Luis Schuartz
Polinômios com Memória de Complexidade
Reduzida e sua Aplicação na Pré-distorção
Digital de Amplificadores de Potência
Curitiba, PR
2017
Luis Schuartz
Polinômios com Memória de Complexidade Reduzida e
sua Aplicação na Pré-distorção Digital de Amplificadores
de Potência
Trabalho de conclusão de curso apresentado por Luis Schuartz a comissão organizadora como requisito fundamental para formação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Paraná, orientado pelo professor Dr. Eduardo Gonçalves de Lima.
Universidade Federal do Paraná (UFPR) Departamento de Engenharia elétrica
Orientador: Eduardo Gonçalves de Lima
Curitiba, PR
2017
Luis Schuartz
Polinômios com Memória de Complexidade Reduzida e
sua Aplicação na Pré-distorção Digital de Amplificadores
de Potência
Trabalho de conclusão de curso apresentado por Luis Schuartz a comissão organizadora como requisito fundamental para formação em Engenharia Elétrica pela Universidade Federal do Paraná, orientado pelo professor Dr. Eduardo Gonçalves de Lima.
Trabalho aprovado. Curitiba, PR, 27 de junho de 2017:
Eduardo Gonçalves de Lima
Orientador
Bernardo Rego Barros de Almeida Leite
Professor avaliador
Luis Henrique Assumpção Lolis
Professor avaliador
Curitiba, PR
2017
Agradecimentos
Agradeço primeiro a Deus por me conceder o dom da vida e conhecimento para que este trabalho fosse concluído.
Aos meus familiares, em especial meu pai Aloise Schuartz por todo apoio e paciência durante todo período de graduação, minha mãe Emilia Schuartz que sempre teve orgulho das minhas conquistas e Rafaela Wojcik pelo apoio e paciência durante todo esse período.
Ao orientador Eduardo Gonçalves de Lima pelo incentivo e toda dedicação destinada a conclusão deste trabalho.
Aos amigos e colegas que de diversas formas forneceram apoio para realização deste estudo, em especial Edson Leonardo por fornecer o projeto no Cadence Virtuoso para os testes realizados.
Aos professores em especial membros do GICS, pela contribuição de forma indireta para conclusão deste trabalho.
Resumo
Os sistemas de comunicação em rádio frequência, difundidos principalmente por aparelhos portáteis, exigem alto desempenho e eficiência. Neste sistema, o amplificador de potência (PA) é o componente mais crítico por ser o maior responsável pela não linearidade e consumo de energia do sistema. Quando o PA está operando com maior eficiência, em pontos de alta compressão de ganho, ocorre distorção do sinal criando componentes de intermodulação que interferem em canais adjacentes, em geral, descumprindo normas regulamentadoras como LTE e IEEE802.15.4. Com baixo ganho o PA apresenta resposta linear e baixa eficiência. Para que o sistema apresente resposta linear e eficiente simultaneamente, um pré-distorsor digital (DPD) operando em banda base é inserido previamente em cascata com o PA, o DPD atua gerando uma função inversa do PA.
O DPD é baseado em modelos polinomiais com memória bastante precisos que podem apresentar quantidade significativa de coeficientes. Diminuir essa quantia é fundamental para reduzir o custo computacional e consumo de potência demandado pelo DPD. Logo, algoritmos são utilizados para escolher os coeficientes mais importantes, ignorando o restante deles. O objetivo deste trabalho é comparar 3 algoritmos: Mínimos Quadrados Ortogonais (OLS), Análise de Componentes Principais (PCA) e Amostragem Comprimida (CS) baseado em otimização inteira; e aplicá-los na redução de coeficientes em linearizadores
de PAs projetados em softwares de simulação de circuitos.
A linearização dos PAs mostra que o OLS apresenta melhor resultado na redução de coeficientes, apresentando resultado satisfatório com desempenho muito próximo ao melhor caso, com 5% de coeficientes, seguido do PCA que reduz em média 50%. O CS de baixo custo computacional (CoSaMP) original não apresentou resultado satisfatório e uma das duas modificações sugeridas apresentou resultados relevantes. Quando aplicado na redução de coeficientes, 5% dos coeficientes foram removidos mantendo a mesma qualidade de modelagem. Dois PAs foram linearizados, compensando distorção não linear de amplitude e de fase, reduzindo a potência dispersa nos canais adjacentes.
Palavras-chave: Amplificador de potência. Pré-distorção digital. Mínimos Quadrados
Abstract
Radio frequency communication systems, mainly used by mobile devices, require high performance and efficiency. In this system, the power amplifier (PA) is the most critical component because it is the major responsible for the system nonlinearity and energy consumption. When the PA is operating more efficiently, e.g. in region at high gain compression, there is signal distortion creating intermodulation components that interfere at adjacent channels, generally, not complying with regulatory standards such as LTE and IEEE802.15.4. With low gain the PA presents linear response and low efficiency. In order for the system to present linear and efficient response simultaneously, a baseband digital predistorter (DPD) is pre-cascaded with the PA, the DPD acts generating an inverse PA function.
The DPD is based on very precise polynomial models with memory that can present significant amount of coefficients. Reducing this amount is critical for reducing memory usage and power consumption demanded by DPD. Therefore, algorithms are used to choose the most relevant coefficients, ignoring the rest of them. The objective of this work is to compare three algorithms: Orthogonal Least Squares (OLS), Principal Component Analysis (PCA) and Compressed Sampling (CS) based on integer optimization; and applying reduction of coefficients in linearization of PAs designed in circuit simulation softwares.
The linearization of the PAs shows that the OLS presents the better result in the reduction of coefficients, presenting a satisfactory result with near-best-case performance, with 5% of coefficients, followed by PCA that reduces on average 50%. The original low computational CS (CoSaMP) did not present satisfactory results, and one from two suggested modifications presented relevant results. When applied in reducing coefficients, 5% of coefficients were removed while maintaining the same modeling quality. Two PAs were linearized to compensate nonlinear amplitude and phase distortion, reducing the leaked power in the adjacent channels.
Keywords: Power Amplifier. Digital Predistortion. Orthogonal Least Squares. Principal Component Analysis. Compressed Sampling.
