Estat´ıstica – Exerc´ıcios – Lista 11
Testes de Hip´ otese
1. Os organismos planctˆonicos podem ser classificados segundo alguns crit´erios. Um destes crit´erios se refere `a dura¸c˜ao da vida no plˆancton. Nesse caso, os organismos podem ser meroplanctˆonicos (passam apenas parte do ciclo de vida no plˆancton) ou holoplanctˆonicos (passam todo o ciclo de vida na plˆancton). Em um cruzeiro cient´ıfico, pesquisadores coletaram uma amostra com 52 larvas planctˆonicas de peixes atrav´es de arrasto com redes bongo. Nesta amostra eles con- stataram que21 destas larvas pertenciam a esp´ecis classificadas como meroplanctˆonicas. Avalie as seguintes hip´oteses:
a) A propor¸c˜ao populacional de larvas meroplanctˆonicas ´e menor que 0.5. Use um n´ıvel de significˆancia de 0.05.
b) A propor¸c˜ao populacional de larvas meroplanctˆonicas ´e diferente de 0.5. Use um n´ıvel de significˆancia de 0.01.
Para cada uma destas quest˜oes indique: hip´oteses nula e alternativa, estat´ıstica de teste utilizada, valor cr´ıtico de teste, valor calculado para a estat´ıstica de teste, e o valor de P. Ao final das an´alises escreva uma frase explicando claramente a que conclus˜ao vocˆe chegou.
2. Para as pescarias de uma determinada regi˜ao o conhecimento da mar´e ´e fundamental. Um ciclo de mar´e pode ser definido como a varia¸c˜ao do n´ıvel m´edio do mar em um per´ıodo de12 horas.
Durante um ciclo de mar´e, um pesquisador realizou na ´area de interesse12medi¸c˜oes (uma a cada hora) com um corrent´ografo. Constatou-se uma corrente m´edia de0.03m/s, com desvio padr˜ao de0.008m/s. O pesquisador tamb´em verificou que a distribui¸c˜ao de seus dados amostrais segue aproximadamente uma distribui¸c˜ao Normal. Com base nestas informa¸c˜oes avalie as seguintes afirma¸c˜oes:
a) A corrente m´edia ´e diferente de0.035m/s. Para estruturar o teste de hip´otese use um n´ıvel de significˆancia de0.05.
b) A corrente m´edia ´e maior do que 0.025 m/s. No teste de hip´otese use um n´ıvel de sig- nificˆancia de0.10.
Para cada uma destas quest˜oes indique: hip´oteses nula e alternativa, estat´ıstica de teste utilizada, valor cr´ıtico de teste e valor calculado. Ao final da an´alise escreva uma frase explicando qual ´e a conclus˜ao.
3. H´a grande interesse em avaliar a propor¸c˜ao de adultos e juvenis dos peixes de uma esp´ecie em duas
´
areas estuarinas (A e B). Pretende-se a captura de matrizes para cultivo e tamb´em a explora¸c˜ao pesqueira do recurso. A ´area a ser explorada deve ser a que apresenta uma maior propor¸c˜ao de adultos. Ap´os a realiza¸c˜ao de um programa de amostragem aleat´oria foram coletados45 peixes na ´area A e 24 deles eram adultos. J´a na ´area B foram coletados 34 peixes e 11 deles eram adultos. ´E importante tra¸car comparativos para definir qual das ´areas tem, claramente, o perfil desejado para a explora¸c˜ao.
a) Realize um teste de hip´otese para avaliar a alega¸c˜ao de que as propor¸c˜oes de adultos s˜ao diferentes nas duas ´areas. Use um n´ıvel de significˆancia de0.05.
1
b) Realize um teste de hip´otese para avaliar a alega¸c˜ao de que a propor¸c˜ao de adultos na
´
area A ´e significativamente maior que a propor¸c˜ao de adultos na ´area B. Use um n´ıvel de significˆancia de 0.05.
Para cada uma destes items indique: hip´oteses nula e alternativa, estat´ıstica de teste utilizada, valor cr´ıtico de teste, valor calculado e, o valor de P. Ao final da an´alise escreva uma frase explicando claramente a que conclus˜ao vocˆe chegou.
