MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA SÃO PAULO

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Jacinto Ordem

Prova e demonstração em Geometria: uma busca da

organização Matemática e Didática em Livros Didáticos

de 6ª a 8ª séries de Moçambique

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC/SP

Jacinto Ordem

Prova e demonstração em Geometria: uma busca da

organização Matemática e Didática em Livros Didáticos

de 6ª a 8ª séries de Moçambique

Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob orientação do Professor Doutor Saddo Ag Almouloud.

Banca Examinadora

_________________________________

_________________________________

Autorizo, exclusivamente para fins acadêmicos e científicos, a reprodução total ou parcial desta dissertação por processos de fotocopiadoras ou eletrônicos.

A minha mãe Munlohaua Uatanha (in memória)

A meu pai Ordem Niuihe Muassambi (in memória)

A meus irmãos, Rosário Ordem, Rafael Ordem

A meus sobrinhos, Daniel, Julieta, Anita

E a todos os outros familiares do primeiro grau

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GRADECIMENTO

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ESUMO

Este estudo teve por objetivo compreender a abordagem da prova e da demonstração de propriedades de triângulos presentes em livros didáticos da 6ª a 8ª séries de Moçambique. As propriedades, objeto de estudo, são a soma dos ângulos internos, a relação entre um ângulo externo e os internos não adjacentes, bem como a relação de congruência entre triângulos. Desse modo, o estudo pretendeu responder à seguinte questão: Como os livros didáticos em uso nas escolas (de Moçambique) apresentam a organização matemática e didática do objeto triângulo, com enfoque na prova e demonstração. O estudo fundamentou-se nos trabalhos de Nicolas Balacheff sobre os processos de validação de provas, Raymond Duval sobre os registros de representações semióticas e Yves Chevallard sobre a organização praxeológica. A pesquisa teve como

procedimento metodológico a coleta e a análise de dados bibliográficos. Os resultados do estudo mostraram que nos livros didáticos analisados predominam provas pragmáticas. Os autores privilegiam os registros figurais e discursivos em línguas natural e simbólica e apresentam em tais livros tarefas claras com o discurso tecnológico-teórico disponível. Mas, os resultados do estudo mostraram que as conversões não são devidamente exploradas no estudo dos triângulos e a reconfiguração não é aproveitada para produzir argumentos que poderiam fundamentar provas intelectuais.

A

BSTRACT

This study aimed to understand the approach of proof and proving of properties of triangles present in textbooks for the 6th to the 8th series of Mozambique. The properties, the object of study, are the sum of internal angles, the relationship between the external and the internal angle non-adjacent and the relationship of congruence between triangles. Thus, the study sought to answer the following question: How do the texbtbook in use in schools (Mozambique) present the organization of the study about triangles and how they tech this object with a focus on proof and proving. The study was based on the work of Nicolas Balacheff about the processes of validation tests, Raymond Duval works about records of semiotic representations and Yves Chevallard works about the praxeological organization. The research has methodological procedure as the collection and analysis of bibliographic data. The study results showed that in the textbooks examined predominantly pragmatic proof. The authors emphasize the records figural and discursive in natural and symbolic language in these books and they have clear tasks with the technological-theoretical discourse available. But, the study results show that conversions are not adequately explored in the study of triangles and the reconfiguration is not fully exploited to produce arguments that could support intellectual proof.

S

UMÁRIO

INTRODUÇÃO ………. 13

CAPÍTULO 1 ………. 19

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ………. 19

1.1 Dissertações e teses defendidas na PUC/SP ... 19

1.2 Reflexões teóricas sobre argumentação, prova e demonstração ... 29

1.3 Contribuições e importância da revisão bibliográfica para nossa pesquisa .. 39

CAPÍTULO 2 ... 41

PROBLEMÁTICA ... 41

2.1 Uma síntese das reflexões sobre os problemas de ensino e aprendizagem de Geometria com enfoque na prova e demonstração ... 41

2.2 Organização do currículo ... 43

2.3 O ensino da Geometria em escolas moçambicanas (do Ensino Primário e Secundário do 1º Ciclo) com enfoque nas demonstrações das propriedades dos triângulos ... 45

2.4 Descrição do problema, questão da pesquisa e objetivos do trabalho ... 48

2.5 Justificativa de escolha e sua relevância ... 51

2.6 Metodologia e Procedimentos de Pesquisa ... 51

2.7 Referencial Teórico ... 53

2.7.1 Balacheff e os tipos de provas ... 54

2.7.2 Registros de Representações Semióticas (DUVAL, 2003) ... 58

2.7.3 CHEVALLARD: Teoria Antropológica do Didático (TAD) ... 64

CAPÍTULO 3 ... 73

ANÁLISE DOS LIVROS DIDÁTICOS ... 73

3.1 Critérios de escolha de livros para a análise ... 74

3.3 Critérios de Análise dos Livros ... 75 3.4 Análise dos Livros ... 76 3.5 Descrição e análise da organização didática dos livros selecionados com

enfoque nas atividades de introdução ... 79 3.6 Discussões dos resultados da organização didática com enfoque nas

atividades de introdução dos conceitos ... 96 3.7 Descrição e análise da organização didática com enfoque nas atividades

propostas aos alunos para exercício ... 108 3.8 Discussão dos resultados da organização didática com enfoque nas

atividades de resolução de problema propostas aos alunos ... 122

CONSIDERAÇÕES SOBRE OS RESULTADOS DESTA PESQUISA ... 127

L

ISTA DE

F

IGURAS

Figura 1 - Formulação da segunda atividade ... 15 Figura 2 - Transformação de uma representação semiótica ... 60 Figura 3 - Representação de um teorema em três registros de representação ... 61 Figura 4 - Procedimento sugerido para a validação da propriedade da soma dos

ângulos internos num triângulo ... 81 Figura 5 - ilustração da técnica de dobradura para deduzir a propriedade da soma

dos ângulos internos de um triângulo ... 81 Figura 6 - Ilustração figural de como se pode estabelecer a relação entre ângulo

externo com os dois internos não adjacentes ... 85 Figura 7 - Reconfiguração que permite demonstrar a relação entre um ângulo

externo e os dois internos não adjacentes ... 86 Figura 8 - extrato de como é abordado o teorema sobre ângulo externo de um

triângulo ... 86 Figura 9 - Figuras congruentes em um quadriculado ... 87 Figura 10 - Extrato de como foi demonstrado o caso LLL de congruência de

triângulos ... 88 Figura 11 - Demonstração do critério LAL da congruência de triângulos

apresentada em um livro didático de Moçambique ... 90 Figura 12 - apresentação do critério LAL da congruência de triângulos em um livro

didático de Moçambique ... 91 Figura 13 - demonstração do critério ALA da congruência de triângulos em um

livro didático de Moçambique ... 92 Figura 14 - Extrato da demonstração do critério LAL da congruência de triângulos

usada em L4 ... 100 Figura 15 - Figura de suporte para a demonstração do critério LAL da

Figura 17 - Outra reconfiguração que leva à conjectura sobre a soma dos ângulos

internos de um triângulo ... 106 Figura 18 - Figura usada para a aplicação da propriedade da soma das medidas

dos ângulos internos de um triângulo ... 110 Figura 19 - Procedimento de dobradura que os alunos devem fazer para deduzir a

propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo ... 111 Figura 20 - Ilustração da dedução da relação entre um ângulo externo e os

internos não adjacentes de um triângulo ... 111 Figura 21 - Ilustração da aplicação dos critérios de congruência de triângulos para

demonstrar alguma relação geométrica ... 114 Figura 22 - Segunda ilustração da utilidade dos critérios de congruência de

triângulos ... 115 Figura 23 - ilustração de como identificar os elementos correspondentes em

