Medidas de Arcos
As unidades mais usadas são o grau (°) e o radiano (rad). Grau: é quando dividimos uma circunferência em 360 partes congruentes, sendo cada uma dessas partes correspondentes a um arco de um grau (1o).
r
Radiano: um arco de um radiano ( 1rad ) é um arco cujo comprimento é igual ao do raio da circunferência que o contém. • r 1 rad 6,28 rad ou 2π rad Comprimento do arco igual à medida do raio
Relembrando: o comprimento da circunferência mede 2πr onde r é o raio.
360° 2π rad 180° π rad 90° π/2 rad
Transformação de graus para radianos
Exemplo: Quantos radianos correspondem a 540°?
Circunferência Trigonométrica - Preliminares
Consideremos uma circunferência de raio unitário (r = 1), cujo centro coincide com a origem de um sistema
cartesiano ortogonal. •0 • • • • 1 1 –1 –1
•0 • • • • 1 1 –1 –1 A
• Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será atribuído o sinal negativo (-).
• Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida será atribuído o sinal positivo (+).
O ponto A (1 , 0) é a origem de todos os arcos a serem medidos
na circunferência.
⊖
⊕
•0 • • • • 1 1 –1 –1 A
Os eixos coordenados dividem o plano cartesiano em quatro regiões chamadas quadrantes; esses quadrantes são contados no sentido anti-horário, a partir do ponto A. Como a circunferência tem 360° ou 2π rad, cada um desses arcos medem 90° ou π/2 rad.
•
1° Q 2° Q
Se temos um arco de origem A e extremidade B, ele pode assumir infinitos valores, dependendo do número de voltas no sentido anti-horário (+), ou no sentido horário (–).
π/2 rad π rad 3π/2 rad 0 rad 0 • • • • • 2π rad –3π/2 rad –π rad –π/2 rad –2π rad 0 • • • • • 0 rad Sentido POSITIVO ou anti-horário Sentido NEGATIVO ou horário A B A B
π/2 rad = 90° π rad = 180° 3π/2 rad = 270° 0 rad = 0° 0 • • • • • 2π rad = 360° 5π/2 rad = 450° 3π rad = 540° 7π/2 rad = 630° 4π rad = 720° Infinitos valores
A R C O S E Â N G U L O S
Exercícios
1. Expresse em graus: a) b) c) d) e) rad 9 10 rad 8 11 rad 9 rad 20 rad 3 4
Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.
a) b) 2 45 clicar 1 20
Solução: Esse cálculo também poderia ser realizado pela regra de três, mas outra forma é substituir π rad pelo seu correspondente em graus, 180º, e simplificar a fração.
a) b) c) d) e) 2 45 1 60 1 20 1 20 1 9
2. Determine, em radianos, a medida do menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio às 4 horas.
Solução: Os ponteiros de um relógio estão ambos na direção dos números somente na hora exata. Após esse momento, o único a ficar na direção é o ponteiro dos minutos (grande).
O relógio representa uma circunferência dividida em 12 partes iguais. Logo, cada número dista um arco que mede 30°.
Às 4h o menor ângulo central formado pelos ponteiros corresponde a
3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco o ponteiro maior percorre?
Solução:
Em graus a medida percorrida pelo menor corresponde a 15°.
Esse valor corresponde à metade da distância entre dois números consecutivos.
O tempo para percorrer essa distância pelo menor é de meia hora.
Enquanto isso o ponteiro maior dá meia volta completa, isto é, 180°.
3. Se o ponteiro menor de um relógio percorre um arco de ( π/12) radianos, que arco ponteiro maior percorre?
Esta questão também pode ser resolvida através se uma regra-de-três simples:
Ponteiro Pequeno Ponteiro Grande 2π rad (π/6) rad x rad (π/12) rad 2 Resposta: π rad
4. Um relógio foi acertado exatamente ao meio-dia. Determine as horas e os minutos que estará marcando esse relógio após o ponteiro menor ter percorrido um ângulo de 42°. Ponteiro Pequeno Tempo 60 min 30° x 42°
Passaram-se 84 minutos após o meio-dia, que corresponde a 1h 24min. Observe que este horário é vespertino, logo pode ser indicado como 13:24 h.