Lista de ilustrações
Figura 1 – Sistema de transmissão simplificado. . . 25 Figura 2 – Diagrama de transferência de energia realizada pelo PA e distorção do
sinal através da densidade espectral de potência (PSD). . . 26 Figura 3 – Compensação de não linearidade com o DPD. . . 27 Figura 4 – Comparação entre OLS e PCA considerando o NMSE em função do
número de coeficientes. . . 30 Figura 5 – Curva característica de um amplificador com extrapolação da região
linear. . . 37 Figura 6 – NMSE em função de s e R aplicando CoSaMP na modelagem
compor-tamental de PAs. . . 40 Figura 7 – NMSE em função de s e R utilizando modificação a. . . 42 Figura 8 – NMSE em função do parâmetro s utilizando modificação b. . . 43 Figura 9 – Figuras de mérito para a linearização do PA com redução de parâmetros
utilizando CS modificação b. . . 45 Figura 10 – Circuito base de simulação no Cadence Virtuoso. . . . 46 Figura 11 – Circuito de simulação no Cadence Virtuoso com informação de arquivo
texto. . . 46 Figura 12 – Diferença entre informação inserida e lida utilizando o Cadence Virtuoso 47 Figura 13 – Circuito de simulação no Cadence Virtuoso considerando a reamostragem. 48 Figura 14 – Diagrama de simulação completa no Cadence Virtuoso. . . . 48 Figura 15 – Resposta do PA e modelo. . . 49 Figura 16 – Resposta do PA com e sem DPD. . . 50 Figura 17 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD. . 51 Figura 18 – Característica de transferência do PA. . . 51 Figura 19 – NMSE da modelagem inversa do PA no ADS. . . 52 Figura 20 – Comparação entre resposta com e sem DPD. . . 53 Figura 21 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD. . 54 Figura 22 – NMSE em função da quantidade de coeficientes utilizando OLS no
Cadence Virtuoso. . . . 55 Figura 23 – Comparação entre resposta com e sem DPD usando OLS no Cadence
Virtuoso. . . . 56 Figura 24 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD
usando OLS no Cadence Virtuoso. . . . 56 Figura 25 – NMSE em função da quantidade de coeficientes utilizando PCA no
Figura 26 – Comparação entre resposta com e sem DPD usando PCA no Cadence
Virtuoso. . . . 58 Figura 27 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD
usando PCA no Cadence Virtuoso. . . . 58 Figura 28 – NMSE em função da quantidade de coeficientes utilizando CoSaMP
modificação b no Cadence Virtuoso. . . 59 Figura 29 – Comparação entre resposta com e sem DPD usando CoSaMP
modifica-ção b no Cadence Virtuoso. . . 60 Figura 30 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD
usando CoSaMP modificação b no Cadence Virtuoso. . . 60 Figura 31 – NMSE em função da quantidade de coeficientes utilizando OLS no ADS. 61 Figura 32 – Comparação entre resposta com e sem DPD usando OLS no ADS. . . . 62 Figura 33 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD
usando OLS no ADS. . . 62 Figura 34 – NMSE em função da quantidade de coeficientes utilizando PCA no ADS. 63 Figura 35 – Comparação entre resposta com e sem DPD usando PCA no ADS. . . 64 Figura 36 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD
usando PCA no ADS. . . 64 Figura 37 – NMSE em função da quantidade de coeficientes utilizando CS
modifica-ção b no ADS. . . 65 Figura 38 – Comparação entre resposta com e sem DPD usando CoSaMP
modifica-ção b no ADS. . . 66 Figura 39 – Resposta em frequência do sinal entregue à carga com e sem o DPD
Lista de tabelas
Tabela 1 – NMSE calculado nas etapas da linearização do PA. . . 44
Tabela 2 – Característica do PA GaN_classeAB. . . . 51
Tabela 3 – Resultados numéricos. . . 54
Tabela 4 – Resultados numéricos utilizando OLS no Cadence Virtuoso. . . . 57
Tabela 5 – Resultados numéricos usando PCA no Cadence Virtuoso. . . . 59
Tabela 6 – Resultados numéricos usando CS modificação b no Cadence Virtuoso. . 61
Tabela 7 – Resultados numéricos usando OLS no ADS. . . 63
Tabela 8 – Resultados numéricos usando PCA no ADS. . . 65
Tabela 9 – Resultados numéricos usando CoSaMP modificação b no ADS. . . 65
Tabela 10 – Comparação entre resultados utilizando Cadence Virtuoso. . . . 67
Lista de abreviaturas e siglas
ACPR Razão de Potência de Canal Adjacente ADS Advanced Design System
CDS Cadence Design Systems
CMOS Semicondutor-Metal-Óxido Complementar
CMOS_classeAB_reconfiguravel Projeto do PA desenvolvido no Cadence Virtuoso CoSaMP Amostragem Comprimida de Perseguição Correspondente
CS Amostragem Comprimida DPD Pré-distorsor digital
EVM Magnitude de Vetor de Erro GaN Nitreto de Gálio
GaN_classeAB Projeto do PA desenvolvido no ADS GMP Polinômio de memória generalizado GPS Sistema de Posicionamento Global HB Equilíbrio Harmônico
HEMT Transistor de Mobilidade de Elétrons Alta in Dados medidos de entrada
LMS Mínimos Quadrados Médio LS Mínimos Quadrados
LTE Evolução a longo prazo LUTs Tabelas de Busca MP Polinômio de memória
MPA Polinômio de memória avançado NMSE Erro Quadrático Médio Normalizado
OCP1dB Ponto de 1 dB de compressão de ganho OLS Mínimos Quadrados Ortogonais
out Dados medidos de saída
PAE Eficiência de Potência Adicionada PCA Análise de Componentes Principais PSD Densidade Espectral de potência RF Rádio Frequência
RLS Mínimos Quadrados Recursivo RMS Valor Eficaz
WCDMA Acesso Múltiplo por Divisão de Código de Banda Larga 3G Terceira Geração nos padrões da telefonia móvel
Lista de símbolos
η Eficiência
Θ Fase de um sinal Φ Matriz de entradas
∆ Matriz diagonal com os autovalores da matriz XHX
P Fator de truncamento de não linearidade dos modelos polinomiais com memória
Sumário
1 INTRODUÇÃO . . . 19 1.1 Motivação . . . 20 1.2 Objetivos . . . 20 1.2.1 Objetivo geral . . . 20 1.2.2 Objetivos específicos . . . 20 1.3 Justificativa . . . 21 1.4 Metodologia de desenvolvimento . . . 21 1.5 Recursos necessários . . . 22 2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA . . . 252.1 Modelos para o PA/DPD . . . 26
2.2 Extração de coeficientes do modelo . . . 29
2.3 Redução do número de coeficientes do modelo . . . 30
2.3.1 Mínimos Quadrados Ortogonais (OLS) . . . 31
2.3.2 Análise de Componentes Principais (PCA) . . . 32
2.3.3 Amostragem Comprimida (CS) . . . 32
2.4 Definições complementares . . . 33
2.4.1 Erro quadrático médio normalizado . . . 33
2.4.2 Eficiência e PAE . . . 34
2.4.3 Otimização inteira aplicada na redução de coeficientes do modelo . . . 34
2.4.4 PSD . . . 34 2.4.5 ACPR . . . 35 2.4.6 EVM . . . 35 2.4.7 Simulação de envoltória . . . 36 2.4.8 Ponto de compressão de 1 dB . . . 36 3 RESULTADOS . . . 39
3.1 Implementação do Amostragem Comprimida . . . 39
3.1.1 CoSaMP modificado a . . . 40
3.1.2 CoSaMP modificado b . . . 41
3.2 Aplicando CoSaMP modificação B para linearizar um PA . . . 43
3.3 Linearização de um PA utilizando Cadence Virtuoso . . . 45
3.3.1 Linearização do PA CMOS_classeAB_reconfiguravel usando todos os coefi-cientes do modelo . . . 49
3.4 Linearização do PA GaN_classeAB utilizando ADS . . . 50
3.4.2 Linearização do PA GaN_classeAB usando todos os coeficientes do modelo 52
3.5 Linearização de PAs nos simuladores aplicando redução de
coefici-entes do modelo . . . 54
3.5.1 Cadence Virtuoso . . . . 54
3.5.1.1 Utilizando OLS . . . 54
3.5.1.2 Utilizando PCA . . . 56
3.5.1.3 Utilizando CoSaMP modificação b . . . 57
3.5.2 Advanced Design System . . . . 59
3.5.2.1 Utilizando OLS . . . 60
3.5.2.2 Utilizando PCA . . . 62
3.5.2.3 Utilizando CoSaMP modificação b . . . 63
3.6 Análise dos resultados . . . 66
3.6.1 Análise CS . . . 67
3.6.2 Linearização no Cadence Virtuoso . . . . 67
3.6.3 Linearização no ADS . . . 68
CONCLUSÃO . . . 71
19
1 INTRODUÇÃO
O constante crescimento da comunicação em rádio frequência (RF) e o avanço da microeletrônica, em especial o avanço da tecnologia cmos, abre caminhos para pesquisa nesta área da engenharia. A comunicação sem fio difundida em comunicação 3G, 4G,
bluetooth, GPS, entre outros, tende, ao passar dos anos, a estar presente em todos os
aparelhos eletrodomésticos conectados a uma rede (Razavi & Behzad (1998, p 1-2)). Atualmente, a comunicação demanda fluxos bastante elevados de dados gerados em especial pelo aumento de recursos em multimídia (qualidade de som, imagem e vídeo) e também a inclusão de novos dispositivos que dependem de comunicação (BONFIM, 2016, p
17).
A grande demanda exigida na comunicação força a alta restrição em frequência de portadora e largura de banda disponível (MACHADO, 2016, p 9). Para cumprir com a demanda respeitando às restrições, é necessário utilizar modulações que modificam simultaneamente fase e amplitude (SILVA, 2014, p 12). Atualmente são utilizados os
padrões wcdma e lte (FREIRE, 2015, p 12). Como efeito, o amplificador de potência (PA) está entre os componentes com maior influência na distorção da informação (MACHADO, 2016, p 9).
O PA é um dos principais componentes no sistema de transmissão (MACHADO, 2016,
p 9) e também o maior consumidor de potência da fonte. A qualidade de transmissão da informação está diretamente associada à linearidade do PA e, por ser o maior consumidor de potência, deve operar com a máxima eficiência possível, possibilitando maior autonomia para a bateria (FREIRE, 2015), (BONFIM, 2016).
