Resolução do Problema da Braquistócrona
usando o Maple
Wellington José Corrêa Claudete Cargnin Ferreira Adilandri Mércio Lobeiro Daniela Trentin Nava Resumo
Este trabalho apresenta como o Maple 12 pode ser útil no processo de ensino-aprendizagem da Matemática, em especial no problema clássico da Braquistócrona. Neste problema, usando o software como ferramenta, foi calculado o tempo mínimo gasto na trajetória de diversas curvas, assim como o tamanho do percurso. Os resultados foram comparados com os obtidos pela Braquistócrona. Concluiu-se que, apesar de ter o percurso mais curto, a reta é a que tem maior tempo de trajetória, enquanto que a Braquistócrona tem percurso mais longo, porém, percorre-o em menor tempo.
Palavras-chave: braquistócrona, Maple 12. Abstract
Resolution of Braquistochrone’s Problem using the Maple
This work presents like Maple 12 it can be useful in the process of teaching-learning of the Mathematics, specially in the classic problem of Braquistochrone. In this problem, using the software as tool, it was calculated the worn-out minimum time in the trajectory of several curves, as well as the size of the route. The results were compared with those obtained by Braquistochrone It was concluded that, despite having the shortest route, the line is to have more time to track, while Braquistochrone takes longer route, but through it in less time.
Introdução
Muitas vezes a Matemática é vista como uma disciplina isolada e sem aplicações na vida prática. Os professores, muitas vezes, são atropelados pelo excesso de assuntos a serem trabalhados num curto espaço de tempo. Muitas disciplinas de Matemática têm altos índices de rendimento insatisfatório, evasão e reprovação. Uma das principais razões para que isso ocorra é a pouca motivação dos alunos para aprendizagem, que pode ser desencadeada pela metodologia utilizada pelo professor, que geralmente é a aula expositiva (Dias, 1999). Esse método expositivo exige que o aluno use toda a sua capacidade de abstração para compreender determinados conceitos, mas sabe-se que nem todos os alunos têm a mesma facilidade para tal. Nesta perspectiva, quando o aprendiz consegue visualizar, de forma concreta, aquilo que o professor quer que ele abstraia, o aprendizado acontece com maior freqüência.
Nos últimos anos, a informática se tornou algo indispensável para o dia-a-dia e na educação não poderia ser diferente. Diante desta questão, ela aparece como uma ferramenta capaz de ajudar o aluno a conferir seus próprios cálculos feitos à mão e também resolver problemas que envolvem contas tediosas. A tecnologia também permite que o aprendiz explore certos aspectos da matemática de uma forma mais. Os cursos de graduação em Engenharia têm tentado acompanhar o florescer deste novo ferramental técnico, o aumento vertiginoso do poder processador das máquinas, novas técnicas de simulação e visualização, o que permite abordar e tratar os problemas do mundo concreto com modelos mais realistas e precisos. No que se refere ao processo ensino-aprendizagem, os softwares exercem grande influência no desenvolvimento intelectual dos Alunos (Taneja, 1997). Em países como no Japão, o uso de software interativo e de interfaces gráficas inteligentes, especialmente desenvolvidas para cada tema, está mudando a metodologia de ensino (The PC-Maestro Project, 2004).
Uma alternativa tecnológica para auxiliar nesses propósitos é o aplicativo Maple, que possui grande potencialidade em relação ao ensino de tópicos de Matemática. Ele oferece vários recursos como capacidade de computação algébrica, numérica e gráfica, capacidade de manipulação de fórmulas e números e uma linguagem de programação de alto nível. Portanto, utilizando o software Maple, os conceitos vistos em sala de aula são apresentados de maneira computacional, tornando o processo de aprendizagem mais prazeroso do que no ambiente
Deste modo, neste artigo será usado o Maple 12 para calcular o tempo gasto de diversas curvas, com a finalidade de permitir a visualização (concreta) do problema da Braquistócrona, proposto por Jean Bernoulli em 1696. Inicialmente será apresentada uma síntese histórica do problema, seguido pela modelagem do mesmo. Para finalizar, será mostrado que a Braquistócrona é uma ciclóide invertida.
