Circuitos de Corrente Alternada

INSTITUTO DE FÍSICA DA UFBA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA DO ESTADO SÓLIDO

DISCIPLINA: FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL IV (FIS 124)

Circuitos de Corrente Alternada

Considere um circuito com várias malhas e constituídas de resistências, capacitores e indutores. Em alguma região do circuito é aplicada uma tensão alternada ε = ε_o cosωt . Para descrevermos o circuito, aplicamos a lei das malhas e dos nós e encontramos um sistema de equações diferenciais não homogêneas que, em sua maioria, não são simples resolvê-las. Um caso bem trivial, como o circuito RLC, envolve identidades trigonométricas que são, para dizer o mínimo, tediosas. Para contornarmos estas dificuldades e encontrarmos soluções mais elegantes e concisas, faremos uso dos números complexos. Utilizaremos também uma generalização da lei de Ohm para a corrente alternada, isto é, a lei de Ohm na forma complexa.

Definimos, então, uma tensão complexa , onde a tensão física de interesse é a parte real de V, isto é, ε = Re{V} = ε

t oej^ω

ε

= V

o cos ωt. Analogamente, definimos uma corrente complexa I onde a corrente física é a parte real de I, isto é, I = Re{ I }. Como na lei de Ohm, existe aqui uma relação linear entre a corrente e a tensão complexa. Se em circuitos de corrente contínua o parâmetro que intermedia estas duas grandezas é a resistência, em corrente alternada devemos ter também uma grandeza que descreve o comportamento resistivo do circuito: a impedância. Chamaremos de Z a impedância complexa do circuito, de forma que a lei de Ohm na forma complexa será :

V = Z I

1. Aplicações Em Circuitos a. Circuito Resistivo

A resistência R neste caso está simbolizando a associação de todas as resistências do circuito. Usando a lei das malhas, obtemos ε = R I, ou na notação complexa V = R I. Comparando com a lei de Ohm V = ZI, obtemos ZR = R, ou seja, a impedância de um circuito puramente resistivo é a própria resistência.

A corrente complexa será dada por ^{o j t}

R

R e ε ω

=

= Z

I V enquanto que a corrente

física será I = Re{I} = cos t R

o ω

ε . Observando a figura ao lado, vemos que os máximos, mínimos e zeros tanto da tensão quanto da corrente ocorrem no mesmo instante. Dizemos então que a corrente está em fase com a tensão.

t I

ε

Tanto a tensão quanto a corrente complexas podem ser representados no plano complexo através dos vetores girantes ou fasores.

Note que V=ε_oe^jωt e ^oe^{j t} R ε ω

=

I são números complexos que variam com o tempo e, como o sentido de crescimento do ângulo ωt no plano complexo é antihorário, os fasores também giram nesse sentido. Note que V e I giram ao mesmo tempo, pois estão em fase.

Re

Im V

I ωt

b. Circuito Indutivo

A lei das malhas nos fornece

dt LdI

=

ε , ou em termos de linguagem dos complexos

dt LdI

V= (1). Assumimos aqui que a corrente oscila com a mesma freqüência da fonte, pois se trata de uma oscilação forçada.

Escrevemos então I=I_me^(jωt−φ), onde Im é a amplitude e φ é a fase da corrente. Assim devemos ter:

I= j ω e ^ω−φ =j ω I dt

d _{(j t )}

Im

Substituindo na equação (1), teremos V = j ω L I que, comparada com a lei de Ohm, nos leva a .

Podemos escrever esta impedância de outra forma. Basta lembrar que L

L= j ω Z

π2

=e^j

j , de forma que 2

2 π

π =X_Le^j ω

= ^j

L L e

Z , onde XL= ω L é chamada de reatância indutiva. A corrente será dada por:

L ) t o (j L j

t o j

L X

e e

X

e ²

2

π

− ω π

ω ε

ε =

=

= Z I V

Logo, a corrente do circuito será: I = Re{I} → 



 



ω − π

= ε

I cos t 2

X_L

o

Note que a corrente está defasada da tensão de π/2. Neste caso dizemos que a corrente está atrasada em relação à tensão . Os diagramas da corrente e da tensão são :

ωt V

I Re

Im

t I

ε

c. Circuito capacitivo

A lei das malhas nos fornece C

= q

ε . Diferenciando em relação ao tempo, teremos:

dt dq C dt

d 1

ε =

. Usando dt

=dq

I , teremos:

C dt

d I

ε= . C

Em notação complexa devemos ter:

C dt

dV = I (2). Como V=ε_oe^jωt, então V =jωε e^ω =jωV dt

d _{j t}

o .