L

ISTA DE

Q

UADROS

Quadro 1 - Diferentes formas de representar uma mesma propriedade ... 63 Quadro 2 - Resultados da análise e descrição da organização didática dos livros.

quanto às atividades introdutórias dos conceitos ... 96 Quadro 3 - Tipo de atividades propostas aos alunos para a exercitação ... 120 Quadro 4 - Natureza de atividades de construção de triângulos propostas nos

livros didáticos ... 123 Quadro 5 - Tipo de atividades relativas à propriedade da soma dos ângulos

internos e/ou externos num triângulo presentes nos livros didáticos ... 124 Quadro 6 - Atividades propostas quanto às condições de existência de um

I

NTRODUÇÃO

Nosso interesse pelas questões relacionadas com a prova e a argumentação advém da experiência em sala de aula como professor de Matemática em Moçambique. No início, acompanhávamos as aulas de nossos professores nas diferentes disciplinas do curso de formação de professores de matemática para o Ensino Secundário dos primeiro e segundo ciclos – que no Brasil, correspondem às últimas séries do 3º ciclo do Ensino Fundamental até Ensino Médio.

Nesse período, constatamos que alguns professores evitavam demonstrações, apresentavam apenas os enunciados dos teoremas seguidos de exercícios de aplicação das regras contidas nas proposições, com raras demonstrações e outros que tinham formação eminentemente em Matemática pura ou aplicada com forte inclinação às demonstrações. No exercício profissional, esta diferença começou a criar certa curiosidade sobre o valor das demonstrações em Matemática e, sobretudo, o real significado das demonstrações no exercício profissional docente do professor de Matemática. Lecionamos uma disciplina denominada “Matemática Escolar”, disciplina de iniciação aos ingressantes no curso de formação de professores da Instituição onde estamos vinculados em Moçambique, cujo objeto de estudo é a matéria que, normalmente, deveria ser do Ensino Fundamental e Médio.

ingressantes, a situação era mais alarmante quando se tratava de Geometria Plana.

As dificuldades dos novos ingressantes eram mais notórias quando o assunto a tratar envolvia pequenas provas e demonstrações que se caracterizavam mais pela manifesta falta de domínio de uma estrutura de demonstração, mas também nossa experiência apoiou-se na Geometria que recebemos na formação de professores na forma de postulados, teoremas, definições e demonstrações sem, porém, um envolvimento muito profundo com a estrutura das demonstrações, embora fosse um momento em que éramos preparados para entrar na sala de aula, como responsáveis pelo processo do ensino da Matemática.

Usiskin (1980, apud Herbst & Miyakawa, 2008, p. 469) salienta que os acadêmicos e professores têm visto o curso de Geometria como um lugar onde os alunos têm oportunidade de encontrar um sistema matemático de postulados, teoremas e definições e, por mais de um século, na Geometria do Ensino Médio os alunos aprendem teoremas e fazem provas e demonstrações.

O outro momento de reflexão e, provavelmente, o que mais nos levou a pensar profundamente nas argumentação, prova e demonstrações (em Geometria) foram as atividades que desenvolvemos nos Cursos “Tópicos de Geometria” e “TIC’s” do Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática da PUC/SP, no segundo semestre de 2008.

Com as atividades desenvolvidas naquele curso, começamos a ter mais consciência de que a Geometria é também um problema de ensino em nosso país, e este assunto merece ser estudado, particularmente, na vertente argumentação, prova e demonstração. Fizemos essa leitura, pela dinâmica como as aulas foram direcionadas, ligando as experiências que vivemos no passado não muito distante, chegamos à conclusão de que precisamos olhar as dificuldades constatadas, como prováveis resultados do tipo de ensino a que eles (e também nós) foram sujeitos. Mas por que enveredar por provas e demonstrações e não outro assunto?

A primeira, está incorporada na ficha “Iniciação à demonstração em Geometria” e sua formulação é a seguinte: Seja ABC um triângulo e seja I o ponto médio de BC. Seja S o simétrico de I em relação à reta AB e seja T o simétrico de I em relação à reta AC.

a) Demonstre que os segmentos SB e TC têm o mesmo comprimento. A segunda atividade, aparece também em um texto de apoio em que se discutiu em uma das aulas da mesma disciplina intitulado “As diferentes apreensões de uma figura na Geometria”, cuja formulação é a seguinte:

Atividade 4

ABCD e NSDM são quadrados. MD = 3 cm, AD = 2 cm e MA = 2 cm. Quanto mede SC?

N S

M D

A

C B

Figura 1 - Formulação da segunda atividade

Fonte: Texto de apoio de Tópicos de Geometria

A princípio, estes problemas intrigaram-nos muito, porque com papel e lápis foi difícil produzir figuras que facilitassem a atividade de demonstrar o teorema dado na atividade 4 e a obter o valor do segmento SC. Mas com apoio de um software de Geometria Dinâmica (Geogebra ou Cabri Geometry II Plus, por exemplo) constatamos ser fácil enxergar o caminho da demonstração do teorema ou achar o valor de SC.

Assim, quando se obtém a medida de SC por meio de um software e se faz o movimento de um dos pontos A ou B, constata-se que a relação entre SC e AM permanece inalterável. Então, começa o questionamento: por que será que permanece constante a congruência entre os segmentos SC e AM?

Percebemos que nossa concentração não estava no uso do software para a apreensão das conjecturas que nos levaram às demonstrações dos dois teoremas, mas, na forma como chegamos às soluções dos dois problemas de prova na sala de aula: foi mediante a apresentação de prováveis argumentos que nos levariam à prova, refutações, nova apresentação de outros argumentos, discussão até a produção completa da demonstração. O episódio fez com que refletíssemos um pouco sobre o que nos intrigava: julgávamos que a produção de uma prova não envolvia tentativa, nem muito menos a procura de elementos que às vezes poderiam ser postos de lado. Tínhamos apenas em mente aquilo que aparece nos livros: tudo bonito, como se o produto final da demonstração não resultasse de um processo de produção que envolve refutações, refinações, inclusive, tentativas e erros, etc.

Com o curso “Tópicos de Geometria”, pudemos constatar que uma das preocupações da Educação no Brasil é o resgate do ensino da Geometria nas escolas, depois de se constatar, em avaliações feitas pelo SAEB/MEC, que o desempenho dos alunos do Ensino Fundamental em Matemática é mais baixo quando se trata de Geometria.

Entre outras causas desse desempenho, destacam-se: grande parte dos professores que hoje está em atividade, teve uma formação precária em Geometria, em razão do Movimento da Matemática Moderna que relegou o ensino da Geometria para segundo plano; a formação inicial de professores no Brasil continua não prestando maior atenção à discussão com seus alunos sobre uma proposta mais eficiente para o ensino da Geometria; a formação continuada que vem sendo implementada, em forma de cursos de reciclagem, também não tem conseguido mudar a prática na sala de aula em relação ao ensino de Geometria (ALMOULOUD; MELLO, 2000).

Como reflexo da identificação dos problemas que o Ensino da Geometria enfrenta no Brasil, constatamos que existem várias pesquisas de Mestrado e/ou Doutorado que têm contribuído para a busca das formas adequadas para abordar a prova e a demonstração no ensino da Geometria.

