Sinais e
Sistemas
Prof. Eduardo Botter
Conteúdo Programático
Sinais e Sistemas
Classificação e Operações Básicas com Sinais
Transformada de Laplace
Resposta ao Degrau
Diagrama de Blocos
Transformada Inversa de Laplace
Espaço de Estados
Diagrama de Bode
Representação de Fourier para Sinais
x(t) X(s) Transformada de Laplace
Amostragem
Interpolação
Domínio do tempo Domínio da frequência
Tempo contínuoTempo discreto
X(j)
Transformada Inversa de Laplace
Frequencia (rad/s)
Fase (graus); Amplitude (dB)
Diagrama de Bode
-40 -30 -20 -10 0
10-2 10-1 100 101
0 20 40 60 80 100
x(t) = f(t) X(s) = N(s)/D(s)
x[n]
Bibliografia
Critério de Avaliação
Prova Semestral: 0,0 a 7,0
• Primeira Prova Intermediária: 10 de abril
• Segunda Prova Intermediária: 11 de setembro
Datas
Prova Intermediária: 0,0 a 3,0
Sinais
Podemos definir um sinal como uma função a qual veicula alguma informação sobre o comportamento ou a natureza de um determinado fenômeno.
O que necessitamos:
– Identificá-los – Classificá-los – Operá-los
Classificação dos Sinais
Sinal unidimensional e Sinal multidimensional
Um sinal unidimensional é aquele cuja função apresenta uma única variável independente e um sinal multidimensional é aquele cuja função depende de mais de uma variável independente.
Um exemplo de sinal unidimensional pode ser um sinal de voz captado por um microfone e um sinal muldimensional o movimento de uma imagem de televisão com o passar do tempo, este sendo a terceira variável.
Classificação dos Sinais
Sinal de tempo contínuo e Sinal de tempo discreto
Um sinal de tempo contínuo é aquele que é definido para todos os valores de tempo t. Já um sinal de tempo discreto é definido em instantes isolados de tempo, que normalmente são igualmente espaçados.
Classificação dos Sinais
Sinal Periódico e Sinal não-periódico
Um sinal periódico é aquele na qual as características do mesmo se repetem em intervalos regulares. Caso contrário o sinal é considerado não periódico.
x ( t ) = x ( t + T) onde: T = período do
sinal
Quando não existe T tal que:
x ( t ) = x ( t + T)
x [ n ] = x [ n + N ] onde: N = período do
sinal
Quando não existe N tal que:
x [ n ] = x [ n + N ]
Sinal Periódico e Sinal não-periódico
Classificação dos Sinais
Sinal Par e Sinal Impar
Sinal par
Sinal impar
x ( t ) = x (- t )
x ( t ) = - x (- t )
Sinal par e Sinal impar
x ( t ) = x (- t ) x ( t ) = - x (- t )
x [ n ] = x [ - n ] x [ n ] = - x [ - n ]
Sinal par e Sinal impar
Classificação dos Sinais
Sinal determinístico e Sinal aleatório
Um sinal determinístico é aquele sobre o qual não existe nenhuma incerteza quanto a seu valor em qualquer instante, podendo então ser representado matematicamente por uma relação (fórmula). Já um sinal aleatório é aquele sobre o qual não podemos especificar o seu comportamento no decorrer do tempo.
Um exemplo de sinal determinístico é uma tensão sobre um resistor. E um sinal aleatório o ruído que acompanha um determinado sinal.
Classificação dos Sinais
Sinal aleatório
Classificação dos Sinais
Sinal analógico e Sinal digital
Um sinal cuja amplitude pode assumir qualquer valor em uma faixa contínua é denominado sinal analógico.
Um sinal digital, por outro lado, é aquele cuja amplitude pode assumir apenas um número finito de valores.
Exemplos
Sinal analógico de tempo contínuo Sinal digital de tempo contínuo
Sinal analógico de tempo discreto Sinal digital de tempo discreto
Tamanho de um Sinal
O tamanho de qualquer entidade é um número que indica o quanto ela é grande ou pequena. Normalmente a amplitude de um sinal varia com o passar do tempo e o mesmo existe durante um determinado intervalo. Podemos então considerar a amplitude e a sua duração como grandezas que nos permitam determinar o tamanho de um sinal.
