ESCOAMENTO TURBULENTO
a turbulência em geral surge de uma instabilidade do escoamento em regime laminar, quando o número de Reynolds torna-se grande. As instabilidades estão relacionadas com interações entre termos
viscosos e termos de inércia não lineares nas equações de quantidade de movimento linear.
Os efeitos advectivos altamente não lineares, são efeitos
amplificadores de perturbações é geradores de instabilidades. Por outro lado os efeitos difusivos são amortecedores ou inibidores da formação de instabilidades.
O escoamento turbulento é governado pelas equações de
conservação já apresentadas, porém é sempre 3D e transiente
Atualmente existem basicamente três métodos para se analisar um escoamento turbulento, os quais serão descritos a seguir.
Custo Computacional
RANS
LES
DNS
100 %
0 %
baixo alto extremadamente alto Grau
de Modelagem
DNS (Direct Numerical Simulation): cálculo de todas as escalas de comprimento da turbulência.
LES (Large Eddy Simulation): cálculo dos turbilhões de grandes escalas, com uma modelagem dos turbilhões de escala menor.
RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes):
modelos da turbulência estatística baseado nas equações de Navier-Stokes médias no tempo.
Os modelos de turbulência baseados nas equações de Navier-Stokes médias no tempo RANS (Reynolds Averaged Navier-Stokes) são baseados na
decomposição da velocidade em um valor médio e uma flutuação
Equações Médias de Reynolds
' u u
u
• Para o engenheiro, muitas vezes é suficiente conhecer o comportamento do valor médio. A flutuação u’ (muitas vezes da ordem de 1% a
Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear As equações de Navier-Stokes médias no tempo são obtidas através da média temporal das equações de conservação:
Equação da continuidade (incompressível)
x 0 u
j j
j
j i k ij
k i
j j
i j
i i j
i i j
x
u u x
u x
u x
u x
x g p x
u u t
u
)
(
3 2
O termo é denominado tensão de Reynolds, e envolve os componentes das flutuações da velocidade que não são conhecidas.
'
' j
i u
u
Modelos de Viscosidade Turbulenta
Os modelos de viscosidade turbulenta são baseados no conceito da
viscosidade turbulenta introduzido por Boussinesq em 1877. Boussinesq propõe para o núcleo turbulento uma analogia entre as tensões
turbulentas e as tensões existentes no regime laminar.
Vimos que a tensão viscosa para um fluido Newtoniano é
V I
3 V 2
V T
div ]
) grad ( grad
[
ij k ij
t k i
j j
t i j
i x
u x
u x
u u
u
3
2 3
2
k ij k i
j j
ij i
x u 3
2 x
u x
u
Fazendo uma analogia entre a tensão laminar e turbulento, a tensão turbulenta é definida como:
i2 1 u 2 v 2 w 2
1 u' ' ' '
é a energia cinética turbulenta,
i i
j j
ef i j i
j j i
i g
x u x
u x
x P x
u u t
u
Equação de Conservação de Quantidade de Movimento Linear
) (x,t
t
ef
3
2 3
2
k t k
x p u
P viscosidade efetiva ef:
é a viscosidade molecular
t é a viscosidade turbulenta.
VISCOSIDADE TURBULENTA t Vc Lc
Os modelos podem ser classificados em modelos:
modelos algébricos, modelos de zero equações diferenciais
modelos de uma equação diferencial
modelos de duas equações diferenciais
modelos de n equações diferenciais
Modelos De Duas Equações
Estes modelos consistem na solução de duas equações diferenciais para avaliar a viscosidade turbulenta. Na
elaboração de um modelo de duas equações, faz sentido continuarmos utilizando a equação para a energia cinética
, devido ao pouco empiricismo usado na sua obtenção.
