Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
prof.douglas.pucgo@gmail.com
Resistência dos Materiais I – SLIDES 07
Capítulo 6
Círculo de Mohr para
tensões
6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano
Consiste na
solução gráfica
das equações de
transformação de tensão no plano
Permite a
“visualização” das
componentes de
tensão
de acordo com a orientação do plano
em que agem.
2
sin
2
(
6
.
1
)
cos
2
2
'
x
y
x
y
xy
x
2
cos
2
(
6
.
2
)
sin
2
' '
x
y
xy
y xSLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
6.4 Círculo de Mohr - Tensão no
plano
Permite a “visualização” das componentes de tensão de
acordo com a orientação do plano em que agem.
Dedução do Círculo de Mohr
As equações (6.1) e (6.2) podem ser reescritas:
2
sin
2
(6.10)
cos
2
2
(6.1)
2
sin
2
cos
2
2
' '
xy y x y x x xy y x y x x
2
cos
2
(
6
.
11
)
sin
2
)
2
.
6
(
2
cos
2
sin
2
' ' ' '
xy y x y x xy y x y xSLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt
Elevando ao quadrado as eqs. (6.10) e (6.11) e
somando-as, tem-se:
Dedução do Círculo de Mohr
5
2
sin
2
(6.10)
cos
2
2
'
x y x y xy x
2
cos
2
(
6
.
11
)
sin
2
' '
x y xy y x 2 2 2 ' ' 2 '2
2
xy y x y x y x x
A eq. anterior pode ser colocada em uma
forma mais compacta:
Dedução do Círculo de Mohr
2 2 2 ' ' 2 '
2
2
xy y x y x y x x
x
'
med
2
x
2
'
y
'
R
2
(
6
.
12
)
2
y x m ed
2 22
xy y xR
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Se definirmos eixos coordenados com
σ
positiva para
a
direita
e
τ
positiva para
baixo
e então construirmos
o gráfico da eq. (6.12), veremos que essa
equação
representa um
círculo de raio R
e centro no eixo
σ no
ponto C(
σ
med
,0
).
Dedução do Círculo de Mohr
Dedução do Círculo de Mohr
Qual a orientação
dos eixos
positivos???
σ
positiva
para a
direita
e
τ
positiva para
baixo
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Dedução do Círculo de Mohr
9
Construção do Círculo de Mohr
1.
Estabelecer um sistema de coordenadas com
σ positiva
para a direita e
τ positiva para baixo
2.
Utilizar a convenção mostrada
ao lado para os valores positivos
de
σ e de τ
3.
Marcar o centro do círculo C, que está
localizado no eixo σ a uma distância de
σ
méd
=(
σ
x
+
σ
y
)/2 da origem
4.
Marcar o ponto de referência
A
cujas coordenadas são
A(
σ
x
,
τ
xy
), referente ao ângulo
θ=0º, ou seja, alinhado
com o eixo
σ
x
do estado de tensões dado
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Construção do Círculo de Mohr
11
m ed
Construção do Círculo de Mohr
5.
Unir o ponto
A
ao centro
C
, determinando a
hipotenusa
CA
, que
representa o
raio R
do
círculo. Um ponto G de
coordenadas (
σ
y
, -τ
xy
),
diametralmente oposto
ao ponto A também pode
ser marcado
6.
Traçar o círculo
utilizando o raio
encontrado
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Análise com o Círculo de Mohr
13
As tensões principais σ
1e σ
2são apresentadas pelos dois pontos
B
e
D
,
onde o círculo intercepta o eixo
σ
As tensões principais agem nos planos definidos por
2θ
p1e
2θ
p2(sentido
Análise com o Círculo de Mohr
As componentes de
tensão de cisalhamento máxima
e
de tensão normal média são determinadas pelo círculo
com as coordenadas dos pontos
E
e
F
O ângulo
2θ
s1
é determinado por trigonometria. Aqui a
rotação é em sentido horário
(ver figura)
As componentes
σ
x’
e
τ
x’y’
num ponto qualquer
P
atuantes em um plano definido por um
ângulo
θ
, medido
no sentido anti-horário, são obtidos por
trigonometria
Para localizar P,
o ângulo
θ de um plano
(no sentido
anti-horário)
é medido no círculo como 2θ
(no mesmo
sentido anti-horário)
da linha CA para CP
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Análise com o Círculo de Mohr
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.7 (Hibbeler)
A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Figura 9.18
Pela Figura:
0
0
y xy x
Centro do círculo:
2
2
0
2
x
y
m edAs coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(σ,0).
O Raio do Círculo CA é R =
σ/2.
Exemplo 9.7 (Hibbeler)
A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
0
0
y xy x
Centro do círculo:
2
2
0
2
x
y
m edAs coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são
A(σ,0)
.