Nas classes de operação A ou AB, o PA naturalmente não é eficiente apresentando picos de eficiência em pontos de maior compressão de ganho (próximos da saturação) (RAZAVI; BEHZAD, 1998). Operando em região não linear, dificilmente as especificações da norma são cumpridas, e linearmente a eficiência é comprometida. Manter o compromisso entre linearidade e eficiência é fundamental. Uma técnica comumente apresentada na literatura para este fim é a inserção de um pré-distorsor digital (DPD) ligado em cascata com o PA e em banda base. A estrutura de um DPD é baseada em modelos matemáticos com modelagem caixa preta, que não considera parâmetros físicos, como o caso dos modelos comportamentais descritos por séries de Volterra apresentados em Mathews & Sicuranza (2000) ou modelos baseados em alguns parâmetros físicos em geral utilizando redes neurais
20 Capítulo 1. INTRODUÇÃO
1.1
Motivação
Pesquisas recentes estudam os modelos para DPD/PA, redução de coeficientes, baixo custo computacional do DPD e baixo erro de modelagem. Nas dissertações MACHADO (2016) e BONFIM (2016) são comparadas estruturas que apresentam menor erro de modelagem com menor custo computacional além de propor novos modelos. Em FREIRE (2015) o DPD é implementado através de modelos baseados em redes neurais, por possuírem menor erro, com menor complexidade computacional. Na dissertação SILVA (2014), modelos baseados na inserção de parâmetros físicos do PA são propostos verificando o número de parâmetros do modelo e sua precisão de modelagem baseados em redes neurais. Na publicação SCHUARTZ & LIMA (2015), uma comparação entre diferentes algoritmos para extração de modelos com poucos parâmetros visando menor custo computacional e baixo erro de modelagem é apresentada. Como sequência de pesquisas, em SCHUARTZ & LIMA (2016b) é realizada uma comparação de algoritmos para redução do número de coeficientes de um modelo com quantidade significativa de coeficientes. Posteriormente, o mais eficiente é aplicado em um PA conforme apresentado em SCHUARTZ & LIMA (2016a).
Realizar redução de coeficientes de um modelo é fundamental para reduzir o custo computacional de um DPD, isso acontece porque o número de parâmetros do modelo é proporcional ao número de operações de soma e multiplicação, as quais demandam consumo de potência da fonte considerável, desta forma, quanto menor a quantidade de coeficientes, menor é o consumo de potência de um DPD.
1.2
Objetivos
1.2.1
Objetivo geral
O objetivo deste trabalho é aplicar o DPD com redução de coeficientes através dos algoritmos Mínimos Quadrados Ortogonais (OLS), Análise de Componentes Principais (PCA) e Amostragem Comprimida (CS), linearizando circuitos de PAs descritos em
softwares de simulação de circuito de RF e verificando melhora nos principais parâmetros
de qualidade de um transmissor. O modelo referência usado neste trabalho é baseado na simplificação das séries de Volterra, utilizando o modelo baseado no polinômio de memória generalizado (GMP), especificamente o modelo proposto em BONFIM & LIMA (2015, p 3) e BONFIM (2016, p 41-42).
1.2.2
Objetivos específicos
São incluídos para desenvolvimento do trabalho 3 objetivos específicos apresentados na sequência.
1.3. Justificativa 21
Primeiro, estudar e utilizar a Amostragem Comprimida como otimizador inteiro do número de coeficientes do modelo por meio do software Matlab, baseado no artigo (ABDELHAFIZ et al., 2014). Segundo, aplicar um sinal distorcido no software de simulação de circuitos Cadence Virtuoso da Cadence Design Systems (CDS). Utilizando a documentação do simulador, encontrar uma forma de inserir dados distorcidos, realizar a simulação e extrair dados do simulador para posteriormente tratá-los no Matlab. Terceiro, com os objetivos anteriores alcançados, estudar e aplicar distorção nos softwares com redução de coeficientes utilizando outros algoritmos redutores de complexidade.
1.3
Justificativa
Destinado à comunidade acadêmica, contribuindo para o desenvolvimento da microeletrônica e circuitos de RF em qualidade e eficiência dos transmissores. Este trabalho apresenta o diferencial de aplicar algoritmos de redução do número de parâmetros do modelo polinomial de um DPD, diretamente aplicado em projetos de PAs desenvolvidos em softwares de simulação e projeto.
1.4
Metodologia de desenvolvimento
As metodologias de desenvolvimento deste estudo são caracterizadas de forma distinta para os diferentes objetivos a serem alcançados.
O estudo do algoritmo Amostragem Comprimida para redução de coeficientes é caracterizado como um estudo de caso com etapas sequenciais. Em um primeiro momento, uma pesquisa buscando informação referente ao seu equacionamento é realizada. No segundo passo, utilizando o Matlab, aplica-se a redução do número de coeficientes do modelo, verificando erros de modelagem através da comparação entre os dados medidos ou calculados com modelo completo e dados calculados com modelo reduzido. Com os resultados satisfatórios1, é realizada a linearização de um PA no Matlab com redução de coeficientes aplicados no DPD.
O segundo objetivo, caracterizado por buscar conhecimento sobre o Cadence
Virtuoso e aplicar a linearização de um PA, também é um estudo de caso. As diferentes
opções de fontes são analisadas buscando uma maneira de inserir dados distorcidos e realizar a simulação.
Aplicar a redução de coeficientes com diferentes algoritmos, desenvolvidos em trabalhos anteriores, em diferentes softwares é caracterizada por um estudo de caso. A implementação é realizada através da distorção e tratamento de dados realizados no Matlab e inserindo os dados nos simuladores de circuito.
22 Capítulo 1. INTRODUÇÃO
No objetivo geral, comparando os resultados obtidos na linearização dos PAs, um estudo comparativo de casos é aplicado. Os diferentes algoritmos com redução de coeficientes são comparados com os resultados da literatura e com resultados da linearização sem redução de coeficientes.
1.5
Recursos necessários
Os principais recursos exigidos neste trabalho com maior criticidade são a disponi-bilidade dos softwares, os projetos de PAs desenvolvidos em circuitos, dados de medidas de PAs em arquivos e disponibilidade de documentação.
Os softwares para simulação de circuito Advanced Design System (ADS) e Cadence
Virtuoso da Cadence Design Systems (CDS), juntamente com o software matemático Matlab
estão disponíveis para esta pesquisa pelo grupo de Concepção de Circuitos e Sistemas Integrados (GICS) da UFPR. Com grande importância a documentação (publicações) está disponível para pesquisa nos laboratórios conectados na rede, ou por conexão utilizando servidores da universidade através de contas de estudante. Os amplificadores utilizados nos softwares de simulação estão disponíveis pelo grupo de pesquisa GICS, e foram anteriormente projetados por alunos de pós graduação.
Para realizar todos os procedimentos desta pesquisa são utilizados 4 PAs distintos, dois destes apenas para testes no Matlab através de amostras in out. O primeiro, chamado de InOutP2, são informações extraídas de um modelo baseado em medidas realizadas de um PA GaN, classe AB, centrado em 900 MHz, amplificando um sinal 3GPP WCDMA e caracterizado por possuir efeito de resposta não linear acentuado. O segundo, chamado de InOutM3, são dados medidos de um PA GaN HEMT classe AB modulado com um sinal WCDMA de banda 3,84 MHz e centrado em 900 MHz, que possui características de transferência caracterizadas pelo elevado efeito de memória.
No Cadence Virtuoso, o PA utilizado para distorção é um projeto totalmente integrado em tecnologia CMOS 130 nm, classe AB, de ganho reconfigurável com 6 modos de operação. Opera em 2,4 GHz, possui características bastante lineares, apre-sentando máximo ganho de 35,9 dB e potência de saturação em 17 dBm (SANTOS, 2015) e (SANTOS; LEITE; MARIANO, 2015). Neste trabalho, o projeto é mencionado como
CMOS_classeAB_reconfiguravel.
No ADS, o PA é um projeto classe AB com frequência de portadora centrada em 900 MHz. Realizado com um modelo de transistor HEMT, para tecnologia nitreto de gálio (GaN) e circuito passivo projetado em um substrato com as características 0,635 mm de espessura e permissividade relativa 10,5. Neste texto, este projeto será mencionado como 2 Esse conjunto de informações é o mesmo utilizado em SCHUARTZ & LIMA (2015).
