O ESTUDO DO PARALELISMO NO ENSINO DA GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA: DO EMPÍRICO AO DEDUTIVO

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FABIANA HAJNAL

O ESTUDO DO PARALELISMO NO ENSINO DA GEOMETRIA

ANALÍTICA PLANA: DO EMPÍRICO AO DEDUTIVO

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

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O ESTUDO DO PARALELISMO NO ENSINO DA GEOMETRIA

ANALÍTICA PLANA: DO EMPÍRICO AO DEDUTIVO

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Prof. Dr. Vincenzo Bongiovanni.

São Paulo

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Banca Examinadora

________________________________________

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Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta Dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

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À minha mãe Elizabeth, minha eterna professora, que me ensinou o prazer de lecionar e de aprender. Ao meu pai Geraldo, um grande calculista, que sempre me apoiou. Ao meu irmão Marcelo, pelo incentivo nesta jornada. Ao meu marido André, que sempre acreditou em mim (você consegue!).

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contribuições durante a orientação.

Ao Profº Dr. Luiz Gonzaga, por participar da Banca Examinadora e pelas contribuições, a mim, oferecidas, na qualificação.

À Profª Dra. Lulu Healy, por participar da Banca Examinadora, pela gentil colaboração na tradução do resumo e, sobretudo, pelo carinho, respeito e pelas contribuições, mais que valiosas, durante todo o nosso estudo.

Aos colegas de todo o curso e em especial aos companheiros mais próximos: Mari, Gerson, Marcílio, Alexandre e Antonio Carlos, pelos muitos momentos de aprendizado compartilhado entre nós.

Ao Edu e ao Ale, o meu reconhecimento e admiração, pela importante participação nesta pesquisa e em todas as etapas do Mestrado. Obrigada, não só pelos momentos de estudo, de discussão, de encontros nas férias e nos finais de semana, mas por serem meus amigos.

À minha amiga, profª Luciana Mirabille, pelo incentivo e amizade.

Aos Professores do Programa de Estudo de Pós –Graduação em Ensino de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, meu obrigado por compartilharem e enriquecerem meu aprendizado.

À Secretaria do Estado da Educação, por financiar este meu estudo.

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Esta dissertação tem por objetivo fazer um estudo sobre argumentação e prova envolvendo o paralelismo no ensino da geometria analítica.

O trabalho procura responder às seguintes questões: de que forma os ambientes de geometria dinâmica contribuem para que os alunos construam suas argumentações e provas? Quais são as dificuldades ou resistências que se apresentam na situação de aprendizagem do conceito de paralelismo no ensino da geometria analítica?

Para responder a esse questionamento, foi concebida uma seqüência de atividades baseada em alguns elementos da engenharia didática.

Para a concepção das atividades a pesquisa se apoiou nos trabalhos de Parsysz sobre os níveis do desenvolvimento do pensamento geométrico e para as análises das atividades, na tipologia de provas de Balacheff.

A análise dos resultados obtidos na aplicação da seqüência mostrou que o ambiente de geometria dinâmica contribuiu para a criação de situações que ajudaram na construção do conceito de paralelismo e que os alunos alcançaram os objetivos propostos satisfatoriamente e produziram algum tipo de prova.

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which address the concept of parallelism in analytic geometry?

To respond to these questions, sequences of activities, based on some aspects of didactical engineering was designed. For the conception of these activities, the research drew from the work of Parsysz concerning the levels of development of geometrical thinking and the analysis of students´ interactions with the activities was based on the Balacheff´s classification of different types of proof.

Analysis of the results obtained in the application of the activity sequence showed that the dynamic geometry environment contributed to the creation of situations that supported the construction of meanings for the concept of parallelism and that the students engaged with the activities in the manner proposed, producing some kind of relevant proof.

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Capítulo 1

Problemática

1.1 introdução... 16

1.2 Objetivo e Questão de pesquisa... 19

Capítulo 2

Referencial Teórico e Metodologia 2.1 Referencial teórico... 20

2.1.1 Parsysz... 20

2.1.2 Tipos de prova... 21

2.1.3 Cabri-Géomètre... 25

2.2 Levantamento bibliográfico... 27

2.3 Metodologia... 30

Capítulo 3

Um Pouco da História da Geometria 3.1 Da Geometria Euclidiana à Geometria Analítica... 34

Capítulo 4

Análise de Livros Didáticos 4.1 Análise de livros didáticos... 44

4.1.1 Livro: “Matemática” – Guelli... 44

4.1.2 Livro: “Matemática Completa” - Giovanni, Bonjorno e Giovanni Jr... .55

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6.2 Coleta de dados... 110

6.3 Análise a posteriori... 111

6.3.1 Análise a posteriori das atividades da 1ª etapa... 111

6.3.1.1 Síntese da 1ª etapa... 124

Capítulo 7

Conclusão... 198

Referências Bibliográficas... 204

Anexos Anexo 1... 207

Anexo 2... 218

Anexo 3... 222

Anexo 4... 225

Anexo 5... 226

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Figura 1: Codificação realizada pelo Projeto AProvaMe 17

Figura 2: Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Empirismo Ingênuo 23

Figura 3: Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Experiência Crucial 23

Figura 4: Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Genérico 24

Figura 5: : Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Experiência Mental 24

Figura 6: Representação do 5º postulado de Euclides 37

Figura 7: Representação da versão apresentada por Jonh Playfair 38

Figura 8: Idéia de declividade (p. 14) 46

Figura 9: Exercício sobre declividade (p. 15) 48

Figura 10: Razão entre duas distâncias (p.16) 49

Figura 11: Representação figural (p.16) 49

Figura 12: Representação figural (p.17) 50

Figura 13: Exemplo de como determinar a equação da reta (p.17) 50

Figura 14: Exercício de prova (p.19) 51

Figura 15: Aplicações da equação da reta (p.20) 52

Figura 16: Exercício de revisão – Paralelismo 52

Figura 17: Exemplo de aplicação da equação da reta (p.23) 53

Figura 18: Estudo sobre o coeficiente angular (p.496) 56

Figura 19: Coeficiente angular – ângulo agudo (p.497) 56

Figura 20: Coeficiente angular – ângulo obtuso (p.497) 57

Figura 21: Estudo do coeficiente angular ou declividade (p.496) 59

Figura 22: Posições relativas de duas retas no plano cartesiano (p.506) 60

Figura 23: Exemplo de problemas sobre paralelismo (p.508) 61

Figura 24: Exercício proposto sobre paralelismo (p.510) 61

Figura 25: Possível resolução, lados consecutivos, atividade 2 da 1ª etapa 75

Figura 26: Possível resolução, através da diagonal, atividade 2 da 1ª etapa 76

Figura 27: Possível resolução, ângulo, atividade 2 da 1ª etapa 76

Figura 28: Representação do arquivo 1A, atividade 1 da 2ª etapa 77

Figura 29: Possível resolução do arquivo 1A, atividade 1 da 2ª etapa 78

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Figura 41: Possível resolução do item a, atividade 6 da 3ª etapa 98