Tudo isso contribuiu para que começássemos a ver a Geometria, como um campo para pesquisa, já que alguns dos problemas que são levantados relacionados com o ensino da Geometria são similares aos vividos no nível do sistema educacional de Moçambique: as reformas curriculares em Moçambique desde 2004 reconhecem que o sistema de ensino vigente mostra-se inadequado. Em um estudo realizado sobre o desempenho dos alunos do Ensino secundário constatou-se que

[...] os alunos revelam maiores dificuldades na expressão escrita particularmente na produção de textos bem estruturados, com sequencia lógica e sem erros ortográficos fato que se reflete no desempenho dos mesmos nas restantes disciplinas. Os testes revelaram ainda haver problemas na disciplina de Matemática, por exemplo, na geometria, cálculo percentual, trabalho com radicais e em exercícios que exigem cálculo com números decimais ou notação decimal (INDE e MEC, 2007, p. 6, grifo nosso).

Nosso trabalho tem como objetivo descrever e analisar a organização matemática e didática do objeto triângulo com enfoque na prova e demonstração de algumas de suas propriedades.

Para esse estudo, tomamos como referencial teórico a Teoria Antropológica do Didático de Chevallard (1999) a Teoria dos Registros de representação Semiótica de Duval e os tipos de prova propostos por Balacheff.

A metodologia adotada apoiou-se na pesquisa bibliográfica, tendo como fonte livros didáticos de Matemática do sistema educacional de Moçambique e que se encontram em uso desde 1986.

O trabalho está estruturado de seguinte modo:

No primeiro capítulo, fazemos revisão da bibliografia para delinear o problema de pesquisa.

demonstração; apresentamos a questão de pesquisa, bem como os objetivos e os procedimentos metodológicos da pesquisa; e também o referencial teórico que sustenta as análises dos resultados.

C

APÍTULO

1

REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

As pesquisas voltadas à problemática de ensino e aprendizagem da Geometria, particularmente, da Geometria dedutiva são várias. De forma sucinta, passamos a apresentar algumas dessas pesquisas, particularmente, as que foram realizadas dentro da instituição onde estudamos.

1.1 Dissertações e teses defendidas na PUC/SP

1- Mello (1999)

A pesquisa de Mello incidiu sobre o ensino e aprendizagem da técnica de demonstração, com base na organização e aplicação de uma sequência didática a um grupo de alunos da 8ª série do Ensino Fundamental de um colégio da rede particular de ensino, da cidade de Mogi das Cruzes (SP). Em seu trabalho, a autora inspirou-se nos princípios da Engenharia Didática como metodologia de pesquisa e teve como fundamentação teórica os trabalhos de Balacheff sobre Explicação, Prova e Demonstração; Raymond Duval sobre os registros de representação semiótica, o processo de aprendizagem da Geometria e demonstração e Brousseau sobre Contrato Didático, Erros e Obstáculos.

tratam da demonstração nem apresentam exercícios que exijam provas ou demonstração, nem mesmo fornecem os primeiros passos para o aprendizado da demonstração. Mesmo para os livros que tratam da prova e demonstração em Geometria, Mello (1999) afirma que não fazem distinção entre definição e teorema, não apresentam um esquema organizado de demonstração nem ferramentas de demonstração que permitam que mediante o preenchimento de espaços vazios o aluno possa completá-los e obter uma redação da demonstração.

Em relação à proposta curricular, Mello (1999, p. 72) afirma que:

A proposta curricular sugere que o aluno saiba demonstrar as propriedades relativas a triângulos e quadriláteros, teorema de Tales e teorema de Pitágoras, contudo não explica para o professor como desenvolver esta habilidade no aluno.

No estudo preliminar sobre a proficiência dos alunos em assuntos de Geometria das 7ª e 8ª séries, Mello (1999) conclui que os alunos apresentaram fraco desempenho quanto aos conceitos e habilidades geométricas. Em face dos resultados do estudo com os alunos, a pesquisadora levantou a seguinte questão, “As escolhas didáticas dos professores, quando ensinam geometria, favorecem a apropriação dos conceitos e habilidades geométricas?” como norteadora de seu estudo.

A autora adotou a resolução de problemas, como estratégia para a aprendizagem da técnica de demonstração. As atividades da sequência foram experimentadas em uma turma de 14 alunos da 8ª série do Ensino Fundamental. A concepção da aprendizagem da técnica da demonstração baseou-se na ideia de que, por meio da discussão, distinção entre definição e propriedades, associação dos registros de representação e estabelecimento de um conceito usando uma definição ou uma propriedade, o aluno vai aprender a técnica de demonstração.

Mas, a pesquisadora afirma que no teste final apenas dois alunos conseguiram elaborar a redação da demonstração com total sucesso e os restantes obtiveram um êxito parcial. A autora destaca ainda que:

− mesmo reconhecendo o estatuto de definição e teorema, conseguindo reconhecer a hipótese e a conclusão de um teorema, os alunos continuavam apresentando maiores dificuldades na mudança de registro da linguagem da figura para a linguagem algébrica; e o traçado de figuras sobrepostas também constituía uma dificuldade para eles;

− a mudança do tratamento de um registro de representação, de uma mesma propriedade (oferecida inicialmente na linguagem natural) para duas representações distintas no esquema (linguagem algébrica), era uma grande dificuldade para os alunos;

− os alunos apresentavam dificuldades na conversão e coordenação dos registros de representação, bem como na compreensão do tratamento interno a um registro.

Mesmo assim, a autora afirma que os alunos avançaram em seus conhecimentos em Geometria uma vez que passaram a reconhecer

− a figura como âncora dos entes matemáticos dados nas hipóteses;

− a utilização dos registros de representação;

− a ordenação lógica das informações que compõem a prova; − o estatuto da definição e do teorema;

− a importância da demonstração para explicar logicamente as propriedades da geometria;

− a importância da figura geométrica como apoio “na economia de memória” durante o desenvolvimento da demonstração. (MELLO, 1999, p. 166)

2- Carlovich (2005)

Carlovich (2005) analisa o ensino da Geometria dedutiva nos livros didáticos dos 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental, mais utilizados nas escolas públicas do Estado de São Paulo, desde a década de 1990 até a de 2000. A

marco a implementação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), em 1995. Assim, definiu para sua pesquisa, o início dos anos 1990 – como primeiro período – e o início dos anos 2000 – como segundo período. Com relação a esses dois períodos, a autora procurou perceber nos livros de cada época, como os autores desses livros acompanhavam as discussões da Didática da Matemática no que se refere ao ensino e aprendizagem da Geometria dedutiva e qual diferença encontraria nessas coleções.

A autora definiu duas questões para sua pesquisa:

Em que medida os livros didáticos paulistas de 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental acompanharam discussões da Didática da Matemática sobre o ensino da Geometria dedutiva nos períodos anterior e posterior à implementação do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD) para este nível de ensino, em 1995?

O que distingue os livros didáticos paulistas de 3º e 4º ciclos do Ensino Fundamental do período anterior daqueles do período posterior à implementação do PNLD (1995) quanto à incorporação dos resultados de pesquisas sobre o ensino-aprendizagem da Matemática, mais especificamente sobre o ensino da Geometria dedutiva? (CARLOVICH, 2005, p. 35)

Carlovich (2005) utilizou como procedimento metodológico a pesquisa documental e usou como referencial teórico os trabalhos de Chervel (1990) sobre a história das disciplinas e a noção de “vulgata escolar”; a classificação das Geometrias proposta por Parsysz (2000) e os trabalhos de Chevallard (1999) sobre a Organização Praxeológica.

Da pesquisa, Carlovich (2005) conclui que:

• as coleções analisadas dos anos 1990 forneciam indícios de uma abordagem para a Geometria dedutiva em que as demonstrações são apresentadas como produto, cabendo ao aluno aplicar o raciocínio na resolução de exercícios.