1.5. Recursos necessários 23
25
2 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
A comunicação sem fio é dividida em 3 sub-sistemas principais: o transmissor, o meio transmissor (ar) e o receptor. Este trabalho é focado no transmissor, independente de tratar-se do dispositivo móvel ou da estação base. O transmissor possui diversos elementos entre a fonte de informação (som, imagem, voz) até a antena, conforme representação simplificada da figura 1.
Figura 1 – Sistema de transmissão simplificado.
Fonte de informação Processamento digital D/ A Processamento Analógico Oscilador PA
Fonte: O autor, 2017 (adaptado da disciplina Circuitos lineares, 2014).
Dentro do sistema transmissor, o componente de maior demanda de energia da fonte contínua é o PA, por isso, é fundamental garantir que a sua operação seja eficiente (BONFIM; LIMA, 2015, p 1). O PA também é importante por ser o componente que transfere potência da fonte em potência irradiada pela antena. O diagrama da figura 2 apresenta como o PA transfere a energia da fonte em energia irradiada e energia dissipada como forma de calor para o meio.
Além da eficiência, a demanda por alta taxa de transferência de dados e as restrições impostas por agências reguladoras de espectro exigem que o PA opere de forma linear, causando um conflito, já que PAs operam de forma eficiente apenas na região próxima da saturação e de forma linear somente com baixa amplitude de sinal (BONFIM; LIMA, 2015, p 1), gerando grandes perdas de energia dissipadas em calor (CAVALHEIRO; WEBER; LIMA, 2014, p 1). A figura 2 apresenta também dois gráficos representando a resposta em frequência da informação a ser transmitida na entrada e saída do PA. A curva amarela representa a restrição imposta pela norma regulamentadora e as diferenças de densidade de potência nas bandas adjacentes ao canal representam a distorção causada pela não linearidade do PA. Quando o PA está operando com baixa amplitude de sinal a distorção é mínima, porém, a eficiência é muito baixa, e quando operando com maior eficiência, a distorção é muito alta.
A característica de transferência não linear do PA é caracterizada pela potência de saída que decai 1 dB da potência ideal, ou ponto de 1 dB de compressão de ganho (OCP1dB) (MACHADO, 2016, p 13). Além do efeito não linear que ocorre puramente devido à amplitude
26 Capítulo 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
Figura 2 – Diagrama de transferência de energia realizada pelo PA e distorção do sinal através da densidade espectral de potência (PSD).
PA
Potência CC Potência CA Potência dissipada em forma de calor Potência CA MáscaraResposta em frequência antes da amplificação Resposta em frequência pós amplificação
f f
PSD PSD
Fonte: O autor, 2017 (adaptado de SILVA (2014, p 15)).
de tensão na entrada do PA, quando operando em RF, aparece um efeito chamado memória causado devido aos componentes armazenadores de energia (capacitâncias e indutâncias) dos circuitos de casamento de impedâncias de entrada e saída (MACHADO, 2016, p 13), e também dos circuitos de polarização, contribuindo significativamente na distorção.
O DPD, operando em banda base e implementado por meio de Tabelas de Busca (LUTs), é uma solução eficiente com baixo custo computacional (SCHUARTZ; LIMA, 2015, p 1) (CAVALHEIRO; WEBER; LIMA, 2014, p 1) que, no sistema DPD + PA formando uma cascata, permite que o PA opere com alta eficiência compensando a distorção. A estrutura matemática de um DPD é a mesma de um pós distorsor que, ligado em cascata na saída do PA, realiza a função inversa (SCHUARTZ; LIMA, 2015, p 2), através de um modelo matemático equivalente em banda base bidimensional e linear em seus parâmetros (SCHUARTZ; LIMA, 2015, p 2). A figura 3 apresenta as características ideais de transferência
do DPD, do PA e a resultante do sistema.
2.1
Modelos para o PA/DPD
As séries de Volterra são bastante difundidas para a modelagem comportamental (BONFIM, 2016, p 36) por não dependerem de parâmetros físicos do circuito, os quais, raramente são conhecidos1, e desta forma, podem ser aplicados na modelagem de qualquer PA. Este tipo de modelo é conhecido como caixa-preta (BONFIM, 2016, p 28), onde, 1 Se todos os parâmetros fossem conhecidos, conhecendo o equacionamento completo do circuito, uma
2.1. Modelos para o PA/DPD 27
Figura 3 – Compensação de não linearidade com o DPD.
Predistorsor
Entrada DistorcidoSinal Saída
PA
+ =
Fonte: O autor, 2017.
apenas medidas das informações de entrada (in) e saída (out) em domínio temporal são necessárias. As séries de Volterra, apresentadas em Mathews & Sicuranza (2000) são complexas e dependentes de muitos termos, que ao serem truncados formam simplificações, as quais são utilizadas para modelagem comportamental de PAs e DPDs.
Um modelo simples, utilizado na modelagem comportamental simplificada das séries de Volterra considerando apenas componentes unidimensionais2 é o polinômio de memória (MP), que é um modelo compacto, de baixo custo computacional e linear em seus parâmetros3. O MP gera baixo erro quando aplicado à PAs que apresentam pouco efeito de memória4. O DPD e pós distorsor apresentam característica inversa a do PA (SCHUARTZ; LIMA, 2015) (CAVALHEIRO; WEBER; LIMA, 2014), portanto o mesmo modelo pode ser utilizado. A equação 2.1 apresenta o MP conforme apresenta SCHUARTZ & LIMA (2015, p 2): y(n) = P X p=1 M X m=0 hp,mx(n − m)|x(n − m)|p−1, (2.1)
onde M é a quantidade de memória, P é o grau do polinômio considerado, x é a entrada,
y é a saída, n é a amostra considerada e h o coeficiente.
Considerando um caso simples onde M = 1 e P = 2, cada amostra n é dada pela equação:
y(n) = h1,0x(n) + h1,1x(n − 1) + h2,0x(n)|x(n)| + h2,1x(n − 1)|x(n − 1)|, (2.2) 2 Cada termo do somatório é composto por apenas um instante de tempo, por exemplo: x(n)|x(n)|,
x(n − 1)|x(n − 1)|; termos bidimensionais são compostos por dois instantes de tempos distintos ex: x(n)|x(n − 1)|.
3 A equação 2.5 apresenta um sistema linear equivalente do MP.
28 Capítulo 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
que pode ser escrita como um produto escalar entre vetores:
y(n) =h x(n) x(n − 1) x(n)|x(n)| x(n − 1)|x(n − 1)| i h h1,0 h1,1 h2,0 h2,1
iT
.
(2.3) Considerando que existam 5 amostras de entrada, y pode ser escrito na seguinte forma5: y(1) y(2) y(3) y(4) y(5) = x(1) x(0) x(1)|x(1)| x(0)|x(0)| x(2) x(1) x(2)|x(2)| x(1)|x(1)| x(3) x(2) x(3)|x(3)| x(2)|x(2)| x(4) x(3) x(4)|x(4)| x(3)|x(3)| x(5) x(4) x(5)|x(5)| x(4)|x(4)| h1,0 h1,1 h2,0 h2,1 . (2.4)
Portanto, o sistema formado é linear e pode ser escrito na seguinte forma matricial:
Y = XH, (2.5)
onde X é a matriz de entradas, Y o vetor de saídas e H o vetor de coeficientes.
A solução do sistema pode ser realizada utilizando um conjunto de N amostras de entrada e saída (x e y) e uma técnica para cálculo que pode ser direta como mínimos quadrados, ou recursiva onde os coeficientes são atualizados a medida que as amostras são lidas utilizando por exemplo mínimos quadrados recursivo ou mínimos quadrados médio conforme SCHUARTZ & LIMA (2015). A aquisição dos coeficientes permite uma leitura de um determinado número de amostras e a operação matricial, no entanto, o DPD deve operar em tempo real. Conhecidos os coeficientes e as amostras passadas, o modelo permite que o DPD faça a distorção de cada amostra n inserida através da equação 2.1.