Síntese Histórica
Em 1696, o matemático suíço Jean Bernoulli questionou-se sobre qual trajetória, dentre todas as possíveis ligando dois pontos A e B situados em níveis diferentes e não sobre a mesma vertical, seria percorrida no menor tempo por um corpo sujeito apenas à ação da gravidade. Tal trajetória veio a ser denominada Braquistócrona. Muito embora que o segmento de reta ligando A e B seja o caminho mais curto, este não é o mais rápido. Quando concebeu o problema da Braquistócrona, Jean Bernoulli enviou cartas aos maiores matemáticos do mundo, submetendo-lhes a questão e dando-submetendo-lhes um prazo de seis meses, mais tarde prorrogado por mais quatro, para a apresentação da solução.
A 16 de Junho de 1696 recebeu uma solução completa como resposta. Foi na troca de correspondência entre Leibniz e Johann Bernoulli que surgiu o nome Braquistócrona (brachistochrone, do grego brachistos: mínimo, e chronos: tempo). Em Maio de 1697 foi publicada, na Acta Eruditorum, a solução do problema. Johann Bernoulli, o seu irmão Jacob Bernoulli, Leibniz, Newton e l'Hôspital sugeriram diferentes métodos de resolução do problema que levavam ao mesmo resultado.
Podemos encontrar a Braquistócrona em situações reais, como por exemplo, tobogãs, montanhas-russas e pistas de skate e bicicross freestyle.
Modelagem do Problema
O problema da Braquistócrona consiste em, dados dois pontos e situados em níveis diferentes e não sobre a mesma vertical, determinar o caminho em que a partícula móvel vai de até em tempo mínimo, assumindo que a sua aceleração é apenas devida à gravidade. Para resolver este problema são consideradas todas as possíveis curvas que unem e .
A uma determinada curva corresponde um determinado valor - tempo necessário para a partícula chegar de a . O tempo depende da forma da curva. O intuito é encontrar a curva que corresponde ao tempo mínimo:
0 1
( ), .
y= y x x ≤x≤x
Por um lado, partícula de massa m possui velocidade inicial nula e não há atrito. É notório, mediante a lei de conservação de energia, que:
(1) Onde é a aceleração da força da gravidade, é a velocidade da partícula e a sua ordenada.
Deste modo, graças a (1), a velocidade é dada por:
(2)
Por outro lado, a velocidade escalar é a variação do espaço percorrido, isto é,
(3)
Usando o fato que o comprimento de arco percorrido de até por meio de uma curva representada pelo gráfico de uma função é dado por:
(4)
Combinando os resultados das equações (2)-(4), o tempo necessário para a partícula deslizar de até a posição final é dado por:
(4.1)
Como conseqüência de (4.1), o problema da Braquistócrona é formulado matematicamente como se segue:
Usando o Maple para Calcular o Tempo Gasto no Percurso
de Diversas Curvas
Usando os recursos disponíveis do Maple 12 é possível obter uma comparação do tempo gasto para percorrer a trajetória do ponto até . Neste trabalho, as curvas a serem consideradas ligando até são:
• A reta : (5) • A função : (6) • A função : (7) • A ciclóide (braquistócrona) :
Para calcular o tempo gasto no percurso, devemos avaliar a integral em (4.2) com e ou seja,
(8)
O Maple irá apresentar uma janela apresentando duas opções. Isto se dá, quando não se define como uma função. Para tanto, escolhe-se 'function definition'. Deste modo, pode-se calcular o tempo gasto para percorrer a trajetória de cada curva nos pontos dados.
Para o cálculo do tempo gasto pela reta será usado um recurso bem interessante: o uso de rótulos (label). Veja que a reta foi definida por (5), logo, para calcular o tempo através da fórmula (8) basta digitar , de modo que onde está denotado digita-se Ctrl + L. Irá aparecer uma janela e nela, onde está escrito 'valor do rótulo', você digita o rótulo desejado, a saber, (5). Seguindo estes procedimentos, teremos que o tempo gasto no percurso das curvas são:
• Para a reta :
(9)
(Obs.: resultados em azul são as saídas do maple 12)
Sempre que se desejar uma resposta aproximada com 10 casas decimais, por exemplo, basta pôr o cursor sobre o número obtido e em seguida, clicar com o botão direito e selecionar a opção aproximate/10, que fornecerá o resultado (9) acima.