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.7 (Hibbeler)
A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos A e D):
0
2
1
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
2
max
Dadas pelo ponto E na figura:
2
m ed
Exemplo 9.7 (Hibbeler)
A carga axial P produz o estado de tensão no material como mostra
a Figura 9.18a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Por observação, o ângulo em sentido horário
2θ
s1= 90º
. Portanto,
θ
s1= 45º
, de modo que o
eixo x’ está orientado a 45º em sentido horário
em relação ao eixo x.
Como
E
tem coordenadas positivas, então
σ
mede
τ
maxagem nas
direções x’ e y’ positivas
,
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.8 (Hibbeler)
A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Figura 9.19
Pela Figura:
x
0
y
0
xy
Centro do círculo:
0
2
0
0
2
x y m ed
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(0,-
τ
).
O Raio do Círculo CA é R =
τ
.
Exemplo 9.8 (Hibbeler)
A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Pela Figura:
x
0
y
0
xy
Centro do círculo:
0
2
0
0
2
x y m ed
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são
A(0,-
τ
)
.
O Raio do Círculo CA é R =
τ
.
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
REMA I – Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt 23
Exemplo 9.8 (Hibbeler)
A carga de torção T produz o estado de tensão no eixo como mostra
a Figura 9.19a. Construa o círculo de Mohr para esse caso.
Tensões principais (Pontos B e D):
2 1Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
max
Dadas pelo ponto A na figura:
0
m ed
Exemplo 9.9 (Hibbeler)
As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Figura 9.20a
Pela Figura:
MPa
6
0
MPa
12
xy y x
Centro do círculo:
MPa
6
2
0
12
2
x y m ed
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-12,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
'
2
2' '
8
,
49
MPa
x med x ySLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.9 (Hibbeler)
As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
Pela Figura:
MPa
6
0
MPa
12
xy y x
Centro do círculo:
MPa
6
med
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são
A(-12,-6)
.
Raio do Círculo eq. (6.12):
'
2
2' '
8
,
49
MPa
x med x yTensões principais (Pontos B e D):
MPa
49
,
14
49
,
8
6
MPa
49
,
2
6
49
,
8
2 1
Orientação das tensões principais:
º
45
6
12
6
tan
2
2 1
p
p2
22
,
5
º
Exemplo 9.9 (Hibbeler)
As cargas combinadas no cilindro maciço produzem o estado de
tensão como mostra a Figura 9.20a. Determine as tensões
principais que agem no ponto.
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.10 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Figura 9.21a
Centro do círculo:
MPa
35
2
90
20
m ed
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-20,60).
Raio do Círculo eq. (6.12):
'
2
2' '
81
,
4
MPa
x med x yR
Pela Figura:
MPa
60
MPa
90
MPa
20
xy y x
Exemplo 9.10 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Centro do círculo:
MPa
35
2
90
20
m ed
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são
A(-20,60).
Raio do Círculo eq. (6.12):
'
2
2' '
81
,
4
MPa
x med x ySLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.10 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.21a,
determine a tensão de cisalhamento máxima e a orientação do
elemento sobre o qual ela age.
Orientação do elemento:
º
3
,
21
1
s
Tensão de cisalhamento máxima
e Tensão normal média:
MPa
4
,
81
max
Dadas pelos pontos E e F na figura:
MPa
35
med
º
5
,
42
60
35
20
tan
2
1 1
s
Exemplo 9.11 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido
anti-horário em relação à posição mostrada na figura.
Figura 9.22a
Centro do círculo:
MPa
2
2
12
8
m ed
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são A(-8,-6).
Raio do Círculo eq. (6.12):
'
2
2' '
11
,
66
MPa
x med x yR
Pela Figura:
MPa
6
MPa
12
MPa
8
y x
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.11 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido
anti-horário em relação à posição mostrada na figura.
Centro do círculo:
MPa
2
2
12
8
m ed
As coordenadas do ponto de
referência para θ = 0º são
A(-8,-6)
.
Raio do Círculo eq. (6.12):
'
2
2' '
11
,
66
MPa
x med x y
Exemplo 9.11 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido
anti-horário em relação à posição mostrada na figura.
Como o elemento deve sofrer
rotação de
30º em sentido
anti-horário
, deve-se traçar a linha
radial CP,
2(30º) = 60º
em
sentido anti-horário, medida
em relação a CA (θ = 0º).
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.11 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido
anti-horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
Coordenadas do Ponto P:
º
96
,
30
10
6
tan
1
º
04
,
29
º
96
,
30
º
60
MPa
20
,
8
04
,
29
cos
66
,
11
2
'
x
MPa
66
,
5
04
,
29
sin
66
,
11
' 'y
x
Exemplo 9.11 (Hibbeler)
Para o estado plano de tensão mostrado na Figura 9.22a, represente
o estado de tensão em um elemento orientado a 30º em sentido
anti-horário em relação à posição mostrada na figura.
Tensões no elemento a 30º
MPa
20
,
8
'
x
MPa
66
,
5
' 'y
x
SLIDES 07 – Capítulo 6 / Círculo de Mohr para tensões
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Exemplo 9.11 (Hibbeler)