A vantagem do MP é o baixo número de parâmetros do modelo (na ordem de algumas dezenas) pois estes são apenas dependentes de dois fatores (m e p) conforme apresentado na equação 2.1. Quando a modelagem de PAs com efeito de memória elevado apresenta erros elevados, versões mais gerais são necessárias, como por exemplo, o modelo conhecido na literatura como polinômio de memória generalizado (GMP) onde novos fatores de truncamento são inseridos. Outra opção é o modelo proposto em BONFIM & LIMA (2015) e referenciado neste documento como polinômio de memória avançado (MPA), que é uma generalização do GMP e apresenta resultados melhores. A equação 2.6 apresenta o MPA conforme BONFIM & LIMA (2015, p 3) também apresentado em BONFIM (2016, p 41-42): y(n) = M X m1=0 M X m2=0 P X p1=0 P X p2=0 hm1,m2,p1,p2|x(n − m1)|p1|x(n − m2)|p2x(n − m1), (2.6)
5 As amostras x(n < 1) são consideradas 0. Posteriormente para cálculo dos coeficientes as M primeiras
2.2. Extração de coeficientes do modelo 29
onde M é a quantidade de memória, P é o grau do polinômio considerado, x é a entrada,
y é a saída e h o coeficiente. O MPA é linear em seus parâmetros e, portanto, pode ser
escrito em um sistema matricial, conforme:
Y = XH, (2.7)
onde X é a matriz de entradas, Y o vetor de saídas e H o vetor de coeficientes.
Por possuir somatórios repetidos de um mesmo truncamento (M ou P ), algumas linhas se repetem. Estas linhas repetidas podem ser removidas para reduzir a complexidade do modelo, sem nenhuma deterioração na precisão. Além disso, para garantir que a máxima não linearidade seja limitada em P , linhas que apresentam grau total de não linearidade maior que P devem ser removidas do sistema. Para isso, é necessário impor as restrições
m1 6= m2 e p1+ p2 ≤ P (BONFIM; LIMA, 2015, p 3). Com as restrições impostas, o modelo pode ser reescrito conforme:
y(n) = M X m1=0 x(n − m1)[ P −1 X p1=0 hm1,p1|x(n − m1)|p1+ M X m2=0 P −1 X p1=0 P −1 X p2=1 hm1,m2,p1,p2|x(n − m1)|p1|x(n − m2)|p2]. (2.8)
A equação 2.8 foi utilizada nos artigos SCHUARTZ & LIMA (2016b, p 2) e SCHUARTZ & LIMA (2016a, p 2) e é adotada como modelo para este trabalho, onde h são os coeficientes, P a ordem polinomial e M o comprimento de memória. Similarmente aos modelos já apresentados, o modelo pode ser escrito como uma expressão matricial conforme equação 2.7 (SCHUARTZ; LIMA, 2016b).
2.2
Extração de coeficientes do modelo
Conhecendo dados equivalentes em banda base in e out de um PA e truncamentos
M e P dos modelos apresentados na seção 2.1, os coeficientes são calculados pela solução
deste sistema. Diferentes algoritmos computacionais, recursivos ou não, podem ser utilizados para isso. O documento SCHUARTZ & LIMA (2015) apresenta 3 algoritmos utilizados para este fim. Realizando uma comparação entre Mínimos Quadrados (LS), Mínimos Quadrados Médio (LMS) e Mínimos Quadrados Recursivo (RLS) em relação à exigência computacional e erro de modelagem, o algoritmo que apresenta melhor relação entre custo computacional e erro de modelagem é o LS (SCHUARTZ; LIMA, 2015, p 3). A equação 2.9 apresenta o LS conforme SCHUARTZ & LIMA (2015, p 2), também apresentado em Mathews & Sicuranza (2000, 5.2.2):
30 Capítulo 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
sendo X a matriz obtida na combinação das entradas, (.)∗ indica o complexo conjugado da matriz transposta, e Y o vetor das saídas medidas.
2.3
Redução do número de coeficientes do modelo
Os modelos GMP e MPA apresentados possuem quantidade significativa de coefici-entes6. Em SCHUARTZ & LIMA (2016b) uma comparação entre os algoritmos Mínimos Quadrados Ortogonais (OLS) e Análise de Componentes Principais (PCA) levando em conta a capacidade de precisão do modelo em função do número de coeficientes é realizada.
A figura 4 retirada do documento SCHUARTZ & LIMA (2016b) ilustra essa comparação e mostra que o OLS apresenta melhor resultado, ou seja, com mesmo número de parâmetros, o erro do modelo é menor utilizando OLS.
Figura 4 – Comparação entre OLS e PCA considerando o NMSE em função do número de coeficientes. 5 10 15 20 25 30 35 40 −40 −30 −20 −10 0 Número de parâmetros NMSE (dB) OLS PCA
Fonte: SCHUARTZ & LIMA (2016b, p 3).
Similar ao OLS e PCA, o documento Abdelhafiz et al. (2014) apresenta uma comparação entre Amostragem Comprimida (CS) e PCA, apresentando melhor resultado com o CS, onde 50 coeficientes são necessários para chegar próximo ao erro mínimo (ABDELHAFIZ et al., 2014). Este resultado é atraente e, nesta pesquisa, uma comparação
entre os 3 diferentes algoritmos será realizada.
6 Com M = 7 e P = 4 utilizando MPA são necessários 368 coeficientes conforme SCHUARTZ & LIMA
2.3. Redução do número de coeficientes do modelo 31
2.3.1
Mínimos Quadrados Ortogonais (OLS)
Apresentado em Chen, Cowan & Grant (1991), e aplicado ao MPA em SCHUARTZ & LIMA (2016b), é utilizado para reduzir o número de coeficientes através de um processo de ortogonalização da matriz de entradas (SCHUARTZ; LIMA, 2016b, p 2), sendo os coeficientes ordenados na ordem decrescente de importância. Cada coeficiente é calculado por iteração realizada. Truncando o número de iterações é possível definir a quantidade de coeficientes. As equações 2.10 abaixo apresentam o algoritmo (CHEN; COWAN; GRANT, 1991, p 2-4) (SCHUARTZ; LIMA, 2016b, p 2-3): Y = XH, Y = [Y (1)...Y (n)]H, X = [x1...xQ] xi = [xi(1)...xi(n)]H, 1 ≤ i ≤ Q, H = [h1...hQ]H. (2.10)
Da equação 2.10, tem-se que Y é o vetor de saídas, X é a matriz de entradas (definida pelo MP avançado), e H é o vetor de coeficientes. O algoritmo é definido em
duas etapas. Na primeira etapa, calcular para 1 ≤ i ≤ Q:
w(1)1 = xi, g(i)1 = w(i)1 HY w(i)1 H w(i)1 , [err](i)1 = g (i) 1 2 w(i)1 Hw(i)1 YHY , [err](i1) 1 = max{[err] (i) 1 , 1 ≤ i ≤ Q}, (2.11) e selecionar: w1 = w (i1) 1 = xi1. (2.12)
Para as próximas kas iterações, onde k ≥ 2, para 1 ≤ i ≤ Q, i 6= i
1, ..., i 6= ik−1 calcular: αjk(i)= w H j xi wHj wj 1 ≤ j ≤ k, w(i)k = xi−Pk−1j=1α (i) jkwj, g(i)k = w(i)k HY w(i)k Hw(i)k , [err](ik) k =
gk(i)2w(i)k H w(i)k
YHY , (2.13) encontrar: [err](ik) k = max{[err] (i) k , 1 ≤ i ≤ Q, i 6= i1, ..., i 6= ik−1}, (2.14) e selecionar: wk = w (ik) k = xik− k−1 X j=1 αjkwj, (2.15)
32 Capítulo 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
onde αjk = αikjk, 1 ≤ j ≤ k.