3- Gouvêa (1998).

Em sua dissertação de Mestrado, Gouvêa (1998) procurou resgatar o ensino e aprendizagem da Geometria. O estudo teve como motivação os resultados do Sistema de Avaliação do Rendimento Escolar (SARESP) de 1996, implantado pela Secretaria de Estado da Educação de São Paulo, pois os alunos matriculados naquele ano na 7ª série do Ensino Fundamental de todas as escolas da rede estadual foram avaliados nos componentes curriculares de Matemática. Constatou-se que o desempenho dos alunos foi baixo. A pesquisa teve a seguinte hipótese: os professores quando ensinam, não levam em consideração as exigências em relação ao ensino e aprendizagem da demonstração que, a partir da 7ª série, prevê que o aluno raciocine sobre conceitos e não mais sobre figuras, ou seja, que inicie a provar, a justificar e a demonstrar para tornar indiscutível certo resultado. Em face da hipótese levantada, Gouvêa (1998) desenvolveu uma sequência didática com um grupo de 12 professores da rede estadual em cinco sessões de 4 horas cada que ocorreram aos sábados.

No pré-teste realizado, antes da aplicação da sequência, a autora constatou que a metade dos professores verificava, por meio de exemplo, a veracidade de uma propriedade matemática e, para casos em que se exibia figura, deixavam-se levar por evidências falsas em lugar de se servirem da demonstração para verificá-la. Mas, em pós-teste realizado após a sequência didática, a pesquisadora observou certa evolução dos professores quanto à visão sobre a Geometria dedutiva, mas, ainda havia uma certa resistência por parte dos docentes para organizar um texto com um desenvolvimento dedutivo pautado nas propriedades já demonstradas.

Conforme refere a autora, o estudo fundamentou-se em Balacheff (1987) que considera a conjectura e a prova como estágios necessários dos processos pessoais relevantes na resolução de problemas e defende que o aluno não tem maturidade lógica para experimentar ou se conscientizar da necessidade das provas: é preciso ajudá-lo a sentir a necessidade de usar essa ferramenta baseando em situações-problemáticas.

processo de descoberta indutiva era negligenciado nos livros que foram analisados, como podemos perceber quando diz:

Nesses livros, a “dedutividade”, que está presente nos teoremas de Pitágoras e de Tales, não pode ser reinventada pelo aluno, porque tais demonstrações estão impostas aos alunos, os quais vêem somente o resultado final da descoberta matemática e devem assimilá-las para uma posterior repetição, impossibilitando-lhes a visão dos processos que as produziram. (GOUVÊA, 1998, p. 190)

No tópico sobre “livro didático”, Gouvêa (1998) fez o estudo, dividindo-o em períodos históricos relativamente à Matemática Escolar.

O primeiro período, “antes” do advento do movimento da Matemática Moderna, momento marcado por uma focalização excessiva dos conteúdos matemáticos. Segundo a autora, os livros didáticos que ela consultou, costumam conter todas as demonstrações organizadas; os teoremas eram numerados; os cursos de Geometria apresentavam os conceitos primitivos: ponto, reta e plano; discutiam e exemplificavam as definições de alguns conceitos indispensáveis a um sistema dedutivo: proposições, postulados, teoremas, hipóteses, teses e demonstração e, finalmente, propunham exercícios referentes aos assuntos estudados.

O segundo período foi da vigência do movimento Matemática Moderna em que se defendeu uma Matemática com ênfase na atividade do aluno; buscou-se a linguagem dos conjuntos, como a linguagem unificadora de toda a Matemática ensinada e, a organização das demonstrações “em duas colunas”- na primeira coluna, para apresentar os argumentos que se usam na demonstração e na segunda, as respectivas justificações. A característica dominante nos livros didáticos desse período foi dar ênfase maior aos conjuntos, às estruturas e aos morfismos.

“somente as principais demonstrações, as mais usadas, quais sejam, as de Pitágoras e Tales”.

4- Tojo (2006)

Esta autora teve por objetivo analisar livros didáticos sobre a abordagem proposta para o ensino de alguns tópicos da Geometria. Tojo (2006) servindo-se da organização praxeológica de Chevallard (1988), centrou-se nas tarefas propostas, nas técnicas, tecnologias; nos discursos teóricos envolvidos no desenvolvimento do tema congruência e na organização de conteúdos em três livros didáticos recomendados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD).

Nos resultados da análise, a autora destaca que:

• No livro “Educação Matemática” a abordagem da congruência de figuras é com base nas transformações geométricas; há valorização de atividades empíricas e de manipulação, o que faz com que a construção do conceito de congruência pelo aluno seja pela experiência. Afirma que não existe rigor no tratamento matemático, e os exercícios são para justificar em língua natural ou construir triângulos congruentes.

• No livro “Matemática é tudo”, a abordagem da congruência de triângulos foi feita na base de construções, servindo-se de régua e transferidor. São destacados os enunciados das propriedades ou teoremas; há rigor na apresentação dos conteúdos, no uso dos termos e símbolos; constam exercícios de demonstração e há mobilização de conceitos anteriores nas atividades de congruência; não usa a linguagem das transformações isométricas para tratar da congruência.

5- Pietropaolo (2005)

Pietropaolo (2005) investigou a necessidade e a acessibilidade da implementação de provas e demonstrações nos currículos de Matemática da Educação Básica, bem como as implicações que essa inovação traz aos currículos de formação inicial de professores. O autor utilizou como metodologia a pesquisa bibliográfica e documental e a realização de entrevistas com pesquisadores em Educação Matemática e com professores da Educação Básica, cuja prática profissional incluía algum tipo de trabalho envolvendo provas.

Assim afirma que, em outros países, há muita pesquisa envolvendo provas na Educação Básica, mas, segundo seu ponto de vista, não parecem estar alicerçadas em uma teoria consistente.

Os resultados de sua pesquisa mostram que os entrevistados eram favoráveis à inclusão das provas nas aulas de Matemática, desde o Ensino Fundamental, mas, outros defendiam um trabalho mais voltado às verificações empíricas para se chegar à formalização no Ensino Médio. O autor vê “a prova como um conteúdo e como recurso pedagógico bastante rico nas aulas de Matemática do Ensino Fundamental e Médio, desde que se admita um sentido mais amplo para essa palavra.”

Para o autor:

Não caberia a simples reprodução – pelo aluno ou professor – das provas presentes nos livros, mas sim o “fazer matemática” em sala de aula, envolvendo assim, experimentações conjecturas, argumentações. Mas, para tal, o professor precisaria ter uma formação que levasse em conta esse princípio. (PIETROPAOLO, 2005, p. 9-10).

Um dos aspectos que aborda em seu trabalho é a discussão sobre o significado de prova e demonstração à luz de alguns pesquisadores, como Godino e Récio, (apud PETROPAOLO, 2005); Reid, (apud PIETROPAOLO 2005) e outros.

esses pesquisadores distinguem as características de prova em diferentes contextos institucionais: no cotidiano, nas ciências empíricas, na Matemática escolar, na Matemática profissional, em lógica e em alicerces da Matemática. Mas, salienta que, em todos eles, há algo em comum: “a procura pela verificação de afirmações por meio de argumentos, ainda que estes possam ser articulados de maneiras distintas e por procedimentos diferentes”.

