} com y ∈ N \ {0} e x um inteiro} maior ou igual que 3.

Proof. 1) ⇒ 2) Se m(S) = 4 e µ(S) = 3, ´e {4, n1, n2} ´e um sistema

minimal de geradores para S. Atendendo à observa¸cão anterior, para que S seja simétrico, consideramos dois casos:

a) Suponhamos que d = (4, n1) e n2 ∈ h4_d,n_d1i. Notar que d = 2 e

n1 = 2x com x ´ımpar maior ou igual a 3. Al´em disso como 1 =

(4, n1, n2) ent˜ao n2 ´e um ´ımpar e n2 ∈ h2, xi assim n2 = x + 2y

(de facto todo o ´ımpar em h2, xi ´e deste tipo).

b) Suponhamos que d = (n1, n2) e 4 ∈ hn_d1,n_d2i. Portanto n1 = 2d,

n2 = k2d com k2 ´ımpar e d ´ımpar maior ou igual a 3. Donde

conclu´ımos que n2 = d + (k2− 1)d com (k2− 1)d par. Fazendo

x = d e y = (k2−1)d

2 obtemos o resultado desejado.

2) ⇒ 1) Claramente 2 = (4, 2x) e x + 2y ∈ h4₂,2x₂ i, assim S é simétrico. Vejamos que {4, 2x, x + 2y} é um sistema minimal de ger-adores para S, assim:

1) x + 2y /∈ h4, 2xi, visto x + 2y ´e ´ımpar,

2) 2x /_{∈ h4, x + 2yi, visto se 2x = a4 + b(x + 2y) com a, b ∈ N,} então como 2x é par não múltiplo de 4 e que x + 2y é ´ımpar, deduzimos que b ≥ 2, contradizendo que 2(x + 2y) > 2x.

Como S = h4, 2x, x + 2yi, é simétrico, temos que g(S) = 3x + 2y − 4. Por outro lado S é também interseçcão completa, então ρ = {(2X1, xX0), (2X2, yX0+ X1)} é uma apresenta¸cão minimal para S.

Vamos em seguida estudar os semigrupos irredut´ıveis S com n´umero de Frobenius par, m(S) = 4 e µ(S) = 3.

Theorem 16. Seja S um semigrupo numérico. Então, as seguintes condi¸cões são equivalentes:

1) S´e irredut´ıvel numerical com n´umero de Frobenius par, m(S) = 4 e µ(S) = 3,

2) S ´e gerado por {4, x + 2, x + 4} com x ´ımpar maior ou igual que 3.

Proof. 1) ⇒ 2) Suponhamos que {4, n1, n2} ´e um sistema minimal de

geradores para S. Atendendo ao Lema 11 obtemos que g(S)₂ + 4 ∈ Ap(S, 4) e assim distinguimos dois casos:

(9)

a) Se g(S)₂ + 4 pertence ao sistema minimal de geradores para S, usando a 12, deduzimos que

Ap(S, 4) = {0, n1 =

g(S)

2 + 4, n2, 2n2 = g(S) + 4}.

Fazendo x = g(S)₂ , ent˜ao n1 = x + 4 e n2 = x + 2. Al´em disso x

´e ´ımpar, caso contr´ario (4, n1, n2) 6= 1 .

b) Se g(S)₂ + 4 n˜ao pertence ao sistema minimal de geradores para S, ent˜ao

Ap(S, 4) = {0, n1, n2,

g(S) 2 + 4}.

Donde conclu´ımos que g(S) + 4 = n1 ou g(S) + 4 = n2. Se

g(S) + 4 = n1 ent˜ao, by Proposition 12, conclu´ımos que n1 −

n2 ∈ S, contradizendo que {4, n1, n2} ´e um sistema minimal de

geradores para S.

2) ⇒ 1) Suponhamos que {4, x + 2, x + 4} ´e um sistema minimal de geradores para S, ent˜ao m(S) = 4 e µ(S) = 3. Facilmente se verifica que Ap(S, 4) = {0, x + 2, x + 4, 2x + 4}. Assim g(S) = 2x donde Ap(S, 4) = {0,g(S) 2 + 4, g(S) + 4 2 , g(S) + 4}.

