SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

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© UNESP 6 Agosto 2008

AULA 4 - LABORATÓRIO GERADORES DE NÚMEROS ALEATÓRIOS COM GOOGLE DOCS

Autor: Anibal Tavares de Azevedo

SIMULAÇÃO DE SISTEMAS

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Problema Descrição LINK

1 Lab 4 – Exercício 1 https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AozU GKjaO9uEdE1rd1Y4VHlqS1NhNGtydFZvRzZKOX c&usp=sharing

2 Lab 4 – Exercício 2 https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AozU GKjaO9uEdHNZakJjYjhpcmtPZkhFalRxbEN2eEE

&usp=sharing

3 Lab 4 – Exercício 3 https://docs.google.com/spreadsheet/ccc?key=0AozU GKjaO9uEdFNRTUYzbXZMamd5T045cHdmc0dB UGc&usp=sharing

GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS

Os exercícios estão disponíveis nos links dados abaixo:

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Como são gerados números aleatórios no computador?

Valores aleatórios repetição Na verdade, o computador gera valores pseudo-aleatórios.

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¹⁰⁰

valor

4

Variável Pseudo-aleatória

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

É uma variável cujo valor é obtido a partir de um processo determinístico e que deve satisfazer certas propriedades dos números aleatórios. Por exemplo, para um gerador pseudo- aleatório que gere uma distribuição uniforme U é esperado que, para um número suficientemente grande de amostras, a frequência de valores, em faixas de mesmo tamanho, seja aproxidamente equitativa.

Qual dos histogramas parece ser o de uma uniforme?

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Algumas das propriedades desejadas para valores pseudo-aleatórios:

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

• Não apresentar repetição após a geração de poucos valores;

Exemplo: 2, 1, 3, 2, 1, 3, ...

• Para uma amostra de tamanho suficientemente grande os valores devem possuir uma frequência de ocorrência aproximadamente uniforme;

Exemplo: Histograma próximo da uniforme.

• Não deve haver correlação entre valores sucessivos;

Ex.: Sempre após aparecer o valor 2 aparece o valor 1.

•As frequências de ocorrência de valores pseudo-aleatórios não deve diferir significativamente quando comparadas com as frequências de sequências aleatórias.

Exemplo: Usar um teste estatístico para comparar os valores gerados e os esperados: qui-quadrado e Kolmogorov- Smirnov.

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A ruína do apostador

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Exemplos de problemas que empregam variáveis aleatórias

Passeio aleatório

Como gerar valores com

estas probabilidades?

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Gerador Linear Congruencial

m c

aX

X

_i₊₁

= (

_i

+ ) mod

m X U

_i

=

_i

/

Onde:a, c e m são parâmetros dados e U

_i

é um valor aleatório com função de distribuição Uniforme U(0,1).

para i=0, 1, 2, ..., n.

X

₀

é valor inicial dado.

Observe que neste caso, o gerador linear congruencial é uma fórmula que depende de um valor inicial X

o

. O valor inicial X

o

também é chamado de semente do processo aleatório e toda a sequência aleatória é determinada por ele.

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

m c

aX

X

_i₊₁

= (

_i

+ ) mod para i=0, 1, 2, ..., n.

Supor que: a = 3, c = 0, m = 5 e X

₀

= 4

i X

_i

3X

_i

(3X

_i

)mod5 U

_i

= X

_i

/m

0 4 12 2 4/5

1 2 6 1 2/5

2 1 3 3 1/5

3 3 9 4 3/5

4 4 12 2 4/5

5 2 6 1 2/5

5 mod ) 3

1

(

i

X

₊

=

Exercício 1: Reproduzir o exemplo dado a seguir no

Google docs. Expandir a planilha para 100 valores.

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Exercício 2: Elaborar um histograma dos valores gerados anteriormente para U

_i

. O que foi obtido e o que

esperar para uma distribuição uniforme?

Trocar por categorias:

Faixa 1

Valores U

_i

de 0 até 0,20

10

F(n)= F(n-1) + F(n-2) onde: n = 2, 3,...

e F(0) = F(1) = 1

Espiral de Fibonacci

VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Sequência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,...

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Gerador Defasado de Fibonacci

m X

X

_i

= (

_i₋₁

*

_i₋₂

) mod

m X U

_i

=

_i

/

Onde:a, c e m são parâmetros dados e U

_i

é um valor aleatório com função de distribuição Uniforme U(0,1).

para i=0, 1, 2, ..., n.

X

₀

, X

₁

são dados.

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VARIÁVEIS ALEATÓRIAS

Exercício 3: Elaborar um gráfico do tipo

“Scatter” com os pares (U

_i

,U

_i+1

) do Exercício 1.

O que esperar para uma distribuição uniforme?

U

_i

U

_i+1

i U

_i

= X

_i

/m U

_i+1

0 4/5 2/5

1 2/5 1/5

2 1/5 3/5

3 3/5 4/5

4 4/5 2/5

5 2/5 -

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DADOS DE ENTRADA

Garbage in,Garbage out

Often abbreviated as GIGO, this is a famous computer axiom meaning that if invalid data is entered into a system , the resulting

output will also be invalid. Although originally applied to computer software, the axiom holds true for all systems, including,

for example, decision-making systems.

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DADOS DE ENTRADA

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DADOS DE ENTRADA

Como verificar se os valores aleatórios obtidos a partir de um gerador aleatório, isto é, uma equação, representa o comportamento esperado para uma certa função de distribuição de probabilidade? Por exemplo, como verificar se a sequência produzida segue uma função de distribuição uniforme U[1,4]?

PROBLEMA:

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DADOS DE ENTRADA

Teste de Kolmogorov-Smirnov:

Este teste compara a função de distribuição acumulada (FDA) esperada F(x) com a FDA observada S

_N

(x), onde N é o número de observações da amostra.

