Resolva as questões de maneira clara e organizada.

(1)

COLÉGIO PEDRO II – CAMPUS SÃO CRISTÓVÃO III 3ª CERTIFICAÇÃO – MATEMÁTICA II - 2013

1º ANO DO ENSINO MÉDIO - MANHÃ

NOTA:

Professor: Coordenadora: Maria Helena M. M. Baccar Data:

Nome: GABARITO Nº: Turma:

ATENÇÃO:



Resolva as questões de maneira clara e organizada.



Questões sem desenvolvimento ou justificativa NÃO serão consideradas.



A prova é individual e sem consulta.



Esta prova vale 3,5 pontos.



A interpretação das questões faz parte da prova.

1ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Considere os ângulos

α

,

β

e

γ

, cujas extremidades finais são representadas respectivamente por A, B e C.

a) Determine o sinal das tangentes

^tg^α

,

^tg^β

e

^tg^γ

; Solução. Observando as extremidades, temos:

i) 0tg

0 cos

0 : sen Quadrante

º1α 

 





  . Positiva.

ii) tg 0

0 cos

0 : sen Quadrante

º3  

 





  . Positiva.

iii) tg 0

0 cos

0 : sen Quadrante

º4  

 





  . Negativa.

b) Escreva em ordem crescente os valores dessas tangentes.

Solução. Observando as representações, temos:









 tg tg

tg

.

2ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Resolva as seguintes equações trigonométricas:

a) 2

= 1 + 6 x

cos 



 



 

,

x



0,2

 ; Solução. Desenvolvendo e observando o intervalo, temos:

(2)

 



 

  

 





 







 



 





 





 

 





 

 

 





 

 

 



 





 





 





 

 

 





 

 

 

 



 

2 , 3 S 6

6 22 x1 9 k

2 3 6 x0 9 k 6 k2 k2 9 3 5 xk 6 3 2 5 +x 6 ou

6 22 x1 k

x0 6 k 6 k2 36 k2 xk 36 2 +x

2 = 1 +x 6

cos ^.

b) ^tg

 

^x ⁼^ ³ ,

x  IR

. Solução. Desenvolvendo, temos:

 



 

          





 



 







 





 



 k2 k; Z

3 x 5 ou 3 k2 x/ 2 IR x S 3 k2

x 5 ou

3 k2 x 2

3-

=

tgx ^.

3ª QUESTÃO (valor: 0,5) Sabendo que

4 = 5

cossec x , e que  

  

 0, 2

x , determine os valores de

sen x

,

cosx

,

^tg^x

e

sec x

. Solução. A extremidade do arco se encontra no 1º quadrante.

i)

5

senx 4 4

=5 senx

1 4

=5

cossec x   

.

(3)

ii) 5 3 25

9 25

16 25 25 1 16 5 1 4 x cos 1 x cos x sen

5 senx 4 ²

2 2



 



 



 

 



 

 









.

iii)

3 4 3 . 5 5 4 3 5 4 5 tgx 5 x 3 cos

5 senx 4





 



 





.

iv) 3

5 3 5

1 x cos x 1

sec    _.

4ª QUESTÃO (valor: 1,0)

Determine o valor da seguinte expressão:

 

 



 

 

 



  

 

 



 

3 cossec 4

3 tg 2 6 + tg 5

2

.

Solução.

 

2 3 4 .3 3

3 2 3 4 3 3 2

3 4 3

3 3 3

2 3 1

3 3 +

3

3 sen4

1 3 tg 4 6 + tg 5

3 cossec 4

3 tg 2 6 + tg 5

2 2 2



 















































 



  



 



 





 



 



 



 



 



 

.

“A intuição não é algo dado. Treinei minha intuição para considerar óbvias formas inicialmente rejeitadas como absurdas, e acho que todos podem fazer o mesmo.”

Benoit Mandelbrot - matemático francês - séc XX