Como podemos utilizar qualquer combinação do tipo para a segunda variável, várias propostas surgiram ao longo dos anos:
Freqüência de vórtices f ( f = ½ -1) (Kolmogorov, 1942)
Produto energia versus escala de comprimento (Rodi e Spalding, 1970)
Vorticidade w (w -2 ) (Wilcox, 1988)
Dissipação e (e 3/2 -1 ) da energia cinética turbulenta (Harlow e Nakayama, 1968 e Launder e Spalding, 1974)
Modelo e
O modelo e é sem dúvida o modelo que tem recebido maior atenção devido, principalmente, aos trabalhos de Jones e Spalding (1972,
1973) e Launder e Spalding (1974). Neste modelo a velocidade
característica continua sendo Vc 1/2 e o comprimento característico é obtido em função da dissipação (e u 3 / u 3 / e 3 /2 / e .
A viscosidade turbulenta é
e
c 2 t
e
j t
j
j j x x
P ρu
x t
ρ
e
e
e ee
e e
e c1 P c2
xj xj
u j x j
t
t
j i i
j j
t i
x u x
u x
P u
as constantes empíricas são: c=0,09 ;
c1e=1,44 ; c2e =1,92 ; =1,0 e e =1,3
Modelo e
O modelo e padrão utiliza nas fronteiras a lei da parede padrão.
Isto consiste em utilizar as solução obtidas para u+ em função de y+ na região da parede
sub-camada laminar u y para y 5
núcleo turbulento u 2,5 ln y 5,0 para y 50
A figura abaixo ilustra os perfis acima, juntamente com os dados experimentais. Note que na região entre5 y 50 , correspondente a região amortecedora, os pontos experimentais não coincidem com nenhuma das duas curvas, pois é uma região de transição, mais difícil de ser modelada.
Recomenda-se o modelo padrão para altos números de Reynolds, com y+ > 11,5
Modelo w
O modelo w pode ser derivado da equação de e
A viscosidade turbulenta é
w
t *
w w
w w
w
w
w
e
e
e
w e
1 1
1 1
1 1
1 1
2
2 2 1
c c
c P
c x j
x j u j
x j t
t ( ) ( )
Mesma equação de que o modelo e, reescrevendo o termo de destruição em função de w
Modelo recomendado para escoamento cisalhantes livres, com y+ < 5
Modelo w SST
Combinação dos modelo e e w . Na região da parede emprega w e longe da parede e
ESCOAMENTO HIDRODINÂMICAMENTE DESENVOLVIDO TURBULENTO
a tensão na parede é
nos escoamentos hidrodinâmicamente desenvolvidos em tubos
horizontais, tanto no regime laminar quanto turbulento, a queda de pressão é somente devido às tensões tangenciais nas paredes da tubulação.
r
r r x p 1 0
2 r x p
) 2
( R
x R p
s r
No entanto, o perfil de velocidade varia substancialmente para cada regime de escoamento pois a relação entre a tensão cisalhante e o gradiente de
velocidade não é a mesma. Como já foi visto, no regime turbulento u
u
Para avaliar o perfil de velocidade, precisamos de um modelo de turbulência para determinar a viscosidade turbulenta. Por outro lado, podemos utilizar dados empíricos.
Para um tubo liso, o perfil de velocidade pode ser aproximado pela “lei de potências” de forma análoga ao regime turbulento na camada limite
n
R r u
u 1 /
max
1
umax
U
O expoente n depende do número de Reynolds, baseado na velocidade máxima
e no diâmetro, de acordo com a figura
Conhecido o perfil de velocidade, a velocidade média pode ser facilmente obtida
R
A
T T
m A u dA u r d r
u Q
T 0
2
) 1 2
( ) 1 (
2 2
max
n n
n u
um
Naturalmente que a relação entre a velocidade média e máxima depende do expoente n.
Quanto maior o número de Reynolds, maior é o expoente n e mais achatado é o perfil de velocidade, maior é a tensão cisalhante. Note que a relação entre a velocidade média e máxima para o regime laminar em um tudo
circular é 1/2.
A figura ao lado ilustra uma comparação entre o perfil de velocidade no regime laminar e no regime turbulento para diferentes expoentes.