Figura 42: Possível resolução do item b, atividade 6 da 3ª etapa 99

Figura 43: Ilustração da atividade7, 3ª etapa 99

Figura 45: Possível resolução, item a, atividade 8 da 3ª etapa 102

Figura 46: Possível resolução, item b, atividade 8, 3ª etapa 103

Figura 47: Outra estratégia de resolução, item b, atividade 8, 3ª etapa 103

Figura 48: Representação do arquivo 8A, atividade 9, 3ª etapa 104

Figura 49: Possível resolução da atividade 9, 3ª etapa 105

Figura 50: representação do arquivo 9A, atividade 10, 3ª etapa 106

Figura 51: Possível resolução da atividade 10, 3ª etapa 107

Figura 52: Outra possível estratégia de resolução da atividade 10, 3ª etapa 108

Figura 53: Resposta apresentada pela dupla A, na atividade 1 da 1ª etapa 112

Figura 54: Resposta apresentada pela dupla B, na atividade 1 da 1ª etapa 112

Figura 55: Resposta apresentada pela dupla C, na atividade 1 da 1ª etapa 113

Figura 59: Resposta apresentada pela dupla D, na atividade 2 da 1ª etapa 116

Figura 60: Resposta apresentada pela dupla A, item a, atividade 3, 1ª etapa 118

Figura 61: Resposta apresentada pela dupla A, item b, atividade 3, 1ª etapa 119

Figura 62: Resposta apresentada pela dupla B, item a, atividade 3, 1ª etapa 120

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Figura 66: Resposta apresentada pela dupla D, item a, atividade 3, 1ª etapa 123

Figura 67: Resposta apresentada pela dupla D, item b, atividade 3, 1ª etapa 123

Figura 68: Análise a posteriori, atividade 1, 2ª etapa 127

Figura 69: : Resposta apresentada pela dupla A, na atividade 1 da 2ª etapa 128

Figura 86: Análise a posteriori, atividade5, 2ª etapa 144

Figura 91: Analise a posteriori, atividade1, 3ª etapa 153

Figura 92: : Resposta apresentada pela dupla A, item a, ativ 1 da 3ª etapa 154

Figura 93: Resposta apresentada pela dupla A, item b, atividade 1 da 3ª etapa 154

Figura 94: Resposta apresentada pela dupla A, item c, atividade 1 da 3ª etapa 155

Figura 95: Resposta apresentada pela dupla B, item c, atividade 1 da 3ª etapa 156

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Figura 106: Resposta apresentada pela dupla C, atividade 3 da 3ª etapa 162

Figura 107: Resposta apresentada pela dupla D, atividade 3 da 3ª etapa 162

Figura 108: Resposta apresentada pela dupla A, atividade 4 da 3ª etapa 163

Figura 109: Resposta apresentada pela dupla B, atividade 4 da 3ª etapa 163

Figura 128: Resposta apresentada pela dupla A, item a, atividade 8, 3ª etapa 178

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Figura 132: Resposta apresentada pela dupla A, item b, atividade 8, 3ª etapa 181

Figura 133: Resposta apresentada pela dupla B, item b, atividade 8, 3ª etapa 181

Figura 134: Resposta apresentada pela dupla C, item b, atividade 8, 3ª etapa 182

Figura 135: Resposta apresentada pela dupla D, item b, atividade 8, 3ª etapa 183

Figura 137 : Resposta apresentada pela dupla A, atividade 9, 3ª etapa 185

Figura 138: Resposta apresentada pela dupla B, atividade 9, 3ª etapa 185

Figura 139: Resposta apresentada pela dupla C, atividade 9, 3ª etapa 186

Figura 140: Resposta apresentada pela dupla D, atividade 9, 3ª etapa 187

Figura 142: Resposta apresentada pela dupla A, atividade 10, 3ª etapa 189

Figura 143: Resposta apresentada pela dupla B, atividade 10, 3ª etapa 190

Figura 144: Resposta apresentada pela dupla C, atividade 10, 3ª etapa 191

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Meios de Expressão em Matemática (TecMEM) do Programa de Estudos Pós

Graduados em Educação Matemática da PUC de São Paulo deu início ao

Projeto AProvaME1 – Argumentação e Prova na Matemática Escolar (Anexo 1),

tendo como coordenadora a Profª Dr. Siobhan Victoria Healy e como

participantes 5 professores pesquisadores do grupo e 27 professores

colaboradores que foram convidados por serem alunos do curso de Mestrado

Profissional em Ensino de Matemática, sendo que estamos incluídos é nesse

último.

O projeto pretende investigar a problemática do ensino e aprendizagem

da prova compreendendo dois enfoques inter-relacionados. O primeiro enfoque

tem como foco investigar as possibilidades oferecidas pelos ambientes

computacionais, e como o computador influencia na compreensão da prova, na

distinção entre argumentos dedutivos e evidências empíricas. O segundo

enfoque centra-se no professor, pois a integração de uma nova abordagem na

sala de aula somente é possível mediante um processo de adaptação do

professor.

Sendo assim, foram elencados alguns objetivos de pesquisa, dentre eles

levantar as concepções sobre argumentações e prova de alunos (faixa etária

14-16 anos), cursando a 8ª série do Ensino Fundamental e a 1ª série do Ensino

Médio, sobre dois domínios matemáticos: Geometria e Álgebra e, também,

elaborar situações de aprendizagem, visando a envolver alunos em processos

de construção de conjecturas e provas em contextos integrando ambientes

informatizados.

O projeto se organizou em duas fases. Na fase 1, foram definidos dois

questionários elaborados com base nas pesquisas de Healy e Hoyles (1998), e

compreendendo itens que visavam avaliar em que medida os sujeitos aceitam

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argumentos matematicamente válidos, compreendem o domínio de validade de

uma prova e são capazes de construir argumentos válidos.

Os questionários foram aplicados em escolas Municipais, Estaduais e

Particulares, pelos 27 professores colaboradores, envolvendo 81 turmas

divididas em 34 grupos de alunos da 8ª série do ensino Fundamental e 47

grupos de alunos da 1ª série do Ensino médio.

Como professores colaboradores do projeto, aplicamos os questionários

em três turmas da escola em que lecionamos, e analisando especificamente as

respostas obtidas no questionário de Geometria surgiu uma das nossas

motivações para a escolha do tema dessa pesquisa, pois percebemos que, a

maioria dos alunos não conseguiu justificar suas respostas ou apresentaram

respostas totalmente empíricas sem nenhuma informação pertinente.

Reproduziremos abaixo a análise de uma das questões que compunha

os questionários de Geometria (Anexo 2) e que contempla a construção de

provas:

G3. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados. A afirmação abaixo

é verdadeira ou falsa?

Quando você soma os ângulos internos de um quadrilátero

qualquer, o, resultado é sempre 360º.

Justifique sua resposta.

O esquema para codificar (fig.1) esta resposta foi a seguinte:

0: Respostas totalmente erradas, respostas que não apresentam justificativas ou exemplos, ou respostas que simplesmente repetem o enunciado caracterizando um “círculo vicioso”.

1: Alguma informação pertinente, mas sem deduções ou inferências. Por exemplo, respostas que são completamente empíricas.

2: Alguma dedução/inferência, explicitação de propriedades pertinentes ou elementos que evidenciam uma estrutura matemática, sem contudo trazer todos os passos necessários para uma prova.

2a: Falta muito para chegar à prova (mais próximo de 1) 2b: Falta pouco para chegar à prova (mais próximo de 3)

3: Respostas corretas, totalmente justificadas.

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classificadas como: 3, sendo consideradas corretas e totalmente justificadas.

Ainda tivemos 8 respostas em branco e 3 respostas que consideraram a

afirmação falsa.

A fase 2 contempla a aprendizagem e o ensino, com o objetivo de

elaborar e avaliar situações de aprendizagem, constituídas de seqüências de

atividades para aplicação em sala de aula integrando ambientes informatizados

e é nela que minha pesquisa se insere. Dentre os tópicos sugeridos pelos

organizadores do projeto, estava incluído o tópico de paralelismo em

Geometria Analítica.