5. Qual a medida, em graus, do menor ângulo central formado pelos ponteiros de um relógio que está marcando 9h 30min?
09:00 h 09:30 h
x α
Solução: Ao marcar 9h em ponto, os ponteiros estavam na direção dos números como indicado na primeira figura.
Às 9h30min o ponteiro pequeno deslocou-se de um ângulo “x”.
Aplicando a regra-de-três
descobrimos quantos graus ele se afastou da direção do número 9 em 30 minutos. 09:30 h x α Ponteiro Pequeno Tempo 60 min 30° 30 min x 60 x = 900 ⇒ x = 15° α = 90° + x e x = 15° ⇒ α = 105°
6. Obtenha as menores determinações não negativas dos arcos. a) 1300° b) 1440° c) 170° d) e) f) –1200° rad 2 11 rad 5 43 Solução:
Encontra-se o número de voltas completas que é múltiplo de 360° ou de 2π.
As menores determinações não negativas serão os arcos encontrados nos restos percorridos no sentido positivo.
° 1300° 360° 3 0 2 2 voltas a) Logo a 1ª determinação de 1300° é 220°. 1300°= 3 × 360° + 220°
3 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida
° 1440° 360° 4 0 0 0 voltas b) Logo a 1ª determinação de 1440° é 0°. 1440°= 4 × 360° + 0°
4 voltas completas ∴ volta ao ponto de partida
c) 170° < 360° não completando uma volta. Logo a 1ª determinação é o próprio 170°.
d)
Vamos dividir o arco por 2π rad
Sabemos que: ou seja, 2 voltas mais ¾ de volta.
¾ de uma volta, em radianos, serão:
2
ou seja, 4 voltas mais 3/10 de volta.
e)
Vamos dividir o arco por 2π rad
Sabemos que:
3/10 de uma volta, em radianos, serão:
5
f)
–120° é a 1ª determinação negativa de –1200°.
Para encontrar a 1ª determinação positiva, devemos somar 360° a –120°.
–120° + 360° = 240°
Logo a 1ª determinação não negativa de –1200° é 240°
(sentido positivo). ° –1200° 360° –3 0 2 –1 voltas –1300°= –3 × 360° – 120°
3 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida
• 0° 180° • 90° • • 270° +240° ≡ –120° •
Visualização de determinações positiva e negativa:
10. Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a: a) 1700° b) –700° c) d) e) rad 4 49 rad 11 rad 8 33
Solução: A expressão geral será dada pela 1ª determinação dos ângulos adicionadas a múltiplos de 360° ou 2π, positivos ou negativos.
° 1700° 360° 4 0 6 2 voltas a) 1700°= 4 × 360° + 260°
4 voltas completas no sentido horário (negativo) ∴ volta ao ponto de partida
260° é a 1ª determinação positiva de 1700°.
Dizemos então que a EXRESSÃO GERAL dos arcos côngruos a 1700° é dada por:
° 1700° 360° 4 0 6 2 voltas a)
���°+���° �,�∈ℤ
Sendo k um número inteiro, ao escrevermos 360°k, queremos expressar um número qualquer de voltas completas em qualquer sentido – positivo ou negativo.
Ao somarmos 260°, dizemos que, depois de voltar ao ponto de partida – não importando quantas voltas foram dadas antes – percorremos mais 260° e chegamos sempre ao mesmo ponto.