Após feita a ortogonalização7, a saída pode ser calculada a partir da matriz W que é a matriz X ortogonalizada, e os coeficientes G conforme mostra:
Y = WG. (2.16)
2.3.2
Análise de Componentes Principais (PCA)
O PCA é um algoritmo já consolidado na literatura para reduzir o número de coeficientes (GILABERT et al., 2013, p 2). Aplicando uma mudança de base8, é possível definir a ordem e a quantidade dos coeficientes mais significativos por meio dos autovalores e autovetores da matriz de entradas. A contribuição do coeficiente é diretamente associada à magnitude do autovalor relacionado (GILABERT et al., 2013, p 2). A quantidade utilizada é feita a partir de testes variando a quantidade de coeficientes. O algoritmo está descrito nas equações a seguir conforme Gilabert et al. (2013, p 2) e SCHUARTZ & LIMA (2016b, p 2):
Y = XH, (2.17)
onde Y é o vetor de saídas, X é a matriz de entradas e H são os coeficientes a serem determinados,
XHX = V∆V−1, (2.18)
onde ∆ é a matriz diagonal com os autovalores da matriz XHX e V é a matriz com os
autovetores associados. A contribuição de cada autovetor é definida pelo valor do autovalor:
X0 = XP, (2.19)
onde P é a matriz com os autovetores de maior contribuição e os novos coeficientes H0 são calculados utilizando LS conforme:
H0 = (X0HX0)−1X0HY. (2.20)
2.3.3
Amostragem Comprimida (CS)
Dando continuidade a pesquisa, um novo algoritmo, baseado em otimização inteira9, é utilizado para redução de coeficientes do modelo. Com base nos resultados apresentados em Abdelhafiz et al. (2014), o CS apresenta como principais vantagens comparadas ao PCA o baixo custo computacional, não necessidade de calcular autovalores e autovetores e menor erro de modelagem com a mesma quantidade de coeficientes. O algoritmo é analisado para realizar comparação com o OLS e PCA simultaneamente. No documento 7 O algoritmo OLS modifica a matriz de entradas.
8 Este algoritmo modifica a matriz de entradas.
2.4. Definições complementares 33
Abdelhafiz et al. (2014) não está apresentado o equacionamento do CS, apenas um breve comentário do seu funcionamento indicando sua forma computacionalmente eficaz Amostragem Comprimida de Perseguição Correspondente (CoSaMP) desenvolvida por Needell and Tropp (ABDELHAFIZ et al., 2014).
Os documentos Needell & Tropp (2009) e Davenport, Needell & Wakin (2012) apresentam o equacionamento do CoSaMP, cujo algoritmo é:
a0 ← 0, v ← u, k ← 0, Begin loop, k ← k + 1, y ← Φ ∗ v, Ω ← supp(y2s), T ← ΩS supp(ak−1), b|T ← Φ†Tu, b|Tc ← 0, ak← bs, v ← u − Φak, U ntil stop criterion,
(2.21)
onde, Φ é a matriz de entradas, u o vetor de saídas, s spartity level (define o número de coeficientes), supp comando de organização em magnitude dos valores absolutos, a os coeficientes considerados e (.)† indica o comando da equação 2.9.
2.4
Definições complementares
Algumas equações e definições são necessárias para análise dos casos, e estão apresentados na sequência.
2.4.1
Erro quadrático médio normalizado
A métrica utilizada para comparar dados medidos e calculados, amplamente uti-lizada nas pesquisas, é o erro quadrático médio normalizado (NMSE), apresentado na equação 2.22 conforme Muha et al. (1999, p 2):
N M SE = 10 log PN k=1 ymedido
I,k − yI,kmodelado
2 +ymedido Q,k − yQ,kmodelado 2 PN k=1 ymedido I,k 2 +ymedido Q,k 2 , (2.22)
onde yI indica o sinal em fase, yQ indica o sinal em quadratura e N é a quantidade total
34 Capítulo 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.4.2
Eficiência e PAE
Ao longo deste trabalho, o termo eficiência do PA é mencionado, definido pela equação (CRIPPS, 2006):
η = Pout PDC
, (2.23)
sendo a eficiência (η) definida pela razão entre potência de saída (Pout) e potência da
fonte contínua (PDC). O limite inferior a 100% é ocasionado devido as não idealidades dos
componentes do amplificador.
Uma análise de maior detalhe, levando em conta a fonte de alimentação de corrente contínua e a fonte de sinal (Pin), pode ser realizada utilizando a Eficiência de Potência
Adicionada (PAE) conforme apresenta a equação (CRIPPS, 2006):
P AE = Pout− Pin PDC
. (2.24)
2.4.3
Otimização inteira aplicada na redução de coeficientes do modelo
O conceito de otimização inteira aplicada na redução do número de coeficientes é definido como sendo a atribuição do fator de multiplicação binário em cada coeficiente do modelo. Os coeficientes menos significativos não são eliminados, e sim, atribuídos com valor zero. Isso permite reduzir o número de coeficientes sem a necessidade de modificar o modelo.Quando o modelo não é alterado pela redução de coeficientes, a etapa de reordenação das entradas não é necessária ao projetar o DPD, cujo procedimento deve ser alterado cada vez que os coeficientes são calculados, desta maneira o DPD torna-se mais simples e de menor custo computacional.
2.4.4
PSD
A Densidade Espectral de Potência (PSD) é a resposta em frequência de um sinal de potência expresso em unidade de potência por unidade de frequência, (W/Hz ou dBm/Hz). Segundo Haykin (2004, 1.4 - 1.7) a PSD Sx(f ) é definida como a transformada de Fourier
da função de autocorrelação Rx(τ ) conforme equação 2.25, sendo a autocorrelação Rx(τ )
a expectativa de duas variáveis aleatórias observadas nos instantes t + τ e t conforme equação 2.26. Para uma função cossenoidal, a autocorrelação Rx(τ ) é dada pela equação
2.27: Sx(f ) = Z ∞ −∞Rx(τ )e −j2πf τ dτ, (2.25) Rx(τ ) = E[X(tτ)X(t)], (2.26)
2.4. Definições complementares 35
Rx(τ ) =
A2
2 cos(2πfcτ ). (2.27)
2.4.5
ACPR
A Razão de Potência de Canal Adjacente (ACPR) é definida como a razão de potências que ocorre entre as bandas laterais superior e inferior e a banda passante (LEE, 1998). O ACPR total pode ser calculado pela expressão (LEE, 1998):
ACP R = PAI + PAS Po
, (2.28)
sendo Po a integral da densidade espectral de potência na banda passante do canal, PAI a
integral da densidade espectral de potência na banda adjacente inferior e PAS a integral
da densidade espectral de potência na banda adjacente superior ao canal.
É comum a referência de ACPR inferior e superior, ou, a razão de potências entre os canais adjacentes inferior e superior calculadas de maneira independente entre si, conforme mostra as equações 2.29 e 2.30 respectivamente:
ACP Rlow = PAI Po , (2.29) ACP Rupper = PAS Po . (2.30)
O ACPR é uma medida numérica relacionada a interferência de intermodulação que afeta os canais adjacentes e possuem valores limitados por normas regulamentadoras de espectro para comunicação em RF (YAP, 1997, p 175).
2.4.6
EVM
A Magnitude de Vetor de Erro (EVM) é uma figura de mérito utilizada nas comunicações em RF. Expresso em valor RMS ou %, relaciona valores numéricos da diferença dos símbolos lidos com os símbolos transmitidos através da relação entre potências médias dos símbolos conforme (MCKINLEY et al., 2004):
EV MRM S = 1 N PN r=1|Sideal,r− Smedido,r|2 1 N PN r=1|Sideal,r|2 1 2 , (2.31)
onde r indica o símbolo medido, S indica o vetor de potência normalizada do símbolo,
ideal símbolo transmitido, medido símbolo recebido e N o número total de símbolos
36 Capítulo 2. FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA
2.4.7
Simulação de envoltória
Simuladores de circuitos elétricos são normalmente utilizados para simulações básicas, sendo as principais: análise CC, CA e transitório. Com o aumento da frequência, a análise de transitório torna-se bastante exigente computacionalmente devido ao número de amostras necessárias, tornando-se inviável em GHz. Quando há a necessidade de análises com várias componentes harmônicas, aplicável a circuitos não lineares, a análise Equilíbrio Harmônico (HB) é uma solução viável que fornece resposta no domínio da frequência. Apesar de fornecer informações em diferentes frequências, a simulação HB não apresenta espectro contínuo como uma análise de transitório permite via transformada de Fourier (YAP, 1997).
O espectro contínuo é fornecido utilizando a simulação de envoltória, disponível nos simuladores Cadence Virtuoso e ADS. Realizando a união das simulações de transitório e HB, dados de modulação10 são inseridos em domínio temporal, e para cada amostra, é executada uma simulação HB. Esta simulação permite obter as respostas laterais centradas nas harmônicas das simulações HB equivalentes em banda base (análise transitória) com um domínio contínuo em frequência (YAP, 1997).
