GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

GRAVITAÇÃO UNIVERSAL

1. Faz-se uma cavidade esférica em uma esfera de chumbo de raio R, tal que sua superfície tangencie a superfície externa da esfera de chumbo e passe pelo centro desta. A massa primitiva da esfera de chumbo era M. De acordo com a Lei da Gravitação Universal, qual será a força com que a esfera de chumbo atrairá uma pequena esfera de massa m localizada à distância d, ao longo da reta que passa pelos centros das esferas e da cavidade?

2. Um par de estrelas gira em torno do centro de massa comum. A massa de uma dela é M, o dobro da massa m da outra. A distância d entre os centros das estrelas é grande, comparada ao tamanho de qualquer delas. Deduza uma expressão para o período de rotação das estrelas em torno de seu centro de massa, em função de d, m e G.

3. Um sistema com três estrelas é constituído por duas estrelas com a mesma massa m, que giram em torno de uma estrela central de massa M na mesma órbita circular. As duas estrelas de massa m encontram-se em posições diametralmente opostas, como mostra a figura. Sendo r o raio da órbita, deduza uma expressão para o período de revolução destas estrelas.

4. Três corpos idênticos, de massa m, estão locazilizados nos vértices de um triângulo equilátero de lado a. Calcule a velocidade angular com que eles devem se mover, para que todos realizem movimento circular que circunscreve o triângulo. Dê a resposta em função de G, m e a, onde G é a constante da gravitação universal.

5. A velocidade máxima da rotação de um planeta é aquela para qual a força centrífuga exercida sobre o material no equador é suficiente para igualar a força de atração exrciada sobre o material na superfície do planeta. Mostre que o período mais curto correspondente para essa rotação é dado por:

ρ

π

G

3

T

=

6. Um astronauta realiza uma órbita rasante a um planeta desconhecido. Calcule a densidade do planeta sabendo que o astronauta possui um relógio.

7. (IME) Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno de uma estrela, conforme representa o esquema. Os pontos P1 e P2 indicados correspondem ao periélio e ao afélio, respectivamente, e nesses pontos, o planeta apresenta velocidades de intensidades v1 e v2.

Supondo conhecidas as distâncias de P1 e P2 ao Sol (d1 e d2), mostre que d1v1 = d2v2.

8. No problema anterior, considere que o semi eixo maior da órbita elíptica vale a. Calcule os valores de v1 e v2em função de G, M, e e a, onde G é a constante da gravitação universal, M é a massa da estrela e e é a excentricidade da órbita elíptica.

9. Mostre para a órbita do problema 7, que é válida a terceira Lei de Kepler.

GM 4 a T 3 2

_π

10. Dois planetas de massas m e M encontram-se inicialmente em repouso e separados por uma distância infinita. Calcule o módulo da velocidade de cada um deles, quando a distância entre os seus centros valer d. Dê a resposta em função de m, M, G e d.

Gabarito

1.

Para resolver este problema devemos considerar que a esfera cheia (sem a cavidade) exerce uma força de atração de intensidade F1 no corpo de massa m e depois descontar a contribuição da massa que compõe a cavidade, que exerce uma

força de intensidade F2. Repare que isto equivale a dizer que a cavidade “exerce uma força de repulsão” no corpo de

massa m.

Cálculo da massa M’, que foi retirada da cavidade: Como a esfera de chumbo era homogênea:

8 M ' M 2 R 3 4 ' M R 3 4 M 3 3 = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ =

π

π

Cálculo de F1: 2 1 _d GMm F = Cálculo de F2: 2 2 2 2 R d 8 GMm 2 R d m 8 M G F ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =

Portanto, a força resultante será:

⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = 2 2 2 2 2 1 2 R d 8 1 d 1 GMm F 2 R d 8 GMm d GMm F F F 2. GM d 3 . 2 T 3 π = 3. GM r . 4 T= π 3 4.   FR  F  F 

Os três corpos realizarão um movimento circular ao redor do centro de massa comum, que é o baricentro do triângulo formado por eles.

Na figura acima F representa o módulo da força de atração gravitacional entre dois corpos e FR, representa a força

resultante em um dos corpos. Cálculo de FR: 2 2 o R _a Gm 3 ) 30 cos( F 2 F = = Cálculo de ω: 3 2 2 2 cp R a Gm 3 2 3 a 3 2 . m a Gm 3 F F = = = ω ω

5. – 6.

FG 

R 

A figura acima ilustra a órbita rasante realizada pelo astronauta.

Como o astronauta possui um relógio, ele pode medir o período de revolução de seu movimento. Considere que m seja a massa do astronauta e sua nave, M e R sejam, respectivamente, a massa e o raio do planeta e T o período do movimento do astronauta. 2 2 2 3 2 3 2 3 2 2 cp G GT 3 GT V . 3 M GT R 3 4 . 3 M GT R 4 M T 2 R GM R m R GMm F F : que Temos π ρ π π π π π π ω = ⇒ = = ⇒ = ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⇒ = = 7.

Considere que num intervalo de tempo ∆t muito pequeno o planteta descreveu um arco de comprimento ∆s1 em torno do

ponto P1 e num mesmo intevalo de tempo ∆t, descreveu um arco ∆s2 em torno do ponto P2, conforme mostra a figura

acima.

Como os intevalos de tempo são pequenos, podemos considerar que a velocidade do planeta foi praticamente constante no trecho considerado, portanto:

t . v s t . v s 2 2 1 1 ∆ = ∆ ∆ = ∆

As áreas A1 e A2 podem ser calculadas considerando-as triângulos de alturas d1 e d2, respectivamente, portanto:

t d v 2 1 d s 2 1 A t d v 2 1 d s 2 1 A 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ∆ = ∆ = ∆ = ∆ =

Utilizando a 2a _{Lei de Kepler, vem:}

2 2 1 1 2 1 A dv d v A = ⇒ =

8. Fazendo d1 = a – c e d2 = a + c, vem: c a e onde , v e 1 e 1 v : vem , baixo em em cima em a por Dividindo v ) c a ( ) c a ( v v ) c a ( v ) c a ( 1 2 1 2 2 1 = + − = + − = ⇒ + = −

Conservando a energia mecânica nos pontos P1 e P2, vem:

a GM e 1 e 1 v e a GM e 1 e 1 v : vem , ndo simplifica e a . e c Fazendo GM c a c 2 ) e 1 ( e 4 . v 2 1 ) c a ( GMm ) c a ( GMm v e 1 e 1 2 1 v 2 1 ) c a ( GMm mv 2 1 ) c a ( GMm mv 2 1 E E E E E E 2 1 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 P C P C M M 2 2 1 1 2 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − + = = − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − − = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + − − + − = − − + = + = 9.

Vamos aplicar a 2a _{Lei de Kepler com a área A}

1 e a área total da órbita

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 T a ). e 1 )( e 1 ( 4 ) e 1 .( e 1 e 1 . a GM T ) c a ( 4 a ) c a ( a GM . e 1 e 1 T b a ) c a ( a GM . e 1 e 1 . 4 1 T b a ) c a ( v 4 1 T ab t t ) c a ( v 2 1 T ab t A + − = − − + ⇒ − = − − + = − − + ⇒ = − = ∆ ∆ − ⇒ = ∆

π

π

π

π

π

π

_π

SUGESTÃO: Para resolver a questão veja o artigo sobre Conservação da Quantidade de Movimento e Consevação da Energia Mecânica localizado em Tópicos Especiais.