Desta forma conseguimos conciliar as finalidades do projeto AProvaME

e a nossa vivência profissional, pois, como professores do Ensino Público há

mais de 12 anos, sendo a maioria do tempo no Ensino Médio, percebemos que

os alunos apresentam dificuldades em trabalhar e compreender tópicos

fundamentais da geometria analítica, como é o caso da declividade de uma

reta e as propriedades do paralelismo de duas retas.

Escolhemos, assim, como tema para pesquisa, o estudo do paralelismo

no ensino da Geometria Analítica Plana, com a intenção de contribuir tanto

(19)

1.2 Objetivo e Questão da pesquisa

Duas questões são as diretrizes básicas desta pesquisa:

1) De que forma os ambientes de geometria dinâmica contribuem

para que os alunos construam suas argumentações e provas?

2) Quais são as dificuldades ou resistências que se apresentam

na situação de aprendizagem do conceito de paralelismo no

ensino da Geometria Analítica?

Dessa forma propomos uma seqüência de ensino para introduzir o

estudo do paralelismo no ensino da Geometria Analítica a alunos da 1ª série do

Ensino Médio, tendo como suporte a utilização de um programa de geometria

dinâmica.

O objetivo dessa pesquisa é contribuir para a compreensão da transição

do conhecimento de natureza empírica para o conhecimento de natureza

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Esta pesquisa utilizará como referencial teórico os trabalhos de Parsysz

(2001) no qual seus pressupostos teóricos para o ensino da Geometria nos

forneceram subsídios primordiais na concepção da seqüência didática, nas

atividades que a compõem e na análise dos resultados obtidos na 1ª etapa.

Já, para a análise dos resultados obtidos nas 2ª e 3ª etapas através da

aplicação da seqüência, nos apoiaremos em Balacheff, utilizando como

parâmetro as categorias de provas e os quatros tipos de validação mapeados

por ele.

Para propiciar momentos de ação, reflexão, conjecturas, validação e

formalização, objetivando favorecer a aprendizagem dos alunos em relação

ao conceito de paralelismo no ensino da geometria analítica, buscamos no

software Cabri-Géomètre os subsídios necessários.

2.1.1 Parsysz

Bernard Parsysz (2001), propõe seu modelo para o ensino da geometria

por meio da análise dos trabalhos de Van Hiele (1984) que explicita o

desenvolvimento do processo evolutivo de pensamento geométrico, através de

cinco níveis hierárquicos.

Esse modelo para um quadro teórico proposto por Parsysz destaca

quatro etapas no desenvolvimento do pensamento geométrico:

Nível G0, denominado geometria concreta. Nesse nível parte-se da

realidade, do concreto e tem-se como particularidade a identificação de figuras,

(21)

Nível G1, denominado geometria espaço-gráfica. Nesse nível parte-se

das representações figurais e gráficas; os objetos nesse nível são

bidimensionais, como desenhos produzidos em uma folha de papel ou na tela

do computador, a resolução de exercícios está relacionada ao uso de régua,

compasso, transferidor, esquadro e comandos do programa de computadores

ou softwares de geometria dinâmica. É nesse nível, portanto que o aluno inicia

a identificação de propriedades das figuras, mas ainda não consegue

explicá-las, assim a validação, ainda é perceptiva.

Nível G2, denominado geometria proto-axiomático. Nesse nível os

conceitos são objetos teóricos e as demonstrações são feitas a partir de

teoremas euclidianos que podem ser obtidos empiricamente ou por premissas

aceitas pelos alunos de modo intuitivo.

Nível G3, denominado geometria axiomática. Nesse nível os axiomas

são explicitados completamente. Os objetos analisados são teóricos e a

validação é feita por meio de axiomas e propriedades desse sistema

axiomático.

Nos níveis G0 e G1 os objetos são concretos, as validações são

perceptivas e as justificativas são feitas através do percebido, já nos níveis G2

e G3 os objetos são teóricos, as validações são dedutivas, mas enquanto as

justificativas no nível G2 são feitas por propriedades evidentes, no G3 são

feitas por um sistema de axiomas.

2.1.2 Tipos de Prova

Balacheff (1987) mapeia em duas categorias as provas produzidas por

alunos, e indica a necessidade de evolução cognitiva para o entendimento do

significado de uma demonstração para que, assim, os alunos possam

produzi-las. Temos então as provas pragmáticas e as provas intelectuais.

As provas pragmáticas são explicações elaboradas através de ações

diretas sobre certas representações dos objetos matemáticos, já as provas

intelectuais, por sua vez, têm as ações interiorizadas, os pensamentos são

(22)

de poucos casos, sem haver questionamento quanto às particularidades;

é uma das primeiras formas do processo de generalização, uma

validação rudimentar que resiste ao longo processo de desenvolvimento

do pensamento geométrico.

2. Experiência crucial, a validação ocorre por meio de um exemplo com

certas características, onde o aluno verifica as propriedades em um caso

particular, de modo a concluir uma generalização.

3. Exemplo genérico, a validação ocorre ainda fazendo uso de um

representante particular do objeto geométrico, mas há uma explicitação

das razões que validam uma propriedade que contém uma

generalidade.

4. Experiência mental, a validação ocorre através de deduções lógicas

baseadas em propriedades e não mais através de situações

particulares.

Exemplificaremos, a seguir, os diferentes tipos de provas, por meio de

uma questão que consta no questionário sobre prova, do projeto

AProvaME.

Questão G1: Amanda, Dario Hélio, Cíntia e Edu estavam tentando provar que a

seguinte afirmação é verdadeira:

Quando você soma as medidas dos ângulos internos de um triângulo

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Exemplo Empirismo Ingênuo:

Resposta de Dario

Eu medi cuidadosamente os ângulos de todos os tipos de triângulos e fiz uma tabela.

a b c total

110 34 36 180 95 43 42 180 35 72 73 180

10 27 143 180

Em todos eles a soma foi de 180o.

Então Dario diz que a afirmação é verdadeira.

Figura 2: Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Empirismo Ingênuo Fonte: AProvaMe

Dario fez uma verificação empírica de alguns poucos casos, e conclui

como Bia que a afirmação ”somando-se as medidas dos ângulos internos de

um triângulo qualquer, o resultado é sempre 180º”, é verdadeira para qualquer

triângulo.

Exemplo Experiência Crucial

Resposta de Amanda

Eu recorto os ângulos e junto os três.

Eu obtenho uma linha reta que é 180o.

Eu tentei para um triângulo eqüilátero e também para um isósceles e a mesma coisa acontece.

Então Amanda diz que a afirmação é verdadeira

Figura 3: Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Experiência Crucial Fonte: AProvaMe

Amanda faz a verificação em um caso particular típico ou popular, ao

qual está acostumada; utiliza um caso particular quando cita ter testado em um

triângulo eqüilátero e em um triângulo isósceles desprezando o caso do

triângulo escaleno, considera, pois, os casos testados como todos os casos

(24)

Figura 4: Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Genérico

Fonte: AProvaMe

O aluno valida sua resposta através de um representante particular do

objeto geométrico, mas faz uma explicitação das razões que validam uma

propriedade que contém uma generalidade. Talvez a conclusão da soma das

medidas dos ângulos internos de um quadrilátero ser 360º tenha surgido a

partir da observação do quadrado e do retângulo cujos ângulos são todos

retos.