• 0° 180° • 90° • • 270° 260° •
���°+���° �,�∈ℤ
�=0
⇓
260°
≡ 360°• 0° 180° • 90° • • 270° 620°
���°+���° �,�∈ℤ
�=1
⇓
620°
≡ 360° 1 volta • + 260°• 0° 180° • 90° • • 270° 980°
���°+���° �,�∈ℤ
�=2
⇓
980°
≡ 360°2 voltas + 260° • 1 volta• 0° 180° • 90° • • 270° –100°
���°+���° �,�∈ℤ
�=− 1
⇓
−100°
≡ 360° –1 volta • + 260°���°+���° �,�∈ℤ
Todos os arcos têm extremidade no mesmo ponto!�=�
�=�
�=�
�=−�
b) 700º360º 2(voltas) resto(340º)
⇒ 1ª determinação positiva de –700° = 360° – 340° = 20°
Logo a expressão geral é 20º360k , k Z
c) rad rad rad voltas rad
4 ) 6 ( 12 4 4 48 4 49 Z k rad k 2 , 4
d) 11 rad 10 rad rad (5voltas) rad Z k k rad 2 ,
Logo a expressão geral é
rad voltas rad rad rad 8 ) 2 ( 4 8 8 32 8 33 e)
A 1ª determinação positiva será rad rad rad
8 15 8
2
Logo a expressão geral é rad 2k , k Z
8
15
– 2 voltas significa duas voltas no sentido horário
11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos. ( ) 740° e 1460° ( ) 400° e 940° ( ) ( ) Solução:
Para que representem arcos côngruos, suas extremidades deverão ser as mesmas.
Isto pode ser verificado comparando as primeiras determinações de cada par.
) º 20 ( ) ( 4 º 360 º 1460 ) º 20 ( ) ( 2 º 360 º 740 resto voltas resto voltas 1º) ) º 220 ( ) ( 2 º 360 º 940 ) º 40 ( ) ( 1 º 360 º 400 resto voltas resto voltas 2º) 3º) rad voltas rad rad rad rad rad rad voltas rad rad rad rad rad 3 2 ) ( 4 3 2 8 3 2 3 24 3 26 3 2 ) ( 6 3 2 12 3 2 3 36 3 38 4º) rad volta rad rad rad rad rad rad voltas rad rad rad rad rad 5 9 ) ( 1 5 9 2 5 9 5 10 5 19 5 4 ) ( 7 5 4 14 5 4 5 70 5 74
⊠
⊠
11. Assinale com “X” os pares que representam arcos côngruos. ( ) 740° e 1460° ( ) 400° e 940° ( ) ( )
⊠
⊠
12. Os arcos da forma , , k ∈ ℤ , têm extremidades em que quadrantes?
k
k.180º30.(1)
Solução: Atribuindo alguns valores para “k”, observa-se a regularidade dos quadrantes:
) º 1 ( º 30 º 390 º 30 º 360 º 30 . ) 1 ( º 180 ). 2 ( 2 ) º 2 ( º 150 º 30 º 180 º 30 . ) 1 ( º 180 ). 1 ( 1 ) º 1 ( º 30 º 30 . ) 1 ( º 180 ). 0 ( 0 ) º 2 ( º 150 º 210 º 30 º 180 º 30 . ) 1 ( º 180 ). 1 ( 1 ) º 1 ( º 30 º 330 º 30 º 360 º 30 . ) 1 ( º 180 ). 2 ( 2 2 1 0 1 2 Q k Q k Q k Q k Q k
Observa-se que, para valores ÍMPARES de k, a extremidade do arco pertence ao 2º quadrante e, para valores PARES, ao 1º quadrante. Logo, a resposta é 1º e 2º quadrantes.
cos α
Seno e Cosseno na Circunferência Trigonométrica
Dado um arco trigonométrico AM de medida α, chama-se de cosseno de α a abscissa do ponto M e seno de α a ordenada do ponto M. • • • • A α M • • sen α
Sendo M o ponto de coordenadas (cos α, sen α), consideraremos o eixo horizontal como Eixo dos Cossenos e o eixo vertical como Eixo dos Senos.