Afirma que, apesar de se usar o termo demonstração como sinônimo de prova, sobretudo em Matemática, alguns educadores fazem distinção entre os dois termos. Para tal recorre ao dicionário para nos apresentar o seguinte:

Prova (gr. τεχµηριον; lat. Pobatio; ingl. Proof; franc. Preuve; al. Beweis) Um procedimento próprio para estabelecer um saber, isto é um conhecimento válido. Constitui P. todo procedimento desse gênero, qualquer que seja sua natureza: o mostrar ad óculos uma coisa ou um fato, o exibir de um documento, o trazer um testemunho, o efetuar uma indução são P. como são P. as demonstrações da matemática e da lógica. O termo é, portanto, mais extenso do que demonstração (v): as demonstrações são provas, mas nem todas as provas são demonstrações (ABBAGNANO 1982, apud PIETROPAOLO, 2005, p. 49).

Pietropaolo (2005, p. 49) afirma que no âmbito da Matemática, prova e demonstração são, em geral, sinônimos e não precisam de adjetivação: “se uma

prova foi plenamente aceita pela comunidade de matemáticos, então ela teria o

status de rigorosa [...]”. O próprio autor em seu trabalho de pesquisa usa os dois

termos prova e demonstração como sinônimos:

É importante assinalar que neste capítulo utilizaremos salvo indicação em contrário, as palavras prova e demonstração com os significados expressos no parágrafo anterior, ou seja, como sinônimos, uma vez que vamos recorrer a argumentos elaborados por matemáticos, não necessariamente professores. (PIETROPAOLO, 2005, p. 49).

A respeito das atuais tendências no ensino das provas matemáticas, Pietropaolo (2005) afirma:

trabalho com as provas empíricas. Todavia, não assumem claramente se se deve chegar às provas formais na Educação Básica, contrariamente à posição dos antigos currículos brasileiros e a dos atuais de outros países como França e Inglaterra. (PIETROPAOLO, 2005, p. 209).

Pietropaolo (2005, p. 210) defende que “o ensino da prova deve ser desenvolvido como processo de questionamento, de conjecturas, de contra-exemplos, de refutações, de aplicação e de comunicação.” Baseando-se nos resultados de campo com professores da Educação Básica e de pesquisadores em Educação Matemática participantes da pesquisa, o autor defende um ensino da prova com enfoque heurístico, ou seja, um tratamento que encare a demonstração, como argumento convincente e como meio de comunicação entre os alunos, tratamento esse das demonstrações que foge de uma apresentação meramente dogmática do conteúdo.

Ainda o autor aponta (p. 210) que os educadores matemáticos que participaram de sua pesquisa defendem que o trabalho com provas deve ser um processo de busca, de questionamento, de conjecturas, de contraexemplos, de refutação, de aplicação e comunicação, com sentido mais largo que não inclui necessariamente o status de rigorosa. Até os professores da Educação Básica

chegaram a afirmar “[...] esse processo deveria começar pela informalidade, depois passar pelas provas “semi-formais” antes de se propor as “formais””. (PIETROPAOLO 2005, p. 212). A corroborar sua ideia Pietropaolo afirma:

[...] um dos critérios de análise de livros didáticos do plano nacional do livro didático do MEC é justamente verificar a existência ou não de articulação do trabalho com as verificações empíricas de teoremas e as respectivas demonstrações. Desse modo, existem no mercado brasileiro algumas publicações propondo caminhos para a construção de inferência e dedução matemática desde o Ensino Fundamental. (PIETROPAOLO, 2005, p. 212).

O autor não descarta a possibilidade de se discutir com os alunos algumas demonstrações rigorosas, defendendo que deve haver certa discussão nesse sentido sem, porém, ser o enfoque das atividades da prova no Ensino Básico.

quer dizer, até que ponto essas reflexões refletem-se na realidade educacional de Moçambique? Mas dadas as dificuldades em levar a cabo a pesquisa de campo neste momento, poderá ser útil como primeiro passo, pesquisar as propostas de ensino da Geometria em livros didáticos utilizados em escolas moçambicanas, sobretudo como por exemplo, as propriedades e teoremas de objetos geométricos, como os triângulos, são abordados.

1.2 Reflexões teóricas sobre argumentação, prova e

demonstração

Investigações voltadas à problemática do ensino e aprendizagem da argumentação, prova e demonstração em Matemática têm conquistado espaço atualmente no seio da Comunidade da Educação Matemática. Essas pesquisas, tanto se concentram no prognóstico da cognição individual dos alunos como nas competências em produzir provas, no ensino e aprendizagem da prova matemática nas aulas regulares de Matemática, bem como na análise de material de ensino (HEINZE et al., 2008, p. 443).

Como salientam Mariotti e Balacheff:

O papel e a importância atribuída à argumentação e prova na última década levou a uma enorme variedade de abordagens de investigação nesta área. A vivacidade nesta área é testemunhada pelo número de contribuições apresentadas em conferências internacionais, dos artigos publicados em principais revistas especializadas e em dissertações e teses de doutorado abordando o assunto das demonstrações (MARIOTTI; BALACHEFF, 2008, p. 341)

Conforme cita a autora, o próprio ato de conceber uma demonstração contribui para o desenvolvimento da Matemática. Provas e demonstrações produzem novos conhecimentos matemáticos, novas relações contextuais e novos métodos de resolver os problemas.

O ensino e a aprendizagem da argumentação, da prova e da demonstração vêm sendo objeto de muita discussão entre pesquisadores, sobretudo, quanto ao papel que a atividade deveria desempenhar na Educação Matemática (HANNA, 2000), e o tipo de enfoque que se poderia dar em sala de aula (HEINZE, 2004). Mas, para Hanna (2000), o maior foco de conflito nas discussões sobre o tipo de enfoque a dar à atividade das demonstrações está relacionado à visão do movimento dos anos 1950 e 1960, em que se defendia o ensino da Matemática voltado ao rigor, portanto, com a Matemática escolar carregada de muito rigor nas demonstrações.

Boero (1996 apud ALMOULOUD, 2007a) na pesquisa que realizou com alunos da 8ª série, cujo problema consistia em verificar se a maioria dos alunos daquele nível de escolaridade poderia produzir teoremas (conjecturas e provas) se colocados em condições ideais para tal, o autor conclui que isso é possível desde que: (1) durante a produção da conjectura, o aluno trabalhe sua hipótese por meio de uma atividade argumentativa entremeada de justificações da plausibilidade de suas escolhas; (2) se durante a etapa seguinte da prova, o aluno organiza, por meio de relações construídas de maneira coerente, algumas justificativas (“argumentos”) produzidas durante a construção de acordo com uma corrente lógica. (ALMOULOUD, 2007a, p. 3).

Heinze (2004), em uma pesquisa empírica na qual o estudo era norteado por três questões, a saber: (1) como as provas de Matemática estavam sendo ensinadas nas aulas na Alemanha; (2) Que aspectos eram enfatizados pelos professores nesse processo de prova, e, se (3) existiriam lacunas no processo de prova ou elementos que são menos enfatizados, propõe um modelo para ser

implementado em sala de aula para a produção das demonstrações que considera adequado. O modelo proposto comporta as seguintes fases:

Fase 1: exploração da situação-problema, geração de uma conjectura e a identificação dos diferentes tipos de argumentos para a plausibilidade dessa conjectura.

O autor considera essa fase: bem-tratada, se todos os elementos foram apresentados pelos estudantes; tratada, se alguns dos elementos forem dados pelo professor ou a fase é muito curta; tratada-mal, se for o professor quem realiza a primeira fase, e não tratada, para os outros casos.

Fase 2: consiste em uma formulação precisa das conjecturas, de acordo com as convenções textuais compartilhadas. Considera: bem-tratada: se os alunos formularam a conjectura (eventualmente, corrigidos pelo professor);

tratada: se apenas for o professor quem dá a formulação das conjecturas; mal-tratada: se houver erros na versão final das conjecturas, e, não tratada: não há formulação da proposição a ser provada.