Exemplo Experiência Mental

Resposta de Cíntia

Eu desenhei uma reta paralela à base do triângulo:

Afirmações Justificativa

p = s... Ângulos alternos internos entre duas paralelas são iguais.

q = t ... Ângulos alternos internos entre duas paralelas são iguais.

p + q + r = 180o... Ângulos numa linha reta. ∴s + t + r = 180o

Então Cíntia diz que a afirmação é verdadeira

Figura 5: : Recorte do Protocolo de Geometria – Exemplo Experiência Mental

(25)

Cíntia apresenta justificativas claras e completas, sua validação ocorre

através de deduções lógicas baseadas em propriedades e não mais através de

situações particulares.

Dado ao caráter de subjetividade que envolve o processo de análise e

interpretação das respostas, comunicamos que as interpretações aqui

apresentadas foram cunhadas com base na experiência e vivência em sala de

aula junto com critérios admitidos como apropriado para essa pesquisa.

2.1.3 Cabri-Géomètre

Utilizaremos nessa pesquisa o software de geometria dinâmica

Cabri-Géomètre, como ambiente das atividades da seqüência didática. Sua escolha

se deu pela disponibilidade em escolas públicas e por entendermos que as

características de visualização, experimentação e exploração de situações que

acarretam em descobertas são ferramentas facilitadoras para o

desenvolvimento do pensamento geométrico dos alunos.

Jean-Marc Sant (1995), em seu artigo “O CABRI-GÉOMÈTRE” extraído

da Revista do Professor de Matemática 29, 1995, afirma que a facilidade com

que o estudante pode explorar e verificar, utilizando o programa

Cabri-Géomètre, é útil para que ele forme ou teste suas convicções, levando-o a

formular suas conjecturas, o que aguça a curiosidade para buscar uma

demonstração.

O Cabri-géomètre é um software desenvolvido por Franck Bellemain e

Jean-Marie Laborde, em meados dos anos 80, no Laboratório de Estruturas

Discretas e de Didática, laboratório do CNRS (Centro Nacional da Pesquisa

Científica) da Universidade Joseph Fourier, em Grenoble.

Segundo Laborde e Laborde (1991), citado por Balacheff e Sutherland

(1995, p.155), a idéia de inclusão de manipulação direta num ambiente de

micromundo, e considerando que esta característica básica de tal meio, está

relacionada com a proposta de oferecer ao aprendiz acesso mais fácil no

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operações elementares sobre os objetos, e regras que

expressam o modo pelo qual as operações podem ser feitas e

associadas;

2) abastece um campo da fenomenologia, a qual relaciona

objetos e ações sobre os objetos, com fenômenos que estão

na “superfície da tela”.

A partir dessa definição a possibilidade de tornar operações complexas

ou objetos dentro de novas operações ou de dispor de objetos para futuro uso,

faz parte da constituição de um micromundo. Partindo desta perspectiva, os

autores afirmam que o micromundo se desenvolve enquanto o usuário

aprende.

Balacheff e Sutherland (1995), afirmam que:

A exploração do micromundo do Cabri-Géomètre, através da manipulação de objetos geométricos básicos e da idéia baseada no princípio de que uma propriedade geométrica corresponde a um invariante em manipulação direta, são as características fundamentais que tornam o Cabri-Géomètre específico para a aprendizagem de geometria. (BALACHEFF E SUTHERLAND,1995, P.154)

Ainda sobre a manipulação direta os autores, afirmam que o que o

aprendiz explora é ao mesmo tempo a estrutura dos objetos, as suas relações

e as representações que os tornam acessíveis. Assim a manipulação direta

não apenas torna o uso do micromundo mais amigável, mas é também parte

integral dele.

Sobre o ambiente, Balacheff e Sutherland (1995) descrevem que “ele

deve dar autonomia suficiente aos aprendizes, sem o qual não há construção

significativa do conhecimento, e por outro lado, deve garantir que as

(27)

Já sobre os ambientes considerados micromundos, colocam que “a

aprendizagem será o resultado da adaptação do aprendiz às dificuldades de

comunicação com a interface e seu comportamento”.(p.163)

As combinações dos comandos do menu, no caso específico desse

trabalho, as supressões de ferramentas, que interferem diretamente na

resolução das atividades por parte dos alunos, e a manipulação direta se

constituem como ambiente, que se torna acessível e relevante às ações dos

alunos, devendo ser responsável por um retorno significativo para a ação

empenhada.

Jean-Marc Sant (1995), afirma que o programa permite uma seleção a

priori dos menus, em que seja suprimido o acesso a certos tópicos. O professor

pode lançar mão desse recurso a fim de graduar a complexidade do programa

conforme o estágio de seus alunos.

Balacheff e Sutherland (1995), concluiram em seu artigo, que o domínio

de validade epistemológica de um dado micromundo pode ser caracterizado

pelo conjunto de problemas que podem ser propostos de uma maneira

razoável, pela natureza das possíveis soluções que ele permite e exclui, pela

natureza da sua interface fenomenológica e pela volta de informações que ele

proporciona, e as possíveis implicações dos resultados nas concepções dos

estudantes.

2.2 Levantamento Bibliográfico

Das pesquisas disponíveis sobre o estudo em questão: Geometria

Analítica com ênfase na prova e demonstração, nossa pesquisa percorreu uma

trajetória na qual autores e pesquisadores aparecem com maior importância, e

é assim que apresentamos o nosso levantamento bibliográfico.

Sobre os ambientes de geometria dinâmica e o processo de

aprendizagem encontramos em Gravina (2001) informações com alto grau de

importância para o nosso estudo.

A autora investiga como as situações tecno-didáticas (situações

(28)

software Cabri-Géomètre II, por considerá-lo um dos mais versáteis quanto a

recursos de construção e de manipulação dinâmica de objetos geométricos. O

estudo foi realizado com alunos-calouros do curso de Licenciatura em

Matemática da UFRGS que estavam cursando a disciplina de Geometria I.

Gravina afirma que:

o processo de criação matemática é complexo. Tomando-se como pressuposto que para aprender matemática são necessárias vivências similares às que produzem tal conhecimento, os contextos da descoberta e da justificação tornam-se de extrema importância nas situações de aprendizagem. (Gravina, 2001, p.17).

Ainda segundo a autora, o pensar matemático é caracterizado pela

experimentação, interpretação, visualização, abstração, como também por

conjecturar, errar e demonstrar, muito superior à aceitação, passiva, de

conhecimentos apresentados como uma seqüência bem ordenada de fatos e

argumentos prontos.

A autora concluiu em sua pesquisa que:

Os ambientes de geometria dinâmica proporcionam situações de aprendizagem que podem incorporar vivências de atitudes similares às dos matemáticos nos seus processos de criação, valorizando a construção do conhecimento enquanto processo, valorizando as atitudes investigativas - e por que não? - o gosto e o prazer da descoberta. (Gravina, 2001, p.195)

Sobre Prova e Demonstração, buscamos subsídios em Pietropaolo

(2005) que investigou a necessidade da prova matemática nos currículos dos

cursos de formação de professores e da Educação Básica.

Para Pietropaolo (2005) a retomada das demonstrações nos currículos

prescritos de alguns países decorre do reconhecimento das pesquisas de

muitos educadores de que a prova como aspecto fundamental da atividade

Matemática, principalmente em função de suas potencialidades para

desenvolver o raciocínio dedutivo, deveria estar presente na formação do

(29)

9 pesquisadores em Educação Matemática e 7 professores do Ensino

Fundamental e Médio. O autor fundamentou seu trabalho nas pesquisas de

Healy e Hoyles (2000), Balacheff (1987), Dreyfus (2000) e Knuth (2002). Não

encontrou em sua pesquisa nenhum autor que discordasse da necessidade de

abordar a questão de prova nas séries iniciais, como recomendam os

currículos mais recentes.