Usando a Proposi¸cão 12 obtemos que S é irredut´ıvel. Temos que S = h4, x + 2, x + 4i 2x, então g(S) = 2x. Aplicando [7] e atendendo que S não é simétrico (donde S não é interseçcão completa), temos que apresenta¸cão minimal para S é igual a:

ρ = {(2X2, X0+ 2X1), (3X1, kX0+ X2), (tX0, X1 + X2)}

com k = 3(x+2)−(x+4)₄ and t = (x+4)+(x+2)₄ . Notar que 3(x + 2) − (x + 4) ´

e múltiplo de 4 se e somente se x é ´ımpar, e (x + 4) + (x + 2) é múltiplo de 4 se e somente se x é ´ımpar.

4. Uma cota máxima para o cardinal duma apresentação minimal para um semigrupo numérico irredut´ıvel Nesta seçcão damos uma cota máxima para o cardinal duma apre-senta¸cão minimal para um semigrupo numérico irredut´ıvel, denotamo-la por #M RS. Seguidamente particularizamos este estudo para o caso dos semigrupos numéricos irredut´ıveis com máxima dimensão de imersão.

(10)

Supor que {n0 < n1 < · · · < np} um sistema minimal de geradores

para S. Em [12] ´e mostrado o seguinte resultado.

Proposition 17. Seja S um semigrupo num´erico. Ent˜ao #M RS ≤ n0(n0− 1)

2 − 2(n0− 1 − p).

Em [11] esta cota ´e melhorada para o caso dos semigrupos irredut´ıveis com n´umero de Frobenius ´ımpar.

Proposition 18. Se S semigrupo irredut´ıvel com n´umero de Frobenius ´ımpar, n0 ≥ 3 e p ≥ 2, ent˜ao

#M RS ≤ (n0− 2)(n0− 1)

2 − 1 + (p + 2 − n0).

Em seguida provamos um resultado an´alogo para um semigrupo ir-redut´ıvel S com n´umero de Frobenius par.

A partir de [12] podemos deduzir o resultado seguinte.

Proposition 19. Seja S um semigrupo num´erico irredut´ıvel com g(S) par e p ≥ 3. Se {n0, n1, . . . , np, g(S)} ´e um sistema minimal de

ger-adores para S0 = S ∪ {g(S)}, g(S) > n0 com ni e n0 est˜ao na mesma

componente conexa de Gg(S)+n0+ni para todo i ∈ {1, . . . , p}, ent˜ao temos

que

#M RS + p + 2 = #M RS0.

Aplicando a Proposi¸c˜ao 12 e como p ≥ 3 conclu´ımos que g(S) + n0 ≥ ni+ nj para algum i, j ∈ {1, . . . , p} donde g(S) > n0. Portanto,

{n0, n1, . . . , np, g(S)} ´e um sistema minimal de geradores para S0 =

S ∪ {g(S)}, visto que a partir de [12] obtemos np = g(S) + n0, o qual

contradiz a Proposi¸c˜ao 12 para p ≥ 3.

Lemma 20. Seja S um semigrupo num´erico irredut´ıvel com g(S) par e p ≥ 3. Se i ∈ {1, . . . , p}, w ∈ Ap(S, n0) com n0 e ni em diferentes

componentes conexas Gw+ni, ent˜ao para todo w

0 _{∈ Ap(S, n}

0) tal que

w − w0 ∈ S \ {0} temos que w0 _{+ n}

i ∈ Ap(S, n0).

Proof. Vamos supor que w0 + ni ∈ Ap(S, n/ 0), ent˜ao temos que w0 +

ni − n0 ∈ S. Seja s ∈ S \ {0} tal que w = w0 + s com j ∈ {0, . . . , p} e

s − nj ∈ S. Ent˜ao, w + ni− (ni+ nj) ∈ S e w + ni − (nj + n0) ∈ S.

Portanto, conclu´ımos que ninj, njn0 ∈ Ew+ni e assim ni e n0 est˜ao na

mesma componente conexa de Gw+ni.

Lemma 21. Seja S um semigrupo num´erico irredut´ıvel com g(S) par e p ≥ 3. Para todo i ∈ {1, . . . , p}, tem-se que n0 e ni est˜ao na mesma

(11)

References

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Departamento de Algebra,´ Universidad de Granada, E-18071 Granada, Spain

Departamento de Matemática, Universidade de Évora, 7000 Évora, Portugal