Fase 3: é de novo uma fase exploratória, baseada nas conjecturas formuladas, com o objetivo de identificar argumentos adequados à conjectura e ao planejamento de uma estratégia de prova. Para esta fase, o autor distingue quatro subcategorias:

(1) Referência aos pressupostos, (2) a investigação das hipóteses, (3) coleta de informações e (4) a produção de uma ideia de prova.

observadas; tratada-mal: háapenas uma dessas subcategorias; não tratada: em todos os outros casos.

Fase 4: com base no esquema montado para a prova e selecionados os argumentos da fase 3, segue-se a combinação desses argumentos em uma cadeia dedutiva que constitui um esboço da prova final. Esta fase pode ser realizada apenas verbalmente ou em conexão com algumas observações escritas. É classificada: bem-tratada: estudantes (apoiados pelo professor) dão contribuições consubstanciais; tratada: é apresentada na maior parte ou exclusivamente pelo professor; tratada-mal: há grandes lacunas ou outras deficiências na cadeia dedutiva; não tratado: em todos os outros casos.

Fase 5: o autor considera como sendo a última fase, para o processo de provar em Matemática escolar. Aqui, a cadeia de argumentos da fase 4 é escrita, segundo as normas combinadas na respectiva sala de aula de Matemática. O autor destaca ser importante que esta fase dê uma visão retrospectiva do processo. É classificada em: bem-tratada: todos os passos são escritos sequencialmente com uma retrospectiva sumária do processo da prova; tratada:

os mais importantes passos são escritos sequencialmente e há um retrospectivo resumo; mal-tratada: há apenas alguns argumentos escritos, mas não o retrospectivo resumo; não tratados: em todos os outros casos.

Para seguir o modelo, é preciso medir o tempo gasto para as diferentes fases e determinar a qualidade de cada fase com relação às categorias descritas no modelo, conforme salienta o autor.

Mas também há outra discussão que envolve pesquisadores em Educação Matemática, que é a relação entre argumentação e processo de aprendizagem da produção de uma demonstração.

Um argumento pode ser definido como uma sequência de declarações matemáticas que visam a convencer, enquanto argumentação pode ser considerada como um processo no qual uma lógica matemática conectando discurso é desenvolvido. (VINCENT et al., 2005, p. 281. Tradução nossa).

Douek (2009) considera o argumento como razão ou razões oferecidas a

favor ou contra uma proposição, parecer ou medida no qual se incluem argumentos verbais, dados numéricos, desenhos, etc. A argumentação consiste

em um ou mais argumentos logicamente ligados. Para a autora a prova em si é uma argumentação. Douek (2009) considera o processo de produção da prova, como uma atividade cognitiva e socioculturalmente situada que envolve quatro modos de raciocínio, a saber:

1. Exploração heurística – ocorre quando alguém tenta interpretar uma proposição ou produzir uma proposição ou um exemplo;

2. Organização do raciocínio tornando explícito o fio de raciocínio que conecta as proposições – tenta-se perceber se a proposição é pertinente, buscando-se, desse modo, uma ligação coerente para convencer o interlocutor ou tentar compreender a proposição, ou o raciocínio. As ligações podem ser razões teóricas de validade. Esse raciocínio está, normalmente, aberto a diferentes caminhos e essa organização tem em vista a busca de argumentos parciais ou toda a argumentação destinada à produção da prova;

3. Produção de um texto que segue normas dedutivas da Matemática. Isso significa que depois que as ideias da demonstração sejam trazidas à luz, elas devem ser organizadas em um raciocínio dedutivo; e

4. Estruturação formal do texto para aproximar uma derivação formal. Segundo a autora, este modelo pode não ser seguido na totalidade do contexto escolar.

As etapas de produção de uma demonstração em aula de Matemática propostas por Douek (2009), sobretudo, por Heinze (2004) são de extrema importância para nossa pesquisa porque nossa ideia não deve ser apenas uma mera distinção semântica entre prova e demonstração, e sim, uma distinção entre o processo da constituição de uma prova a que chamamos de demonstração e o produto final dessa atividade a que chamamos de prova.

Segundo Montoro (2007), historicamente, a Matemática deixou de estar relacionada apenas a problemas práticos, para ser uma ciência dedutiva que trabalha com definições e conceitos, relações entre os conceitos e suas propriedades. A demonstração é o modo de argumentação aceito na comunidade matemática para confirmar essas propriedades. Para a autora, um aspecto que distingue a demonstração matemática de uma argumentação, em geral, é a necessidade de (a demonstração matemática) existir em relação a uma axiomática explícita. Desse modo, segundo a autora, para os matemáticos não haveria diferença entre demonstrar ou justificar uma afirmação, ambos os termos significariam deduzir a validade, mediante raciocínios logicamente válidos da axiomática pertinente.

O termo demonstração utiliza-se em âmbitos sociais e profissionais mais diversos. Um dos significados pode ser “realizar a ação efetiva que evidencia aquilo que se pretende ver” (MONTORO, 2007, p. 1), por exemplo, o movimento demonstra-se andando.

Montoro (2007, p. 1) salienta que, por outro lado, a argumentação vem-se convertendo em uma ferramenta muito utilizada na construção de aprendizados em ciências, em geral. Entendendo-se por argumentação, qualquer discurso que se emprega para tornar algo claro, deduzir como consequência natural, um raciocínio que se emprega para convencer alguém daquilo que se afirma ou nega. Outro termo que a autora salienta, como presente na Educação Matemática é a

justificação, como significado de prova convincente de algo e justificar, como provar algo com razões convincentes, testemunhas ou documentos, quer dizer,

Não há um consenso entre os pesquisadores da Educação Matemática sobre o real significado com que se usam os termos prova, demonstração e argumentação. (Godino, 1997; Reid, 2005; Pietropaolo, 2005; Balacheff 2008).

A respeito da importância da argumentação para a proficiência na produção de demonstrações, Vincente et al. (2005) defendem que, durante a produção das conjecturas, o aluno trabalha progressivamente sua declaração mediante uma atividade argumentativa funcionalmente entremeada com justificações da plausibilidade de suas escolhas. Na fase da produção da prova, o aluno liga-se ao processo de uma forma coerente, organizando algumas das justificações ('arguments'), previamente produzidas na construção do esquema da cadeia lógica.

A relação entre argumentação e produção de uma prova na perspectiva cognitiva foi detalhadamente analisada por Pedemonte (2007). Em sua tese de doutorado cita que o desenvolvimento da ideia de unidade cognitiva é definido

como uma espécie de continuidade entre a produção de conjecturas e o processo de produção de uma prova.

Pedemonte (2007) mostra que uma prova é mais acessível para os alunos se uma atividade de argumentação for desenvolvida previamente para produção de uma conjectura. Segundo a autora, esta argumentação pode ser utilizada pelos alunos na construção de uma demonstração, mediante uma organização feita baseada na lógica argumentativa previamente produzida.

Boero et al. (1996 apud PEDEMONTE, 2007), também, defendem que o raciocínio que ocorre durante a argumentação desempenha um papel crucial na produção da prova.

Para Balacheff (1991 apud CABASSUT, 2005) argumentação e demonstração não são da mesma natureza, pois o objetivo da argumentação é obter o acordo dos parceiros da intenção, mas, não, em primeiro lugar, para estabelecer a verdade de alguma declaração.

Matemática (demonstração) que deve ter uma relação com um sistema de axiomas e a argumentação que implica a liberdade de escolha da forma de convencer.