A respeito do significado de demonstração e prova para matemáticos,

Pietropaolo conclui com base nas referências obtidas na literatura que existe

uma relação complexa entre argumentação e prova formal implicando em

dificuldade no processo de ensino e aprendizagem da prova. Ele ainda afirma

que para alguns educadores haveria ruptura cognitiva entre argumentação e

prova. Segundo ele, Duval (1991) sustenta que “a heterogeneidade entre

argumentação e a demonstração ocorre não apenas do ponto de vista lógico,

mas também cognitivo”. Por outro lado Boero (1999) sustenta que “a relação

entre argumentação e prova, apesar de complexa, é produtiva e inevitável” e

Balacheff (1999) que afirma: ”não haver nem continuidade nem ruptura entre

argumentação e demonstração, mas uma relação complexa e constitutiva de

cada uma: a argumentação constitui um obstáculo epistemológico à

aprendizagem da demonstração e em especial da prova em matemática”.

Sobre o porquê ensinar prova e demonstração, Pietropaolo cita Thurston

(1994) que adota como premissa que a demonstração proporcionaria a

compreensão da natureza do conhecimento matemático, pois ela faz parte da

construção da própria matemática.

Na pesquisa de Nasser (2001) e o grupo Projeto Fundão do Instituto de

Matemática da Universidade Federal do Rio de Janeiro, contando com a

participação de professores de Ensino Fundamental e Médio e de licenciados,

foi trabalhada a habilidade de argumentação em turmas do Ensino

Fundamental e do Ensino médio. Foram consideradas várias funções da prova

ou da demonstração, elas seriam a de validar um resultado, isto é, comprovar

que ela é verdadeira, a de explicar ou elucidar que deve ser explorada, a fim de

trazer algum significado ao aluno e a de sistematizar, no sentido de preparar

para o domínio do processo dedutivo. Na investigação feita com os alunos

(30)

Outra pesquisa foi dedicada a tratar dos diferentes papéis da

demonstração: De Villiers (2002), afirma que as demonstrações são uma parte

indispensável do conhecimento matemático, e que o seu valor está muito além

de mera verificação de resultados. Ainda afirma que as demonstrações

também são muito valiosas por proporcionarem novas compreensões,

conduzirem as novas descobertas ou ajudarem à sistematização.

Para o autor, algumas funções da demonstração são: a de explicação,

pois proporciona compreensão sobre o que é verdade; a da descoberta, que

sintetiza a descoberta ou invenção de novos resultados; a da comunicação,

acarretando na negociação do significado; a do desafio intelectual, fase de

realização pessoal por ter construído uma demonstração; e a da

sistematização, consiste na organização de vários resultados num sistema

dedutivo de axiomas, conceitos e teoremas.

2.3 Metodologia

Para responder à questão de pesquisa elaboramos uma seqüência de

ensino, utilizando alguns elementos da metodologia de pesquisa denominada

Engenharia Didática, desenvolvida por Michèle Artigue.

Para Artigue (1988):

(31)

A noção de engenharia didática emergiu em didática da matemática, no

início da década de 1980, com o objetivo de etiquetar uma forma de trabalho

didático.

Segundo Artigue (1988, p.285), a engenharia didática, vista como

metodologia de investigação, caracteriza-se antes de mais por um esquema

experimental baseado em “realizações didáticas” na sala de aula, isto é, na

concepção, na realização, na observação e na análise de seqüências de

ensino.

No que se refere ao seu planejamento, a escolha pela utilização de uma

engenharia didática se faz pela execução de quatro fases: a fase 1 das

análises preliminares, a fase 2 da concepção e da análise a priori das

atividades, a fase 3 da experimentação e a fase 4 da análise a posteriori e da

validação.

Detalharemos a seguir essas etapas:

Análise preliminar (Fase 1)

Os trabalhos realizados nesta fase, pelo pesquisador, têm por objetivo

contribuir para o tratamento do objeto de estudo e servir de base à concepção

da seqüência didática. Alguns dos aspectos que podem colaborar nesta fase

preliminar são: análise de livros didáticos; análise do tratamento usual do

assunto no ensino e dos seus efeitos; análise das concepções dos alunos das

dificuldades e obstáculos que marcam a sua evolução.

No contexto específico desta investigação, nossa análise preliminar se

apoiará na análise de livros didáticos, objeto do Capítulo 4.

Concepção das atividades e Análise a priori (Fase 2)

Na concepção das atividades, o investigador toma a decisão de agir

sobre um determinado número de variáveis pertinentes para o problema

estudado. A análise a priori indica de que forma as atividades propostas

(32)

Determinar de que forma permitem as escolhas efetuadas controlar os comportamentos dos alunos e o sentido desses comportamentos. Para isso, funda-se em hipóteses; será a validação dessas hipóteses que estará em princípio, indiretamente em jogo no confronto, operando na quarta fase, entre a análise a priori e a análise a posteriori. (ARTIGUE,1988, P.294)

De acordo com os problemas apontados na análise preliminar (Fase 1)

são feitas escolhas didáticas, que se justificam a priori. A análise a priori

fornece critérios para observar os alunos no desenrolar das atividades e aponta

de que forma as atividades colaborarão com a aprendizagem do conteúdo,

objeto de estudo.

Esta fase será considerada no Capítulo 5.

Experimentação (Fase 3)

É o momento de implementação da seqüência planejada, momento este

dedicado à investigação e observação das expectativas delineadas na análise

a priori, em relação às atitudes, progressos e dificuldades dos alunos.

(33)

Análise a posteriori (Fase 4)

Este momento da análise se apóia no conjunto dos dados recolhidos na

experimentação: observações realizadas nas sessões de ensino, como

também produções dos alunos na sala de aula.

Segundo Artigue (1988), é no confronto das duas análises, a priori e a

posteriori, que se funda essencialmente a validação das hipóteses envolvidas

na investigação. (p.297)

(34)

Deteremos nossa análise, neste capítulo, no desenvolvimento histórico

da Geometria, com um breve histórico, tendo-se a intenção de ressaltar que o

conhecimento matemático não ocorre em um tempo determinado e nem em

uma linha de raciocínio, mas em várias direções.

3.1 Da Geometria Euclidiana à Geometria Analítica

Segundo Boyer (1996) os gregos, Herótodo e Aristóteles, viam a origem

da Geometria na civilização egípcia. Herótodo afirmava que a Geometria se

originara no Egito, acreditando que ela teria surgido da necessidade prática de

fazer novas medidas de terras após cada inundação anual do rio Nilo, e foi

rapidamente alargada à agrimensura e à navegação.

Já Aristóteles, discípulo da escola platônica acreditava no valor formativo

da Matemática pelo seu “poder” de desenvolver o pensamento humano e seu

raciocínio.

“’A matemática que se desenvolveu na Grécia em grande parte desligada dos aspectos práticos e manuais, ressurgiria associada às aplicações práticas, às artes produtivas, às artes mecânicas....” (Miorim, 1998, p.2)

Assim, a partir das diferentes experiências e necessidades, as atividades

laboriais e o raciocínio indutivo contribuíram para a obtenção dos conceitos

básicos da Geometria.