• Para a função : >
(10)
(11)
Neste instante, para obter maior agilidade nos cálculos seguintes, a memória de armazenamento do aplicativo será “limpada”. Para tanto, basta o comando:
> restart;
Considere a ciclóide (braquistócrona) definida por:
(12)
(13)
Como as equações da Braquistócrona são paramétricas, devemos fazer a seguinte mudança de variável na integral (equação (8)):
Ou seja,
(14)
Novamente irá aparecer uma janela denotada por 'clarificar correção', apresentando duas opções. Escolhe-se 'function definition'.
Deste modo, vamos calcular o tempo gasto para percorrer a trajetória da curva nos pontos dados.
Assim,
(15) (16)
Os tempos gastos para percorrer cada uma das trajetórias a já foi calculado e são, portanto, conhecidos. Agora, para saber qual a trajetória mais curta entre e , será usada a definição de comprimento de arco (Os cálculos foram realizados no maple 12):
> with(Student[Calculus1]):
comprimentoreta:=ArcLength(, x= 0 .. Pi);
(17)
> evalf[10]((Pi^2+4)^(1/2));
(18)
Note que (18) é a aproximação de 10 casas decimais de (17). Para tanto, basta clicar com o botão direito sobre (17) e com o cursor selecionar aproximate / 10.
Para a Braquistócrona, tem-se:
> comprimentobaquistócrona:=ArcLength([,], theta= 0 .. Pi);
(19)
Veja que a Braquistócrona é a curva que possui a trajetória mais longa e mais rápida. De forma surpreendente, a reta, que possui a trajetória mais curta, é também a de trajetória mais lenta. Este resultado pode ser considerado contraditório pelos alunos que não tem tanta facilidade de abstração. A animação gráfica das curvas, desenvolvida a seguir, pode colaborar nesta visualização.
> restart; with(plots):
baquistócrona:=plot([(12),(13), theta = 0 .. Pi], color=blue, scaling = constrained):
reta:=plot((5), x= 0 .. Pi, color=green, scaling = constrained):
raiz:=plot((6), x= 0 .. Pi, color=yellow, scaling = constrained):
cúbica:=plot((7), x= 0 .. Pi, scaling = constrained): pontos:=pointplot({[0,0],[Pi,-2]}):
Figura 1: representação gráfica das trajetórias das funções a É interessante conferir uma animação gráfica das mesmas:
> restart;with(plots):
reta:=plot((5), x=0..Pi, color=green):
t1:=animate(pointplot,[[t,eval((5),x=t)],symbol=circle,symbol size=20],t=0..Pi, frames=100, background=reta):
raiz:=plot((6), x=0..Pi, color=yellow):
t2:=animate(pointplot,[[t,eval((6),x=t)],symbol=circle,symbol size=20],t=0..Pi, frames=100, background=raiz):
cúbica:=plot((7), x=0..Pi):
t3:=animate(pointplot,[[t,eval((7),x=t)],symbol=circle,symbol size=20],t=0..Pi, frames=100, background=cúbica):
baquistócrona:=plot([(12),(13), theta = 0 .. Pi], color=blue):
Figura 2: animação das trajetórias a nos tempos t = 0, t =0,85680, t=2,3165 e t=3,0147
Prova que a Braquistócrona é uma Ciclóide invertida
Uma Ciclóide é uma curva definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre uma reta. Uma Ciclóide com início na origem de um sistema de eixos, gerada por uma circunferência de raio r, consiste nos pontos com equações paramétricas:
Sabia-se, desde Galileu, que a velocidade de um ponto material , sob a ação da gravidade, partindo do repouso e percorrendo uma curva qualquer sem atrito, é proporcional a , onde é a diferença de altura entre o ponto de partida e aquele em que se encontra em cada instante. O irmão de Bernoulli, Jacques, fez o seguinte procedimento: a altura percorrida por dividida em um grande número de partes iguais a e supôs que a curva procurada fosse aproximadamente uma poligonal formada por um número igual de segmentos retilíneos. Supôs, ainda, que sobre cada segmento, a velocidade de fosse constante, mudando aos saltos quando o ponto passa de um segmento a outro. Note que quando tende a zero (ou tende ao infinito), a poligonal se transforma na curva procurada e a velocidade passa a variar continuamente e não por degraus. A figura 3 a seguir ilustra tal situação.