Substituindo este último valor na equação (2), obtemos

jωV= CI , ou seja, V I jωC

= 1 .

Comparando com a lei de Ohm, chegamos a:

C j C

C j =−ω

= ω1 Z

Lembrando-se que −j=e^−jπ2, então:

2

1 _{− π} 2 = _{− π}

=ω ^j _C ^j

C e X e

Z C , onde

X_C C

= ω1

é chamada de reatância capacitiva.

A corrente no circuito será I = Re{I}, ou seja 



 



 π

+ ε ω

= cos t 2 X_C

I o . Note que neste circuito a corrente está adiantada de π/2 em relação a tensão.

ωt V I

Re Im

t I

ε

2. Associação de impedâncias a. Em série

Sejam duas impedâncias Z1 e Z2 associadas em série e submetidas a uma tensão alternada V. A impedância Z1 está submetida a uma tensão V1 e Z2 à tensão V2, onde V = V1+ V2.

Usando a lei de Ohm, teremos V = Z1 I + Z2 I = Zeq I, o que nos leva a:

Zeq = Z1 + Z2

Z

Z

V V

V

Se tivermos N impedâncias associadas em série, teremos:

∑

=

=

N eq

1 i

Zi

Z

b. Em paralelo

Neste diagrama é fácil ver que I = I1+ I2. Usando a lei de Ohm, obtemos:

Zeq

V Z

V Z

I= V + =

2 1

, onde V é a tensão aplicada em cada uma das impedâncias. Assim:

Z

Z

V I

I2

2 1

1 1 1

Z Z Z = +

eq

Se tivermos N impedâncias associadas em paralelo, devemos ter:

∑

=

N

1

i i

eq Z

1 Z

1

3. Circuito RLC acoplado a uma f.e.m. alternada

Seja um circuito RLC em série acoplado a uma f.e.m. alternada R

L C

ε = ε_o cosωt. De acordo com a lei de Ohm, a corrente será Z

I= V , onde

é a tensão complexa. Para a resolução deste problema, devemos calcular a impedância total do circuito. Como os três elementos estão associados em série, teremos :

t oej^ω

ε

= V

C L

R Z Z

Z

Z= + +



 





− ω ω + ω =

− ω +

= R j L C

C L j j

R 1

Z

Podemos escrever

Z

Z

2 1 2



 





−ω ω +

= R L C

Z



 



 



 





− ω ω

=

ϕ L C

tg R

arc 1 1

A corrente complexa será:

) t o (j j

t

o j e

e Z Z

e _{ω −ϕ}

ϕ

ω ε

ε =

=

= Z I V

A corrente no circuito ser portanto I = Re{ I }, ou seja

cos( t )

Z

o ω −ϕ

= ε

I onde Z e ϕ estão acima descritos.

a. Ressonância

. Note que a amplitude da corrente irá depender da freqüência, uma vez que a impedância Z tem essa dependência. Assim, podemos ter uma tensão altíssima, mas uma corrente baixa a depender do valor da freqüência ω. Podemos fazer crescer este valor usando-se o expediente de variar ω, até atingir o ponto máximo da corrente Im, o que equivale ao valor mínimo de Z.

R₁<R₂ R₂

ω=ω_o ω

ε_o/R I_m

Isto ocorrerá quando XL - XC = 0, ou seja, quando 1 =0





ω − ω L C

 , o que nos levará a

o = LC1 ω

=

ω .

Em outras palavras, quando a freqüência da fonte for igual à freqüência natural do sistema, a corrente no circuito irá oscilar com amplitude máxima Im = ε_o / R. Chamamos esta condição de ressonância.

Este circuito tem utilidade, por exemplo, nos circuitos de rádio, onde é usado como circuito sintonizador. Neste caso a antena serve como fonte. Esta capta as ondas eletromagnéticas, transformando os campos elétricos oscilantes em correntes. Note que antena capta todas as freqüências, mas só irá oscilar com amplitude máxima naquela que estiver em ressonância. Para sintonizar uma outra estação de rádio basta mudar a freqüência natural do circuito, alterando-se ou o capacitor ou o indutor.