Segundo a tradição grega, é atribuída a Tales, no início de século VI

a.C., o começo da Geometria Demonstrativa. Tales é considerado o precursor

da organização dedutiva da Geometria. A Tales se creditam os seguintes

(35)

- Um círculo é bissectado por um diâmetro;

- Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais;

- Os pares de ângulos opostos formados por duas retas que se cortam são iguais;

- Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um são iguais respectivamente a dois ângulos e um lado de outro, então os

triângulos são congruentes. (Boyer, 1996, p.32)

Mesmo sendo atribuído a Tales as primeiras tentativas para a

demonstração de teoremas de geometria, com caráter lógico, foi principalmente

pelos trabalhos de Pitágoras e de seus discípulos da Escola Pitagórica, que a

Geometria obteve seus progressos mais importantes.

Por volta de 300 a.C. surge a obra - Os Elementos de Euclides - escrita

com a organização e sistematização dos trabalhos matemáticos gregos

anteriores.

Segundo Milies (1999), em Os Elementos, de Euclides, a maior obra de

Geometria que nos foi legada pela Antiguidade Clássica, é um texto didático.

A partir de Euclides, temos o momento em que se dá a identificação do

saber matemático com a abstração, com o teórico, centrado no raciocínio.

Isso foi claramente revelado nos postulados que Euclides enunciou, não

se detendo nas concepções indutivas e empíricas. Partiu das noções

primitivas, como ponto, reta, plano e espaço, e construiu uma teoria dedutiva,

com método axiomático. Euclides estabeleceu a teoria dedutiva sob a forma de

definições, axiomas, postulados e proposições, conhecida, hoje, como

Geometria Euclidiana.

Os Elementos se divide em treze livros, com 465 proposições.

Especificamente, quanto ao conteúdo de cada um dos livros dedicados à

Geometria temos:

Livro I: Construções elementares, teoremas de congruência, área de

polígonos, teorema de Pitágoras;

Livro II: Álgebra geométrica;

(36)

O primeiro livro inicia-se com a definição dos conceitos, postulados e

axiomas preliminares necessários.

Segundo Boyer (1968):

O primeiro livro começa abruptamente com uma lista de vinte e três definições. A deficiência, aqui, é que algumas definições não definem, pois não há um conjunto prévio de elementos não-definidos em termos dos quais os outros sejam definidos. Assim dizer como Euclides, que “um ponto é o que não tem parte”, ou que “uma reta é comprimento sem largura”, ou que “uma superfície é o que tem apenas comprimento e largura” não é definir esses entes, pois uma definição deve ser expressa em termos de coisas precedentes, que são melhor conhecidas que as coisas definidas. (Boyer, 1996, p.72)

A seguir, apresentamos a definição de retas paralelas, empregando a

nomenclatura e numeração utilizada por F. C. P. Milies, extraída do livro A

geometria na antiguidade clássica, 1999:

23 – Linhas paralelas ou eqüidistantes são linhas retas que, existindo no

mesmo plano e prolongadas em ambas as partes, nunca chegam a se

encontrar.

Em seguida as definições, Euclides fornece uma lista de cinco

postulados e cinco noções comuns. Faz distinção sobre o modelo preconizado

por Aristóteles, para quem axiomas eram noções comuns e deveriam ser

convincentes por elas mesmas válidas para qualquer ciência. Já, para os

postulados Aristótoles os considerava menos óbvios e só eram pertinentes ao

(37)

Relacionamos, na seqüência, os postulados de Euclides, encontrados

em Boyer (1996, p.73):

1. Traçar uma reta de qualquer ponto a qualquer ponto;

2. Prolongar uma reta finita continuamente em uma linha reta;

3. Descrever um círculo com qualquer centro e qualquer raio;

4. Que todos os ângulos retos são iguais;

5. Que, se uma reta cortando duas retas faz os ângulos interiores de

um mesmo lado menores que dois ângulos retos, as retas, se

prolongadas indefinidamente, se encontram desse lado em que os

ângulos são menores que dois ângulos retos. (fig. 6)

(38)

Figura 7: Representação da versão apresentada por Jonh Playfair

Ainda em relação à teoria das paralelas, Euclides dedicou uma definição

(23ª), um postulado (5º) e quatro proposições: proposição 30 - as retas

paralelas a uma mesma reta são paralelas entre si; proposição 31 - por um

ponto dado, traçar uma reta paralela a outra reta dada; proposição 32 - se se

prolongar um dos lados de um triângulo, o ângulo externo será igual aos

internos e opostos, adicionados, e os três ângulos do triângulo serão iguais a

dois retos; proposição 33 - os segmentos que unem por um mesmo lado

segmentos iguais e paralelos são também iguais e paralelos.

O quinto postulado de Euclides aborda um enunciado mais complicado e

menos evidente por si próprio, trazendo em seu conteúdo um apelo à evidência

e à intuição do plano. Desde o início, este postulado chamou a atenção, e após

muitas tentativas, e preocupações foi pela sua negação que nasceu um novo

sistema geométrico, o sistema não-euclidiano, no qual as construções lógicas

(39)

Os elementos de Euclides, em seu tempo, segundo Boyer (1996, p.74):

“Constituiu o desenvolvimento lógico mais rigorosamente tratado da

matemática elementar que já fora erigido, e dois mil anos deveriam passar-se

antes que surgisse uma apresentação mais cuidadosa”.

Entre 1575 a 1637, a maior parte da Europa Ocidental participava do

desenvolvimento da Matemática. Sem dúvida, destaca-se François Viète

(1540-1603), com suas contribuições à Álgebra, dentre as quais o uso das

vogais para representar uma quantidade desconhecida e de consoante para as

quantidades conhecidas. E é assim que encontramos pela primeira vez na

Álgebra, uma distinção clara entre os conceitos de parâmetros e incógnita.

Segundo Boyer:

Desde os dias de Euclides que letras tinham sido usadas para representar grandezas, conhecidas ou desconhecidas; mas não havia meios de distinguir grandezas supostas conhecidas das quantidades desconhecidas que devem ser achadas. Aqui Viète introduziu uma convenção tão simples como fecunda. (BOYER,1996, P.208)

No século XVII, o conhecimento científico estava renascendo,

começaram a surgir, novas criações, tais como: a determinação de longitude

de posições de navios, sem que existissem então relógios, levou Galileu Galilei

(1584-1642), Robert Hooke (1638-1703) e Christiaan Huygens (1629-1695) ao

estudo do movimento de uma bola presa em um pêndulo e de objetos

suspensos por molas; na astronomia temos a terceira lei de Kepler (1571-1630)

que descreve o movimento dos planetas ao redor do sol. Da união dessas

criações e das preocupações do filósofo Descartes (1596-1650) temos, a

introdução do simbolismo e a fusão da Álgebra com a Geometria.

Descartes, dizia que a geometria dos gregos “só se pode exercitar o

entendimento fatigando-se bastante a imaginação”. Via a filosofia antiga como

inadequada e desejava reformular o pensamento humano e fazer sua

revolução com filosofia inédita. Assim um novo método de aproximação da

(40)

feito de matéria e movimento incessante entre vórtices, e todos os fenômenos deveriam ser explicados mecanicamente em termos de forças exercidas pela matéria continua. (BOYER,1996, P.230)

Este método foi chamado de “o método da razão”, sendo que os

fundamentos deste método que consagram a razão como fonte principal do

conhecimento, estão contidos em sua obra Discours de la méthode, publicado

em 1637, que, deveria ser empregado sempre que buscássemos o

conhecimento em qualquer campo da ciência. Ele se constitui de quatro regras:

1. Princípio da evidência: aceitar somente aquilo que se deseja

tão claro em nossa mente, que exclua qualquer dúvida.

2. Princípio da análise: dividir os grandes problemas em

problemas menores, para melhor resolvê-lo.

3. Princípio da síntese: argumentar, partindo do simples para o

complexo.