4. Considere que estamos interessados na salinidades dos Oceanos Atlˆantico e Mediterrˆaneo. Foram coletadas23amostras de ´agua no Oceano Atlˆantico e19amostras no Mar Mediterrˆaneo. Atrav´es destas amostragens, estimou-se para o Oceano Atlˆantico uma salidade m´edia de36.3ppm (partes por mil) com desvio padr˜ao de 2.0 ppm, e para o Mar Mediterrˆaneo uma salinidade m´edia de 37.8 ppm com desvio padr˜ao de 2.5ppm. Tamb´em foi verificado que a distribui¸c˜ao dos valores amostrais ´e similar `a uma distribui¸c˜ao Normal. Dadas essas informa¸c˜oes, responda:
a) A salinidade m´edia do Oceano Atlˆantico ´e significativamente diferente da salinidade do Mar Mediterrˆaneo? Teste esta hip´otese com um n´ıvel de significˆancia de 0.05.
b) A salinidade m´edia do Oceano Atlˆantico ´e significativamente menor que a salinidade do Mar Mediterrˆaneo? Teste esta hip´otese com um n´ıvel de significˆancia de 0.01.
Para cada uma destes items indique: hip´oteses nula e alternativa, estat´ıstica de teste utilizada, valor cr´ıtico de teste e o valor calculado. Ao final da an´alise escreva uma frase explicando claramente a que conclus˜ao vocˆe chegou.
5. Pesquisadores realizaram um experimento em laborat´orio com 6 sementes do mexilh˜ao Perna perna, para avaliar seu crescimento (em cent´ımetros) sob uma determinada condi¸c˜ao controlada de cultivo. A avalia¸c˜ao do qu˜ao grande foi o crescimento ser´a baseada na diferen¸ca entre os comprimentos de cada uma das sementes no in´ıcio e no final do experimento. Os resultados obtidos em uma amostra aleat´oria de 6pares de dados mostram um diferen¸ca m´edia de0.6 cm e um desvio padr˜ao para as diferen¸cas de0.03 cm. Considere que em estudos pr´evios verificou- se que as medidas de comprimento das sementes seguem aproximadamente uma distribui¸c˜ao normal. Calcule a m´edia e o desvio padr˜ao das diferen¸cas entre os comprimentos registrados no in´ıcio e no final do experimento e avalie as seguintes afirmativas:
a) A diferen¸ca m´edia entre os comprimento no in´ıcio e no final do experimento ´e significativa- mente maior do que0.5cm. Teste esta hip´otese com um n´ıvel de significˆancia de 0.01.
b) A diferen¸ca m´edia entre os comprimentos no in´ıcio e no final do experimento ´e significati- vamente diferente de0.63 cm. Teste esta hip´otese com um n´ıvel de significˆancia de0.05.
Para cada uma destes items indique: hip´oteses nula e alternativa, estat´ıstica de teste utilizada, valor cr´ıtico de teste e o valor calculado. Ao final da an´alise escreva uma frase explicando claramente a que conclus˜ao vocˆe chegou.
Respostas:
1. a) Neste caso o teste ´e unilateral e as hip´oteses s˜ao
H0: p=0.5
H1: p<0.5 . A estat´ıstica de teste ´e a Z. O valor cr´ıtico ´e -1.645 enquanto que o calculado ´e -1.387. O valor da probabilidade se obtenha uma amostra t˜ao ou mais extrema que a observada, em sendo verdade a hip´otese H0, ´eP=0.083. Portanto, se usarmos um n´ıvel de significˆancia deα=0.05, n˜ao rejeitamos a hip´otese de que a m´edia ´e0.5. Assim, n˜ao h´a evidˆencias suficientes para apoiar a hip´otese de que a m´edia ´e menor que0.5.
b) Neste caso o teste ´e bilateral e as hip´oteses s˜ao
H0: p=0.5
H1: p6=0.5 . A estat´ıstica de teste ´e aZ.
Os valores cr´ıticos s˜ao -2.576 e 2.576. O valor calculado ´e -1.387. O valor da probabilidade se obtenha uma amostra t˜ao ou mais extrema que a observada, em sendo verdade a hip´otese
2
H0, ´eP=0.166. Portanto, se usarmos um n´ıvel de significˆancia deα=0.01, n˜ao rejeitamos a hip´otese de que a m´edia ´e0.5. Assim, n˜ao h´a evidˆencias suficientes para apoiar a hip´otese de que a m´edia ´e diferente de 0.5.