Na prática, com muita freqüência, especifica-se o expoente n =7 independente do número de Reynolds.
Vale ressaltar que a hipótese de velocidade uniforme na seção transversal é uma péssima aproximação no caso de regime laminar. Já para o regime
turbulento, é uma aproximação razoável, especialmente para altos Reynolds.
O lei 1/n aproxima bem o perfil de velocidade em quase todo o domínio, com exceção da região próximo à parede, não sendo possível estimar o atrito a partir deste perfil.
Utiliza-se então dados empíricos para estimar o fator de atrito, o qual depende não só do número de Reynolds, mas da rugosidade relativa da tubulação.
O fator de atrito nada mais é do que uma queda de pressão adimensional ou tensão cisalhante na parede adimensional
2
2 1
4 1
s
u u
x D p f
) /
(Re, D
f
f e
A rugosidade relativa depende do material da tubulação e do diâmetro da mesma
O fator de atrito pode ser avaliado a partir do diagrama de Moody
A representação gráfica é conveniente e facilita a determinação do fator de atrito, no entanto, quando desejamos utilizar de forma
sistemática em um programa de computador por exemplo, é
desejável, representar a informação do diagrama de Moody por uma correlação.
A correlação mais utilizada é a fórmula de Colebrook
A correlação de Colebrook é uma equação transcendental, isto é, não é possível explicitar o valor do fator de atrito. É necessário resolver de forma iterativa. Miller recomenda como estimativa inicial para o
processo iterativo, a seguinte expressão
Com essa inicialização, obtém-se um resultado dentro de 1% com 2
9 ,
Re0
74 , 5 7
, 3 log /
25 , 0
D
fo e
0,5
5 ,
0 Re
51 , 2 7
, 3 log /
0 , 1 2
f D
f
e
Exercício 1: Deseja-se bombear água a 20 C [ = 1000 kg/m3; = 0,001 Pa s]
em um tubo circular liso. O diâmetro interno é D = 3 cm. A tubo possui L = 20 m de comprimento. Deseja-se uma vazão de = 0,4 kg/s. Qual a potência de
bombeamento necessária? m
FV P AV P Pot
2 1 2
1
2 2
m m
h V
f D L
P dx dp V
dx D dp
f
2300 10
6
4 1 4
,
Re
D m A
D D m
V
t h
m
025 0 10
6
1, 4 ,
Re f
s m A D
V
m t 4 0,566 / 2
s m
m 4 3
10 4
V W D f L P
Pot m 1067
2 2
,
Exercício 2: Determine o nível h do reservatório para manter a vazão indicada:
Tubulação lisa: e=0
Q= 0,03 m3/s
D = 75 mm
Entrada do tubo: k = 0,5
Saída: patm
Viscosidade: = 10-3 kg/(ms)
Massa específica: = 103 kg/m3
L=100m
Q h
z D= 75 mm
,2
W m g
p g
V
g z p
g V
g z h
e
L
2 2
2
2 1 1
2
1 1
2 2
1
2
entrada tubo L L
L
atm e
h h
h
h z z
P p p W
2 1
1 2
1 2
0 0
,
;
t V C SC
d V n d A
.