4. Princípio da enumeração completa: selecionar exclusivamente

o que for necessário e suficiente para a solução de um

problema.

Portanto, o método de Descartes constitui-se de quatro princípios lógicos

fundamentais que, segundo seu autor, deveriam ser aplicados na elaboração

(41)

Para Descartes, seu método deveria, explicar o velho e criar algo novo.

Ele aplicou o seu método sob o “problema das três ou quatro cores de Papus”,

sendo este uma generalização para n retas, onde n>4, do ”o lugar a três e

quatro retas” de Apolônio:

Dadas três (ou quatro retas) de um plano, achar o lugar de um ponto P, que se move de modo que o quadrado da distância de P a uma delas seja proporcional ao produto das distâncias às outras duas (ou, no caso de quatro retas, o produto das distâncias a duas delas é proporcional ao produto das distâncias às outras duas), as distâncias sendo medidas em ângulos dados com relação às retas. (BOYER,1996, P.103)

Ao generalizá-lo, Descartes concluiu que, no caso de não mais de oito

retas, o lugar é um polinômio e a construção requeria o uso de secções

cônicas. Para não mais de doze retas, o lugar é um polinômio não superior a

seis, e a construção exige curvas além das secções cônicas, ele ainda analisou

todos os casos de curvas, estabelecendo quais curvas poderiam ser admitidas

como geométricas.

E foi contra esse problema generalizado que Descartes percebeu o

poder e, a generalidade de seu ponto de vista. E em conseqüência escreveu a

obra, “La Géométrie”, levando a sua Geometria Analítica ao conhecimento de

seus contemporâneos.

“La Géométrie”, não foi apresentada como um tratado, mas como um

dos três apêndices do Discours de la méthode. Já no seu apêndice “La

Géometrie” têm os seguintes objetivos: liberar a Geometria de diagramas,

através de processos algébricos e dar significado às operações da Álgebra por

meio de interpretações geométricas.

A publicação de “La Géométrie” (1637), de Descartes, colocou todo o

campo da Geometria clássica no domínio de ação dos algebristas, além de

mostrar que as cinco operações aritméticas correspondem a construções

simples com régua e compasso, justificando a introdução de termos aritméticos

em geometria. Desta forma, Descartes lança as bases da Geometria Analítica,

(42)

operações algébricas em linguagem geométricas.

Descartes analisou todos os problemas da Geometria Grega e , após

reduzi-los a termos geométricos mais simples, ele obteve o procedimento

construtivo que deveria seguir. Este procedimento de análise e de construção

é a teoria da proporção, já usada pelos geômetras gregos.

Descartes interpretou e como segmentos, e não como área e

volume, graças à escolha de uma unidade de medida e à construção de uma

quarta proporcional. A ele também devemos o uso das letras iniciais do

alfabeto para parâmetros e das finais para as incógnitas; foi a flexibilidade dada

à Álgebra, por ele, que permitiu ter-se x.x, “x quadrado” , desvinculado da idéia

de quadrado e assim passaram a lidar com expressões do tipo + como

soma de dois volumes, um com base de área e altura igual a um e outro

cúbico de lado x. Conduzindo a separação atual de expressões algébricas das

idéias de área e volume.

2

x x3

2

x x3

2

x

Descartes, em sua Geometria Analítica, não estabelecia um sistema de

coordenadas a fim de marcar pontos, nem pensava em suas coordenadas

como pares de números. A Geometria Analítica, como é hoje ensinada, é

devida não somente a Descartes, mas sim a seus contemporâneos e

sucessores.

A Geometria Analítica como praticamos atualmente se aproxima da

geometria analítica de Pierre de Fermat (1601-1665), isto porque a geometria

de Fermat implica na determinação de dois eixos perpendiculares num plano,

na atribuição de duas coordenadas a cada ponto geométrico, e na substituição

(43)

Fermat se propôs a reconstruir os lugares planos de Apolônio, e um

subproduto desse esforço foi a descoberta, do princípio fundamental da

Geometria Analítica:

“Sempre que numa equação final encontram-se duas quantidades

incógnitas, temos um lugar, a extremidade de uma delas descrevendo uma

linha, reta ou curva”. (BOYER,1996, P.238)

Os pontos de vista de Fermat e Descartes possuem uma diferença,

pois, Fermat dava ênfase à solução de equações indeterminadas, em vez da

construção das soluções algébricas determinadas, enquanto que o segundo

Descartes construía sua Geometria em torno do difícil problema de Papus.

Além disso, Descartes, começara com o lugar das três e quatro retas, usando

uma das retas como eixo da abscissa, e Fermat começou com a equação

linear e escolheu um sistema de coordenadas arbitrário sobre o qual esboçou,

primeiro o caso mais simples de equação linear, Dx = By, usando a notação de

Viète, onde seu gráfico é uma reta que passa pela origem.

Mas como Fermat não usava abscissas negativas, seu gráfico era uma

semi-reta com origem como extremidade. Ele ainda esboçou como segmento

de reta no primeiro quadrante com extremidades nos eixos de coordenadas, a

equação linear mais geral , conservando a homogeneidade de

Viète.

2

c by ax+ =

Em seguida, para mostrar o poder de seu método para tratar lugares:

Fermat anunciou o seguinte problema que descobrira com o método novo: Dado qualquer número de retas fixadas, num plano, o lugar de um ponto tal que a soma de múltiplos quaisquer dos segmentos traçados a ângulos dados do ponto às retas dadas é uma reta. (BOYER,1996, P.238)

Nos limites desta dissertação, apresentamos um breve histórico, sem a

pretensão de ser completa, porém queríamos ressaltar que a Geometria

Analítica representa uma importante interação entre a Álgebra e a Geometria, o

(44)

Didática, e têm por objetivo contribuir à concepção da nossa seqüência de

ensino.

4.1 Análise de Livros Didáticos

Com a finalidade de verificar como a Geometria Analítica,

especificamente o tópico de paralelismo, está sendo trabalhado nas escolas,

analisamos alguns livros didáticos da 1ª, 2ª e 3ª séries do Ensino Médio. Os

critérios que nos levaram a escolher os livros que compõe essa análise foram:

livros recomendados pelo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino

Médio 2006 (PNLDEM 2006) e a importância que atribuímos em analisar os

livros adotados pela escola na qual será aplicada a nossa seqüência didática.

De acordo com esses critérios, apresentamos os livros:

• “Matemática” de Oscar Guelli, 1ª edição, 2004, editora Ática, Seriado; • “Matemática Completa” de José Ruy Giovanni, José Roberto Bonjorno e

José Ruy Giovanni Jr. 1ª edição, 2002, editora FTD, Volume único.

Analisaremos os conteúdos que fazem parte da nossa seqüência. São eles:

a declividade de um ponto, equação de uma reta e paralelismo de retas.

4.1.1 Livro: “Matemática” – Guelli

A Matemática de Guelli é apresentada em três volumes para alunos da

1ª série à 3ª série do Ensino Médio. O autor coloca no manual do professor

ao final do livro que esta coleção procura apresentar todos os conceitos

matemáticos do Ensino Médio de um modo simples, direto e sem artifícios,

(45)

1. Os exercícios que os alunos vão trabalhar foram organizados numa

seqüência extremamente cuidadosa e detalhista, dos mais simples aos

que exigem maior capacidade de interpretação e imaginação, e que

conduzem à compreensão prática e efetiva de conceitos matemáticos.

2. Foi dada grande ênfase aos problemas que tratam da vida e do trabalho

das pessoas, e que, para sua discussão, requeiram a aplicação de

conceitos matemáticos.