2. a) Neste caso o teste ´e bilateral e as hip´oteses s˜ao
H0:µ=0.035
H1:µ6=0.035 . A estat´ıstica de teste ´e at. Os valores cr´ıticos s˜ao -2.201 e 2.201, enquanto que o valor calculado -2.165. Portanto n˜ao rejeitamos a hip´otese de que a m´edia populacional seja igual a 0.035 em um teste de hip´otese com n´ıvel de significˆancia de 0.05. Consequentemente n˜ao apoiamos a hip´otese de que a m´edia populacional ´e diferente de 0.035.
b) Neste caso o teste ´e unilateral e as hip´oteses s˜ao
H0:µ =0.025
H1:µ >0.025 . A estat´ıstica de teste ´e at. O valor cr´ıtico ´e o 1.363, enquanto que o valor calculado 2.165. Portanto rejeitamos a hip´otese de que a m´edia populacional seja igual a0.025em um teste de hip´otese com n´ıvel de significˆancia de 0.1. Consequentemente apoiamos a hip´otese de que a m´edia populacional
´e maior que0.025.
3. a) Neste caso o teste ´e bilateral e as hip´oteses s˜ao
H0: pA−pB=0
H1: pA−pB6=0 . A estat´ıstica de teste
´e a Z. Os valores cr´ıticos s˜ao -1.960 e 1.960. O valor calculado ´e 1.859. A probabilidade de ocorra uma amostra t˜ao ou mais extrema que a observada, em sendo verdade a hip´otese H0 ´eP=0.063. Portanto n˜ao rejeitamos a hip´otese de que as propor¸c˜oes populacionais de adultos sejam iguais nas duas ´areas. Assim, n˜ao apoiamos a hip´otese de que as propor¸c˜oes populacionais s˜ao diferentes em um teste de hip´otese com n´ıvel de significˆancia deα=0.05.
b) Neste caso o teste ´e unilateral e as hip´oteses s˜ao
H0: pA−pB=0
H1: pA−pB>0 . A estat´ıstica de teste
´e a Z. O valor cr´ıtico ´e 1.645, enquanto que o valor calculado ´e 1.859. A probabilidade de ocorra uma amostra t˜ao ou mais extrema que a observada, em sendo verdade a hip´oteseH0
´eP=0.032. Portanto, em um teste de hip´otese com n´ıvel de significˆancia de 0.05 rejeitamos a hip´otese de que as propor¸c˜oes populacionais de adultos sejam iguais nas duas ´areas, em favor da hip´otese de que a propor¸c˜ao populacional de adultos na ´area A ´e maior que a de a da ´area B. Dentro do contexto do problema, estes resultados indicam que a ´area A seria ent˜ao a mais indicada para a retirada de matrizes e a explora¸c˜ao pesqueira.
4. a) Neste caso o teste ´e bilateral e as hip´oteses s˜ao
H0:µA−µB=0
H1:µA−µB6=0 . A estat´ıstica de teste
´e a t. Os valores cr´ıticos s˜ao -2.101 e 2.101. O valor calculado ´e -2.115. Portanto, em um teste com n´ıvel de significˆancia de0.05h´a evidˆencias suficientes para rejeitar a hip´otese de que as salinidades m´edias dos dois oceanos s˜ao iguais. Assim, apoiamos a hip´otese de que as salinidades m´edias s˜ao diferentes.
b) Neste caso o teste ´e unilateral e as hip´oteses s˜ao
H0:µA−µB=0
H1:µA−µB<0 . A estat´ıstica de teste ´e at. O valor cr´ıtico ´e -2.552, enquanto que o calculado ´e -2.115. Portanto, em um teste com n´ıvel de significˆancia de 0.01 n˜ao h´a evidˆencias suficientes para rejeitar a hip´otese de que as salinidades m´edias dos dois oceanos s˜ao iguais, em favor da hip´otese de que a salindade m´edia do Atlˆantico ´e menor que a do Mediterrˆaneio.
5. a) Neste caso o teste ´e unilateral e as hip´oteses s˜ao
H0:µd=0.5
H1:µd>0.5 . A estat´ıstica de teste ´e a t. O valor cr´ıtico ´e 3.365 e o valor calculado ´e 8.165. Em um teste com n´ıvel de significˆancia de0.01, rejeitamos a hip´otese de que a diferen¸ca m´edia populacional ´e igual a0.5em favor da hip´otese de que a diferen¸ca m´edia populacional ´e maior que0.5.
b) Neste caso o teste ´e bilateral e as hip´oteses s˜ao
H0: µd=0.63
H1: µd6=0.63 . A estat´ıstica de teste ´e a t. Os valores cr´ıticos s˜ao -2.571 e 2.571. O valor calculado ´e -2.449. Em um teste com n´ıvel
3
de significˆancia de 0.05, n˜ao rejeitamos a hip´otese de que a diferen¸ca m´edia populacional
´e igual a 0.63. Portanto n˜ao h´a evidˆencias suficientes para apoiar a hip´otese de que a diferen¸ca m´edia populacional ´e maior que 0.63.
4