Alguns autores, sem esquecer as diferenças entre argumentação e prova, defendem que o foco deve ser as analogias que existem entre os dois processos e as possíveis implicações didáticas (ANTONINI; MARIOTTI, 2009). Na verdade, concordamos quando Douek (2009) afirma que “para fins de ensino e aprendizagem, a argumentação é um meio frutuoso para controlar a validade do raciocínio”. A autora defende que as atividades exploratórias e a justificação devem ser introduzidas nas fases iniciais do processo de ensino e aprendizagem da prova.

Entendemos o esquema que Douek (2009) apresenta como ferramenta metodológica para o processo de ensino e aprendizagem das demonstrações, como uma adaptação, para o ensino, do modelo de Boero (1999, apud HEINZE et al., 2008). O modelo distingue diferentes fases e dá uma visão da combinação de passos exploratórios empírico-indutivos e hipotético-dedutivos durante a produção de uma prova.

Conforme aponta Boero (1999 apud HEINZE et al., 2008), a primeira fase, é a produção de uma conjectura. Isso inclui a exploração de um problema que conduz a uma conjectura, bem como a identificação de argumentos para sustentar a prova. A segunda fase compreende a formulação precisa da proposição; a terceira fase combina a exploração das conjecturas, a identificação dos argumentos matemáticos para a sua validação e a produção aproximada da prova.

Heinze et al. (2008) afirmam que o modelo proposto para a produção de uma demonstração em que parte do processo não é apresentada ao público, mostra-se apenas a parte limpa e ordenada, dá apenas uma representação incompleta das atividades realizadas durante o processo da prova, não reflete o processo de solução, mas, simplesmente, mostra o produto. Heinze (2004) salienta que os matemáticos sabem, por meio de seu próprio trabalho, que o processo de produção de uma prova e a prova como um produto desse processo são distintos.

Às vezes o processo de provar um teorema pode demorar anos e até pode incluir várias abordagens que podem ou não conduzir a um sucesso. Em geral nenhum desses esforços pode ser visto no produto final, que está na prova escrita formalmente. Por conseguinte, para o ensino e a aprendizagem das demonstrações não é suficiente mostrar apenas o produto. É mais importante salientar o processo de prova. [...] (HEINZE, 2004, p. 42 tradução e o grifo é nosso).

Somos de opinião que uma simples apresentação das demonstrações em livros didáticos sem questões que levem os alunos e os professores a refletirem sobre o processo complexo da constituição de uma demonstração, terá provavelmente pouco sucesso no desenvolvimento das competências dos alunos e dos próprios professores na construção de uma demonstração. Tal como mostram os precursores da problemática do processo de ensino e de aprendizagem das demonstrações como Pólya (1954 apud MONTORO, 2007, p. 2), Lakatos (1976, apud MONTORO, 2007), Schoendfeld (1992, apud MONTORO, 2007), é preciso destacar que a denominada “demonstração final” de um teorema é o culminar de um processo, a apresentação limpa e ordenada de uma larga investigação nunca isenta de intuição, provas, argumentos, justificações, erros, refinamentos, etc. É isto que se deveria privilegiar nos livros didáticos: estimular que os utilizadores pautem por mais atividades de cunho exploratório que estimulam a exploração de propriedades que levem à formulação de conjecturas seguidas de sua validação por meio de demonstrações do que simples apresentação das provas já acabadas.

sistemática, é conveniente considerar toda a série de funções que desempenha a prática de uma demonstração. A autora afirma que, em sala de aula, seria de esperar que uma demonstração refletisse todas as funções, mas que elas não são todas necessárias para a aprendizagem da Matemática no mesmo nível de escolaridade. Manin (1977 apud HANNA, 2000) defende que uma melhor demonstração é a que também ajuda a compreender o significado do teorema ou a proposição a ser provado: a ver não só a verdade, mas também por que é verdade. Ainda segundo a autora a prova pode mostrar a necessidade de uma melhor definição ou um rendimento algorítmico útil. Ela pode contribuir para a sistematização e comunicação de resultados ou para a formalização de um corpo de conhecimentos matemáticos. A autora apresenta a lista das funções da prova e demonstração segundo Bell (1976, apud HANNA, 2008):

1- Verificação (preocupação com a verdade de um enunciado) 2- Explicação (fornecimento das razões por que é verdade)

3- Sistematização (organização de diversos resultados num sistema dedutivo de axiomas, principais conceitos e teoremas) 4- Descoberta (descoberta ou invenção de novos resultados) 5- Comunicação (transmissão de conhecimento matemático) 6- Construção de uma teoria empírica

7- Exploração do significado de uma definição ou as consequências de um pressuposto

8- Incorporação de um fato conhecido em um novo quadro e sua visualização a partir de uma nova perspectiva. (HANNA, 2000, p. 8, tradução nossa).

1.3 Contribuições e importância da revisão bibliográfica para

nossa pesquisa

As pesquisas a respeito do ensino e aprendizagem da argumentação, provas e demonstrações na educação contribuirão no que se refere às diferentes perspectivas de ensino e aprendizagem da demonstração na Educação Matemática. Primeiro, ajudaram a começar a formar nossa própria concepção de prova e demonstração com base nos diversos pontos de vista avançados pelos pesquisadores e a direcionar nossa pesquisa.

A pesquisa de Carlovich (2005), por exemplo, foi para nós um modelo de análise de conteúdos das coleções analisadas e de clareza de como elaborar os critérios de análise de livros didáticos.

A pesquisa de Pietropaolo (2005) nos trouxe informações sobre as provas e as demonstrações sob dois pontos de vista diferentes: o dos professores e o do currículo da Educação Básica. O trabalho nos revelou a necessidade da ampliação do significado da ação de provar no contexto educacional. Apesar de não ter avançado com propostas concretas sobre o processo de produção da prova em uma sala de aula como fez Heinze (2004), o trabalho de Pietropaolo nos permitiu começar a imaginar as primeiras ideias de como a produção de uma demonstração em uma sala de aula poderia ser. Por conseguinte, como a produção de livro didático de Matemática poderia contemplar esse conteúdo, visto que algumas pesquisas mostram que o livro didático exerce uma forte influência no professor em sua forma de dar aulas. Além disso, Pietropaolo (2005), ao analisar as concepções dos professores, mostrou a necessidade de mudanças curriculares nos cursos de graduação, já que professores e pesquisadores mencionaram durante a pesquisa a importância de se viver na graduação experiências de prova e demonstração similares àquelas que vão ensinar aos alunos.

C

APÍTULO

2

PROBLEMÁTICA

2.1 Uma síntese das reflexões sobre os problemas de ensino e

aprendizagem de Geometria com enfoque na prova e

demonstração

A Geometria é um ramo importante da Matemática, tanto como objeto de estudo como instrumento para outras áreas, mas várias pesquisas apontam a Geometria como um dos problemas de ensino e aprendizagem (ALMOULOUD, 2008).

Tradicionalmente, o curso de Geometria também é visto como o primeiro momento em que os alunos têm oportunidade de encontrar um sistema matemático de postulados, teoremas e definições e, por mais de um século, a Geometria vem sendo considerada o curso ideal para os alunos aprenderem a fazer provas e demonstrações. (USKIN 1980 apud HERBST; MIYAKAWA, 2008, p. 469). Mas, as demonstrações em Matemática constituem uma tarefa cognitivamente complexa (MONTORO, 2007), e é um dos temas mais difíceis para os alunos aprenderem (HEINZE, 2004).

todos os níveis do ensino, não há concordância quanto ao conteúdo ou à sequência do ensino da geometria.” (ALMOULOUD e MELLO, 2000, p. 2).