cos α • • • • A α M • • sen α cos sen
• • r = 1 •( 1 , 0 ) •( 0 , 1 ) • (–1 , 0 ) • ( 0 , –1 ) 180° ou π rad 0° ou 0 rad 90° ou π/2 rad 270° ou 3π/2 rad 360° ou 2π rad sen cos
Ponto Arco Cosseno Seno ( 1 , 0 ) ( 0 , 1 ) (–1 , 0 ) ( 0 , –1 ) ( 1 , 0 ) Arco 0 π/2 π 3π/2 2π Cosseno 1 0 –1 0 1 Seno 0 1 0 –1 0 Complete: 1 0 1 0 0 0
Exercício
Converta de graus para radianos: a) 30° = _____
30° x rad
180° π rad
•
sen
cos
30° ou π/6 •
•
sen
cos
45° ou π/4 •
•
sen
cos
60° ou π/3 •
sen cos 30° ou π/6 • • • 210° ou 7π/6
150° ou 5π/6 sen cos 30° ou π/6 • • • 210° ou 7π/6 •
150° ou 5π/6 sen cos 30° ou π/6 • 210° ou 7π/6• • • • 330° ou 11π/6
π/6 π – π/6 = 5π/6 π + π/6 = 7π/6 2π – π/6 = 11π/6 sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q 0 π/2 π 3π/2 2π sen cos
Agora vamos fazer o mesmo para todos
os arcos associados a π/4 e π /6
π/4 sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π – π/4 = 3π/4 π + π/4 = 5π/4 2π – π/4 = 7π/4• sen cos 45° ou (π/4) rad • 0° ou 0 rad 180° ou π rad • • • 180° – 45° = 135°ou π – π/4 = (3π /4) rad 180° + 45° = 225°ou π + π/4 = (5π /4) rad 360° ou 2π rad 360° – 45° = 315°ou 2π – π/4 = (7π /4) rad
• sen cos • • • •
• sen cos (π/4) rad • • • • (3π /4) rad (5π /4) rad (7π /4) rad
π/4 sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π – π/4 = 3π/4 π + π/4 = 5π/4 2π – π/4 = 7π/4 π/3 sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π – π/3 = 2π/3 π + π/3 = 4π/3 2π – π/3 = 5π/3
• sen cos 60° ou (π/3) rad • • • • 0° ou 0 rad 180° ou π rad 360° ou 2π rad 180° – 60° = 120°ou π – π/3 = (2π /3) rad 180° + 60° = 240°ou
• sen cos • • • •
• sen cos 60° • • • • 120° 240° 300°
π/3 sen cos 1º Q 2º Q 3º Q 4º Q π – π/3 = 2π/3 π + π/3 = 4π/3 2π – π/3 = 5π/3
0
Tangente na Circunferência Trigonométrica
Seja t a reta perpendicular ao eixo das abscissas pelo ponto A. • • • • A α t
O prolongamento do raio 0M intercepta a reta t no ponto T. • •T •M A’ B’ B
Chamaremos a reta t de eixo das tangentes, assim:
Dado um arco trigonométrico AM, M ≠ B e M ≠ B’, de medida α, chama-se tangente de α (tg α) a ordenada do ponto T obtido pela intersecção do prolongamento do raio 0M com o eixo das tangentes.
0 • • • A α t • •T •M • A’ B’ B tg α
OBS: O ponto M não pode coincidir com B, nem com B’, pois os prolongamentos dos raios 0B e 0B’, não interceptam o eixo das tangentes.
Por isso dizemos que não existe tangente de um arco com extremidade em B ou B’. 0 • • • A α t • •T •M • A’ B’ B tg α
30º ou
(π/6) rad (π/4) rad45º ou (π/3) rad60º ou
sen cos tg 1 2 1 2 1 2 3 2 3 3 3 3 2 2 2 2
• sen cos 30° ou π/6 • tg T
• sen cos 45° ou π/4 • tg T 1
• sen cos 60° ou π/3 • tg T