Os modelos aplicados para modelagem do DPD e PA são baseados na resposta equivalente em banda base dos sinais de entrada e saída do PA e exigem espectro contínuo fornecidos pela simulação de envoltória.
2.4.8
Ponto de compressão de 1 dB
Ponto de compressão de 1 dB de ganho (OCP1dB) é a potência de saída do PA que se desvia no total de 1 dB da característica ideal do amplificador (BRAGA et al., 2012). A
característica ideal pode ser representada como uma reta que extrapola a característica linear do amplificador, conforme mostra a figura 5.
2.4. Definições complementares 37
Figura 5 – Curva característica de um amplificador com extrapolação da região linear.
1 dB Pin [dBm] Pout [dBm ] 𝑂𝐶𝑃1𝑑𝐵
39
3 RESULTADOS
Esta seção apresenta os resultados atingidos separados por cada etapa realizada. A primeira é referente ao algoritmo CS implementado no Matlab, a segunda aos resultados da implementação de linearização em um projeto nos softwares Cadence Virtuoso e ADS, por fim, os resultados obtidos linearizando PAs com os algoritmos de redução de coeficientes.
3.1
Implementação do Amostragem Comprimida
Esse algoritmo possui sua versão computacionalmente eficaz (CoSaMP) conforme apresentado na equação 2.21. É implementado no software Matlab por meio de uma função que possui os argumentos:
Φ Matriz formada pelas amostras de entradas.
u Vetor de amostras de saída.
s Spartity level (Número de coeficientes).
R Número de repetições (critério de parada do looping).
A função retorna o vetor de coeficientes a com s coeficientes mais significativos diferentes de zero, e os restantes iguais a zero.
Para validar a funcionalidade do algoritmo e escolha dos parâmetros R e s, são utilizados os dados InOutP e InOutM com fatores de truncamento do modelo (M e P ) ajustados considerando melhor relação entre baixo erro e exigência computacional. Os dados InOutP possuem fatores de truncamento do modelo MPA ajustados para M = 2 e
P = 6 produzindo um total de 108 coeficientes e NMSE de -61,81 dB calculado com 3000
amostras. Para os dados InOutM são utilizados M = 7 e P = 4 baseado em SCHUARTZ & LIMA (2016b) e SCHUARTZ & LIMA (2016a). Com 3000 amostras utilizadas no cálculo, apresenta NMSE mínimo igual a -39,78 dB e 368 coeficientes1.
As figuras 6a e 6b são geradas variando os parâmetros s de 1 a 20 e R de 1 a 7 aplicando redução de coeficientes com abordagem CoSaMP na modelagem comportamental do PA. Independentemente do número de repetições e número de coeficientes, não há convergência em nenhum dos casos. Tal resultado possivelmente foi acarretado pelo não cumprimento das hipóteses descritas em Needell & Tropp (2009):
• O nível de dispersão s é fixo.
40 Capítulo 3. RESULTADOS
• A matriz de amostras Φ tem constante de isometria δ4s≤ 0, 1.
• O sinal de entrada x é um número complexo e arbitrário.
• O vetor de erro e é um valor arbitrário.
• As amostras possuem o formato u = Φx + e.
Figura 6 – NMSE em função de s e R aplicando CoSaMP na modelagem comportamental de PAs. (a) InOutP 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 s NMSE [dB] NMSE x coeficientes R = 1 R = 2 R = 3 R = 4 R = 5 R = 6 R = 7 (b) InOutM 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25 30 s NMSE [dB] NMSE x coeficientes R = 1 R = 2 R = 3 R = 4 R = 5 R = 6 R = 7 Fonte: O autor, 2017
Tais hipóteses não foram previamente consideradas por tomar como base a publi-cação Abdelhafiz et al. (2014), onde o algoritmo não é apresentado equacionalmente.
Analisando cada etapa do algoritmo apresentado na equação 2.21, duas modificações podem ser consideradas, apresentadas na sequência como CoSaMP modificado (a) e (b).
3.1.1
CoSaMP modificado a
A etapa que atribui ao vetor a os s maiores coeficientes, a priori mais significativos zerando o restante, ak ← b
s é modificada. Ao invés de apenas atribuir os s maiores
3.1. Implementação do Amostragem Comprimida 41
A equação 3.1 apresenta o algoritmo com a modificação apresentada:
a0 ← 0, v ← u, k ← 0, Begin loop, k ← k + 1, y ← Φ ∗ v, Ω ← supp(y2s), T ← ΩS supp(ak−1), b|T ← Φ†Tu, b|Tc ← 0, ak |Ts ← Φ † Tsu, ak |Tc s ← 0, v ← u − Φak,
U ntil stop criterion,
(3.1)
onde Ts indica os s maiores coeficientes de b.
Aplicando a mesma análise realizada anteriormente, as figuras 7a e 7b apresentam os resultados variando os parâmetros s e R para os diferentes dados de teste. Para o caso InOutP2, a modificação não apresenta convergência. Para o caso InOutM3, ocorre convergência para todos os valores de R e s, sendo necessário ao mínimo 2 repetições para obter resultado apresentável, e mesmo havendo a convergência, o NMSE é bastante instável ao utilizar um coeficiente a mais a ou menos. O mínimo valor de NMSE é dependente de cada caso (PA e modelo), portanto, não é possível impor um valor mínimo para qualquer caso. Logo, um valor de erro aceitável ao fazer redução do número de coeficientes é quando este está próximo ao caso com todos os coeficientes.
3.1.2
CoSaMP modificado b
O CoSaMP seleciona os coeficientes em duas etapas. No primeiro momento, são escolhidos 2s coeficientes, realizando a união com os coeficientes da iteração anterior, e no segundo momento, escolhidos os s coeficientes a serem considerados. A modificação apresentada remove a etapa ak ← b
s considerando todos os coeficientes do vetor b. Com a
modificação, na primeira iteração, o número de coeficientes é controlado, já que a união é realizada com um vetor vazio, e nas próximas iterações o controle não é garantido ou apresenta exatamente o mesmo resultado, portanto, apenas uma iteração é realizada e o 2 O número máximo de coeficientes é metade dos coeficientes do modelo (54 coeficientes neste caso). 3 O número máximo de coeficientes para o caso é 184.
42 Capítulo 3. RESULTADOS
Figura 7 – NMSE em função de s e R utilizando modificação a.
(a) InOutP 0 10 20 30 40 50 60 −35 −30 −25 −20 −15 −10 s NMSE [dB] NMSE x coeficientes R = 1 R = 2 R = 3 R = 4 R = 5 R = 6 R = 7 (b) InOutM 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 s NMSE [dB] NMSE x coeficientes R = 1 R = 2 R = 3 R = 4 R = 5 R = 6 R = 7 Fonte: O autor, 2017
termo 2s é substituído apenas por s4, onde s é a quantidade de coeficientes que passam a estar armazenados em b. A equação 3.2 apresenta a aplicação das modificações:
a0 ← 0, y ← Φ ∗ u, T ← supp(ys), b|T ← Φ † Tu, b|Tc ← 0. (3.2)
A função, além de modificada no equacionamento, modifica os parâmetros de entrada e a saída da função. Nos parâmetros de entrada, é retirado o critério de parada do
looping (R), e o retorno da função passa a ser b.
As figuras 8a e 8b apresentam os resultados para os dois PAs. A redução de coeficientes não é eficiente comparada ao OLS na figura 4, no entanto, existe convergência em ambos os casos, e estas são estáveis. O formato degrau nas respostas possivelmente é causado pela maneira como a matriz de entradas está organizada e a ineficiência do algoritmo. Considerando um exemplo cujo modelo é ajustado para 100 coeficientes e 5 destes são significativos para reduzir o erro em 90%, supondo que estes 5 estão separados por 10 não significativos, o algoritmo não é capaz de escolher em sequência os coeficientes mais significativos sem escolher os 10 menos significativos anteriores, o que faz apresentar o formato degrau.
Comparando o CoSaMP original e as modificações, a modificação b é menos 4 Fazendo isso, o algoritmo modificado permite qualquer quantidade de coeficientes até o valor máximo
3.2. Aplicando CoSaMP modificação B para linearizar um PA 43
Figura 8 – NMSE em função do parâmetro s utilizando modificação b.