Figura 3: segmentos retilíneos sobre a ciclóide.
percorrer dois segmentos contíguos também seja mínimo. Usando a mesma situação analisada por Fermat sobre a refração da luz, quando ela passa de um meio a outro com velocidades distintas, pela Lei de Snell tem-se:
Ou seja,
Para a conclusão da demonstração será usada a seguinte propriedade da Ciclóide: "A curva em que a raiz quadrada da ordenada em qualquer ponto, dividida pelo seno do ângulo formado por sua tangente com a vertical é constante, é uma ciclóide invertida." (uma demonstração deste fato pode ser encontrada em GARBI, 2007).
Com isto, quando tende a zero, quaisquer dois segmentos contíguos da poligonal tendem à tangente à curva no ponto comum a ambos e os dois ângulos e tendem à igualdade. Em outras palavras, a curva procurada tem a seguinte propriedade: em qualquer de seus pontos, a velocidade do ponto material dividida pelo seno do ângulo que sua tangente faz com a vertical é constante. Como a velocidade é proporcional à raiz quadrada da altura percorrida, pela propriedade relatada acima, a Braquistócrona é, portanto, uma ciclóide invertida. Outras informações sobre o cálculo de variações no maple pode ser obtida em Louro (2006) e ICMC (2008).
Considerações Finais
Neste trabalho, concluímos, via Maple 12, que comparando as curvas dadas em (5), (6) e (7), a Braquistócrona é a curva de tempo mínimo. De modo admirável, em comparação com a reta, vimos que apesar de ter menor comprimento que a Braquistócrona, possui uma trajetória mais lenta. Veja a figura 4:
Figura 4: visualização gráfica dos resultados.
A ferramenta tecnológica permite ao professor mostrar com maior clareza resultados que, se meramente algébricos, dificultam o entendimento do aluno. A utilização dessa ferramenta permite que o aluno use o tempo da aula para discussões mais profundas a respeito dos conceitos em questão, em vez de cálculos horripilantes e imaginações superficiais.
Neste sentido, o aplicativo usado na resolução deste problema, além de fácil utilização, permitiu animações e outros recursos, como cálculo de comprimentos de arcos, integrais laboriosas, etc, de forma ágil. Ou seja, o aplicativo tem ferramentas que podem ser usadas pelo professor de modo a tornar a exploração dos diversos assuntos matemáticos de forma mais completa e interessante para o aprendiz.
Referências
Dias, Teresa Cleidecer. O ensino do Cálculo Diferencial e Integral e o pensamento reversível. Dissertação de Mestrado, UCB, orientadora Maria Therezinha de L. Monteiro. – Brasília, 1999.
Taneja, Inder Jeet. Maple V: Uma abordagem computacional no ensino de Cálculo. -Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1997.
The PC-Maestro Project. Chitose Institute of Science and Technology, Japão, 2004. www.icmc.sc.usp.br/~szani/bra/node5.html; acessado dia 06/03/08 às 14:09.
Wellington José Corrêa : professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – campus Campo Mourão-PR. wcorrea@utfpr.edu.br
Claudete Cargnin Ferreira: professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – campus Campo Mourão-PR. cargnin@utfpr.edu.br
Adilandri Mércio Lobeiro: professor de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – campus Campo Mourão-PR. adilandri@utfpr.edu.br
Daniela Trentin Nava: professora de matemática da Universidade Tecnológica Federal do Paraná – campus Campo Mourão-PR. dtnava@hotmail.com