1ª série:

O livro é dividido em unidades, já na Unidade 1 encontramos o tópico: “O

Plano de Coordenadas” dentre os temas trabalhados nesse tópico, estão a

declividade de um segmento, como descrever uma reta com uma equação

e aplicações da equação da reta.

Declividade de um Segmento

Temos como parte integrante do livro o Manual do Professor os objetivos

do autor para se trabalhar o tópico “Declividade de um Segmento”. Segundo

ele, o objetivo do tema é que o aluno seja capaz de interpretar o significado

do número que expressa a declividade de um segmento não vertical; de

interpretar o significado do sinal da declividade de um segmento não vertical

nem horizontal e de determinar a declividade de uma reta não vertical.

O autor inicia o tema “Declividade de um segmento”, com uma breve

explicação de que um segmento é horizontal se a reta que a contém é

horizontal, um segmento é vertical se a reta que a contém é vertical. Depois

a idéia de declividade é dada através de alguns segmentos no plano

(46)

Figura 8: Idéia de declividade (p. 14)

Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série

Os autores mostram a seguir, que a declividade m, para um segmento

não vertical é dado pela fórmula

2 1 2 1 x x y y m − − = .

A partir da apresentação da fórmula são trabalhadas algumas

observações, como o caso da reta ser vertical, implicando, neste caso, em

se ter o denominador igual a zero, e então a fórmula da declividade não

apresentar um número; o caso do segmento ser horizontal, e assim a

declividade ser igual a zero, pois o numerador é igual a zero, o autor traz

em seguida a seguinte informação: se um segmento se eleva da esquerda

para a direita, a declividade é positiva; se se eleva da direita para a

esquerda, a declividade é negativa (p.15). (grifo nosso)

Acreditamos que essa informação é incorreta já que: se um segmento se

eleva da esquerda para a direita será obtido um ângulo obtuso formado pela

reta com o sentido positivo do eixo Ox, assim ela estará em sentido

decrescente, portanto sua declividade será negativa. Já no caso se se eleva

da direita para a esquerda obteremos um ângulo agudo formado pela reta

com o sentido positivo do eixo OX, assim a reta estará crescente, portanto

sua declividade será positiva.

Concordamos ainda que esse tipo de informação, exposta sem nenhuma

(47)

memorização, pois, ele não obtém nesse tipo de informação subsídios

necessários para entende-la.

Os autores dão um exemplo de como calcular a declividade de um

segmento de extremidades A (2,1) e B(6,4), aplicando a fórmula dada

anteriormente.

Como podemos perceber o autor já no exemplo, primeiro momento em

que o aluno se inspirará para resolver os exercícios propostos, foca o

cálculo e a aplicação da fórmula, sem que se justifique ou analise o

resultado.

Cabe destacar que em nenhum momento é trabalhado nem comentado

que o coeficiente angular da reta é o número real m que expressa a tangente

trigonométrica de sua inclinação α, como também não se faz nenhuma menção

sobre a Taxa de Variação Média.

Neste tema, o autor trabalha com conteúdos sistematizados, ou seja, por

meio de definições, propriedades e fórmulas, sem trabalhar com prova ou

iniciação a ela e sem estimular a participação ou envolvimento ativo do aluno.

Os exercícios subseqüentes à introdução do tema declividade, utilizam

em sua resolução apenas a fórmula dada anteriormente

2 1 2 1 x x y y m − −

= , da

mesma maneira como foi trabalhado no exemplo (que deveria ser apenas

um exemplo e não uma regra a ser seguida), como se fossem exercícios

de: siga o que foi feito, sem que o aluno precise analisá-los para

resolvê-los.

Tal resolução, ao nosso ver não desperta a vontade do aluno de

investigar, argumentar ou questionar como provar os resultados obtidos nos

exercícios propostos, já que eles não apresentam nenhuma situação na

qual o aluno se sinta motivado para isso.

Outras atividades trabalham a idéia que: numa reta não vertical, aos

sucessivos aumentos iguais nas abscissas de seus pontos correspondem

sucessivos aumentos iguais nas ordenadas dos mesmos. Ressaltamos que

esta idéia não foi trabalhada na definição fato este que leva o aluno a

analisar a situação e levantar conjecturas, já que não se trata simplesmente

(48)

Figura 9: Exercício sobre declividade (p. 15) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série

Como descrever uma reta com uma equação

No Manual do Professor encontramos os objetivos do autor para

se trabalhar agora com o tópico “Como descrever uma reta com uma

equação”, segundo ele o objetivo do tema é que o aluno seja capaz de

descrever uma reta no plano cartesiano mediante uma equação;

descrever uma reta mediante diferentes formas de equações e

descrever uma reta vertical por meio de uma equação.

O autor inicia o tema trabalhando com a razão de duas

distâncias, mas sem especificar quais são essas distâncias e sem

mencionar que ele está considerando a distância entre dois pontos

distintos do plano cartesiano, e que a distância entre eles é a medida do

segmento de reta que tem os dois pontos por extremidades.

“Se um segmento tem declividade positiva, a declividade é a

razão de duas distâncias; tem-se declividade negativa, a declividade é o

oposto de uma razão de duas distâncias”. (p.16)

(49)

Figura 10: Razão entre duas distâncias (p.16) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série

Mas, novamente, o autor apenas apresenta a fórmula sem estimular o

aluno a analisar e interpretar o gráfico acima, de forma que ele aprenda a partir

de suas construções.

Seguindo o plano de aula e com o conhecimento acima (fig.10) o autor

mostra, através de semelhança de triângulos utilizando uma linguagem formal

(fig. 11 e 12) que, se uma reta não é vertical, todos os segmentos têm a

mesma declividade e utiliza apenas a representação figural para especificar

quais são esses segmentos e que eles estão contidos numa reta não vertical.

(50)

Figura 12: Representação figural (p.17) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série

Mais uma vez o autor expõe os conceitos e procedimentos, com alguns

exemplos e problemas resolvidos, e assim propõe exercícios de aplicação sem

estimular a participação do aluno na aquisição do conhecimento.

Ele segue com a idéia de declividade para escrever a equação de uma

reta, que passa por um ponto (x₁,y₁), apresentando a fórmula y− y₁ =m

(

x−x₁

)

e aplicando-a imediatamente no exemplo abaixo:

“Para determinar a equação da reta que passa por A(1,2) e B(2,5),

determinamos a declividade de AB:

(51)

Com a resposta do exemplo anterior o autor mostra de maneira sucinta

como expressar a equação de uma reta na forma de ponto e declividade, na

forma reduzida e na forma geral.

Os exercícios que seguem no texto trabalham com a aplicação da

fórmula y−y₁ =m

(

x−x₁

)

de duas maneiras: quando é fornecido a declividade

(m) e um ponto, e quando são fornecidos dois pontos. Até que um exercício

(fig.14) pede ao aluno, que demonstre a equação da reta r dada por + =1

b y a x

,

sem ter-se trabalhado antes com exemplos genéricos para que, assim, o aluno

progredisse paulatinamente em direção a uma prova.

Acreditamos que como esse exercício (fig.14) foi proposto há um “salto”

informacional de aplicação de fórmulas para um raciocínio dedutivo.

Exemplo:

Figura 14: Exercício de prova (p.19) Fonte: livro: “Matemática” - Guelli - 1ª série

Aplicações da equação da reta

O autor inicia o tema “Aplicações da equação da reta” já com um

exemplo (fig.15), representado abaixo:

“O gerente de vendas de uma loja de materiais esportivos fez um gráfico

das receitas em reais obtidas em seis anos de funcionamento e observou