(a) InOutP 0 20 40 60 80 100 120 −65 −60 −55 −50 −45 −40 −35 −30 −25 −20 s NMSE [dB] NMSE x coeficientes (b) InOutM 0 50 100 150 200 250 300 350 400 −40 −35 −30 −25 −20 −15 −10 −5 0 s NMSE [dB] NMSE x coeficientes Fonte: O autor, 2017
complexa e mais estável, porém, a modificação a permite menor erro com menos coeficientes no caso específico InOutM. Isso implica que, para um caso aplicável, a modificação a é mais eficiente.
3.2
Aplicando CoSaMP modificação
Bpara linearizar um PA
Nesta seção, uma linearização com redução de coeficientes utilizando CoSaMP modificação b em um modelo de PA é aplicada, baseada no conjunto de dados InOutM, utilizando MPA com fatores de truncamento M = 7 e P = 4. Conforme figura 8b, 250 coeficientes apresentam NMSE com resultado satisfatório.
Um resultado satisfatório é escolher a quantidade de coeficientes tal que o NMSE esteja próximo do mínimo atingível pelo modelo ao utilizar todos os coeficientes. Fazendo isso, espera-se máxima redução de ACPR, o que não possui ligação direta com valores de NMSE, principalmente por este chegar à valores distintos para diferentes casos. Da mesma forma, a redução de ACPR não implica em um valor exato do NMSE na modelagem de um PA.
Por possuir apenas dados medidos, a simulação é realizada seguindo a ordem:
• Um modelo do PA é extraído utilizando modelo MPA e todos os coeficientes são calculados utilizando LS.
• Utilizando o modelo do PA, um novo conjunto de dados é calculado e as informações de entrada e saída são invertidas entre si.
44 Capítulo 3. RESULTADOS
• O modelo do DPD é calculado utilizando CS modificação b com quantidade de coeficientes reduzida.
• Limitando a amplitude da informação inserida no DPD aplicando um ganho menor que 1 comparado a amplitude máxima permitida5, a informação é pré-distorcida. • A informação pré-distorcida é inserida no modelo do PA, armazenando as informações
de entrada e saída.
• O modelo do DPD é novamente extraído com quantidade reduzida de coeficientes. • Os dados da fonte são pré-distorcidos com o novo modelo, aplicando ganho menor
que 1 normalizado na amplitude máxima.
• Os dados pré-distorcidos são inseridos no modelo do PA, e armazenados os dados de entrada e saída do sistema6.
• A potência média do sinal na saída do PA é calculada, e um novo conjunto de informações in out do modelo do PA é adquirido aplicando um ganho que garante mesma potência na saída do PA, quando este opera sem o DPD.
• Com os dados de saída do PA, com e sem DPD, uma análise é realizada.
Tabela 1 – NMSE calculado nas etapas da linearização do PA.
NMSE [dB]
Modelo do PA -45,33 Modelo do DPD 1 -35,12 Modelo do DPD 2 -37,31
Fonte: O autor, 2017
Aplicando o procedimento descrito, a tabela 1 apresenta os principais erros adquiri-dos, onde o modelo do PA considera todos os coeficientes do modelo MPA com fatores de truncamento M = 7 e P = 4, e os modelos do DPD 1 e DPD 2 são a primeira e segunda extrações dos coeficientes utilizando CS modificação b, respectivamente. Os valores de potência não estão apresentados devido à normalização das medidas, no entanto, o ajuste é realizado considerando duas casas decimais de potência média medidas em dBm para comparação entre resposta com e sem DPD, fazendo com que o PA atinja pontos próximos da saturação na primeira modelagem do DPD. Os ganhos do DPD são ajustados para atingir o ponto ótimo de linearização levando como base o ACPR médio e diferença de 0,05 V/V entre primeiro e segundo ganho, sendo o último menor.
5 Amplitude máxima é o máximo valor das amostras utilizadas para a extração do modelo, uma vez que
valores superiores extrapolam o modelo.
3.3. Linearização de um PA utilizando Cadence Virtuoso 45
Figura 9 – Figuras de mérito para a linearização do PA com redução de parâmetros utilizando CS modificação b.
(a) Resposta do sistema.
0 0.5 1 1.5 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
Tensão de entrada normalizada [V]
Tensão de saída normalizada [V]
Sem DPD Com DPD (b) PSD do sinal de saída. −30 −20 −10 0 10 20 30 −80 −70 −60 −50 −40 −30 −20 Frequência [MHz] PSD [dBm/Hz] Saída sem DPD Saída com DPD Fonte: O autor, 2017
A figura 9a apresenta a resposta do sistema com e sem o DPD7, apresentando valores absolutos de tensão de saída em função da tensão de entrada com valores normalizados. O aumento de linearidade é significativo mantendo mesma potência média. O resultado também é analisado no domínio da frequência e apresentado pela figura 9b, com densidade espectral de potência equivalente em banda base do sinal modulado emitido pelo PA quando este opera com e sem o DPD. A figura 9b apresenta redução de ACPR em 13,94 dB e 12,79 dB nas bandas adjacentes inferior e superior, respectivamente.
3.3
Linearização de um PA utilizando Cadence Virtuoso
O Cadence Virtuoso é um simulador de circuitos robusto que permite simulações complexas, projeto de leiaute e simulações considerando os parasitas dos circuitos, além de disponibilizar ferramentas como máscaras de algumas normas, cálculos de ACPR e EVM. Realizar uma simulação considerando uma fonte do Cadence Virtuoso é bastante simples, porém, é necessário distorcer o sinal da fonte, o que torna-se uma tarefa complexa havendo a necessidade de pesquisa e diversos testes.
O simulador possui uma fonte de sinais de RF (rfVsource) que produz símbolos baseados nas normas disponíveis e algumas modulações. Este sinal produzido é em domínio temporal e em banda base para realização da simulação de envoltória. Após a simulação são armazenadas as informações no domínio do tempo das tensões na entrada e saída do PA com valores de fase e quadratura. Existem diferentes formas de realizar este procedimento, mas nesta pesquisa as informações são salvas em arquivos texto com extensão .csv para 7 A figura mostra apenas alguns pontos do total de medidas realizadas.
46 Capítulo 3. RESULTADOS
serem lidos pelo Matlab. A figura 10 apresenta o diagrama de uma simulação com o PA utilizando a fonte de sinais do simulador.
Figura 10 – Circuito base de simulação no Cadence Virtuoso.
rfVsource PA Carga
Fonte: O autor, 2017
Além da fonte geradora de sinais modulados, baseada nas normas disponíveis no simulador, é possível inserir dados modulados baseados por uma outra norma específica não disponível no simulador através de arquivos texto (formato .pwl) informando componentes de fase e quadratura em função das amostras de tempo. A leitura dos arquivos texto é realizada através de uma fonte de potência chamada pelo simulador de port. Esta consiste em uma fonte de tensão em série com uma impedância que pode ser controlada para garantir potência ou tensão conhecidas fornecidas à uma carga perfeitamente casada com a fonte. Em geral a fonte referida é utilizada para realização de simulações que dependem de apenas um tom senoidal controlando amplitude ou potência e frequência. No entanto, entre as diversas opções disponíveis, a fonte permite inserir parâmetros de modulação através dos arquivos texto.
A disponibilidade da port em inserir dados modulados por arquivo texto é especifi-camente utilizar normas não disponíveis no simulador, dessa forma permitindo utilizar a função para inserção de dados distorcidos. A figura 11 apresenta o diagrama de simulação com a inserção de informação através de arquivo texto para uma simulação envoltória. A fonte (port) faz a leitura dos arquivos texto e os insere no PA. Os parâmetros da fonte são ajustados realizando o casamento de impedância com o PA e ganho de tensão unitário garantindo comportamento de uma fonte de tensão ligada diretamente ao PA.
Figura 11 – Circuito de simulação no Cadence Virtuoso com informação de arquivo texto.
PA Carga Port
Fonte: O autor, 2017
Uma primeira simulação é realizada fazendo apenas a leitura da tensão inserida no PA8. O resultado mostrando apenas as 10 primeiras amostras é apresentado na figura 12, apresentando o tempo em função das amostras (figura da esquerda), o valor absoluto de tensão em função das amostras (figura central) e tensão em função do tempo (figura da 8 Utilizando um PA disponível nas bibliotecas do Cadence Virtuoso.