Como salientamos na revisão da literatura, Balacheff (1988, apud GRAVINA, 2001) categoriza as provas produzidas pelos alunos em dois grupos: provas pragmáticas e provas intelectuais. Defende que, para que os alunos entendam o significado de uma demonstração e sejam capazes de produzir uma demonstração, seja necessário que se garanta que passem por esses dois níveis. O autor reconhece que “A elaboração de uma demonstração requer uma organização e um status particular de conhecimentos, explicitados e aceitos por

uma comunidade, que não se autoriza mais a buscar onde quiser os argumentos que utiliza. [...]” (BALACHEFF 1987, apud GRAVINA 2001, p. 66). Balacheff defende que

A exigência de provas precisa, portanto, poder encontrar seu lugar desde as práticas matemáticas das primeiras classes, aceitando que sejam reconhecidas como provas outras coisas que não as demonstrações no sentido estrito. Será preciso levar em consideração a natureza da racionalidade dos alunos e as condições de sua evolução, mas também encarregar-se da análise didática dos critérios aceitos de prova que podem evoluir no decorrer da escolaridade. (BALACHEFF, 1987, apud CARLOVICH 2005, p. 49)

Portanto, o autor afirma que, tendo em conta o nível de racionalidade dos alunos, as atividades das provas empíricas podem ser aceitas no 3º Ciclo do Ensino Primário (11-13 anos de idade) de Moçambique. Mas que da 8ª série em adiante, já se deveria exigir que os alunos não se conformassem apenas com a verificação experimental para estabelecer a validade dessas propriedades. Isto é, dever-se-ia mostrar as limitações desse modo de validar as propriedades geométricas e considerar as demonstrações formais, como o único meio de validar as conjecturas estabelecidas. Então, utilizando a tipologia de prova proposta por Balacheff, pretendemos analisar, como são validadas as propriedades dos triângulos nos diferentes livros didáticos contemplados na presente pesquisa.

suas aulas. Desse modo, acreditamos que, perceber se os autores consideram as ideias discutidas pelos pesquisadores, pode ser uma das formas de observarmos quais são as qualidades e defeitos desse material, que é usado em escolas de Moçambique.

2.2 Organização do currículo

Nesta parte, passamos a apresentar de forma breve como está estruturado o sistema Nacional de Educação de Moçambique

Segundo a Lei 6/92 de 6 de maio de 1992 que reajusta a Lei 4/83 de 23 de março de 1983, o SISTEMA NACIONAL DE EDUCAÇÃO EM MOÇAMBIQUE em seu Artigo 6 define que a Educação estrutura-se em ensino pré-escolar, ensino escolar e ensino extraescolar. O ensino pré-escolar é frequentado por crianças com idade inferior a 6 anos; o ensino escolar a partir dos 6 anos.

Segundo a mesma lei, em seu Artigo 8, o ensino escolar compreende: Ensino Geral, Ensino Técnico-Profissional e Ensino Superior. Considerado o eixo central do Sistema Nacional de Educação, o Ensino Geral compreende dois níveis, nomeadamente, Primário e Secundário.

Ainda a mesma lei estabelece que o Ensino Geral seja frequentado, em princípio, a partir do ano letivo em que a criança completa 6 anos de idade, sendo crianças com essa idade matriculadas automaticamente na 1ª classe (série).

O Ensino Primário prepara os alunos ao acesso ao ensino secundário, compreende as sete primeiras classes (séries) e está subdividido em dois graus: (1) Primeiro grau, da 1ª a 5ª classes (séries); (2) Segundo grau, da 6ª a 7ª classes (séries). (Artigo 11). A Reforma Curricular de 2004 subdivide o Ensino Primário em três ciclos, sendo: 1º Ciclo, da 1ª a 2ª séries; 2º Ciclo, da 3ª a 5ª séries e, 3º Ciclo, da 6ª a 7ª séries.

conhecimentos dos alunos nas Ciências Matemáticas, Naturais e Sociais e nas áreas da Cultura, da Estética e da Educação Física.

Por outro lado, o Ensino Técnico Profissional é visto como constituindo o principal instrumento para a formação profissional da força de trabalho qualificado necessária para o desenvolvimento econômico e social do país e compreende três níveis: Elementar, Básico e Médio.

No que tange à formação de professores, a Lei 6/92 estipula que se estruture em três níveis, nomeadamente:

1. Nível básico: realiza-se a formação de professores do Ensino Primário

do 1º grau. As habilitações de ingresso neste nível correspondem à 7ª séries + 3 anos;

2. Nível médio: realiza a formação inicial de professores do Ensino Primário

e dos professores das práticas de especialidade do ensino Técnico-profissional. As habilitações de ingresso neste nível correspondem a 10ª série de ensino geral ou equivalente, 10ª + 2 anos.

3. Nível superior: realiza a formação dos professores para todos os níveis

do ensino. As habilitações para o ingresso neste nível correspondem a 12ª série do ensino secundário geral

Portanto, qualquer produção didática deve levar em consideração as características dos sujeitos professores em termos de sua formação acadêmica.

quatro aulas de 45 minutos cada para 8ª série/classe e 9ª e 10ª séries/classes, respectivamente (INDE e MEC, 2007, p. 69-70).

Quanto ao 2º Ciclo do Ensino Secundário, a carga horária da disciplina de Matemática varia entre três e cinco aulas por semana de 45 minutos cada, conforme a área de concentração ligada ao curso superior a que se destina.

O calendário escolar em Moçambique compreende 178 dias úteis, equivalente a 37 semanas letivas. (Programas do Ensino Básico, 2003).

2.3 O ensino da Geometria em escolas moçambicanas (do Ensino

Primário e Secundário do 1º Ciclo) com enfoque nas

demonstrações das propriedades dos triângulos

Os programas do Ensino Primário (1ª a 7ª série/classes) para o Ensino da Matemática defendem que, na Educação Matemática, atualmente os conhecimentos matemáticos tomam pouco valor como resultados, mas mantêm seu valor, como modelo de desenvolvimento lógico-formal. Valorizam o desenvolvimento do raciocínio. Como consequência desse olhar, esses programas enfatizam, o que chamam de jogos matemáticos, bem como as questões sobre séries numéricas, números primos e, sobretudo, geometria dedutiva. (PCEB, 1º Ciclo, 2003, p. 230; 3º Ciclo, 2003, p.376). Quanto à perspectiva metodológica, os programas defendem que o aluno é o centro de todo o processo de ensino e aprendizagem, é o objeto que se pretende transformar.

são congruentes (o documento usa o termo iguais), bem como a verificação de que em um triângulo equilátero, os três ângulos são congruentes.

Portanto, verificamos que, no final do terceiro ciclo do ensino primário, prevê-se que o aluno comece a ver as primeiras demonstrações de propriedades e teoremas envolvendo triângulos, mas os programas não especificam como essas propriedades e teoremas deverão ser abordados nesse nível de escolaridade.

Já no 1º Ciclo do ensino secundário – 8ª, 9ª e 10ª séries (classes) –, no prosseguimento ao estudo da Geometria plana e, particularmente, a Geometria dedutiva com enfoque nas propriedades dos triângulos, os programas prevêem que, na 8ª série/classe, entre outros tópicos da Geometria, os alunos vejam a congruência de figuras geométricas; os critérios de congruência de triângulos; o Teorema de Pitágoras e a respectiva demonstração via gravura; aplicação do Teorema de Pitágoras; aplicação dos critérios de congruência de triângulos na resolução de problemas. Mas não se faz nenhuma referência metodológica sobre como os critérios de congruência de triângulos deverão ser abordados.