Sinal Energia
x t dt
Ex 2( )
n
x x n
E 2[ ]
Sinal Contínuo Sinal discreto
Sinal Potência
T
x x t dt
P T1 2( )
1
0
2[ ] 1 N
n
x x n
P N
Sinal Contínuo Sinal discreto
Operações básicas com sinais
Operações relacionadas à variável dependente
Mudança de escala de amplitude
Reflexão
Adição de dois sinais
Multiplicação de dois sinais
• Operações relacionadas à variável independente – Mudança de escala de tempo
– Reflexão
– Deslocamento no tempo
– Deslocamento e mudança de escala de tempo
Sistemas
Podemos definir uma sistema como sendo uma entidade que manipula sinais (sinais de entrada) gerando assim novos sinais (sinais de saída).
Sistema
Sinal de Entrada Sinal de Saída
Classificação dos Sistemas
Sistema com memória e Sistema sem memória
Um sistema é dito com memória se o sinal de saída depender de valores passados do sinal de entrada. Caso contrário o sistema será sem memória.
Um exemplo que podemos citar de um sistema sem memória seria a tensão sobre um resistor, uma vez que a mesma depende da corrente que flui por ele no mesmo instante de tempo que se está calculando a tensão e é dada matematicamente segundo a seguinte expressão:
Já um exemplo de sistema com memória seria a tensão sobre um capacitor, pois neste caso a tensão depende de todos os valores passados de tensão v(t) e não só do instante de tempo t.
t i d t C
v 1 ()
) (
) ( . )
(t Ri t
v
Classificação dos Sistemas
Sistema estável e Sistema instável
Diz-se que um sistema é estável ou BIBO (bounded input / bounded output) estável , se e somente se para todo sinal de entrada limitado o sinal de saída será também limitado. Caso contrário, o sistema é instável.
Matematicamente um sistema é BIBO estável se satistifizer as seguintes condições:
x y
M t
x
M t
y
) (
) (
Classificação dos Sistemas
Sistema causal e Sistema não causal
Um sistema é dito causal se o valor atual do sinal de saída depender somente dos valores presentes e/ou passados do sinal de entrada, ou seja, o sinal de saída não pode depender de valores futuro do sinal de entrada.
Um exemplo de sinal causal é se desejarmos saber o valor da tensão sobre um capacitor num determinado instante de tempo t. Para alcançarmos tal propósito, uma das possibilidades é integrarmos a corrente que circula pelo dispositivo deste o instante - até o instante de tempo requerido t, conforme ilustra a equação abaixo:
t i d t C
v 1 () )
(
Classificação dos Sistemas
Sistema linear e não linear
Diz-se que um sistema é linear se ao mesmo se aplica o princípio da superposição ou linearidade. Caso contrário dizemos que o mesmo é não linear.
O princípio da superposição ou linearidade é composto de duas propriedades: (1) homogeneidade e (2) aditividade.
Sistema linear e não linear
Homogeneidade
Se ao aplicarmos a entrada de um sistema o sinal x1(t) gerando uma saída y1(t) e ao aplicarmos a entrada do sistema o sinal A.x1(t) o mesmo produzir uma saída y(t) = A.y1(t), dizemos que o mesmo satisfaz a propriedade da aditividade.
Sistema linear e não linear
Aditividade
Admitamos que um sistema tenha, para uma entrada x1(t) uma saída y1(t) e, para uma entrada x2(t) uma saída y2(t). Se ao aplicarmos a entrada do sistema o sinal x(t) = x1(t) + x2(t) e o mesmo produzir uma saída y(t) = y1(t) + y2(t) dizemos que o mesmo satisfaz a propriedade da aditividade.
Sistema linear e não linear
Superposição
Se a resposta de um
sistema a uma
combinação linear de sinais de entrada for uma combinação linear correspondente dos sinais individuais, então o princípio da superposição ou linearidade se aplica a este sistema.
Classificação dos Sistemas
Sistema invariante no tempo e Sistema variantes no tempo
Diz-se que um sistema é invariante no tempo se o mesmo responder a um sinal de entrada deslocado no tempo com um sinal de saída também deslocado no tempo. Podemos ilustrar esta definição da seguinte forma:
Classificação dos Sistemas
Sistema forçado e Sistema livre
Sistema forçado é aquele que é excitado por uma fonte de um sinal de excitação externa. Já um sistema livre é aquele que é excitado pelas condições iniciais.