0
)
, ( D
f L g k
h V g
hV L 1 2
2
2 2 2
2
2 1
g V D f L
hL m
tubo 2
2
s m A
V Q A
V A V A
V A V Q
t 0 cte 0 679
2 2 1
2 2 1 2
2 1
1 ; ; ,
;
;
2300 10
09
5 5
,
Re
VmDh
e
Re f0,5
51 , 2 7
, 3
D log /
0 , f 2
1 h
5 , 0
g k V
hL m
AC 2
2
D m f L g k
h V g
h V L 44 6
075 0 01311 100 0
5 0 81 1 9 2
79 6 2 1
2
2 2 2 2
2
2
1 ) ,
, , , , (
, )
, (
509000 05
51 0 2
1 2 5
0 ,
log , , ,
f f
•estimativa inicial de Miller
2 9 , 0 h
o Re
74 , 5 7 , 3
D log / 25 , 0 f
e
0 10
09
5 5
e
, ;
Re VmDh
01305 0
509000 74 25 5
0
2 9
0 ,
log ,
, ,
fo
e
0,5
f Re
51 , 2 7
, 3
D log / 0 , f 2
1 h
5 , 0
01312 5 0
013050 0
509000 51 0 2
1 2 5
0 ,
, , log ,
, ,
f
f
•segunda iteração:
•terceira iteração: f convergiu
f
01311 5 0
013120 0
509000 51 0 2
1 2 5
0 ,
, , log ,
, ,
Exercício 3: Água com = 1000 kg/m3 e n/ = 1 x 10-6 m2/s é bombea- da entre dois reservatórios com a vazão Q = 5,6 x 10-3 m3/s através de uma tubulação de L=120 m e D= 50 mm de diâmetro. A rugosidade
relativa do tubo é e / D=0,001. Calcule a potência necessária da bomba.
Dados de coeficiente de perda de carga:
•Entrada canto vivo: k=0,5
•Saída canto vivo: k=1,0
•Válvula globo aberta: k=1,0
•Joelho a 90o: k=0,9
•Válvula de gaveta ½ aberta: k=0,1
,2
W m g
p g
V
g z p
g V
g z h
e
L
2 2
2
2 1 1
2
1 1
2 2
g k V g
V D f L h
h h
m H
z z m z
m z
P p p
ac t L t
L L
atm
AC
tubo 2 2
30 36
6
2 2
1 2 2
1 1
2
2 1,
;
;
;
t V C SC
d V n d A
.
0 0 4 285 0
2 2 1
2 2 1
1
V V
s m D
V Q A
V A V A V Q
cte t t t
t ; ; ; , ;
We Q g H hL1,2 Qg H f DL kac V2t2g
Q m
001 0
10 41
1 5
. /
, Re
D
D Vt e
021
0,
f
HP W
W
Wb e 654 087
2 85 2 1 0 9 0 2 0 1 0 1 5 075 0 0 01 120 0 30 10
6 5 10
2 3
3 ,
, , , ,
, , ,
,
,
Bomba: trabalho é fornecido: <0
Exercício 4: Considere a
instalação da figura ao lado. O tubo possui uma rugosidade relativa de e/D = 0,001 e possui um diâmetro D= 100 mm.
Determinar a vazão máxima da instalação. Considerar as perdas localizadas somente na válvula de gaveta.
H=2,4m
L=180m
D=100mm
Q
t V C SC
d V n d A
.
0 0 0
1 2 2 1 2
2 1
1
A V A V A
V A V Q
t ; cte ; ;
,2
W m g
p g
V
g z p
g V
g z h
e
L
2 2
2
2 1 1
2
1 1
2 2
Lvalvula L
L
atm e
h h
h
H z z
P p p W
tubo
2 1
1 2
1 2
0 0
,
;
g
V D f L
hL m
tubo 2
2
)
( D
L f L
H V g
eq
1
2 ) 2
, ( D
L f L g
h V g
H V L eq
1
2 2
2 2 2
2
2 1
g V D f L
hLAC eq m 2
2
e
Re f0,5
51 , 2 7
, 3
D log /
0 , f 2
1 h
5 , 0
Não conhece a vazão, não tem como calcular o Reynolds, para determinar f
VmDh Re
)
( D
L f L
H V g
eq
1
2 2
Estimativa inicial: fluido ideal sem perda ou um valor de f típico
(0,02):
1808 1
088 47 1 8
0 1 180
088 47 1
2
2 f
f D
L f L
H V g
eq
,
, ) (
, )
(
s m V
f 0,02 2 1,26 / h m
mD V
V 5
10
Re
105 26 1
, Re
2ª estimativa inicial: Re 1,26105 f 0,022V2 1,075m/s Re 1,075105 3ª estimativa inicial: Re 1,075105 f 0,023V2 1,052m/s convergiu