Se a amostra fornece valores R

₁

, R

₂

, ..., R

_N

, então, a FDA empírica de S

_N

(x) será dada por:

N

x R

R R de x no

S _N = . { , ,..., ^N } ≤

)

( ¹ ²

Conforme N torna-se grande, S

_N

(x) deve se tornar uma

melhor aproximação para F(x), provendo, portanto,

evidências de que a hipótese H

₀

é verdadeira.

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H

₀

: R

₁

, R

₂

, ..., R

_N

é uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição acumulada F(x).

H

_α_αα_α

: R

₁

, R

₂

, ..., R

_N

não é uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição acumulada F(x).

Observando que:

DADOS DE ENTRADA

O teste de Kolmogorov-Smirnov usa a maior desvio absoluto entre F(x) e S

_N

(x) no intervalo da variável aleatória e emprega a seguinte fórmula:

D = max |F(x) – S

_N

(X)| (1)

A distribuição D é conhecida e tabelada como função de N como dado a seguir.

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DADOS DE ENTRADA

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DADOS DE ENTRADA

Passos do Teste de Kolmogorov-Smirnov:

Passo 1: Ordenar os dados do menor para o maior. Se R

_(i)

corresponder ao i-ésimo menor dado, então:

R

₍₁₎

≤ R

₍₂₎

≤ ... ≤ R

_(N)

Passo 2: Calcular: e

Passo 3: Calcular: D = max(D

⁺

, D

^-

).

Passo 4: Encontrar o ponto crítico D

_α_αα_α

nas tabelas anteriores para o nível de significância α αα α e o tamanho N.

Passo 5: Se D ≤ D

_αα_α_α

, então, a hipótese H

₀

é aceita, caso contrário é rejeitada.

 



 

 −

=

_≤_≤

+

) 1 (

max

_i

N

i

R

N D i

 



 

 − −

=

_≤_≤

−

N R i

D

_i

N i

max

₍₎

1

20

Exemplo 1: Suponha que cinco números foram gerados: 0,44, 0,81, 0,14, 0,05 e 0,93. Aplicar o teste de Kolmogorov-Smirnov com nível de significância αααα = 0,05 para verificar se os valores seguem uma função de distribuição de

probabilidade uniforme.

Os passos 1 e 2 são dados pela seguinte tabela:

R(i) 0,05 0,14 0,44 0,81 0,93

i/N 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

i/N – R(i) 0,15 0,26 0,16 - 0,07

R(i)-(i-1)/N 0,05 - 0,04 0,21 0,13

DADOS DE ENTRADA

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21

Passo 3: Calcular: D = max(D

⁺

, D

^-

) = max(0,26, 0,21) = 0,26

DADOS DE ENTRADA

Passo 4: Encontrar o ponto crítico D

_αα_α_α

nas tabelas anteriores para o nível de significância α αα α = 0,05 e o tamanho N = 5:

D

_αα_α_α

= 0,563

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DADOS DE ENTRADA

Passo 5: Se D ≤ D

_α_αα_α

, então, a hipótese H

₀

é aceita, caso contrário é rejeitada. Como D = 0,26 ≤ D

_αα_α_α

= 0,563. Lembrando que:

H

₀

: R

₁

, R

₂

, ..., R

_N

é uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição acumulada F(x).

H

_α_αα_α

: R

₁

, R

₂

, ..., R

_N

não é uma amostra aleatória da variável aleatória com distribuição acumulada F(x).

Como H

₀

é aceita, então, isto significa que os dados possuem

FDA uniforme de acordo com o teste de Kolmogorov-Smirnov.

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ANÁLISE ESTATÍSTICA

Exercício 4: Refazer o exemplo 1 em uma planilha do Google Docs.

Exemplo 1: Suponha que cinco números foram gerados: 0,44, 0,81, 0,14, 0,05 e 0,93. Aplicar o teste de Kolmogorov-Smirnov com nível de significância αααα = 0,05 para verificar se os valores seguem uma função de distribuição de

probabilidade uniforme.

R(i) 0,05 0,14 0,44 0,81 0,93

i/N 0,20 0,40 0,60 0,80 1,00

i/N – R(i) 0,15 0,26 0,16 - 0,07

R(i)-(i-1)/N 0,05 - 0,04 0,21 0,13

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Mini-projeto 3: Gerador aleatório

Elaborar uma planilha Excell que teste o gerador linear congruencial ou (para gradução)/e (para pós) Fibonacci Defasado com pelo menos 2 combinações diferentes (se você é aluno de graduação) e 6 combinações (se você é aluno de pós) diferentes de parâmetros para a, c, m e X

₀

para gerar 1000 valores aleatório com distribuição uniforme U(0,1). Colocar telas da sua planilha e figuras dos resultados para cada conjunto de valores.

Analisar os resultados obtidos em termos de histograma e/ou “scatter plot”. Colocar no formato de artigo.

m c

aX

X

_i₊₁

= (

_i

+ ) mod

m X U

_i

=

_i

/

m X

X

_i

= (

_i₋₁

*

_i₋₂

) mod

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Mini-projeto 4: Teste de Kolmogorov-Smirnov

Para cada configuração testada no TEMA 1 aplicar o teste de Kolmogorov-Smirnov e indicar se os números gerados podem ser considerados com função de distribuição uniforme U(0,1). Colocar os valores de D para cada teste com o gerador aleatório e as respectivas conclusões. Colocar no formato de artigo.

O teste de Kolmogorov-Smirnov usa a maior desvio absoluto entre F(x) e S

_N

(x) no intervalo da variável aleatória e emprega a seguinte fórmula:

D = max |F(x) – S

_N