4. Potência média. Valor eficaz

Como vimos, a corrente assim como a tensão são grandezas que oscilam com freqüência ω, que podem variar desde alguns Hz - como na rede elétrica - até a ordem de MHz como nos circuitos de rádio e TV. Assim, para medirmos os valores instantâneos destas grandezas, necessitamos de instrumentos adequados, tais como os osciloscópios, que respondam com precisão a estas variações. No entanto, em diversas ocasiões não nos interessamos por estes valores instantâneos, mas sim pelo valor médio ou valor eficaz. Antes de definirmos estas grandezas, precisamos conhecer como calcular a média temporal de uma grandeza.

a. Média temporal

Suponha que um veículo percorra uma estrada com velocidade v1 durante um tempo ∆t₁, com velocidade v2 durante um ∆t2, com v3 durante ∆t3 e assim sucessivamente. Para calcular a velocidade média desenvolvida pelo veículo, simplesmente dividimos a distância total percorrida pelo tempo total de percurso.

L L

3 2 1

3 3 2 2 1 1

t t t

t v t v t v v

∆ +

∆ +

∆

∆ +

∆ +

= ∆

Podemos generalizar este conceito para uma grandeza f qualquer. Seja f(t) uma grandeza que varie discretamente com o tempo, ou seja, ela assume um valor constante f1 durante um tempo

∆t1, f2 durante ∆t2 e assim por diante. Se existe N intervalos de tempo, a média temporal de f(t) será:

∑

∑

=

=

∆

∆

∆ = +

∆ +

∆

∆ + +

∆ +

= ∆ _N

1 i

i N

1 i

i i

N 2

1

N N 2

2 1 1

t t f

t t

t

t f t

f t f f

K

K ₍₃₎

Supondo agora que f= f(t) seja uma função contínua no tempo, o valor médio será obtido se fizermos as somatórias da equação (3) para o limite ∆t_i → 0. Se tomarmos a média entre os instantes t_o e t1 então :

∫

=

∫

1

o 1

o t

t t

t

dt dt ) t ( f f

Se f(t) for uma função periódica de período T, costuma-se fazer esta média para N períodos.

Mostra-se que se a função não for amortecida, a média para um intervalo de tempo igual a NT será igual a média tirada em um único período T. Assim, colocando-se t₁ = t_o + T, então:

⁼

∫

dt ) t ( T f f 1

Contudo, se f(t) for uma função trigonométrica como o seno ou coseno, a média será nula, pelo simples fato dessas funções assumirem igualmente em um período, valores positivos e negativos. Por este motivo, costuma-se definir o valor médio quadrático:

f2

f_mq= ou ^{mq =}

∫

dt ) t ( T f f 1

Seja P a potência dissipada em um resistor R em um circuito de corrente contínua. Esse mesmo valor também pode ser encontrado em um circuito de corrente alternada ao calcularmos a potência média P dissipada em R. Chamaremos de corrente eficaz e de tensão eficaz aos valores médios quadráticos da corrente e tensão necessários para produzir aquela potência média em um circuito de corrente alternada.

Assim, ^{ef =}

∫

dt ) t ( T I

I 1 e ^{ef =}

∫

dt ) t T (

ε 1

Suponha que I=I_ocos

(

)

( )

∫

=

T t

t

2 2o ef2

o

o

dt t

cos T I

I 1 . Como

( )

2 dt 1 t

T cos

1 ^{t T}

t 2 o

o

= ϕ

−

∫

2 I_ef= I^o

Para a tensão ε(t)=ε_ocosωt, teremos ^{εef2 =}

∫

dt t T cos

1 , o que nos leva a:

2

ef o

= ε ε

d. Potência Média

A potência fornecida por uma fonte a um circuito é dada por P = ε I . usando e , obtemos a potência instantânea transferida ao circuito:

(

)

=I_ocos t I

t cos )

t

( =ε_o ω ε

(

)

(

)

ω ε

= cos t cos t cos t cos sen t cos t sen )

t (

P oIo oIo 2 . A potência média

















ω ω ϕ

− ω ϕ

ε

=

=^T1

∫

∫

∫

P

T t

t 2

T t

t o

o T

t

t

o

o o

o o

o

Usando o fato de que

( )

2 dt 1 t

T cos

1 ^{t T}

t 2 o

o

= ϕ

−

∫

T t

t o

o

= ω

∫

= cos

P ^{o o} 2

I .

O termo é chamado de fator de potência. Em um circuito resistivo ϕ = 0 ( a corrente e tensão estão em fase) e teremos:

ϕ cos

ef o ef

P o I

2 I

2 =ε

= ε , o que nos remete para a definição de valor eficaz de corrente e tensão.

BIBLIOGRAFIA

1. Reitz J., Milford F., Fundamentos da Teoria Eletromagnética 2. Edminister J., Circuitos Elétricos

3. Purcell E., Curso de Física de Berkeley, vol.2